Phương trình mũ - lôgarit - Luyện thi đại học (Có đáp án chi tiết)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (736.29 KB, 20 trang )
Chuyên đề 5
Hàm Số Lũy Thừa. Hàm Số Mũ & Hàm
Số Lôgarit
§1. Lũy Thừa
Bài tập 5.1. Tính giá trị các luỹ thừa sau:
a) (0, 04)
−1,5
− (0, 125)
−
2
3
. b)
1
16
−0,75
+
1
8
−
4
3
.
c) 27
2
3
+
1
16
−0,75
− 25
0,5
.
d) (−0, 5)
−4
− 625
0,25
−
2
1
4
−1
1
2
.
e) 81
−0,75
+
1
125
−
1
3
−
1
32
−
3
5
.
f)
10
2+
√
7
2
2+
√
7
.5
1+
√
7
.
g)
4
2
√
3
− 4
√
3−1
.2
−2
√
3
.
h)
6
25 + 4
√
6 −
3
1 + 2
√
6
3
1 − 2
√
6.
Lời giải.
a) (0, 04)
−1,5
− (0, 125)
−
2
3
=
1
25
−
3
2
−
1
8
−
2
3
=
5
−2
−
3
2
−
2
−3
−
2
3
= 5
3
− 2
2
= 121.
b)
1
16
−0,75
+
1
8
−
4
3
=
2
−4
−
3
4
+
2
−3
−
4
3
= 2
3
+ 2
4
= 24.
c) 27
2
3
+
1
16
−0,75
− 25
0,5
=
3
3
2
3
+
2
−4
−
3
4
−
5
2
1
2
= 3
2
+ 2
3
− 5 = 12.
d) (−0, 5)
−4
− 625
0,25
−
2
1
4
−1
1
2
=
−
1
2
−4
−
5
4
1
4
−
9
4
−
3
2
= 2
4
− 5 −
2
3
3
=
289
27
.
e) 81
−0,75
+
1
125
−
1
3
−
1
32
−
3
5
=
3
4
−
3
4
+
5
−3
−
1
3
−
2
−5
−
3
5
= 3
−3
+ 5 − 2
3
= −
80
27
.
f)
10
2+
√
7
2
2+
√
7
.5
1+
√
7
=
2
2+
√
7
.5
2+
√
7
2
2+
√
7
.5
1+
√
7
= 5
(2+
√
7)−(1+
√
7)
= 5.
g)
4
2
√
3
− 4
√
3−1
.2
−2
√
3
=
2
4
√
3
− 2
2
√
3−2
.2
−2
√
3
= 2
4
√
3−2
√
3
− 2
2
√
3−2−2
√
3
= 2
2
√
3
−
1
4
.
h)
6
25 + 4
√
6 −
3
1 + 2
√
6
3
1 − 2
√
6 =
6
1 + 2
√
6
2
−
3
1 + 2
√
6
3
1 − 2
√
6 = 0.
Bài tập 5.2. Rút gọn các biểu thức sau:
a)
x
5
4
y + xy
5
4
4
√
x +
4
√
y
.
b)
a
1
3
√
b + b
1
3
√
a
6
√
a +
6
√
b
.
c)
√
a −
√
b
4
√
a −
4
√
b
−
√
a +
4
√
ab
4
√
a +
4
√
b
.
d)
a − b
3
√
a −
3
√
b
−
a + b
3
√
a +
3
√
b
.
e)
a
2
√
3
− 1
a
2
√
3
+ a
√
3
+ a
3
√
3
a
4
√
3
− a
√
3
.
f)
a + b
3
√
a +
3
√
b
−
3
√
ab
:
3
√
a −
3
√
b
2
.
g)
a − 1
a
3
4
+ a
1
2
.
√
a +
4
√
a
√
a + 1
.a
1
4
+ 1.
h)
a +
b
3
2
a
1
2
2
3
a
1
2
− b
1
2
a
1
2
+
b
1
2
a
1
2
− b
1
2
−
2
3
.
1
Lời giải.
a)
x
5
4
y + xy
5
4
4
√
x +
4
√
y
=
x.x
1
4
y + xy.y
1
4
x
1
4
+ y
1
4
=
xy
x
1
4
+ y
1
4
x
1
4
+ y
1
4
= xy.
b)
a
1
3
√
b + b
1
3
√
a
6
√
a +
6
√
b
=
a
1
3
b
1
2
+ b
1
3
a
1
2
a
1
6
+ b
1
6
=
a
1
3
b
1
3
b
1
6
+ b
1
3
a
1
3
a
1
6
a
1
6
+ b
1
6
=
a
1
3
b
1
3
b
1
6
+ a
1
6
a
1
6
+ b
1
6
= a
1
3
b
1
3
=
3
√
ab.
c)
√
a −
√
b
4
√
a −
4
√
b
−
√
a +
4
√
ab
4
√
a +
4
√
b
=
4
√
a −
4
√
b
4
√
a +
4
√
b
4
√
a −
4
√
b
−
4
√
a
4
√
a +
4
√
b
4
√
a +
4
√
b
=
4
√
a +
4
√
b −
4
√
a =
4
√
b.
d)
a − b
3
√
a −
3
√
b
−
a + b
3
√
a +
3
√
b
=
3
√
a −
3
√
b
3
√
a
2
+
3
√
ab +
3
√
b
2
3
√
a −
3
√
b
−
3
√
a +
3
√
b
3
√
a
2
−
3
√
ab +
3
√
b
2
3
√
a +
3
√
b
= 2
3
√
ab.
e)
a
2
√
3
− 1
a
2
√
3
+ a
√
3
+ a
3
√
3
a
4
√
3
− a
√
3
=
a
√
3
− 1
a
√
3
+ 1
a
√
3
a
√
3
+ 1 + a
2
√
3
a
√
3
a
√
3
− 1
a
2
√
3
+ a
√
3
+ 1
= a
√
3
+ 1.
f)
a + b
3
√
a +
3
√
b
−
3
√
ab
:
3
√
a −
3
√
b
2
=
3
√
a +
3
√
b
3
√
a
2
−
3
√
ab +
3
√
b
2
3
√
a +
3
√
b
−
3
√
ab
:
3
√
a −
3
√
b
2
= 1.
g)
a − 1
a
3
4
+ a
1
2
.
√
a +
4
√
a
√
a + 1
.a
1
4
+ 1 =
(
√
a − 1) (
√
a + 1)
√
a (
4
√
a + 1)
.
4
√
a (
4
√
a + 1)
√
a + 1
.
4
√
a + 1 =
√
a.
h)
a +
b
3
2
a
1
2
2
3
a
1
2
− b
1
2
a
1
2
+
b
1
2
a
1
2
− b
1
2
−
2
3
=
√
a
3
+
√
b
3
√
a
.
√
a (a −b)
√
a
3
+
√
b
3
2
3
= (a − b)
2
3
.
Bài tập 5.3. Hãy so sánh các cặp số sau
a)
3
√
10 và
5
√
20. b)
4
√
13 và
5
√
23.
c) 3
600
và 5
400
.
d)
3
√
7 +
√
15 và
√
10 +
3
√
28.
Lời giải.
a) Ta có:
3
√
10 >
3
√
8 = 2 và
5
√
20 <
5
√
32 = 2. Do đó
3
√
10 >
5
√
20.
b) Ta có:
4
√
13 =
20
√
371293 và
5
√
23 =
20
√
279841. Do đó
4
√
13 >
5
√
23.
c) Ta có: 3
600
= 27
200
và 5
400
= 25
200
. Do đó 3
600
> 5
400
.
d) Ta có:
3
√
7 +
√
15 <
3
√
8 +
√
16 = 6 và
√
10 +
3
√
28 >
√
9 +
3
√
27 = 6. Do đó:
3
√
7 +
√
15 <
√
10 +
3
√
28.
Bài tập 5.4. Tính A =
a + b + c + 2
√
ab + bc +
a + b + c − 2
√
ab + bc, (a, b, c > 0, a + c > b)
Lời giải. Ta có: A =
√
a + c +
√
b
2
+
√
a + c −
√
b
2
= 2
√
a + c.
§2. Lôgarit
Bài tập 5.5. Tính
a) log
3
4
√
3.
b) 2log
27
log 1000. c) log
25
8.log
8
5.
d) log 45 − 2 log 3.
e) 3log
2
log
4
16 + log
1
2
2.
f) log
2
48 −
1
3
log
2
27.
g) 5 ln e
−1
+ 4 ln
e
2
√
e
.
h) log 72 − 2 log
27
256
+ log
√
108.
i) log 0, 375 − 2 log
√
0, 5625.
Lời giải.
a) log
3
4
√
3 = log
3
3
1
4
.
b) 2log
27
log 1000 = 2log
3
3
log 10
3
=
2
3
log
3
3 =
2
3
.
c) log
25
8.log
8
5 = log
5
2
8.log
8
5 =
1
2
log
5
8.log
8
5 =
1
2
.
d) log 45 − 2 log 3 = log 45 − log 9 = log
45
9
= log 5.
e) 3log
2
log
4
16 + log
1
2
2 = 3log
2
log
4
4
2
+ log
2
−1
2 = 3log
2
2 − log
2
2 = 2.
f) log
2
48 −
1
3
log
2
27 = log
2
48 − log
2
3 = log
2
48
3
= log
2
16 = 4.
g) 5 ln e
−1
+ 4 ln
e
2
√
e
= −5 ln e + 4 ln e
5
2
= −5 + 10 ln e = 5.
h) log 72 − 2 log
27
256
+ log
√
108 = log (8.9) − 2 (log 27 − log 256) +
1
2
log(4.27) = 20 log 2 −
5
2
log 3.
i) log 0, 375 − 2 log
√
0, 5625 = log
3
8
− log
9
18
= log
2
3
.
Bài tập 5.6. Đơn giản biểu thức
a)
log
2
4 + log
2
√
10
log
2
20 + log
2
8
.
b)
log
2
24 −
1
2
log
2
72
log
3
18 −
1
3
log
3
72
. c)
log
7
2 +
1
log
5
7
log 7.
2
Chuyên đề 5. Hàm Số Lũy Thừa. Hàm Số Mũ & Hàm Số Lôgarit
d) log
a
a
2
.
3
√
a.
5
√
a
4
4
√
a
.
e) log
5
log
5
5
5
5
√
5
n dấu căn
.
f) 9
2log
3
4+4log
81
2
.
g) 16
1+log
4
5
+ 4
1
2
log
2
3+3log
5
5
.
h)
81
1
4
−
1
2
log
9
4
+ 25
log
125
8
49
log
7
2
. i) 72
49
1
2
log
7
9−log
7
6
+ 5
−log
√
5
4
.
Lời giải.
a)
log
2
4 + log
2
√
10
log
2
20 + log
2
8
=
log
2
4
√
10
log
2
160
=
1
2
log
2
160
log
2
160
=
1
2
.
b)
log
2
24 −
1
2
log
2
72
log
3
18 −
1
3
log
3
72
=
log
2
(8.3) −
1
2
log
2
(8.9)
log
3
(2.9) −
1
3
log
3
(9.8)
=
3
2
4
3
=
9
8
.
c)
log
7
2 +
1
log
5
7
log 7 = log 7.log
7
2 + log 7.log
7
5 = log 2 + log 5 = 1.
d) log
a
a
2
.
3
√
a.
5
√
a
4
4
√
a
= log
a
a
47
15
a
1
4
= log
a
a
173
60
=
173
60
.
e) log
5
log
5
5
5
5
√
5
n dấu căn
= log
5
log
5
5
1
5
n
= log
5
1
5
n
= −n.
f) 9
2log
3
4+4log
81
2
= 9
log
3
16+log
3
2
= 9
log
3
32
=
3
log
3
32
2
= 1024.
g) 16
1+log
4
5
+ 4
1
2
log
2
3+3log
5
5
= 16.16
log
4
5
+ 2
log
2
3
.4
3
= 16.
4
log
4
5
2
+ 3.64 = 448.
h)
81
1
4
−
1
2
log
9
4
+ 25
log
125
8
49
log
7
2
=
81
1
4
81
1
2
log
9
4
+ 25
log
5
2
7
log
7
2
2
=
3
4
+ 4
4 = 19.
i) 72
49
1
2
log
7
9−log
7
6
+ 5
−log
√
5
4
= 72
7
log
7
9
49
log
7
6
+
1
5
log
5
16
= 72
9
36
+
1
16
=
45
2
.
Bài tập 5.7. So sánh các cặp số sau:
a) log
3
6
5
và log
3
5
6
.
b) log
1
2
e và log
1
2
π.
c) log
2
10 và log
5
30.
d) log
5
3 và log
0,3
2.
e) log
3
5 và log
7
4. f) log
3
10 và log
8
57.
Lời giải.
a) Vì
6
5
>
5
6
và 3 > 1 nên log
3
6
5
> log
3
5
6
.
b) Vì e < π và
1
2
< 1 nên log
1
2
e > log
1
2
π.
c) Ta có: log
2
10 > log
2
8 = 3 và log
5
30 < log
5
125 = 3. Do đó log
2
8 > log
5
30.
d) Ta có: log
5
3 > log
5
1 = 0 và log
0.3
2 < log
0.3
1 = 0. Do đó log
5
3 > log
0.3
2.
e) Ta có: log
3
5 > log
3
3 = 1 và log
7
4 < log
7
7 = 1. Do đó log
3
5 > log
7
4.
f) Ta có: log
3
10 > log
3
9 = 2 và log
8
57 < log
8
64 = 2. Do đó log
3
10 > log
8
57.
Bài tập 5.8. Tính log
4
1250 theo a, biết a = log
2
5.
