Sách chuyên đề tuyển tập các bài giảng về câu hỏi phụ hàm số ôn thi đại học 2014
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (4.04 MB, 87 trang )
Trung tâm luyện thi EDUFLY Khóa học: Các bài toán về hàm số ôn thi đại học
1
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên so
ạ
n: ThS. Đ
ỗ
Vi
ế
t Tuân
BÀI GIẢNG SỐ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
Cho hàm số
( )
y f x
trên khoảng
( ; )
a b
Tính chất 1: Hàm số
( )
y f x
trên khoảng
( ; )
a b
được gọi là:
i) Đồng biến nếu
'( ) 0 ( ; )
f x x a b
ii) Nghịch biến nếu
'( ) 0 ( ; )
f x x a b
Tính chất 2: Hàm số
( )
y f x
trên khoảng
( ; )
a b
được gọi là:
i) Đồng biến nếu
'( ) 0 ( ; )
f x x a b
, và
( ) 0
f x
tại hữu hạn điểm thuộc
khoảng
( ; )
a b
ii) Nghịch biến nếu
'( ) 0 ( ; )
f x x a b
và
( ) 0
f x
tại hữu hạn điểm thuộc
khoảng
( ; )
a b
Nhận xét: Trong các bài toán tìm điều kiện của tham số để hàm số đơn điệu chúng ta thường
dùng tính chất 2 để áp dụng.
B. CÁC VÍ DỤ MẪU
Dạng 1: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số
( )
y f x
Phương pháp:
Bước 1: Tìm tập xác định
Bước 2: Tính đạo hàm và tìm nghiệm của đạo hàm
Bước 3: Lập bảng xét dấu đạo hàm và kết luận khoảng đồng biến và nghịch biến.
Ví dụ 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số
3 2
5
y x x
Lời giải
Tập xác định:
.
D R
Ta có
3
5 10
'
x
y
x
. Khi đó phương trình
' 0 2.
y x
Bảng xét dấu
X
0 2
y’ + || - 0 +
Từ bảng xét dấu ta suy ra hàm số đồng biến trên khoảng
( ;0)
và
(2; )
Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; -2).
Trung tâm luyện thi EDUFLY Khóa học: Các bài toán về hàm số ôn thi đại học
2
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên so
ạ
n: ThS. Đ
ỗ
Vi
ế
t Tuân
Ví dụ 2: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số
2 3
3sin cos
2
x
y x x
trên khoảng
0
( , ).
Lời giải:
Tập xác định:
.
D R
Ta có
' 3 cos sin 1
y x x
, khi đó phương trình
' 0 sin 3cos 1 sin( ) sin
3 6
2
2
7
2
6
y x x x
x k
x k
Trên khoảng 0
( , ).
y’ = 0 có một nghiệm
.
2
x
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng
( ; )
2
và nghịch biến trên khoảng
(0; )
2
.
Dạng 2: Tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên một khoảng cho trước.
Phương pháp 1:
Bước 1: Cô lập tham số m sang một vế dạng
( )
f x m
Bước 2: Tính đạo hàm xét dấu và lập bảng biến thiên trên khoảng cho trước
Bước 3: Dựa vào bảng biến thiên để kết luận điều kiện của tham số m.
Ví dụ 3: Tìm m để hàm số
2
2 3
1
x x m
y
x
đồng biến với mọi x > 3.
Lời giải:
Tập xác định:
1
\
D R
Khi đó, ta có
2
2
2 4 3
1
'
x x m
y
x
.
Để hàm số đồng biến với mọi x > 3, thì
2
' 2
2
2
2 4 3
0 3 2 4 3 0, 3.
1
2 4 3 3.
x x m
y x x x m x
x
x x m x
Xét hàm số
2
2 4 3
( )
f x x x
trên miền x > 3, ta có
4 4 0 3
'( ) .
f x x x
Trung tâm luyện thi EDUFLY Khóa học: Các bài toán về hàm số ôn thi đại học
3
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên so
ạ
n: ThS. Đ
ỗ
Vi
ế
t Tuân
Vậy f(x) là hàm số đồng biến với
3
x
suy ra
3 9
( ) ( )
f x f
, vậy để
2
2 4 3 3
x x m x
thì
3 9
( ) .
m f
Phương pháp 2:
Dựa vào định lý dấu tam thức bậc hai và định lý viet
Ví dụ 4: Tim m để hàm số
3 2
3 (4)
y x x mx m
là nghịch biến trên một đoạn có độ dài
bằng 1.
Lời giải:
Tập xác định:
.
D R
Ta có
2
3 6'
y x x m
. Điều kiện để hàm số (4) nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng
bằng 1 thì phương trình:
2
3 6 0
x x m
(4’) phải có hai nghiệm
1 2
,
x x
sao cho
2 1
1
(*)
x x
Điều kiện để (4’) có hai nghiệm phân biệt là
0 9 3 0 3
'
.
m m
Khi đó
2
2
1 2 1 2 1 2
1 4 1
(*) ( )x x x x x x
. Áp dụng định lý viet, ta có:
4
9 1 6
3
.
m
m
So sánh với điều kiện suy ra không có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 5: Cho hàm số
3 2 2
ax (2 7 7) 2( 1)(2 3)
y x a a x a a đồng biến trên
[2:+ )
.
