BÀI TẬP PHÂN TÍCH MẠCH QUA CÁC VÍ DỤ CỤ THỂ

TIỂU LUẬN MÔN HỌC

PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH MẠCH CÔNG NGHỆ MỚI
TRONG KTĐT













HÀ NỘI 06/2013
Câu 1. Tìm thuật toán xác định tham số riêng [Y] của mạng nhiều cực
Với các mạch điện tử, sử dụng phương pháp điện thế điểm nút, việc thiết lập ma
trận tổng dẫn [Y] của mạch điện đơn giản và thuận tiện hơn hơn ma trận tổng trở [Z] khi

phân tích mạch điện bằng phương pháp mạch vòng. Tuy nhiên phân tích mạch điện
bằng phương pháp điện thế điểm nút, cũng như phương pháp dòng điện mạch vòng đối
với mạch điện phức tạp để xác định tham số của mạch đòi hỏi phải tính toán các định
thức cấp cao làm cho quá trình trở nên phức tạp, có thể giảm cấp của ma trận tổng dẫn
[Y] hay ma trận tổng trở [Z] của mạch một cách đáng kể, nếu thực hiện biến đổi sơ đồ
mạch điện đã cho về sơ đồ tương đương bằng cách thay một hoặc một phần nào đó của
sơ đồ bằng mạng nhiều cực.
Như vậy để tính được ma trận tổng dẫn [Y] ta phải xác định được ma trận tham
số riêng của các mạng nhiều cực được tách ra, với những lý do như vậy sau đây ta sẽ đi
tìm thuật toán xác định ma trận tham số riêng [y] của mạng nhiều cực.
Khi tách một hay một phần của sơ đồ đã cho thành các mạng nhiều cực, có thể
xảy ra 2 trường hợp.
Trường hợp 1. Mạng nhiều cực được tách ra có một cực được nối với nút chung
hay nút gốc của sơ đồ.

Hình 1.1 Mạng nhiều cực tách ra từ sơ đồ
Giả sử mạng nhiều cực được tác ra từ sơ đồ có n nút (trừ nút gốc), trong đó s nút
là các cực của mạng nhiều cực, còn (n-s) nút nằm bên trong của mạng nhiều cực. Ta giả
thiết rằng các nút tương ứng với các cực trong mạng nhiều cực được đánh số thứ tự từ 1
đến s, từ nút thứ (s+1) đến nút thứ n nằm trong mạng nhiều cực.
Mạng nhiều cực có thể coi như mạch điện theo nghĩa thông thường gồm n nút
(trừ nút gốc), khi đó phương trình điện thế điểm nút của mạch có dạng tổng quát như
sau:
[Y] [U]=[J] (1.1)
(1.2)
(1.4)
Giả thiết bên trong mạng nhiều cực không chứa nguồn điện, khi đó trong n phần
tử của vectơ ma trận cột [J] chỉ có s phần tử tương ứng với dòng điện s cực của mạng
nhiều cực khác 0. Còn (n-s) phần tử còn lại bằng 0. Trong trường hợp này, triển khai hệ
phương trình (1.1) ta được:

I
1
Y
11
Y
1s
Y
1n
U
1

I
2
Y
21
Y
2s
Y
2n
U
2






I
s

= Y
s1
Y
ss
Y
sn
x U
s

I
1
Y
(s+1)1
Y
(s+1)s
Y
(s+1)n
U
s+1






I
1
Y
n1
Y

ns
Y
nn
U
nn


Nghiệm của phương trình (1.2) có dạng




s
1i
ikk
IΔi
Δ
1
U (1.3)
Trong đó : ∆ Là định thức của ma trận tổng dẫn [Y]
∆
ik
Là phần phụ đại số tương ứng với ma trận tổng dẫn [Y]
Vì ta chỉ quan tâm đến ma trận tham số riêng của mạng nhiều cực, do đó chỉ cần
xác định giá trị của điện áp trên cực s của mạng nhiều cực, các điện áp khác trên các cực
của mạng nhiều cực U
1
, U
2
, U

s
được xác định theo biểu thức (1.3) và có thể lập thành
phương trình dưới dạng ma trận sau:





Để nhận được các tham số đối với các cực của mạng nhiều cực (ma trận tham số
riêng [y] của mạng nhiều cực), ta phải giải phương trình ma trận đối với vectơ ma trận
cột [J] mà mỗi phần tử của nó là dòng điện trên các cực của mạng nhiều cực nghĩa là
biến đổi phương trình (1.4) về dạng:

U
1


11

21



s1

I
1

U
2

=

21

22



s2

X I
2






U
3


1s

2s



ss

I
s

I
1
Y
11
Y
11
Y
1s
U
1

I
2
= Y
21
Y
21
Y
2s
x U
2
(1.5)

I
s
Y
s1

Y
s1
Y
ss
U
s

Hay viết gọn dưới dạng [I’]=[y’].[U] (1.6)
Ma trận [y’] là ma trận vuông cấp s và nó chính là ma trận tham số riêng của
mạng nhiều cực.
Dễ dàng nhận thấy rằng, ma trận vuông cấp s của [y’] được xác định bằng tích
của định thức ∆ của ma trận tổng dẫn [Y] của mạch nhân với ma trận nghịch đảo của ma
trận vuông cấp s bên vế phải của (1.4), tức là:

∆
11
∆
21
… ∆
s1

[Y] = ∆ ∆
12
∆
22
… ∆
32
(1.7)
… … …
∆

1s
∆
2s
… ∆
ss

Vì phần tử nằm trên ô cắt nhau của dòng r, cột t của ma trận nghịch đảo bằng
phần phụ đại số của phần tử nằm trên ô cắt nhau của dòng t, cột r của ma trận ban đầu
chia cho định thức của ma trận ban đầu nên các phần tử của ma trận nghịch đảo bên vế
phải của (1.7) là phần phụ đại số của ma trận tổng dẫn [Y] của mạch.
Đặt:
∆
11
∆
21
… ∆
s1

D = ∆
12
∆
22
… ∆
32

… … …
∆
1s
∆
2s

… ∆
ss

Theo định lý I.A.Kob ta có:
D=∆
s-1
∆
11,22,… ss
=∆
s-1
∆
s
(1.8)
Trong đó ∆ là định thức của ma trận tổng dẫn [Y] của mạch.
∆
s-1
là lũy thừa bậc s-1 của định thức ∆.
∆
ss
=∆
11,22,….ss
là phần phụ đại số bội của ma trận tổng dẫn [Y] của mạch, nó là
định thức của ma trận [Y] sau khi bỏ đi s hàng và s cột đầu tiên.
=
s
Δ
1

Phần phụ đại số D
tr

của phần tử nằm trên ô cắt nhau của dòng t, cột r được xác
định như sau:


D
tr
=(-1)
t+r


∆
11
……….∆
(r-1)1
∆
(r+1)1
…… ∆
s1

… … … …
∆
1(t-1)
…….∆
(r-1) (t-1)
∆
(r+1) (t-1)
…….∆
s(t-1)
∆
1(t+1)

…….∆
(r-1) (t+1)
∆
(r+1) (t+1)
…….∆
s(t+1)
… … … …
∆
1s
…… ∆
(r-1)s
∆
(r+1)s
……… ∆
ss

Cũng theo định lý I.A.Kob, phần phụ đại số D
tr
được xác định bởi biểu thức
D
tr
=∆
s-2
∆
rt
11,22,… ss
=∆
s-2
∆
rt

s
(1.9)
Trong đó ∆
rt
s
là phần phụ đại số bội của ma trận tổng dẫn [Y] của nó, nó là định
thức của [Y] sau bỏ đi s hàng và s cột đầu tiên trừ hàng r và cột t.
Từ các biểu thức (1.8) và (1.9) ta xác định được các phần tử của ma trận tham số
riêng của [y'] của mạng nhiều cực.
s
1s
rt
s
2s
tr
'
rt
ΔΔ
ΔΔ
Δ
D
D
Δy



