Bài giảng cơ học kết cấu

Trng Cao ng Giao thông Vn Ti II Bài ging : C hc kt cu
Biên son: Th.S Nguyn Phú Th Trang
1
CHNG 1 : MU
1.1 Gii thiu, nhim v, i tng môn hc.
C hc kt cu là môn khoa hc thc nghim, nghiên cu cách tính  bn, 
cng và n nh ca công trình.
 bn là m bo cho công trình có kh nng chu ng c tác dng ca
các ti trng và các nguyên nhân khác mà không b phá hoi.
 cng nhm m bo cho công trình không có chuyn v và rung ng ln
ngn cn s làm vic bình thng ca công trình.
n nh nhm tìm hiu kh nng bo toàn v trí và hình dng ban u trong các
dng cân bng ca trng thái bin dng.
Vy nhim v ch yu ca C hc kt cu là xác nh ni lc trong công trình.
T ó s tính toàn xác nh kích thc, cu to ca công trình.
i tng môn hc : Bao gm nhng h thanh liên kt vi nhau.
1.2 S  công trình , s  tính toán, các gi thuyt tính toán.
Trong s  công trình các yu t ch yu c gi li, còn các yu t ph thì
có th b qua. Vy s  công trình là hình nh n gin hóa ca công trình c th,
trong ó ch k n các s liu c bn   xác nh phm cht ca công trình.
 tính toán công trình ta cn phi a công trình thc t v s  tính
Trong s  công trình các thanh c thay bng ng trc, mt ct ngang
c thay bng các i lng c trng nh din tích F, mômen quán tính J, Vy
s  tính là s  công trình ã c n gin hóa.
Thí d hình v 1.1 và 1.2
P
1
P
2
1
P

P
2
12
P
P
Các gi thuyt tính toán :
Gi thuyt 1 : Vt liu làm vic àn hi và tuân theo nh lut Huck.(Gia
bin dng và ni lc có quan h bc nht)
Trng Cao ng Giao thông Vn Ti II Bài ging : C hc kt cu
Biên son: Th.S Nguyn Phú Th Trang
2
Gi thuyt 2 : Bin dng và chuyn v trong công trình rt bé (Di tác dng
ca ti trng hình dng ca công trình thay i rt ít)
Vi nhng công trình cho phép s dng c c hai gi thuyt trên thì công
trình ó cng cho phép áp dng nguyên lý cng tác dng.
1.3 Các nguyên nhân gây ra ni lc.
Có nhiu nguyên nhân gây ra ni lc trong các công trình, các nguyên nhân
thng gp là ti trng, s thay i ca nhit  và chuyn v ca các liên kt.Ti
trng gây ra ni lc, bin dng và chuyn v trong tt c các công trình, còn s
thay i nhit  và chuyn v ca các liên kt ch gây ra ni lc trong h siêu tnh,
gây ra chuyn v trong c h tnh nh và h siêu tnh.  môn hc này ta ch xét tác
dng ca ti trng.
Phân loi ti trng theo v trí tác dng :
- Ti trng c nh là nhng ti trng có v trí khng thay i, nh trng lng
bn thân, trng lng ca các thit b c nh t trên công trng.v.v
- Ti trng di ng là nhng ti trng có v trí luôn luôn thay i, nh oàn
tàu, ô tô v.v
Phân loi ti trng theo tính cht tác dng :
- Ti trng tnh là ti trng có tr s tng t t n giá tr cui cùng ca nó.
- Ti trng ng là nhng ti trng khi tác dng lên công trình có gây ra lc

quán tính, ví d ti trng ca búa trên cc.v.v
Trng Cao ng Giao thông Vn Ti II Bài ging : C hc kt cu
Biên son: Th.S Nguyn Phú Th Trang
3
CHNG 2 : CU TO H PHNG
2.1 Khái nim c bn.
1. Kt cu bt bin hình, bin hình và bin hình tc thi
Kt cu bt bin hình là kt cu khi chu tác dng ca mi loi ti trng, dng
hình hc ban u ca nó không b thay i (b qua thay i do bin dng àn hi)
P
Thí d hình 2.1 : Kt cu bin hình là kt cu khi chu tác dng ca ti trng,
dng hình hc ban u ca nó b thay i hu hn mc dù ta vn xem tng cu kin
cu nó là cng tuyt i.
Thí d hình 2.2 : Ngoài hai loi kt cu bt bin hình và bin hình trên còn
mt loi kt cu khi chu ti trng dng hình hc ban u ca nó b thay i mt
lng vô cùng nh mc dù ta xem tng cu kin cu nó là tuyt i cng. Loi này
c gi là kt cu bin hình tc thi.
Thí d hình 2.3 : Kt cu bin hình tc thi.
Tóm li khi xây dng công trình nht thit phi cu to nó thành h bt bin
hình, không c cu to làm cho công trình b bin hình hoc bin hình tc thi.
2.Ming cng (tm cng) : Tm cng có th là mt thanh thng, thanh cong,
thanh gp khúc hoc mt h thanh bt bin hình nh hình v 2.4a,b
a) b)
c)
Ta qui c biu din các tm cng nh hình 2.4 c
3. Bc t do ca im, ca tm cng
Bc t do ca h là s thông s hình hc c lp, xác nh v trí ca h ó i
vi mt h khác c xem là c nh.
Trong mt phng : mt im có hai bc t do còn mt tm cng có ba bc t
do. T khái nim trên ta nhn thy mun im hay tm cng c nh (không chuyn

ng) ta phi tìm cách kh bc t do ca nó và ch khi nào kh ht c tt c các
bc t do ca im hay tm cng thì im hay tm cng y mi c nh c.
 kh ht các bc t do ca im hay tm cng trong k thut ngi ta dùng
Trng Cao ng Giao thông Vn Ti II Bài ging : C hc kt cu
Biên son: Th.S Nguyn Phú Th Trang
4
liên kt.
2.2 Các loi liên kt trong h phng
1. Liên kt thanh, liên kt khp và liên kt hàn.
a. Liên kt thanh( liên kt loi 1)
Cu to liên kt này là mt thanh thng có khp lý tng  hai u  liên kt
vi tm cng. (hình 2.5a)
a) b)
c)
Liên kt thanh ch kh c 1 bc t do và trong thanh ch phát sinh mt phn
lc liên kt có phng dc theo trc thanh (hình 2.5 b)
Chú ý : V bn cht có th xem thanh cong hay tm cng có hai u khp nh
mt liên kt thanh có phng qua hai khp y (hình 2.5c)
b. Liên kt khp
Khp ni 2 tm cng c gi là khp n (hình 2.6 a), còn khp ni t 3 tm
cng tr lên c gi là khp bi hay khp phc tp (hình 2.6 b,c)
d) e)
a) b)
c)
Khp n khc 2 bc t do nên nó tng ng 2 liên kt thanh.
Ngc li 2 liên kt thanh không song song cng tng ng vi 1 khp n t 
giao im ca 2 liên kt ó ( khp này là khp gi) xem hình 2.6 d,e.
Nu khp bi ni D tm cng thì tr 1 tm cng xem là c nh, i vi mi
tm còn li khp bi kh c 2 bc t do nên i vi D-1 tm cng còn li khp s
kh c 2(D-1) bc t do. Ngha là nu khp bi ni D tm cng thì nó s tng

