ôn thi đại học phần hàm số(cấp tốc)

Phần 1 khảo sát hàm số. Bài toán liên quan
A. Khảo sát hàm số
I. Các bớc khảo sát hàm số
Các bớc khảo sát hàm đa thức Các bớc khảo sát hàm hữu tỷ
1. Tập xác định
2. Sự biến thiên
- Chiều biến thiên, cực
- Tính lồi lõm, điểm uốn,
- Giới hạn
- Bảng biến thiên
3. Đồ thị
- Giá trị đặt biệt, nx tính đối xứng
- Đồ thị
1. Tập xác định
2. Sự biến thiên
- Chiều biến thiên, cực
- Giới hạn, tiệm cận
- Bảng biến thiên
3. Đồ thị
- Giá trị đặt biệ, nx tính đối xứng
- Đồ thị
Sự khác biệt :
Hàm đa thức không có tiệm cận, hàm hữu tỉ không cần xét đaọ hàm cấp hai.
II. Các dạng đồ thị hàm số:
Hàm bậc 3: y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a 0)

Hàm số trùng phơng: y = ax

4
+ bx
2
+ c (a 0)

Hàm số :
)bcad(
dcx
bax
y 0
+
+
=
x
y
O

I
x
y
O

I
a < 0
a > 0
Dạng 2. Hàm số không có CT ?
x
y
O

I
x
y
O

I
a < 0
a > 0
Dạng 1. Hàm số có 1 CT ?
x
y
O
x
y
O
a < 0
a > 0
Dng 2: hm s cú 1 cc tr ?
?
x
y
O
x
y
O
a < 0
a > 0
Dng 1: hm s cú 3 cc tr ?
y
I

x
y
O
Dng 2: hs nghch bin
Dng 1: hs ng bin
D#ng 1: hsè ##ng biõn
x
O
I
B. Bài toán liên quan
1. Dùng đồ thị biện luận phơng trình:
f(x) = m hoặc f(x) = g(m) hoặc f(x) = f(m) (1)
+ Với đồ thị (C) của hàm số y = f(x) đã đợc khảo sát
+ Đờng thẳng (d): y = m hoặc y = g(m) hoặc y = f(m) là một đờng thẳng thay đổi luôn
cùng phơng với trục Ox.
Các bớc giải
Bớc 1. Biến đổi phơng trình đã cho về dạng pt (1)
Bớc 2. Lập luận
Bớc 3. Dựa vào đồ thị để kết luận
2. Dựa vào pt hoành độ giao điểm để chỉ ra số giao điểm của 2 đồ thị hàm số
Bài toán: Biện luận số giao điểm của 2 đờng (C): y = f(x) và (C): y = g(x)
Bớc 1. Số giao diểm của hai đờng cong (C
1
) y= f(x) và (C
2
) y=g(x) là số nghiệm của phơng
trình hoànhđộ giao điểm f(x) = g(x) (1)
Bớc 2. Dựa vào việc xét pt (1) suy ra số nghiệm để chỉ ra số giao điểm của 2 đồ thi hàm
số
3. Tính diện tích hình phẳng & thể tích vật thể tròn xoay.

Học sinh cần nhớ và vận dụng thành thạo các công thức:
a. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
+ (C): y = f(x), trục Ox và 2 đờng thẳng x = a, x = b ( a < b)
Ta sử dụng công thức
b
S f x dx
a
=

( )
(I)
+ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
(C): y = f(x), y = g(x) / [a;b]
Ta sử dụng công thức
b
a
S f x g x dx
=

( ) ( )
(II)
+ Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra từ hình phẳng (H) giới hạn bởi
(C): y = f(x), trục Ox và 2 đờng thẳng x = a, x = b ( a < b), khi (H) quay quanh Ox.
Ta dùng công thức
[ ]
2
b
a
V f x dx

=

( )
(III)
4. Cực trị của hàm số
- Yêu cầu đối với học sinh:
Biết số lợng cực trị của mỗi dạng hàm số đợc học trong chơng trình:
Hàm số bậc 3 : y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a 0) không có cực trị hoặc có 2 cực trị.
+ Hs có 2 ct

y có 2 nghiệm phân biệt
+ Hs không có ct

y có nghiệm kép hc vô nghiệm
Hàm số bậc 4 dạng : y = ax
4
+ bx
2
+ c (a 0) có 1 cực trị hoặc 3 cc trị.
+ Hs có 3 ct

y có 3 nghiệm phân biệt(a.b<0)
+ Hs có 1 ct

y có 1 nghiệm(a.b

0)
Hàm số nhất biến dạng:
ax+b
cx+d
=y
chỉ tăng hoặc chỉ giảm và không có cực trị.
Hàm số hữu tỷ (2/1)dạng:
2
ax bx c
y
a 'x b'
+ +
=
+
không có cực trị hoặc có 2 cc trị.
+ Hs có 2 ct

y có 2 nghiệm phân biệt
+ Hs không có ct

y vô nghiệm
Tóm tắt: Cho hàm số y = f(x) xác định / (a;b) và x
0
(a;b)
- Nếu f(x
0
) = 0 và f(x) đổi dấu khi x qua x
0
thì hàm số có cực trị tại x = x
0

