BÀI TẬP HÌNH HỌC 12 THEO CHỦ ĐỀ

PHẦN I. BÀI TẬP THEO CHỦ ĐỀ
Chủ đề 1. Khối chóp có cạnh bên vuông góc đáy
Bài 1. [TN2009] Cho hình chóp
.S ABC
có mặt bên
SBC
là tam giác đều cạnh a, cạnh bên
SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết
·
0
120BAC =
, tính thể tích của khối chóp S.ABC .
Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AC=a biết SA
vuông góc với đáy ABC và SB hợp với đáy một góc 60
0
.
1) Chứng minh các mặt bên là tam giác vuông .
2) Tính thể tích hình chóp .
Bài 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết SA vuông góc với đáy
ABC và (SBC) hợp với đáy (ABC) một góc 60
0
. Tính thể tích hình chóp .
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc đáy
ABCD và mặt bên (SCD) hợp với đáy một góc 60
0
.
1) Tính thể tích hình chóp S.ABCD.
2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD).
Bài 5. Cho hình chóp S.ABC có SB=SC=BC=CA=a. Hai mặt (ABC) và (ASC) cùng vuông
góc với (SBC). Tính thể tích hình chóp.
Bài 6. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA=BC=a biết

SA vuông góc với đáy ABC và SB hợp với (ABC) một góc 30
0
. Tính thể tích hình chóp .
Bài 7. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông tại A và SB vuông góc với đáy ABC biết
SB=a, SC hợp với (SAB) một góc 30
0
và (SAC) hợp với (ABC) một góc 60
0
. Chứng minh
rằng SC
2
=SB
2
+AB
2
+AC
2
. Tính thể tích hình chóp.
Bài 8. Cho tứ diện ABCD có
( )
AD ABC⊥
biết AC=AD=4 cm, AB=3 cm, BC=5 cm.
1) Tính thể tích ABCD.
2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD).
Bài 9. Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A với BC=2a, góc
·
120BAC =
o
, biết
( )

SA ABC⊥
và mặt (SBC) hợp với đáy một góc 45
0
. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Bài 10.Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông biết
( )
SA ABCD⊥
, SC=a và
SC hợp với đáy một góc 60
0
. Tính thể tích khối chóp.
Bài 11.Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật biết rằng
( )
SA ABCD⊥
, SC
hợp với đáy một góc 45
0
và AB=3a, BC=4a. Tính thể tích khối chóp.
Bài 12.Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc nhọn A bằng 60
0
và
( )
SA ABCD⊥
, biết rằng khoảng cách từ A đến cạnh SC=a. Tính thể tích khối chop
S.ABCD.
1
Bài 13.[ĐHA09] Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B biết
AB = BC = a , AD = 2a , SA
⊥
(ABCD) và (SCD) hợp với đáy một góc 60

o
Tính thể thích
khối chóp SABCD.
Bài 14.[ĐHA08?] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang,
·
·
90BAD ABC= =
o
,
AB=BC=a, AD=2a, SA vuông góc với đáy và SA=2a.Gọi M,N lần lượt là trung điểm
SA,SD.Chứng minh BCNM là hình chữ nhật và tính thể tích khối chóp S.BCNM.
Bài 15.Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với đáy (ABC) và SA = h ,biết rằng tam giác
ABC đều và mặt (SBC) hợp với đáy ABC một góc 30
o
.Tính thể tích khối chóp SABC
Bài 16.Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại đỉnh B,
2aAC =
và
3aSB =
. Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính theo a thể tích khối chóp
S.ABC.
Bài 17.Cho hình chóp S.ABC có hai mặt bên (SAB) và (SAC) vuông góc với mặt (ABC).
Đáy ABC là tam giác cân tại đỉnh A, độ dài đường trung tuyến
aAM =
. Mặt bên (SBC) tạo
với đáy góc 45
0
và góc ^SBA=30
0
Tính thể tích của khối chóp S.ABC.

