Chuong 1 Lý thuyết tập mờ

Chương 1

LÝ THUY T T P M
1.1. T p m và thông tin không ch c ch n
L.A. Zadeh là ngư i sáng l p ra lý thuy t t p m v i hàng lo t bài báo
m ñư ng cho s phát tri n và ng d ng c a lý thuy t này, kh i ñ u là bài
báo “Fuzzy Sets” trên T p chí Information and Control, 8, 1965. Ý tư ng n i
b t c a khái ni m t p m c a Zadeh là t nh ng khái ni m tr u tư ng v ng
nghĩa c a thông tin m , không ch c ch n như tr , nhanh, cao-th p, xinh đ p..,
ơng đã tìm ra cách bi u di n nó b ng m t khái ni m tốn h c, ñư c g i là t p
m , như là m t s khái quát tr c ti p c a khái ni m t p h p kinh ñi n.
ð d hi u chúng ta hãy nh l i cách nhìn khái ni m t p h p kinh ñi n
như là khái ni m các hàm s .
Cho m t t p vũ tr U. T p t t c các t p con c a U ký hi u là P(U) và
nó tr thành m t ñ i s t p h p v i các phép tính h p ∪, giao ∩, hi u \ và l y
phàn bù –, (P(U), ∪, ∩, \, –). Bây gi
m i t p h p A ∈ P(U) có th đư c xem

1

λA(a) =1
1

như là m t hàm s λA : U → {0, 1} ñư c
λA(b) = 0

xác ñ nh như sau:
0

a

b

U


1 khi x ∈ A

λ A ( x) = 

0 khi x ∉ A


M c dù λA và A là hai ñ i tư ng tốn h c hồn tồn khác nhau, nhưng
chúng đ u bi u di n cùng m t khái ni m v t p h p: x ∈ A khi và ch khi

λA(x) = 1, hay x thu c vào t p A v i “ñ thu c vào” b ng 1. Vì v y, hàm λA
đư c g i là hàm ñ c trưng c a t p A. Như v y t p h p A có th đư c bi u th
b ng m t hàm mà giá tr c a nó là đ thu c v hay ñơn gi n là ñ thu c c a
ph n t trong U vào t p h p A: N u λA(x) = 1 thì x ∈ A v i ñ thu c là 1 hay
100% thu c vào A, cịn n u λA(x) = 0 thì x ∉ A hay x ∈ A v i ñ thu c là 0 t c
là ñ thu c 0%.

5


Trên cách nhìn như v y, chúng ta hãy chuy n sang vi c tìm ki m cách th c
bi u di n ng nghĩa c a khái ni m m , ch ng h n, v l a tu i “tr ”. Gi s
tu i c a con ngư i n m trong kho ng U = [0, 120] tính theo năm. Theo ý
tư ng c a Zadeh, khái ni m tr có th bi u th b ng m t t p h p như sau: Xét
m t t p h p Atr nh ng ngư i ñư c xem là tr . V y, m t câu h i là “M t

ngư i x có tu i là n ñư c hi u là thu c t p Atr như th nào?” M t cách ch
quan, chúng ta có th hi u nh ng ngư i có tu i t 1 – 25 ch c ch n s thu c
vào t p h p Atr , t c là v i ñ thu c b ng 1; Nhưng m t ngư i có tu i 30 có l
ch thu c vào t p Atr v i ñ thu c 0,6 cịn ngư i có tu i 50 s thu c vào t p
này v i ñ thu c 0,0 … V i ý tư ng đó, ng nghĩa c a khái ni m tr s ñư c
bi u di n b ng m t hàm s µtr : U → [0, 1], m t d ng khái quát tr c ti p t
khái ni m hàm ñ c trưng λA c a m t t p h p kinh ñi n A ñã ñ c p

trên.

M t câu h i t nhiên xu t hi n là t i sao ngư i có tu i 30 có l ch
thu c vào t p Atr v i ñ thu c 0,6 mà không ph i là 0,65? Trong lý thuy t t p
m chúng ta khơng có ý ñ nh tr l i câu h i ki u như v y mà ghi nh n r ng
t p m c a m t khái ni m m ph thu c m nh m vào ch quan c a ngư i
dùng hay, m t cách ñúng ñ n hơn, c a m t c ng ñ ng, hay c a m t ng d ng
c th . Khía c ch này cũng th hi n tính khơng chính xác v ng nghĩa c a
các khái ni m m . Tuy nhiên, th c t này không nh hư ng ñ n kh năng ng
d ng c a lý thuy t t p m vì m i gi i pháp d a trên lý thuy t t p m cũng ch
nh m vào m t mi n ng d ng c th trong đó các khái ni m m trong ng
d ng (hay trong c ng ñ ng s d ng ng d ng đó) s có ý nghĩa chung th ng
nh t.
1.1.1. Khái ni m t p h p m
ð nh nghĩa 1.1. Cho m t t p vũ tr U. T p h p A∼ ñư c xác ñ nh b i ñ ng
th c: A∼ = { µ A~ (u ) /u : u ∈ U, µA∼(u) ∈ [0, 1]} ñư c g i là m t t p h p m
trên t p U.
Bi n u l y giá tr trong U ñư c g i là bi n cơ s và vì v y t p U cịn
đư c g i là t p tham chi u hay mi n cơ s . Hàm µ A~ : U → [0, 1] ñư c g i
là hàm thu c (membership function) và giá tr µ A~ (u ) t i u ñư c g i là ñ

6

thu c c a ph n t u thu c v t p h p m A∼. N u không gây nh m l n, hàm
thu c µ A~ cũng ñư c ký hi u là A∼(.), n u bi n cơ s u không bi u th hi n,
hay A∼(u), n u bi n u xu t hi n hi n.
Lưu ý r ng v ph i c a ñ nh nghĩa A∼ là m t t p kinh đi n và do đó
đ nh nghĩa trên là hồn ch nh.
H t t c các t p m trên mi n cơ s U ñư c ký hi u là F(U),
F(U) = { µ A~ : U → [0, 1]} = [0, 1]U
Có nhi u cách bi u di n hình th c m t t p m . Trong trư ng h p U là
m t t p h u h n, đ m đư c hay vơ h n liên t c, t p m A∼ có th ñư c bi u
di n b ng các bi u th c hình th c như sau:
Trong trư ng h p U h u h n, U = {ui : 1 ≤ i ≤ n}, ta có th vi t:
A∼ =

∑

1≤i ≤ n

µA∼(u1)/u1 + µA∼(u2)/u2 + ... + µA∼(un)/un

hay

A∼ =

µ A (ui ) / ui
~

Trong trư ng h p này t p m ñư c g i là t p m r i r c (discrete fuzzy
set).

Trong trư ng h p U là vơ h n đ m đư c, U = {ui : i = 1, 2, …}, ta có
th vi t:

A∼ =

∑

1≤i <∞

µ A (u i ) / u i
~

Trong trư ng h p U là vô h n liên t c, U = [a, b], ta có th vi t
b

∼

A =

∫µ

A~

(u ) / u

a

Lưu ý r ng các bi u th c trên ch có tính hình th c, các phép c ng +,
phép t ng Σ và phép l y tích phân đ u khơng có nghĩa theo quy ư c thơng
thư ng. Tuy nhiên cách bi u di n như v y s r t ti n d ng khi ñ nh nghĩa và

thao tác các phép tính trên các t p m sau này.
Ví d 1.1. Xét t p U g m 5 ngư i là x1, x2,….x5 tương ng có tu i là 10, 15,
50, 55, 70 và A∼ là t p h p các ngư i “Tr ”. Khi đó ta có th xây d ng hàm
thu c như sau:

7


µTr (10) = 0.95, µTr (15) = 0.75, µTr (50) = 0.35, µTr (55) = 0.30, µTr (70) =
0.05 và t p m A∼ =

0.95 0.75 0.35 0.30 0.05
+
+
+
+
x1
x2
x3
x4
x5

ð nh nghĩa 1.2. T p m A∼ có d ng hình thang xác ñ nh b i b 4 giá tr (a, b,
c, d), ký hi u A∼ = (a, b, c, d) và đư c xác đ nh:

µA

~



x
b

(x) = 
d
d



0
− a
− a
1
− x
−c
0

n ux≤a
n uan ub≤x≤c
n ucn ux≥d

1.1.2. T p lát c t c a t p m
trên chúng ta th y khai ni m t p m là m t s khái quát tr c ti p,
ñ p ñ c a khái ni m t p kinh ñi n. ði u này cho phép hy v ng nó s ñ t cơ
s cho m i liên h ch t ch gi a hai khái ni m t p h p này. ð d n ñ n vi c
nghiên c u đó, trư c h t chúng ta đưa ra khái ni m t p lát c t α c a m t t p
m .
ð nh nghĩa 1.3. Cho m t t p m A~ trên t p vũ tr U và α ∈ [0, 1]. T p lát

~
~
c t α (ho c α+) c a t p A~ là m t t p kinh ñi n, ký hi u là Aα (ho c Aα + ),

ñư c xác ñ nh b ng ñ ng th c sau:
~
~
Aα = {u ∈ U : µ A~ (u ) ≥ α } (ho c Aα + = {u ∈ U : µ A~ (u ) > α }).

Như v y, m i t p m A~ s c m sinh m t h các t p kinh đi n, ta có
ánh x

h : A~ ∈ F(U)

~
→ { Aα ∈ P(U): 0 ≤ α ≤ 1}

(1*)

ð ñơn gi n ký hi u, ta vi t h các t p kinh ñi n như v y b ng h(A~) =
~
{ Aα : 0 ≤ α ≤ 1}, A~ ∈ F(U). H các t p h p như v y có các tính ch t sau:

ð nh lý 1.1. Cho A~, B~ ∈ F(U), h là ánh x ñư c cho trong (1*) và h(A~) =
~
~
{ Aα : 0 ≤ α ≤ 1}, h(B~) = { Bα : 0 ≤ α ≤ 1}. Khi ñó,
~
(i) M i h h(A~) như v y là dãy ñơn ñi u gi m, n u α < β , thì Aα ⊇

~
Aβ ;

8


~
~
(ii) N u A~ ≠ B~ thì { Aα : 0 ≤ α ≤ 1} ≠ { Bα : 0 ≤ α ≤ 1}.

Nghĩa là t n t i m t song ánh t h các t p m F(U) vào h c a nh ng h
t p kinh ñi n P(U)

d ng (1*).

Ch ng minh: Tính ch t (i) d dàng rút ra t tính ch t (A∼(u) ≥ β ⇒ A∼ (u) ≥

α).
ð ch ng minh (ii), gi s A∼ ≠ B∼, ∃u∈U(A∼(u) ≠ B∼(u)). ð ñ nh ý, ta
gi s r ng có u0 ∈ U sao cho A∼(u0) > B∼(u0). Ch n α ∈ [0, 1] sao cho A∼(u0)
~
~
~
> α > B∼(u0). ði u này kh ng ñ nh u0 ∈ Aα nhưng u0 ∉ Bα~ hay Aα ≠ Bα . V y,
~
~
{ Aα : 0 ≤ α ≤ 1} ≠ { Bα : 0 ≤ α ≤ 1}.

Hi n nhiên là n u A~ = B~ thì { Aα~ : 0 ≤ α ≤ 1} = { Bα~ : 0 ≤ α ≤ 1}. Như
v y ta ñã ch ng t r ng ánh x h là song ánh.

1.1.3. M t s khái ni m ñ c trưng c a t p m
A~, ký hi u là

ð nh nghĩa 1.4. (i) Giá c a t p m : Giá c a t p m

Support(A~), là t p con c a U trên đó µ A (u ) ≠ 0, Support(A~) = {u: µ A (u ) > 0}.
~

~

(ii) ð cao c a t p m : ð cao c a t p m A~, ký hi u là hight(A~), là
c n trên ñúng c a hàm thu c µ A trên U, hight(A~) = sup{ µ A (u ) : u ∈ U}.
~

~

(iii) T p m chu n (normal): T p m A~ ñư c g i là chu n n u
hight(A~) = 1. Trái l i, t p m ñư c g i là dư i chu n (subnormal).
(iv) Lõi c a t p m : Lõi c a t p m A~, ký hi u là Core(A~), là m t t p
con c a U ñư c xác ñ nh như sau:
Core(A~) = {u ∈ U: µ A (u ) = hight(A~)}.
~

Bây gi chúng ta s l y m t s ví d v vi c bi u di n ng nghĩa c a
các khái ni m m thu c các lĩnh v c khác nhau b ng t p m .
Ví d 1.2. Gi s U là t p vũ tr v s ño nhi t ñ th i ti t, ch ng h n U = [0,
50] tính theo thang đ C. Chúng ta s xác ñ nh t p m bi u th khái ni m m
th i ti t NĨNG và L NH. Trong ví d này ta s d ng m t hàm s m u, g i là
S-hàm vì đ th c a nó có hình ch S. Chúng ta ký hi u hàm này là S(u, a, b,

9


c), trong đó a, b và c là nh ng tham s . Nó là hàm t ng khúc b c 2 và ñư c
ñ nh nghĩa như sau:
ñ iv i u≤a

S(u, a, b, c) = 0
u−a

c−a

= 2


2

ñ iv i a≤u≤b

u−c

c−a

= 1 − 2


2

ñ iv i b≤u≤c
ñ iv i c≤u

= 1

Hàm thu c µA~(u) = S(u, 15, 25, 35) là khái ni m th i ti t NÓNG c a
ngư i L ng Sơn c c B c nư c ta, cịn hàm thu c µB~(u) = S(u, 25, 35, 45) là
khái ni m NÓNG c a ngư i Sài Gịn (xem Hình 1.1).
V i hai t p m này ta có: Support(A~) = [15, 50], Support(B~) = [25,
50], Hight(A~) = Hight(B~) = 1, Core(A~) = [35, 50] và Core(B~) = [45, 50].
Hàm thu c bi u th khái ni m m L NH ñư c xác ñ nh qua hàm thu c
NĨNG b ng bi u th c sau:

µA’~(u) = 1 − µA~(u) và µB’~(u) = 1 − µB~(u)
Ví d này th hi n tính ch quan v
ng nghĩa c a khai ni m m và do đó th
hi n tính t do trong vi c xây d ng các hàm
thu c. Tình hu ng tương t như v y khi ta
nói đ n khái ni m cao c a gi i n và gi i
nam, hay khái ni m cao c a ngư i Vi t
Nam và ngư i Châu Âu.

1,0

µA’~(u)

µB~(u)

µA~(u)
0

µB’~(u)

15

25

35

45

50

Hình 1.1: Hàm thu c c a t p m NĨNG
và L NH

Ví d 1.3. T p m hình chng: Ngư i ta có th bi u di n ng nghĩa c a khái
ni m m tr i mát m hay d ch u b ng hàm d ng hình chng như sau:
exp (− ((u − u0)/b)2)
Chúng ta có th ch p nh n hàm chng
trong Hình 1.2 là bi u th ng nghĩa c a khái
ni m nhi t đ D CH U và khi đó t p m D~

1,0

µD~(u)

có d ng: µD~(u) = exp (− ((u − 24)/10)2)
0

10

15

25

35

45

Hình 1.2: Hàm thu c c a t p m
D CH U

50


Ví d 1.4. Ta s đưa ra m t ví d v t p m r i r c (discrete fuzzy set). Xét U
là t p các giá tr trong thang ñi m 10 ñánh giá k t qu h c t p c a h c sinh v
mơn Tốn, U = {1, 2, …, 10}. Khi đó khái ni m m v năng l c h c mơn tốn
gi i có th đư c bi u th b ng t p m G~ sau:
G~ = 0,1/4 + 0,2/5 + 0,4/6 + 0,7/7 + 0,9/8 + 1,0/9 +1,0/10
(2*)
ñây các giá tr c a mi n U khơng có m t trong bi u th c (2*) có nghĩa đ
thu c c a chúng vào t p m G~ là b ng 0,0.
Trong trư ng h p t p m r i r c ta có th bi u di n t p m b ng m t
b ng. Ch ng h n, ñ i v i t p m G~ trên ta có b ng như sau:
B ng 1.1: T p m G~