Lời giải. Ta có: log
4
1250 =
1
2
log
2
2.5
4
=
1
2
(1 + 4log
2
5) =
1
2
(1 + 4a).
Bài tập 5.9. Tính log
54
168 theo a, b, biết a = log
7
12, b = log
12
24.
Lời giải. Ta có: log
54
168 =
log
7
168
log
7
54
=
log
7
(3.7.2
3
)
log
7
(2.3
3
)
=
log
7
3 + 1 + 3log
7
2
log
7
2 + 3log
7
3
.
Lại có:
a = log
7
12
ab = log
7
24
⇔
a = log
7
(2
2
.3)
ab = log
7
(2
3
.3)
⇔
a = 2log
7
2 + log
7
3
ab = 3log
7
2 + log
7
3
⇔
log
7
2 = ab − a
log
7
3 = 3a − 2ab
.
Từ đó ta có: log
54
168 =
3a − 2ab + 1 + 3(ab − a)
ab − a + 3(3a − 2ab)
=
ab + 1
a(8 − 5b)
.
Bài tập 5.10. Tính log
140
63 theo a, b, c, biết a = log
2
3, b = log
3
5, c = log
7
2.
Lời giải. Ta có: log
140
63 =
log
2
63
log
2
140
=
log
2
(9.7)
log
2
(4.5.7)
=
2log
2
3 + log
2
7
2 + log
2
5 + log
2
7
=
2log
2
3 + log
2
7
2 + log
2
3.log
3
5 + log
2
7
.
Theo giả thiết a = log
2
3, b = log
3
5, c = log
7
2, do đó: log
140
63 =
2a +
1
c
2 + ab +
1
c
=
2ac + 1
2c + abc + 1
.
Bài tập 5.11. Tính log
3
√
25
135 theo a, b, biết a = log
4
75, b = log
8
45.
3
Lời giải. Ta có: log
3
√
25
135 =
3
2
.log
5
135 =
3
2
.
log
2
135
log
2
5
=
3
2
.
log
2
(27.5)
log
2
5
=
3
2
.
3log
2
3 + log
2
5
log
2
5
.
Lại có:
a = log
4
75
b = log
8
45
⇔
a =
1
2
log
2
(3.25)
b =
1
3
log
2
(9.5)
⇔
a =
1
2
log
2
3 + log
2
5
b =
2
3
log
2
3 +
1
3
log
2
5
⇔
log
2
3 = 2b −
2
3
a
log
2
5 =
4
3
a − b
.
Do đó: log
3
√
25
135 =
3
2
3
2b −
2
3
a
+
4
3
a − b
4
3
a − b
=
3
2
.
15b − 2a
4a − 3b
.
Bài tập 5.12. Chứng minh rằng ab + 5 (a − b) = 1, biết a = log
12
18, b = log
24
54.
Lời giải. Ta có: a = log
12
18 =
log
2
18
log
2
12
=
1 + 2log
2
3
2 + log
2
3
⇒ log
2
3 =
2a − 1
2 − a
.
Và b = log
24
54 =
log
2
54
log
2
24
=
1 + 3log
2
3
3 + log
2
3
⇒ log
2
3 =
3a − 1
3 − a
.
Do đó:
2a − 1
2 − a
=
3b − 1
3 − b
⇔ (2a −1) (3 − b) = (2 − a) (3b − 1) ⇔ ab + 5 (a −b) = 1 (đpcm).
Bài tập 5.13. Cho y = 10
1
1−log x
, z = 10
1
1−log y
. Chứng minh rằng x = 10
1
1−log z
.
Lời giải. Ta có: z = 10
1
1−log y
⇔ log z =
1
1 − log y
⇔ log y = 1 −
1
log z
=
log z −1
log z
.
Lại có: y = 10
1
1−log x
⇔ log y =
1
1 − log x
⇔ log x = 1−
1
log y
= 1 −
log z
log z −1
=
1
1 − log z
⇔ x = 10
1
1−log z
(đpcm).
Bài tập 5.14. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng (abc)
a+b+c
3
≤ a
a
b
b
c
c
.
Lời giải. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
ln
(abc)
a+b+c
3
≤ ln
a
a
b
b
c
c
⇔
a + b + c
3
(ln a + ln b + ln c) ≤ a ln a + b ln b + c ln c
⇔ 3(a ln a + b ln b + c ln c) ≥ a ln a + a ln b + a ln c + b ln a + b ln b + b ln c + c ln a + c ln b + c ln c
⇔ (a ln a + b ln b − a ln b − b ln a) + (b ln b + c ln c −b ln c − c ln b) + (c ln c + a ln a − c ln a −a ln c) ≥ 0
⇔ (a − b)(ln a − ln b) + (b −c)(ln b −ln c) + (c − a)(ln c − ln a) ≥ 0
Xét hàm số y = ln x đồng biến trên (0; +∞) nên với mọi x, y > 0 ta có: (x − y)(ln x − ln y) ≥ 0.
Từ đó ta có bất đảng thức cần chứng minh.
§3. Hàm Số Lũy Thừa. Hàm Số Mũ & Hàm Số Lôgarit
Bài tập 5.15. Tìm tập xác định của các hàm số sau
a) y =
x
2
− 2
−2
.
b) y =
2 − x
2
2
7
.
c) y =
x
2
− x − 2
√
2
.
d) y = log
2
(5 − 2x). e) y = log
3
x
2
− 2x
.
f) y = log
0,4
3x+2
1−x
.
Lời giải.
a) D = R\
±
√
2
. b) D =
−
√
2;
√
2
.
c) D = (−1; 2).
d) D =
−∞;
5
2
. e) D = (−∞; 0) ∪ (2; +∞). f) D =
−
2
3
; 1
.
Bài tập 5.16. Tính đạo hàm của các hàm số sau
a) y =
3x
2
− 4x + 1
√
2
.
b) y = 3x
2
− ln x + 4 sin x.
c) y = 2xe
x
+ 3 sin 2x.
d) y = log
x
2
+ x + 1
.
e) y = ln
e
x
1+e
x
.
f) y =
x
2
−
1
4
e
2x
.
g) y =
e
4x
+ 1 − ln x
π
.
h) y =
2 ln x+1
4 ln x−5
.
i) y = ln
2e
x
+ ln
x
2
+ 3x + 5
.
Lời giải.
a) y
=
√
2 (6x −4)
3x
2
− 4x + 1
√
2−1
.
b) y
= 6x −
1
x
+ 4 cos x.
c) y
= 2e
x
+ 2xe
x
+ 6 cos 2x.
d) y
=
2x + 1
(x
2
+ x + 1) ln 10
.
e) y = x − ln (1 + e
x
) ⇒ y
= 1 −
e
x
1 + e
x
=
1
1 + e
x
.
f) y
=
1
2
e
2x
+ 2
x
2
−
1
4
e
2x
= xe
2x
.
g) y
= π
4e
4x
−
1
x
π−1
.
4
Chuyên đề 5. Hàm Số Lũy Thừa. Hàm Số Mũ & Hàm Số Lôgarit
h) y
=
2
x
(4 ln x −5) −
4
x
(2 ln x + 1)
(4 ln x −5)
2
= −
14
x(4 ln x −5)
2
.
i) y
=
2e
x
+
2x+3
x
2
+3x+5
2e
x
+ ln (x
2
+ 3x + 5)
= −
2e
x
x
2
+ 3x + 5
+ 2x + 3
(x
2
+ 3x + 5) (2e
x
+ ln (x
2
+ 3x + 5))
.
Bài tập 5.17. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau
a) y = x − e
2x
trên [0; 1]. b) y = e
2x
− 2e
x
trên [−1; 2]. c) y = (x + 1) e
x
trên [−1; 2].
d) y = ln
3 + 2x − x
2
trên [0; 2].
e) y = ln
4 − 3x
2
− x
4
.
f) y = x
2
− ln (1 −2x) trên [−2; 0].
g) y = x
2
e
−x
trên [0; ln 8]. h) y = x
2
ln x trên [1; e]. i) y = 5
x
+ 5
1−x
trên [0; log
5
8].
Lời giải.
a) Ta có: y
= 1 − 2e
x
; y
= 0 ⇔ x = ln
1
2
(loại).
Lại có: y(0) = −1; y(1) = 1 − e
2
. Vậy max
[0;1]
y = y(0) = −1; min
[0;1]
y = y(1) = 1 − e
2
.
b) Ta có: y
= 2e
2x
− 2e
x
; y
= 0 ⇔ x = 0 (thảo mãn).
Lại có: y(−1) = e
−2
− 2e
−1
; y(2) = e
4
− 2e
2
; y(0) = −1. Vậy max
[−1;2]
y = y(2) = e
4
− 2e
2
; min
[−1;2]
y = y(0) = −1.
c) Ta có: y
= (x + 2)e
x
; y
= 0 ⇔ x = −2 (loại).
Lại có: y(−1) = 0; y(2) = 3e
2
. Vậy max
[−1;2]
y = y(2) = 3e
2
; min
[−1;2]
y = y(−1) = 0.
d) Ta có: y
=
2 − 2x
3 + 2x − x
2
; y
= 0 ⇔ x = 1 (thảo mãn).
Lại có: y(0) = ln 2; y(2) = ln 3; y(1) = ln 4. Vậy max
[0;2]
y = y(1) = ln 4; min
[0;2]
y = y(0) = y(2) = ln 3.
e) Tập xác định: D = (−1; 1). Ta có: y
=
−6x − 4x
3
4 − 3x
2
− x
4
; y
= 0 ⇔ x = 0 (thỏa mãn).
Vậy ta có max
D
y = y(0) = ln 4; hàm số không có giá trị nhỏ nhất.
f) Ta có: y
= 2x +
2
1 − 2x
; y
= 0 ⇔
x = 1(loại)
x = −
1
2
.
Lại có: y(−2) = 4 − ln 5; y(0) = 0; y
−
1
2
=
1
4
− ln 2. Vậy max
[−2;0]
y = y(−2) = 4 − ln 5; min
[−2;0]
y = y(0) = 0.
g) Ta có: y
= 2xe
−x
− x
2
e
−x
; y
= 0 ⇔
x = 0
x = 2
(thỏa mãn).
Lại có: y(0) = 0; y(ln 8) = −
ln
8
8
; y(2) = 4e
−2
. Vậy max
[0;ln 8]
y = y(2) = 4e
−2
; min
[0;ln 8]
y = y(ln 8) = −
ln
2
8
8
.
h) Ta có: y
= 2x ln x + x; y
= 0 ⇔
x = 0
x =
1
√
e
(loại).
Lại có: y(1) = 0; y(e) = e
2
. Vậy max
[1;e]
y = y(e) = e
2
; min
[1;e]
y = y(1) = 0.
i) Ta có: y
= 5
x
ln 5 −5
1−x
ln 5; y
= 0 ⇔ x =
1
2
(thỏa mãn).
Lại có: y(0) = 6; y (log
5
8) =
69
8
; y
1
2
= 2
√
5. Vậy max
[0;log
5
8]
y = y (log
5
8) =
69
8
; min
[0;log
5
8]
y = y
1
2
= 2
√
5.
§4. Phương Trình & Bất Phương Trình Mũ
Bài tập 5.18. Giải các phương trình sau
a) 2
2x−1
= 3.
b) 2
x
2
−x
= 4.
c) 2
x
2
−x+8
= 4
1−3x
.
d) 3
x
.2
x+1
= 72.
e) 3
2x−1
+ 3
2x
= 108. f) 2
x
+ 2
x+1
+ 2
x+2
= 3
x
+ 3
x−1
+ 3
x−2
.
g)
3 + 2
√
2
x+1
=
3 − 2
√
2
2x+8
.
h)
5 − 2
√
6
x
2
−3x+2
−
5 + 2
√
6
1−x
2
2
= 0.
Lời giải.
a) 2
2x−1
= 3 ⇔ 2x −1 = log
2
3 ⇔ x =
1
2
+
1
2
log
2
3.
b) 2
x
2
−x
= 4 ⇔ x
2
− x = 2 ⇔
x = 2
x = −1
.
c) 2
x
2
−x+8
= 4
1−3x
⇔ 2
x
2
−x+8
= 2
2−6x
⇔ x
2
− x + 8 = 2 − 6x ⇔ x
2
+ 5x + 6 = 0 ⇔
x = −2
x = −3
.
d) 3
x
.2
x+1
= 72 ⇔ 3
x
.2
x
.2 = 72 ⇔ 6
x
= 36 ⇔ x = 2.
e) 3
2x−1
+ 3
2x
= 108 ⇔ 3
2x
.
1
3
+ 3
2x
= 108 ⇔
4
3
.3
2x
= 108 ⇔ 3
2x
= 81 ⇔ x = 2.
f) Phương trình tương đương 2
x
+ 2.2
x
+ 4.2
x
= 3
x
+
1
3
.3
x
+
1
9
.3
x
⇔ 7.2
x
=
13
9
.3
x
⇔
2
3
x
=
13
63
⇔ x = log
2
3
13
63
.
g)
3 + 2
√
2
x+1
=
3 − 2
√
2
2x+8
⇔
3 + 2
√
2
x+1
=
3 + 2
√
2
−2x−8
⇔ x + 1 = −2x −8 ⇔ x = −3.
h) Phương trình tương đương
5 − 2
√
6
x
2
−3x+2
=
5 − 2
√
6
x
2
−1
2
⇔ x
2
− 3x + 2 =
x
2
−1
2
⇔
x = 1
x = 5
.