Bài 18.Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA
⊥
(ABC), góc
0
60ACB =

aBC =
3aSA =
. Gọi M là trung điểm của SB. Cm (SAB)
⊥
(SBC). Tính thể
tích khối tứ diện MABC.
Bài 19.Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA=
3a
và SA vuông
góc với đáy.Tính theo a thể tích khối tứ diện SACD và tính cosin của góc giữa hai đường
thẳng SB, AC
Bài 20.Cho tam giác ABC vuông cân tại A và AB=a.Trên đường thẳng qua C và vuông góc
với mp (ABC) lấy điểm D sao cho CD=a.Mặt phẳng qua C vuông góc với BD cắt BD tại F và
AD tại E.Tính thể tích khối tứ diện CDEF theo a
Bài 21.Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy và
Ab=a, AD=b,SA=c.Lấy các điểm B’,D’ theo thứ tự thuộc SB,SD sao cho AB’ vuông góc với
SB,AD’vuông góc với SD.Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’.Tính thể tích khối chóp
S.AB’C’D’
Bài 22.Khối chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C và SA vuông
góc mp(ABC), SC = a. Hãy tìm góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (ABC) để thể tích khối
chóp lớn nhất.
Bài 23.Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh SA vuông góc với
đáy, góc ACB= 60
0

, BC= a, SA =
3a
. Gọi M là trung điểm cạnh SB. Chứng minh (SAB) ⊥
(SBC). Tính thể tích khối tứ diện MABC.
2
Bài 24.Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B. Biết SA vuông góc với
mặt phẳng (ABC). AB = a, BC =
3a
và SA = a. Một mặt phẳng qua A vuông góc SC tại H
và cắt SB tại K. Tính thể tích khối chóp S.AHK theo a.
Bài 25.Cho khối chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với (ABCD),
SA=a.Gọi M là trung điểm SC
a. Mp
( )
α
đi qua AM và song song với BD chia khối chóp thành 2 phần.Tính thể tích
của mỗi phần
b. Tính góc tạo bởi mp (
α
) và mp (ABCD)
Bài 26.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là hình chữ nhật có AB = a, cạnh bên SA vuông
góc với đáy; cạnh bên SC hợp với đáy góc
α
và hợp với mặt bên (SAB) một góc
β
.
a. Chứng minh
2
2
2 2

os sin
a
SC
c
α β
=
−
.
b. Tính thể tích hình chóp S.ABCD theo a,
α
và
β
.
Bài 27.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD và cạnh SA vuông góc với
mp(ABCD). Mặt phẳng (
α
) qua AB cắt các cạnh SC, SD lần lượt tại M, N và chia hình
chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau. Tính tỉ số
SC
SM
Bài 28.Đáy ABC của hình chóp SABC là tam giác vuông cân (BA=BC). Cạnh bên SA vuông
góc với mặt phẳng đáy và có độ dài là
3a
. Cạnh bên SB tạo với một góc
0
60
. Tính diện
tích toàn phần của hình chóp
Bài 29.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật có AB = a; AD = b; SA = b là chiều
cao của hình chóp. M là điểm trên cạnh SA với SA = x ( 0 < x < b); mặt phẳng (MBC) cắt SD

tại N. Tính thể tích của khối đa diện ABCDMN theo a, b và x ?
Bài 30.Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều với AB=BC=CD=a và
AD=2a.Hai mặt bên SAB và SAD vuông góc với đáy .Mp (SBD) tạo với mặt đáy một góc
45
0
a. Tính góc giữa hai mp (SCD) và (ABCD)
b. Tính khoảng cách từ C đến mp (SBD)
c. Gọi M là trung điểm SB, mp (ADM) cắt SC tại N.Tính thể tích khối chóp SAMND
Chủ đề 2. Khối chóp đều
3
Bài 31.Cho chóp tam giác đều SABC cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Chứng minh
rằng chân đường cao kẻ từ S của hình chóp là tâm của tam giác đều ABC.Tính thể tích chóp
đều SABC Cho khối chóp tứ giác SABCD có tất cả các cạnh có độ dài bằng a .
a. Chứng minh rằng SABCD là chóp tứ giác đều.
b. Tính thể tích khối chóp SABCD.
Bài 32.Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a, M là trung điểm DC.
a. Tính thể tích khối tứ diện đều ABCD.
b. Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC).Suy ra thể tích hình chóp MABC
Bài 33.Cho hình chóp đều SABC có cạnh bên bằng a hợp với đáy ABC một góc 60
o
. Tính
thể tích hình chóp.
Bài 34.Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh bên a, góc ở đáy của mặt bên là 45
o
.
a. Tính độ dài chiều cao SH của chóp SABC .
b. Tính thể tích hình chóp SABC
Bài 35.Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh đáy a và mặt bên hợp với đáy một góc
60
o