U
G~

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0,0

0,0

0,0

0,1

0,3

0,5

0,7

0,9

1,0

1,0

Ví d 1.5. Trong ví d này chúng ta s xây d ng t p m bi u th ng nghĩa
c a khái ni m GIÀ và TR c a thu c tính l a tu i.
Gi s t p vũ tr ch tu i tính theo đơn v năm là U = {u : 0 ≤ u ≤ 120},
ch ng h n tu i c a x là 8,37 năm. Khi đó khái ni m GIÀ có th ñư c bi u th
b ng t p m v i hàm thu c như sau:

µGIÀ(u) =

120

∫

0

−2

 u − 60  −1
{1 + 
 } /u
 6 

µTR (u) = 1 − µGIÀ(u) =

120

∫

0

−2

 u − 60  −1
{1 − {1 + 
 } }/ u
 6 

C n nh n m nh m t l n n a r ng đây là cơng th c hình th c bi u di n
các t p m . D u tích phân ch có nghĩa mi n xác đ nh U c a hàm thu c là vô
h n continuum, t p h p có l c lư ng tương ñương v i ño n [0, 1].
Ví d 1.6. T p r i r c trên mi n phi s : Trong th c t ng d ng ngư i ta cũng
hay s d ng t p m trên mi n phi s , ch ng h n, mi n giá tr ngơn ng . Ví d ,
ta xét bi n ngơn ng NHI T ð có th xem như xác đ nh trên mi n 3 giá tr
ngơn ng U = {Th p, Trung-bình, Cao}. Khi đó, m t t p m r i r c T~ trên
mi n U có th đư c bi u th như sau:
T~ = µ1/Th p + µ2/Trung-bình + µ3/Cao

11


Ch ng h n Tr i-mát có th bi u th b ng t p m như sau:
Tr i-mát = 0,7/Th p + 0,8/Trung-bình + 0,2/Cao

ð i v i t p h p kinh đi n A chúng ta có khái ni m s lư ng các ph n
t c a m t t p h p, trong trư ng h p A là h u h n, hay l c lư ng c a t p h p,
trong trư ng h p A là vô h n. Hai t p h p A và B có l c lư ng b ng nhau n u
có t n t i m t ánh x 1-1 t A lên B.
ð i v i t p m A~, khái ni m l c lư ng đư c khái qt hóa b ng ñ nh
nghĩa sau:
ð nh nghĩa 1.5. L c lư ng c a t p m
Cho A~ là m t t p m trên U
(i) L c lư ng vô hư ng (scalar cardinality): L c lư ng hay b n s th c
c a t p A~, ký hi u là Count(A~), đư c tính theo cơng th c đ m sau (đơi khi
đư c g i là sigma count).
Count(A~)

=

∑

arith
u∈U

=
đây

∑

arith

và

∫

µ A~ (u) , n u U là t p h u h n hay đ m đư c
arith

∫µ
U

A~

(u)du , n u U là t p vô h n continuum

arith

là t ng và tích phân s h c.

(ii) L c lư ng m (fuzzy cardinality): L c lư ng hay b n s m c a t p
A~ là m t t p m trên t p các s nguyên không âm N đư c đ nh nghĩa như
sau:

Card(A~) =

∫µ
N

Card ( A~ )

(n)dn

trong đó µ Card ( A~ ) (n) đư c xác đ nh theo cơng th c sau, v i | At~ | là l c lư ng
c a t p m c At~ , µ Card ( A ~ ) (n) = suppremum {t ∈ [0, 1]: | At~ | = n}.

Có th xem cơng th c tính Count(A~)

trên như là cơng th c “đ m” s

ph n t trong U. Th c v y, n u t p A~ tr v t p kinh đi n thì µA~(u) ≡ 1 trên
U và do đó cơng th c Count(A~) trên chính là b đ m s ph n t . Khi µA~(u) ≠
1, thì u ch thu c v t p A~ v i t l ph n trăm b ng µA~(u) và do đó ph n t u
ch ñư c “ñ m” vào s lư ng các ph n t m t ñ i lư ng b ng µA~(u).

12


Lưu ý r ng, khác v i trư ng h p t p kinh ñi n, dù t p U là vơ h n đ m
đư c hay vơ h n continuum, thì l c lư ng c a t p m A~ v n có th là h u
h n, tùy theo dáng đi u c a hàm µA~(u).

1.2. Bi n ngôn ng
L.A.Zadeh vi t “khi thi u h t tính chính xác b ngồi c a nh ng v n
ñ ph c t p, m t cách t nhiên là tìm cách s d ng các bi n ngơn ng , đó là
các bi n mà giá tr c a chúng không ph i là s mà là các t ho c các câu
trong ngôn ng t nhiên ho c nhân t o. ð ng l c cho vi c s d ng các t ,
các câu hơn các s là đ c trưng ngơn ng c a các t , các câu thư ng là ít xác
đ nh hơn c a s ”.
Trong cơ s d li u quan h , các quan h hay các b ng d li u ch a các
thu c tính hay các tên c t. Nó ch tính ch t c a đ i tư ng. Các thu c tính này
cũng th hi n trong ngơn ng như đ mơ t tính ch t đ i tư ng là con ngư i,
trong ngơn ng t nhiên chúng ta có nh ng thu c tính TU I, CHI U CAO,
LƯƠNG, NĂNG L C … . Các thu c tính này có th ñư c mô t b ng giá tr
ngôn ng như tr , già, r t tr , … Vì lý do như v y, Zadeh g i các thu c tính
ki u như v y là bi n ngơn ng và mi n giá tr c a chúng là giá tr ngôn ng

hay g i là mi n ngôn ng (linguistic domain hay term-domain). Tuy nhiên,
như chúng ta ñã ñ c p trong M c 1.1, vì b n thân giá tr ngơn ng khơng ph i
là đ i tư ng tốn h c, ng nghĩa c a chúng đư c bi u th b ng các t p m hay
hàm thu c. ð khái ni m bi n ngôn ng tr thành m t khái ni m toán h c,
Zadeh hình th c hóa khái ni m này như sau:
ð nh nghĩa 1.6. Bi n ngôn ng là m t b năm (X, T(X), U, R, M ), trong ñó X
là tên bi n, T(X) là t p các giá tr ngôn ng c a bi n X, U là không gian tham
chi u c a bi n cơ s u, m i giá tr ngôn ng xem như là m t bi n m trên U
k t h p v i bi n cơ s u, R là m t qui t c cú pháp sinh các giá tr ngôn ng
c a T(X), M là qui t c ng nghĩa gán m i giá tr ngôn ng trong T(X) v i m t
t p m trên U.
Ví d 1.7. Cho X là bi n ngơn ng có tên là AGE, bi n cơ s u l y theo s
tu i c a con ngư i có mi n xác ñ nh là U = [0,100]. T p các giá tr ngôn ng

13


T(AGE) = {old, very old, more or less young, less young, very young….}. R
là m t qui t c sinh các giá tr này. M gán ng nghĩa m i t p m v i m t giá
tr ngôn ng . Ch ng h n, ñ i v i giá tr nguyên th y old, M (old) = {(u, µold(u)
| u∈[0,100]},

đây ch n
0

µold(u) = (1 + ( u − 50 ) −2 ) −1




5

u ∈ [0,50]
u ∈ [50,100]

