PHÂN TÍCH THỜI GIAN CHO TÍN HIỆU VÀ HỆTHỐNG

Chương II
- 19 -
Chương 2
PHÂN TÍCH THỜI GIAN CHO TÍN HIỆU VÀ HỆ
THỐNG
Như đã nói trong chương trước, từ đây trở đi, khi ta nói đến tín hiệu là nói đến tín hiệu liên
tục, xác định, đơn hàm; nói đến hệ thống là nói đến hệ liên tục, có thông số tập trung, tuyến
tính và bất biến.
Nội dung chính chương này gồm hai phần:
1. Biểu diễn tín hiệu trong miền thời gian, gồm:
- Định nghĩa và đặc điểm của một số tín hiệu cơ bản.
- Các đại lượng đặc trưng của tín hiệu như năng lượng và công suất.
- Phương pháp biểu diễn tín hiệu trong một khoảng thời gian cho trước- cách biểu diễn ở
đây là dùng chuỗi Fourier tổng quát
2. Phân tích thời gian cho hệ thống, gồm:
- Mô hình toán học biểu diễn quan hệ vào-ra của hệ thống- đó chính là phương trình vi
phân hay đại số tùy theo hệ có nhớ hay không nhớ.
- Xem xét một mô hình toán học khác của hệ thống- đó là tích phân xếp chồng. Trong mô
hình này, hệ thống được đặc trưng bởi đáp ứng xung. Khi hệ tuyến tính, bất biến và
không lưu giữ năng lượng ban đầu thì tích phân xếp chồng có dạng của tích phân chập.
Do vậy, ta sẽ xét các tính chất của tích phân chập và cách tính tích phân chập.
2.1 CÁC TÍN HIỆU CƠ BẢN
Các tín hiệu giới thiệu ở đây sẽ rất hiệu quả cho việc mô hình hóa tín hiệu liên tục. Đó là các
tín hiệu sin, hàm mũ phức, hàm mũ thực, xung đơn vị, bước nhảy đơn vị, chữ nhật và dốc
đơn vị.
2.1.1 Tín hiệu sin và tín hiệu hàm mũ phức
Mô hình tín hiệu đầu tiên ta xét là tín hiệu sin (sinusoidal signal):
⎟
⎟
⎠
⎞

⎜
⎜
⎝
⎛
θ+
π
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
θ+
π
=
s
00
T
t2
sinA
T
t2
cosA)t(x

với:
2
s

π
+θ=θ và T
0
là chu kỳ của tín hiệu sin.
Tín hiệu sin rất hiệu quả trong việc phân tích tín hiệu và hệ thống. Ví dụ như, dạng sóng của
tín hiệu nguồn cấp cho hệ thống là dạng sin. Tín hiệu sin cũng rất hiệu quả trong việc tìm
hiểu khái niệm tần số tín hiệu, đáp ứng tần số của hệ thống, băng thông của tín hiệu và hệ
thống. Ta sẽ xét các khái niệm này sau.
1. Các thông số của tín hiệu sin
Tín hiệu sin có 3 thông số. Thứ nhất là biên độ tín hiệu A- đơn vị tuỳ theo loại tín hiệu (ví dụ
đơn vị là volt nếu tín hiệu là điện áp), thứ hai là tần số tín hiệu f
0
= 1/T
0
, đơn vị là Hertz
Chương II
- 20 -
(Hz)- đó là số chu kỳ tín hiệu trong một giây, cuối cùng là góc pha θ có biên độ là radian
(rad). Góc pha là sai khác về pha của một tín hiệu cos bất kỳ so với pha của tín hiệu cos tham
chiếu:
)tf2cos(A
T
t2
cosA)t(x
0
0
r
π=
⎟
⎟

⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
π
=
.
Độ dịch thời của x(t) so với tín hiệu tham chiếu tỷ lệ với góc pha của x(t). Ta có thể thấy rõ
điều này:
[]
)tt(f2cosA
f2
tf2cosA)t(x
d0
0
0
−π=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎥

⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
π
θ
−−π=
Vậy x(t) bị trễ đi so với tín hiệu tham chiếu một khoảng thời gian là:
0
d
f2
t
π
θ
−=
Qua đây ta thấy nếu góc pha âm thì tín hiệu x(t) bị trễ đi và nếu góc pha dương thì tín hiệu
x(t) bị sớm hơn so với tín hiệu tham chiếu.

