Ôn Thi Đại Học Phần Lượng Giác

Chuyên Đề: Phương Trình Lượng Giác Giáo Viên: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ Trang 1
TÓM TẮT CÔNG THỨC
A. Công Thức Cơ Bản:
1.
2 2
2 2
2 2
sin 1 cos
sin cos 1
cos 1 sin
x x
x x
x x

 

  

 


2.
sin tan .cos
sin
tan
sin
cos
cos
tan
x x x

x
x
x
x
x
x



 





Điều kiện có nghĩa của
tan x
là
cos 0
x

hay
,
2
x k k

   
hay
\ ,
2

D k k

 
   
 
 
 

3.
cos sin .cot
cos
cot
cos
sin
sin
cot
x x x
x
x
x
x
x
x



 






Điều kiện có nghĩa của
cot x
là
sin 0x 
hay
,x k k
  
hay
 
\ ,D k k
   

4.
tan .cot 1
x x

điều kiện
,
2
x k k

 

5.
2
2
1
1 tan

cos
x
x
 
điều kiện
,
2
x k k

   

6.
2
2
1
1 cot
sin
x
x
 
điều kiện
,x k k
  

B. Công Thức Lượng Giác:
1. Công thức cộng:
 
cos cos .cos sin .sinx y x y x y
  

 
 
cos cos ( ) cos .cos sin .sinx y x y x y x y
     

 
sin sin .cos cos .sinx y x y x y
  

 
 
sin sin ( ) sin .cos cos .sinx y x y x y x y
     

 
tan tan
tan
1 tan .tan
x y
x y
x y

 


 
 
tan tan
tan tan ( )
1 tan .tan

x y
x y x y
x y

    


2. Công thức nhân đôi:
2
2 2 2 2 2
2
1 cos 2
cos
2
1 cos2
cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin tan
1 cos 2
1 cos 2
sin
2
x
x
x
x x x x x x
x
x
x







        








sin 2 2sin .cosx x x


2
2tan
tan 2
1 tan
x
x
x



Nhận xét: Từ công thức cộng ta thay y bởi x ta sẽ được công thức nhân đôi.
3. Công thức nhân ba:
3
cos3 cos(2 ) 4cos 3cosx x x x x
   

3
sin3 sin(2 ) 3sin 4sinx x x x x
   

4. Công thức biến đổi:
a. Tích thành tổng:
Chuyên Đề: Phương Trình Lượng Giác Giáo Viên: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ Trang 2
   
1
cos .cos cos cos
2
x y x y x y     
 

   
1
sin .sin cos cos
2
x y x y x y      
 

   
1
sin .cos sin sin
2
x y x y x y     
 

   
1
cos .sin sin sin
2
x y x y x y     
 

Nhận xét: Từ các công thức cộng ta cộng vế theo vế các đẳng thức phù hợp sẽ suy ra được
công thức biến đổi tích thành tổng.
b. Tổng thành tích:
cos cos 2cos .cos
2 2
    
   

cos cos 2sin .sin
2 2
    
    

sin sin 2sin .cos
2 2
    
   

sin sin 2cos .sin
2 2
    
   

Nhận xét: Từ công thức biến đổi tích thành tổng bằng cách đặt
2
2
x
x y
x y
y
 



  



 
    





ta sẽ
được công thức biến đổi tổng thành tích.
MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƠN GIẢN
1. Phương trình lượng giác cơ bản:
2
sin sin ;
2
u v k

u v k
u v k
  

  

    



cos cos 2 ;u v u v k k
      

tan tan ; ;
2
u k
u v l k
u v l


  

  


  



cot cot ; ,

u k
u v l k
u v l
 

  

  



Đặc biệt:
sin u 0 u k   

cosu 0 u k
2

    

sin u 1 u k2
2

    

sin u 1 u k2
2

      

cosu 1 u k2   

cosu 1 u k2      

Chú ý:
sin u 0 cosu 1   

cosu 0 sin u 1   

2. Phương trình bậc hai với các hàm số lượng giác:
2
sin sin 0; 0 (1)
a u b u c a   

2
cos cos 0; 0 (2)
a u b u c a   

2
tan tan 0; 0 (3)
a u b u c a   

2
cot cot 0; 0 (4)
a u b u c a   

Cách giải:
Đặt
t sin u
;
t cosu

với
1 t 1  
hoặc đặt
t tan u
(điều kiện
u k
2

  
); (điều kiện
u k 
)
Các phương trình trên trở thành:
2
at bt c 0  

Giải phương trình tìm được t, (so với điều kiện để nhận nghiệm t).
Từ đó giải phương trình lượng giác cơ bản tìm được x.
3. Phương trình đẳng cấp:
 Đẳng cấp bậc 2:
2 2
sin sin cos cos 0a x b x x c x  

 Đẳng cấp bậc 3:
3 2 2 3
sin sin cos sin cos cos 0a x b x x c x x d x   

Chuyên Đề: Phương Trình Lượng Giác Giáo Viên: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ Trang 3
 Đẳng cấp bậc n:

0
sin cos 0
n
n k k
k
k
a x x





Cách giải: gồm có 2 bước:
 Bước 1: Kiểm tra
cos 0( sin 1)
x x
   
có phải là nghiệm của phương trình. Nếu
có thì phương trình có nghiệm
,
2
x k k

   
.
 Bước 2: Xét
cos 0x 
và chia hai vế cho
cos
n

x
ta được 1 phương trình bậc n theo
tant x
; giải phương trình theo t từ đó suy ra nghiệm x.
Lưu ý: Nghiệm của phương trình là hợp nghiệm của bước 1 và bước 2.
4. Phương trình bậc nhất đối với
sin x
và
cosx

Dạng
sin cos ; 0, 0 (1)
a x b x c a b
   

Cách giải: Chia 2 vế của phương trình (1) cho
2 2
a b

2 2 2 2 2 2
(1) sin cos
a b c
x x
a b a b a b
  
  

2 2
sin( )
c

x
a b
   

với
2 2 2 2
cos ;sin
a b
a b a b
   
 

Nếu
2 2 2
2 2
c
1 a b c ptvn
a b
    


Nếu
2 2 2
2 2
c
1 a b c
a b
   

đặt

2 2
c
sin
a b
 


Khi đó ta có phương trình cơ bản:
sin( ) sin
x
   

Lưu ý: Đối với các phương trình dạng này trước khi giải cần phải kiểm tra điều kiện có
nghiệm của phương trình
2 2 2
a b c 
.
5. Phương trình đối xứng đối với
sin x
và
cosx
.
Dạng
(sin cos ) .sin .cos 0
a x x b x x c
   

Cách giải: Đặt
sin cos 2 sin 2 cos
4 4

t x x x x
 
   
     
   
   
; Điều kiện:
t 2


Khi đó:
2
1
sin .cos
2
t
x x



Phương trình trở thành:
2
t 1
a.t b. c 0
2

  

Giải phương trình bậc hai theo t và chọn
0

t
thích hợp, ta chuyển về phương trình:
0
sin cos 2 sin
4
x x x t

 
   
 
 

Lưu ý: đối với phương trình:
(sin cos ) .sin .cos 0
a x x b x x c
   

Ta cũng giải tương tự bằng cách đặt:
sin cos 2 sin 2 cos
4 4
t x x x x
 
   
      
   
   

Chuyên Đề: Phương Trình Lượng Giác Giáo Viên: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ Trang 4
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

I. Sử dụng phương pháp biến đổi để chuyển về phương trình lượng giác đơn giản:
Chúng ta cần nắm vững các công thức biến đổi lượng giác như: công thức cộng, công
thức nhân đôi, công thức biến đổi tổng thành tích, công thức biến đổi tích thành tổng
ngoài ra còn có thể sử dụng thêm một số công thức như:

sin cos 2 sin 2 cos
4 4
x x x x
 
   
    
   
   


sin cos 2 sin 2 cos
4 4
x x x x
 
   
     
   
   


3sin cos 2sin 2cos
6 3
x x x x
 
   

    
   
   


3sin cos 2sin 2cos
6 3
x x x x
 
   
     
   
   

Ví dụ: Giải phương trình:
2
( 2013) sin5x 2cos 1B x 

sin 5 cos2 0 sin5 cos 2 sin(2x )
2
pt x x x x

       

2 2
6 3 14 7
x k x k
   
       

II. Sử dụng công thức biển đổi phương trình về dạng tích:
Để đưa phương trình về dạng tích điều quan trọng nhất là làm sao để phát hiện ra nhân
tử chung nhanh nhất. Sau đây là một số công thức biến đổi có thể giúp chúng ta làm
được điều đó:

2
cos (1 sin )(1 sin )x x x
  

2
sin (1 cos )(1 cos )x x x
  


2
1 sin 2 (sin cos )x x x
  

2
1 sin 2 (sin cos )x x x
  


sin cos
1 tan
cos
x x
x
x


 

cos2 (cos sin )(cos sin )x x x x x  


2 sin sin cos
4
x x x

 
  
 
 

2 sin sin cos
4
x x x

 
  
 
 


1 cos2 sin 2 2cos (cos sin )x x x x x   

1 cos2 sin 2 2sin (cos sin )x x x x x   

Lưu ý: Khi nhóm các số hạng chứa sin (hoặc côsin) của các góc với nhau, cần để ý đến những

góc sao cho tổng hoặc hiệu các góc đó bằng nhau để làm xuất hiện nhân tử chung.
Ngoài ra ta có thể sử sụng MTBT Casio fx 570 ES để nhẩm nghiệm của phương trình.
Ta có thể thực hiện theo một trong hai cách sau:
Cách 1: Dùng chức năng
CALC

 Chuyển phương trình về dạng
( ) 0
f x

.
 Nhập vào máy hàm số
( )f x
. Nhấn phím
CALC
, máy hỏi
?X
, ta nhập vào
6



Để thực với các giá trị khác ta tiếp tục nhấn phím
CALC
.
 Nếu ta tìm được một nghiệm thì ta nên thực hiện thử với các giá trị đặc biệt
tương ứng liên kết với nghiệm này.
 Ta cần chú ý màn hình đang ở chế độ theo đơn vị độ hay radian để nhập vào các
giá trị thử phù hợp.
Chuyên Đề: Phương Trình Lượng Giác Giáo Viên: Lê Hữu Hòa

