Ma trận và các phép biến đổi sơ cấp

www.hoasen.edu.vn



1
Linear Algebra
ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH – TOAN153DV01
Số tín chỉ: 3
Số tiết: 42
Gv: Lê Thị Ngọc Huyên
Khoa KHCN – ĐH Hoa Sen
www.hoasen.edu.vn



2
Linear Algebra
Chương 1: Ma trận và hệ các phương trình
tuyến tính
Chương 2: Định thức
Chương 3: Không gian vectơ
Chương 4: Không gian vec tơ Euclide
Chương 5: Ánh xạ tuyến tính
Chương 6: Giá trị riêng và vectơ riêng
Nội dung môn học
www.hoasen.edu.vn



3
Linear Algebra

Chương 1
MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
TUYẾN TÍNH
www.hoasen.edu.vn



4
Linear Algebra
Nội dung
1.1 Khái niệm ma trận
1.2 Các phép toán trên ma trận
1.3 Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận
1.4 Ma trận nghịch đảo
1.5 Giải hệ các phương trình tuyến tính
www.hoasen.edu.vn



5
Linear Algebra
Ma trận (matrix) là một bảng gồm m.n số thực
(phức) được viết thành m hàng và n cột như sau:
11 12 1
21 22 2
1 2

n
n
m m mn
a a a
a a a
a a a
 
 
 
 
 
 
 
Ký hiệu: A = [a
ij
]
mn
1.1 Khái niệm ma trận
www.hoasen.edu.vn



6
Linear Algebra
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
1 2

j n
j n
i i ij in
m m mj mn
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Hàng thứ nhất
Hàng thứ i
Cột thứ 2 Cột thứ j
a
ij
: Phần tử nằm ở hàng i cột j
aij
mn: gọi là cấp của ma trận

a
11
a
22
a
33
… gọi là đường
chéo chính
1.1 Khái niệm ma trận (tt)
www.hoasen.edu.vn



7
Linear Algebra
Ví dụ:
1 0 2
3 1.5 5
A
 
=
 
−
 
2 8 6
2 9 0
0 7 2
B
−
 

 
=
 
 
− −
 
23
33
đường chéo chính
21
a
1.1 Khái niệm ma trận (tt)
www.hoasen.edu.vn



8
Linear Algebra
Các ma trận đặc biệt:
1. Ma trận không:
ij
0, , .a i j= ∀
0 0 0
0 0 0
O
 
=
 
 
Ví dụ:

(tất cả các phần tử đều = 0)
1.1 Khái niệm ma trận (tt)
www.hoasen.edu.vn



9
Linear Algebra
Các ma trận đặc biệt:
2. Ma trận vuông: m = n.
0 7 8
1 3
; 4 2 0
2 7
5 0 2
 
 
 
−
 
 
−
 
 
 
Ví dụ:
Ma trận vuông cấp 2
Ma trận vuông cấp 3
(số hàng = số cột)
1.1 Khái niệm ma trận (tt)

www.hoasen.edu.vn



10
Linear Algebra
Các ma trận đặc biệt:
3. Ma trận chéo: là ma trận vuông có:
ij
0, .a i j= ∀ ≠
(các phần tử ngoài đường chéo chính = 0)
Ví dụ:
2 0 0
0 4 0
0 0 9
 
 
 
 
 
11
22
0 0
0 0

0 0
nn
a
a
a

 
 
 
 
 
 
1.1 Khái niệm ma trận (tt)
www.hoasen.edu.vn



11
Linear Algebra
1.1 Khái niệm ma trận (tt)
Các ma trận đặc biệt:
4. Ma trận đơn vị: là ma trận chéo có:
1, 1,2, , .
ii
a i n= ∀ =
Ký hiệu: I, I
n
Ví dụ:
2 3
1 0 0
1 0 0
1 0 0 1 0
, 0 1 0 ,
0 1
0 0 1
0 0 1

n
I I I
 
 
 
 
 
 
= = =
 
 
 
 
 
 
 
 
www.hoasen.edu.vn



12
Linear Algebra
Các ma trận đặc biệt:
5. Ma trận tam giác: là ma trận vuông có
0, .
ij
a i j= ∀ <
0, .
ij

a i j= ∀ >
Ví dụ:
1 2 5 4
0 3 1 0
0 0 2 6
0 0 0 9
 
 
−
 
 
 
 
(tam giác trên)
(tam giác dưới)
2 0 0 0
7 1 0 0
0 8 2 0
2 9 1 5
 
 
 
 
 
 
MT tam giác trên
MT tam giác dưới
1.1 Khái niệm ma trận (tt)
www.hoasen.edu.vn




13
Linear Algebra
Các ma trận đặc biệt:
6. Ma trận hình thang: là ma trân cấp mn có:
0, .
ij
a i j= ∀ >
có dạng như sau:
11 12 1 1
22 2 2

0

0 0
0 0
0 0
0 0 0 0
r n
r n
r r r n
a a a a
a a a
a a
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
1.1 Khái niệm ma trận (tt)
www.hoasen.edu.vn