Hay sau khi giản ước, ta nhận được
s
rt
s

'
rt
Δ
Δ
y  (1.10)
Từ đây ta dễ dàng xác định được ma trận tham số riêng [y’] của mạng nhiều cực
được tách ra từ sơ đồ:

11
s

12
s


…
s
s
1



[y']
21
s


22
s


…
s
s
2


(1.11)
… … …



1s
s


2s
s


…
ss
s



2. Trường hợp 2: Mạng nhiều cực được tách ra không có nút nào nối vào nút gốc của
sơ đồ
Từ kết quả nhận được của phần trên, ta có thể suy ra trường hợp khi mạng nhiều
cực được tách ra từ sơ đồ không có cực nào được nối vào nút gốc của sơ đồ (khi này

điện áp trên các cực của mạng nhiều cực được tách ra, được tính so với nút gốc của sơ
đồ ở hình dưới).
=
s
Δ
1


Hình 1.2 Mạng nhiều cực được tách ra không có nút nào nối vào nút gốc của sơ đồ

Trong trường hợp này, ma trận tham số riêng đầy đủ [y'
0
] của mạng nhiều cực
được suy ra trực tiếp từ ma trận tham số riêng [y'] bằng cách bổ sung vào ma trận (1.11)
một hàng và một cột tương ứng sao cho tổng các phần tử trên một hàng và một cột đều
bằng 0, nghĩa là ma trận tham số riêng đầy đủ [y'
0
] của mạng nhiều cực có dạng:

11
s

…
s
s
1


1i
s

s
1i
Δ





[y']
21
s


…
s
s
2


2i
s
s
1i
Δ




(1.12)
… … … …

i1
s
s
1i
Δ




…
is
s
s
1i
Δ





 

s
1i
ij
s
s
1j
Δ

Nếu các mạng nhiều cực được tách ra từ sơ đồ thuộc 1 trong 2 trường hợp sau:
Trong mạng nhiều cực chỉ chứa 1 nút, khi đó s=n-1, do đó
∆
ss
=∆
11,22,….(n-1)(n-1)
=y
nn

Nghĩa là ∆
s
chính bằng phần tử y
nn
còn
rt
s
 =

y
r t
y
r n

y
n t
y
n n

= y
r t
y
n n
-y
r n
y
n t

Do đó các phần tử của ma trận tham số riêng [y’] được xác định bằng biểu thức sau :
nn
ntrn
rt
'
rt
y
yy
yy 
[y']=
s
Δ
1

[y'
0
]=
11,22
Δ
1

Trường hợp s=2 : Khi này phần tử mạch được tách ra chỉ có 2 nút là cực của
mạng nhiều cực, khi đó ∆
s
=∆
11, 22
và ma trận tham số riêng [y’] có dạng :

11
2

12
2



21
2


22
2


Nếu cực thứ 3 của mạng nhiều cực được tách ra từ sơ đồ, không nối với nút gốc,
khi đó ta xác định được ma trận tham số riêng đầy đủ [y'
0
]

22

21


)21(2 



12


11


)12(1 



2)21( 


1)12( 


)12)(21( 



Câu 2. Xác định ma trận tham số riêng [y] các mạng nhiều cực sau:




Hình 2.1 Các sơ đồ mạng nhiều cực
Đối với mạng nhiều cực 1




Hình 2.2 Các sơ đồ mạng nhiều cực 1

Đánh số thứ tự các nút như hình vẽ dưới đây:

Hình 2.2a Các sơ đồ mạng nhiều cực 1 được đánh dấu các nút

Đối với tranzitor T:
1 3
1 y
11
y
12

3 y
21
y
22

Đối với tranzitor T’:
3 2
3 y '
11
y '
12

2 y '
21
y '
22

Ta có ma trận tổng dẫn của mạch trên như sau:
[y
T
]=
[y
T’
]=
1 2 3
1 y
11
y
12

2 y '
22
y '
21

3 y
21
y '
12
G+ y
22
+ y '
11

Để tính ma trận tham số riêng [y'] của mạng nhiều cực như hình vẽ trên trong
trường hợp mạng nhiều cực chỉ có 1 nút, ta có ma trận tham số riêng của mạng nhiều
cực:
1 2
1 y'
11
y '
12

2 y'
21
y '
22

Trong đó:
nn
ntrn
rt
'
rt

y
yy
yy 
1122
2112
11
33
3113
11
'
11
y'yG
.yy
g
y
yy
yy


1122
2112
33
3213
12
'
12
y'yG
.y'y
y
yy

yy


1122
2121
33
3123
21
'
21
y'yG
.y'y
y
yy
yy


1122
2121
22
33
3223
22
'
22
y'yG
.y'y'
g'
y
yy

yy


Bổ sung 1 hàng, 1 cột vào ma trận tham số riêng [y] của mạng nhiều cực sao cho
tổng các phần tử của 1 hàng bằng tổng các phần tử của một cột bằng 0, ta nhận được ma
trận tham số riêng đầy đủ của mạng nhiều cực [y’
0
]
1 2 3
1 y'
11
y'
12
-(y'
11
+ y'
12
)
2 y'
21
y'
22
-(y'
21
+ y'
22
)
3 -(y'
11
+y'

21
) -(y'
12
+y'
22
) y'
11
+ y'
12
+y'
11
+ y'
12


[Y]=
[y’]=
[y’]=
[y']=
2
Δ
1

Đối với mạng nhiều cực 2





Hình 2.3 Sơ đồ mạng nhiều cực 2

Đánh số thứ tự các nút như hình vẽ dưới đây:

Hình 2.3a Sơ đồ mạng nhiều cực 2 được đánh dấu các nút

Ta có ma trận tổng dẫn của mạch trên như sau
1 2 3 4
1
G
1
+G+jC
0
-jC
-G
2 0
G+jC
0 -G
3
-jC -jC 2(G+jC)
0
4 -G -G 0
2(G+jC)
Đối với mạng nhiều cực trên có số nút s=2, do đó ma trận tham số riêng được xác
định :





22


21



12


11


[y']=
2
Δ
1

[y']=
2
Δ
1

Trong đó
2
 =
4(G+jC)
2

G
1
+G+jC

-G
-jC
-G
2(G+jC)
0
-jC -jC 2(G+jC)


0
-jC
-G
-jC 2(G+jC)
0
-G 0
2(G+jC)

0
-jC
-G
-jC 2(G+jC)
0
-G 0
2(G+jC)

G+jC -jC
-G
-jC 2(G+jC)
0
-G 0
2(G+jC)

Từ đó ta xác định được ma trận tham số riêng [y'] của mạng nhiều cực:




Với các giá trị của ∆ được xác định ở trên. Ta tiếp tục bổ sung 1 hàng, 1 cột vào
ma trận tham số riêng [y] của mạng nhiều cực sao cho tổng các phần tử của 1 hàng bằng
tổng các phần tử của một cột bằng 0, ta nhận được ma trận tham số riêng đầy đủ của
mạng nhiều cực [y’
0
]





22

21



12


11



22


21


2221


12


11


1112


2212

1121
 
2122 1211

∆
22
=
=4(G
1
+G+j

C) (G+j


C)
2


+ 2
2
C
2
(G+jC)-2G
2
(G+jC)

-∆
21
=
=

2

2
C
2
(G+j

C)-2G
2
(G+j

C)

