Các phương pháp giải hệ phương trình vô tỷ trong đề thi đại học
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (559.31 KB, 13 trang )
Khóa học: Phương trình, bất phương trình
vô tỷ ôn thi Đại học
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang –Trung tâm gia sư VIP
Bài giảng số 3: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Hệ sử dụng phương pháp biến đổi tương đương
Đặc điểm chung của dạng hệ này là sử dụng các kỹ năng biến đổi đồng nhất, đặc biệt là kỹ năng phân
tích nhằm đưa một phương trình trong hệ về dạng đơn giản rồi thế vào phương trình còn lại trong hệ.
Loại 1: Trong hệ có một phương trình bậc nhất với ẩn
x
hoặc
y
khi đó ta tìm cách rút
y
theo
x
hoặc ngược lại.
Loại 2: Một phương trình trong hệ có thể đưa về dạng tích của các phương trình bậc nhất hai ẩn.
Loại 3: Đưa một phương trình trong hệ về dạng phương trình bậc hai của một ẩn, ẩn còn lại là
tham số.
2. Hệ sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ
Điều quan trọng nhất trong hệ dạng này là phát hiện ẩn phụ
; ; ;
a f x y b g x y
có ngay trong từng
phương trình hoặc xuất hiện sau một phép biến đổi hằng đẳng thức cơ bản hoặc phép chia cho một biểu
thức khác 0.
3. Hệ sử dụng phương pháp hàm số
Hệ loại này ta gặp nhiều ở hai dạng:
( ) 0 (1)
f x
và
( ) ( ) (2)
f x f y
với
f
là hàm đơn điệu trên tập
D
và
, .
x y D
Nhiều khi ta cần phải đánh giá ẩn
,
x y
để
,
x y
thuộc tập mà hàm
f
đơn điệu.
Loại 1: Một phương trình trong hệ có dạng
( ) ( )
f x f y
, phương trình còn lại giúp ta giới hạn
,
x y D
để trên đó hàm
f
đơn điệu.
Loại 2: Là dạng hệ đối xứng loại hai mà khi giải đều dẫn đến cả hai trường hợp (1) và (2).
4. Hệ sử dụng phương pháp đánh giá
Với phương pháp này, cần lưu ý phát hiện các biểu thức không âm và nắm vững cách vận dụng các bất
đẳng thức cơ bản.
B. CÁC VÍ DỤ MẪU
Phương pháp biến đổi tương đương
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:
8 (1)
5 (2)
x x x y y y
x y
Giải
Khóa học: Phương trình, bất phương trình
vô tỷ ôn thi Đại học
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang –Trung tâm gia sư VIP
Điều kiện:
0
0
x
y
Phương trình
2 2
1
(1) 1 8
1 8 (3)
x
x x y y
x x y y
Từ
(2) 5
y x
thế vào (3) ta được:
2 2
2
1 5 3 3 22 4 0
x x x x x x
5
( )
3
9 4
x l
x y
Vậy nghiệm của hệ đã cho là:
9;4 .
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau:
2 2
2 (1)
2 1 2 2 (2)
xy x y x y
x y y x x y
Giải:
Điều kiện:
1
0
x
y
Ta có phương trình
2 2
(1) 2 ( ) 0
x xy y x y
( )( 2 ) ( ) 0
x y x y x y
(từ điều kiện ta có
0
x y
)
2 1 0 2 1
x y x y
Thay
2 1
x y
vào phương trình (2) ta được:
(2 1) 2 2 2 2 1 2
y y y y y y
( 1) 2 2 0
y y
(do
0
y
)
2 5
y x
Vậy nghiệm của hệ phương trình là
(5;2).