ng vi K khp n, trong ó K = D-1
c. Liên kt hàn
Trng Cao ng Giao thông Vn Ti II Bài ging : C hc kt cu
Biên son: Th.S Nguyn Phú Th Trang
5
Liên kt hàn dùng  ni 2 tm cng A và B nh hình v 2.7a c gi là liên
kt hàn n
Còn liên kt ni trên hai tm cng nh hình 2.7c,d thì gi là liên kt hàn bi
hay liên kt hàn phc tp.
d)
a)
b)
c)
Nh vy liên kt hàn n kh c 3 bc t do. Trong liên kt hàn có 3 thành
phn : 2 phn lc có phng cho trc và 1 phn lc mômen.
Vì kh c 3 bc t do nên 1 liên kt hàn n tng ng vi 3 liên kt
thanh hoc 1 liên kt thanh và mt liên kt khp.
Tng t liên kt bi, liên kt hàn bi có s bc t do kh c tng ng
vi K =D-1 ln s bc t do ca liên kt hàn n.
2. Các liên kt gi ni t.
 ni các cu kin vi t ngi ta dùng các loi liên kt gi  là gi di
ng, gi c nh, ngàm trt, ngàm cng S liên kt thanh tng ng vi mi
loi gi  theo bng 2.1
1
2 3
2.3 Cách s dng các loi liên kt ni các tm cng.
Khi ni các tm cng thành h bt bin hình ta cn phi xem xét 2 iu kin
sau :
- iu kin cn :  s lng liên kt phi s dng.
- iu kin  : Cách sp xp b trí và s dng các liên kt ó.

Trng Cao ng Giao thông Vn Ti II Bài ging : C hc kt cu
Biên son: Th.S Nguyn Phú Th Trang
6
1. Ni 2 tm cng : Xem 1 ming cng là c nh, ta cn phi liên kt ming
cng còn li. Mà 1 ming cng tn ti 3 bc t do.
Vy iu kin cn  ni 2 tm cng thành h không bin hình là phi dùng s
liên kt  kh c 3 bc t do. Ngha là ta phi dùng 3 liên kt thanh hoc 1 liên
kt thanh và 1 liên kt khp hoc 1 liên kt hàn nh hình 2.8 a,b,c
a)
c)
iu kin  : Liên kt hàn thì luôn luôn c 1 h bt bin hình
Dùng 3 liên kt thanh hoc 1 liên kt thanh và 1 liên kt khp thì không bao gi
cng c 1 h bt bin hình. Vì
Khi dùng 3 liên kt thanh  ni 2 tm cng ta s gp các trng hp sau :
- 3 thanh có phng bt k hình 2.8a
- 3 thanh có phng ng qui hình 2.9a
- 3 thanh có phng song song hình 2.9b,c
a) b)
c)
Nu 3 thanh ng qui thì tm cng B quay quanh I, lúc này h bin hình tc
thi. Nu 3 liên kt song song thì không có thanh nào ngn cn B chuyn ng tnh
tin theo phng vuông góc vi các thanh. Khi các thanh dài bng nhau hình 2.9b
thì h bin hình vì tm cng B b dch chuyn ln hu hn. khi 3 thanh song song
không dài bng nhau hình 2.9c thì h bin hình tc thi vì B ch b chuyn dch vô
cùng bé.
Nu 3 thanh có phng bt k hình 2.8a h s bt bin hình.
Khi dùng 1 liên kt thanh và 1 liên kt khp ta ch gp: trong 2 trng hp sau.
- Thanh có phng không qua khp hình 2.8b : h s không bin hình
- Thanh có phng qua khp hình 2.10:lúc này h s bin hình tc thi
Tóm li: iu kin cn và   ni 2 tm cng thành h

bt bin hình là: phi dùng 1 liên kt hàn, hoc
- Dùng 3 liên kt thanh không c song song hoc
ng qui
- Dùng 1 liên kt thanh và 1 liên kt khp thì thanh
Trng Cao ng Giao thông Vn Ti II Bài ging : C hc kt cu
Biên son: Th.S Nguyn Phú Th Trang
7
phi có phng không c i qua khp
2. Ni 3 tm cng:
Nu ta xem 1 tm cng c nh còn li 2 tm t do chúng ta cn phi liên kt 2
tm cng còn li do ó ta phi kh c 6 bc t do.  kh c 6 bc t do ta có
nhiu cách.
a)
b)
c) d)
e)
f)
g)
1
2
3
h)
1
2
3
i) k)
- Dùng 6 liên kt thanh hình 2.11 a,b,c
- Dùng 3 liên kt khp hình 2.11 d
- Dùng 2 liên kt hàn hình 2.11 e
- Dùng 4 liên kt thanh, 1 liên kt khp hình 2.11 f,g

- Dùng 2 liên kt thanh, 2 liên kt khp hình 2.11 h,i
- Dùng 1 liên kt thanh, 1 liên kt khp và 1 liên kt hàn hình 2.11 k,
Khi s dng các liên kt k trên, nu s sp xp b trí các liên kt không hp lý
thì h vn có th b bin hình hoc bin hình tc thi do ó ta cn xét iu kin .
- Trng hp 2 trong 3 tm cng ã ni vi nhau thành 1 tm cng nh hình
2.11 b,c,e,f,i,k lúc này ni 3 tm cng tr vê bài toán ni 2 tm cng nh ã nói 
trên.
Trng Cao ng Giao thông Vn Ti II Bài ging : C hc kt cu
Biên son: Th.S Nguyn Phú Th Trang
8
I
a)
I
b) c)
- Trng hp tng cp 2 tm
cng ni vi nhau bng 1 khp tht
hoc gi thì ta ch gp 1 trong 2 trng
hp hoc khp ó không thng hàng
nh các hình 2.11 a,d,g,h hoc 3 khp
ó thng hàng nh các hình 2.12 a,b.
Nu 3 khp tht hoc gi thng hàng
thì h b bin hình tc thi.
Vy trng hp tng cp 2 tm cng ni vi nhau bng 1 khp tht hoc gi thì
3 khp tht hoc gi không c thng hàng.
3. Ni im vi tm cng - B ôi.
Mt im tn ti 2 bc t do, chúng ta cn phi kh 2 bc t do này. vy iu
kin cn ti thiu phi có 2 liên kt thanh.
iu kin  2 liên kt thanh này không c thng hàng hình 2.13a, hai thanh
liên kt không c song song nh hình 2.13 b,c.
Hai liên kt thanh không thng hàng ni im vi tm cng là mt b ôi.