Lời giải
Ta có
2 2
3 2 2 7 7
' ( )
y x ax a a
. Điều kiện để hàm số đồng biến trên
2;
là
2 2
3 2 2 7 7 0 2
' ( ) (*) ;y x ax a a x
Ta có
2
' 7 21 21 0
a a a
Gọi
1 2 2 1
, ( )
x x x x
là hai nghiệm của phương trình y’ = 0,
khi đó tập nghiệm của bất phương trình (*) là
1 2
( ; ] [ ; )
x x
.
Vậy để hàm số đồng biến trên khoảng
2
;
, thì
1 2
[2; ) ( ; ] [ ; )
x x
nghĩa là
1 2
2
x x
.
Điều kiện là:
1 2
1 2
2
1 2 1 2 1 2
2
4
4
4
3
( )
2 2 0 2( ) 4 0
2 7 7 4
4 0
3 3
a
x x
x x
theo viet
x x x x x x
a a a
Trung tâm luyện thi EDUFLY Khóa học: Các bài toán về hàm số ôn thi đại học
4
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên so
ạ
n: ThS. Đ
ỗ
Vi
ế
t Tuân
2
6
6
5
1
5
2
1
2 3 5 0
2
a
a
a
a
a a
Dạng 3: Ứng dụng tính đơn điều trong chứng minh bất đẳng thức
Phương pháp
Sử dụng các kiến thức sau:
Dấu hiệu để hàm số đơn điệu trên một đoạn.
f ( x) đồng biến trên [a; b] thì
( ) ( ) ( )
f a f x f b
f(x) nghịch biến trên [a; b] thì
( ) ( ) ( )
f a f x f b
Ví dụ 6: Chứng minh rằng
3
tan , (0; )
3 2
x
x x x
Lời giải:
Xét hàm số
3
( ) tan ,
3
x
f x x x
ta có
2 2 2
2
1
'( ) 1 tan
cos
f x x x x
x
Dễ thấy
tan (0; )
2
x x x
nên
'( ) 0 (0; )
2
f x x
Vậy hàm số
( )
f x
đồng biến trên khoảng
(0; )
2
suy ra
3
( ) (0) 0 tan (0; )
3 3
x
f x f x x x
Ví dụ 7: Chứng minh bất đẳng thức sau:
2
cos 2 , .
2
x
x
x e x x R
Lời giải:
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
2
cos 2 0, .
2
x
x
x e x x R
Xét hàm số
2
( ) cos 2 ( ).
2
x
x
f x x e x x R
Ta có
'
( ) sin 1
x
f x x e x
và
''
( ) cos 1 1 cos 0,
x x
f x x e x e x R
Vậy
'
( ) 0
f x
có nghiệm duy nhất
0.
x
Bảng biến thiên
Trung tâm luyện thi EDUFLY Khóa học: Các bài toán về hàm số ôn thi đại học
5
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên so
ạ
n: ThS. Đ
ỗ
Vi
ế
t Tuân
x
0
'( )
f x
- 0 +
( )
f x
Từ bảng biến thiên chúng ta suy ra:
( ) 0
f x
với
x R
. (đpcm).
C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: Với giá trị nào của m, hàm số:
2
1
m
y x
x
đồng biến trên mỗi khoảng xác định của
nó. ĐS:
0.
m
Bài 2: Xác định m để hàm số
3
2
( 1) ( 3)
3
x
y m x m x
đồng biến trên khoảng (0; 3).
ĐS:
12
.
7
m
Bài 3: Cho hàm số
4
mx
y
x m
a. Tìm m để hàm số tăng trên từng khoảng xác định. ĐS:
2 2.
m
b. Tìm m để hàm số tăng trên
(2; )
. ĐS:
2, 2
m m
c. Tìm m để hàm số giảm trên
( ;1).
ĐS:
2 1.
m
Bài 4: Cho hàm số
3 2
3(2 1) (12 5) 2
y x m x m x
. Tìm m để hàm số:
a. Liên tục trên R. ĐS:
.
m R
b. Tăng trên khoảng
(2; ).
ĐS:
5
.
12
m
Bài 5: Cho hàm số
3 2
3 3 1 (1),
y x x mx m
là tham số thực
Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng
0;
. ĐS:
1.
m
0
Trung tâm luyện thi EDUFLY Khóa học: Các bài toán về hàm số ôn thi đại học
6
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên so
ạ
n: ThS. Đ
ỗ
Vi
ế
t Tuân
Bài 6: Cho hàm số
3 2
1 1
1 3 2 .
3 3
y mx m x m x
Tìm m để hàm số đồng biến với
2.
x
ĐS:
2
.
3
m
Bài 7: Cho hàm số
3 2
3 2 1 12 5 2.
y x m x m x
Tìm m để hàm số đồng biến trên
; 1 2; .
ĐS:
5
1 .
12
m
Bài 8: Cho hàm số
2
6 2
.
