phương pháp hàm grin cho phương trình sai phân tuyến tính cấp 2

TIỂU LUẬN
PHƯƠNG PHÁP HÀM GRIN CHO
PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN
TÍNH CẤP 2
Nhóm 8 - Lớp PP Toán sơ cấp K24
Mục lục
1 PHƯƠNG PHÁP HÀM GRIN 3
1.1 Hàm Grin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Các nhóm phương trình ẩn hàm Grin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Các trường hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Xây dựng công thức hàm Grin cho các trường hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 Trường hợp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2 Trường hợp 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.3 Trường hợp 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.4 Trường hợp 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 BÀI TẬP ÁP DỤNG 7
2.1 Bài tập 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Bài tập 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Bài tập 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4 Bài tập 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.5 Bài tập 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1
Mở đầu
Phương pháp sai phân là phương pháp được áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học, kĩ thuật.
Nội dung của nó là đưa bài toán cần xét về việc giải phương trình sai phân hoặc hệ phương trình sai
phân, tức là hệ thức hoặc các hệ thức liên hệ các giá trị của các hàm số tại các điểm khác nhau như
những hàm số của đối số nguyên. Nhiều bài toán thực tiễn dẫn đến việc giải phương trình sai phân
tuyến tính cấp hai. Về nguyên tắc, ta có thể đưa phương trình sai phân tuyến tính cấp hai về phương
trình sai phân tuyến tính cấp một, với ẩn là vectơ gồm hai thành phần, nhưng do đặc thù của nó,
người ta thường xét và giải trực tiếp.
Nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính cấp hai là tổng của nghiệm phương trình sai

phân tuyến tính thuần nhất và một nghiệm riêng tùy ý của phương trình sai phân tuyến tính cấp hai.
Phương pháp hàm Grin là một trong những phương pháp quan trọng để tìm nghiệm riêng.
Đối với các hàm thông thường, nghiệm là một giá trị số (thực, phức ). Còn trong phương trình sai
phân, mục tiêu là tìm racôngthứccủahàm chưa được biết nhằm thỏa mãn mối quan hệ đề ra. Thông
thường, nó sẽ là một họ các phương trình, sai lệch bằng một hằng số C nào đó. Hàm này sẽ được xác
định chính xác khi có thêm điều kiện ban đầu hoặc điều kiện biên. Trong các ứng dụng thực tế, việc
tìm ra công thức của hàm đôi lúc nhiều lúc khó khăn. Thực tiễn người ta cũng chỉ quan tâm tới giá
trị của hàm tại các giá trị cụ thể của các biến độc lập. Các phương pháp nhằm tìm ra giá trị chính
xác của hàm được gọi là phân tích định lượng. Tuy nhiên, có những ứng dụng mà ngay cả giá trị thực
cũng khó tìm ra, lúc này người ta lại quan tâm đến giá trị xấp xỉ (có một độ chính xác nhất định) với
giá trị thực. Việc giải các giá trị này thường được thực hiện bằng các phương pháp số và công cụ là
máy tính. Với thành tựu của máy tính hiện nay, thời gian giải các bài toán vi phân có thể tính bằng
giây.
Qua quá trình tìm hiểu các nội dung trên, nhóm chúng tôi chọn đề tài “Phương pháp hàm Grin giải
phương trình sai phân tuyến tính cấp hai”, trong đó các bài tập được giải nhờ sự hỗ trợ của phần
mềm Maple, một phần mềm hữu ích trong lĩnh vực nghiên cứu khoa học hiện nay.
Nhóm chúng tôi gồm năm thành viên với nhiệm vụ cụ thể sau:
STT Họ và tên Nhiệm vụ
1 Nguyễn Hữu Lộc Ứng dụng phần mềm Maple giải phương trình sai phân
2 Nguyễn Thị Duy Trình bày lý thuyết và bài tập bằng Latex, giải bài tập
3 Nguyễn Thị Nở Trình bày lý thuyết và bài tập bằng Latex, giải bài tập
4 Lê Thị Thanh Lam Nghiên cứu lý thuyết về phương pháp hàm Grin
5 Lưu Danh Cường Ứng dụng phần mềm Maple giải phương trình sai phân
Trong thời gian nghiên cứu, thực hiện đề tài, nhóm chúng tôi đã nhận được sự quan tâm, giảng dạy
nhiệt tình của thầy giáo, TS Lê Hải Trung. Xin gởi đến thầy lời cám ơn chân thành nhất. Mặc dù các
thành viên trong nhóm đã có nhiều cố gắng, nhưng chắc chắn vẫn còn có nhiều thiếu sót. Mong được
thầy cô và các bạn chân thành góp ý để đề tài chúng tôi được hoàn thiện hơn.
2
Chương 1
PHƯƠNG PHÁP HÀM GRIN