Khi chúng ta thêm hoc bt 1 b ôi vào 1 h thì tính cht ng hc ca h
không thay i. nu h bt biên hình thì sau khi thêm (hay bt) b ôi h vn bt
bin hình. Ngc li nu h bin hình thì sau khi thêm (hay bt) b ôi h vn bin
hình.
Da vào tính cht này ta có th phân tích cu to hình hc ca h.
- T mt tm cng ban u ta
thêm ln lt các b ôi c 1 tm
cng hình 2.14
- T h ban u ta ln lt loi b
các b ôi cho n cui cùng là h bt
bin hình nu ban u h là bt bin
hình và là h bin hình nu ban u là h
bin hình
2.4 Cách phân tích ng hc ca kt cu.
1. Bc t do ca kt cu - iu kin cn:
a. H kt cu không ni vi t
Kt cu có D tm cng thì 1 tm cng xem nh c nh, (D-1) tm cng còn li
có 3(D-1) bc t do.
Kt cu có T liên kt thanh, K khp n (k c s khp bi ã i ra khp
1
2
3
a)
3
2
a)
1
Trng Cao ng Giao thông Vn Ti II Bài ging : C hc kt cu
Biên son: Th.S Nguyn Phú Th Trang
9

n), H liên kt hàn n (k c s liên kt hàn bi ã i ra liên kt hàn n) thì
tng s bc t do kh c là T+2K+3H
Do ó iu kin cn: n = T+2K+3H – 3(D-1) ≥ 0 (2.1)
b. H ni vi t.
Xem trái t là 1 tm cng c nh thì ta cn phi liên kt D tm cng còn li.
Do ó ta cn 1 t hp liên kt  kh c 3D bc t do và nu cng dùng T liên kt
thanh, k liên kt khp n, H liên kt hàn n  ni D cu kin vi nhau và dùng
C
0
liên kt tng ng liên kt thanh ni các cu kin vi t thì iu kin cn 
kt cu có D cu kin ni t thành mt kt cu bt bin hình là :
T + 2K + 3H + C
0
– 3D ≥ 0 (2.2)
S liên kt thanh tng ng vi mi loi gi  C
0
xem bng 2.1
1. Cách phân tích ng hc kt cu - iu kin .
Nu kt cu ch tha mãn iu kin cn nh h thc 2.1 và 2.2  trên mà cách
sp xp các liên kt không hp lý thì nhng liên kt dùng trong kt cu vn không
có kh nng kh ht c bc t do ca kt cu, do ó kt cu vn có th bin hình.
Vy iu kin   kt cu bt bin hình là các liên kt phi c sp xp hp lý.
 phân tích ng hc kt cu xem các liên kt b trí có hp lý hay không ta
dùng khái nim b ôi hoc cách ni 2,3 tm cng ri áp dng iu kin cn và 
 xét.
Thí d 2.1: Phân tích ng hc kt cu cho
nh hình 2.15
Gii:
Xét iu kin cn: Xem mi thanh là mt cu
kin thì kt cu cho trên hình 2.15 có D cu kin

ni vi nhau bng các khp n và phc tp (
khp 1,4 và 7 liên kt n, khp 2,6 là khp phc
tp có  phc tp là 2, khp 3,5 là khp phc tp
có  phc tp là 3).
Theo hình v ta có D =10, K = 13 , T = 0, H =
0. Theo 2.1 ta có
T+2K+3H – 3(D-1) ≥ 0 => 0 + 2.13 + 0 –
3(10-1) = -1< 0 Không thõa mãn iu kin cn.
Không cn xét iu kin 
Kt lun : H bin hình vì thiu liên kt.
Thí d 2.2 : Phân tích ng hc kt cu cho
hình 2.16
Gii :
Xét iu kin cn : H ã cho là kt cu ni t ta dùng h thc 2.2  xét iu
kin cn.
Có nhiu cách quan nim khác nhau  áp dng h thc 2.2
Trng Cao ng Giao thông Vn Ti II Bài ging : C hc kt cu
Biên son: Th.S Nguyn Phú Th Trang
10
- Nu cho rng các thanh gãy khúc là tm cng thì  h thc 2.2 ta có :
D = 4 , K =3, T= 0, H= 0 và C
0
= 6 (theo bng 2.1)
Ta có : T + 2K + 3H + C
0
– 3D ≥ 0
0 + 2.3 + 3.0 + 6 – 3.4 = 0. Vy thõa mãn iu kin cn
- Nu cho rng mi thanh thng là 1 tm cng thì : D = 8, T = 0, K =3,
H = 4, và C
0

= 6 nh vy ta có kt qu : 0 + 2.3 + 3.4 + 6 - 3.8 = 0 Vy cng thõa
mãn iu kin cn.
Cng có th dùng h thc 2.1  gii nu ta xem trái t cng là 1 tm cng thì
lúc này D = 5, T = 0, K = 6, H = 0 vy :T+2K+3H – 3(D-1) ≥ 0
0 + 2.6 + 3.0 – 3(5-1) = 0 Thõa mãn iu kin cn.
iu kin  : Cng có nhiu cách  xét.
- Nu xem trái t là 1 tm cng, thanh gãy AD và DB ni D vi t là mt
b i thì t và b ôi ADB là mt tm cng, tng t DE và EC là 3 tm cng ni
vi nhau bng 3 khp D,E,C không thng hàng nên h bt bin hình.
- Nu xem tng cp 2 thanh DE, EC và AD,DB là nhng b ôi. Áp dng
tích cht loi b b ôi DEC ri ADB, cui cùng còn li trái t là 1 tm cng. Kt
lun h bt bin hình.
Thí d 2.3 Phân tích ng hc kt cu cho hình 2.1
Xét iu kin cn : H ã cho là kt cu ni t ta dùng h thc 2.2  xét iu
kin cn.
- Nu cho rng các thanh thng là tm cng thì  h thc 2.2 ta có : D = 6, K
=3, T= 0, H= 2 và C
0
= 6 (theo bng 2.1)
Ta có : T + 2K + 3H + C
0
– 3D ≥ 0
0 + 2.3 + 3.2 + 6 – 3.6 = 0. Vy thõa mãn iu kin cn
iu kin  :
- Nu xem trái t là 1 tm cng , thanh EFG là ming cng 2, xem thanh
ADE và GHC là liên kt thanh. Vy h là 2 tm cng liên kt vi nhau bng 3 liên
kt thanh ng qui ti i. vy h bin hình tc thi. Nu 3 liên kt thanh không ng
qui thì h bt bin hình.
Trng Cao ng Giao thông Vn Ti II Bài ging : C hc kt cu
Biên son: Th.S Nguyn Phú Th Trang

11
CHNG 3 : NG NH HNG
3.1 Khái nim v ti trng di ng, ti trng tiêu chun.
Ti trng ng khi tác dng gây ra lc quán tính và do thay i v trí nên
giá tr ca yu t xét cng thay i theo. Phng pháp  gii quyt nh sau:
-Xem ti trng ng nh ti trng tnh di dng bng cánh nhân giá tr ca
ti trng vi h s xung kích (1 + µ). (cha nghiên cu)
-S di ch ca ti trng cho thy giá tr ca yu t xét s thay i theo v
trí ca nó. Quá trình di chuyn ti trng s có ch cc i, gi là v trí bt li
nht, ta dng li ó  tính.  tìm v trí bt li ca ti trng tó có c
giá tr cci ca yu tang xét ta dùng phng pháp ng nh hng.
Ti trng di ng trên công trng là oàn tàu, ô tô, nhng ti trng
này rt phc tp, do ó khi thit k ly oàn ti trng tiêu chun nào  tính
toán là do nhim v thit k quy nh.
Hình 3.1 gii thiu mt soàn ti trng tiêu chun trong quy trình thit k cu
hin ang dùng  nc ta.
60kN
120kN
120kN
6m
1,6
10m
60kN
120kN
120kN
1,6
6m
60kN
120kN
120kN