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:
12
1 2
3
12
1 6
3
x
y x
y
y x
Giải:
Khóa học: Phương trình, bất phương trình
vô tỷ ôn thi Đại học
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang –Trung tâm gia sư VIP
Điều kiện:
0
0
3 0
x
y
y x
Hệ phương trình đã cho tương đương với:
12 2
1
3
12 6
1
3
y x
x
y x
y
1 3
1
1 3 12
3
x y
y x
x y
2
2 2
1 9 12
6 27 0 6 27 0
3
y y
y xy x
x y y x x x
3
9 (l)
y
x
y
x
Với
3
y
x
ta được:
2
2
1 3
3 1 3
x
y
Vậy nghiệm của hệ phương trình là
2 2
1 3 ;3 1 3 .
Phương pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình:
30
( )
35
x y y x
I
x x y y
Giải:
Điều kiện:
0
.
0
x
y
Đặt:
0
0
a x
b y
Hệ
3
3 3
2 2
35
3 35
30
30
a b
a b ab a b
I II
a b b a
ab a b
Đặt:
;
S a b
P ab
điều kiện:
2
4 0
S P
Khóa học: Phương trình, bất phương trình
vô tỷ ôn thi Đại học
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang –Trung tâm gia sư VIP
Hệ (II) trở thành
3 3
5
3 35 125
6
30 30
S
S SP S
P
SP SP
thỏa mãn
2
4 0
S P
Khi đó ta có:
2
2 4
3
3 9
5
6
3 9
3
2 4
2
x
a x
y
b y
a b
ab
a x
x
b y
y
Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
4;9 ; 9;4 .
Ví dụ 5: Giải hệ phương trình:
7
2
:
7 ( , 0)
x y
y x
xy
I
x xy y xy x y
Giải
Đặt
0
0
a x
b y
Hệ (I) trở thành:
2 2
7
2
7
a b
b a ab
ab a b
2 2
2 2
7
2
7
ab
a b
ab
ab a b
2 2
7
2
7
7
2
ab
a b
ab
ab
ab
ab
2 2
2
7
2
7 7 2
ab
a b
ab
t t
(với
0)
t ab
2 2
7.2
2 2
2
a b
ab
2
7
2
2
2
a b ab
ab
2
15
15
2
2
2
2
a b
a b
ab
ab
(do
0)
ab
,
a b
là nghiệm của phương trình:
2
15
2 0
2
X X
, phương trình này vô nghiệm.
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
Ví dụ 6: Giải hệ phương trình sau:
2 3
2 3
log 3 5 log 5
3 log 1 log 1
x y
x y
Giải
Khóa học: Phương trình, bất phương trình
vô tỷ ôn thi Đại học
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang –Trung tâm gia sư VIP
Điều kiện:
5
2
0 3
x
y
Đặt:
2
3
log 1 0
5 log 0
a x
b y
. Khi đó hệ phương trình đã cho tương đương với:
2
2
3 4 (1)
3 4 (2)
a b
b a
2 2
3 3 0
a b b a
3 0
a b a b
3
a b
a b
Với
a b
, ta có:
2
1
1 3 4 0
4
a
a a
a l
Từ
1
a b
2
3
log 2
4
log 4
81
x
x
y
y
(thỏa mãn)
Với
3
a b
, ta có:
2
2 3 5 0
b b
(vô nghiệm)
Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
4;81 .
Phương pháp hàm số
Ví dụ 7: Giải hệ phương trình:
2 1
2 1
2 2 3 1
2 2 3 1
y
x
x x x
y y y
Giải
Đặt
1
1
a x
b y
ta được hệ phương trình
2
2
1 3 (1)
1 3 (2)
b
a
a a
b b
Trừ vế 2 phương trình cho nhau, ta được:
2 2
1 3 1 3 (3)
a b
a a b b
Xét hàm số:
2
( ) 1 3
t
f t t t
2
2
1
( ) 3 ln3
1
t
t t
f t
t
Vì
2 2
1
t t t
2
1 0
t t
( ) 0 t
f t
do đó hàm số
( )
f t
đồng biến trên
.