1.1 Hàm Grin
Xét phương trình sai phân
ax
n−1
+ bx
n
+ c
n+1
= f
n
(1.1.1)
hoặc
x
n+1
= px
n
+ qx
n−1
+ f
n
(1.1.2)
Nếu các nghiệm của phương trình đặc trưng
a + bλ + cλ
2
= 0 (1.1.3)
có môđun khác 1, tức là |λ
1
| = 1, |λ
2
| = 1, ta tìm nghiệm của (1.1.1) với vế phải f

n
= δ
n
0
, trong đó
δ
n
0
=

1, n = 0
0, n = 0
là ký hiệu Krônecke. Nghiệm của (1.1.1) với vế phải f
n
= δ
n
0
, được gọi là nghiệm cơ
bản hay hàm Grin và ký hiệu là G
n
.
1.1.1 Các nhóm phương trình ẩn hàm Grin
Ta tìm được nghiệm cơ bản bị chặn, tức là nghiệm bị chặn của các nhóm phương trình sau:
I. aG
n−1
+ bG
n
+ cG
n+1
= 0 khi n ≤ −1

II. aG
−1
+ bG
0
+ cG
1
= 1
III. aG
n−1
+ bG
n
+ cG
n+1
= 0 khi n ≥ 1
Bắt đầu từ trường hợp λ
1
= λ
2
. Trong trường hợp này nghiệm tổng quát của phương trình thuần
nhất có dạng
x
n
= αλ
n
1
+ βλ
n
2
Bởi vậy, mỗi nghiệm riêng G
n

của phương trình thuần nhất nhóm 1 có dạng
G
n
= α

λ
n
1
+ β

λ
n
2
khi n ≤ 0
trong đó α

và β

là các hằng số thích hợp.
Cũng như vậy, nghiệm riêng của phương trình thuần nhất nhóm III có dạng
G
n
= α

λ
n
1
+ β

λ

n
2
khi n ≥ 0
với α

và β

là các hằng số thích hợp.
3
Phương pháp hàm Grin giải phương trình sai phân tuyến tính cấp 2
1.1.2 Các trường hợp
Vì λ
1
= λ
2
, |λ
1
| = 1, |λ
2
| = 1 nên có thể xảy ra các trường hợp sau:
1. |λ
1
| < 1, |λ
2
| > 1
2. |λ
1
| < 1, |λ
2
| < 1

3. |λ
1
| > 1, |λ
2
| < 1
4. |λ
1
| > 1, |λ
2
| > 1
1.2 Xây dựng công thức hàm Grin cho các trường hợp
1.2.1 Trường hợp 1
Ta tìm nghiệm cơ bản bị chặn trong trường hợp 1: Do G
n
bị chặn khi n → −∞, nên suy ra α

= 0; G
n
bị chặn khi n → +∞, suy ra β

= 0
Bởi vậy
G
n
=

β

λ
n

2
, khi n ≤ 0
α

λ
n
1
, khi n ≥ 0
Khi n = 0 cả hai công thức cuối phải cho cùng một giá trị G
0
. Từ đây suy ra β

= α

. Chọn β

từ điều
kiện thỏa mãn nhóm II :
aβ

α
−1
2
+ bβ

+ cβ

λ
1
= 1

suy ra
β

=
1
aλ
−1
2
+ b + cλ
1
Mẫu số của β

khác 0 vì
aλ
−1
2
+ b + cλ
1
= aλ
−1
2
+ b + cλ
2
+ c(λ
1
− λ
2
) = c(λ
1
− λ

2
) = 0
Vậy
G
n
=







1
aλ
−1
2
+ b + cλ
1
λ
n
2
, n ≤ 0
1
aλ
−1
2
+ b + cλ
1
λ

n
1
, n ≥ 0
Nhận xét rằng, nếu thỏa mãn các điều kiện
max{|a|, |b|, |c|} ≥ B > 0 (1.2.1)
|λ
1
| < 1 −
θ
2
, |λ
−1
2
< 1 −
θ
2
với các hằng số tùy ý B > 0, 2 > θ > 0, thì
|G
n
| ≤
4
Bθ