6m
1,6
10m 10m
10m
4m8m
30kN
70kN
4m8m
35kN
95kN
4m 4m
30kN
70kN
8m
30kN
70kN
4m
1,2m
200kN
1,2m 1,2m
200kN
200kN
200kN
0,8m
2,7m
0,8m
5m
2,6m
0,7m 0,7m
q=60

l
1,5mx5
ZZZZZ 0,36Z
a, oàn ôtô tiêu chun H.30;
Trng Cao ng Giao thông Vn Ti II Bài ging : C hc kt cu
Biên son: Th.S Nguyn Phú Th Trang
12
z
l
z=l/2
z=l
A
z
1
0,5
b, oàn ôtô tiêu chun H.10. Vi oàn ôtô tiêu chun H.8 và H.13 thì khong
cách gia các trc xe cng nh khong cách gia các xe hoàn toàn nh trên, còn tr
s ti trng bng ti trng ca oàn ôtô H.10 nhân vi 0,8 cho oàn H.8, nhân vi
1,3 cho oàn H.13;
c, Xe bánh tiêu chun XB – 80 (ch có mt xe);
d, Xe xích tiêu chun X – 60 (ch có mt xe);
e, Tàu ha tiêu chun T – Z, trong ó Z là ti trng trc ca u máy. Thí d T
– 10 thì mi trc ca u máy ;là 100 kN (10T), toa xe là 0,36.100 = 36 kN/m
3.2 ng nh hng
1. Khái nim – Cách v:
a.Khái nim:
Theo nguyên lý cng tác dng giá tr ca mt yu t nào ó do nhiu ti trng
ng thi tác dng lên kt cu sinh ra bng tng các giá tr ca yu tó do tng ti
trng tác dng riêng r sinh ra. Mt khác giá tr ca ti trng tng lên hoc gim i
bao nhiêu ln thì giá tr cu yu t do ti trng ó sinh ra cng ng lên hoc gim i

by nhiêu ln. Do ó  tính tác dng ca ti trng di dng u tiên ta ch xét vi 1
ti trng tp trung có tr s bng n v, có phng chiu thng ng hng xung
di dng trên kt cu.
V trí ca ti trng P = 1 c xác nh bng
mt ta  z, nh hình 3.2 nu ly A là gc to 
thì
Khi P =1  ti A (z = 0) có V
A
= 1
Khi P =1  gia dm (z = l/2) có V
A
= 0,5
Khi P =1  gia ti gi B (z = l) có V
A
= 0
Lúc này ta vc  th biu din mi quan
h gia giá tr ca yu t xét là V
A
vi v trí ti
trng (ta  z)  th này c c gi là
ng nh hng ca yu t xét.
Vy ng nh hng ca yu t nào là  th biu din quy lut bin i giá
tr ca yu tó xut hin ti mt v trí xác nh trên công trình (Phn lc gi,
mômen un, lc ct  mt ct nào ó) theo v trí ca ti trng n v di ng trên
công trình.
Tung ng nh hng ca yu t nào (phn lc, ni lc ) là giá tr ca
yu tó khi ti trng P= 1  v trí tng ng vi tung ó sinh ra.
Th nguyên ca tung ng nh hng là t s gia th nguyên ca yu
tang xét vi th nguyên ca lc P, nh vy tung ng nh hng phn lc,
lc ct là i lng không th nguyên, còn tung ng nh hng mômen có th

nguyên chiu dài, thng là mét.
b.Cách vng nh hng.
Có nhiu cách  vng nh hng, ây ta ch xét cách vng nh
Trng Cao ng Giao thông Vn Ti II Bài ging : C hc kt cu
Biên son: Th.S Nguyn Phú Th Trang
13
ng theo phng pháp tnh.
-Chn h trc có trc z song song vi trc dm biu th v trí ca ti trng n
v, trc vuông góc vi trc z biu th giá tr ca yu t xét. Gc ta  thng ly
ng ng vi gi trái ca mi dm.
-Vit biu thc quan h gia giá tr ca yu t xét vi v trí ca ti trng n v
z ta c S = f(z) gi là phng trình ng nh hng.
-n c vào biu thc S = f(z) vng nh hng ca yu t S, sau khi v
cn ánh du (+), (-), ghi tung   nhng v trí c bit và ghi tên ng nh
ng.
2. ng nh hng dm n gin.
a. ng nh hng phn lc (V
A
, V
B
, H
A
=0).
Chn gc ta  O tng ng vi gi trái ca dm, trc z hng sang phi,
trc V biu th giá tr ca phn lc hng lên trên.
- ng nh hng V
A
:
∑m
B

= - l.V
A
+ P(l-z) = 0, mà P = 1 =>
l
zl
V
A
−
=
Mà V
A
= f(z) là bc nht ca z nên ng nh hng V
A
là ng thng nên
ch cn xác nh hai tung .
Khi z = 0 có V
A
= 1
Khi z = l có V
A
= 0
Ni hai m (0,1) và (l,0) ta c
ng nh hng V
A
nh hình 3.3b
- ng nh hng V
B
:
∑m
A

= l.V
B
– P.z = 0, mà P =
1 =>
l
z
V
B
=
Khi z = 0 có V
B
= 0
Khi z = l có V
B
= 1
Ni hai m (0,0) và (1,1) ta c
ng nh hng V
B
nh hình 3.3c.
Tng nh hng V
A
và V
B
suy ra
cách v nhanh dng nh hng phn lc
ca dm n gin nh sau: khi vng
nh hng phn lc ca gi nào trên
ng chun  v trí tng ng vi gi ó
dng tung  bng +1, ni nh tung 
này vi m có tung  bng không tng

ng vi gi còn li bng ng thng.
b. ng nh hng ni lc.(M,Q,
N=0)
l
a
b
dah Va
b)
dah Vb
1
1
dah Mc
a.b
l
a
b
l
b
a
l
1
1
dah Qc
c)
d)
e)
z
Trng Cao ng Giao thông Vn Ti II Bài ging : C hc kt cu
Biên son: Th.S Nguyn Phú Th Trang
14

 vng nh hng ni lc (mômen un, lc ct) ca mt mt ct ta tng
ng ct dm ti mt ct ó. Mi phn dm u cân bng di tác dng ca ngoi
lc và ni lc tác dng lên phn ó.
- Cho P = 1 di chuyn  phn dm bên trái (0 ≤ z ≤ a), xét s cân bng ca
phn dm bên phi (phn có ít lc hn), tó vit c phng trình cho nhánh trái.
ΣM
C
ph
=0 ⇔ -M
C
+ b.V
B
= 0 =>M
C
= b.
l
z
ΣY=0 ⇔ Q
C
= -V
B
= -
l
z
Khi z = 0 có M
C
= 0; Q
C
= 0;
Khi z = a có M