5
Bài tập 5.19. Giải các bất phương trình sau
a) 2
−x
2
+3x
< 4.
b) 3
x+2
+ 3
x−1
≤ 28.
c) 2
x+2
− 2
x+3
− 2
x+4
> 5
x+1
− 5
x+2
. d) 2
x
+ 2
x+1
+ 2
x+2
< 3
x
+ 3
x−1
+ 3
x−2
.
e) x
2x−1
< x
x
2
.
f)
√
5 + 2
x−1
≥
√
5 − 2
x−1
x+1
.
g) 32
x+5
x−1
> 0, 25.128
x+17
x−3
.
h) 2
x
2
.7
x
2
+1
< 7.14
2x
2
−4x+3
.
Lời giải.
a) 2
−x
2
+3x
< 4 ⇔ −x
2
+ 3x < 2 ⇔ 1 < x < 2.
b) 3
x+2
+ 3
x−1
≤ 28 ⇔ 9.3
x
+
1
3
.3
x
≤ 28 ⇔
28
3
.3
x
≤ 28 ⇔ x ≤ 1.
c) 2
x+2
−2
x+3
−2
x+4
> 5
x+1
−5
x+2
⇔ 4.2
x
−8.2
x
−16.2
x
> 5.5
x
−25.5
x
⇔ −20.2
x
> −20.5
x
⇔
2
5
x
< 1 ⇔ x > 0.
d) Bất PT tương đương 2
x
+ 2.2
x
+ 4.2
x
< 3
x
+
1
3
.3
x
+
1
9
.3
x
⇔ 7.2
x
<
13
9
.3
x
⇔
2
3
x
<
13
63
⇔ x > log
2
3
13
63
.
e) Điều kiện x > 0; x = 1. Khi đó x
2x−1
< x
x
2
⇔ (x −1)
2x − 1 − x
2
< 0 ⇔ x − 1 > 0 ⇔ x > 1.
f) Bất PT tương đương
√
5 + 2
x−1
≥
√
5 + 2
1−x
x+1
⇔ x −1 ≥
1−x
x+1
⇔
x
2
+x−2
x+1
≥ 0 ⇔
−2 ≤ x < −1
x ≥ 1
.
g) Bất PT tương đương 2
5x+25
x−1
> 2
5x+125
x−3
⇔
5x+25
x−1
>
5x+125
x−3
⇔
−110x+50
(x−1)(x−3)
> 0 ⇔
x <
5
11
1 < x < 3
.
h) 2
x
2
.7
x
2
+1
< 7.14
2x
2
−4x+3
⇔ 14
x
2
< 14
2x
2
−4x+3
⇔ x
2
< 2x
2
− 4x + 3 ⇔
x > 3
x < 1
.
Bài tập 5.20. Giải các phương trình sau
a) 64
x
− 8
x
− 56 = 0.
b) (TN-08) 3
2x+1
− 9.3
x
+ 6 = 0.
c) 2
2+x
− 2
2−x
= 15. d) (TN-07) 7
x
+ 2.7
1−x
− 9 = 0.
e) (D-03) 2
x
2
−x
− 2
2+x−x
2
= 3.
f) 3
2x+1
= 3
x+2
+
√
1 − 6.3
x
+ 3
2(x+1)
.
Lời giải.
a) 64
x
− 8
x
− 56 = 0 ⇔
8
x
= 8
8
x
= −7(vô nghiệm)
⇔ x = 1.
b) 3
2x+1
− 9.3
x
+ 6 = 0 ⇔ 3.3
2x
− 9.3
x
+ 6 = 0 ⇔
3
x
= 1
3
x
= 2
⇔
x = 0
x = log
3
2
.
c) 2
2+x
− 2
2−x
= 15 ⇔ 4.2
x
−
4
2
x
= 15 ⇔ 4.2
2x
− 15.2
x
− 4 = 0 ⇔
2
x
= 4
2
x
= −
1
4
(vô nghiệm)
⇔ x = 2.
d) 7
x
+ 2.7
1−x
− 9 = 0 ⇔ 7
x
+
14
7
x
− 9 = 0 ⇔ 7
2x
− 9.7
x
+ 14 = 0 ⇔
7
x
= 7
7
x
= 2
⇔
x = 1
x = log
7
2
.
e) PT ⇔ 2
x
2
−x
−
4
2
x
2
−x
= 3 ⇔ 4
x
2
−x
−3.2
x
2
−x
−4 = 0 ⇔
2
x
2
−x
= 4
2
x
2
−x
= −1
⇔ x
2
−x = 2 ⇔
x = 2
x = −1(vô nghiệm)
.
f) Đặt 3
x
= t, t > 0. Phương trình trở thành: 3t
2
= 9t +
√
9t
2
− 6t + 1 ⇔ 3t
2
− 9t = |3t −1| (1).
Với t ≥
1
3
, ta có: (1) ⇔ 3t
2
− 9t = 3t −1 ⇔
t =
6+
√
33
3
t =
6−
√
33
3
(loại)
⇒ 3
x
=
6+
√
33
3
⇔ x = log
3
6+
√
33
3
.
Với 0 < t <
1
3
, ta có: (1) ⇔ 3t
2
− 9t = −3t + 1 ⇔ t =
3±2
√
3
3
(loại).
Vậy phương trình có nghiệm x = log
3
6+
√
33
3
.
Bài tập 5.21. Giải các bất phương trình sau
a) 4
x
− 3.2
x
+ 2 > 0. b) 32.4
x
+ 1 < 18.2
x
.
c) 5
x
+ 5
1−x
> 6.
d)
2 +
√
3
x
+
2 −
√
3
x
> 4.
Lời giải.
a) 4
x
− 3.2
x
+ 2 > 0 ⇔
2
x
> 2
2
x
< 1
⇔
x > 1
x < 0
.
b) 32.4
x
+ 1 < 18.2
x
⇔
1
16
< 2
x
<
1
2
⇔ −4 < x < −1.
c) 5
x
+ 5
1−x
> 6 ⇔ 5
x
+
5
5
x
> 6 ⇔ 5
2x
− 6.5
x
+ 5 > 0 ⇔
5
x
> 5
5
x
< 1
⇔
x > 1
x < 0
.
d) BPT ⇔
2 +
√
3
2x
− 4.
2 +
√
3
x
+ 1 > 0 ⇔
2 +
√
3
x
> 2 +
√
3
2 +
√
3
x
< 2 −
√
3
⇔
x > 1
x < −1
.
Bài tập 5.22. Giải các phương trình sau
a)
5 − 2
√
6
x
+
5 + 2
√
6
x
= 10. b) (B-07)
√
2 − 1
x
+
√
2 + 1
x
− 2
√
2 = 0.
c)
7 + 3
√
5
x
+ 5.
7 − 3
√
5
x
= 6.2
x
.
d)
5 + 2
√
6
x
+
5 − 2
√
6
x
= 10.
e)
7 + 4
√
3
x
− 3
2 −
√
3
x
+ 2 = 0. f)
26 + 15
√
3
x
+ 2
7 + 4
√
3
x
− 2
2 −
√
3
x
= 1.
6
Chuyên đề 5. Hàm Số Lũy Thừa. Hàm Số Mũ & Hàm Số Lôgarit
Lời giải.
a) PT ⇔
5 − 2
√
6
2x
− 10.
5 − 2
√
6
x
+ 1 = 0 ⇔
5 − 2
√
6
x
= 5 + 2
√
6
5 − 2
√
6
x
= 5 − 2
√
6
⇔
x = −1
x = 1
.
b) PT ⇔
√
2 − 1
2x
− 2
√
2.
√
2 − 1
x
+ 1 = 0 ⇔
√
2 − 1
x
=
√
2 + 1
√
2 − 1
x
=
√
2 − 1
⇔
x = −1
x = 1
.
c) PT ⇔
7+3
√
5
2
x
+ 5.
7−3
√
5
2
x
= 6 ⇔
7+3
√
5
2
2x
− 6.
7+3
√
5
2
x
+ 5 = 0 ⇔
x = log
2
7+3
√
5
2
x = log
3
7+3
√
5
2
.
d) PT ⇔
5 + 2
√
6
2x
− 10.
5 + 2
√
6
x
+ 1 = 0 ⇔
5 + 2
√
6
x
= 5 + 2
√
6
5 + 2
√
6
x
= 5 − 2
√
6
⇔
x = 2
x = −2
.
e) PT ⇔
7 + 4
√
3
x
− 3
2 −
√
3
x
+ 2 = 0 ⇔
2 +
√
3
3x
+ 2
2 +
√
3
x
− 3 = 0 ⇔
2 +
√
3
x
= 1 ⇔ x = 0.
f) PT ⇔
2 +
√
3
4x
+ 2
2 +
√
3
3x
−
2 +
√
3
x
− 2 = 0 ⇔
2 +
√
3
x
+ 2
2 +
√
3
3x
− 1
= 0 ⇔ x = 0.
Bài tập 5.23. Giải các phương trình sau
a) 3.4
x
− 2.6
x
= 9
x
.
b) 2.16
x+1
+ 3.81
x+1
= 5.36
x+1
.
c) 4
x+
√
x
2
−2
− 5.2
x−1+
√
x
2
−2
− 6 = 0.
d) 5.2
x
= 7
√
10
x
− 2.5
x
.
e) 27
x
+ 12
x
= 2.8
x
. f) (A-06) 3.8
x
+ 4.12
x
− 18
x
− 2.27
x
= 0.
Lời giải.
a) 3.4
x
− 2.6
x
= 9
x
⇔ 3.
2
3
2x
− 2.
2
3
x
− 1 = 0 ⇔
2
3
x
= 1
2
3
x
= −
1
3
(vô nghiệm)
⇔ x = 0.
b) 2.16
x+1
+ 3.81
x+1
= 5.36
x+1
⇔ 2.
16
81
x+1
− 5.
4
9
x+1
+ 3 = 0 ⇔
4
9
x+1
= 1
4
9
x+1
=
3
2
⇔
x = −1
x = −
3
2
.
c) Ta có phương trình tương đương
4
x+
√
x
2
−2
−
5
2
.2
x+
√
x
2
−2
− 6 = 0 ⇔
2
x+
√
x
2
−2
= 4
2
x+
√
x
2
−2
= −
3
2
⇔ x +
x
2
− 2 = 2
⇔
x ≤ 2
x
2
− 2 = x
2
− 4x + 4
⇔ x =
3
2
d) 5.2
x
= 7
√
10
x
− 2.5
x
⇔ 5.
2
5
x
− 7.
2
5
x
+ 2 = 0 ⇔
2
5
x
= 1
2
5
x
=
2
5
⇔
x = 0
x = 2
.
e) 27
x
+ 12
x
= 2.8
x
⇔
3
2
3x
+
3
2
x
− 2 = 0 ⇔
3
2
x
= 1 ⇔ x = 0.
f) 3.8
x
+ 4.12
x
− 18
x
− 2.27
x
= 0 ⇔ 3.
2
3
3x
+ 4.
2
3
2x
−
2
3
x
− 2 = 0 ⇔
2
3
x
=
2
3
2
3
x
= −1
⇔ x = 1.
Bài tập 5.24. Giải các bất phương trình sau
a) 27
x
+ 12
x
< 2.8
x
.
b) 25
2x−x
2
+1
+ 9
2x−x
2
+1
≥ 34.15
2x−x
2
.
c) 9
1
x
− 13.6
1
x
−1
+ 4
1
x
< 0.
d)
√
9
x
− 3
x+1
+ 2 > 3
x
− 9.
e)
4−5
x
5
2x
−5
x+1
+6
≤ 1. f)
4−7.5
x
5
2x+1
−12.5
x
+4
≤
2
3
.
Lời giải.
a) 27
x
+ 12
x
< 2.8
x
⇔
3
2
3x
+
3
2
x
− 2 < 0 ⇔
3
2
x
< 1 ⇔ x < 0.
b) PT ⇔ 25.
25
9
2x−x
2
− 34.
5
3
2x−x
2
+ 9 ≥ 0 ⇔
5
3
2x−x
2
≥ 1
5
3
2x−x
2
≤
9
25
⇔
2x − x
2
≥ 0
2x − x
2
≤ −2
⇔
0 ≤ x ≤ 2
x ≥ 1 +
√
3
x ≤ 1 −
√
3
.
c) 9
1
x
− 13.6
1
x
−1
+ 4
1
x
< 0 ⇔
9
4
1
x
−
13
6
.
3
2
1
x
+ 1 < 0 ⇔
2
3
<
3
2
1
x
<
3
2
⇔ −1 <
1
x
< 1 ⇔
x > 1
x < −1
.
d) BPT ⇔
3
x
− 9 < 0
9
x
− 3.3
x
+ 2 ≥ 0
3
x
− 9 ≥ 0
9
x
− 3.3
x
+ 2 > 9
x
− 18.3
x
+ 81
⇔
x < 2
0 ≤ x ≤ log
3
2
x ≥ 2
x > log
3
79
15
⇔
0 ≤ x ≤ log
3
2
x ≥ 2
.
e)
4 − 5
x
5
2x
− 5
x+1
+ 6
≤ 1 ⇔
−5
2x
− 6.5
x
− 2
5
2x
− 5.5
x
+ 6
≤ 0 ⇔
5
x
≤ −3 −
√
7
−3 +
√
7 ≤ 5
x
< 2
5
x
> 3
⇔
5
x
< 2
5
x
> 3
⇔
x < log
5
2
x > log
5
3
.
f)
4 − 7.5
x
5
2x+1
− 12.5
x
+ 4
≤
2
3
⇔
−10.5
2x
+ 3.5
x
+ 4
5.5
2x
− 12.5
x
+ 4
≤ 0 ⇔
5
x
≤ −
1
2
2
5
< 5
x
≤
4
5
5
x
> 2
⇔
log
5
2
5
< x < log
5
4
5
x > log
5
2
.