-∆
12
=
= 2(

2
C
2
-G
2
)(G+j

C)

∆
11
=
=2(G+j

C)
3

+ 2
2
C
2
(G+jC)-2G
2
(G+jC)

Câu 3. Hệ thống xử lý tín hiệu số có sơ đồ tương đương (đối với thành phần tín hiệu
vẽ trên hình dưới )

Hình 3.1 Sơ đồ xử lý tín hiệu số
Với các giá trị R
0
=100, R
1
=1M, R
2
= R
3
=1K, R=1, C=1F, 2 tranzitor tham số
giống nhau g
11
=g
22
=g’
11
=0,1mA/V, g’
12
=0, g
21
=g’
21
=5mA/V.
a. Xác định hệ số truyền điện áp
v
ra

U
U
U
K 
b. Xác định điện áp giữa cực gốc của tranzitor T
1
và cực góp của tranzitor T
2
theo
điện áp U
v
và tần số nguồn ?
Đánh số nút mạch điện trên như sau:
\
Hình 3.2 Sơ đồ xử lý tín hiệu số đuợc đánh dấu các nút
Mạch điện trên gồm có 6 nút trừ nút gốc, nếu ta hay thế 1 số phần tử của mạch
bằng các mạng nhiều cực, ta nhận được sơ đồ tương đương sau:

Hình 3.3 Sơ đồ xử lý tín hiệu số tương đương
Đánh lại số thứ tự các nút ta có:

Hình 3.3a Sơ đồ xử lý tín hiệu số tương đương

Xác định ma trận tham số riêng của mạng 3 cực



Hình 3.4 Sơ đồ mạng 3 cực


Đối với tranzitor T
1
:
1 3
1 y
11
y
12

3 y
21
y
22

Đối với tranzitor T
2
:
3 2
3 y '
11
y '
12

2 y '
21
y '
22

[y
T
]=
[y
T’
]=
Ta có ma trận tổng dẫn của mạch trên như sau
1 2 3
1 G
1
+ y
11
0 y
12

2 0 y '
22
y '
21

3 y
21
y '
12
G
2

+ y
22
+ y '
11

Để tính ma trận tham số riêng [y'] của mạng nhiều cực như hình vẽ trên trong
trường hợp mạng nhiều cực chỉ có 1 nút, ta có ma trận tham số riêng của mạng nhiều
cực:

2 3
2 y'
11
y'
12

3 y'
21
y'
22

Trong đó:
nn
ntrn
rt
'
rt
y
yy
yy 
111

11222
2112
111
33
3113
11
'
11
yG
y'yG
.yy
yG
y
yy
yy 


0
y'yG
.y'y
y
yy
yy
11222
2112
33
3213
12
'
12




112
21
2
11222
2121
33
3123
21
'
21
y2G
y
y'yG
.y'y
y
yy
yy




11
11222
2121
22
33
3223

22
'
22
y'yG
.y'y'
y'
y
yy
yy y


Vậy ta có
2 3
2
111
yG


0
3
112
21
2
y2G
y



y
11

Xác định ma trận tham số riêng của mạng 3 cực


[Y]=
[y’

]=
[y’

]=
[y']=
2
Δ
1


Hình 3.4 Sơ đồ mạng 3 cực




Ta có ma trận tổng dẫn của mạch trên như sau
1 2 3 4
1
G+jC
0 -G
-jC
2 0
G+jC

-G
-jC
3 -G -G
2(G+jC)
0
4
-jC -jC
0
2(G+jC)
Đối với mạng nhiều cực trên có số nút s=2, do đó ma trận tham số riêng được xác
định :

Trong đó
2
 =
4(G+jC)
2

G+jC
-G
-jC
-G
2(G+jC)
0
-jC -jC 2(G+jC)

0 -G
-jC
-G
2(G+jC)

0
-JC
0
2(G+jC)