2. Biểu diễn phasor cho tín hiệu sin
Ta thấy tập các tín hiệu sin có cùng tần số thì được đặc trưng bởi tần số đó cùng với biên độ
và pha của mỗi tín hiệu. Biên độ và pha được đặc trưng bởi một đại lượng phức gọi là
phasor.
Đặt:
tf2jtf2j
j
p
00
Xee)Ae()t(x
ππ
θ
≡= .
x
p
(t) là một tín hiệu hàm mũ phức (complex-exponential signal), X là một số phức.
Ta có thể biểu diễn x
p
(t) bằng một
vector có biên độ là A, pha là
θ
,
quay với vận tốc góc là
00
f2π=ω
(rad/s). Ta gọi vector này là phasor

quay x
p
(t). Như vậy để x
p
(t) quay
hết một vòng phải mất
00
T/2 =ωπ
(s), nghĩa là nó tuần hoàn với chu
kỳ T
0
.
Ta gọi số phức X là phasor của tín
hiệu x(t). Cách biểu diễn x(t) bằng
X gọi là
biểu diễn phasor của tín
Im
θ
+
π
tf2
0

x
p
(t)
x(t)
A
Re
Chương II

- 21 -
hiệu (phasor representation).
Các phasor quay biểu diễn cho các tín hiệu sin có cùng tần số đều quay với cùng vận tốc góc.
Do đó, ta có thể thực hiện các phép toán cộng/trừ đối với các tín hiệu sin cùng tần số dựa vào
cách biểu diễn phasor.
Ví dụ:
Một nguồn điện cung cấp cho quạt và đèn mắc song song.
Dòng qua quạt là:
)6/t60.2cos(5.6)t(i
m
π
−
π
=

Dòng qua đèn là:
)40/t60.2cos(2)t(i
l
π
+
π
=

Tìm dòng tổng cấp cho mạch trên.

2.1.2 Tín hiệu hàm mũ phức
Việc truyền tín hiệu từ các thành phần tích trữ năng lượng đến các thành phần sử dụng năng
lượng thường tạo ra tín hiệu có dạng giảm theo thời gian theo quy luật hàm mũ. Ví dụ quá
trình xả của tụ qua một điện trở sẽ tạo ra một dòng xả giảm theo hàm mũ.
Như vậy, tín hiệu hàm mũ là một mô hình hiệu quả đối với tín hiệu liên tục.
Chương II
- 22 -
Tín hiệu hàm mũ được mô tả bởi:
⎩
⎨
⎧
<
≥
=
α−
1

1
t
tt,0
tt,Ae
)t(x
với 0>
α

Trường hợp hệ thống có nhiều thành phần tích trữ năng lượng thì một số năng lượng có thể
dao động giữa các thành phần này trong khi năng lượng được truyền đến thành phần tiêu hao
năng lượng. Ví dụ quá tình xả của tụ qua mạch nối tiếp RL với R nhỏ. Lúc này tín hiệu là tín
hiệu sin có đường bao là hàm mũ giảm:
⎩
⎨
⎧
<
≥θ+π
=
α−
1
10
t
tt,0
tt),tf2cos(Ae
)t(x
với 0>
α

Nếu
0<α thì hàm mũ và hàm sin sẽ tăng dần lên theo thời gian. Loại tín hiệu này xuất hiện

trong những hệ thống không ổn định.








2.1.3 Tín hiệu xung đơn vị
1. Khái niệm hàm xung
Ta sử dụng ký hiệu )t(Aδ để biểu thị cho một xung có trọng số là A. Trọng số của xung ý
muốn nói đến diện tích vùng dưới của xung- tức là vùng tạo bởi xung và trục hoành. Tín hiệu
)t(δ là xung có trọng số là 1 và được gọi là xung đơn vị (unit impulse).
Ta tạo ra tín hiệu xung trọng số là A bằng cách
xét xung chữ nhật đối xứng qua gốc, có độ rộng
là
τ , chiều cao là τ/A để đảm bảo diện tích
vùng dưới xung là A. Khi cho
τ
tiến đến 0 thì
chiều cao của xung tiến đến vô cùng nhưng vẫn
đảm bảo diện tích vùng dưới xung là 1. Ta thấy
tín hiệu chữ nhật này chính là tín hiệu xung có
trọng số là A, tức chính là
)t(Aδ .
Như vậy, có thể định nghĩa tín hiệu xung có
trọng số là A như sau:
Adt)t(A&
0t,0

0t,
)t(A =δ
⎩
⎨
⎧
≠
=∞
=δ
∫
∞
∞−

Thực tế thì dạng xung không nhất thiết phải là
chữ nhật mà có thể là dạng khác như dạng tam giác, dạng sinx/x…
t
5.0
=
τ