C
=
l
ba.
; Q
C
=
l
a
−
Vy nhánh trái ca ng nh hng mômen un ca mt ct C là on thng
i qua hai im (0, 0) và (a,
l
ba.
). Trên ng chun  v trí di mt ct C (z = a)
dng tung  bng
l
ba.
, ni nh tung  này vi m có tung  0  di gi A (z
= 0) c nhánh trái ca ng nh hng (hình 3.3d), nu kéo dài nhánh này n
v trí tng ng vi gi B ta c tung úng bng b (khong cách t gi B n
mt ct C)
Ti v trí tng ng vi mt ct C trên dng chun ta dng tung  bng
l
a
− , ni nh tung  này vi n có tung  bng 0 ng vi gi trái ta c nhánh
ca ng nh hng Q
C
, nu kéo dài nhánh này n v trí tng ng vi gi phi ta
ng tung  bng -1. (hình 3.3 e)

- Khi P = 1 di chuyn  phn dm bên phi (a ≤ z ≤ l), xét s cân bng ca
phn dm bên trái.
ΣM
C
tr
=0 ⇔ M
C
- a.V
A
= 0 => M
C
= a.V
A
= a.
l
zl
−
ΣY=0 ⇔ Q
C
- V
A
=0 => Q
C
= V
A
=
l
zl
−
Khi z = a có M

C
=
l
ba.
; Q
C
=
l
b
;
Khi z = l có M
C
= 0; Q
C
= 0
Vy nhánh phi ca ng nh hng mômen un ca mt ct C là on
thng i qua hai m (a,
l
ba.
) và (l, 0); Cn c vào các giá trã tính ta vc
nhánh phi ca ng nh hng Q
C
(hình 3.3e), nu kéo dài nhánh này n v trí
ng ng vi gi trái ta c tung  bng +1.
Tng nh hng ca ni lc ta suy ra cách v nhanh ng nh hng
ca ni lc nh sau:
Trng Cao ng Giao thông Vn Ti II Bài ging : C hc kt cu
Biên son: Th.S Nguyn Phú Th Trang
15
- ng nh hng ca mômen un: Trên dng chun ti nhng v trí tng

ng vi các gi ta dng các tung  bng khong cách t gi n mt ct, ni nh
các tung  này vi các m có tung  bng 0 trên ng chun  gi bên kia
bng ng thng, ng nh hng mômen un là tam giác có nh  v trí di
mt ct và tung  ti nh bng tích các khong cách t mt ct n hai gi chia
cho chiu dài dm.
- ng nh hng ca lc ct: Trên dng chun ti nhng v trí tng ng
vi gi trái và phi ta ln lt dng các tung  bng 1 và -1, ni các nh tung
 này vi các m có tung  bng 0 tng ng vi các gi phi và trái bng
ng thng, t mt ct hng dóng, ng nh hng lc ct là hai tam giác
vuông có nh nm tng ng vi các gi.
3.ng nh hng dm mút tha
Gi chiu dài mút tha bên trái là l
1
, mút tha bên phi là l
2
, im gc là gi
trái, vy z bin i (- l
1
≤ z ≤ l + l
2
)
a. ng nh hng phn lc.
- Phn lc gi A: ΣM
B
= V
A
.l + p(l - z) = 0 ⇒ V
A
=
l

zl
−
- Phn lc gi B: ΣM
A
= 0 ⇒V
B
=
l
z
Thay các giá tr z
Khi z = - l
1
có V
A
=
l
zl
−
=
l
l
l
ll
11
1+=
+
; V
B
=
l

l
1
−
Khi z = 0 có V
A
= 1; V
B
= 0
Khi z = l có V
A
= 0; V
B
= 1
Khi z = l + l
2
có V
A
=
l
zl
−
=
l
l
2
− ; V
B
=
l
l

2
1+
Ta c ng nh hng ca V
A,
V
B
hình 3.5
* Cách v nhanh : ng nh hng phn lc dm mút tha ta ch cn v
ng nh hng ca dm n gin có chiu dài bng khong cách 2 gi ( l ), sau
ó kéo dài on mút tha.
b. ng nh hng ni lc (mômen un và lc ct) : Chia mt ct làm 2
loi: mt ct trong nhp (gia 2 gi) và mt ct ngoài nhp (ngoài 2 gi)
- Mt ct trong nhp ti C
+ Khi P = 1 di ng phía trái mt ct C (-l
1
[ z [a). Xét cân bng phn phi ta
có M
C
= b.V
B
= b.
l
z
và Q
C
= - V
B
=
l
z

−
Khi z = -l
1
→ M
C
= - b.
l
l
1
; Q
C
=
l
l
1
Khi z = 0 → M
C
= 0 ; Q
C
= 0
Trng Cao ng Giao thông Vn Ti II Bài ging : C hc kt cu
Biên son: Th.S Nguyn Phú Th Trang
16
Khi z = a → M
C
=
l
ab
; Q
C

=
l
a
−
→ Vng nh hng nhánh trái.
l
a.b
b
l
a
l
1
1
l1
h1
l2
h2
E
B
D
A
l
C
a
b
dah Va
b)
a)
c)
d)

e)
g)
h)
i)
k)
m)
n)
p)
q)
r)
l)
dah Vb
dah Mc
dah Qc
dah Md
dah Qd
dah Me
dah Qe
dah Ma
dah Mb
dah Q
ph
B
tr
dah Q
A
tr
dah Q
B
A

dah Q
ph
1+
l
1
l
l
1
l
l
1
b.l
l
1
l
l
1
l
l
1
l
1
h
1
1
l
1
l
2
l

l
2
l
1+
h
2
1
l
2
1
l
2
l
l
l
2
l
l
2
a.l
l
2
+ Khi P = 1 di ng phía phi M
C
(a [ z [ l + l
2
). Xét cân bng phía trái: M
C
= a.V
A

= a.
l
zl
−
và Q
C
= V
A
=
l
zl
−
Khi z = a thì M
C
=
l
ab
; Q
C
=
l
b
Khi z = l thì M
C
= 0 ; Q
C
= 0
Khi z = l + l
2
thì M

C
= -a.
l
l
2
; Q
C
=
l
l
2
−
→ Vng nh hng nhánh phi
T cách v M
C
, Q
C
suy ra cách v nhanh ng nh hng mômen, lc ct
nh sau:
+ u tiên vng nh hng ca ni lc ca mt ct tng ng trên dm
n gin có chiu dài bng khong cách 2 gi, sau ó kéo dài ng nh hng
cho phn mút tha.
+ Áp dng v nhanh ng nh
ng Q
A
tr
, Q
A
ph
, Q

B
tr
, Q
B
ph
- ng nh hng mt ct
l
zz
l1
h1
z z
h2
l2
Trng Cao ng Giao thông Vn Ti II Bài ging : C hc kt cu
Biên son: Th.S Nguyn Phú Th Trang
17
ngoài nhp (ngoài 2 gi -on mút tha). Chn gc ta  trùng vi mt ct D và
chiu dng trc z hng ra u mút tha bên trái (hình 3.4).
+ Khi P = 1 di ng trên phn trái mt ct D (0 [ z [ h
1
), xét cân bng phn
phi (ít lc hn): ΣM
D
= 0 ⇔ M
D
= -z.P = -z và Q
D
= -1 =Const
Khi z = 0 thì M
D