Các ñ c trưng c a bi n ngôn ng
Trong th c t có r t nhi u bi n ngơn ng khác nhau v các giá tr nguyên
thu , ch ng h n như bi n ngôn ng S NGÀY LÀM VI C có giá tr ngun
thu là ít, nhi u, bi n ngơn ng LƯƠNG có giá tr ngun thu là th p,
cao…..Tuy nhiên, nh ng k t qu nghiên c u ñ i v i m t mi n tr c a m t
bi n ngôn ng c th v n gi ñư c ý nghĩa v m t c u trúc ñ i v i mi n giá
tr c a các bi n còn l i. ð c trưng này đư c g i là tính ph qt c a bi n ngôn
ng .
Ng nghĩa c a các gia t và các liên t hồn tồn đ c l p v i ng c nh,
ñi u này khác v i giá tr nguyên th y c a các bi n ngôn ng l i ph thu c vào
ng c nh. Ví d ta nói LƯƠNG c a cán b An là r t cao, khi đó đư c hi u
r ng LƯƠNG kho ng trên 8.000.000 ñ ng, nhưng ta nói CHI U CAO c a cán
b An là r t cao thì đư c hi u r ng CHI U CAO kho ng trên 1.8 m. Do đó
khi tìm ki m mơ hình cho các gia t và các liên t chúng ta khơng quan tâm
đ n giá tr ngun thu c a bi n ngơn ng đang xét. ð c trưng này đư c g i
là tính ñ c l p ng c nh c a gia t và liên t .
Các ñ c trưng trên cho phép chúng ta s d ng cùng m t t p các gia t
và xây d ng m t c u trúc toán h c duy nh t cho mi n giá tr c a các bi n
ngôn ng khác nhau.

1.3. Các phép tính trên trên t p m
Xét m t bi n ngơn ng X như đã đư c ñ nh nghĩa trên. Trư c h t,
chúng ta có nh n xét r ng, nhìn chung, t p nh c a t p T(X) qua ánh x M(X)
khơng có c u trúc đ i s , trên đó chúng ta khơng đ nh nghĩa đư c các phép

14


tính trên t p m . M t lý do n a làm cho chúng ta khơng quan tâm đ n ñi u
này là c u trúc ñ i s c a t p g c T(X) cũng chưa ñư c phát hi n. Trong khi
chúng ta chưa phát hi n ra c u trúc ñ i s c a mi n T(X), trong m c này
chúng ta s ñ nh nghĩa trên t p F(U, [0, 1]) m t c u trúc ñ i s .
Cũng c n nh n m nh r ng m c tiêu c a lý thuy t t p m là mơ hình
hóa tốn h c ng nghĩa c a các khái ni m m và, quan tr ng nh t, là mơ hình
hóa phương pháp l p lu n c a con ngư i. ðây là m t v n ñ c c kỳ khó và
ph c t p vì nh ng v n đ này thu c lo i có c u trúc y u, hay khó có th có
m t c u trúc tốn duy nh t mơ hình hóa tr n v n nh ng v n ñ nêu trên. Như
là m t h qu , khó lịng chúng ta tìm đư c m t c u trúc tốn h c ch t ch , ñ p
c a t p F(U, [0, 1]). Chính vì v y chúng ta khơng có m t ràng bu c ch t ch ,
minh b ch trong đ nh nghĩa các phép tốn trong F(U, [0, 1]). Như chúng ta s
th y dư i ñây, chúng ta có nhi u cách khác nhau ñ đ nh nghĩa các phép tính
và do đó nó t o ra tính m m d o, đa d ng trong ti p c n, thích nghi v i các bài
tốn ng d ng khác nhau, mi n là nó cho phép gi i quy t ñư c các bài tốn
ng d ng, đ c bi t các bài tốn thu c lĩnh v c trí tu nhân t o.
Trư c khi đ nh nghĩa các phép tính trong F(U, [0, 1]), chúng ta hãy
xem ño n [0, 1] như là m t c u trúc dàn L[0,1] = ([0, 1], ∪, ∩, –) v i th t t
nhiên trên ño n [0, 1]. Khi ñó, v i m i a, b ∈ [0, 1], ta có:
a ∪ b = max {a, b}, a ∩ b = min {a, b} và – a = 1 − b.
Chúng ta có th ki m ch ng r ng L[0,1] = ([0, 1], ∪, ∩, –) là m t ñ i s
De Morgan, hơn n a nó có các tính ch t sau:
- Các phép tính h p ∪ và giao ∩ có tính giao hốn
a ∪ b = b ∪ a và a ∩ b = b ∩ a
- Các phép tính h p ∪ và giao ∩ có tính ch t phân ph i l n nhau
a ∪ (b ∩ c) = (a ∪ b) ∩ (a ∪ c) và a ∩ (b ∪ c) = (a ∩ b) ∪ (a ∩ c)
- Tính ch t nu t (absorption) và nu t ñ i ng u (dual absorption):

:

a ∩ (a ∪ b) = a,

- Tính ch t nu t đ i ng u :

a ∪ (a ∩ b) = a.

- Tính lũy đ ng
:
- Tính ch t ph ph đ nh :

a ∪ a = a và a ∩ a = a
–(–a) = a

- Tính đơn đi u gi m

a ≤ b ⇒ –a ≥ –b

- Tính ch t nu t

:

15


- Tính ch t De Morgan

–(a ∪b)= –a∩–b; –(a ∩ b) = –a ∪ –b.

:

D a trên c u trúc L[0,1] chúng ta s đ nh nghĩa các phép tính trên t p m
thơng qua các phép tính c a dàn L[0,1].
~

1.3.1. Phép h p ∪
Cho hai t p m A~ và B~ trên t p vũ tr U. H p c a hai t p m này là
~

m t t p m ký hi u là A~ ∪ B~, mà hàm thu c c a nó đư c đ nh nghĩa theo
đi m (pointwise) như sau: µ

~

A~ ∪ B ~

(u ) = µ A~ (u ) ∪ µ B ~ (u )

hay, trong trư ng h p U là h u h n hay ñ m ñư c,
A~ ∪ B~ = ∑1≤i<∞ µ A (ui ) / ui ∪ ∑1≤i<∞ µ B (ui ) / ui =
~

~

~

~

∑

1≤i <∞

[ µ A~ (ui ) ∪ µ B ~ (ui )] / ui

hay, trong trư ng h p U là t p continuum,
~

A~ ∪ B~ =

~

∫

u∈U

µ A (u)du ∪
~

∫

u∈U

µ B (u)du =
~

∫

u∈U

[ µ A~ (u ) ∪ µ B ~ (u )]du .

~
M t cách t ng quát, cho Ai ∈ F(U), i ∈ I, v i I là t p ch s h u h n

hay vơ h n nào đó. Khi đó, h p c a các t p m như v y, ký hi u là

U

i∈I

Ai~ ,

ñư c ñ nh nghĩa b ng hàm thu c như sau

(U

i∈I

)

~

Ai~ (u ) = Supi ∈ I Ai (u )

(3*)

Chúng ta s cho m t s ví d v phép tính này.
Xét t p vũ tr U như trong Ví d 1.3 và hai t p m G~ và K~ ñư c cho
như trong b ng dư i ñây.