. Tính thể tích hình chóp SABC.
Bài 36.Cho chóp tam giác đều có đường cao h hợp với một mặt bên một góc 30
o
. Tính thể
tích hình chóp.
Bài 37.Cho hình chóp tam giác đều có đường cao h và mặt bên có góc ở đỉnh bằng 60
o
. Tính
thể tích hình chóp.
Bài 38.Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy a và góc
0
60ASB =
.
a. Tính tổng diện tích các mặt bên của hình chóp đều.
b. Tính thể tích hình chóp.
Bài 39.Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có chiều cao h ,góc ở đỉnh của mặt bên bằng 60
o
.
Tính thể tích hình chóp.
Bài 40.Cho hình chóp tứ giác đều có mặt bên hợp với đáy một góc 45
o
và khoảng cách từ
chân đường cao của chóp đến mặt bên bằng a. Tính thể tích hình chóp .
Bài 41.Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh bên bằng a hợp với đáy một góc 60
o
. Tính thề tích
hình chóp.
Bài 42.Cho hình chóp SABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Chứng minh rằng SABCD là
chóp tứ giác đều.Tính cạnh của hình chóp này khi thể tích của nó bằng
2

2a9
V
3
=
.
Bài 43.Cho khối chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy a và đường cao bằng a/2.
a. Tính sin của góc hợp bởi cạnh bên SC và mặt bên (SAB ).
b. Tính diện tích xung quanh và thể tích của khối chóp đã cho .
Bài 44.Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên bằng 2a.
Tính thể tích của khối chóp theo a.
4
Bài 45.Cho hình chóp đều S.ABC có các cạnh bên
aSCSBSA ===
. Góc giữa cạnh bên và
đáy bằng 60
0
. Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a
Bài 46.Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy và cạnh bên bằng a
a. Tính thể tích khối chóp
b. Cm mp (MNP) chia khối chóp S.ABCD thành 2 phần có thể tích bằng nhau
Bài 47.Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB=a.Cạnh bên SA,AB,SC tạo với đáy
một góc 60
0
.Gọi D là giao điểm của SA với mp qua BC và vuông góc với SA
a. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.DBC và S.ABC
b. Tính thể tích của khối chóp S.DBC
Bài 48.Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo
với đáy một góc 60
0
.Gọi M là trung điểm SC.Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD cắt

SB tại E và cắt SD tại F.Tính thể tích khối chóp S.AEMF
Bài 49.Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc ABC bằng 60
0
.
Chiều cao SO của hình chóp bằng
2
3a
, trong đó O là giao điểm của hai đường chéo AC và
BD. Gọi M là trung điểm của AD,
( )
α
là mặt phẳng đi qua BM, song song với SA, cắt SC tại
K. Tính thể tích hình chóp K.BCDM.
Bài 50.Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên bằng a . Cho M , N lần lượt là trung
điểm các cạnh SA và SC và mặt phẳng (BMN) vuông góc với mặt phẳng (SAC).
a. Tính thể tích hình chóp tam giác đều S.ABC.
b. Tính thể tích hình chóp SBMN.
Bài 51.Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = a, SA =
2a
, AS ⊥ mp(ABC). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD lầ
lượt tại B’, C’, D’. Tính thể tích của khối chóp S.AB’C’D’.
Bài 52.Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và đáy là
α
. Gọi M là trung điểm của cạnh SC, mặt phẳng (MAB) cắt SD tại N. Tính theo a và
α
thể
tích hình chóp S.ABMN.
Bài 53.Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD. Một mặt phẳng (P) đi qua A, B và trung điểm M
của cạnh SC. Tính tỉ số thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia bởi mặt phẳng đó.
Bài 54.Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy AB = a và góc SAB =