7
Bài tập 5.25. Giải các phương trình sau
a) 12 + 6
x
= 4.3
x
+ 3.2
x
.
b) 5
2x+1
+ 7
x+1
− 175
x
− 35 = 0.
c) 2
x
2
−5x+6
+ 2
1−x
2
= 2.2
6−5x
+ 1. d) (D-06) 2
x
2
+x
− 4.2
x
2
−x
− 2
2x
+ 4 = 0.
e) 4
x
2
+x
+ 2
1−x
2
= 2
(x+1)
2
+ 1.
f) x
2
.2
x−1
+ 2
|x−3|+6
= x
2
.2
|x−3|+4
+ 2
x+1
.
Lời giải.
a) PT ⇔ 4 (3 − 3
x
) + 2
x
(3
x
− 3) = 0 ⇔ (3
x
− 3) (2
x
− 4) = 0 ⇔
3
x
= 3
2
x
= 4
⇔
x = 1
x = 2
.
b) PT ⇔ 5
2x
(5 − 7
x
) + 7 (7
x
− 5) = 0 ⇔ (7
x
− 5)
7 − 5
2x
= 0 ⇔
7
x
= 5
5
2x
= 7
⇔
x = log
7
5
x =
1
2
log
5
7
.
c) PT ⇔ 2
x
2
−5x+6
1 − 2
1−x
2
+ 2
1−x
2
− 1 = 0 ⇔
1 − 2
1−x
2
2
x
2
−5x+6
− 1
= 0 ⇔
x = ±1
x = 2
x = 3
.
d) PT ⇔ 2
2x
2
x
2
−x
− 1
− 4
2
x
2
−x
− 1
= 0 ⇔
2
x
2
−x
− 1
2
2x
− 1
= 0 ⇔
2
x
2
−x
= 1
2
2x
= 1
⇔
x = 0
x = 1
.
e) PT ⇔ 4
x
2
+x
1 − 2
1−x
2
+ 2
1−x
2
− 1 = 0 ⇔
1 − 2
1−x
2
4
x
2
+x
− 1
= 0 ⇔
2
1−x
2
= 1
4
x
2
+x
= 1
⇔
x = ±1
x = 0
.
f) PT ⇔ x
2
2
x−1
− 2
|x−3|+4
+ 4
2
|x−3|+4
− 2
x−1
= 0 ⇔
2
x−1
− 2
|x−3|+4
x
2
− 4
= 0 ⇔
x = ±2
x = 4
.
Bài tập 5.26. Giải các bất phương trình sau
a) 12 + 6
x
> 4.3
x
+ 3.2
x
.
b) 4
x
2
+x
+ 2
1−x
2
≥ 2
(x+1)
2
+ 1.
c) 5
2x+1
+ 6
x+1
> 30 + 5
x
.30
x
.
d) 5
2x−10−3
√
x−2
− 4.5
x−5
< 5
1+3
√
x−2
.
Lời giải.
a) BPT ⇔ 4 (3 − 3
x
) + 2
x
(3
x
− 3) > 0 ⇔ (3
x
− 3) (2
x
− 4) > 0 ⇔
3
x
− 3 > 0
2
x
− 4 > 0
3
x
− 3 < 0
2
x
− 4 < 0
⇔
x > 2
x < 1
.
b) BPT ⇔ 4
x
2
+x
1 − 2
1−x
2
+2
1−x
2
−1 ≥ 0 ⇔
1 − 2
1−x
2
4
x
2
+x
− 1
≥ 0 ⇔
2
1−x
2
≤ 1
4
x
2
+x
≥ 1
2
1−x
2
≥ 1
4
x
2
+x
≤ 1
⇔
x ≥ 1
x ≤ 0
.
c) BPT ⇔ 5
2x
(5 − 6
x
) + 6 (6
x
− 5) > 0 ⇔ (5 − 6
x
)
5
2x
− 6
> 0 ⇔
6
x
< 5
5
2x
> 6
6
x
> 5
5
2x
< 6
⇔
1
2
log
5
6 < x < log
6
5.
d) Ta có bất phương trình tương đương
5
2
(
x−5−3
√
x−2
)
− 4.5
x−5−3
√
x−2
− 5 < 0 ⇔ 5
x−5−3
√
x−2
< 5 ⇔ 3
√
x − 2 > x −6
⇔
x < 6
x ≥ 2
x ≥ 6
9x − 18 > (x −6)
2
⇔
2 ≤ x < 6
6 ≤ x < 18
⇔ 2 ≤ x ≤ 18
Bài tập 5.27. Giải các phương trình sau
a) 3
x
= 11 − x. b) 2
x
= x + 1.
c) 3
x
+ 4
x
= 5
x
.
d) 1 + 8
x
2
= 3
x
.
e) 5
x
2
−2x+2
+ 4
x
2
−2x+3
+ 3
x
2
−2x+4
= 48.
f) 2
√
3−x
= −x
2
+ 8x − 14.
Lời giải.
a) Ta có y = 3
x
là hàm số đồng biến trên R còn y = 11 − x là hàm số nghịch biến trên R.
Do đó phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.
b) Ta có phương trình tương đương 2
x
− x − 1 = 0.
Xét hàm số f(x) = 2
x
− x − 1 có f
(x) = 2
x
ln 2 −1; f
(x) = 0 ⇔ log
2
1
ln 2
.
Vì f
(x) có một nghiệm nên f (x) có tối đa hai nghiệm.
Hơn nữa f (0) = f(1) = 0, do đó phương trình có hai nghiệm x = 1 và x = 0.
c) Ta có phương trình tương đương
3
5
x
+
4
5
x
= 1.
Lại có y =
3
5
x
+
4
5
x
là hàm số nghịch biến trên R còn y = 1 là hàm hằng.
Do đó phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.
8
Chuyên đề 5. Hàm Số Lũy Thừa. Hàm Số Mũ & Hàm Số Lôgarit
d) Ta có phương trình tương đương
1
3
x
+
2
√
2
3
x
= 1.
Lại có y =
1
3
x
+
2
√
2
3
x
là hàm số nghịch biến trên R còn y = 1 là hàm hằng.
Do đó phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.
e) Đặt x
2
− 2x + 2 = t, phương trình trở thành 5
t
+ 4.4
t
+ 9.3
t
= 48 (∗).
Ta có y = 5
t
+ 4.4
t
+ 9.3
t
là hàm số đồng biến trên R còn y = 1 là hàm hằng.
Do đó phương trình (∗) có nghiệm duy nhất t = 1. Với t = 1 ⇒ x
2
− 2x + 2 = 1 ⇔ x = 1.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1.
f) Ta có phương trình tương đương x
2
− 8x + 2
√
3−x
+ 14 = 0.
Xét hàm số f(x) = x
2
− 8x + 2
√
3−x
+ 14 trên (−∞; 3].
Ta có f
(x) = 2x − 8 −
2
√
3−x
ln 2
2
√
3−x
< 0, ∀x < 3 nên f(x) nghịch biến trên (−∞; 3].
Lại có y = 0 là hàm hằng, do đó phương trình có nghiệm duy nhất x = 3.
Bài tập 5.28. Giải các phương trình sau
a) 4
x
+ (2x − 17) .2
x
+ x
2
− 17x + 66 = 0.
b) 9
x
+ 2 (x −2) .3
x
+ 2x − 5 = 0.
c) 9
x
2
+
x
2
− 3
.3
x
2
− 2x
2
+ 2 = 0.
d) 3
2x
− (2
x
+ 9) .3
x
+ 9.2
x
= 0.
Lời giải.
a) Đặt 2
x
= t, t > 0, phương trình trở thành t
2
+ (2x − 17) t + x
2
− 17x + 66 = 0 (∗).
Ta có: ∆ = (2x − 17)
2
− 4
x
2
− 17x + 66
= 25. Do đó phương trình (∗) có hai nghiệm
t = 11 −x
t = 6 −x
.
Với t = 11 − x ⇒ 2
x
= 11 − x ⇔ x = 3; với t = 6 − x ⇒ 2
x
= 6 − x ⇔ x = 2.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 3 và x = 2.
b) Đặt 3
x
= t, t > 0, phương trình trở thành t
2
+ 2 (x −2) t + 2x −5 = 0 (∗).
Ta có: ∆
= (x − 2)
2
− (2x − 5) = (x − 3)
2
. Do đó phương trình (∗) có hai nghiệm
t = −1(loại)
t = 5 −2x
.
Với t = 5 − 2x ⇒ 3
x
= 5 − 2x ⇔ x = 1. Vậy phương trình đã cho nghiệm duy nhất x = 1.
c) Đặt 3
x
2
= t, t > 0, phương trình trở thành t
2
+
x
2
− 3
t − 2x
2
+ 2 = 0 (∗).
Ta có: ∆ =
x
2
− 3
2
− 4
−2x
2
+ 2
= (x
2
+ 1)
2
. Do đó phương trình (∗) có hai nghiệm
t = 2
t = 1 −x
2
.
Với t = 2 ⇒ 3
x
2
= 2 ⇔ x = ±
log
3
2; với t = 1 − x
2
⇒ 3
x
2
= 1 − x
2
⇔ x = 0.
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm x = 0 và x = ±
log
3
2.
d) Đặt 3
x
= t, t > 0, phương trình trở thành t
2
− (2
x
+ 9) t + 9.2
x
= 0 (∗).
Ta có: ∆ = (2
x
+ 9)
2
− 36.2
x
= (2
x
− 9)
2
. Do đó phương trình (∗) có hai nghiệm
t = 9
t = 2
x
.
Với t = 9 ⇒ 3
x
= 9 ⇔ x = 2; với t = 2
x
⇒ 3
x
= 2
x
⇔ x = 0.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 2 và x = 0.
Bài tập 5.29. Giải các phương trình sau
a) 2
2x
−
√
2
x
+ 6 = 6. b) 3
2x
+
√
3
x
+ 7 = 7.
c) 27
x
+ 2 = 3
3
√
3
x+1
− 2.
d) 7
x−1
= 6log
7
(6x − 5) + 1.
Lời giải.
a) Đặt u =
√
2
x
+ 6, u > 0, phương trình đã cho trở thành
2
2x
− u = 6 (1)
u
2
− 2
x
= 6 (2)
.
Trừ theo vế (1) và (2) ta có: 2
2x
− u
2
− u + 2
x
= 0 ⇔ (2
x
− u) (2
x
+ u + 1) = 0 ⇔ u = 2
x
.
Với u = 2
x
⇒
√
2
x
+ 6 = 2
x
⇔ 4
x
− 2
x
− 6 = 0 ⇔
2
x
= 3
2
x
= −2(loại)
⇔ x = log
2
3.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = log
2
3.
b) Đặt u =
√
3
x
+ 7, u > 0, phương trình đã cho trở thành
3
2x
+ u = 7 (1)
u
2
− 3
x
= 7 (2)
.
Trừ theo vế (1) và (2) ta có: 3
2x
− u
2
+ u + 2
x
= 0 ⇔ (3
x
+ u) (3
x
− u + 1) = 0 ⇔ u = 3
x
+ 1.
Với u = 3
x
+ 1 ⇒
√
3
x
+ 7 = 3
x
+ 1 ⇔ 9
x
+ 3
x
− 6 = 0 ⇔
3
x
= 2
3
x
= −3(loại)
⇔ x = log
3
2.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = log
3
2.
c) Đặt u =
3
√
3.3
x
− 2, u > 0, phương trình đã cho trở thành
3
3x
+ 2 = 3u (1)
u
3
+ 2 = 3.3
x
(2)
.
Trừ theo vế (1) và (2) ta có: 3
3x
− u
3
= 3u − 3.3
x
⇔ (3
x
− u)
3
2
x + 3
x
.u + u
2
+ 3
= 0 ⇔ u = 3
x
.
Với u = 3
x
⇒
3
√
3.3
x
− 2 = 3
x
⇔ 27
x
− 3.3
x
+ 2 = 0 ⇔
3
x
= 1
3
x
= −2(loại)
⇔ x = 0.
9
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0.
d) Đặt u − 1 = log
7
(6x − 5), phương trình trở thành
7
x−1
= 6u − 5 (1)
7
u−1
= 6x − 5 (2)
.
Trừ theo vế (1) và (2) ta có: 7
x−1
− 7
u−1
= 6u − 6x ⇔ 7
x−1
+ 6x = 7
u−1
+ 6u (∗).
Xét hàm số f(t) = 7
t−1
+ 6t trên R có f
(t) = 7
t−1
ln 7 + 6 > 0, ∀t ∈ R nên đồng biến trên R.
Do đó (∗) ⇔ f(x) = f (u) ⇔ x = u ⇒ 7
x−1
= 6x − 5 ⇔ 7
x−1
− 6x + 5 = 0.
Xét g(x) = 7
x−1
− 6x + 5 có g
(x) = 7
x−1
ln 7 −6; g
(x) = 0 ⇔ x = 1 + log
7
6
ln 7
.
Vì g
(x) có một nghiệm nên g(x) có tối đa hai nghiệm.
Nhận thấy g(1) = g(2) = 0, do đó phương trình có hai nghiệm x = 1 và x = 2.
Bài tập 5.30. Giải các phương trình sau
a) 2
x
2
= 3
x
. b) 2
x
2
−4
= 3
x−2
.
c) 5
x
.8
x−1
x
= 500.
d) 8
x
x+2
= 4.3
4−x
.