2A
2
=
τ

A/2
1=τ
A
Chương II
- 23 -
Ta có thể dùng tín hiệu xung này để làm mô hình mô tả một tín hiệu rất hẹp với dạng bất kỳ

và đủ mạnh để có diện tích vùng dưới xung bằng với trọng số. Một ví dụ về loại tín hiệu kiểu
như vậy là dòng chạy qua tụ khi nó vừa được kết nối với pin nếu điện trở của pin và dây nối
cực nhỏ. Một ví dụ khác, có một tín hiệu có thể
được mô hình hóa dùng dạng xung là xung
dữ liệu trong đường truyền dữ liệu tốc độ cao.
Nói một cách chính xác thì tín hiệu xung này không phải là tín hiệu vật lý nên nó thường
được dùng theo nghĩa trừu tượng. Nghĩa trừu tượng ở đây là đáp ứng của hệ thống đối với
một xung đơn vị sẽ cung cấp các thông tin chủ yếu về các đặc tính của hệ thống. Ta sẽ xét
vấn đề này ở m
ục 6.4.
2. Mô hình toán học của xung đơn vị
Hàm xung đơn vị )t(δ không phải là một hàm toán học theo nghĩa thông thường. Hàm này
thường được định nghĩa bằng một tích phân:
∫
∞
∞−
=δ+ )t(xdt)t()tt(x
00

với t
0
là một thời điểm nào đó và x(t + t
0
) là hàm liên tục tại t = 0. Sự liên tục này để đảm bảo
x(t
0
) tồn tại.
Ta có thể đổi biến:
0
tt

−
τ
=

để biểu diễn tích phân trên dưới dạng khác:
∫
∞
∞−
=τ−τδτ )t(xd)t()(x
00

3. Các tính chất của xung đơn vị
Tính chất 1:
)t(A)t(A
δ
=
−
δ

Tính chất 2:

∫
∞
∞−
=δ Adt)t(A
Tính chất 3:

0t,0)t(A
≠
=

δ

Tính chất 4:

)tt()BA()tt(B)tt(A
000
−
δ
+
=
−
δ
+
−δ
Tính chất 5:

[]
)tt()t(Ay)tt(A)t(y
000
−
δ
=
−
δ

Ví dụ:
Cho các tín hiệu sau:
)5.1t(5.1)t(x),1t(4)t(x),2t(5.0)t(x),5.0t(3)t(x
4321
−δ

−
=
+
δ
=
−
δ
−=−δ=
Chương II
- 24 -
Và
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≠
<≤+−
<≤
=
t,0
4t2,12t3
2t0,t3
)t(z

Tìm và vẽ các tín hiệu sau:
)t(z).t(x)t(y),t(z).t(x)t(y),t(z).t(x)t(y
),t(z)t(x)t(y),t(x)t(x)t(y),t(x)t(x)t(y
362514
13412311

===
+
=
+
=+=

Chương II
- 25 -
2.1.4 Tín hiệu bước nhảy đơn vị
Tích phân của tín hiệu xung là:
⎩
⎨
⎧
<
>
=ττδ
∫
∞−
0t0
0tA
d)(A
t

Giá trị của tích phân tại t = 0 không xác định. Ta có thể chọn đó là một giá trị hữu hạn nào đó
hoặc là để cho nó không xác định.
Hàm trên đây được gọi là hàm bước nhảy và được ký hiệu là Au(t). Hàm
bước nhảy đơn vị
(unit step) được định nghĩa như sau:
⎩
⎨
⎧
<

>
=
0t0
0t1
)t(u
Hàm bước nhảy đơn vị chính là hàm bước nhảy khi A = 1 và đây chính là tích phân của hàm
xung đơn vị. Do vậy, ta có thể lấy đạo hàm của hàm bước nhảy đơn vị để được hàm xung
đơn vị.





Tín hiệu bước nhảy có thể dùng làm mô hình cho một số tín hiệu. Ta xem ví dụ sau: vào thời
điểm t = t
0
, ta đóng nguồn cho một mạch điện với điện áp nguồn cung cấp là A = const, điện
áp cấp cho mạch không nhảy lên bằng A ngay lập tức mà mất một khoảng thời gian chuyển
tiếp để nhảy từ 0 lên A. Tuy nhiên khoảng thời gian đó rất nhỏ nên ta có thể mô hình hóa tín
hiệu điện áp cấp cho mạch là: A.u(t-t
0
).
Tuy nhiên, khi ta cần xem xét chi tiết hơn sự biến đổi của tín hiệu điện áp trong khoảng thời
gian điện áp chuyển từ 0 lên A thì không được dùng mô hình này.
2.1.5 Tín hiệu chữ nhật
Tín hiệu chữ nhật (rectangular) có dạng xung chữ nhật, chiều rộng là τ , ký hiệu là
⎟
⎠
⎞
⎜

⎝
⎛
τ
∏
t
và
được định nghĩa như sau:
⎩
⎨
⎧
τ>
τ<
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
τ
∏
2/|t|,0
2/|t|,1
t

Tín hiệu này rất thông dụng vì nó xấp xỉ dạng của tín hiệu xung trong các hệ thống số như
máy tính, radar… Tín hiệu chữ nhật có thể dịch chuyển theo thời gian và nhân với một tín
hiệu khác để giữ lại khoảng thời gian từ khi bắt đầu đến khi kết thúc của tín hi
ệu đó.