1 −
θ
2

|n|
(1.2.2)
Thật vậy, từ điều kiện đầu suy ra nhất thiết phải có: hoặc |a| >

B
4
, hoặc |c| >
B
4
,
hoặc

b
2
− 4ac >
B
2
, vì nếu trái lại, |a| ≤
B
4
, |c| ≤
B
4
,

b
2
− 4ac ≤
B
2
, thì
B
2
4

≥ b
2
− 4ac ≥ b
2
−
B
2
4
=⇒ b
2
≤
B
2
2
=⇒ b ≤
B
√
2
và max {|a|, |b|, |c|} = max

B
4
,
B
2
√
2

=
B

2
√
2
< B trái với giả thiết
Ta lại có
aλ
−1
2
+ b + cλ
1
= c(λ
1
− λ
2
) = a(λ
−1
2
− λ
−1
1
) = −

b
2
− 4ac
Nhóm 8 Lớp Phương Pháp Toán Sơ Cấp K24 4
Phương pháp hàm Grin giải phương trình sai phân tuyến tính cấp 2
|λ
1
− λ

2
| ≥ |λ
2
| −|λ
1
| ≥
1
1 −
θ
2
−

1 −
θ
2

= θ
2 −
θ
2
2 −θ
> θ
|λ
−1
2
− λ
−1
1
| > θ.
Từ các bất đẳng thức trên suy ra

|aλ
−1
2
+ b + cλ
1
| ≥
Bθ
4
và do đó
|G
n
| ≤
4
Bθ

1 −
θ
2

|n|
1.2.2 Trường hợp 2
Trong trường hợp 2, từ điều kiện bị chặn của G
n
khi n → −∞ suy ra α

= β

= 0, do đó
G
n

=

0, khi n ≤ 0
α

λ
n
1
+ β

λ
n
2
, khi n ≥ 0
Từ điều kiện G
0
= 0 =⇒ α

= −β

. Hệ số α

được chọn từ nhóm II:
α

=
1
c(λ
1
− λ

2
)
Vậy nghiệm cơ bản trong trường hợp 2 có dạng
G
n
=



0, khi n ≤ 0
1
c(λ
1
− λ
2
)
(λ
n
1
− λ
n
2
), khi n ≥ 0.
1.2.3 Trường hợp 3
Trường hợp 3 tương tự 1. Hàm G
n
có dạng
G
n
=








1
aλ
−1
1
+ b + cλ
2
λ
n
1
, khi n ≤ 0
1
aλ
−1
1
+ b + cλ
2
λ
n
2
, khi n ≥ 0.
1.2.4 Trường hợp 4
Trường hợp 4 tương tự trường hợp 2. Ta có
G

n
=



1
a(λ
−1
1
− λ
1
2
)
(λ
n
1
− λ
n
2
), khi n ≤ 0
0, khi n ≥ 0.
Chú ý
a(λ
−1
1
− λ
−1
2
) = a
λ

2
− λ
1
λ
1
λ
2
= a
λ
2
− λ
1
a
c
= c(λ
2
− λ
1
)
ta cũng có công thức
G
n
=



1
c(λ
2
− λ

1
)
(λ
n
1
− λ
n
2
), khi n ≤ 0
0, khi n ≥ 0.
Nếu λ
1
= λ
2
= λ, thì x
n
= (α + βn)λ
n
.
Trong trường hợp |λ| < 1, ta có
G
n
=

0, khi n ≤ 0
1
c
nλ
n−1
, khi n ≥ 0.