B ng 1.2: T p m trên U

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

~

0,0

0,0

0,0

0,1

0,3

0,5

0,7

0,9

1,0

1,0

~

1,0

0.9

0,8

0,6

0,4

0,2

0,0

0,0

0,0

0,0

U
G
K

Khi s d ng cách bi u di n t p m r i r c, h p c a hai t p m G~ và K~
ñư c th c hi n như sau:

16


~

G~ ∪ K~ = (0,0/1 + 0,0/2 + 0,0/3 + 0,1/4 + 0,3/5 + 0,5/6 + 0,7/7 + 0,9/8
+1,0/9 + 1,0/10)
~

∪ (1,0/1 + 0,9/2 + 0,8/3 + 0,6/4 + 0,4/5 + 0,2/6 + 0,0/7 + 0,0/8 +

0,0/9 + 0,0/10)
= 1,0/1 + 0,9/2 + 0,8/3 + 0,6/4 + 0,4/5 + 0,5/6 + 0,7/7 + 0,9/8 +
1,0/9 + 1,0/10
Cách th c hi n phép tinh trong dàn L[0,1] theo ñi m như v y g i ý cho
chúng ta th c hi n các phép tính như v y ngay trên B ng 1.3 như sau:
B ng 1.3: H p hai t p m trên U

U
G~

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0,0

0,0

0,0

0,1

0,3

0,5

0,7

0,9

1,0

1,0

K~

1,0

0.9

0,8

0,6

0,4

0,2

0,0

0,0

0,0

0,0

G~ ∪ K~ 1,0

0,9

0,8

0,6

0,4

0,5

0,7

0,9

1,0

1,0

~

M t cách t ng quát, n u cho trư c các t p m

Ai~ , i = 1, …, m, thì h p

c a các t p m này là t p m A~ ñư c ñ nh nghĩa m r ng b ng quy n p và
ñư c ký hi u là
~

n

~
A = ∪ i =1 Ai

~

Nh n xét 1.1: Các h ng th c d ng µ(ui)/ui có th xem là m t t p m mà giá
c a nó ch ch a duy nh t m t ph n t ui, hàm thu c c a nó b ng 0 t i m i u ≠
ui và b ng µ(ui) t i ph n t ui. Kí hi u t p m này là µ(ui){ui}, tích c a s vơ
hư ng c a µ(ui) v i t p kinh đi n 1-ph n t {ui}. Khi đó, v i đ nh nghĩa phép
h p như trên, các phép c ng hình th c “+” có th đư c bi u th b ng phép
h p, ta có, ch ng h n v i U là t p h u h n, U = {u1, …, un}, t p m A~ ñư c
bi u di n qua phép h p như sau:
~

n

A~ = ∪i =1 µ (ui ){ui }
~

T p G~ ∪ K~ thu đư c có nh ng đ c ñi m sau:
~

Support(G~ ∪ K~) = U
~

Nó là t p m chu n vì Hight(G~ ∪ K~) = 1

17


~

Core(G~ ∪ K~) = {1, 9, 10}
~

Count(G~ ∪ K~) = 1,0 + 0,9 + 0,8 + 0,6 + 0,4 + 0,5 + 0,7 + 0,9 + 1,0 +
1,0 = 7,8 .
~

1.3.2. Phép giao ∩
Cho hai t p m A~ và B~ trên t p vũ tr U. H p c a hai t p m này là
~

m t t p m ký hi u là A~ ∩ B~, mà hàm thu c c a nó đư c đ nh nghĩa theo
đi m (pointwise) như sau:
µ

~

A~ ∩ B ~

(u ) = µ A~ (u ) ∩ µ B~ (u )

hay, trong trư ng h p U là h u h n hay đ m đư c,
A~ ∩ B~ = ∑1≤i<∞ µ A (ui ) / ui ∩
~

~

~

∑

1≤i <∞

µ B (ui ) / ui =
~

∑

1≤i < ∞

[ µ A~ (u i ) ∩ µ B ~ (u i )] / u i

hay, trong trư ng h p U là t p continuum,
~

A~ ∩ B~ =

~

∫

u∈U

µ A (u)du ∩
~

∫

u∈U

µ B (u)du =
~

∫

u∈U

[ µ A~ (u ) ∩ µ B ~ (u )]du .

~
M t cách t ng quát, cho Ai ∈ F(U), i ∈ I, v i I là t p ch s h u h n

hay vơ h n nào đó. Khi ñó, h p c a các t p m như v y, ký hi u là

I

i∈I

Ai~ ,

ñư c ñ nh nghĩa b ng hàm thu c như sau

(I

i∈I

)

~

Ai~ (u ) = Infi ∈ I Ai (u )

Chúng ta s cho m t s ví d v phép tính này.
Xét hai t p m G~ và K~ ñư c cho trong B ng 1.2. Khi s d ng cách
bi u di n t p m r i r c, giao c a hai t p m G~ và K~ ñư c th c hi n như
sau:
~

G~ ∩ K~ = (0,0/1 + 0,0/2 + 0,0/3 + 0,1/4 + 0,3/5 + 0,5/6 + 0,7/7 + 0,9/8
+1,0/9 + 1,0/10)
~

∩ (1,0/1 + 0,9/2 + 0,8/3 + 0,6/4 + 0,4/5 + 0,2/6 + 0,0/7 + 0,0/8 +

0,0/9 + 0,0/10)

18


= 0,0/1 + 0,0/2 + 0,0/3 + 0,1/4 + 0,3/5 + 0,2/6 + 0,0/7 + 0,0/8 +

0,0/9 + 0,0/10
Cách th c hi n phép tính trong dàn L[0,1] theo t ng ñi m như v y,
tương t như trên, chúng ta th c hi n các phép tính như v y ngay trên B ng
1.4 dư i ñây:
B ng 1.4: Giao c a hai t p m trên U

U
G~

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0,0

0,0

0,0

0,1

0,3

0,5

0,7

0,9

1,0

1,0

K~

1,0

0.9

0,8

0,6

0,4

0,2

0,0

0,0

0,0

0,0

G~ ∩ K~ 0,0

0,0

0,0

0,1

0,3

0,2

0,0

0,0

0,0

0,0

~

~

T p G~ ∩ K~ thu đư c có nh ng ñ c ñi m sau:
~

Support(G~ ∩ K~) = U
~

Nó là t p m dư i chu n vì Hight(G~ ∩ K~) = 0,3 < 1
~

Core(G~ ∩ K~) = {5}, t p m t ph n t
~

Count(G~ ∩ K~) = 0,1 + 0,3 + 0,2 = 0,6
1.3.3. Phép l y ph n bù ~
Xét m t t p m A~ trên t p vũ tr U. Phép l y bù c a t p A~, ký hi u là
~ A~, là t p m v i hàm thu c ñư c xác ñ nh b ng ñ ng th c sau:
µ ~ A (u ) = 1 − µ A (u )
~

~

T p m ~ A~ bi u di n

d ng cơng th c hình th c có d ng sau:

Trư ng h p U là h u h n hay vơ h n đ m đư c
~ A~ = ~

∑

u∈U

µ A (u ) / u =∑u∈U (1 − µ A (u )) / u =
~

~

Trư ng h p U là vơ h n continuum
~ A~ =

∫

u ∈U

µ ~ A (u )du = ~ ∫
~

u∈U

19

µ A (u )du = ∫
~

u∈U

(1 − µ A~ (u ))du


ð l y ví d . chúng ta xét hai t p m G~ và K~ ñư c cho trong B ng
1.2. Khi s d ng cách bi u di n t p m r i r c, phép l y ph n bù c a hai t p
m G~ và K~ ñư c th c hi n như sau:
~ G~ = ~ (0,0/1 + 0,0/2 + 0,0/3 + 0,1/4 + 0,3/5 + 0,5/6 + 0,7/7 + 0,9/8
+1,0/9 + 1,0/10)
=
(1,0/1 + 1,0/2 + 1,0/3 + 0,9/4 + 0,7/5 + 0,5/6 + 0,3/7 + 0,1/8
+0,0/9 + 0,0/10)
còn
~ K~ = ~ (1,0/1 + 0,9/2 + 0,8/3 + 0,6/4 + 0,4/5 + 0,2/6 + 0,0/7 + 0,0/8 +
0,0/9 + 0,0/10)
= (0,0/1 + 0,1/2 + 0,2/3 + 0,4/4 + 0,6/5 + 0,8/6 + 1,0/7 + 1,0/8 +
1,0/9 + 1,0/10)
Tương t như trên, phép l y ph n bù cũng có th th c hi n trên b ng
d li u, c th như sau:
B ng 1.5: Ph n bù c a t p m trên U

1

K

~

~K

~

3

4

5

6

7

8

9

10

0,0

0,0

0,1

0,3

0,5

0,7

0,9

1,0

1,0

1,0

1,0

1,0

0,9

0,7

0,5

0,3

0,1

0,0

0,0

1,0

~G

~

2

0,0

U
G~

0.9

0,8

0,6

0,4

0,2

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,1

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,0

1,0

1,0

1.3.4. Phép t ng và tích đ i s c a các t p m
Phép c ng ñ i s hai t p m : Cho hai t p m A~ và B~ trên t p vũ tr
U. T ng ñ i s c a hai t p m này là m t t p m , ký hi u là A~ ⊕ B~, ñư c
ñ nh nghĩa b i ñ ng th c sau:
Trong trư ng h p U là h u h n hay vô h n ñ m ñư c,
A~ ⊕ B~ =

∑

u∈U

[ µ A~ (u ) +µ B ~ (u ) − µ A~ (u ).µ B ~ (u )] / u ,

Trong trư ng h p U là vô h n continuum,

A~ ⊕ B~ =

∫

u∈U

[ µ A~ (u ) + µ B ~ (u ) − µ A~ (u ).µ B ~ (u )]du .