α
.
Tính thể tích hình chóp S.ABCD theo a và
α
.
Bài 55.Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt phẳng (SAB) và
(SBC) là
α
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và
α
.
Chủ đề 3. Khối chóp có mặt bên vuông góc đáy
5
Bài 56.Cho hình chóp S.ABC có mặt bên (SBC) vuông góc với đáy, hai mặt bên (SAB) và
(SAC) cùng lập với đáy một góc 45
0
; đáy ABC là tam giác vuông cân tại A có AB = a.
a. Chứng minh rằng hình chiếu của S trên mặt (ABC) là trung điểm của BC.
b. Tính thể tích của hình chóp S.ABC theo a ?
Bài 57.Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A,
aAB =
,
3aAC =
, mặt bên
SBC là tam giác cân tại S với
a2SCSB ==
và vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể
tích khối chóp S.ABC.
Bài 58.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Biết
a2SBSA ==

và hai
mặt phẳng (SAB) và (ABCD) vuông góc với nhau. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Bài 59.Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B,
aAB =
,
3aBC =
. Tam
giác SAC đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Chủ đề 4. Khối chóp bất kì
Bài 60.Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB=5a, BC=6a,CA=7a.Các mặt bên SAB, SBC,
SCA tạo với đáy một góc 60
0
.Tính thể tích của khối chóp đó
Bài 61.Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân, AB=AC=5a,BC=6a và các mặt
bên tạo với đáy một góc 60
0
.Tính thể tích của khối chóp đó
Bài 62.Trong mặt phẳng (P) cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và điểm C thuộc nửa
đường tròn đó sao cho AC = R. Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A lấy điểm S sao cho
( )
o
60SBC,SAB =
∧
. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC. Chứng minh ∆AHK
vuông và tính V
SABC
?
Bài 63.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = AD =
2a; CD = a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60
0

. Gọi I là trung điểm của
cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính
thể tích khối chóp S.ABCD theo a.(K.A 2009)
Bài 64.Cho hình chóp S.ABC. M là điểm trên SA, N là điểm trên SB sao cho
2
1
MA
SM
=
và
2
MB
SN
=
. Mặt phẳng (P) qua MN và song song với SC chia khối chóp thành hai phần. Tìm tỉ
số thể tích của hai phần đó.
Bài 65.Khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi B', D’ lần lượt là trung điểm của
SB, SD. Mặt phẳng (AB'D') cắt SC tại C'. Tìm tỉ số thể tích của hai khối chóp S.AB'C'D' và
S.ABCD.
6
Bài 66.Khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P lần lượt là trưng điểm của
AB, AD và SC. Chứng minh mặt phẳng (MNP) chia khối chóp thành hai phần có thể tích
bằng nhau.
Bài 67.Hình chóp S.ABC có các cạnh bên nghiêng đều với đáy một góc
0
60
, độ dài các cạnh
đáy là
5AB,4CA,3CB ===
. Tính thể tích V của hình chóp

Bài 68.Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân, cạnh đáy
aBC =
, góc
α
=BAC
. Các
cạnh bên nghiêng với đáy một góc
α
. Tính thể tích hình chóp
Bài 69.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, góc
0
60BAD =
.
2
5a
SCSA ==
,
SB = SD.Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Bài 70.Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, BC = a, SA =SB = SC =
2
3a
và mặt bên SAB hợp với đáy một góc bằng 60
0
. Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
Chủ đề 5. Khối lăng trụ, khối hộp
Bài 71.Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a
a. Tính thể tích khối tứ diện A’BB’C
b. Mặt phẳng đi qua A’B’ và trọng tâm tam giác ABC cắt AC,BC lần lượt tại
E,F.Tính thể tích khối chóp C.A’B’FE
Bài 72.Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB=a,BC=2a,AA’=a.lấy M trên cạnh

AD sao cho AM=3MD
a. Tính thể tích khối chóp M.AB’C
b. Tính khoảng cách từ M đến mp (AB’C)
Bài 73.Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông , AB=BC=a, cạnh bên
AA’=
2a
. Gọi M là trung điểm của BC.Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’
Bài 74.Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ∆ABC vuông tại A, AC = a, góc ACB
bằng 60
0
. Đường thẳng BC’ tạo với (AA’C’C) một góc 30
0
. Tính thể tích khối lăng trụ đã
cho.
Bài 75.Đáy ABC của hình lăng trụ ABC.A'B'C' là tam giác đều cạnh a. Góc giữa cạnh bên
hình lăng trụ và mặt đáy bằng
0
30
. Hình chiếu vuông góc của đỉnh A' trên mặt phẳng đáy
(ABC) trùng với trung điểm H của cạnh BC. Tính thể tích hình lăng trụ.
Bài 76.Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc giữa đường thẳng BB’ và
mặt phẳng (ABC) bằng 60
0
; tam giác ABC vuông tại C và
·
BAC
= 60
0
. Hình chiếu vuông góc
của điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích khối