R
Khi đó
phương trình (3)
a b
thay vào phương trình (1) ta được:
2
1 3 (4)
a
a a
Theo nhận xét trên thì
2
1 0
a a
nên phương trình
2
(4) ln 1 ln3 0
a a a
(lấy
ln
hai vế)
Khóa học: Phương trình, bất phương trình
vô tỷ ôn thi Đại học
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang –Trung tâm gia sư VIP
Xét hàm số
2
( ) ln 1 ln3
g a a a a
2
1
( ) ln3 1 ln3 0,
1
g a a R
a
hay hàm
( )
g a
nghịch biến trên
R
và do phương trình (4) có nghiệm
0
a
nên phương trình (4) có nghiệm duy nhất
0.
a
Từ đó ta được nghiệm của hệ ban đầu là
1.
x y
Vậy nghiệm của hệ là
(1;1).
Ví dụ 8: Giải hệ phương trình:
3
4
1 8 1
1 2
x y x
x y
Giải
Điều kiện:
1, 0.
x y
Thế
y
từ phương trình (2) vào phương trình (1), ta được:
2
3
1 1 8
x x x
3 2
1 2 9 (3)
x x x x
Xét hàm số
3 2
( ) 2 9 1 .
f x x x x x
Ta có
2
( ) 3 2 2 0 1 .
f x x x x
Suy ra hàm số
( )
f x
luôn nghịch biến khi
1.
x
Mặt khác, hàm số
( ) 1
g x x
luôn nghịch biến khi
1
x
nên
2
x
là nghiệm duy nhất của phương
trình (3).
Vậy hệ có nghiệm duy nhất là
2;1 .
Ví dụ 9: Giải hệ phương trình:
2
2 2
4 1 3 5 2 0 1
4 2 3 4 7 2
x x y y
x y x
Giải
Điều kiện:
3 5
; .
4 2
x y
Phương trình
2
1 4 1 2 5 2 1 5 2
x x y y
Đặt
2 2
2
1 1 .
5 2
x u
u u v v
y v
Hàm
2
( ) 1
f t t t
có
2
( ) 3 1 0
f t t
nên
( )
f t
luôn đồng biến trên
R
, suy ra:
2
0
2 5 2
5 4
2
x
u v x y
x
y
Khóa học: Phương trình, bất phương trình
vô tỷ ôn thi Đại học
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang –Trung tâm gia sư VIP
Thế
y
vào phương trình (2) ta được:
2
2 2
5
4 2 2 3 4 0 (3)
2
x x x
Nhận thấy
0
x
và
3
4
x
không phải là nghiệm của phương trình (3). Xét hàm số:
2
2 2
5
( ) 4 2 2 3 4
2
g x x x x
trên
3
0; .
4
Ta có:
2 2
5 4 4
( ) 8 8 2 4 4 3 0
2
3 4 3 4
g x x x x x x
x x
trên
3
0; .
4
Suy ra
( )
g x
nghịch biến trên
3
0; .
4
Nhận thấy
1
0
2
g
nên phương trình (3) có nghiệm duy nhất
1
.
2
x
Với
1
2
x
thì
2.
y
Vậy hệ đã cho có một nghiệm
1
;2 .
2
Ví dụ 10: Giải hệ phương trình:
5 4 10 6
2
(1)
4 5 8 6 (2)
x xy y y
x y
Giải
Hiển nhiên
0.
y
Chia hai vế của phương trình (1) cho
5
0
y
ta được:
5
5
.
x x
y y
y y
Hàm số
5
( )
f t t t
có
4
( ) 5 1 0,
f t t t
nên hàm số
( )
f t
luôn đồng biến
2
.
x
y x y
y
Thế
2
x y
vào phương trình (2) ta được:
4 5 8 6.
x x
Tìm được
1.
x
Vậy hệ có 2 nghiệm
1; 1 .