Lưu Hành Nội Bộ Trang 5
Ví dụ: Giả sử ta tìm được 1 nghiệm
6
x


thì ta nên thử với giá trị đối của nó
6
x

 

nếu thỏa mãn thì ta có
3
cos
2
x 
là nghiệm hay phương trình đưa về dạng tích có một
thừa số là:
(2cos 3)
x 
hoặc với giá trị bù của nó là
5
6
x


, nếu thỏa mãn thì ta có
1
sin

2
x

là nghiệm hay phương trình đưa về dạng tích có một thừa số là:
(2sin 1)
x


hoặc thử với một giá trị hơn (kém) nó

, tức là
7
6
x


nếu thỏa mãn thì ta có
3
tan
3
x 
là nghiệm hay phương trình đưa về dạng tích có 1 thừa số là:
( 3 tan 1)
x

.
Cách 2: Dùng chức năng
SLOVE

 Chuyển phương trình về dạng

( ) 0
f x

.
 Nhập vào máy hàm số
( )f x
. Nhấn phím
SLOVE
, máy hỏi
?X
, ta nhập vào giá trị ta
dự đoán là nghiệm. Tiếp tục nhấn
SLOVE
để kiểm tra nghiệm khác.
 Khi sử dụng theo cách này ta nên để màn hình ở chế độ theo đơn vị độ.
Ví dụ: Giải phương trình:
(1 cos )cot cos 2 sin sin 2x x x x x   

Định hướng:
Ý tưởng thông dụng nhất khi giải phương trình lượng giác nói chung là phân tích thành nhân
tử. Tuy nhiên, việc phân tích nhân tử có yếu tố lượng giác là không đơn giản như ở phương
trình đại số thông thường (có thể dùng máy tính đoán nghiệm). Với phương trình lượng giác ta
cũng có thể phân tích nhân tử thông qua việc đoán nghiệm với 1 vài bí quyết nho nhỏ.
Việc đoán nghiệm bằng máy tính để phân tích nhân tử trong phương trình lượng giác thường
làm theo một số bước cơ bản sau:
 Thử với các giá trị thông dụng:
2 3 5 2
0; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;
2 3 3 4 4 6 6 2 3 3
         


  

 Phân tích các nghiệm đoán được vào các họ nghiệm cơ bản.
Ví dụ:
3 3
; ; ;
4 4 4 4
   
 
có họ nghiệm
4 2
k
 

;
2

có họ nghiệm
2
2
k




 Đoán nhân tử chung: biến đổi tương đương để đưa về nhân tử chung.
Một số nhân tử chung thông dụng:

tan 1 0 sin cos 0

4
x k x x x


       


tan 1 0 sin cos 0
4
x k x x x


        


sin 0x k x

  


cos 0
2
x k x


   


1
2 cos 0 2cos 1 0

3 2
x k x x


        


2 1
2 cos 0 2cos 1 0
3 2
x k x x


        

Chuyên Đề: Phương Trình Lượng Giác Giáo Viên: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ Trang 6

2
1
6
sin 0 2sin 1 0
5
2
2
6
x k
x x
x k






 

     


 




2
1
6
sin 0 2sin 1 0
7
2
2
6
x k
x x
x k






  

     


 




2 sin 1 0
2
x k x


    


2 sin 1 0
2
x k x


     


2 cos 1 0x k x

   


2 cos 1 0x k x
 
    

Điều kiện:
sin 0x 

(1 cos )cos
cos2 sin 2sin cos
sin
x x
pt x x x x
x

   

2 2 2
cos cos cos2 sin sin 2sin cos cos2 (cos sin 1) 0
x x x x x x x x x x
        

cos2 0
4 2
cos sin 1 0
2 2
2
x k
x
x x

x k x k
 

 

 



 


  


   



Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của phương trình:
; 2
4 2 2
x k x k
  

   


III. Phương trình chứa ẩn ở mẫu:
Lưu ý:

 Khi giải các phương trình lượng giác có chứa
tan u,cot u
, có ẩn ở mẫu, hay chứa căn
bậc chẵn… ta phải đặt điều kiện để phương trình xác định. Ta sẽ dùng các cách sau đây
để kiểm tra điều kiện xem có nhận nghiệm hay không:
 Thay các giá trị x tìm được vào điều kiện thử lại xem có thỏa mãn;
 So với các điều kiện trong quá trình giải;
 Biểu diễn các ngọn cung điều kiện và các ngọn cung tìm được trên cùng một đường tròn
lượng giác. Ta sẽ loại bỏ ngọn cung của nghiệm khi có trùng với ngọn cung của điều
kiện.
 Khi gặp phương trình lượng giác có dạng
(tan ,cot ,sin 2 ,cos2 .tan 2 )R x x x x x
với R là
hàm hữu tỷ thì đặt
tant x
. Khi đó:
2
2 2 2
2 2 1
tan 2 ;sin 2 ;cos2
1 1 1
t t t
x x x
t t t

  
  