Chương II
- 26 -
Giữa tín hiêu chữ nhật và tín hiệu bước nhảy có quan hệ với nhau:
2/t(u)2/t(u
t
τ−−τ+=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
τ
∏

2.1.6 Tín hiệu dốc đơn vị
Như ta đã biết, tích phân của tín hiệu xung sẽ tạo ra tín hiệu bước nhảy. Khi lấy tích phân của
tín hiệu xung hai lần, kết quả là:
)t(Ar)t(Atu
0t0
0tAt
d)(uAdd)(A
ttt
≡=
⎩
⎨
⎧

<
>
=αα=αττδ
∫∫∫
∞−∞−∞−

Ta gọi r(t) là tín hiệu
dốc đơn vị (unit ramp), vì nó có dạng một cái dốc với hệ số góc là 1.
Lưu ý r(t) là tích phân của tín hiệu bước nhảy đơn vị và Ar(t) là hàm dốc với hệ số góc là A.
Nói chung, ta có thể viết:
0a&
0bat0
0bat)bat(A
)bat(u)bat(A)bat(Ar ≠
⎩
⎨
⎧
<−
>−−
=−−=−
Ví dụ:
Vẽ đồ thị các hàm dốc sau:
)5t3(r)t(z),2t(r)t(y),1t(r3)t(x
−
=
+
−
=
+
=

Chương II
- 27 -
Ta có thể cộng các hàm dốc và bước nhảy với nhau để tạo ra những hàm phức tạp biểu diễn
một tín hiệu đơn hàm bất kỳ được xấp xỉ hóa bằng một đường gấp khúc.
Ví dụ:
Vẽ đồ thị hai tín hiệu sau đây:
)4t(u2)3t(r)2t(u2)t(r2)2t(r)3t(u3)t(y
)1t(r)1t(r)2t(u)t(x
−−−−−−++−+=
−−+++−=

Ví dụ:
Vẽ đồ thị tín hiệu sau và biểu diễn dưới dạng tổng các hàm bước nhảy và hàm dốc:
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
<
<<−
<<
<<−
−<−

=
t30
3t2t3
2t11
1t22
2tt5.0
)t(x









)3t(r)2t(r)1t(u)2t(r5.0)2t(ut5.0)t(x −
+
−
−
−
−
+
+
+
+−=
Chương II
- 28 -
Ta cũng có thể biểu diễn tín hiệu bằng cách kết hợp hàm bước nhảy, dốc và chữ nhật nếu ta
dùng phép nhân và cộng.

Ví dụ:
Biểu diễn tín hiệu trên theo cách khác.





2.2 NĂNG LƯỢNG & CÔNG SUẤT CỦA TÍN HIỆU
Năng lượng tín hiệu (signal energy)
và công suất tín hiệu (signal power) là hai đại lượng có
thể tính được nhằm chỉ ra các đặc điểm của tín hiệu. Đó không phải là năng lượng và công
suất thực sự của tín hiệu, nhưng nó rất hiệu quả trong việc đánh giá, so sánh các tín hiệu. Ví
dụ, năng lượng tín hiệu và công suất tín hiệu của các thành phần khác nhau trong một tín
hiệu chỉ ra ý nghĩa liên quan của các thành phần đó.
Ta xét năng lượng tiêu tán trong một điện trở
:
∫∫
−
∞→
−
∞→
==
T
T
2
T
T
T
2

T
R
dt
R
)t(v
limRdt)t(ilimE
Đơn vị của năng lượng là Joule (J) khi đơn vị của điện trở là ohm )(Ω , của dòng điện là
ampere (A) và của điện áp là volt (V). Năng lượng tiêu tán phụ thuộc vào cả tín hiệu và điện
trở.
Ta định nghĩa năng lượng tín hiệu liên quan đến i(t) và v(t) là:
∫
∫
−
∞→
−
∞→
=
=
T
T
2
T
v
T
T
2
T
i
dt)t(vlimE
dt)t(ilimE

Đây không phải là năng lượng và công suất thực sự của tín hiệu vì chúng chỉ phụ thuộc vào
tín hiệu mà không phụ thuộc vào điện trở.
Ta sẽ thấy rõ điều này hơn qua ví dụ sau: Một xung điện 12(V), rộng 4(s), tâm ở t = 5s được
đặt vào hai đầu của còi báo động đeo dây an toàn. Ta mô hình hóa chiếc còi đó là một điện
trở 20
)(Ω .
Mô hình của tín hiệu điện áp đặt lên hai đầu còi là:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
∏=
4
5t
12)t(v

Mô hình tín hiệu dòng qua còi là:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
∏==
4