2
mx x
y
x
Tìm m để hàm số nghịch biến trên
[1; ).
ĐS:
14
0.
5
m
Bài 9: Cho hàm số
mx m
y
x m
.
a) Tìm m để hàm số đồng biến trên tập xác định. ĐS:
1 0.
m
b) Tìm m để hàm số đồng biến với
3.
x
ĐS:
1 0.
m
Bài 10. Cho hàm số
2
( ) .
y m x x m
Tìm m để hàm số đồng biến trên
1;2 .
ĐS:
3.
m
Bài 11: Chứng minh rằng với mọi
2
0
x
ta có
xxx tan
3
1
sin
3
2
.
Hướng dẫn: Xét sự biến thiên của hàm số
xxxxf tan
3
1
sin
3
2
)(
với
2
;0
x
.
Trung tâm luyện thi EDUFLY Khóa học: Các bài toán về hàm số ôn thi đại học
7
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên so
ạ
n: ThS. Đ
ỗ
Vi
ế
t Tuân
BÀI GIẢNG SỐ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Khái niệm cực trị của hàm số
Giả sử hàm số
y f x
xác định trên
.
D
o
x x
gọi là điểm cực đại của hàm số nếu
, , ,
o
a b x a b D
và
,
o
f x f x
\, ,
o o o
x a b x f x
gọi là giá trị cực đại của hàm số.
o
x x
gọi là điểm cực tiểu của hàm số nếu
, , ,
o
a b x a b D
và
,
o
f x f x
\, ,
o o o
x a b x f x
gọi là giá trị cực tiểu của hàm số.
2. Quy tắc tìm cực trị của hàm số
Quy tắc 1
+ Tìm tập xác định của hàm số.
+ Tính đạo hàm
'
f x
. Tìm
x
mà tại đó
' 0
o
f x
hoặc tại đó mà
f x
liên tục
nhưng không có đạo hàm.
+ Lập bảng biến thiên.
+ Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực đại, cực tiểu.
Quy tắc 2
+ Tìm tập xác định của hàm số.
+ Tính đạo hàm
'
f x
. Tìm các giá trị
, 1,2
i
x i để
' 0.
f x
+ Tính
''
f x
và
"
i
f x
.
+ Dựa vào dấu của
"
f x
suy ra cực trị.
Nếu
" 0
i i
f x x x
là điểm cực tiểu.
Nếu
" 0
i i
f x x x
là điểm cực đại.
Trung tâm luyện thi EDUFLY Khóa học: Các bài toán về hàm số ôn thi đại học
8
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên so
ạ
n: ThS. Đ
ỗ
Vi
ế
t Tuân
B. CÁC VÍ DỤ MẪU
Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số
Phương pháp:
Cách 1: Dùng bảng biến thiên
Cách 2: Dùng y’’
Ví dụ 1: Tìm cực trị của hàm số
sin 2 os2 .
f x x c x
Lời giải
Hàm số đã cho xác định trên .
Ta có:
' 2cos2 2sin 2
f x x x
" 4sin 2 4cos2
f x x x
' 0 2cos2 2sin 2 0 , ( )
8 2
k
f x x x x k Z
Vậy hàm số đạt cực đại tại
2 , 2
8
C D
x k y
, hàm số đạt cực tiểu tại
2 , 2.
8
CT
x k y
Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số đạt cực trị tại điểm
0
x
Phương pháp: Dùng bảng biến thiên hoặc dùng điều kiện của y’’
Ví dụ 2: Tìm giá trị của để hàm số
3 2 2
3 1 2
f x x mx m x
đạt cực đại tại
2.
x
Lời giải
Hàm số đã cho xác định trên
.
Ta có:
2 2
y' 3x 3mx m 1
2
2 2
2
3 6 3
3
' 0 3 3 1 0
3 6 3
3
m m
x
y x mx m
m m
x
Trung tâm luyện thi EDUFLY Khóa học: Các bài toán về hàm số ôn thi đại học
9
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên so
ạ
n: ThS. Đ
ỗ
Vi
ế
t Tuân
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta có:
Hàm số đạt cực đại tại
2
3 6 3
2 2 11
3
m m
x m
Vậy với
11
m
thì hàm số đạt cực đại tại
2.
x
Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để hàm số có điêm cực trị thỏa mãn điều kiện của
đẳng thức cho trước.
Phương pháp: Dùng định lý viet
Ví dụ 3: Tìm
m
để hàm số
3 2
3 4 1
y x m x m x m
đạt cực trị tại
1 2
,
x x
sao cho
1 2
2 .
x x
Lời giải
Tập xác định
.
D
2
2
' 3 2 3 4 1
' 0 3 2 3 4 1 0
y x m x m
y x m x m
Để hàm số đạt cực trị tại
1 2
,
x x
sao cho
1 2
2
x x
thì
1
có hai nghiệm phân biệt
1 2
,
x x
thỏa mãn
1 2
2
x x
.