20


Lưu ý r ng giá tr bi u th c µ A (u ) + µ B (u ) − µ A (u ).µ B (u ) luôn luôn
~

~

~

~

thu c [0, 1] và do đó các đ nh nghĩa c a phép tính ⊕ trên là đúng đ n.
Phép nhân ñ i s hai t p m : Nhân ñ i s hai t p m A~ và B~ là m t
t p m , ký hi u là A~ ⊗ B~, ñư c xác ñ nh như sau:
Trong trư ng h p U là h u h n hay vơ h n đ m đư c,
A~ ⊗ B~ =

∑

µ A (u ).µ B (u ) / u ,
~

u∈U

~

Trong trư ng h p U là vô h n continuum,
A~ ⊗ B~ =

∫

u∈U

µ A (u ).µ B (u )du .
~

~

1.3.5. Phép t p trung hay phép co (concentration)
Cho t p m A~ trên U. Phép t p trung t p m A~ là t p m , ký hi u là
CON(A~ ), đư c đ nh nghĩa như sau:
CON(A~) =

∫

u∈U

µ α (u )du = (A~)α, v i α > 1
A
~

Vì α > 1 nên µ α (u ) < µ A (u ) và do đó mi n gi i h n b i hàm µ α (u ) s
A
A
~

~

~

n m tr n trong mi n gi i h n b i hàm µ A (u ) , hàm thu c µ A (u ) c a t p m
~

~

b co l i sau phép t p trung. Nói khác đi t p m CON(A~) bi u th m t khái
ni m ñ c t hơn khái ni m g c bi u th b i t p m A~ (xem Hình 1.3). V tr c
quan chúng ta th y khái ni m m càng đ c t thì nó càng chính xác hơn, ít m
hơn và g n giá tr kinh đi n hơn.
Thơng thư ng ngư i ta s d ng phét t p trung ñ bi u th ng nghĩa tác
ñ ng c a gia t r t (very) vì ng nghĩa, ch ng h n, c a khái ni m r t tr là
ñ c t hay ít m hơn so v i khái ni m tr .
1.3.6. Phép dãn (Dilation)
Ngư c v i phép t p trung là phép dãn. Phép dãn khi tác ñ ng vào m t
t p m A~, ký hi u là DIL(A~), đư c xác 1,0
β
µ A~ (u)
đ nh b i ñ ng th c sau:
µ ~ (u )
A

DIL(A~) =

∫

u∈U

β
µ A~ (u)du = (A~)β, v i β < 1

µ α~ (u)
A
0

15

25

35

45

Hình 1.3: Phép t p trung

21

50


β
Trong trư ng h p này ta th y µ A~ (u ) > µ A (u ) và do ñó phép dãn s làm hàm

~

thu c c a t p m đó dãn n ra, hàm thu c c a t p m thu ñư c s xác ñ nh
m t mi n th c s bao hàm mi n gi i h n b i hàm thu c c a t p m g c. Trên
β
Hình 1.3, ta th y ñư ng cong nét ch m bi u th hàm thu c µ A~ (u ) cịn đư ng

cong nét li n bi u th hàm thu c µ A (u ) . Ng nghĩa c a khái ni m m bi u th
~

b i t p m k t qu ít đ c t hơn hay ng nghĩa c a nó càng m hơn.
Ngư c v i hay ñ i ng u v i vi c s d ng phép CON, phép DIL ñư c
s d ng ñ bi u th ng nghĩa c a gia t có th hay x p x vì ng nghĩa c a
khái ni m có th tr ít đ c t hơn hay tính m c a nó l n hơn.
Ví d 1.8. Xét t p vũ tr U = {1, 2, …, 8} và hai t p m A~ và B~ trên U ñư c
cho như sau:
A~ = 0,8/3 + 1,0/5 + 0,6/6 và B~ = 0,7/3 + 1,0/4 + 0,5/6
Khi đó ta có:
A~ ⊕ B~ = 0,94/3 + 1,0/4 + 1,0/5 + 0,8/6
A~ ⊗ B~ = 0,56/3 + 0,30/6
CON(A~) = 0,64/3 + 1,0/5 + 0,36/6 , v i α = 2.
DIL(A~) = 0,8 /3 + 1,0/5 + 0,6 /6 , v i β = 1/2
1.3.7. Tích ð -ca-tơ các t p m
Cho Ai là t p m c a t p vũ tr Ui, i = 1, 2, …, n. Tích ðê-ca-tơ c a
các t p m

~

n
~

~
~
Ai~ , i = 1, 2, …, n, ký hi u là A1 × A2 × …× An hay Π i =1 Ai , là

m t t p m trên t p vũ tr U1 × U2 ×…× Un đư c đ nh ngha nh sau:
~
~
A1~ ì A2 ì ì An =



U1ì...ìU n

à A1 (u1 ) ∩ ... ∩ µ An (u n ) /(u1 ,..., u n )

Ví d 1.9. Cho U1 = U2 = {1, 2, 3} và 2 t p m
A~ = 0,5/1 + 1,0/2 + 0,6/3 và B~ = 1,0/1 + 0,6/2
Khi đó,
A~ × B ~ =

0,5/(1,1) + 1,0/(2,1) + 0,6/(3,1) + 0,5/(1,2) + 0,6/(2,2) +

0,6/(2,3).

22


M t ví d ng d ng c a tích ðê-ca-tơ là k t nh p (aggreegation) các
thông tin m v các thu c tính khác nhau c a m t đ i tư ng. Ví d , trong các
h lu t c a các h tr giúp quy t ñ nh hay h chuyên gia, h lu t trong ñi u

khi n thư ng có các lu t d ng sau ñây:
N u X1 := A1~ and X2 := A2~ and … and Xn := An~

thì Y := B~

trong đó các Xi là các bi n ngơn ng (vì giá tr c a nó là các ngơn ng đư c
xem như là nhãn c a các t p m ) và Ai là các t p m trên mi n cơ s Ui c a
bi n Xi. H u h t các phương pháp gi i liên quan ñ n các lu t n u-thì trên đ u
địi h i vi c tích h p các d li u trong ph n ti n t “n u” nh toán t k t
nh p, m t trong nh ng toán t như v y là l y tích ð -ca-tơ A1~ × A2~ × …× An~ .
1.3.8. Phép t h p l i (convex combination)
Cho Ai~ là t p m c a t p vũ tr Ui tương ng v i bi n ngôn ng Xi, i
= 1, 2, …, n, và wi ∈ (0, 1], là các tr ng s v m c ñ quan tr ng tương ñ i
c a bi n Xi so v i các bi n khác, i = 1, 2, …, n, và th a ràng bu c
Khi đó t h p l i c a các t p m

∑

n

i =1

wi = 1 .