tứ diện A’ABC theo a.
7
Bài 77.Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có A'.ABC là h.chóp tam giác đều cạnh đáy AB = a, cạnh
bên AA' = b. Gọi
α
là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A'BC). Tính tan
α
và thể tích của
khối chóp A'.BB'C'C.
Bài 78.cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, điểm A’ cách đều 3
điểm A,B,C và cạnh bên AA’ tạo với mp đáy một góc 60
0
a. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’
b. Tính thể tích của khối chóp A.BCC’B’ và khoảng cách từ A đấn mp (BCC’B’)
c. Tính diện tích xung quanh của hình lăng trụ ABC.A’B’C’
Bài 79.Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.Gọi M,N lần lượt là trung điểm B’C’
và C’D’.Mp (AMN) chia khối lập phương thành 2 khối đa diện.Tính thể tích của hai khối đa
diện đó
Bài 80.Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.Gọi M là trung điểm A’B’, N là trung
điểm BC
a. Tính thể tích khối tứ diện ABMN
b. Mp (DMN) chia khối lập phương thành hai khối đa diện .Tính tỉ số thể tích của hai
khối đa diện đó
Bài 81.Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác AB vuông cân có AB = AC = a.
Gọi E là trung điểm của AB, F là hình chiếu vuông góc của E trên BC. Mặt phẳng (C’EF)
chia lăng trụ thành hai phần.Tính tỉ số thể tích của hai phần đó ?
Bài 82.Cho khối lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Các điểm E và F lần lượt là trung điểm
của C’B’ và C'D'.
a. Dựng thiết diện của khối lập phương khi cắt bởi mp(AEF).
b.Tính tỉ số thể tích hai phần của khối lập phương bị chia bởi mặt phẳng (AEF).

Bài 83.Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có chiều cao bằng a hai đường thẳng AB’ và BC’
vuông góc với nhau. Tính thể tích hình lăng trụ đó theo a.
8
PHẦN II. HÌNH KHÔNG GIAN TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC
Bài 1. [ĐHA02] Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a.
Gọi M, Nlần lượt là trung điểm các cạnh SB, SC. Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết
rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC).
Giải
b
a
a
M
I
A'
A
D'
C'
B'
B
D
C
Đặt
I AC BD= ∩
.
Ta thấy ∆A’BD cân tại A nên trung tuyến A’I đồng
thời là đường cao. Như vậy
A'I BD⊥
(1).
Tương tự ta cũng chứng minh được
MI BD⊥

(2).
Từ (1), (2) suy ra góc giữa hai mặt phẳng (A’BD) và
(MBD) chính là góc giữa hai đường thẳng A’I và MI.
Bài 2. [ĐHB02] Cho hình lập phương ABCD
1 1 1 1
ABCD.A B C D
có cạnh bằng
a
.
1) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng
1
A B
và
1
B D
.
2) Gọi M, N, P lần lượt là các trung điểm các cạnh
1
BB
, CD, A
1
D
1
. Tính góc giữa các đường
thẳng MP và C
1
N.
Bài 3. [ĐHD02] Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC);
AC=AD=4cm; AB=3cm; BC=5cm. Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (BCD).
Bài 4. [ĐHA03]

1) Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’. Tính số đo góc phẳng nhị diện [B,A’C,D].
2) Trong không gian với hệ tọa độ Đề-các vuông góc Oxy cho hình hộp chữ nhật
ABCD.A’B’C’D’ có A trùng với gốc của hệ tọa độ, B(a;0;0), D(0;a;0), A’(0;0;b) (a>0,
b>0). Gọi M là trung điểm của CC’.
9
a) Tính thể tích khối tứ diện BDA’M theo a và b.
b) Xác định tỷ số
a
b
để hai mặt phẳng (A’BD) và (MBD) vuông góc với nhau.
Lời giải.
b
a
a
M
I
A'
A
D'
C'
B'
B
D
C
Đặt
I AC BD
= ∩
.
Ta thấy ∆A’BD cân tại A nên trung tuyến A’I đồng
thời là đường cao. Như vậy