- Nếu f(x
0
) = 0 và f(x) đổi dấu từ + khi x qua x
0
thì hàm số có cực đại tại x = x
0
.
- Nếu f(x
0
) = 0 và f(x) đổi dấu từ + khi x qua x
0
thì hàm số có cực tiểu tại
x = x
0
.
(Điều này vẫn đúng khi hsố không có đạo hàm tại x
0
nhng hàm số có xác định tại đó).
Hoặc:
- Nếu f(x
0
) = 0 và f(x) 0 thì hàm số có cực trị tại x = x
0
.
- Nếu f(x
0
) = 0 và f(x) > 0 thì hàm số có cực tiểu tại x = x
0
.
- Nếu f(x

0
) = 0 và f(x) < 0 thì hàm số có cực đại tại x = x
0
.
5. Viết PTTT của đồ thị hàm số
TIP TUYN CA NG CONG ( C ) : y = f(x)
- Phng trỡnh tip tuyn ca ( C ) ti M(x
0
; y
0
) : y y
0
= f(x
0
)(x x
0
)
- ( C ) : y = f(x) v ( D ) : y = g(x) tip xỳc vi nhau
( ) ( )
( ) ( )



=

=


xgxf
xgxf

cú nghim
( nghim ca h phng trỡnh l honh tip im )
Dng 1 : Lp phng trỡnh tip tuyn ca ( C ) ti M(
0 0
;x y
)
Phng phỏp : p dng cụng thc y y
0
= f(x
0
)( x x
0
)
- Nu cha cho y
0
thỡ tớnh y
0
= f(x
0
)
- Nu cha cho x
0
thỡ x
0
l nghim ca phng trỡnh f(x) = y
0
Dng 2: Lp phng trỡnh tip tuyn cú h s gúc k cho trc
Phng phỏp
Cỏch 1 : Gi M(x
0

; y
0
) l tip im. Tip tuyn cú h s gúc k
( )
kxf =


0
. Gii phng trỡnh tỡm x
0
( )
00
xfyD =

Phng trỡnh tip tuyn y y
0
= k( x x
0
)
Cỏch 2 : Gi (d) : y = kx + b l tip tuyn ca ( C )

( ) ( )
( ) ( )



+=
=

2

1
bkxxf
kxf
cú nghim . Gii (1) tỡm x th vo (2) tỡm b
Lu ý Cho (d) : y = a.x + b nu :
- (d
1
) song song vi (d) thỡ (d
1
) cú h s gúc k = a
- (d
2
) vuụng gúc vi (d) thỡ (d
1
) cú h s gúc k =
a
1

hay a.k = 1
Dng 3 : Lp phng trỡnh tip tuyn i qua mt im A(
1 1
;x y
)
Phng phỏp
Cỏch 1 : Gi M(x
0
; y
0
) l tip im.Tớnh y
0

= f(x
0)
v f(x
0
) theo x
0
. Phng trỡnh tip
tuyn ca (C) ti M l : y y
0
= f(x
0
)( x x
0
) (1) Vỡ tip tuyn i qua A nờn y
1

y
0
= f(x
0
)( x
1
x
0
) gii phng trỡnh tỡm x
0
thay vo (1).
Cỏch 2 : Gi (d) l ng thng i qua A cú h s gúc k . Ta cú
(d) : y y
1

= k( x x
1
) (1) l tip tuyn ca (C)
( ) ( )
( ) ( ) ( )



+=
=


2
1
11
yxxkxf
kxf
cú nghim
Th k t (1) vo (2) gii tỡm x th vo (1) tỡm k v thay vo phng trỡnh (1)
Dng 4 :S tip xỳc gia hai ng
Phng phỏp : p dng (C) v (D) tip xỳc vi nhau



=
=

)()(
)(')('
xgxf

xgxf
cú nghim. T ú suy ra giỏ tr tham s
6. Max - min
a. Định nghĩa : Cho hàm số y=f(x) xác định trên D
Số M gọi là GTLN của hàm số y=f(x) trên D nếu:
0 0
: ( )
: ( )
x D f x M
x D f x M

=
(ký hiệu M=maxf(x) )
Số m gọi là GTNN của hàm số y=f(x) trên D nếu:
0 0
: ( )
: ( )
x D f x m
x D f x m