1 2 1 2 1 2
2 2 0 2 4 0
x x x x x x
Áp dụng định lý Viet ta có:
4 3
4 1 1
4 0 8 1 0
3 3 8
m
m
m m
x
2
3 6 3
3
m m
2
3 6 3
3
m m
f’(x)
0
0
f x
CD
CT
Trung tâm luyện thi EDUFLY Khóa học: Các bài toán về hàm số ôn thi đại học
10
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên so
ạ
n: ThS. Đ
ỗ
Vi
ế
t Tuân
Vậy
1
8
m
thì hàm số đã cho đạt cực trị tại
1 2
,
x x
sao cho
1 2
2
x x
.
Ví dụ 4: Cho hàm số
3
1
.
3
y x x m
Tìm m để
hàm số có hai cực trị trái dấu.
Lời giải
Điểm cực trị của hàm số là nghiệm của phương trình:
2
1
' 0 1 0
1
x
y x
x
Giá trị cực trị của hàm số tương ứng là
1
2
2
(1)
3
2
( 1)
3
y y m
y y m
Yêu cầu bài toán tương đương với:
1 2
2 2 2 2
0 ( )( ) 0 .
3 3 3 3
y y m m m
Nhận xét: Các em học sinh cần phân biệt 3 khái niệm là:
Điểm cực trị của hàm số là
,
CD CT
x x
Cực trị của hàm số là ,
CD CT
y y
Điểm cực trị của đồ thị hàm số là
, , ,
CD CD CT CT
x y x y
Dạng 4: Bài toán cực trị liên quan đến góc, khoảng cách và tam giác
Ví dụ 5: Cho hàm số
4 2
2 1
y x mx
. Tìm giá trị của tham số
m
để đồ thị hàm số có ba
điểm cưc trị và đường tròn đi qua ba điểm này có bán kính bằng
1.
Lời giải
Ta có:
3 2
' 4 4 4
y x mx x x m
2
0
' 0
x
y
x m
Hàm số có ba cực trị
'
y
đổi dấu ba lần trên
' 0
D y
có ba nghiệm phân biệt
0
m
0.
m
Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là
2 2
0;1 , ;1 , ;1
A B m m C m m
Theo tính chất của đồ thị hàm bậc bốn trùng phương, ta có tam giác
ABC
cân tại
.
A
Gọi
D
là
trung điểm của cạnh
BC
thì Xét
ADC
vuông tại
D
, ta có
sin
AD
C
AC
Trung tâm luyện thi EDUFLY Khóa học: Các bài toán về hàm số ôn thi đại học
11
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên so
ạ
n: ThS. Đ
ỗ
Vi
ế
t Tuân
Gọi
R
là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
,
Áp dụng định lí hàm số sin trong tam giác
ABC
, ta có:
A
2
.
2 2 2
sin
AB AB AC AC
R
C AD AD
4 2 3
2 2 1 0
m m m m m
2
1
1 1 0
1 5
2
m
m m m
m
B D C
Kết hợp điều kiện
0
m
ta được
1 5
1, .
2
m m
Ví dụ 6: Cho hàm số
2
1 2
.
x m x m
y
x m
Tìm
m
để hàm số có cực đại, cực tiểu và giá trị
cực trị cùng dấu.
Lời giải
Tập xác định
\{ }
D m
2
2
2
'
2
x mx
y
x m
2 2
0 2 2 0 '
.
y g x x mx m x m
Hàm số có cực đại, cực tiểu
'
y
đổi dấu 2 lần trên
D
.
2
2
Δ 0
1
2 1 0
0
1
2 2 0
g
m
m
g m
m
m
Khi đó tọa độ điểm cực trị thỏa mãn hệ
'
'
'
2
. . '
'
1
0
u x
u x
y
y
u x u x
v x
y x m
v x
v x v x
u x v x u x v x
y
Do đó
2 1; 2 1
CĐ CĐ CT CT
y x m y x m
C
Đ
y
và
CT
y
trái dấu
2
. 0 6 9 0 3
CĐ CT
y y m m m
Vậy
m
thỏa mãn yêu cầu của đề bài
1
m
hoặc
1
m
và
3
m
.
Trung tâm luyện thi EDUFLY Khóa học: Các bài toán về hàm số ôn thi đại học
12
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên so
ạ
n: ThS. Đ
ỗ
Vi
ế
t Tuân
Ví dụ 7: Tìm
m
để hàm số
3 2
2 3
y x x m
có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị tạo với
đường thẳng
5 ( )
4
m
y x
một góc
60 .
o
Lời giải
Điểm cực trị của hàm số là nghiệm của phương trình:
2
0
6 6 0
1
x
x x
x
Vậy giá trị cực trị của hàm số là
1
2
(1) 1
(0)
y y m
y y m
Điểm cực trị của đồ thị hàm số lần lượt là (0; m) và (1; m-1).
Phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu có dạng
0
0
1 1
x y m
x y m
(d)
Véc tơ pháp tuyến của (d) và
( )
lần lượt là
(1;1), ( ; 4).
d
n n m
Yêu cầu bài toán tương đương với
0
2
2 2 2
| 4 | 1
cos( , ) cos60
2
2 16
2( 8 16) 16 16 16 0
8 4 3
8 4 3
d
m
n n
m
m m m m m
m
m
Ví dụ 8: Tìm m để đồ thị hàm số
3 2 2
3
y x x m x m
có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua
đường thẳng
2 5 0
x y
.