Lời giải.
a) 2
x
2
= 3
x
⇔ x
2
= xlog
2
3 ⇔ x (x − log
2
3) = 0 ⇔
x = 0
x = log
2
3
.
b) 2
x
2
−4
= 3
x−2
⇔ x
2
− 4 = (x − 2) log
2
3 ⇔ (x −2) (x + 2 − log
2
3) = 0 ⇔
x = 2
x = −2 + log
2
3
.
c) 5
x
.8
x−1
x
= 500 ⇔ 5
x−3
.2
x−3
x
= 1 ⇔ x −3 +
x−3
x
log
5
2 = 0 ⇔ (x −3) (x − log
5
2) = 0 ⇔
x = 3
x = log
5
2
.
d) 8
x
x+2
= 4.3
4−x
⇔ 2
x−4
x+2
= 3
4−x
⇔
x−4
x+2
log
3
2 = 4 − x ⇔ (x − 4) (log
3
2 + x + 2) = 0 ⇔
x = 4
x = −2 −log
3
2
.
Bài tập 5.31. Giải các phương trình sau
a) 3
x
2
= cos 2x.
b) 2
|x|
= sin x.
c) 2
x−1
− 2
x
2
−x
= (x − 1)
2
.
d) 2
2x+1
+ 2
3−2x
=
8
log
3
(4x
2
−4x+4)
.
Lời giải.
a) Ta có
3
x
2
≥ 1
cos 2x ≤ 1
. Do đó phương trình tương đương với
3
x
2
= 1
cos 2x = 1
⇔ x = 0.
b) Ta có
2
|x|
≥ 1
sin x ≤ 1
. Do đó phương trình tương đương với
2
|x|
= 1
sin x = 1
(vô nghiệm).
c) Ta có: (x − 1)
2
≥ 0 ⇒ x
2
− x ≥ x − 1 ⇒ 2
x
2
−x
≥ 2
x−1
⇒ 2
x−1
− 2
x
2
−x
≤ 0.
Do đó phương trình tương đương với
2
x−1
− 2
x
2
−x
= 0
(x − 1)
2
= 0
⇔ x = 1.
d) Theo bất đẳng thức AM −GM ta có: 2
2x+1
+ 2
3−2x
≥ 2
√
2
2x+1
.2
3−2x
= 8.
Lại có: 4x
2
− 4x + 4 = (2x − 1)
2
+ 3 ≥ 3 ⇒ log
3
(4x
4
− 4x + 4) ≥ 1 ⇒
8
log
3
(4x
4
−4x+4)
≤ 8.
Do đó phương trình tương đương với
2
2x+1
+ 2
3−2x
= 8
8
log
3
(4x
4
−4x+4)
= 8
⇔ x =
1
2
.
§5. Phương Trình & Bất Phương Trình Lôgarit
Bài tập 5.32. Giải các phương trình sau
a) log
3
(x − 2) = 2. b) log
3
(5x + 3) = log
3
(7x + 5).
c) log
2
x
2
− 1
= log
1
2
(x − 1).
d) log
2
x + log
2
(x − 2) = 3.
e) log
2
x
2
+ 8
= log
2
x + log
2
6. f) log
3
(x + 2) + log
3
(x − 2) = log
3
5.
g) log
3
x + log
4
x = log
5
x. h) log
2
x + log
3
x + log
4
x = log
20
x.
Lời giải.
a) log
3
(x − 2) = 2 ⇔ x −2 = 9 ⇔ x = 11.
b) Điều kiện: x > −
3
5
. Khi đó log
3
(5x + 3) = log
3
(7x + 5) ⇔ 5x + 3 = 7x + 5 ⇔ x = −1 (loại).
c) Điều kiện: x > 1. Khi đó ta có phương trình tương đương:
log
2
x
2
− 1
+ log
2
(x − 1) = 0 ⇔ log
2
x
2
− 1
(x − 1)
= 0 ⇔ x
3
− x
2
− x = 0 ⇔
x = 0(loại)
x =
1+
√
5
2
x =
1−
√
5
2
(loại)
Vậy phương trình có nghiệm x =
1+
√
5
2
.
10
Chuyên đề 5. Hàm Số Lũy Thừa. Hàm Số Mũ & Hàm Số Lôgarit
d) Điều kiện: x > 2. Khi đó ta có phương trình tương đương:
log
2
[x (x −2)] = 3 ⇔ x
2
− 2x − 8 = 0 ⇔
x = 4
x = −2(loại)
Vậy phương trình có nghiệm x = 4.
e) Điều kiện: x > 0. Khi đó ta có phương trình tương đương:
log
2
x
2
+ 8
= log
2
(6x) ⇔ x
2
− 6x + 8 = 0 ⇔
x = 4
x = 2
(thỏa mãn)
f) Điều kiện: x > 2. Khi đó ta có phương trình tương đương:
log
3
x
2
− 4
= log
3
5 ⇔ x
2
= 9 ⇔
x = 3
x = −3(loại)
Vậy phương trình có nghiệm x = 3.
g) PT ⇔ log
3
5.log
5
x + log
4
5.log
5
x = log
5
x ⇔ log
5
x (log
3
5 + log
4
5 − 1) = 0 ⇔ log
5
x = 0 ⇔ x = 1.
h) PT ⇔ log
20
x (log
2
20 + log
3
20 + log
4
20 − 1) = 0 ⇔ log
20
x = 0 ⇔ x = 1.
Bài tập 5.33. Giải các bất phương trình sau
a) log
8
(4 − 2x) ≥ 2.
b) log
3
x
2
+ 2
+ log
1
3
(x + 2) < 0.
c) log
1
5
(3x − 5) > log
1
5
(x + 1).
d) log
2
(x + 3) < log
4
(2x + 9).
Lời giải.
a) log
8
(4 − 2x) ≥ 2 ⇔ 4 − 2x ≥ 64 ⇔ x ≤ −30.
b) log
3
x
2
+ 2
< log
3
(x + 2) ⇔ x
2
+ 2 < x + 2 ⇔ 0 < x < 1.
c) Điều kiện: x >
5
3
. Khi đó ta có bất phương trình tương đương: 3x − 5 < x + 1 ⇔ x < 3.
Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm: S =
5
3
; 3
.
d) Điều kiện: x > −3. Khi đó ta có bất phương trình tương đương:
log
2
(x + 3) <
1
2
log
2
(2x + 9) ⇔ log
2
(x + 3)
2
< log
2
(2x + 9) ⇔ x
2
+ 4x < 0 ⇔ −4 < x < 0
Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm: S = (−3; 0).
Bài tập 5.34. Giải các phương trình sau
a) log
2
x
2
+ 3x + 2
+ log
2
x
2
+ 7x + 12
= log
2
24. b) log
x
3
+ 8
= log (x + 58) +
1
2
log
x
2
+ 4x + 4
.
c)
1
2
log
√
2
(x + 3) +
1
4
log
4
(x − 1)
8
= log
2
4x.
d)
3
2
log
1
4
(x + 2)
2
− 3 = log
1
4
(4 − x)
3
+ log
1
4
(x + 6)
3
.
e) log
√
2
√
x + 1 − log
1
2
(3 − x) − log
8
(x − 1)
3
= 0.
f) log
1
2
(x − 1) + log
1
2
(x + 1) − log
1
√
2
(7 − x) = 1.
g) log
2
8 − x
2
+ log
1
2
√
1 + x +
√
1 − x
− 2 = 0.
h) log
2
(4
x
+ 15.2
x
+ 27) + 2log
2
1
4.2
x
−3
= 0.
Lời giải.
a) Điều kiện:
x > −1
−3 < x < −2
x < −4
. Khi đó ta có phương trình tương đương:
x
2
+ 3x + 2
x
2
+ 7x + 12
= 24 ⇔ x
4
+ 10x
3
+ 35x
2
+ 50x = 0 ⇔
x = 0
x = −5
(thỏa mãn)
b) Điều kiện: x > −2. Khi đó ta có phương trình tương đương:
log
x
3
+ 8
= log [(x + 58) (x + 2)] ⇔ x
3
+ 8 = x
2
+ 60x + 116 ⇔
x = 9
x = −2(loại)
x = −6(loại)
Vậy phương trình có nghiệm x = 9.
c) Điều kiện: x > 0; x = 1. Khi đó ta có phương trình tương đương:
log
2
(x + 3) + log
2
|x − 1| = log
2
4x ⇔ (x + 3) |x − 1| = 4x (∗)
Với x > 1, ta có: (∗) ⇔ (x + 3)(x − 1) = 4x ⇔ x
2
− 2x − 3 = 0 ⇔
x = −1(loại)
x = 3
.
Với 0 < x < 1, ta có: (∗) ⇔ (x + 3)(−x + 1) = 4x ⇔ −x
2
− 6x + 3 = 0 ⇔
x = −3 + 2
√
3
x = −3 −2
√
3(loại)
.
11
Vậy phương trình có nghiệm: x = 3 và x = −3 + 2
√
3.
d) Điều kiện: −6 < x < 4; x = −2. Khi đó ta có phương trình tương đương:
log
1
4
|x + 2| + log
1
4
4 = log
1
4
(4 − x) + log
1
4
(x + 6) ⇔ 4 |x + 2| = (4 − x)(x + 6) (∗)
Với −2 < x < 4, ta có: (∗) ⇔ 4(x + 2) = (4 − x)(x + 6) ⇔ x
2
+ 6x − 16 = 0 ⇔
x = 2
x = −8(loại)
Với −6 < x < −2, ta có: (∗) ⇔ 4(−x − 2) = (4 − x)(x + 6) ⇔ x
2
− 2x − 32 = 0 ⇔
x = 1 −
√
33
x = 1 +
√
33(loại)
.
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2 và x = 1 −
√
33.
e) Điều kiện: 1 < x < 3. Khi đó ta có phương trình tương đương:
log
2
(x + 1) + log
2
(3 − x) = log
2
(x − 1) ⇔ (x + 1)(3 −x) = x −1 ⇔ x
2
− x − 4 = 0 ⇔
x =
1+
√
17
2
x =
1−
√
17
2
(loại)
Vậy phương trình có nghiệm x =
1+
√
17
2
.
f) Điều kiện: 1 < x < 7. Khi đó ta có phương trình tương đương:
log
1
2
x
2
− 1
= log
1
2
(7 − x)
2
+ log
1
2
2 ⇔
x
2
− 1
= 2(7 − x)
2
⇔ x
2
− 28x + 99 = 0 ⇔
x = 14 +
√
97(loại)
x = 14 −
√
97
Vậy phương trình có nghiệm x = 14 −
√
97.
g) Điều kiện: −1 ≤ x ≤ 1. Khi đó ta có phương trình tương đương:
log
2
8 − x
2
= log
2
√
1 + x +
√
1 − x
+ log
2
4 ⇔ 8 −x
2
= 4
√
1 + x +
√
1 − x
(∗)
Đặt
√
1 + x +
√
1 − x = t, t ∈
√
2; 2
⇒ 1 −x
2
=
t
4
−4t
2
+4
4
. Phương trình (∗) trở thành:
7 +
t
4
− 4t
2
+ 4
4
= 4t ⇔ t
4
− 4t
2
− 16t + 32 = 0 ⇔ (t −2)(t
3
+ 2t − 16) = 0 ⇔
t = 2
t
3
+ 2t − 16 = 0 (∗∗)
Xét f (t) = t
3
+ 2t − 16 trên
√
2; 2
có f
(t) = 3t
2
+ 2 > 0, ∀t ∈
√
2; 2
Suy ra f (t) đồng biến trên
√
2; 2
⇒ f(t) ≤ f(2) = −4 ⇒ (∗∗) vô nghiệm.
Với t = 2 ⇒
√
1 + x +
√
1 − x = 2 ⇔ 2 + 2
√
1 − x
2
= 4 ⇔
√
1 − x
2
= 1 ⇔ x = 0.
h) Điều kiện: 2
x
>
3
4
. Khi đó ta có phương trình tương đương:
log
2
(4
x
+ 15.2
x
+ 27) = log
2
(4.2
x
− 3)
2
⇔ 15.4
x
− 39.2
x
− 18 = 0 ⇔
2
x
= 3
2
x
= −
2
5
(loại)
⇔ x = log
2
3
Bài tập 5.35. Giải các phương trình sau
a) log
2
x −
√
x
2
− 1
+ 3log
2
x +
√
x
2
− 1
= 2.
b) (A-08) log
2x−1
2x
2
+ x − 1
+log
x+1
(2x − 1)
2
= 4.
c) log
2
x −
√
x
2
− 1
.log
3
x +
√
x
2
− 1
= log
6
x −
√
x
2
− 1
.