Ai~ , i = 1, 2, …, n, là m t t p m A~ xác

đ nh trên U = U1×U2×…×Un, hàm thu c c a nó đư c đ nh nghĩa như sau:
µ A~ (u1 ,..., u n ) =

∑

n
i =1

wi µ A~ (u i )
i

trong đó Σ là t ng s h c (ch không ph i là t ng hình th c).
Phép t h p l i thư ng ñư c s d ng ñ bi u th ng nghĩa c a gia t
ki u “c t y u” (essentially) hay “đ c trưng” hay “đ c tính tiêu bi u”
(typically). Ví d , khái ni m m v ngư i “To l n” ñư c bi u th m t cách c t
y u t ng nghĩa c a các khái ni m ngư i Cao và Béo. Như v y ng nghĩa
c a “To l n” có th bi u th qua ng nghĩa c a “Cao” và c a “Béo” thông qua
phép t h p l i.
C th , gi s ng nghĩa c a các t p m Béo trên mi n U1 = [40, 100]
theo ñơn v kg và c a Cao trên mi n U2 = [50, 220] v i ñơn v cm ñư c bi u
th như sau:

23


−1

100

∫

Béo =

40

  u1 − 40  −2 


  du1
1 + 
  30  



−1

100

∫

Cao =

40

  u 2 − 140  −2 


  du 2
1 + 
  30  



Khi đó, t p m To-l n ñư c bi u th nh phép t h p l i sau:

To-l n
100

∫ ∫
40

=

Béo

0,6

+

0,4

Cao

=

220

50

{0,6 µ Béo (u1 ) + 0,4 µ Cao (u 2 )}du 1 du 2

Ch ng h n, ta cú:

àTo-l n(70,170) = 0,6ì0,5 + 0,4ì0,5 = 0,5
àTo-l n(80,170) = 0,6ì0,64 + 0,4ì0,5 = 0,584

àTo-l n(70,180) = 0,6×0,5 + 0,4×0,64 = 0,556
1.3.9. Phép m hóa (Fuzzification)
Vi c m hóa có hai bài tốn:
- Tìm t p m bi u th m t t p kinh ñi n hay, m t cách t ng quát hơn,
hãy m hóa m t t p m đã cho A~;
- Tìm ñ thu c c a giá tr ngôn ng c a m t bi n ngôn ng tương ng
v i m t d li u ñ u vào là th c ho c m .
Theo nghĩa th nh t ta ñ nh nghĩa phép m hóa như sau:
Phép m hóa F c a m t t p m A~ trên t p vũ tr U s cho ta m t t p
m F(A~, K~) ñư c xác ñ nh theo cơng th c sau:
F(A~, K~) =

∫µ
U

A~

(u ) K ~ (u ) du

trong đó K~(u) là m t t p m trên U, u ∈ U, ñư c g i là nhân (kernel) c a F.
N u µ A~ (u ) là hàm thu c c a t p kinh ñi n 1-ph n t {u}, µ A~ (u ) ch
b ng 1 t i ph n t u còn l i là b ng 0 hay ta có t p “m ” {1/u}, thì ta có
F({1/u}, K~) = K~(u)

24


N u A~ là t p kinh ñi n A, µ A (u ) = 1 trên A và b ng 0 ngồi A, thì m
hóa c a A v i nhân K~(u) s là t p m sau:
~

F(A, K~) = ∫AK (u )du

Ví d 1.10. Cho hai t p m A~ và K~ trên U như sau:
U = {a, b, c, d}, A~ = 0,8/a + 0,6/b ,
K~(a) = 1,0/a + 0,4/b và K~(b) = 1,0/b + 0,4/a + 0,4/c
Khi đó
F(A~, K~) = 0,8(1,0/a + 0,4/b) + 0,6(1,0/b + 0,4/a + 0,4/c)
= 0,8/a + 0,32/b + 0,6/b + 0,24/a + 0,24/c
= (0,8 ∪ 0,24)/a + (0,32 ∪ 0,6)/b + 0,24/c
= 0,8/a + 0,6/b + 0,24/c
Ngư i ta cho r ng phép m hóa như trên có vai trị quan tr ng trong
bi u di n ng nghĩa c a các gia t như ít nhi u (more or less), m t chút hay
hơi (slightly), nhi u (much). Ch ng h n, v i khái ni m m gi i ch v NĂNG
L C c a chuyên viên, thì khái ni m hơi gi i có th đư c bi u th b ng phép
m hóa tác đ ng vào t p m bi u di n khái ni m gi i.
Bài tốn m hóa th 2 đư c gi i h n trong trư ng h p t p vũ tr là t p
h u h n các giá tr ngơn ng
C th bài tốn m hóa trong trư ng h p này như sau: Gi s T là t p
các giá tr ngôn ng c a m t bi n ngơn ng X nào đó v i mi n cơ s U. Cho
m t t p kinh ñi n ho c t p m A~ trên U. Hãy tìm t p m trên mi n T bi u th
t p m A~ hay, m t cách tương ñương, hãy tìm đ thu c c a giá tr τ trong T
tương ng v i d li u ñ u vào A~.
Ch ng h n, ta xét bi n NHI T ð th i ti t v i T = {Th p, Trung-bình,
Cao} v i khơng gian cơ s là [0, 100] theo
Th p
1
Tr-bình
thang đ C. V n đ là c n xác ñ nh ñ
thu c hay giá tr chân lý TV c a m nh ñ
A~ := τ , τ ∈ T, v i := ñư c hi u là “x p x

0,5

A~

Cao
100
0,0
Hình 1.4: Các hàm thu c c a bi n
NHI T ð
25


b ng”. C th chúng ta c n xác ñ nh giá tr chân lý như sau:

µ(Th p) = TV(A~ := Th p)
µ(Tr-bình) = TV(A~ := Tr-bình)
µ(Cao)
= TV(A~ := Cao)
Vi c xác ñ nh giá tr chân lý này ñư c ti n hành như sau (xem Hình
1.4): Chúng ta l n theo ñ th c a hàm thu c c a t p m ñ u vào A~ s th y nó
c t đ th c a hàm thu c Th p giá tr 0,52. Giá tr này bi u th ñ phù h p
nh t c a t p m A~ bi u di n qua t p m hay khái ni m m Th p là 0,52.
Tương t , ñ th c a A~ s c t ñ th c a t p m Tr-bình hai giá tr 0,34 và
0,82 và do đó đ phù h p nh t c a vi c bi u di n ng nghĩa c a A~ qua khái
ni m m Tr-bình là giá tr 0,82 l n hơn. Cũng như v y, ñ phù h p c a A~
bi u th qua khái ni m Cao là 0,18. Như v y, vi c m hóa s đưa vi c bi u
di n t p m A~ trên U thành t p m trên t p các giá tr ngôn ng T sau:
NHI T_ð (A~) = 0,54/Th p + 0,82/Tr-bình + 0,18/Cao (4*)
1.3.10. Phép kh m

Trong ñi u khi n m cũng như trong l p lu n trong các h chuyên gia
v i các lu t tri th c m , d li u đ u ra nhìn chung đ u là nh ng t p m . Th c
t chúng ta cũng thư ng g p nhu c u chuy n ñ i d li u m ñ u ra thành giá
tr th c m t cách phù h p. Phương pháp chuy n ñ i như v y ñư c g i là
phương pháp kh m (defuzzification). Nhu c u này thư ng g p nh t trong
ñi u khi n m vì đ u ra địi h i là giá tr th c ñ tác ñ ng vào m t q trình
th c nào đó.
Gi s d li u ñ u ra ñư c bi u di n d ng (4*) v i các t p m c a
các giá tr ngơn ng đư c bi u th trong Hình 1.4.
Trư c khi trình bày m t s phương pháp kh m , chúng ta hãy ñưa ra
phương pháp bi n đ i đ tính hàm thu c c a t p m ñư c bi u di n b ng bi u
th c d ng (4*). Trư c h t ta nh l i r ng t p m v i hàm thu c có d ng µ(u)
≡ a, a ∈ [0, 1], ñư c ký hi u là aU, nó là tích c a s vơ hư ng a và t p kinh
ñi n U. Khi ñó, h ng th c trong (4*), ch ng h n 0,54/Th p, s ñư c hi u là
bi u th c 0,54U AND Th p, trong đó Th p là nhãn c a t p m v i hàm thu c