Nhóm 8 Lớp Phương Pháp Toán Sơ Cấp K24 5
Phương pháp hàm Grin giải phương trình sai phân tuyến tính cấp 2
Trong trường hợp |λ| > 1, ta có
G
n
=

−
1
a
nλ
n+1
, khi n ≤ 0
0, khi n ≥ 0.
Do λ
1
λ
2
= λ
2
=
a
c
, nên ta cũng có
G
n
=

−
1

c
nλ
n−1
, khi n ≤ 0
0, khi n ≥ 0.
Từ các công thức trên ta thấy G
n
giảm theo quy luật hàm mũ khi n → ∞:
|G
n
| < Gρ
|n|
,
trong đó G > 0 và 0 < ρ < 1 là các hằng số nào đó, đồng thời có thể lấy ρ là một số bất kỳ thỏa mãn
bất đẳng thức
ρ > max

min

|λ
1
|,
1
|λ
1
|

, min

|λ

2
|,
1
|λ
2
|

.
Trong trường hợp vế phải f
n
bất kỳ, thì nghiệm riêng
x
∗
n
=
∞

k=−∞
G
n−k
f
k
(1.2.3)
nếu chuỗi hội tụ. Chuỗi (1.2.3) sẽ hội tụ, nếu |f
k
| ≤ F
Thật vậy, thay x
∗
n
vào (1.1.1) và chú ý chuỗi hội tụ, ta có:

ax
n−1
+ bx
n
+ cx
n+1
= a
∞

k=−∞
G
n−1−k
f
k
+ b
∞

k=−∞
G
n−k
f
k
+ c
∞

k=−∞
G
n+1−k
f
k

=
∞

k=−∞
(aG
n−1−k
+ bG
n−k
+ cG
n+1−k
)f
k
= δ
n
k
f
k
= f
n
Khi đó
|x
∗
n
| =





∞


k=−∞
G
n−k
f
k





≤
n

k=−∞
|G
n−k
f
k
| +
∞

k=n+1
|G
n−k
f
k
|
≤ GF


n

k=−∞
ρ
n−k
+
∞

k=n+1
ρ
k−n

≤
2G
1 −ρ
F
Ở đây, ta đã sử dụng tổng của cấp số nhân lùi vô hạn, do 0 < ρ < 1.
Đối với phương trình sai phân (1.1.1) mà |λ
1
| = 1, |λ
2
| = 1 thì nghiệm x
∗
n
cho bởi (1.2.3) là nghiệm
bị chặn duy nhất khi đã cho vế phải. Trong trường hợp trái lại, nghiệm bị chặn thứ hai nhận được
từ nghiệm bị chặn đã dựng, cộng thêm một nghiệm x bị chặn nào đó của phương trình thuần nhất
tương ứng với (1.1.1). Nhưng từ các công thức dựng nghiệm tổng quát của phương trình này, ta thấy
khi |λ
1

| = 1, |λ
2
| = 1 nghiệm bị chặn duy nhất với −∞ < n < +∞sẽ là u ≡ 0. Đặt biệt, nghiệm cơ bản
bị chặn G
n
trong trường hợp |λ
1
| = 1 và |λ
2
| = 1 cũng duy nhất.
Nhận xét thêm rằng, khi thỏa mãn (1.2.1), ta sử dụng (1.2.2) thì từ (1.2.3) suy ra
|x
∗
n
| ≤
16
Bθ
2
sup
m
|f
m
|
Thật vậy
|x
∗
n
| ≤ 2
∞


k=0
|G
n−k
||f
k
| ≤ 2
∞

k=0
4
Bθ
ρ
k
sup |f
k
|
=
8
Bθ
1
1 −ρ
sup |f
k
| =
16
Bθ
2
sup
k
|f

k
|.
Ở đây, ta đã sử dụng công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn, do 0 < ρ < 1 và ρ = 1 −
θ
2
Nhóm 8 Lớp Phương Pháp Toán Sơ Cấp K24 6
Chương 2
BÀI TẬP ÁP DỤNG
2.1 Bài tập 1.
Tìm nghiệm riêng x
∗
n
của phương trình sai phân sau đây bằng phương pháp hàm Grin:
x
n+1
+
5
2
x
n
−
3
2
x
n−1
=
5
2

cos

nπ
2
+ sin
nπ
2

Giải Phương trình đặc trưng λ
2
+
5
2
π −
3
2
= 0 có nghiệm λ
1
=
1
2
, λ
2
= −3 =⇒ |λ
1
| < λ
2
. Hàm Grin
G
n−k
=