Lời giải
Hàm số xác định trên
.
Ta có
2 2
' 3 6
y x x m
Để hàm số có hai điểm cực trị thì
'
y
phải đổi dấu hai lần
' 0
y
có hai nghiệm phân biệt
2 2
' 0 9 3 0 3 3 3
m m m .
Thực hiện phép chia
f x
cho
'
f x
ta có:
2
2
1 2
1 ' 3
3 3 3
m
f x x f x m x m
Với
3 3
m thì
' 0
f x
có hai nghiệm phân biệt
1 2
,
x x
và hàm số
f x
đạt cực trị tại
1 2
, .
x x
Trung tâm luyện thi EDUFLY Khóa học: Các bài toán về hàm số ôn thi đại học
13
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên so
ạ
n: ThS. Đ
ỗ
Vi
ế
t Tuân
Do
1
2
0
0
f x
f x
nên
2
2
1 1 1
2
2
2 2 2
2
3
3 3
2
3
3 3
m
y f x m x m
m
y f x m x m
Suy ra phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là
2
2
2
: 3 .
3 3
m
d y m x m
Gọi
1 1 2 2
, , ,
A x y B x y
là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho khi đó trung điểm
I
của
AB
có tọa độ là
2
1 2 1 2
( ; ) (1; 2)
2 2
x x y y
I m m
.
Các điểm cực trị
1 1 2 2
, , ,
A x y B x y
đối xứng với nhau qua đường thẳng
1 5
:
2 2
y x
d
và trung điểm
I
của
AB
phải thuộc
d
2
2
2
2 1
3 . 1;
0
3 2
0.
1 0
2 1 5
3 .1 .1
3 3 2 2
m
m
m
m m
m
m m
C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1.Tìm cực trị của các hàm số sau:
a.
2
2 3 1
y x x
ĐS:
2 2 13
; 5 , ;
5 5 5
CT CD
b.
4
48
x
y
x
ĐS:
2;32 , 2; 32
CT CD
c.
4 2
12 3
xy x
ĐS:
6; 33 ; 6; 33 , 0;3
CT CD
d.
2
sin 3 cos , [0; ]
y x x x
ĐS:
5 7
;
6 4
CD
Bài 2. Tìm cực trị của các hàm số sau:
a.
1
cos
2
os2
y x c
x
ĐS:
2 3 2 3
2 ; ; 2 ;
3 4 3 4
CT k k
Trung tâm luyện thi EDUFLY Khóa học: Các bài toán về hàm số ôn thi đại học
14
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên so
ạ
n: ThS. Đ
ỗ
Vi
ế
t Tuân
3 1
2 ; ; 2 1 ;
2 2
CD k k
b.
2 3
3sinx cos
2
x
y x
ĐS:
3
2 ; 3 2
2 2 2
CT k k
3
2 ; 3 2
6 2 6
CD k k
Bài 3: Tìm các hệ số
, ,
a b c
sao cho hàm số
3 2
y x ax bx c
đạt cực tiểu tại điểm
1, 1 3
x f
và đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ là
2.
ĐS:
3; 9; 2
a b c
Bài 4: Tìm các hệ số
, ,
a b c
sao cho hàm số
3 2
y x ax bx c
đạt cực trị bằng 0 tại điểm
2
x
và đồ thị hàm số đi qua điểm
1;0
A
. ĐS:
3; 0; 4
a b c
Bài 5: Tìm m để hàm
m
x
mxx
y
4
2
đạt cực tiểu tại
0
x 1
. ĐS:
1
m
Bài 6: Tìm m để hàm số
a. đạt cực đại tại . ĐS:
2
m
b. đạt cực tiểu tại . ĐS:
1
m
Bài 7: Tìm m để các hàm số sau có cực trị
a.
3 2 2 2
3 3 1 1
y x mx m x m
có cực trị. ĐS: 22 m
b.
1
mx
5mxx
y
2
có cực trị. ĐS:
2
1
2
1
m
Bài 8: Tìm m để các hàm số sau có cực trị thoả mãn điều kiện cho trước.
a.
4 2
2 1 5
y x m x m
có 3 cực trị. ĐS: 1
m
b.
3
1
3
y x x m
có hai cực trị trái dấu. ĐS:
3
2
3
2
m
c.