A'I BD⊥
(1).
Tương tự ta cũng chứng minh được
MI BD⊥
(2).
Từ (1), (2) suy ra góc giữa hai mặt phẳng
(A'BD)
và
(MBD)
chính là góc giữa hai đường thẳng
A'I
và
MI
.
Áp dụng định lý Pitago, ta tính được:
2
2 2
b
A'M 2a
4
= +
,
2
2 2
a
A'I b
2
= +
,
2 2

2 2
a b
MI A'I
2 4
= = +
.
Thành thử
mp(A'BD) mp(MBD)⊥

⇔

·
A'IM 90=
o

⇔

2 2 2
A'M A'I MI= +

⇔
2 2 2 2
2 2
b a a b
2a b
4 2 2 4
   
+ = + + +
 ÷  ÷
 ÷  ÷

   

⇔

a
1
b
=
.
Bài 5. [ĐHB03] Cho hình lăng trụ đứng
ABCD.A'B'C'D'
có đáy
ABCD
là một hình
thoi cạnh
a
, góc
·
o
BAD 60=
. Gọi
M
là trung điểm cạnh
AA'
và
N
là trung điểm cạnh
CC'
. Chứng minh rằng bốn điểm
B'

,
M
,
D
,
N
cùng thuộc một mặt phẳng. Hãy tính độ
dài cạnh
AA'
theo
a
để tứ giác
B'MDN
là hình vuông.
Bài 6. [ĐHD03] Cho hai mặt phẳng
( )
P
và
( )
Q
vuông góc với nhau, có giao tuyến là
đường thẳng
∆
. Trên
∆
lấy hai điểm
A
,
B
với

AB a
=
. Trong mặt phẳng
( )
P
lấy điểm
C
, trong mặt phẳng
( )
Q
lấy điểm
D
sao cho
AC
,
BD
cùng vuông góc với
∆
và
AC BD AB
= =
. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
ABCD
và tính khoảng cách từ
A
đến mặt phẳng
( )
BCD
theo
a

.
Bài 7. [ĐHA04] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình chóp tứ giác S.ABCD có
đáy là hình thoi, AC cắt BD tại gốc tọa độ O. Biết A(2;0;0), B(0;1;0),
( )
S 0;0;2 2
. Gọi M là
trung điểm của cạnh SC.
10
a) Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM.
b) Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD tại điểm N. Tính thể tích khối chóp
S.ABMN.
Bài 8. [ĐHB04] Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh
bên và mặt đáy bằng φ (
0 90ϕ
o o
< <
). Tính tan của góc tạo bởi hai mặt phẳng (SAB) và
(ABCD) theo φ. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và φ.
Bài 9. [ĐHD04]
Bài 10. [ĐHB05]
Bài 11. [ĐHA06] Cho hình trụ các đáy là hai hình tròn tâm
O
và
O'
, bán kính đáy bằng
chiều cao và bằng
a
. Trên đường tròn đáy tâm
O
lấy điểm

A
, trên đường tròn đáy tâm
O'
lấy điểm
B
sao cho
AB 2a=
. Tính thể tích của khối tứ diện
OO'AB
.
Bài 12. [ĐHB06] Cho hình chóp
S.ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật với
AB a
=
,
AD a 2=
,
SA a
=
và
SA
vuông góc với mặt phẳng
(ABCD)
. Gọi
M
và
N

lần lượt là
trung điểm của
AD
và
SC
,
I
là giao điểm của
BM
và
AC
. Chứng minh rằng mặt phẳng
( )
SAC
vuông góc với mặt phẳng
( )
SMB
.Tính thể tích của khối tứ diện
ANIB
.
Bài 13. [ĐHD06] (thể tích)Cho hình chóp tam giác
S.ABC
có đáy
ABC
là tam giác đều
cạnh
a
,
SA 2a=
và