Lời giải.
a) Ta có phương trình tương đương:
− log
2
x +
x
2
− 1
+ 3log
2
x +
x
2
− 1
= 2 ⇔ log
2
x +
x
2
− 1
= 1
⇔ x +
x
2
− 1 = 2 ⇔
x ≤ 2
x
2
− 1 ≥ 0
x
2
− 1 = x
2
− 4x + 4
⇔ x =
5
4
b) Điều kiện: x >
1
2
; x = 1. Khi đó ta có phương trình tương đương:
log
2x−1
[(2x − 1) (x + 1)] + 2log
x+1
(2x − 1) = 4 ⇔ 1 + log
2x−1
(x + 1) +
2
log
2x−1
(x + 1)
= 4
⇔ log
2
2x−1
(x + 1) − 3log
2x−1
(x + 1) + 2 = 0
⇔
log
2x−1
(x + 1) = 1
log
2x−1
(x + 1) = 2
⇔
x + 1 = 2x − 1
x + 1 = 4x
2
− 4x + 1
⇔
x = 2
x = 0 (loại)
x =
5
4
12
Chuyên đề 5. Hàm Số Lũy Thừa. Hàm Số Mũ & Hàm Số Lôgarit
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2 và x =
5
4
.
c) Ta có phương trình tương đương:
log
2
x −
x
2
− 1
.log
3
x +
x
2
− 1
= log
6
2.log
2
x −
x
2
− 1
⇔ log
2
x −
x
2
− 1
log
3
x +
x
2
− 1
− log
6
2
= 0
⇔
log
2
x −
√
x
2
− 1
= 0
log
3
x +
√
x
2
− 1
= log
6
2
⇔
x −
√
x
2
− 1 = 1
x +
√
x
2
− 1 = 3
log
6
2
⇔
x ≥ 1
x
2
− 1 = x
2
− 2x + 1
x ≤ 3
log
6
2
x
2
− 1 = x
2
− 2x3
log
6
2
+ 9
log
6
2
⇔
x = 1
x =
3
log
6
2
+3
−log
6
2
2
Bài tập 5.36. Giải các bất phương trình sau
a) (A-07) 2log
3
(4x − 3) + log
1
3
(2x + 3) ≤ 2. b) log
1
2
x + 2log
1
4
(x − 1) + log
2
6 ≤ 0.
c) (D-08) log
1
2
x
2
−3x+2
x
≥ 0.
d) log
0,5
x+1
2x−1
> 1.
e)
log
2
3.2
x−1
− 1
x
≥ 1.
f)
log
2
(1 − 3log
27
x) − 1
log
2
x
< 0.
g) (B-02) log
x
[log
3
(9
x
− 72)] ≤ 1.
h)
x − 1
log
3
(9 − 3
x
) − 3
≤ 1.
Lời giải.
a) Điều kiện: x >
3
4
. Khi đó ta có bất phương trình tương đương:
log
3
(4x − 3)
2
≤ log
3
(2x + 3) + log
3
9 ⇔ (4x −3)
2
≤ 9(2x + 3) ⇔ 16x
2
− 42x − 18 ≤ 0 ⇔ −
3
8
≤ x ≤ 3
Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm S =
3
4
; 3
.
b) Điều kiện: x > 1. Khi đó ta có bất phương trình tương đương:
log
1
2
x + log
1
2
(x − 1) ≤ log
1
2
6 ⇔ x(x −1) ≥ 6 ⇔
x ≥ 3
x ≤ −2 (loại)
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = [3; +∞).
c) Điều kiện:
0 < x < 1
x > 2
. Khi đó ta có bất phương trình tương đương:
x
2
− 3x + 2
x
≤ 1 ⇔ x
2
− 3x + 2 ≤ x ⇔ 2 −
√
2 ≤ x ≤ 2 +
√
2
Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm S =
2 −
√
2; 1
∪
2; 2 +
√
2
.
d) Điều kiện:
x >
1
2
x < −1
. Khi đó ta có bất phương trình tương đương:
x + 1
2x − 1
<
1
2
⇔
3
2 (2x −1)
< 0 ⇔ x <
1
2
Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; −1).
e) Điều kiện: x > 1 − log
2
3; x = 0.
Với x > 0, ta có bất phương trình tương đương: log
2
3.2
x−1
− 1
≥ x ⇔
3
2
.2
x
−1 ≥ 2
x
⇔ x ≥ 1 ⇒ S
1
= [1; +∞).
Với 1 −log
2
3 < x < 0, BPT tương đương: log
2
3.2
x−1
− 1
≤ x ⇔
3
2
.2
x
−1 ≤ 2
x
⇔ x ≤ 1 ⇒ S
2
= (1 −log
2
3; 0).
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = S
1
∪ S
2
= (1 − log
2
3; 0) ∪[1; +∞).
f) Điều kiện: 0 < x < 3; x = 1.
Với 1 < x < 3, ta có BPT tương đương: log
2
(1 − log
3
x) − 1 < 0 ⇔ 1 − log
3
x < 2 ⇔ x >
1
3
⇒ S
1
= (1; 3).
Với 0 < x < 1, ta có BPT tương đương: log
2
(1 − log
3
x) − 1 > 0 ⇔ 1 − log
3
x > 2 ⇔ x <
1
3
⇒ S
2
=
0;
1
3
.
Kết hợp bất phương trình có tập nghiệm S = S
1
∪ S
2
=
0;
1
3
∪ (1; 3).
g) Điều kiện: x > log
9
73. Khi đó ta có bất phương trình tương đương:
log
3
(9
x
− 72) ≤ x ⇔ 9
x
− 72 ≤ 3
x
⇔ −8 ≤ 3
x
≤ 9 ⇔ x ≤ 2
Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm S = (log
3
73; 2].
h) Điều kiện: x < 2. Nhận xét rằng log
3
(9 − 3
x
) − 3 < 0 nên ta có bất phương trình tương đương:
x − 1 ≥ log
3
(9 − 3
x
) − 3 ⇔ 9 −3
x
≤ 3
x+2
⇔ 3
x
≥
9
10
⇔ x ≥ 2 − log
3
10
Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm S = [2 − log
3
10; 2).
13
Bài tập 5.37. Giải các bất phương trình sau
a) (B-08) log
0,7
log
6
x
2
+x
x+4
< 0.
b) log
1
2
log
3
x+1
x−1
≥ 0.
c) log
3
log
4
3x−1
x+1
≤ log
1
3
log
1
4
x+1
3x−1
.
d) log
1
3
log
5
√
x
2
+ 1 + x
> log
3
log
1
5
√
x
2
+ 1 − x
.
Lời giải.
a) log
0,7
log
6
x
2
+x
x+4
< 0 ⇔ log
6
x
2
+x
x+4
> 1 ⇔
x
2
+x
x+4
> 6 ⇔
x
2
−5x−24
x+4
> 0 ⇔
−4 < x < −3
x > 8
.
b) Điều kiện: x > 1. Khi đó ta có bất phương trình tương đương:
log
3
x + 1
x − 1
≤ 1 ⇔
x + 1
x − 1
≤ 3 ⇔
−2x + 4
x − 1
≤ 0 ⇔
x ≥ 2
x < 1
Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm S = [2; +∞).
c) Điều kiện:
x > 1
x < −1
. Khi đó ta có bất phương trình tương đương:
log
3
log
4
3x − 1
x + 1
≤ 0 ⇔ log
4
3x − 1
x + 1
≤ 1 ⇔
3x − 1
x + 1
≤ 4 ⇔
−x − 5
x + 1
≤ 0 ⇔
x > −1
x ≤ −5
Kết hợp bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; −5] ∪ (1; +∞).
d) Điều kiện: x > 0. Khi đó ta có bất phương trình tương đương:
log
3
log
5
x
2
+ 1 + x
< 0 ⇔
x
2
+ 1 + x < 5 ⇔
x ≤ 5
x
2
+ 1 < (5 −x)
2
⇔ x <
12
5
Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm:
0;
12
5
.
Bài tập 5.38. Giải các phương trình sau
a) log
2
2
x − 3log
2
x + 2 = 0.
b) log
1
2
x + log
2
2
x = 2.
c) 2log
2
x − log
3
x = 2 −log x. d) log
2
x
3
− 20 log
√
x + 1 = 0.
e)
log
3
x +
4 − log
3
x = 2.
f) log
2
(2
x
+ 1) .log
2
2
x+1
+ 2
= 2.
g) log
3
(3
x
+ 1) .log
3
3
x+2
+ 9
= 3. h) log
2
(5
x
− 1) .log
4
(2.5
x
− 2) = 1.
Lời giải.
a) log
2
2
x − 3log
2
x + 2 = 0 ⇔
log
2
x = 2
log
2
x = 1
⇔
x = 4
x = 2
.
b) log
1
2
x + log
2
2
x = 2 ⇔ log
2
2
x − log
2
x − 2 = 0 ⇔
log
2
x = −1
log
2
x = 2
⇔
x =
1
2
x = 4
.
c) 2log
2
x − log
3
x = 2 −log x ⇔ log
3
x − 2log
2
x − log x + 2 = 0 ⇔
log x = 1
log x = −1
log x = 2
⇔
x = 10
x =
1
10
x = 100
.
d) log
2
x
3
− 20 log
√
x + 1 = 0 ⇔ 9log
2
x − 10 log x + 1 = 0 ⇔
log x = 1
log x =
1
9
⇔
x = 10
x =
9
√
10
.
e) Đặt
log
3
x = t, t ≥ 0. Phương trình trở thành:
t +
4 − t
2
= 2 ⇔
t ≤ 2
4 − t
2
= 4 − 4t + t
2
⇔
t = 0
t = 2
Với t = 0 ⇒
log
3
x = 0 ⇔ x = 1; với t = 2 ⇒
log
3
x = 2 ⇔ x = 81.
f) Ta có phương trình tương đương: log
2
(2
x
+ 1) .log
2
[2 (2
x
+ 1)] = 2 ⇔ log
2
(2
x
+ 1) . [1 + log
2
(2
x
+ 1)] −2 = 0.
Đặt log
2
(2
x
+ 1) = t, t > 0. Phương trình trở thành: t(1 + t) − 2 = 0 ⇔ t
2
+ t − 2 = 0 ⇔
t = 1
t = −2 (loại)
.
Với t = 1 ⇒ log
2
(2
x
+ 1) = 1 ⇔ 2
x
+ 1 = 2 ⇔ x = 0.
g) Ta có phương trình tương đương: log
3
(3
x
+ 1) .log
3
[9 (3
x
+ 1)] = 3 ⇔ log
3
(3
x
+ 1) [2 + log
3
(3
x
+ 1)] −3 = 0.
Đặt log
3
(3
x
+ 1) = t, t > 0. Phương trình trở thành: t(2 + t) − 3 = 0 ⇔ t
2
+ 2t − 3 = 0 ⇔
t = 1
t = −3 (loại)
.
Với t = 1 ⇒ log
3
(3
x
+ 1) = 1 ⇔ 3
x
+ 1 = 3 ⇔ x = log
3
2.
h) Ta có phương trình tương đương: log
2
(5
x
− 1) .
1
2
log
2
[2 (5
x
− 1)] = 1 ⇔ log
2
(5
x
− 1) [1 + log
2
(5
x
− 1)]−2 = 0.
Đặt log
5
(5
x
− 1) = t. Phương trình trở thành: t(1 + t) − 2 = 0 ⇔ t
2
+ t − 2 = 0 ⇔
t = 1
t = −2
.
Với t = 1 ⇒ log
5
(5
x
− 1) = 1 ⇔ 5
x
− 1 = 5 ⇔ x = log
5
6;.
Với t = −2 ⇒ log
5
(5
x
− 1) = −2 ⇔ 5
x
− 1 =
1
25
⇔ x = log
5
26
25
.
14
Chuyên đề 5. Hàm Số Lũy Thừa. Hàm Số Mũ & Hàm Số Lôgarit
Bài tập 5.39. Giải các bất phương trình sau
a) log
2
2
(2x + 1) − 3 log (2x + 1) + 2 > 0.
b) log
2
9
(x − 1) −
5
4
log
3
(x − 1) + 1 ≤ 0.
c) log
x−1
4 ≥ 1 + log
2
(x − 1).
d) log
2
(2
x
− 1) log
1
2
2
x+1
− 2
> −2.
e) log
4
(19 − 2
x
) log
2
19−2
x
8
≤ −1.
f) log
5
(4
x
+ 144) − 4log
5
2 < 1 + log
5
2
x−2
+ 1
.
Lời giải.
a) log
2
2
(2x + 1) − 3 log (2x + 1) + 2 > 0 ⇔
log
2
(2x + 1) > 2
log
2
(2x + 1) < 1
⇔
2x + 1 > 4
0 < 2x + 1 < 2
⇔
x >
3
2
−
1
2
< x <
1
2
.
b) BPT ⇔
1
4
log
2
3
(x − 1) −
5
4
log
3
(x − 1) + 1 ≤ 0 ⇔ 1 ≤ log
3
(x − 1) ≤ 4 ⇔ 4 < x < 82.
c) Điều kiện: x > 1; x = 2. Khi đó ta có bất phương trình tương đương:
2
log
2
(x − 1)
≥ 1 + log
2
(x − 1) ⇔
log
2
2
(x − 1) + log
2
(x − 1) − 2
log
2
(x − 1)
≤ 0 ⇔
log
2
(x − 1) ≤ −2
0 < log
2
(x − 1) ≤ 1
⇔
x ≤
5
4
2 < x ≤ 3
Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm S =
1;
5
4
∪ (2; 3].
d) Ta có BPT tương đương: log
2
(2
x
− 1) log
2
[2 (2
x
− 1)] − 2 < 0 ⇔ log
2
(2
x
− 1) [1 + log
2
(2
x
− 1)] − 2 < 0.
Đặt log
2
(2
x
− 1) = t. Bất phương trình trở thành: t(1 + t) − 2 < 0 ⇔ t
2
+ t − 2 < 0 ⇔ −2 < t < 1.
Với −2 < t < 1 ⇒ −2 < log
2
(2
x
− 1) < 1 ⇔
1
4
< 2
x
− 1 < 2 ⇔ log
2
5
4
< x < log
2
3.
e) Ta có bất phương trình tương đương: log
2
(19 − 2
x
) [log
2
(19 − 2
x
) − 3] + 2 ≤ 0.
Đặt log
2
(19 − 2
x
) = t. Bất phương trình trở thành: t(t − 3) + 2 ≤ 0 ⇔ t
2
− 3t + 2 ≤ 0 ⇔ 1 ≤ t ≤ 2.