3 2 2 2
3 1 3 7 1 1
y x m x m m x m
đạt cực tiểu tại một điểm có hoành độ
nhỏ hơn 1. ĐS:
1
m
Bài 9: Tìm m để đồ thị hàm số
3 2 2
3 2 3 4
y x mx m m x
có hai điểm cực trị nằm về hai
phía của Oy ĐS: 13
m
Trung tâm luyện thi EDUFLY Khóa học: Các bài toán về hàm số ôn thi đại học
15
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên so
ạ
n: ThS. Đ
ỗ
Vi
ế
t Tuân
Bài 10: Tìm m để hàm số
3 2 2 2
2( 1) ( 4 1) 2 2
y x m x m m x m
có hai điểm cực trị
1 2
,
x x
thoả mãn điều kiện
1 2
1 2
1 1 1
( )
2
x x
x x
. ĐS:
1;5
m
Bài 11: Tìm
m
để đồ thị hàm số
3 2 2
y x 3x m x m
có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua
đường thẳng
x 2y 5 0
ĐS:
0
m
Bài 12: Tìm m để đồ thị hàm số
3 2 2
1
y x (m 2)x (5m 4)x m 1
3
đạt cực trị tại
1 2
x , x
sao cho
1 2
x 1 x
. ĐS:
3
m
Bài 13: Tìm m để đồ thị hàm số
3 2
1
y x mx x m 1
3
có hai điểm cực trị
1 1 2 2
(x , y ), (x , y )
sao cho khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất. ĐS:
0
3
132
min md
Bài 14: Cho hàm số
3 2 2 3
3 3( 1) 1
y x mx m x m m
. Tìm m để hàm số
1
có cực trị
đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ
O
bằng
2
lần khoảng
cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ
O
. ĐS:
223;223 mm
Bài 15: Cho hàm số
4 2 2
2( 2) 5 5
y x m x m m
. Tìm
m
để đồ thị hàm số có ba điểm cực
trị tạo thành tam giác vuông cân. ĐS: 2
9
1
3
m
Bài 16: Cho hàm số
3 2
3
y x x m
. Tìm
m
để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị và sao
cho góc
120
o
AOB
. ĐS: 4
3
2
m
Bài 17: Tìm
m
để hàm số
3 2 2
3 1 2 3 2 1
y x m x m m x m m có đường thẳng đi
qua hai điểm cực trị tạo với đường thẳng
1
5
4
y x
một góc
45 .
o
ĐS:
3 15
2
m
Bài 18: Cho hàm số
2
2 2 4
2
x m x m
y
x
.
Chứng minh rằng với mọi
m
hàm số luôn có cực trị và khoảng cách giữa hai điểm cực trị không
phụ thuộc
m
. Tính độ dài khoảng cách đó. ĐS:
4 5
Bài 19: Tìm
m
để hàm số
3 2
2 1 1
y mx m x x
đạt cực đại tại
1
x
, đạt cực tiểu tại
2
x
và
2 1
16
.
9
x x ĐS:
3
.
7
m
Trung tâm luyện thi EDUFLY Khóa học: Các bài toán về hàm số ôn thi đại học
16
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên so
ạ
n: ThS. Đ
ỗ
Vi
ế
t Tuân
Bài 20: Tìm
m
để đồ thị hàm số
3 2
3 5
y x mx x
có hai điểm cực đại, cực tiểu và đường
thẳng đi qua hai điểm cực trị đó vuông góc với đường thẳng
9 14 1 0.
x y
ĐS:
4
m
Bài 21: Cho hàm số
4 2 2
2(1 ) 1.
y x m x m
Tìm m để hàm số có 3 cực trị tạo thành một tam
giác có diện tích lớn nhất. ĐS: m = 0.
Trung tâm luyện thi EDUFLY Khóa học: Các bài toán về hàm số ôn thi đại học
17
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên so
ạ
n: ThS. Đ
ỗ
Vi
ế
t Tuân
BÀI GIẢNG SỐ 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA
HÀM SỐ
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Định nghĩa
Cho hàm số )(xfy
xét trên tập .
- Số gọi là giá trị lớn nhất của hàm số trên nếu .
- Số gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên nếu .
2. Phương pháp tìm min và max
Phương pháp 1: Bảng biến thiên
Bước 1: Tìm miền xác đinh và tính y’
Bước 2: Lập bảng biến thiên
Bước 3: Kết luận giá trị min và max dựa vào bảng biến thiên.
Phương pháp 2: Phương pháp hàm liên tục trên đoạn.
B. CÁC VÍ DỤ MẪU
Ví dụ 1: Tìm GTLN và GTNN của hàm số
2
2
3( 1)
( )
2 2
x
f x
x x
trên khoảng
;
Lời giải
Tập xác định
Ta có
2
2 2
6
1 (1)
3 3
'( ) ; '( ) 0
5
(2 2)
1 ( 1) 2
x f
x
f x f x
x x
x f
2
3
)(
xfLim
x
Trung tâm luyện thi EDUFLY Khóa học: Các bài toán về hàm số ôn thi đại học
18
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên so
ạ
n: ThS. Đ
ỗ
Vi
ế
t Tuân
Bảng biến thiên
2
Dựa vào bảng biến thiên ta có:
12)(max xxf
D
;
1
5
6
)(min xxf
D
Ví dụ 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số
2
4)( xxxf
trên miền xác định của nó.