.
Với loại phương trình này khi giải nếu không cẩn thận rất dễ dẫn đến lấy thừa hoặc
thiếu nghiệm. Điều quan trọng đầu tiên để giải phương trình dạng này là đặt điều kiện

và kiểm tra điều kiện xác định. Ta có thể dùng các phương pháp sau để loại nghiệm:
 Thay các giá trị x tìm được vào điều kiện thử lại xem có thỏa mãn;
 So sánh với các điều kiện trong quá trình giải;
 Biểu diễn các ngọn cung điều kiện và các ngọn cung tìm được trên cùng một đường tròn
lượng giác. Ta sẽ loại bỏ ngọn cung của nghiệm khi có trùng với ngọn cung điều kiện.
Chuyên Đề: Phương Trình Lượng Giác Giáo Viên: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ Trang 7
Ngoài ra ta cũng gặp nhiều phương trình chứa tan, cot, khi đó có thể sử dụng các công
thức biến đổi sau:

sin( )
tan tan
cos .cos
a b
a b
a b

 

sin( )
cot cot
sin .sin
b a
a b
a b

 


cos( )

tan cot
cos .sin
a b
a b
a b

 

cos( )
tan cot
cos .sin
a b
a b
a b
 
 


2
tan cot
sin 2
a a
a
 

tan cot 2cot 2a a a  


cos( )
1 tan .tan

cos .cos
a b
a b
a b

 

cos( )
1 tan .tan
cos .cos
a b
a b
a b
 
 

Cần lưu ý đến điều kiện xác định của từng công thức.
Ví dụ: Giải phương trình lượng giác:
2sin .sin 2 11cos cot
2
cot 3sin 2
x x x x
x x
 



Định hướng:
Khi đánh giá qua phương trình này ta thấy nó không quá phức tạp, chỉ chứa hàm sin, cos và cot
ở dạng đơn giản. Đầu tiên ta có:

cos
cot
sin
x
x
x

,
sin 2 2sin cosx x x
thì thấy ngay cả tử và mẫu
đều xuất hiện nhân tử là
cos x
.
Tiếp theo, sau khi rút gọn
cos x
cho tử và mẫu thì ta còn lại phương trình theo 1 ẩn
sin x
.
Giải:
Điều kiện:
sin 0
sin 0
sin 0
cos 0 (*)
1
cos 6sin 0
cot 3sin 2 0
1
sin
sin

6
x
x
x
x
x x
x x
x
x








 
  
  
 
 
 

 
 
 


 




cos
2sin .2sin cos 11cos
sin
2
cos
3.2sin cos
sin
x
x x x x
x
pt
x
x x
x
 
 

1
2sin .2sin 11
sin
2
1
3.2sin
sin
x x
x
x

x
 
 

(do
cos 0x 
)
3 2
4sin 12sin 11sin 3 0 (2sin 1)(2sin 3)(sin 1) 0
x x x x x x
         

1
sin
2
x
 
(do
1 sin 1x  
và
cos 0 sin 1x x   
)
5
2 2
6 6
x k x k
 
 
     

BÀI TẬP
1. Giải các phương trình lượng giác sau:
1) (3 cos2 )cos (3 2cos )sin cos
2 2 2
x x x
x x


   

Định hướng:
Thoạt nhìn phương trình thì chúng ta thấy có vẻ hơi bị “mất phương hương”. Thế nhưng hãy
chú ý đến sự “rườm rà” hình thức của nó, đó là số hạng
cos
2
x


. Tại sao là không để hình
thức nó là
sin
2
x
luôn mà phải để
cos
2
x



? Và tại sao bên vế trái đã có
sin
2
x
rồi mà bên vế
phải cũng có lượng này? Rõ ràng là tác giả có “ngụ ý” bảo ta nên rút gọn phương trình thành:
(3 cos2 )cos (2 2cos )sin 0
2 2
x x
x x
   
.
Chuyên Đề: Phương Trình Lượng Giác Giáo Viên: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ Trang 8
Đến đây, các dấu ngoặc cũng như các nhân tử bên ngoài là
sin
2
x
,
cos
2
x
sẽ làm ta bị “hút” theo
cách đặt
tan
2
x
t 
(cần điều kiện). Thế nhưng cách đặt đó không khả quan lắm, bởi khi đó sẽ
quy về phương trình ẩn t rất phức tạp (phương trình lượng giác thường không phức tạp đến

mức này).vậy hướng giải quyết tiếp theo sẽ như thế nào? Do chúng ta thường hay chú ý đến
biến đổi
2
1 sin (sin cos )
2 2
x x
x  
mà ít để ý đến biến đổi dùng công thức nhân đôi:
2
1 cos 1 cos 2 2cos
2 2
x x
x
 
   
 
 
, chính điều này là mấu chốt của bài toán.
Giải:
2 2
pt (3 cos2 )cos (2 2cos )sin 0 (4 2sin )cos 2.2cos .
sin 0
2 2 2 2 2
x x x x x
x x x
        

2 2
cos ( sin sin 2) 0 cos 0 sin sin 2 0
2 2

x x
x x x x
           

2
2
x k x k

  
      

2) cos2 sin 2 cos (1 sin )tan 0
x x x x x
    

Định hướng:
Phương trình ở dạng khá thuần, ta biến đổi
sin
tan
cos
x
x
x

và quy đồng lên thì ta được ngay
dạng phương trình quen thuộc với hướng giải là phân tích nhân tử chung:
cos (cos2 sin 2 cos ) (1 sin )sin 0 (*)
x x x x x x
    