14
Linear Algebra
1.1 Khái niệm ma trận (tt)
1 3 2 0 1 4
0 3 3 4 0 1
0 0 5 8 9 1
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
−
 
 
 
 
−
 
 
 
 
Ví dụ:
www.hoasen.edu.vn




15
Linear Algebra
1.1 Khái niệm ma trận (tt)
Các ma trận đặc biệt:
7. Ma trận cột: là ma trận có n=1.
Ma trận cột có dạng:
[ ]
11
21
1
:

i
m
m
a
a
a
a
 
 
 
=
 
 
 
www.hoasen.edu.vn




16
Linear Algebra
Các ma trận đặc biệt:
8. Ma trận hàng: là ma trận có m=1.
[ ]
11 12 1

n
a a a
Ma trận hàng có dạng:
1.1 Khái niệm ma trận (tt)
www.hoasen.edu.vn



17
Linear Algebra
1.1 Khái niệm ma trận (tt)
Các ma trận đặc biệt:
9. Ma trận bằng nhau:
ij ij
, , .
ij ij
mn mn
A a b B a b i j
   
= = = ⇔ = ∀

   
10. Ma trận chuyển vị: cho ma trận
A=[a
ij
]
mn
, ma trận chuyển vị của ma trận A
ký hiệu: A
T
và xác định A
T
=[b
ij
]
nm
với
b
ij
=a
ji
với mọi i,j.
(chuyển hàng thành cột)
www.hoasen.edu.vn



18
Linear Algebra
1.1 Khái niệm ma trận (tt)
Ví dụ:

11 12 1 11 21 1
21 22 2 12 22 2
1 2 1 2




n m
n m
T
m m mn n n nm
mn nm
a a a a a a
a a a a a a
A A
a a a a a a
   
   
   
= → =
   
   
   
   
Dạng của ma trận chuyển vị:
1 6
1 2 5
2 7
6 7 9
5 9

T
A A
 
 
 
= → =
 
 
 
 
 
www.hoasen.edu.vn



19
Linear Algebra
Các ma trận đặc biệt:
11. Đa thức của ma trận:
Cho đa thức

và ma trân vuông
Khi đó:
(trong đó là ma trận đơn vị cùng cấp với ma trận A)
[ ]
ij n
A a=
1
0 1
( )

n n
n n n
P A a A a A a I
−
= + + +
1
0 1
( )
n n
n n
P x a x a x a
−
= + + +
n
I
1.1 Khái niệm ma trận (tt)
www.hoasen.edu.vn



20
Linear Algebra
Ví dụ:
Cho
2
2
( ) 3 5P x x x= − +
và ma trận
1 2
0 3

A
 
=
 
−
 
Khi đó:
2
2 2
2
( ) 3 5
1 2 1 2 1 0
3 5
0 3 0 3 0 1
P A A A I= − +
     
= − +
     
− −
     
1.1 Khái niệm ma trận (tt)
www.hoasen.edu.vn



21
Linear Algebra
1. Phép cộng hai ma trận:
ij ij ij ij
m n mn mn

a b a b
     
+ = +
     
1 2 0 3
3 5 2 4
4 2 1 5
     
     
− + − =
     
     
−
     
Ví dụ:
1
0
1+ 0=1
1
2 3
2+3=55
-1 1
5 3
(cộng theo từng vị trí tương ứng)
1.2 Các phép toán trên ma trận
www.hoasen.edu.vn



22

Linear Algebra
2 3 3 3 4 2
1 4 6 1 7 2
4 2 0 6 3 2
−
     
     
+ − =
     
     
− −
     
?
5 7
?
?
-1
0
2
11 8
-2 1
1.2 Các phép toán trên ma trận (tt)
Ví dụ:
www.hoasen.edu.vn



23
Linear Algebra
)

)
) ( ) ( )
i A B B A
ii A O A
iii A B C A B C
+ = +
+ =
+ + = + +
Các tính chất: Giả sử A,B,C,O là các ma trận
cùng cấp, khi đó:
Ví dụ:
1 2 3 5 4 7
4 7 2 0 6 7
3 5 1 2 4 7
2 0 4 7 6 7
     
+ =
     
     
     
+ =
     
     
1.2 Các phép toán trên ma trận (tt)
www.hoasen.edu.vn



24
Linear Algebra

2. Phép nhân một số với một ma trận:
ij ij
. ,
mn mn
a a
λ λ λ
   
= ∈
   
.R
3 2 0
2 7 4 5
0 2 1
−
   
   
=
   
   
−
   
Ví dụ:
2
3
2.3=66
2.(-2)=-4
-2
2
-4
0

14
2.0=0
8 10
0 -4 2
(các phần tử của ma trận đều được nhân cho )
λ
1.2 Các phép toán trên ma trận (tt)
www.hoasen.edu.vn



25
Linear Algebra
2 3
3 4 0
5 1
−
   
   
=
   
   
−
   
?6
0
15
-9
12
-3

Ví dụ:
1.2 Các phép toán trên ma trận (tt)