22

21



12


11


∆
22
=
=4(G+j

C) (G+j

C)
2


+ 2

2
C
2
(G+jC)-2G
2
(G+jC)

-∆
21
=
=

2

2
C
2
(G+j

C)-2G
2
(G+j

C)

[y'

]=
.C)j.2(G
1




0 -G
-jC
-G
2(G+jC)
0
-jC
0
2(G+jC)

G+jC -jC
-G
-jC 2(G+jC)
0
-G 0
2(G+jC)


Từ đó ta xác định được ma trận tham số riêng [y'] của mạng nhiều cực:
Từ ma trận tham số riêng của mạng nhiều cực ,  và sơ đồ mạch đã được đánh
dấu lại ta xác định được ma trận tổng dẫn [Y] của mạch khi có mạng nhiều cực như sau:
1 2 3
1 G
0
-G
0

2 -G
0

G
0
+y
11
+G
1
+
[2(G+jC)(G
2

2
C
2
+4jCG)]

:[2(G+jC)]
(
2
C
2
-G
2
) :[2(G+jC)]


3
[

2
C
2
-G
2
] :[2(G+jC)]
-y
2
21
(2y
11
+G
2
)
G
3
+y
11
+
[2(G+jC)(G
2

2
C
2
+4jCG)]

:[2(G+jC)]
Thay các giá trị đầu bài cho ta có:
3 2

3
(G
2
-
2
C
2
+4jCG)


(
2
C
2
-G
2
)


2
(
2
C
2
-G
2
)


(G

2
-
2
C
2
+4jCG)
-∆
12
=
= 2(

2
C
2
-G
2
)(G+j

C)

∆
11
=
=2(G+j

C)
3

+ 2
2

C
2
(G+jC)-2G
2
(G+jC)

[Y]=
13
Δ =
11
Δ =
1FC,5.10g;10g 1(A/V);G
(A/V)10
10
1
R
1
GG
(A/V)10
10
1
R
1
G
(A/V)10
100
1
R
1
G

3-
21
4-
11
3
3
2
32
6
6
1
1
2
0
0








2
1110
10GgG


G
2

-
2
C
2
=1-
2
2g
11
+G
2
=1,2.10
-3

G
3
+g
11
=1,1.10
-3

Ta viết lại ma trận tổng dẫn [Y]
1 2 3
1 10
-2
10
-2
0

2 -10
-2



j
j
22
41
10
2
2







j22
1
2




3 0


j22
1
10.2

2
2







j
j
22
41
10
2
2






a. Hệ số truyền điện áp
11
13
aa
ab
v
ra
U

Δ
Δ
Δ
Δ
U
U
K 
-10
-2



j
j
22
41
10
2
2





0


j22
1
10.2

2
2








j
j
22
41
10
2
2







j22
1
2





j22
1
10.2
2
2







j
j
22
41
10
2
2





[Y]=
[Y]=
2jω2
1)(ω10

22






2
23
)22(
168
.j.ω
ω)-ωj(ω




12
Δ = -
Suy ra ta có:
23
22
11
13
aa
ab
v
ra
U
8)(4

)1)(1(10
Δ
Δ
Δ
Δ
U
U
K






j
j

b. Xác định điện áp giữa cực gốc của tranzitor T
1
và cực góp của tranzitor T
2
theo
điện áp U
v
và tần số nguồn ?
Điện áp nút 2 được xác định như sau:
V
UU
11
12

2




2
10




j22
1
2



0


j
j
22
41
10
2
2







Từ sơ đồ mạch ta có điện áp giữa cực gốc của tranzitor T
1
và cực góp của
tranzitor T
2
theo điện áp U
v
và tần số nguồn  là U=U
2
-U
ra

vv
UUU
11
13
11
12
Δ
Δ
Δ
Δ

Thay số từ các biểu thức ở trên vào ta có:
v
UU



2-)-j(1
j)-(10
2
-2


)22(
)4110
22
.j.ω
jω-ω(