Đến đây dùng máy tính để thử nghiệm thì thấy rằng (*) có các nghiệm là:
3
0; ; ;
4 4 2
  
 
(sau
khi quy đồng ta mới thử nghiệm, chứ không phải thử nghiệm trước khi quy đồng. bởi vì thử
nghiệm trước khi quy đồng thì có thể làm mất đi một số nghiệm của phương trình, từ đó làm
mất đi sự đánh giá khách quan về nhân tử chung của phương trình đó).
Để ý nhất là cặp nghiệm đối nhau (ta ưu tiên xét trường hợp đối nhau, bù nhau, hơn kém
2


trước), ta nhận xét
4


là nghiệm của phương trình:
1
cos 0
2
x
 
; còn
3
4


là nghiệm của

phương trình:
1
cos 0
2
x
 
. Dự đoán rằng
1
cos
2
x 
và
1
cos
2
x 
đều là nghiệm của
phương trình. Suy ra nhân tử chung của phương trình có thể là:
2
1 1 1 cos 2
cos cos cos
2 2
2 2
x
x x x
  
    
  
  

Vậy ta đi theo hướng tách nhân tử chung:
2 2 2 2
cos2 cos sin 2cos 1 1 2sinx x x x x
     

Giải:
Điều kiện:
cos 0x 

pt cos (cos2 sin 2 cos ) (1 sin )sin 0
x x x x x x
     

2 2 2
cos2 .cos sin (2cos 1) (cos sin ) 0 cos 2 (cos sin 1) 0
x x x x x x x x x
         

Chuyên Đề: Phương Trình Lượng Giác Giáo Viên: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ Trang 9
cos2 0
4 2
cos sin 1
2 2
2
x k
x
x x
x k x k
 


 

 



 


 


   



Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của phương trình:
; 2
4 2
x k x k
 

  
.
3) (cos2 sin 1)tan( ) tan( ) 1
3 6
x x x x
 
    

Định hướng:
Tư tưởng của bài toán là “xấu xấu” thành “đẹp”. Xấu là những biểu thức có cung xấu, cồng
kềnh. Ta cần thay nó bằng biểu thức đẹp hơn, gọn hơn. Đây là bước đầu tiên, sau khi “đẹp” rồi
các bạn rất dễ xử lý.
Nhận thấy
tan( ) tan( )
3 6
x x
 
 
có các cung
3
x


và
6
x


đều “xấu”. ta sẽ biến đổi nó
thành cung đẹp hơn hoặc biểu thức gọn (“đẹp”) hơn. Việc này có nhiều cách để thực hiện
chẳng hạn dùng công thức tan tổng, tan hiệu,… nhưng cách hay nhất là để ý:
( )
6 3 2
x x
  
   
và

1
tan cot( )
2
tan( )
2
x x
x


    


Giải:
Điều kiện:
cos( ) 0
3
3 2
cos( ) 0
6
x
x k
x

 


 


  



 



cos2 sin 1 1 cos2 sin 2
2 6 3
pt x x x x x k x k
  

             

Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của phương trình:
2 ; 2
2 6
x k x k
 
 
    

2
4) (2cos 1)(sin 2 2sin 2) 4cos 1x x x x    

Định hướng:
Chỉ cần dùng hằng đẳng thức thì thấy ngay
2
4cos 1 (2cos 1)(2cos 1)
x x x
   

là thấy ngay
được nhân tử chung
(2cos 1)
x

. Việc còn lại là xử phương trình:
sin 2 2sin 2 2cos 1 sin 2 2sin 2cos 1 0 (*)
x x x x x x
        

Phương trình (*) chỉ có 4 số hạng nên chẳng cần máy tính để nhẩm nghiệm hay thử nghiệm
làm gì cả, chỉ cần thử nhóm vài số hạng với nhau là được. Lưu ý rằng:
2 2 2
1 sin 2 sin cos 2sin .cos (sin cos )x x x x x x x
     

Giải:
(2cos 1)(sin 2x 2sinx 2) (2cosx 1)(2cosx 1)
pt x
      

(2cos 1)(sin 2 2sin 2cos 1) 0 (2cos 1)(cosx sinx)
(2 (sinx cosx)) 0
x x x x x
           

2
1 1
2
cos cos

3
2 2
sin cos tan 1
4
x k
x x
x x x
x k





  
 

   
 
  

 

 
 
 




Chuyên Đề: Phương Trình Lượng Giác Giáo Viên: Lê Hữu Hòa

Lưu Hành Nội Bộ Trang 10
2
17
5) sin(2 ) 16 2 3.sin cos 20sin ( )
2 2 12
x
x x x
 
    

*Biến đổi phương trình đã cho tương đương với
os2 3 sin 2 10 os( ) 6 0
6
c x x c x

    

os(2 ) 5 os( ) 3 0
3 6
c x c x
 
     

2
2 os ( ) 5 os( ) 2 0
6 6
c x c x
 
     
.Giải được

1
os( )
6 2
c x

  
và
os( ) 2
6
c x

  
(loại)
*Giải
1
os( )
6 2
c x

  
được nghiệm
2
2
x k


 
và
5
2

6
x k


  