Với 1 ≤ t ≤ 2 ⇒ 1 ≤ log
2
(19 − 2
x
) ≤ 2 ⇔ 2 ≤ 19 − 2
x
≤ 4 ⇔ log
2
15 ≤ x < log
2
17.
f) BPT ⇔ 4
x
+ 144 < 80
2
x−2
+ 1
⇔ 4
x
− 20.2
x
+ 64 < 0 ⇔ 4 < 2
x
< 16 ⇔ 2 < x < 4.
Bài tập 5.40. Giải các bất phương trình sau
a)
log
2
x +
log
x
2 ≥
4
√
3
.
b) −
3
log
1
2
x + log
4
x
2
− 2 > 0.
c)
log
2
2
x + log
1
2
x
2
− 3 >
√
5
log
4
x
2
− 3
.
d)
log
2
√
2
x + log
2
x
4
− 8 > log
√
2
x
2
4
.
Lời giải.
a) Đặt
log
2
x = t, t > 0. Bất phương trình trở thành: t +
1
t
≥
4
√
3
⇔ t
2
−
4
√
3
t + 1 ≥ 0 ⇔
t ≥
√
3
t ≤
√
3
3
.
Với t ≥
√
3 ⇒
log
2
x ≥
√
3 ⇔ x ≥ 8; với t ≤
√
3
3
⇒
log
2
x ≤
√
3
3
⇔ 1 < x ≤
3
√
2.
b) Ta có bất phương trình tương đương:
3
log
2
x + log
2
x − 2 > 0.
Đặt
3
log
2
x = t. Bất phương trình trở thành: t + t
3
− 2 > 0 ⇔ t > 1.
Với t > 1 ⇒
3
log
2
x > 1 ⇔ log
2
x > 1 ⇔ x > 2.
c) Ta có bất phương trình tương đương:
log
2
2
x − 2log
2
x − 3 >
√
5 (log
2
x − 3).
Đặt log
2
x = t. Bất phương trình trở thành:
t
2
− 2t − 3 >
√
5(t − 3) ⇔
t < 3
t
2
− 2t − 3 ≥ 0
t ≥ 3
t
2
− 2t − 3 > 5(t −3)
2
⇔
t ≤ −1
3 < t < 4
Với t ≤ −1 ⇒ log
2
x ≤ −1 ⇔ 0 < x ≤
1
2
; với 3 < t < 4 ⇒ 3 < log
2
x < 4 ⇔ 8 < x < 16.
d) Ta có bất phương trình tương đương:
log
2
2
x + log
2
x − 2 > 2log
2
x − 2.
Đặt log
2
x = t. Bất phương trình trở thành:
t
2
+ t − 2 > 2t −2 ⇔
t < 1
t
2
+ t − 2 ≥ 0
t ≥ 1
t
2
+ t − 2 > 4t
2
− 8t + 4
⇔
t ≤ −2
1 < t < 2
Với t ≤ −2 ⇒ log
2
x ≤ −2 ⇔ 0 < x ≤
1
4
; với 1 < t < 2 ⇒ 1 < log
2
x < 2 ⇔ 2 < x < 4.
Bài tập 5.41. Giải các bất phương trình sau
a) log
2x
64 + log
x
2
16 ≥ 3.
b) log
x
(125x) .log
25
x >
3
2
+ log
2
5
x.
c) (CĐ-2012) log
2
(2x). log
3
(3x) > 1.
d) log
1
3
x +
1 − 4 log
2
1
3
x < 1.
15
Lời giải.
a) Điều kiện: x > 0; x = 1; x =
1
2
. Khi đó ta có bất phương trình tương đương:
6
1 + log
2
x
+
2
log
2
x
− 3 ≥ 0 ⇔
−3 log
2
2
x + 5log
2
x + 2
log
2
x (1 + log
2
x)
≥ 0 ⇔
−1 < log
2
x ≤ −
1
3
0 < log
2
x ≤ 2
⇔
1
2
< x ≤
1
3
√
2
1 < x ≤ 4
b) Điều kiện: x > 0; x = 1. Khi đó ta có bất phương trình tương đương:
3
log
5
x
+ 1
1
2
log
5
x >
3
2
+ log
2
5
x ⇔ 2 log
2
5
x − log
5
x < 0 ⇔ 0 < log
5
x <
1
2
⇔ 1 < x <
√
5
c) BPT ⇔ (1 + log
2
x) (1 + log
3
x) > 1 ⇔ log
2
x [log
3
6 + log
3
x] > 0 ⇔
log
2
x > 0
log
3
6 + log
3
x > 0
log
2
x < 0
log
3
6 + log
3
x < 0
⇔
x > 1
0 < x <
1
6
.
d) Đặt log
1
3
x = t. Bất phương trình trở thành:
t +
1 − 4t
2
< 1 ⇔
1 − t ≥ 0
1 − 4t
2
≥ 0
1 − 4t
2
< (1 −t)
2
⇔
t ≤ 1
−
1
2
≤ t ≤
1
2
t < 0
t >
2
5
⇔
−
1
2
≤ t < 0
2
5
< t ≤
1
2
Với −
1
2
≤ t < 0 ⇒ −
1
2
≤ log
1
3
x < 0 ⇔ 1 < x ≤
√
3; với
2
5
< t ≤
1
2
⇒
2
5
< log
1
3
x ≤
1
2
⇔
1
√
3
≤ x <
1
5
√
9
.
Bài tập 5.42. Giải các phương trình sau
a) x + 2.3
log
2
x
= 3. b) x
2
+ 3
log
2
x
= x
log
2
5
.
c) x
log
2
9
= x
2
.3
log
2
x
− x
log
2
3
.
d) log
2
x + 3
log
6
x
= log
6
x.
Lời giải.
a) Đặt log
2
x = t ⇔ x = 2
t
. Phương trình trở thành: 2
t
+ 2.3
t
= 3 (∗).
Ta có: y = 2
t
+ 2.3
t
là hàm số đồng biến trên R còn y = 3 là hàm số hằng nên (∗) có nghiệm duy nhất t = 0.
Với t = 0 ⇒ x = 1.
b) Đặt log
2
x = t ⇔ x = 2
t
. Phương trình trở thành: 2
2t
+ 3
t
= (2
t
)
log
2
5
⇔ 4
t
+ 3
t
= 5
t
⇔
4
5
t
+
3
5
t
= 1 (∗).
Ta có: y =
4
5
t
+
3
5
t
là hàm số nghịch biến trên R còn y = 1 là hàm số hằng nên (∗) có nghiệm duy nhất t = 2.
Với t = 2 ⇒ x = 4.
c) Đặt log
6
x = t ⇔ x = 6
t
. Phương trình trở thành:
2
t
log
2
9
= 2
2t
.3
t
−
2
t
log
2
3
⇔ 9
t
+ 3
t
= 12
t
⇔ 3
t
+ 1 = 4
t
⇔
3
4
t
+
1
4
t
= 1 (∗)
Ta có: y =
3
4
t
+
1
4
t
là hàm số nghịch biến trên R còn y = 1 là hàm số hằng nên (∗) có nghiệm duy nhất t = 1.
Với t = 1 ⇒ x = 2.
d) Đặt log
2
x = t ⇔ x = 2
t
. Phương trình trở thành: log
2
(6
t
+ 3
t
) = t ⇔ 6
t
+ 3
t
= 2
t
⇔ 3
t
+
3
2
t
= 1 (∗).
Ta có: y = 3
t
+
3
2
t
là hàm số đồng biến trên R còn y = 1 là hàm số hằng nên (∗) có nghiệm duy nhất t = −1.
Với t = −1 ⇒ x =
1
6
.
Bài tập 5.43. Giải các phương trình sau
a) log
2
2
x + (x − 4) log
2
x − x + 3 = 0. b) log
2
2
(x + 1) + (x − 5) log
2
(x + 1) − 2x + 6 = 0.
c) log
2
x
2
+ 1
+
x
2
− 5
log
x
2
+ 1
− 5x
2
= 0.
d) (x + 2) log
2
3
(x + 1)+ 4 (x + 1) log
3
(x + 1)−16 = 0.
Lời giải.
a) Đặt log
2
x = t. Phương trình trở thành: t
2
+ (x − 4)t − x + 3 = 0 (∗).
Có ∆ = (x − 4)
2
− 4(−x + 3) = x
2
− 4x + 4 = (x − 2)
2
nên (∗) có nghiệm
t = 1
t = 3 −x
.
Với t = 1 ⇒ log
2
x = 1 ⇔ x = 2; với t = 3 − x ⇒ log
2
x = 3 −x ⇔ x = 2.
b) Đặt log
2
(x + 1) = t. Phương trình trở thành: t
2
+ (x − 5)t − 2x + 6 = 0 (∗).
Có ∆ = (x − 5)
2
− 4(−2x + 6) = x
2
− 2x + 1 = (x − 1)
2
nên (∗) có nghiệm
t = 2
t = 3 −x
.
Với t = 2 ⇒ log
2
(x + 1) = 1 ⇔ x = 4; với t = 3 − x ⇒ log
2
(x + 1) = 3 − x ⇔ x = 1.
c) Đặt log(x
2
+ 1) = t. Phương trình trở thành: t
2
+ (x
2
− 5)t − 5x
2
= 0 (∗).
Có ∆ = (x
2
− 5)
2
+ 20x
2
= (x
2
+ 5)
2
nên (∗) có nghiệm
t = 5
t = −x
2
.
16
Chuyên đề 5. Hàm Số Lũy Thừa. Hàm Số Mũ & Hàm Số Lôgarit
Với t = 5 ⇒ log(x
2
+ 1) = 5 ⇔ x = ±
√
10
5
− 1; với t = −x
2
⇒ log(x
2
+ 1) = −x
2
⇔ x = 0.
d) Đặt log
3
(x + 1) = t. Phương trình trở thành: (x + 2)t
2
+ 4(x + 1)t − 16 = 0 (∗).
Có ∆ = 4(x + 1)
2
+ 16(x + 2) = 4x
2
+ 24x + 36 = (2x + 6)
2
nên (∗) có nghiệm
t = −4
t =
4
x+2
.
Với t = −4 ⇒ log
3
(x + 1) = −4 ⇔ x = −
80
81
; với t =
4
x+2
⇒ log
3
(x + 1) =
4
x+2
⇔ x = 2.
Bài tập 5.44. Giải các phương trình sau
a) log
2
(1 +
√
x) = log
3
x. b) log
7
x = log
3
(2 +
√
x).
c) 3log
3
(1 +
√
x +
3
√
x) = 2log
2
√
x.
d) log
1
2
(3 + |x|) = 2
|x|
− 4.
e) log
2
x
2
− 4
+ x = log
2
[8 (x + 2)]. f) 4 (x − 2) [log
2
(x − 3) + log
3
(x − 2)] = 15 (x + 1).
Lời giải.
a) Đặt log
3
x = t ⇔ x = 3
t
. Phương trình trở thành:
log
2
1 +
√
3
t
= t ⇔ 1 +
√
3
t
= 2
t
⇔
1
2
t
+
√
3
2
t
= 1 ⇔ t = 1
Với t = 1 ⇒ log
3
x = 1 ⇔ x = 3.
b) Đặt log
7
x = t ⇔ x = 7
t
. Phương trình trở thành:
log
3
2 +
√
7
t
= t ⇔ 2 +
√
7
t
= 3
t
⇔ 2.
1
3
t
+
√
7
3
t
= 1 ⇔ t = 2
Với t = 2 ⇒ log
7
x = 2 ⇔ x = 49.
c) Ta có phương trình tương đương: log
3
(1 +
√
x +
3
√
x) = log
8
x
Đặt log
8
x = t ⇔ x = 8
t
. Phương trình trở thành:
log
3
1 +
√
8
t
+
3
√
8
t
= t ⇔ 1 +
2
√
2
t
+ 2
t
= 3
t
⇔
1
3
t
+
2
√
2
3
t
+
2
3
t
= 1 ⇔ t = 4
Với t = 4 ⇒ log
8
x = 4 ⇔ x = 4096.
d) Đặt |x| = t, t ≥ 0. Phương trình trở thành: log
1
2
(3 + t) = 2
t
− 4 (∗).
Ta có y = log
1
2
(3 + t) là hàm số nghịch biến trên [0; +∞) còn y = 2
t
− 4 là hàm số đồng biến trên [0; +∞) nên
(∗) có nghiệm duy nhất t = 1.
Với t = 1 ⇒ |x| = 1 ⇔ x = ±1.
e) Ta có phương trình tương đương: log
2
(x − 2) = 3 − x (∗).
Ta có y = log
2
(x − 2) là hàm số đồng biến trên (2; +∞) và y = 3 − x là hàm số nghịch biến trên (2; +∞) nên
(∗) có nghiệm duy nhất x = 3.
f) Ta có phương trình tương đương: log
2
(x − 3) + log
3
(x − 2) =
15(x+1)
4(x−2)
(∗).
Ta có y = log
2
(x − 3) + log
3
(x − 2) là hàm số đồng biến trên (3; +∞) và y =
15(x+1)
4(x−2)
là hàm số nghịch biến trên
(3; +∞) nên (∗) có nghiệm duy nhất x = 11.
Bài tập 5.45. Giải các bất phương trình sau
a) 3
x
> 11 −x.
b) 1 +
√
15
x
≤ 4
x
.
c) 1 + 2
x+1
+ 3
x+1
< 6
x
.
d) 4
log x+1
− 6
log x
> 2.3
log x
2
+2
.
e) log
7
x < log
3
(
√
x + 2).
f) log
2
(2
x
+ 1) + log
3
(4
x
+ 2) ≤ 2.
Lời giải.
a) Nhận thấy x = 2 không phải nghiệm của bất phương trình.