= 0
Khi z = h
1
thì M
D
= -h
1
+ Khi P = 1 di ng trên phn phi mt ct D (h
1
[ z [ l + l
2
), xét cân bng
phn trái (ít lc hn): ΣM
D
= 0 ⇔ M
D
= -z.P = -z và Q
C
= 0
Khi z = 0 thì M
D
= 0
Khi z = h
2
thì M
D
= -h
2
Tó ta có cách v nhanh ng nh hng mômen và lc ct ngoài nhp:
-ng nh hng mômen un: Trên ng chun tng ng vi u mút

tha (n mút tha có cha mt ct) dng tung  -h (vi h là khong cách t mút
tha ti mt ct ang xét). Sau ó, ni nh tung  này vi m có tung  bng 0
ng ng vi mt ct ó.
-ng nh hng lc ct: Trên ng chun  v trí tng ng vi mt ct
dng tung  -1 nu mt ct n mút tha bên trái, +1 nu mt ct n mút
tha bên phi. Tnh tung  này kng song song ng chun cho n mút
tha n cha mt ct. Nhánh còn li ca ng nh hng trùng vi ng
chun.
4. ng nh hng ca dm tnh nh nhiu nhp
a. Khái nim v dm tnh nh nhiu nhp: Là h gm nhiu dm ghép li vi
nhau bng các khp và t trên nhiu gi ta sao cho h là bt bin hình và không
có liên kt tha. Thí d các dm hình 3.6
a)
b)
c)
 m bo cho h bt bin hình thì trong mt nhp không c có quá hai
khp nm trên mt ng thng.
Trong dm nhiu nhp u mút ca dm này là gi ta ca dm khác, dm ó
c gi là dm chính, còn các dm gi lên nó là dm phi vi nó.
Trên hình 3.6a có dm D1, D3, D5 là dm chính, D2 là dm phi vi dm
Trng Cao ng Giao thông Vn Ti II Bài ging : C hc kt cu
Biên son: Th.S Nguyn Phú Th Trang
18
D1 và D3, D4 là dm phi vi dm D3 và D5.
Hình 3.6b có dm D1 là dm chính, D2 là dm phi vi dm D1 nhng là
dm chính i vi dm D3, D3 là dm phi vi D2 và D1 nhng li là dm
chính i vi D4, còn D4 là dm phi vi c D3,D2 và D1.
Hình 3.6c có dm D1 và D4 là dm chính, D2 là dm phi vi dm D1
nhng là dm chính i vi dm D3, D3 là dm phi vi c D2,D1 và D4.
Nh vy có nhng dm luôn là dm chính hoc ph, nhng cng có

nhng dm i vi dm này nó là chính nhng i vi dm kia nó là ph. Ta
nhn bit theo nhn xét sau:
-Dm có s liên kt vi t tng ng vi t hai liên kt thanh tr lên
thì nó luôn luôn là dm chính.
-Dm không có liên kt vi t thì nó luôn là dm ph.
-Dm có 1 liên kt ni vi t thì khi  ngoài cùng nó s luôn là dm ph,
khi  trong nó s là va chình, va ph.
u ý: Quá trình tính toán c tin hành t dm ph, ri n dm chính. Ti
trng tác dng lên dm chính s không gây ra phn lc trong dm phi vi nó,
ngc li khi có ti trng tác dng lên dm ph nó s gây ra phn lc và ni lc
trong tt c các dm chính i vi nó.
b. ng nh hng ca dm tnh nh nhiu nhp.
Khi vng nh hng có th xy ra 2 trng hp: Yu t xét thuc dm ph,
dm chính hay dm va chính va ph.
a)
b)
K
V
I
dah Vb
dah Mk
dah Vh
dah Qk
dah M
I
dah Q
I
dah M
v
dah Q

v
c)
d)
e)
g)
h)
i)
k)
l)
l1 l2 l3
l4
l5 l6
h a b
c d
1
a.b
l
3
3
l
a
3
l
b
1
5
l
d.l
4
c.d

l
5
c.l
l
5
6
l
4
l
5
5
l
d
l
5
c
l
5
l
6
h
1
- Yu t vng nh hng thuc dm ph: Vng nh hng V
B
và M
K
: Khi P =1 di ng trên dm BC, ta xem nh dm BC là mt dm n gin và d
dàng vc ng nh hng ca dm này. Nhã phân tích khi P=1 di chuyn
trên các dm khác không nh hng gì n V
B

nên ng nh hng trùng vi
ng chun. (hình 3.7c,d)
Trng Cao ng Giao thông Vn Ti II Bài ging : C hc kt cu
Biên son: Th.S Nguyn Phú Th Trang
19
- Yu t vng nh hng thuc dm chính hoc dm va chính va ph:
Vng nh hng V
H
ca dm CD.
+ Khi P = 1 di chuyn trên CD lúc này ch có Dm CD chu lc, các dm khác
không làm vic, Xem nh dm CD là dm c lp, d dàng vc ng nh
ng ca dm CD.
+ Khi P = 1 di chuyn trên BC là dm ph ca CD, lúc này ti trng truyn
qua dm CD qua khp C. Ta chng minh n ng nh hng tng ng vi dm
BC là mt n thng i qua nh hai tung :
tung  tng ng di khp C ( ni dm ph
và chính) úng bng tung ó khi ti trng
P=1 di chuyn trên dm chính và tung 
không tng ng di gi còn li ( gi B) ca
dm ph.
Xét dm BC và CD nh hình 3.8 ta có
Dm BC có ∑m
B
= l
1
.V
C
– z.P = 0 ⇒ V
C
=

1
l
z
(1)
Dm CD có ∑m
F
= l
3
.V
H
+ V
C
.l
2
= 0 ⇒ V
H
=
3
2
l
l
−
V
C
(2)
Thay (1) vào (2) có V
H
=
3
2

l
l
− .
1
l
z
(3)
Vy V
H
là hàm bc 1 ca z nên tng ng vi an BC ng nh hng V
H
là ng thng.
Khi z = 0 ( P = 1 trên gi B), V
H
= 0
Khi z = l
1
( P = 1 trên khp C), V
H
=
3
2
l
l
−
úng bng tung  khp C lúc P=1 di chuyn trên dm chính CD.
+ Khi P = 1 di chuyn trên dm chính AB, rõ ràng dm CD không chu
lc nên an ng nh hng ca V
H
ng ng vi dm CD trùng vi ng

chun ( hình 3.7g)
ng t ta vc ng nh hng M
I
, M
V
Q
V
Tóm li  vng nh hng ca dm tnh nh nhiu nhp ta thc hin.
- Khi P = 1 di ng trên dm cha yu t cn vng nh hng, xem ây
nh 1 dm c lp, ngha là ch có nó làm vic, còn li các dm khác không làm
vic, ng nh hng ca các dm này trùng ng chun ( thng ây là dm
mút tha).
- Khi P = 1 di ng trên dm chính i vi dm cha yu t cn vng nh
ng thì ng nh hng trùng vi ng chun ( vì không gây ra phn lc và
ni lc).
- Khi P = 1 di ng trên dm phi vi dm cha các yu t cn vng
nh hng thì ng nh hng tng ng là on thng i qua nh tung  ti
l1
z
P=1
B
V
C
l4
l3l2
V
C
F HD
Trng Cao ng Giao thông Vn Ti II Bài ging : C hc kt cu
Biên son: Th.S Nguyn Phú Th Trang