Phương pháp đánh giá
Ví dụ 11: Giải hệ phương trình:
2
3 2
2
2
3
2
2 9
2
2 9
xy
x x y
x x
xy
y y x
y y
Giải
Cộng vế với vế hai phương trình ta được:
Khóa học: Phương trình, bất phương trình
vô tỷ ôn thi Đại học
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang –Trung tâm gia sư VIP
2 2
3 2 2
3
2 2
(1)
2 9 2 9
xy xy
x y
x x y y
Ta có:
2
3 2
3
2 9 1 8 2
x x x
3 2 3 2
2 2
2
2
2 9 2 9
xy xy
xy
xy
x x x x
Tương tự
2
3
2
2 9
xy
xy
y y
Mà theo bất đẳng thức Cosi
2 2
2
x y xy
(1) (1)
VT VP
Dấu ‘=’ xảy ra khi
1
0
x y
x y
Thử lại ta được nghiệm của hệ là
0;0 ; 1;1 .
Ví dụ 12: Giải hệ phương trình:
log log (1)
2 2 3 (2)
y x
x y
xy y
Giải
Điều kiện:
0, 0, 1, 1.
x y x y
Từ (1) có
2
2 0
t t
với
log .
y
t x
+)Với
log 1
y
x
ta được
2
3
log .
2
x y
+)Với
log 2
y
x
ta được
2
1
.
x
y
Thế vào (2) ta được:
2
1
2 2 3 (3)
y
y
Trường hợp này phương trình (3) vô nghiệm. Thật vậy:
Nếu
1
y
thì
2
1
2 2; 2 1
y
y
2
1
2 2 3.
y
y
Nếu
0 1
y
thì
2
1
1
y
suy ra:
2
1
2 1; 2 2
y
y
2
1
2 2 3.
y
y
Vậy hệ đã cho chỉ có một nghiệm
2 2
3 3
log ;log .
2 2
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:
Khóa học: Phương trình, bất phương trình
vô tỷ ôn thi Đại học
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang –Trung tâm gia sư VIP
1.
5 2 7
2 5 7
x y
x y
ĐS:
11;11
2.
2
1
x y x y
y x y x
ĐS:
17 5
;
12 3
3.
2 2
2 8 2
4
x y xy
x y
ĐS:
(4;4)
4.
5
3 2 4
42
5
3 2
42
y
y x
x
y x
ĐS:
5 2 6 5 2 6
;
27 9
5.
2 2
2 2
1 1 18
1 1 2
x x y x y x y y
x x y x y x y y
ĐS:
4;4
6.
2 4 2 4 2 4
2 3 3 2
3 2 1 2
1 1 ( ) 2
x y x y x x y
x y x x x y
ĐS:
1;1
7.
3
3
12
x y x y
x y x y
ĐS:
5 3
2; 2 ; ;
2 2
8.
2 2 2 2
2
4
x y x y
x y x y
ĐS:
5
; 6
2
9.
2 2
2
2
1
xy
x y
x y
x y x y
ĐS:
1;0 ; 2;3
10.
7 2 5
2 2
x y x y
x y x y
ĐS:
11 77
10 77;
2
11.
1
3 1 2
1
7 1 4 2
x
x y
y
x y
ĐS:
11 4 7 22 8 7
;
21 7
Khóa học: Phương trình, bất phương trình
vô tỷ ôn thi Đại học
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang –Trung tâm gia sư VIP
12.
3 3
1
y x x
x y x
ĐS:
1;1
13.
1
1
1 1 1
x
x
y y
xy y x
ĐS: Vô nghiệm
14.
2 2
2
2 1 2 2
xy x y x y
x y y x x y
ĐS:
5;2
15.
2 2
1
1
x y x y x y
x y
ĐS:
1;0 ; 0;1
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:
1.
2 2
3 3
3
3
2 3
6
x y x y xy
x y
ĐS:
8;64 ; 64;8
2.