SA
vuông góc với mặt phẳng
(ABC)
. Gọi
M
và
N
lần lượt là hình
chiếu vuông góc của
A
trên các đường thẳng
SB
và
SC
. Tính thể tích khối chóp
A.BCNM
.
Bài 14. [ĐHA07] Cho hình chóp tứ giác
S.ABCD
có đáy là hình vuông cạnh
a
. Mặt bên
SAD
là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi
M
,
N
,
P
lần lượt là

trung điểm của
SB
,
BC
,
CD
. Chứng minh
AM BP⊥
và tính thể tích khối tứ diện
CMNP
.
Lời giải.
Lấy
P
,
Q
lần lượt là trung điểm của
BC
,
AD
.
* Ta có:
MP
là đường trung bình của
BSC
∆
MP / /SC
⇒
(1). Hơn nữa: tứ giác
APCQ

là hình bình
hành
⇒

AP / /CQ
(2) . Từ (1), (2) suy ra
mp(SCQ) / /mp(MPA)
(3).
11
*
SQ
là trung tuyến của tam giác cân
SAD

⇒

SQ AD⊥
. Mặt khác:
AD
là giao tuyến của
hai mặt phẳng vuông góc
(SAD)
và
(ABCD)
nên
SQ mp(ABCD)⊥
. Lại có
BN mp(ABCD)⊂
. Từ đó suy ra
BN SQ⊥

(4). Lại có
BCN CDQ∆ = ∆
(c.g.c)
·
·
CBN DCQ=
. Đặt
I DN CQ= ∩
. Ta có
·
·
·
( )
·
·
( )
·
CIN 180 DCQ BNC 180 CBN BNC BCN 90= − + = − + = =
o o o
⇒

BN CQ⊥
(5). Từ
(4), (5) suy ra:
BN mp(SCQ)⊥
(6).
* Từ (3), (6) suy ra:
BN mp(MPA)⊥
. Hơn nữa:
MA mp(MPA)⊂

. Do đó:
PN MA⊥
(ĐPCM).
Bài 15. [ĐHB07] Cho hình chóp tứ giác đều
S.ABCD
có đáy là hình vuông cạnh
a
. Gọi
E
là điểm đối xứng của
D
qua trung điểm của
SA
,
M
là trung điểm của
AE
,
N
là trung điểm
của
BC
. Chứng minh
MN
vuông góc với
BD
và tính (theo
a
) khoảng cách giữa hai đường
thẳng

MN
và
AC
.
Bài 16. [ĐHD07] Cho hình chóp tứ giác
S.ABCD
có đáy là hình thang, trong đó
·
·
ABC BAD 90= =
o
,
BA BC a= =
,
AD 2a=
. Giả sử
SA
vuông góc với đáy và
SA a 2=
.
Chứng minh
SCD
là tam giác vuông và tính (theo
a
) khoảng cách từ
H
đến mặt phẳng
( )
SCD
.

Lời giải.
Theo giả thiết:
SA mp(ABCD)⊥
, lại có
CD mp(ABCD)⊂
. Do đó
CD SA⊥
(1).
Lấy
M
là trung điểm của
AD
. Dễ thấy tứ giác
ABCM
là
hình vuông
AD
2
CM AB a⇒ = = =
⇒

ACM
∆
vuông tại
C
, nói cách khác:
CD AC
⊥
(2).
Từ (1) (2) suy ra

CD mp(SAC)⊥
, lại có
SC mp(SAC)⊂
. Do đó:
CD SC
⊥
(ĐPCM).
Bài 17. [ĐHA08] Cho lăng trụ
ABC.A'B'C'
có độ dài các cạnh bên bằng
2a
, đáy
ABC
là tam giác vuông tại
A
,
AB a=
,
AC a 3=
và hình chiếu vuông góc của đỉnh
A'
lên mặt
phẳng
( )
ABC
là trung điểm của
BC
. Tính theo
a
thể tích khối chóp

A'.ABC
và tính
cosin
của góc giữa hai đường thẳng
AA'
và
B'C'
.
Bài 18. [ĐHB08] Cho hình chóp
S.ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
2a
,
SA a
=
,
SB a 3=
và mặt phẳng
( )
SAB
vuông góc với đáy. Gọi
M
,
N
lần lượt là trung điểm của
12
AB
,

BC
. Tính theo
a
thể tích khối chóp
S.BMDN
và tính
cosin
của góc giữa hai đường
thẳng
SM
và
DN
.
Bài 19. [ĐHD08] Cho lăng trụ đứng
ABC.A'B'C'
có đáy
ABC
là tam giác vuông,
AB BC a= =
, cạnh bên
AA' a 2=
. Gọi
M
là trung điểm của
BC
. Tính theo
a
thể tích
của khối lăng trụ
ABC.A'B'C'

và khoảng cách giữa hai đường thẳng
AM
và
B'C
.
Bài 20. [ĐHA09] Cho hình chóp
S.ABCD
có đáy là hình thang vuông tại
A
và
D
,
AB AD 2a
= =
,
CD a
=
, góc giữa hai mặt phẳng
( )
SBC
và
( )
ABCD
bằng
60
o
. Gọi
I
là
trung điểm của cạnh