20
ch ni dm chính vi dm ph và im 0 tng ng vi gi còn li ca dm ph.
* Cách v nhanh ng nh hng dm tnh nh nhiu nhp.
+ Khi P = 1 di ng trên dm cha yu t cn vng nh hng thì xem nó
là c lp, vng nh hng dm này.
+ Ln lt vng nh hng qua các dm k tip khi cho P = 1 di ng.
Nu là dm chính so vi dm ang xét thì ng nh hng trùng ng chun.
Nu là dm ph so vi dm ang xét thì vng nh hng là on thng k tip
thuc dm ph ca dm ang xét qua các tung  bng 0 tng ng vi các gi ca
dm ph hoc ng vi khp gp u tiên ca dm chính khác.
5. ng nh hng ca dm chu ti gián tip
Khi tính toán công trình ta thng gp ti trng không tác dng trc tip lên
dm chính mà tác dng gián tip lên dm thông qua các mt truyn lc t  nhng
im nht nh trên dm. Hình 3.9.
Trc khi vng nh
ng ta nghiên cu 2 c
im ca dm chu ti trng
truyn qua mt truyn lc.
- Khi P = 1 t úng
vào mt truyn lc ca dm
thì thc t là ti trng ã t
trc tip lên dm chính. Vy
tung ng nh hng 
các v trí tng ng vi mt
truyn lc úng bng tung 
khi ti trng di ng trc tip
lên dm chính. c bit khi P
= 1 t  mt truyn lc trên
t hay  ngoài dm thì ti
trng ó không nh hng

n dm nên tng ng vi
mt này thì ng nh hng
luôn bng 0.
- Khi P = 1 di ng
trong khong gia 2 mt
truyn lc liên tip (trong
phm vi 1 dm) thì ng
nh hng là 1 on thng
ni nh 2 tung  tng ng
vi 2 mt truyn lc  2 u.
* Cách vng nh hng cho dm chu ti trng gián tip:
- Vng nh hng cho ti trng di ng tác dng trc tip lên dm chính.
- Ti v trí tng ng vi các mt truyn lc ly tung  bng tung ng
nh hng ã v
d)
(P=1 truyÒn qua m¾t)
(P=1 ®Æt trùc tiÕp trªn dÇm chÝnh)
(P=1 truyÒn qua m¾t)
(P=1 ®Æt trùc tiÕp trªn dÇm chÝnh)
h)
C
dah Q
C
dah Q
g)
dah M
C
e)
dah M
C

(P=1 truyÒn qua m¾t)
(P=1 ®Æt trùc tiÕp trªn dÇm chÝnh)
c)
A
dah V
b)
A
dah V
a)
Trng Cao ng Giao thông Vn Ti II Bài ging : C hc kt cu
Biên son: Th.S Nguyn Phú Th Trang
21
dah S
P
n
P
P
12
y
a)
C
1
2
y
n
y
P
3
y
3

- Ni nh tung  các ng nh hng bng các n thng c ng
nh hng ca dm chu ti trng gián tip.
Áp dng phng pháp ã nêu ta vc các ng nh hng ca dm chu
ti trng truyn qua mt nh trên hình 3.9 c,e,h.
3.3 S dng ng nh hng  tính yu t xét di tác dng ca các
dng ti trng khác nhau.
1. Ti trng cnh
a. Ti trng cnh tp trung.
Gi s trên công trình có ti trng cnh tp trung P
1
, P
2
, , P
n
tác dng. Cn
phi tính giá tr các yu t xét S do h ti trng sinh ra.
Trên ng nh hng ca yu t S, tung  tng ng vi các ti trng P
1
,
P
2
, , P
n
là y
1
, y
2, ,
y
n
(hình 3.10)

Giá tr ca yu t S do h ti trng P
1
, P
2
, , P
n
gây ra là:
S
1
= P
1
.y
1
S
2
= P
2
.y
2

S
n
= P
n
.y
n
Giá tr S do h ti trng ng thi
gây ra là:
S = S
1

+ S
2
+ + S
n
= P
1
.y
1
+ P
2
.y
2
+ +P
n
.y
n
=
i
n
i
yP.
1
∑
(3.3)
Vy: Giá tr ca yu t S do ti trng cnh tp trung gây ra bng tng i
s ca tích các lc vi tung ng nh hng tng ng
* Chú ý:
- Lc P
i
ly du (+) khi cùng chiu P = 1

- Lc P
i
ly du (-) khi ngc chiu P = 1
- Ly du tung  y
i
theo du ng nh
ng .
- Nu P
i
t ti v trí tung ng nh
ng có bc nhy thì giá tr ca yu t S có 2
giá tr tng ng vi P
i
là : hình 3.11
S
i
phi
= P
i
.y
i
trái
S
i
trái
= P
i
.y
i
phi

Ví d 3.1: S dng ng nh hng, tính M
C
và Q
C
cho dm chu ti trng c
nh nh hình 3.12a. Kim tra li kt qu bng cách v biu  lc ct và mômen
un. Cho bit P
1
= 0,5T, P
2
= 1T, P
3
= 0,8T.
y
ph
i
tr
i
y
P
i
Trng Cao ng Giao thông Vn Ti II Bài ging : C hc kt cu
Biên son: Th.S Nguyn Phú Th Trang
22
C
BiÓu ®å M
e)
30
34
26

BiÓu ®å Q
8m
1m2m
2
13
d)
c)
8
8
b)
10
8
5
2
8
10
dah Q
8
3
8
C
8
C
dah M
3
8
15
3m
9
2m

a)
PP
P
1
2
3
Gii:
Vng nh hng M
C
và Q
C
hình
3.12b,c. Theo công thc (3.3) ta có
M
C
= P
1
.y
1
+ P
2
.y
2
+ P
3
.y
3
=
Tmxxx 4,3
8

9
8,0
8
15
1
8
10
5,0 =++
Vi Q
C
ta phi xét 2 trng hp.
- Khi P
2
 bên trái mt ct C :
Q
C
=
Tmxxx 2,0
8
3
8,0)
8
3
(1)
8
2
(5,0 −=+−+−
- Khi P
2
 bên phi mt ct C :

Q
C
=
Tmxxx 8,0
8
3
8,0)
8
5
(1)
8
2
(5,0 =++−
Bài tp Ví d 3.1: S dng ng
nh hng, tính M
C
và Q
C
cho dm chu
ti trng cnh nh hình 3.12a. Kim tra
li kt qu bng cách v biu  lc ct và
mômen un. Cho bit P
1
= 1,5T, P
2
=2,5T, P
3
= 0,6T.
Ti trng c nh phân bu:
Gi s ti trng phân bu có cng  tác dng là q tác dng lên công trình.