5t
6.0
R
)t(v
)t(i
Chương II
- 29 -
Ta tính được năng lượng tiêu tán trên còi là:
E
R
= 28.8 (J)
Năng lượng tín hiệu cho điện áp v(t) là:
E
v
= 576
Năng lượng tín hiệu cho dòng điện i(t) là:
E
i
= 1.44
Ta thấy các năng lượng này không bằng nhau.
Bây giờ ta mở rộng định nghĩa năng lượng và công suất cho tín hiệu bất kỳ, gồm cả tín hiệu
phức.
1. Năng lượng tín hiệu
Định nghĩa năng lượng tín hiệu x(t) là:
∫
−
∞→
=
T
T

2
T
x
dt|)t(x|limE
Một lần nữa nhấn mạnh rằng đây không phải là năng lượng thực sự của tín hiệu vì nó không
phụ thuộc vào các thành phần của hệ thống liên quan.
Nếu tín hiệu có năng lượng hữu hạn
∞
<
<
x
E0 thì nó được gọi là tín hiệu năng lượng
(energy signal).
Nếu tín hiệu tuần hoàn thì năng lượng trong một chu kỳ là hữu hạn, nhưng vì nó có vô số chu
kỳ ( n chu kỳ với )n ∞= nên năng lượng tín hiệu tuần hoàn là vô hạn:
∫
+
∞==
01
1
Tt
t
2
x
dt|)t(x|nE
2. Công suất tín hiệu
Tỷ số của năng lượng tín hiệu trong một khoảng thời gian và chiều dài của khoảng thời gian
đó là công suất trung bình trong khoảng đó. Do đó, ta có định nghĩa công suất tín hiệu x(t)
như sau:
∫

−
∞→
=
T
T
2
T
x
dt|)t(x|
T2
1
limP
Cũng như năng lượng, đây không phải là công suất thực sự của tín hiệu vì nó không phụ
thuộc vào các thành phần của hệ thống liên quan. Nó là công suất trung bình trên toàn trục
thời gian.
Nếu tín hiệu có công suất hữu hạn
∞
<
<
x
P0
thì nó được gọi là tín hiệu công suất (power
signal).
Nếu tín hiệu có năng lượng hữu hạn thì công suất sẽ là 0 vì năng lượng hữu hạn chia cho
khoảng thời gian vô hạn. Nếu tín hiệu có công suất hữu hạn thì năng lượng vô hạn vì công
suất hữu hạn nhân với thời gian vô hạn.
Một số tín hiệu không phải là tín hiệu năng lượng cũng không phải là tín hiệu công suất, ví
dụ như năng lượng vô hạn và công suất là 0 hay năng lượng vô h
ạn và công suất vô hạn.
Chương II

- 30 -
Nếu tín hiệu tuần hoàn với chu kỳ T
0
, công suất trung bình là:
dt|)t(x|
T
1
dt|)t(x|
T
1
lim
nT
E
limP
01
1
01
1
Tt
t
2
0
Tt
t
2
0
n
0
x
n

x
∫∫
++
∞→∞→
===
Ví dụ:
Tính năng lượng và công suất của tín hiệu điện áp trên hai đầu một điện trở, điện áp này do
một tụ xả qua điện trở đó:
v(t) = e
-3t
u(t)







Ví dụ:
Tính năng lượng và công suất của tín hiệu phức sau:
t2j
Ae)t(y
πα
=

2.3 BIỂU DIỄN TÍN HIỆU DƯỚI DẠNG CHUỖI FOURIER TỔNG QUÁT
2.3.1 Phân tích tín hiệu ra các thành phần
Ta biết rằng đáp ứng của hệ tuyến tính thỏa mãn nguyên lý xếp chồng. Điều này cho phép ta
tìm đáp ứng của hệ đối với một tín hiệu vào bằng cách phân tích tín hiệu vào thành tổng của
các thành phần, tìm đáp ứng của hệ đối với mỗi thành phần đó rồi cộng các đáp ứng này lại
với nhau.
Việc phân tích tín hiệu thành tổng các thành phần còn chỉ ra được các đặc đi
ểm quan trọng
và đặc biệt của tín hiệu.
Nhìn chung thì ta không thể biết được cách làm thế nào để phân tích một tín hiệu phức tạp
thành tổng các thành phần mà các thành phần này mang một đặc điểm đơn giản và xác định
nào đó. Tuy nhiên, ta có thể xấp xỉ tín hiệu x(t) trong một khoảng thời gian t
1
< t < t
2
bằng
một tổng tuyến tính như sau:
Chương II
- 31 -
∑
=
∧
φ=
N
1n
nn
)t(A)t(x
Tín hiệu
)t(

n
φ gọi là tín hiệu cơ sở (basic signal). Ta chọn )t(
n
φ
tùy ý sao cho có thể làm
nổi bật các đặc điểm đặc trưng của tín hiệu hoặc là có thể cung cấp các thành phần đơn giản
giúp cho việc phân tích hệ thống được dễ dàng. Trong một số trường hợp, nên cho n chạy từ:
-N đến N hay đặt N là vô cùng.
Sau khi chọn tín hiệu cơ sở, ta chọn hệ số A
n
sao cho )t(x
∧
gần với x(t) nhất trong khoảng
khai triển của x(t).
Để đánh giá sự xấp xỉ tốt hay không, ta dựa vào các tiêu chuẩn xấp xỉ, tính từ sai số xấp xỉ.
Sau đây là 3 tiêu chuẩn hay dùng:
Tiêu chuẩn 1:

⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
∧
|)t(x)t(x|maxmin
Tiêu chuẩn 2:

⎪

⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
∫
∧
dt|)t(x)t(x|min
2
1
t
t

Tiêu chuẩn 3:

⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧

⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
∫
∧
dt)t(x)t(xmin
2
1
t
t
2

Tiêu chuẩn 1 dựa trên cơ sở sai số tối đa xuất hiện tại từng thời điểm, tiêu chuẩn 2 và 3 bao
gồm sai số tại tất cả các thời điểm trong khoảng tồn tại của tín hiệu nên nó chứa nhiều dữ liệu
về sai số hơn so với tiêu chuẩn 1. Tiêu chuẩn 3 là năng lượng trong tín hiệu sai số và hay
được dùng hơn. Tiêu chuẩn 3 có nghĩa là: cho trước các tín hiệu cơ
sở, ta tính chọn hệ số A
n

sao cho tích phân sai số bình phương là nhỏ nhất:
∫
∑
∫
⎥
⎦
⎤

⎢
⎣
⎡
−φ=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−=ε
=
∧
2
1
2
1
t
t
2
N
1n
nn
t
t
2
N
dt)t(x)t(Adt)t(x)t(x
Lưu ý là sự xấp xỉ hóa chỉ xét trong khoảng t
1

< t < t
2
, không quan tâm đến t ngoài khoảng
đó.
2.3.2 Chuỗi Fourier tổng quát
Việc chọn tín hiệu cơ sở ảnh hưởng đến hệ số A
n
. Có những tín hiệu cơ sở mà khi thêm số
hạng vào công thức xấp xỉ thì phải tính lại A
n
, nhưng có những tín hiệu cơ sở mà khi thêm số
hạng vào thì hệ số A
n
vẫn không thay đổi. Ta luôn mong chọn được tín hiệu cơ sở ở loại thứ
hai.
Tín hiệu cơ sở thuận tiện nhất để tính A
n
là tín hiệu trực giao. Các tín hiệu thực )t(
i
φ
là trực
giao nhau trong khoảng t
1
< t < t
2
nếu và chỉ nếu:
∫
⎩
⎨
⎧

≠
=λ
=φφ
2
1
t
t
n
mn
mn0
mn
dt)t()t(
Chương II
- 32 -
Chọn tín hiệu cơ sở là tín hiệu trực giao sao cho tiêu chuẩn xấp xỉ thứ 3 thỏa mãn, ta có công
thức xấp xỉ có dạng chuỗi và chuỗi đó được gọi là
chuỗi Fourier tổng quát (generalized
Fourier serie). Vậy ta có định nghĩa sau:
Chuỗi Fourier tổng quát là một tổng có trọng số của các tín hiệu cơ sở trực giao, tổng này
xấp xỉ hóa một tín hiệu trong khoảng t
1
< t < t
2
bằng cách tối thiểu hóa sai số
N
ε .
Các hệ số A
n
tính được như sau:

∫
φ
λ
=
2
1

t
t
n
n
n
dt)t()t(x
1
A
Có thể mở rộng chuỗi Fourier cho tín hiệu cơ sở là tín hiệu phức và số số hạng trong chuỗi
Fourier là vô cùng.
Chương II
- 33 -
2.4 PHÂN TÍCH HỆ THỐNG DỰA VÀO PHƯƠNG TRÌNH HỆ THỐNG
Trong phần này, ta sẽ xem xét một phương pháp trực tiếp để phân tích hệ thống trong miền
thời gian. Trong cách phân tích này, ta xác định đáp ứng của hệ thống đối với một tín hiệu
vào cụ thể với
0
tt ≥ và các điều kiện đầu xác định tại t = t
0
.
Đối với hệ tuyến tính, đáp ứng là tổng của đáp ứng đối với điều kiện đầu và đáp ứng đối với
tín hiệu vào. Đáp ứng đối với điều kiện đầu được gọi là
đáp ứng đầu vào 0 (zero-input
response).
Đáp ứng đối với tín hiệu vào được gọi là đáp ứng trạng thái 0 (zero-state
response)
, ở đây trạng thái của hệ thống là tập hợp các giá trị của tín hiệu xác định bởi năng
lượng lưu trong hệ thống.
Để phân tích hệ thống trong miền thời gian, trước hết ta tìm phương trình hệ thống từ sơ đồ
khối hoặc sơ đồ thành phần hệ thống. Sau đó giải phương trình để tìm tín hiệu ra phụ thuộc