26


ñư c cho trong Hình 1.4. T Nh n xét 1.1, chúng ta có th hi u các phép c ng
hình th c “+” s là phép OR mà ng nghĩa c a nó là phép ∪ trong dàn
L([0,1]).
Có nhi u cách bi u th ng nghĩa phép AND và phép OR trên ño n [0,
1]. M t cách t ng quát, ta có th ch n m t 1
Th p
Tr-bình
c p đ i ng u t-norm và t-conorm b t kỳ mà
A~
chúng s ñư c ñ c p ñ n sau này khi nói v 0,5
các đ i s liên h p t p h p m ñ bi u th

Cao
ng nghĩa c a hai phép AND và OR. Dư i
100
0,0
ñây ta s ch n ng nghĩa c a AND là phép
Hình 1.5: Các hàm thu c c a 3
h ng t trong (1.5)
Min, và OR là phép Max. Trong Hình 1.5 ta
có các k t qu c a vi c th c hi n phép AND 1
cho t ng h ng t trong công th c (4*): h ng
t th nh t ñư c bi u th b ng hình thang 0,5
th nh t v i chi u cao là 0,54; h ng t th
hai ñư c bi u th b ng hình thang th hai
100
0,0
gi a, v i chi u cao 0,82; h ng t th ba
Hình 1.6. Hàm thu c h p c a 3
ñư c bi u th b ng hình thang bên ph i v i
h ng t trong (1.5)
chi u cao là 0,18.
Hình 1.6 bi u th k t qu c a phép OR c a 3 h ng t v i ng nghĩa
đư c bi u th trong Hình 1.5.
Như v y, b t kỳ m t t p m nào ñư c cho d ng cơng th c (4*) chúng
ta đ u có th bi n đ i v t p m có d ng Hình 1.6.
Bây gi bài tốn kh m đư c c th hóa b ng bài tốn cho trư c m t
t p m v i hàm thu c ñư c bi u th b ng ñ th , ch ng h n như trong Hình
1.6. Hãy xác ñ nh phương pháp bi n ñ i t p m đó v m t giá tr th c thu c
mi n cơ s U. V i ví d ñang xét, ta có bi n NHI T ð v i U = [0, 100] theo
thang ñ C.
Thư ng chúng ta có nhi u cách đ gi i bài tốn kh m . Chúng ta

khơng có nh ng ràng bu c ch t ch nào v vi c ñ nh nghĩa m t phương pháp
kh m . B t kỳ nhà nghiên c u ng d ng nào cũng có th ñưa ra m t ñ nh
nghĩa v m t phương pháp kh m , mi n là nó phù h p v i m t ng d ng nào
đó hay nó phù h p v i m t ý tư ng nào đó v ng nghĩa c a phép kh m .

27


Tuy nhiên, v tr c quan chúng ta có th ñưa ra nh ng yêu c u ñ m t phương
pháp kh m ñư c xem là t t. Hellendoorn, H. and C. Thomas năm 1993 ñã
ñưa ra 5 tiêu chu n tr c quan sau. (i) Tính liên t c, nghĩa là m t s thay ñ i
nh c a d li u ñ u vào c a phương pháp nó cũng ch t o ra nh ng thay đ i
nh
d li u đ u ra; (ii) Tính khơng nh p nh ng (disambiguity), nghĩa là
phương pháp ch sinh ra m t giá tr ñ u ra duy nh t; (iii) Tính h p lý
(plausibility) địi h i r ng giá tr ñ u ra ph i n m vùng trung tâm c a t p m
và ñ thu c hay giá tr hàm thu c t i đó ph i l n (không nh t thi t l n nh t);
(iv) ð ph c t p tính đơn gi n (computational simplicity), m t địi h i t
nhiên và (v) Tính tr ng s c a phương pháp (weighting method) địi h i
phương pháp tính đ n tr ng s hay “s ưu tiên” c a các t p m k t qu ñ u ra
(ñ i v i trư ng hơp bài toán cho nhi u k t qu ñ u ra như ñ i v i m t s
phương pháp l p lu n m ña ñi u ki n).
Nói chung, chúng ta có th hi u các tiêu chu n c n b o ñ m giá tr kh
m c a t p m A~ là ph n t th c ñ i di n m t cách h p lý c a A~.
Sau ñây chúng ta nghiên c u m t vài phương pháp kh m .
1.3.10.1. Phương pháp c c ñ i trung bình (average maximum)
Cho t p m A~ v i hàm thu c µ A~ . G i umin và umax tương ng là hai
giá tr nh nh t và l n nh t c a mi n cơ s U mà t i đó hàm thu c µ A~ nh n
giá tr l n nh t (c c ñ i toàn ph n). Ký hi u giá tr kh
c a A~ theo phương

pháp c c đ i trung bình là DAv-max(A~). Khi đó DAv-max(A~) đư c đ nh nghĩa
như sau:
DAveMax(A~) =

u min + u max
2

Ý tư ng c a phương pháp này là chúng ta ch quan tâm ñ n các giá tr
c a U mà t i đó nó phù h p hay tương thích v i ng nghĩa c a t p m A~
nh t, t i đó ñ thu c là c c ñ i toàn ph n. Nh ng giá tr khác c a U mà t i đó
đ thu c nh hơn 1 đ u b b qua. Vì v y, m t kh năng l a ch n giá tr kh
m là giá tr trung bình c a giá tr nh nh t và giá tr l n nh t t i đó đ thu c
vào t p m là l n nh t. ðó chính là lý do ngư i ta g i phương pháp kh m
này là phương pháp c c ñ i trung bình.

28


Ví d trên Hình 1.6, hàm thu c µ A~ ñ t c c ñ i toàn ph n trên ño n [41,
59] và, do ñó, chúng ta ta có:
41 + 59
= 50 .
2

DAveMax(A~) =

1.3.10.2. Phương pháp c c ñ i trung bình có tr ng s
Ý tư ng c a phương pháp này là tìm nh ng đo n t i đó hàm thu c
µ A~ đ t c c ñ i ñ a phương. Nghĩa là t i các giá tr c a mi n cơ s mà ñ

thu c c a chúng ñ t c c ñ i đ a phương. Nói khác đi các giá tr ñó c a U
thu c v t p m A~ v i đ tin c y có đ tr i nh t. Các giá tr như v y c n
ñư c tham gia “đóng góp” vào vi c xác đ nh giá tr kh m c a t p A~ v i
tr ng s đóng góp chính là đ thu c c a chúng vào t p A~. Chúng ta ch n
cách đóng góp như v y b ng phương pháp l y trung bình có tr ng s
(weighted average maxima method). Vì v y cách tính giá tr kh m c a t p
m A~ như sau:
Xác ñ nh các giá tr c a U mà t i đó hàm thu c µ A~ đ t giá tr c c ñ i
ñ a phương. Ký hi u umini và umaxi là giá tr l n nh t và nh nh t trong các
giá tr c a U mà t i đó hàm thu c đ t c c đ i đ a phương. Giá tr trung bình
c ng c a umini và umaxi s ñư c ký hi u là uavemaxi, trong đó, ch s i ch nó
là giá tr tương ng v i giá tr c c ñ i ñ a phương th i.
Gi s hàm thu c µ A~ có m giá tr c c đ i ñ a phương, i = 1, 2, …, m.
Khi ñó giá tr kh m c a t p m A~ đư c tính theo cơng th c trung bình c ng
có tr ng s như sau:
Dw-AveMax =

∑

m

i =1

µ (uave max i )uave max i

∑

m

i =1

µ (uave max i )

Ví d , chúng ta xét t p m A~ ñư c cho trong Hình 1.6. Hàm thu c µ A~
đ t c c ñ i ñ a phương trên hai ño n th ng, ño n [0, 23] và ño n [41, 59]. Do
đó, theo cơng th c ta có uavemax1 = (0 + 23)/2 = 11,5 và uavemax2 = (41 +
59)/2 = 50. Theo cơng th c chúng ta có:
Dw-AveMax =

à (11,5)11,5 + à (50)50 0,54 ì 11,5 + 0,82 × 50 47,21
=
=
≈ 34,71
µ (11,5) + µ (50)
0,54 + 0,82
1,36

29