Cn tính giá tr yu t S do ti trng này gây ra
Gi hoành m u và im cui ca ti trng
phân bu là a và b. Xét 1 on dz thay nó bng lc
tp trung là q.dz (hình 3.13)
Do ó: dS = q.dz.y
⇔ S = q.ω Trong ó:
q: cng  ti trng phân b
q > 0 khi cùng chiu P = 1
q < 0 khi ngc chiu P = 1
ω: din tích ng nh hng tng ng. Du ca
ω ly theo du ca ng nh hng. Nu ng nh hng gm nhiu b phn có
du khác nhau thì ω là tng i s din tích ca các phn ó. ω = ω
(+)
+ ω
(-)
* Vy: giá tr ca yu t xét do ti trng phân bu gây ra bng tích ca
ng  ti trng phân bu vi din tích ng nh hng tng ng
Ví d 3.2: Dm mút tha chu tác dng ca ti trng phân bu q = 10 kN/m
nh hình 3.14a. Tính mômen và lc ct mt ct C  gia dm.
Gii:
a
b
q
dz
qdz
y
y
a
y
b

Trng Cao ng Giao thông Vn Ti II Bài ging : C hc kt cu
Biên son: Th.S Nguyn Phú Th Trang
23
Tính M
C
và Q
C
theo ng nh hng hoc Sc bn vt liu.
Theo ng nh hng :
0,5
8m
26m
0,3125
c)
dah Q
C
2,5
C
0,5
dah M
b)
4
5m
a)
C
8m
0,3125
2,5
5m
ΣM

C
= qΣω
M
= 10












−
+
2
5.5,2
2
16.4
= 10(32-12,5) = 10.19,5 = 195 kNm
Q
C
= 0 vì phn dng và âm bng nhau.
Theo Sc bn vt liu:
V
A
= V

B
=
kN130
2
26.10
=
M
C
= 130.8 -
kNm130
2
13.13.10
=
Q
C
= 130 - 10.13 = 0
b. Ti trng cnh là mômen tp trung:
Gi s trên công trình chu tác dng ti trng là mômen tp trung M
Giá tr ca yu t xét tính theo công thc:
S =
∑
=
n
i
ii
tgm
1
. α
Trong ó:
m

i
: mômen tp trung
m
i
(+): khi quay thun chiu kim ng h.
m
i
(-): khi quay ngc chiu kim ng h.
α
i
: góc nghiêng ca ng nh hng  v trí tng ng m
i
tgα
i
(+) :khi ng nh hng ng bin
Trng Cao ng Giao thông Vn Ti II Bài ging : C hc kt cu
Biên son: Th.S Nguyn Phú Th Trang
24
tgα
i
(-) :khi ng nh hng nghch bin
Nu ti v trí tng ng vi mômen tp trung ng nh hng có gãy khúc
hoc có bc nhy thì khi M  bên trái ly tgα
i
tr
,
M  bên phi ly tgα
i
ph
. (hình 3.15)

S
trái
=
∑
=
n
i
ii
tgm
1
. α
tr
S
phi
=
∑
=
n
i
ii
tgm
1
. α
ph
Vy: Giá tr yu t S do h ti ti trng c
nh là các mômen tp trung gây ra bng tng
các tích s gia mômen vi tg góc nghiêng ca
ng nh hng  v trí tng ng.
Ví d 3.3: S dng ng nh hng 
tính M

A
, Q
A
, M
C
, Q
C
ca dm trên hình 3.16a.
Bit P
1
= 8kN; P
2
= 12kN; q = 4kN/m;
M = 10kNm.
Gii:
Vng nh hng M
A
, Q
A
,
M
C
, Q
C
nh hình v 3.16b,c,d,e
Theo công thc (3.3), (3.4), (3.5)
ta có
S = P
1
.y

1
+ P
2
.y
2
+ q.ω + M.tgα
M
A
= 8.(-1) +12(-3) + 4
2
)4.(4
−
-
10.(-1) = -66kNm
Q
A
= 8.1 +12.1 +4.4.1 -10.0 =
36kN
 Tính M
C
cn phân bit 2
trng hp
- Khi M t bên trái mt ct C:
tgα
tr
= 0
M
C
= 12.(-1) + 4
2

)2.(2
−
=-20kN.m
- Khi M t bên phi mt ct C: tgα
ph
=
1
2
2
−=
−
M
C
= 12.(-1) + 4
2
)2.(2
−
- 10.(-1) =-10kN.m
Q
C
= 12.(1) +4.1.2 = 20kN.
2. Ti trng di ng
dah S
ph
α
i
dah S
tr
α
i

P
i
tr
i
α
i
α
ph
m
i
a)
e)
dah Q
d)
dah M
dah Q
2
c)
dah M
1
b)
1
C
1
1
2
4
1
4
q

1
P
M
2
P
Trng Cao ng Giao thông Vn Ti II Bài ging : C hc kt cu
Biên son: Th.S Nguyn Phú Th Trang
25
 tính tác dng ca ti trng di ng cn xác nh v trí bt li nht sau ó
dng ti trng  v trí này và xem ti trng là cnh  tính giá tr yu t xét.
Gi S
max
là giá tr dng ln nht
S
min
là giá tr âm ln nht
a. Ti trng di ng là lc phân bu q:
- Trng hp chiu dài ti trng phân bu ln hn hoc bng chiu dài t
ti ca ng nh hng (d ≥ l),(hình 3.17). Lúc này ta s t ti trng ph kín
ng nh hng, ó chính là v trí bt li nht. Ta Có S
max
= q.ω nu ng nh
ng (+) hoc S
min
= q.ω nu ng nh hng (-). Gi S
tính
là ni lc chn 
tính thì: S
tính
= q.ω Trong ó:

q: cng  ti trng phân b ( ly du theo P =1).
ω: din tích ng nh hng
l
d
dah S
ω
b)
dzdz
l
ω
2
y
1
y
ω
t p
ω
a)
d
q
- Trng hp chiu dài ti trng phân bu nhn hn chiu dài t ti ca
ng nh hng (d < l),(hình 3.18). V trí bt li là v trí có tung ng nh
ng tng ng vi u trái (y
tr
) và u phi (y
ph
) ca ti trng phân b bng nhau.
(y
tr
= y

ph
)
Chú ý: Nu ng nh hng có hai du thì phi t riêng cho tng phn có
du dng và du âm  tính S
max
và S
min
Thí d: 3.4 Cho dm n gin có chiu dài l =8m.
-Xác nh v trí bt li và tính mômen ln nht  mt ct K
-Tìm Q
max và
Q
min
 mt ct K.
Cho bit ti trng di ng phân bu có cng  q = 120 kN/m và chiu dài
d = 5m; a = 3m; b = 5m.
Gii:
Chiu dài t ti ca ng nh hng M
K
là 8m dài hn chiu dài ti trng d
= 5m nên  có v trí bt li cn t ti trng sao cho y
tr
= y
ph
. hình 3.19.