AD
. Biết hai mặt phẳng
( )
SBI
và
( )
SCI
cùng vuông góc với mặt
phẳng
( )
ABCD
. Tính thể tích khối chóp
S.ABCD
theo
a
.
Bài 21. [ĐHB09] Cho hình lăng trụ tam giác
ABC.A'B'C'
có
BB' a=
, góc giữa đường
thẳng
BB'
và mặt phẳng
( )
ABC
bằng
60
o
; tam giác

ABC
vuông tại
C
và
·
BAC 60=
o
.
Hình chiếu vuông góc của điểm
B'
lên mặt phẳng
( )
ABC
trùng với trọng tâm của tam giác
ABC
. Tính thể tích khối tứ diện
A'ABC
theo
a
. ĐS:
3
9a
208
.
Bài 22. [ĐHD09] Cho hình lăng trụ đứng
ABC.A'B'C'
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại
B

,
AB a
=
,
AA' 2a
=
,
A'C 3a
=
. Gọi
M
là trung điểm của
A'C'
,
I
là giao điểm của
AM
và
A'C
. Tính theo
a
thể tích khối tứ diện
IABC
và khoảng cách từ
A
đến mặt
phẳng
( )
IBC
. ĐS:

3
4a
9
,
2a 5
5
.
Bài 23. [ĐHA10] Cho hình chóp
S.ABCD
có đáy là hình vuông cạnh
a
. Gọi
M
và
N
lần
lượt là trung điểm của các cạnh
AB
và
AD
;
H
là giao điểm của
CN
với
DM
. Biết
SH
vuông góc với mặt phẳng
( )

ABCD
và
SH a 3=
.Tính thể tích khối chóp
S.CDMN
và tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng
DM
và
SC
theo
a
.
Bài 24. [ĐHB10] Cho lăng trụ tam giác đều
ABC.A'B'C'
có
AB a
=
, góc giữa hai mặt
phẳng
( )
A'BC
và
( )
ABC
bằng
60
o
. Gọi
G

là trọng tâm tam giác
A'BC
. Tính thể tích
khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
GABC
theo
a
.
13
Bài 25. [ĐHD10] Cho hình chóp
S.ABCD
có đáy là hình vuông cạnh
a
, cạnh bên
SA a
=
;
hình chiếu vuông góc của đỉnh
S
lên mặt phẳng
( )
ABCD
là điểm
H
thuộc đoạn
AC
,
AC
4
AH =

. Gọi
CM
là đường cao của tam giác
SAC
. Chứng minh
M
là trung điểm của
SA
và tính thể tích khối tứ diện
SMBC
theo
a
.
Bài 26. [ĐHA11] Cho hình chóp
S.ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông cân tại
B
,
AB BC 2a= =
; hai mặt phẳng
( )
SAB
và
( )
SAC
cùng vuông góc với mặt phẳng
( )
ABC

.
Gọi
M
là trung điểm của
AB
; mặt phẳng qua
SM
song song với
BC
, cắt
AC
tại
N
. Biết
góc giữa hai mặ phẳng
( )
SAB
và
( )
ABC
bẳng
60
o
. Tính thể tích khối chóp
S.BCMN
và
khoảng cách giữa hai đường thẳng
AB
và
SN

theo
a
.
Bài 27. [ĐHB11] Cho lăng trụ ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
có đáy ABCD là hình chữ nhật. AB=a,
AD a 3=
. Hình chiếu vuông góc của điểm A
1
trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm
AC và BD. Góc giữa hai mặt phẳng (ADD
1
A
1
) và (ABCD) bằng 60
0
. Tính thể tích khối lăng
trụ đã cho và khoảng cách từ điểm B
1
đến mặt phẳng (A
1
BD) theo a.
Lời giải.
Bài 28. [ĐHD11] Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA=3a,

BC=4a; mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết
SB 2a 3=
và
·
SBC 30
o
=
.
Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a.
14