=
(ký hiệu m=minf(x) )
b. Cách tìm GTLN-GTNN trên (a,b)
+ Lập bảng biến thiên của hàm số trên (a,b)
+ Nếu trên bảng biến thiên có một cực trị duy nhất là cực đại( cực tiểu) thì giá trị cực
đại (cực tiểu) là GTLN(GTNN) của hàm số trên (a,b)
b. Cách tìm GTLN-GTNN trên [a,b].
+ Tìm các điểm tới hạn x
1
,x

2
, ..., x
n
của f(x) trên [a,b].
+ Tính f(a), f(x
1
), f(x
2
), ..., f(x
n
), f(b).
+ Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên
[ , ]
[ , ]
max ( ) ; min ( )
a b
a b
M f x m f x= =
7. Bài toán khác
bài tập trong các đề thi đại học
Bài 1: Cho hàm số y = x
3
+ 3mx
2
+ 3( 1 m
2
)x + m
3
m
2

(1) (A 2002)
1). KSSBT và VĐT của hàm số (1) khi m = 1
2). Tìm k để pt : x
3
+ 3x
2
+ k
3
3k
2
= 0 có 3 nghiệm phân biệt
3). Viết pt đờng thẳng đi qua 2 điểm cực trị của hàm số (1)
Bài 2: Cho hàm số
4 2 2
( 9) 10= + +y mx m x
(1) ( m là tham số) (B 2002)
1). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1
2). Tìm m để hàm số (1) có 3 điểm cực trị
Bài 3: Cho hàm số : y =
2
(2 1)
(1)
1


m x m
x
( m là tham số) (D 2002)
1).Khảo sát sự biến thiên và VĐT (C) của hàm số (1) ứng với m = 1
2). Tính d.t hình phẳng giới hạn bởi đờng cong (C) và 2 trục tọa độ

3). Tìm m để đồ thị của hàm số (1) tiếp xúc với đờng thẳng y = x
Bài 4: Cho hàm số
2
1
+ +
=

mx x m
y
x
(1) ( m là tham số ) (A 2003)
1). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1
2).Tìm m để đthị hsố (1) cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành độ dơng.
Bài 5: Cho hàm số y = x
3
3x
2
+ m (1) ( m là tham số) (B 2003)
1). Tìm m để đồ thị h.số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc tọa độ
2). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 2
Bài 6: 1). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hs
2
2 4
2
+
=

x x
y
x

(1) (D 2003)
2). Tìm m để đờng thẳng d
m
: y = mx + 2 2m cắt đồ thị của hàm số (1) tại 2 điểm phân biệt
Bài 7: Cho hàm số
+
=

2
3 3
2( 1)
x x
y
x
(1). (A 2004)
1). Khảo sát hàm số (1).
2). Tìm m để đờng thẳng y = m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A, B sao cho AB = 1.
Bài 8: Cho hàm số y =
+
3 2
1
2 3
3
x x x
(1) có đồ thị (C) (B 2004)
1). Khảo sát hàm số (1).
2). Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm uốn và chứng minh rằng là tiếp tuyến của (C)
có hệ số góc nhỏ nhất.
Bài 9: Cho hàm số y = x
3

3mx
2
+ 9x + 1 (1) với m là tham số (D 2004)
1). Khảo sát hàm số (1) khi m = 2.
2). Tìm m để điểm uốn của hàm số (1) thuộc đờng thẳng y = x + 1
Bài 10: Gọi (C
m
) là đồ thị của hàm số
1
= +y mx
x
(*) ( m là tham số ) (A 2005)
1). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1/4.
2). Tìm m để hàm số (*) có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của (C
m
) đến tiệm cận xiên
của (C
m
) bằng
1/ 2
Bài 11: Gọi (C
m
) là đồ thị của hs y =
2
( 1) 1
(*)
1
+ + + +
+
x m x m

x
(m là tham số) (B 2005)
1). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi m = 1.
2). CMR với m bất kỳ , đồ thị (C
m
) luôn luôn có điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng cách giữa
hai điểm đó bằng
20
Bài 12: Gọi (C
m
) là đồ thị của hàm số y =
3 2
1 1
3 2 3
+
m
x x
(*) (m là tham số) (D 2005)
1). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi m = 2.
2). Gọi M là điểm thuộc (C
m
) có hoành độ bằng 1 . Tìm m để tiếp tuỵến của (C
m
) tại điểm M
song song với đờng thẳng 5x y = 0.
Bài 13: 1). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số : y = 2x
3
9x
2
+ 12x 4

2). Tìm m để phơng trình sau có 6 nghiệm phân biệt 2 : x
3
9x
2
+ 12x = m(A 2006)
Bài 14: Cho hàm số
2
1
2
+
=
+
x x
y
x
(B 2006)
1). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số .