2 2
6) 1 sin sin cos sin 2cos
2 2 4 2
x x x
x x

 
   
 
 

)1(
24
cos2sin
2
cossin
2
sin1
22








x
x
x
x
x


 
xsin1x
2
cos1xsin
2
x
cosxsin
2
x
sin11
2











01
2
x
cos
2
x
sin2.
2
x
cos
2
x
sinxsin01xsin
2
x
cos
2
x
sinxsin 

















01
2
x
sin2
2
x
sin21
2
x
sinxsin
2

















2
sin 0,sin 1,2sin 2sin 1 0
2 2 2
x x x
x
    


, 2
4
2 2
x k
x
x k k x k
x k


  
 


      

 


3 3
sin .sin3 cos cos3 1
7)
8
tan tan
6 3
x x x x
x x
 

 
   
 
   
   

Điều kiện:
0
3
xcos
6
xcos
3
xsin
6
xsin 


































Ta có

1x
6
cot
6
xtan
3
xtan
6
xtan 


































Phương trình đã cho tương đương với
8
1
x3cosxcosx3sin.xsin
33


1 cos2x cos2x cos 4x 1 cos 2x cos2x cos 4x 1
2 2 2 2 8
   
    

2
1
x2cos
8
1
x2cos

2
1
)x4cosx2cosx2(cos2
3















k
6
x
(lo¹i)
k
6
x
,
(k )
. Vậy phương trình có nghiệm



 k
6
x
,
(k )

8) os2 2sin 1 2sin cos 2 0
c x x x x
   

        
1 os2 1 2sin 1 2sin 0 os2 1 1 2sin 0
c x x x c x x
        

Khi cos2x=1<=>
x k


,
k Z

Khi
1
sinx
2


2

6
x k


 
hoặc
5
2
6
x k


 
,
k Z


Chuyên Đề: Phương Trình Lượng Giác Giáo Viên: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ Trang 11
1 2sin 2sin 2 2cos
9) cos2 3(1 cos )
2sin 1
x x x
x x
x
  
  

(Chuyên Vĩnh Phúc L2/14)
Điều kiện:

1
sin
2
x


(1 2sin )(1 2cos )
cos2 3(1 cos )
2sin 1
x x
pt x x
x
 
   


2
3
2cos (2 3)cos 3 0 cos 1 cos
2
x x x x         
2 2
6
x k x k

  
      

Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của phương trình:
2 2

6
x k x k

  
      

3
2cos sin 2 1
4 4
10) 2cos
sin
x x
x
x
 
   
  
   
   

(GSTT L3/14)
Điều kiện:
sin 0x 

2
3
2cos sin 2 1 2cos sin
4 4
(cos sin )(sin 2 cos2 ) 1 2sin cos (sin cos )
pt x x x x

x x x x x x x x
 
   
    
   
   
      

sin cos 0
sin cos 0
sin 2 sin
sin 2 cos2 sin cos
4 4
x x
x x
x x
x x x x
 
 

 


 
   


  
  


   

   


3 2
2
4 2 3
x k x k x k
  
 
        

Kết hợp với điều kiện ta được:
3 2
2 2
4 2 3
x k x k x k
  
  
          

2. Giải các phương trình lượng giác sau:
1) sin3 (1 cos )cos2 (sin 2cos )sin 2x x x x x x   
(Chuyên ĐH Vinh L3/13)
sin 3 cos2 cos cos2 sin .sin 2 2cos .sin 2
sin3 cos2 (cos cos 2 sin .sin 2 ) sin3 sin
cos2 cos sin (cos sin )(cos sin 1) 0
pt x x x x x x x x
x x x x x x x x

x x x x x x x
    
     
       


cos sin 0 tan 1
4
x x x x k

         


1
cos sin 1 0 cos( ) 2 2
4 2
2
x x x x k x k
 
             

Vậy nghiệm của phương trình là:
2 , 2 , 2
4 2
x k x k x k
 
         

2
2) 3(2cos cos 2) sin (3 2cos ) 0

x x x x
    
(Chuyên Vĩnh Phúc L1BD/13)
2
2 3 cos 3 cos 2 3 3sin 2sin cos 0
3sin ( 3 2sin 3 ) cos ( 3 2sin ) 0 ( 3 2sin )( 3sin cos ) 0
3 1 2
sin tan 2 2
2 3 3 6
3
pt x x x x x
x x x x x x x
x x x k x k x k
  
  
     
        
              

4 2 4
3) 3sin 2cos 3 cos3 3cos cos 1x x x x x    
(Chuyên Vĩnh Phúc L2AB/13)
4 4 2
3(sin cos ) (2cos 3 1) (cos3 cos ) 0 3cos2 cos6 2cos
2 cos 0
pt x x x x x x x x x
           

Chuyên Đề: Phương Trình Lượng Giác Giáo Viên: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ Trang 12

2 2
(cos6 cos2 ) (2cos 2 cos 2cos2 ) 0 2sin 4 sin 2 2cos2
(cos 1) 0
2cos2 ( 2sin 2 cos 1) 0 cos 2 0 2sin 2 cos 1 0
x x x x x x x x x
x x x x x x
         
           


cos2 0
4 2
x x k
 
   