6 5
6 2
9
x x y
x y x
x y xy
ĐS: Vô nghiệm
3.
10
6 6 14
x y
x y
ĐS: Vô nghiệm
4.
2 2
2 2
9
5
5 3
30 6
x x y
x
x x y
x x
y y
ĐS:
5;3
5.
2 3 4 3 2
3 8 2 3 2 3 4 3 4
16 1
16 1 15 2
x x x xy
x x x x y x
ĐS:
1
8;170 ; ;170
8
6.
2 1 1
3 2 4
x y x y
x y
ĐS:
2; 1
7.
2 2
1
2
x y
x y x y
ĐS:
0;1
Khóa học: Phương trình, bất phương trình
vô tỷ ôn thi Đại học
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang –Trung tâm gia sư VIP
8.
30
35
x y y x
x x y y
ĐS:
4;9 ; 9;4
9.
2 2
2 8 2
4
x y xy
x y
ĐS:
4;4
10.
7
1
78
x y
y x
xy
x xy y xy
ĐS:
4;9 ; 9;4
11.
2 2
4
128
x y x y
x y
ĐS:
8;8 ; 8; 8
12.
2 2
2 2
12
12
x y x y
y x y
ĐS:
5;3 ; 5;4
13.
20
16
5
y
x y x y
x
x
x y x y
y
ĐS:
5;4
14.
1 1 3
1 1 1 1 6
x y
x y y x y x
ĐS:
3;0 ; 0;3
Bài 3: Giải các hệ phương trình sau:
1.
2 1
2 1
2 2 3 1
2 2 3 1
y
x
x x x
y y y
ĐS:
1;1
2.
2
2
1 2 1
1 2 1
x y x
y x y
ĐS:
1;2 ; 2;2
3.
1 7 4
1 7 4
x y
y x
ĐS:
3;3
4.
3 3
3 3
x x y
y y x
ĐS:
1;1
Khóa học: Phương trình, bất phương trình
vô tỷ ôn thi Đại học
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang –Trung tâm gia sư VIP
5.
3
2
2
log log 4 10
2
x y
e e x y
x
y
ĐS:
2;2
6.
2 2
ln 1 ln 1
2 5 0
x y x y
x xy y
ĐS:
0;0
Bài 4: Giải hệ phương trình sau:
1.
2
4
4
32 3
32 6 24
x x y
x x y
ĐS:
3;16
2.
1 2
1 2
x y
y x
ĐS:
1 1
;
2 2
3.
2
2
2 2
2 2
x y
y x
ĐS:
0;0
4.
1 1
1 1
x x y
y y x
ĐS:
0;0
5.
2
3 2
2
2
3
2
2 9
2
2 9
xy
x x y
x x
xy
y y x
y y
ĐS:
0;0 ; 1;1
6.
3
3
4
4
1
1
x y
x y
ĐS:
1;0 ; 0;1
7.
2
2
2 2
2 2
x y
y x
ĐS:
1;1
Bài 5: Giải các hệ phương trình sau:
1.
2 2
ln 1 ln 1
12 20 0
x y x y
x xy y
ĐS:
0;0
2.
2 2
1 1
3 3
10
log log 1 0
x y
x y
ĐS:
3;1 ; 1;3
Khóa học: Phương trình, bất phương trình
vô tỷ ôn thi Đại học
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang –Trung tâm gia sư VIP
3.
3
3 .2 972
log 2
x y
x y
ĐS:
5;2
4.
2 2
2
2 4 1
2 4 2 1
x y
x y x y
ĐS: Vô nghiệm
5.
2 2
lg 1 lg13
lg lg 3lg 2
x y
x y x y
ĐS:
9 7
;
10 10
6.
3
27 .3 5
5
y x
x y
x y
x y
ĐS:
4;1
7.
1
2 2 1
2 1 1
1 2 2 1
x
x x
y y
y
ĐS: Vô nghiệm