vào tín hiệu vào và các điều kiệ
n đầu cụ thể.
Sau đây ta xét một ví dụ phân tích hệ thống trong miền thời gian.
Ví dụ:
Cho bộ lọc thông thấp gồm R và C mắc nối tiếp. Tìm tín hiệu ra y(t) với
0
tt ≥ theo tín hiệu
vào x(t), cho biết năng lượng lưu trong tụ điện tại thời điểm t = t
0
là y(t
0
) = Y
0
.
Trước tiên ta tìm phương trình hệ thống:

Sau đó ta giải phương trình:




Chương II
- 34 -

Tín hiệu ra là:
0
RC/)tt(
0
t
t
RC/)t(
tteYdte
RC
1
)(x)t(y
0
0
≥+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
τ=
−−
τ−−

∫

Số hạng thứ nhất là đáp ứng trạng thái 0 và số hạng thứ hai là đáp ứng đầu vào 0.
Chương II
- 35 -
2.5 PHÂN TÍCH HỆ THỐNG DỰA VÀO ĐÁP ỨNG CỦA HỆ THỐNG
2.5.1 Đáp ứng xung
Trong phần này ta xét tích phân xếp chồng như là một mô hình toán học khác của hệ tuyến
tính bất biến với điều kiện đầu là 0. Trong mô hình này, hệ thống được đặc trưng bằng
đáp
ứng xung (impulse response).
Ta định nghĩa đáp ứng xung như sau:
Đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính bất biến, ký hiệu h(t), là đáp ứng trạng thái 0 của hệ
thống đối với tín hiệu vào là xung đơn vị đưa vào hệ thống tại thời điểm t = 0.
Vậy,
)t(h)t(y)t()t(x
=
⇒
δ
=

Muốn xác định đáp ứng xung, ta giải phương trình hệ thống với tín hiệu vào là xung đơn vị
và điều kiện đầu bằng 0.
Ví dụ:
Tìm đáp ứng xung của mạch lọc RC trên:
0
RC/)tt(
0
t
t

RC/)t(
tteYdte
RC
1
)(x)t(y
0
0
≥+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
τ=
−−
τ−−
∫

Để tìm đáp ứng xung, cho )t()t(x,t,0Y
00
δ
=
−
∞
=
= :
)t(ue
RC
1

0t0
0te
RC
1
de
RC
1
)()t(h
RC/t
RC/tt
RC/)t( −
−
∞−
τ−−
=
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
<
>
=τ
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
τδ=

∫

2.5.2 Đáp ứng trạng thái 0 của hệ tuyến tính bất biến
Ta có thể sử dụng tín hiệu vào x(t), đáp ứng xung h(t) và mô hình tích phân xếp chồng để tìm
đáp ứng trạng thái 0 của hệ tuyến tính bất biến.
1. Tích phân xếp chồng/ chập liên tục
Xét tín hiệu vào có dạng xung chữ nhật:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
τ∆
∏
τ∆
==
t1
)t(x)t(x
r

Đáp ứng của hệ thống đối với tín hiệu này là:
)t(h)t(ylim
)t(y)t(y
r
0
r
=
=
→τ∆

Ta xấp xỉ hóa tín hiệu vào x(t) với một tín hiệu bậc thang ),t(x τ∆
∧
như hình vẽ:
),t(xlim)t(x τ∆=
∧
∞→τ∆

Chương II
- 36 -
Ta tìm đáp ứng của hệ đối với tín hiệu),t(x τ∆
∧
, gọi đó là ),t(y τ∆
∧
. Sau đó suy ra đáp ứng của
hệ thống, là:
),t(ylim)t(y τ∆=
∧
∞→τ∆

∫
∞
∞−
ττ−τ= d)t(h)(x)t(y

Ta gọi tích phân này là tích phân xếp chồng (superposition integral). Vì nó cộng tất cả các
đầu ra )t(h)(x τ−τ từ tất cả các giá trị của tín hiệu vào ∞≤τ
≤
∞
−
τ
),(x để tạo thành tín
hiệu ra ở thời điểm t.
Tích phân xếp chồng của hệ liên tục tuyến tính bất biến có dạng của phép chập nên ta còn gọi
đây là
phép chập liên tục (continious convolution). Ta có thể đổi biến
1
t τ−=τ để được một

dạng khác của phép chập liên tục:

∫
∞
∞−
ττ−τ=
111
d)t(x)(h)t(y

τ
∆
3
),t(x τ∆
∧

x(t)
0
Chương II
- 37 -
Khi dùng mô hình toán học biểu diễn hệ thống là đáp ứng xung, ta sử dụng sơ đồ khối sau:




Lưu ý: quan hệ y(t) = x(t).h(t) là hoàn toàn không đúng.
2. Hệ nhân quả
Từ biểu thức phép chập liên tục, ta tính được tín hiệu ra tại thời điểm t = t
1
như sau:
∫

∞
∞−
ττ−τ= d)t(h)(x)t(y
11

Nếu hệ nhân quả thì y(t1) không phụ thuộc vào x(t) với t > t1, suy ra:
11
t0)t(h >
τ
=
τ
−

Ngược lại, nếu
11
t0)t(h >
τ
=
τ
−

thì y(t1) không phụ thuộc vào x(t) với t > t1, tức là hệ nhân quả.
Hay nói cách khác, h(t) = 0 với mọi t < 0.
Vậy ta có thể phát biểu:
Hệ tuyến tính bất biến là nhân quả khi và khỉ khi h(t) = 0 với mọi t < 0.
Lúc đó phép chập liên tục được viết lại là:
∫
∞−
ττ−τ=
t

d)t(h)(x)t(y

2.5.3 Cách tính phép chập liên tục
Phép chập liên tục giữa hai tín hiệu f
1
(t) và f
2
(t) là:



ở đây t là biến độc lập và
τ là biến giả dùng trong tích phân.
Việc tính chập hai tín hiệu f
1
(t) và f
2
(t) có thể được thực hiện bằng phương pháp giải tích hay
đồ thị.
Nếu tính bằng phương pháp giải tích, ta theo các bước sau:
-
Thay biến t bằng
τ
, ta được f
1
(
τ
) và f
2
(

τ
)
-
Viết phương trình của f
2
(t-
τ
)
- Tính tích phân của tích f
1
(
τ
) f
2
(t-
τ
) để tìm f
3
(t) với mọi t.
Nếu tính bằng đồ thị, ta theo các bước sau:
y(t) x(t)
h(t)
∫
∞
∞−
∗≡ττ−τ= )t(f)t(fd)t(f)(f)t(f
21213
Chương II
- 38 -
- Thay biến t bằng τ , ta được f

1
(
τ
) và f
2
(
τ
). Vẽ đồ thị của f
1
(
τ
) và f
2
( τ ).
-
Đảo thời gian f
2
( τ ), ta được f
2
(-
τ
)
-
Dịch chuyển f
2
(- τ ) đi một đoạn là |t|, dịch sang phải nếu t > 0 và sang trái nếu t < 0,
ta được f
2
(t- τ )
-

Lấy tích phân của tích f
1
(
τ
).f
2
(t-
τ
) trên toàn trục thời gian, ta được f
3
(t).
Ví dụ:
Tính chập hai tín hiệu sau:
2
t
e)t(f
−
=
và
2
t3)t(g = với mọi t.

Ví dụ:
Cho tín hiệu x(t) = 3cos(2t) đi vào hệ tuyến tính bất biến có đáp ứng xung là:
|t|
e)t(h
−
=
Tìm tín hiệu ra khi các điều kiện đầu bằng 0.











Chương II
- 39 -
Ví dụ:
Tính chập hai tín hiệu sau:

6
-2
2
-1-1 1 2 21
Chương II
- 40 -

Chương II
- 41 -
2.5.4 Tính chất của phép chập liên tục
Tính chất giao hoán:
)t(f)t(g)t(g)t(f
∗
=
∗








Tính chất kết hợp:

[
]
[
]
)t(h)t(g)t(f)t(h)t(g)t(f
∗
∗
=
∗
∗

Tính chất phân phối:

[]
)t(h)t(f)t(g)t(f)t(h)t(g)t(f
∗
+
∗
=
+
∗








Tính chất độ dài:

Nếu tín hiệu f
1
(t) dài L

1
và tín hiệu f
2
(t) dài L
2
thì chập của f
1
(t) và f
2
(t) có chiều dài là:
L
3
= L
1
+ L
2

Rìa bên trái của f
3
(t) là rìa bên trái của f
1
(t) cộng với rìa bên trái của f
2
(t)
Rìa bên phải của f
3
(t) là rìa bên phải của f
1
(t) cộng với rìa bên phải của f
2

(t)
Chương II
- 42 -








Tính chất chập với hàm xung:

)tt(x)tt()t(x
)t(x)t()t(x
11
−=−δ∗
=
δ
∗









Ví dụ:

Cho các tín hiệu: )1t(4)5.0t(2)t(y),5.1t(5.1)5.1t(5.1)t(x −δ+
−
δ
=
−
δ
+
+δ=
Và:
⎩
⎨
⎧
≠
<≤
=
t0
2t0t
)t(z
Tìm và vẽ các tín hiệu: x(t), y(t), z(t), )t(y)t(x
∗
và x(t)*z(t).