2
2 2
1 cos 2 0
2sin 2 cos 1 0 2(1 cos 2 ) (1 cos ) 0
1 cos 0
x
x x x x
x

 
         

 


(vì
2
1 cos 2 0
x
 

và
1 cos 0
x
 
)
2 2 2 2
(2cos 1) 1 cos 0 cos 1
cos 1 2
cos 1 cos 1
x x x
x x k
x x

 
    
     
 
 
 

Vậy nghiệm của phương trình:
; 2
4 2

x k x k
 

  

2 2
4) 2cos 2 3cos 4 4cos 1
4
x x x

 
   
 
 
(Chuyên Vĩnh Phúc L2D/13)
1 cos 4 3 cos4 2(1 cos 2 ) 1 3cos 4 sin 4 2cos2
2
pt x x x x x x

 
         
 
 

cos 4 cos2
6 12 36 3
x x x k x k
   

 

        
 
 

2
5) sin .sin 4 2 2 cos 4 3 cos .sin .cos 2
6
x x x x x x

 
  
 
 
(SGD Vĩnh Phúc L1B/13)
 
sin .sin 4 2 2 cos 3 cos .sin 4 sin 4 sin 3 cos 2 2 cos
6 6
pt x x x x x x x x x
 
   
       
   
   

2
cos 0 sin 4 2
6 3
x x x k
 


 
       
 
 

3 3 5 5
6) sin cos 2(sin cos )x x x x
  

3 3 2 2 5 5 3 3
(sin cos )(sin cos ) 2(sin cos ) cos2 (sin cos ) 0
pt x x x x x x x x x
       

ĐS:
4 2
x k
 
 

2
7) 2cos3 .cos 3(1 sin 2 ) 2 3 cos (2 )
4
x x x x

   

cos4 cos2 3(1 sin 2 ) 3 1 cos(4 )
2
cos4 3sin 4 cos 2 3 sin 2 0

pt x x x x
x x x x

 
      
 
 
    

sin(4 ) sin(2 ) 0 2sin(3 ).cos 0
6 6 6 18 3 2
x x x x x k x k
     

              

Vậy PT có hai nghiệm
2
x k


 
và
18 3
x k
 
  
.
1 1 3
8) 4cos

3
cos 4
cos
2
x
x
x

 
  
 

 
 

 
 
(Chuyên Ngoại Ngữ/2013)
1 1
4sin (1)
cos sin 4
pt x
x x

 
    
 
 

Điều kiện:

sin 0
sin 2 0
cos 0
x
x
x


 




Chuyên Đề: Phương Trình Lượng Giác Giáo Viên: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ Trang 13
sin cos
(1) 4sin sin cos 4sin sin .cos
sin .cos 4 4
2
2 sin 4sin sin .cos sin 0 sin 2
4 4 4 2
x x
x x x x x x
x x
x x x x x x
  
   
        
   
   

  
     
          
     
     

5
4 8 8
x k x k x k
  
             

2
2cos 2 3 sin .cos 1
9) 3 cos sin
2cos 2
x x x
x x
x
 
 
(Chuyên Hà Tĩnh L2/13)
Điều kiện:
cos 2 0
x


2 2
2
3cos 2 3sin .cos sin

3 cos sin
2cos 2
( 3 cos sin ) ( 3 cos sin )cos 2
x x x x
pt x x
x
x x x x x
 
  
   

3 cos sin 0 3cos sin 2cos2
2
tan 3 cos2 cos( ) 2
6 3 6 18 3
x x x x x
x x x x k x k x k
    
 
     
              

4
3 4cos 2 8sin 1
10)
sin 2 cos 2 sin 2
x x
x x x
 



(Chuyên Vĩnh Phúc L1A/13)
Điều kiện:
sin 2 cos 2 0;sin 2 0
x x x
  

Ta có:
 
2
4 2
1 cos 2
8sin 8 2 1 2cos2 cos 2 2 4cos 2 (1 cos 4 ) 3 4cos 2 cos4
2
x
x x x x x x x

 
          
 
 

2 2
2
cos4 1 cos 2 sin 2 1
(sin 2 cos 2 )sin 2 1
sin 2 cos 2 sin 2 sin 2 cos 2 sin 2
1 sin 2 sin 2 cos 2 0 cos 2 (sin 2 cos 2 ) cos 2 0
4 2
x x x

pt x x x
x x x x x x
x x x x x x x x k
 
 
       
 
          

3. Giải các phương trình lượng giác sau:
1) sin3 cos2 sin 0
x x x
  
(D 2013)
2cos2 sin cos 2 0 cos2 (2sin 1) 0
pt x x x x x
     

7
2 2
4 2 6 6
x k x k x k
   
 
         

2) 1 tan 2 2 sin( )
4
x x


  
(A 2013)
Điều kiện:
cos 0 (*)
x


tan 1
sin cos 0
sin cos
2(sin cos )
1
2cos 1
cos
cos
2
x
x x
x x
pt x x
x
x
x
 

 



    







(thỏa (*))
2
4 3
x k x k
 
 
       

3) 3sin 2 cos2 2cos 1x x x  
(A 2012)
2
2 3sin cos 2cos 2cos 0 2cos ( 3sin cos 1) 0
pt x x x x x x x
       

cos 0
2
2 2
2 3
cos( ) cos
3 3
x
x k x k x k
x

 
  