Với x > 2 ta có:
3
x
> 3
2
= 9
11 − x < 11 − 2 = 9
⇒ 3
x
> 11 −x ⇒ x > 2 là nghiệm của bất phương trình.
Với x < 2 ta có:
3
x
< 3
2
= 9
11 − x > 11 − 2 = 9
⇒ 3
x
< 11 −x ⇒ x < 2 không phải nghiệm của bất phương trình.
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (2; +∞).
b) Ta có bất phương trình tương đương:
1
4
x
+
√
15
4
x
≤ 1.
Nhận thấy x = 2 là nghiệm của bất phương trình.
Với x > 2 ta có:
1
4
x
+
√
15
4
x
< 1 ⇒ x > 2 là nghiệm của bất phương trình.
Với x < 2 ta có:
1
4
x
+
√
15
4
x
> 1 ⇒ x < 2 không phải nghiệm của bất phương trình.
17
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = [2; +∞).
c) Ta có bất phương trình tương đương:
1
6
x
+ 2.
1
3
x
+ 3.
1
2
x
< 1.
Nhận thấy x = 2 không phải nghiệm của bất phương trình.
Với x > 2 ta có:
1
6
x
+ 2.
1
3
x
+ 3.
1
2
x
< 1 ⇒ x > 2 là nghiệm của bất phương trình.
Với x < 2 ta có:
1
6
x
+ 2.
1
3
x
+ 3.
1
2
x
> 1 ⇒ x < 2 không phải nghiệm của bất phương trình.
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (2; +∞).
d) Đặt log x = t. Bất phương trình trở thành:
4.4
t
− 6
t
> 18.9
t
⇔ 4.
4
9
t
−
2
3
t
− 18 > 0 ⇔
2
3
t
>
9
4
2
3
t
< −2 (loại)
⇔ t < −2
Với t < −2 ⇒ log x < −2 ⇔ x <
1
100
.
e) Đặt log
7
x = t ⇔ x = 7
t
. Bất phương trình trở thành:
t < log
3
2 +
√
7
t
⇔ 3
t
< 2 +
√
7
t
⇔ 2.
1
3
t
+
√
7
3
t
> 1 ⇔ t < 2
Với t < 2 ⇒ log
7
x < 2 ⇔ x < 49.
f) Nhận thấy x = 0 là nghiệm của bất phương trình.
Với x > 0 ta có: log
2
(2
x
+ 1) + log
3
(4
x
+ 2) > 2 ⇒ x > 0 là nghiệm của bất phương trình.
Với x < 2 ta có: log
2
(2
x
+ 1) + log
3
(4
x
+ 2) < 2 ⇒ x < 0 không phải nghiệm của bất phương trình.
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = [0; +∞).
§6. Hệ Phương Trình Mũ & Lôgarit
Bài tập 5.46. Giải các hệ phương trình sau
a)
3
y+1
− 2
x
= 5
4
x
− 6.3
y
+ 2 = 0
. b) (D-02)
2
3x
= 5y
2
− 4y
4
x
+2
x+1
2
x
+2
= y
.
c) (A-09)
log
2
x
2
+ y
2
= 1 + log
2
(xy)
3
x
2
−xy+y
2
= 81
. d) (B-2010)
log
2
(3y −1) = x
4
x
+ 2
x
= 3y
2
.
Lời giải.
a) Ta có hệ tương đương:
3.3
y
= 2
x
+ 5 (1)
4
x
− 6.3
y
+ 2 = 0 (2)
.
Thay (1) vào (2) ta có: 4
x
− 2 (2
x
+ 5) + 2 = 0 ⇔
2
x
= 4
2
x
= −2 (vô nghiệm)
⇔ x = 2.
Với x = 2 ⇒ y = 1. Vậy hệ đã cho có nghiệm (x; y) = (2; 1).
b) Ta có hệ tương đương:
2
3x
= 5y
2
− 4y
2
x
(2
x
+2)
2
x
+2
= y
⇔
2
3x
= 5y
2
− 4y (1)
2
x
= y (2)
.
Thay (2) vào (1) ta có: 2
3x
= 5.2
2x
− 4.2
x
⇔
2
x
= 4
2
x
= 1
2
2
= 0 (vô nghiệm)
⇔
x = 2
x = 0
.
Với x = 2 ⇒ y = 4; x = 0 ⇒ y = 1. Vậy hệ đã cho có hai nghiệm (x; y) = (2; 4) và (x; y) = (0; 1).
c) Ta có hệ tương đương:
log
2
x
2
+ y
2
= log
2
(2xy) (1)
3
x
2
−xy+y
2
= 81 (2)
.
Điều kiện: xy > 0. Khi đó: (1) ⇔ x
2
+ y
2
= 2xy ⇔ (x − y)
2
= 0 ⇔ x = y.
Với x = y thay vào (2) được 3
x
2
= 81 ⇔ x
2
= 4 ⇔ x = ±2 ⇒ y = ±2.
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm (x; y) = (2; 2) và (x; y) = (−2; −2).
d) Ta có hệ tương đương:
3y −1 = 2
x
(1)
4
x
+ 2
x
= 3y
2
(2)
.
Thay (1) vào (2) ta có: (3y − 1)
2
+ 3y −1 = 3y
2
⇔
y = 0
y =
1
2
.
Với y = 0 ⇒ 2
x
= −1 (vô nghiệm); với y =
1
2
⇒ 2
x
=
1
2
⇔ x = −1. Vậy hệ đã cho có nghiệm (x; y) =
−1;
1
2
.
Bài tập 5.47. Giải các hệ phương trình sau
a)
log
3
(x + 2) < 3
log
1
2
x
2
+ 2x − 8
≥ log
1
2
16
. b) (A-04)
log
1
4
(y −x) − log
4
1
y
= 1
x
2
+ y
2
= 25
.
c) (D-2010)
x
2
− 4x + y + 2 = 0
2log
2
(x − 2) − log
√
2
y = 0
. d) (B-05)
√
x − 1 +
√
2 − y = 1
3log
9
9x
2
− log
3
y
3
= 3
.
18
Chuyên đề 5. Hàm Số Lũy Thừa. Hàm Số Mũ & Hàm Số Lôgarit
Lời giải.
a) Ta có hệ tương đương:
0 < x + 2 < 27
x
2
+ 2x − 8 ≤ 16
⇔
−2 < x < 25
−6 ≤ x ≤ 4
⇔ −2 < x ≤ 4.
b) Ta có hệ tương đương:
log
1
4
(y −x) − log
1
4
y = 1 (1)
x
2
+ y
2
= 25 (2)
.
Điệu kiện: y > 0; y > x. Khi đó (1) ⇔
y−x
y
=
1
4
⇔ x =
3y
4
.
Với x =
3y
4
thay vào (2) ta có:
3y
4
2
+ y
2
= 25 ⇔
y = 4
y = −4 (loại)
⇒ x = 3.
Vậy hệ đã cho có nghiệm (x; y) = (3; 4).
c) Ta có hệ tương đương:
x
2
− 4x + y + 2 = 0 (1)
log
2
(x − 2) = log
2
y (2)
.
Điệu kiện: x > 2; y > 0. Khi đó (2) ⇔ y = x − 2 thay vào (1) ta có: x
2
− 3x = 0 ⇔
x = 0 (loại)
x = 3
⇒ y = 1.
Vậy hệ đã cho có nghiệm (x; y) = (3; 1).
d) Ta có hệ tương đương:
√
x − 1 +
√
2 − y = 1 (1)
log
3
x = log
3
y (2)
.
Điệu kiện: x ≥ 1; 0 < y ≤ 2. Khi đó (2) ⇔ y = x thay vào (1) ta có:
√
x − 1 +
√
2 − x = 1 ⇔ x − 1 + 2 − x + 2
(x − 1)(2 − x) = 1 ⇔
x = 1
x = 2
⇒
y = 1
y = 2
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm (x; y) = (1; 1) và (x; y) = (2; 2).
Bài tập 5.48. Giải các hệ phương trình sau
a)
3
x
− 3
y
= y −x
x
2
+ xy + y
2
= 12
. b)
x
3
− y
3
= 2
y
− 2
x
x
4
+ 1
y
2
+ y −1
+ x (y −2) = 1
.
c)
x +
√
x
2
− 2x + 2 = 3
y−1
+ 1
y +
y
2
− 2y + 2 = 3
x−1
+ 1
. d)
ln (1 + x) −ln (1 + y) = x − y
x
2
− 12xy + 20y
2
= 0
.
Lời giải.
a) Ta có hệ tương đương:
3
x
+ x = 3
y
+ y (1)
x
2
+ xy + y
2
= 12 (2)
.
Xét hàm số f(t) = 3
t
+ t trên R có f
(t) = 3
t
ln 3 + 1 > 0, ∀t ∈ R ⇒ f(t) đồng biến trên R.
Do đó (1) ⇔ f(x) = f (y) ⇔ x = y thay vào (2) ta có: 3x
2
= 12 ≤ x = ±2 ⇔ y = ±2.
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm (x; y) = (2; 2) và (x; y) = (−2; −2).
b) Ta có hệ tương đương:
x
3
+ 2
x
= y
3
+ 2
y
(1)
x
4
+ 1
y
2
+ y −1
+ x (y −2) = 1 (2)
.
Xét hàm số f(t) = t
3
+ 2
t
trên R có f
(t) = 3t
2
+ 2
t
ln 2 > 0, ∀t ∈ R ⇒ f(t) đồng biến trên R.
Do đó (1) ⇔ f(x) = f (y) ⇔ x = y thay vào (2) ta có:
x
4
+ 1
x
2
+ x − 1
+ x (x −2) = 1 ⇔ x
6
+ x
5
− x
4
+ 2x
2
− x − 2 = 0
⇔ x
4
x
2
− 1
+ x
x
4
− 1
+ 2
x
2
− 1
= 0
⇔
x
2
− 1
x
4
+ x
3
+ x + 2
= 0
⇔
x = ±1
x
2
+ x
2
+
x
2
− 1
2
+ (x + 1)
2
+ 2 = 0 (vô nghiệm)
Với x = ±1 ⇒ y = ±1. Vậy hệ đã cho có hai nghiệm (x; y) = (1; 1) và (x; y) = (−1; −1).
c) Ta có hệ:
x +
√
x
2
− 2x + 2 = 3
y−1
+ 1 (1)
y +
y
2
− 2y + 2 = 3
x−1
+ 1 (2)
.
Trừ theo vế (1) và (2) ta có: x +
√
x
2
− 2x + 2 + 3
x−1
= y +
y
2
− 2y + 2 + 3
y−1
(3).
Xét hàm số f(t) = t +
√
t
2
− 2t + 2 + 3
t−1
trên R có f
(t) = 1 +
t−1
√
t
2
−2t+2
+ 3
t−1
ln 3 > 0, ∀t ∈ R.
Suy ra f (t) đồng biến trên R.
Do đó (3) ⇔ f(x) = f (y) ⇔ x = y thay vào (1) ta có: x +
√
x
2
− 2x + 2 = 3
x−1
+ 1 = 0 (4).
Đặt x − 1 = u, phương trình (4) trở thành: u +
√
u
2
+ 1 = 3
u
⇔ ln
u +
√
u
2
+ 1
− 3
u
= 0 (5).
Xét hàm số f(t) = ln
u +
√
u
2
+ 1
− 3
u
trên R có f
(t) =
1
√
u
2
+1
− ln 3 < 0, ∀t ∈ R ⇒ f(t) nghịch biến trên R.
Do đó phương trình (5) có nghiệm duy nhất t = 0. Với t = 0 ⇒ x = 1 ⇒ y = 1. Vậy hệ có nghiệm (x; y) = (1; 1).
19
d) Điều kiện: x > −1, y > −1. Ta có hệ tương đương:
ln (1 + x) −x = ln (1 + y) − y (1)
x
2
− 12xy + 20y
2
= 0 (2)
.
Xét hàm số f(t) = ln(1 + t) −t trên (−1; +∞) có f
(t) =
1
1+t
− 1; f
(t) = 0 ⇔ t = 0. Bảng biến thiên:
t
−1
0
+ ∞
f
(t)
+
0
−
f(t)
− ∞
0
− ∞
Từ bảng biến thiên ta thấy f(t) đồng biến trên (−1; 0] và nghịch biến trên [0; +∞).
Hơn nữa: (2) ⇔ 12xy = x
2
+ 20y
2
≤ 0. Do đó (1) ⇔ f(x) = f (y) ⇔ x = y.
Với x = y thay vào (2) được x = y = 0. Vậy hệ có nghiệm (x; y) = (0; 0).
Bài tập 5.49. (D-06) Chứng minh với mọi a > 0, hệ phương trình
e
x
− e
y
= ln (1 + x) −ln (1 + y)
y −x = a
có nghiệm
duy nhất.
Lời giải. Điều kiện: x > −1, y > −1. Ta có hệ tương đương:
e
x+a
− e
x
+ ln (1 + x) −ln (1 + a + x) = 0 (1)
y = x + a (2)
.
Xét hàm số f(x) = e
x+a
− e
x
+ ln (1 + x) −ln (1 + a + x) trên (−1; +∞).
Ta có f (x) liên tục trên (−1; +∞) và lim
x→−1
+
f(x) = −∞; lim
x→+∞
f(x) = +∞ nên f(x) có nghiệm trên (−1; +∞).
Lại có: f
(x) = e
x+a
− e
x
+
1
1+x
−
1
1+a+x
= e
x
(e
a
− 1) +
a
(1+x)(1+a+x)
> 0, ∀x > −1.
Do đó f (x) có nghiệm duy nhất trên (−1; +∞). Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất (đpcm).
20