Lời giải
Tập xác định
2;2D
Ta có: 20)('
4
1)('
2
xxf
x
x
xf
2)2(;22)2(;0)2(;2)2( ffff
Vậy
222)(max xxf
D
; 22)(min xxf
D
Ví dụ 3: Tìm GTLN và GTNN của hàm số
x
x
y
2
ln
trên đoạn
3
;1 e
Lời giải
Ta có :
2
)ln2(ln
'
x
xx
y
;
32
3
;1
;11
2ln
0ln
0'
eex
ex
x
x
y
Khi đó 0)1(
y ;
2
2
4
)(
e
ey
;
3
3
9
)(
e
ey
Vậy
2
2
;1
4
max
3
ex
e
y
e
; 10min xy
Trung tâm luyện thi EDUFLY Khóa học: Các bài toán về hàm số ôn thi đại học
19
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên so
ạ
n: ThS. Đ
ỗ
Vi
ế
t Tuân
Ví dụ 4: Tìm GTNN của hàm số
)sincos2(sin
cos
2
xxx
x
y
trên khoảng
3
;0
Lời giải
Hàm số xác định trên khoảng
3
;0
3
;0
x
ta có
0cos
x
. Chia cả tử và mẫu cho
x
cos
ta được:
)tan2(tan
1
tan2
1
2
xxx
y
Đặt
x
t
tan
thì
3;0
3
;0
tx
Khi đó ta có:
)(
)2(
1
2
1
2
tg
ttt
y
1
0
0430)('
)2(
43
2
1
)('
3
24
2
2
t
t
ttttg
tt
tt
t
tg
Bảng biến thiên
t
0 1
3
)(' tg
- 0 +
)(tg
2
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy
4
12)(minmin
1;0
3
;0
xttgy
Ví dụ 5: Cho các số thực không âm
y
x
,
thay đổi và thỏa mãn 1
yx . Tìm giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất của biểu thức
xyxyyxS 253434
22
.
Lời giải
Ta có
S
xyxyyxyx 2591216
3322
xyyxxyyxyx 3431216
3
22
xyxyyx 34311216
22
12216
22
xyyx
Trung tâm luyện thi EDUFLY Khóa học: Các bài toán về hàm số ôn thi đại học
20
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên so
ạ
n: ThS. Đ
ỗ
Vi
ế
t Tuân
Đặt
xy
t
với
4
1
;0
4
1
4
0
2
t
yx
xy
Ta được
12216
2
ttS
với
4
;0
t
4
1
;0
16
1
0'232' tStS
Bảng biến thiên
t
0
16
1
4
1
)(' tg
0
)(tg
12
16
191
2
25
Dựa vào bảng biến thiên ta có:
4
32
;
4
32
4
32
;
4
32
16
1
2
25
)(minmin
4
1
;0
yx
yx
ttgS
2
1
4
1
2
25
)(maxmax
4
1
;0
yxttgS
Ví dụ 6: Tìm m để phương trình
xxmxxx 4512
(1) có nghiệm.
Lời giải
Điều kiện:
40
x
.
Khi đó
)(
45
12
1 xF
xx
xxx
m
Ta có:
12)( xxxxf
có
)(4;0,0
122
1
2
3
)(' xfx
x
x
xf
tăng trên
4;0 và
4;0,0)( xxf .
Trung tâm luyện thi EDUFLY Khóa học: Các bài toán về hàm số ôn thi đại học
21
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên so
ạ
n: ThS. Đ
ỗ
Vi
ế
t Tuân
xxxg 45)(
có
)(4;0,0
42
1
52
1
)(' xgx
xx
xg
giảm trên
4;0
và
4;0,0)( xxg
Do đó
)
(
x
F
là hàm tăng trên
4;0 .
Ta có bảng biến thiên:
x
0
4
)(' xF
)(xF
)0(F
)4(F
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy để (1) có nghiệm )4()0( FmF
12
25
12
m
Ví dụ 7: Cho x, y là hai số thực thỏa mãn
24
3
xyyx
. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
của biểu thức
123
222244
yxyxyxA
.
Lời giải
Từ giả thiết ta có
3 2 3
2 2
1
4 2 1 .
2
x y x y x y xy x y x y
Ta viết
2
4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 2 1 3 2 1
A x y x y x y x y x y x y
2 2
2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2
1
3 2 1
4
9
2 1
4
x y x y x y
x y x y
Đặt
2 2
t x y
, khi đó biểu thức
2
9 1
2 1 ( )
4 2
A t t t
Dễ thấy dùng đạo hàm suy ra
min
9 1 1
.
16 2 2
A t x y
Trung tâm luyện thi EDUFLY Khóa học: Các bài toán về hàm số ôn thi đại học
22
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên so
ạ
n: ThS. Đ
ỗ
Vi
ế
t Tuân
C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
1
1
2
x
x
y
trên đoạn
2;1 .
Đs:
)1(0min);1(2max fyfy
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
1)3(
2
xxy
trên đoạn
2;0 .
Đs:
5min;3max yy
Bài 3: Cho 1,0,0
yxyx .Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
yx
P 33
2
.
Đs:
3
3
3
3
3
2
3
log1;
2
3
log
4
9
min));0;1((10max yPyP
Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
x
x
xx
y
66
44
cos
sin
cossin
.
Đs:
1max;
7
5
min yy
.
Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
2
1
1
3
1
1
)(
2
2
2
3
2
2
xx
xx
xx
xx
xf
Đs: 2min;2max
yy
Bài 6: Cho hai số thực 0,0
yx
thay đổi thỏa mãn điều kiện xyyxxyyx
22
)( . Tìm
giá trị lớn nhất của biểu thức
33
11
yx
A
. Đs:
2
1
16max yxA
Bài 7: Cho x, y là hai số thực dương thay đổi thỏa mãn
4
5
yx . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
yx
S
4
14
. Đs: )1(5max SS
Bài 8: Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn
2
22
yx
. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của biểu thức
xyyxP 32
33
. Đs:
7min,
2
13
max PP
Bài 9: Cho
2
3
;0,, zyxzyx
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
zyx
zyxP
111
.
Trung tâm luyện thi EDUFLY Khóa học: Các bài toán về hàm số ôn thi đại học
23
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên so
ạ
n: ThS. Đ
ỗ
Vi
ế
t Tuân
Bài 10: Cho x, y là hai số thực thỏa mãn
24
3
xyyx
. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
biểu thức
123
222244
yxyxyxA
. Đs:
2
1
16
9
min yxA
Bài 11: Tìm m để phương trình
mxxxxx 4sincossin4cossin4
26644
có nghiệm.
Đs:
1
16
9
m
Bài 12: Giả sử x, y, z là các số thực dương thỏa mãn
2 2 2
3
x y z
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức:
2 2 2
1 1 1 1x y z
P
y z x x y z
Trung tâm luyện thi EDUFLY Khóa học: Các bài toán về hàm số ôn thi đại học
24
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên so
ạ
n: ThS. Đ
ỗ
Vi
ế
t Tuân
BÀI GIẢNG SỐ 4: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị hàm số.
Bài toán: Cho đồ thị
:
C y f x
và điểm
,
o o o
M x y C
. Viết phương trình tiếp
tuyến của tại
, .
o o o
M x y
Phương pháp: Phương trình tiếp tuyến của
C
tại
,
o o o
M x y
có dạng
0
'
o o
y y f x x x
Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến theo hệ số góc cho trước.
Bài toán: Cho đồ thị
:
C y f x
và một số k
.Viết phương trình tiếp tuyến của
C
có hệ số góc là
k
.
Phương pháp:
+ Giả sử tiếp tuyến có hệ số góc k tiếp xúc với
:
C y f x
tại điểm có hoành độ
'
i i i
x f x k x
là nghiệm của phương trình
' .
f x k
+ Giải phương trình
' , 1;2
i
f x k x x i
+ Phương trình tiếp tuyến tại
i
x
là
i i
y k x x y
* Các dạng biểu diễn của hệ số góc
k
+ Dạng trực tiếp
.
k
+ Tiếp tuyến tạo với chiều dương
O
x
góc
tan
k
+ Tiếp tuyến song song với đường thẳng
: a .
d y x b k a
+ Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
: a 1, 0.
d y x b ka a
+ Tiếp tuyến tạo với đường thẳng
: a
d y x b
một góc
tan .
1
k a
ka
Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước.
Bài toán: Cho đồ thị
:
C y f x
và điểm
,
A a b
. Viết phương trình tiếp tuyến của
C
đi qua
.
A
Trung tâm luyện thi EDUFLY Khóa học: Các bài toán về hàm số ôn thi đại học
25
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên so
ạ
n: ThS. Đ
ỗ
Vi
ế
t Tuân
Phương pháp:
Cách 1:
+ Giả sử đường thẳng
d
đi qua
,
A a b
tiếp xúc với
:
C y f x
tại điểm có hoành
độ
i
x
phương trình đường thẳng
d
có dạng
'
i i i
y f x x x f x
+ Do
, ' *
i i i
A a b d b f x a x f x
+ Giải phương trình
* .
i
x
+ Phương trình tiếp tuyến tại
i
x
là
'
i i i
y f x x x f x
Cách 2:
+ Đường thẳng
d
đi qua
,
A a b
với hệ số góc
k
có phương trình là
y k x a b
.
+ Đường thẳng
d
tiếp xúc với đồ thị
:C y f x
hệ phương trình
'
f x k x a b
f x k
có nghiệm
' *
f x f x x a b
+ Giải phương trình
* , 1;2
i
x i
+ Phương trình tiếp tuyến tại
i
x
là
'
i i i
y f x x x f x
.
B. CÁC VÍ DỤ MẪU
Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
3
3 2,
y x x
biết tiếp tuyến đi qua
điểm
1;4 .
A
Lời giải
Gọi
0 0
( ; )
M x y
là tiếp điểm của tiếp tuyến cần lập, khi đó phương trình tiếp tuyến tại M có dạng:
2 3
0 0 0 0 0 0 0
'( )( ) (3 3)( ) 3 2 ( )
y y x x x y x x x x x d
Vì điểm
( 1, 4) ( )
A d
nên ta có
2 3
0 0 0 0
0
3 2
0 0
0
4 (3 3)( 1 ) 3 2
1
2 3 1 0
1
2
x x x x
x
x x
x