 



        

 


Chuyên Đề: Phương Trình Lượng Giác Giáo Viên: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ Trang 14
4) 2(cos 3sin )cos cos 3sin 1x x x x x   
(B 2012)
2
2cos 1 2 3sin cos cos 3sin cos2 3 sin 2 cos 3sinpt x x x x x x x x x
        

2 2
cos(2 ) cos( ) 2
3 3 3 3
x x x k x k
   

        

5) sin3 cos3 sin cos 2 cos 2x x x x x
   
(D 2012)

(sin3 sin ) (cos3 cos ) 2 cos2 2cos2 sin cos2 cos 2 c
os2pt x x x x x x x x x x
       

cos2 0
4 2 4 2
1 7
2 sin 2 cos 1
sin( ) 2 2
4 2 12 12
x k x k
x
x x
x x k x k
   
  
 
 
   
 


  
 

 
 

       
 

 

6 6
1
6) sin cos cos8
4
x x x
 

2 2 2
3 1 2
1 sin 4 cos8 8 3(1 cos 4 ) 2(2cos 4 1) cos 4
4 4 2
pt x x x x x          

2 2
3
7) 4sin 3 cos2 1 2cos
2 4
x
x x

 
   
 
 

3
2(1 cos ) 3 cos2 2 cos( ) 2cos 3 cos2 sin 2
2

5 2 7
cos(2 ) cos( ) 2
6 18 3 6
pt x x x x x x
x x x k x k

   
 
         
          

8) sin sin 2 sin3 cos cos2 cos3x x x x x x    

(sin3 sin ) sin 2 (cos3 cos ) cos 2 sin 2 (2cos 1) cos
2 (2cos 1)
x x x x x x x x x x
         

2
(2cos 1)(sin 2 cos2 ) 0 2
8 2 3
x x x x k x k
  
           

9) 2sin 2 4sin 1 0
6
x x

 

   
 
 

3sin 2 cos2 4sin 1 0 2sin ( 3 cos sin 2) 0
7
sin 0 cos 1 2
6 6
        
 
          
 
 
pt x x x x x x
x x x k x k
 
 

(2sin 1)(cos2 sin ) 2sin3 6sin 1
10) 2cos 3 0
2cos 3
x x x x x
x
x
    
  

(SGD Vĩnh Phúc
L1A/13)
Điều kiện:

3
cos 2
2 6
x x k


    

2 2
2 3 2
3 2 2
2
(2sin 1)(1 2sin sin ) 2sin 3 6sin 1 4cos 3 0
(2sin 1)(1 2sin sin ) 2(3sin 4sin ) 6sin 4sin 2 0
4sin 4sin 3sin 3 0 (2sin 1)(2sin 3sin 3) 0
2sin 1 0 2sin 3sin 3 0 2
6
pt x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x k


         
         
         
          
7
2
6

x k


  

Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của phương trình:
7
2
6
x k


 


Chuyên Đề: Phương Trình Lượng Giác Giáo Viên: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ Trang 15
3 3
2 3 2
) cos3 .cos sin 3 .sin
8
a x x x x

 

2 2
1 1 2 3 2
cos (cos4 cos2 ) sin (cos2 cos4 )
2 2 8
pt x x x x x x


    
2 2 2 2
2 3 2
cos4 (cos sin ) cos2 (cos sin )
4
x x x x x x

    

2
4cos4 2(1 cos 4 ) 2 3 2 cos4
2 16 2
x x x x k
 
          

2 2
) 2cos 2 3cos4 4cos 1
4
b x x x

 
   
 
 

2 2
1 cos( 4 ) 3cos4 4cos 1 sin 4 3cos4 2(2cos 1)
2

pt x x x x x x

         

cos(4 ) cos2
6 12 36 3
k
x x x k x
   

        

Bài tập tương tự:
1) 3cos sin 2cosx x x
 
ĐS:
12
x k

   

2
2) 3 4cos sin (2sin 1)
x x x
  
ĐS:
7
2 ; 2 ; 2
2 6 6
x k x k x k

  
         

3) 1 3cos cos2 cos3 2sin .sin 2x x x x x   
ĐS:
; 2
2
x k x k

      

4) cos 2 3 cos 3sin 2 sinx x x x
  
ĐS:
2
2 ;
2 18 3
x k x k
  
      

5) cos3 cos 2 cos 1 0
x x x
   

6) (1 tan )(1 sin 2 ) 1 tanx x x   

1 1
7) sin 2 sin 2cot 2
sin 2 2sin

x x x
x x
   

1 2(cos sin )
8)
tan cot 2 cot 1
x x
x x x


 

1
9) cos .cos2 .cos3 sin .sin 2 .sin 3
2
x x x x x x
 

3 3
10)sin cos cos 2 .tan .tan
4 4
x x x x x
 
   
   
   
   

2 2

7
11) sin .cos4 sin 2 4sin
4 2 2
x
x x x

 
   
 
 

2
12) (2sin 1)(2cos 2 2sin 1) 3 4cosx x x x
    
ĐS:
5
2 ; 2 ;
6 6 4 2
x k x k x k
   
       