1
λ
1
− λ
2
λ
n−k
2
, n − k ≤ 0
1
λ
1
− λ
2
λ
n−k
1
, n − k ≥ 0
hay
G
n−k
=






2
7
(−3)
n−k
, k ≤ n
2
7

1
2

n−k
, k ≥ n
Vậy:
7
Phương pháp hàm Grin giải phương trình sai phân tuyến tính cấp 2
x
∗
n
=
∞

k=−∞
G
n−k
f
k
=
n


k=−∞
2
7

1
2

n−k
5
2

cos
kπ
2
+ sin
kπ
2

+
∞

k=n+1
2
7
(−3)
n−k
5
2


cos
kπ
2
+ sin
kπ
2

=
5
7
.
1
2
n
n

k=−∞
2
k

cos
kπ
2
+ sin
kπ
2

+
5
7

.(−3)
n
∞

k=n+1
1
(−3)
n

cos
kπ
2
+ sin
kπ
2

Ta có
2
k

cos
kπ
2
+ sin
kπ
2

= ∆2
k


a cos
kπ
2
+ b sin
kπ
2

= 2
k+1

a cos(k + 1)
π
2
+ b sin(k + 1)
π
2

− 2
k

a cos
kπ
2
+ b sin
kπ
2

= 2
k


−2a sin
kπ
2
+ 2b cos
kπ
2
− a cos
kπ
2
− b sin
kπ
2

=⇒

−2a −b = 1
−a + 2b = 1
=⇒ −5a = 3, a =
−3
5
, b =
1
5
=⇒ 2
k

cos
kπ
2
+ sin

kπ
2

= ∆2
k

−
3
5
cos
kπ
2
+
1
5
sin
kπ
2

Tương tự:
1
(−3)
k

cos
kπ
2
+ sin
kπ
2


= ∆
1
(−3)
k

−
3
5
cos
kπ
2
−
6
5
sin
kπ
2

Vậy
n

k=−∞
2
k

cos
kπ
2
+ sin

kπ
2

=
n

k=−∞
∆

2
k
−
3
5

cos
kπ
2
+
1
5
sin
kπ
2

= 2
n+1

−
3

5
cos(n + 1)
π
2
+
1
5
sin(n + 1)
π
2

− lim
k→−∞
2
k

−
3
5
cos
kπ
2
+
1
5
sin
kπ
2

= 2

n

−
6
5
sin
nπ
2
+
2
5
cos
nπ
2

.
Tương tự
∞

k=−n+1
1
(−3)
k

cos
kπ
2
+ sin
kπ
2


=
∞

k=−n+1
∆
1
(−3)
k

−
3
5
cos
kπ
2
−
6
5
sin
kπ
2

= −
1
(−3)
n+1

−
3

5
cos(n + 1)
π
2
−
6
5
sin(n + 1)
π
2

+ lim
k→∞
1
(−3)
k

−
3
5
cos
kπ
2
−
6
5
sin
kπ
2


=
1
(−3)
n+1

−
3
5
sin
nπ
2
+
6
5
cos
nπ
2

=
1
(−3)
n

1
5
sin
nπ
2
−
2

5
cos
nπ
2

Nhóm 8 Lớp Phương Pháp Toán Sơ Cấp K24 8
Phương pháp hàm Grin giải phương trình sai phân tuyến tính cấp 2
Thế thì
x
∗
n
=
5
7
.
1
2
n
.2
n

6
5
sin
nπ
2
+
2
5
cos

nπ
2

+
5
7
(−3)
n
1
(−3)
n

1
5
sin
nπ
2
−
2
5
cos
nπ
2

= sin
nπ
2
2.2 Bài tập 2.
Tìm nghiệm riêng x
∗

n
của phương trình sai phân
x
n+1
− 4x
n
+ 4x
n−1
= n
2
− 6n + 5
bằng phương pháp hàm Grin.
Giải
Phương trình đặc trưng λ
2
− 4λx
n
+ 4 = 0 có nghiệm kép λ
1
= λ
2
= λ = 2.
Vậy
G
n−k
=

−
1
4

(n −k)2
n−k+1
, khi k ≤ n
0, khi k ≥ n
và
x
∗
n
= −
1
4
∞

k=n+1
(n −k)2
n−k+1
.(k
2
− 6k + 5)
=−
1
4
n2
n+1
∞

k=n+1
(k
2
− 6k + 5)2

−k
+
1
4
2
n+1
∞

k=n+1
(k
3
− 6k
2
+ 5)2
−k
=−
1
4
n2
n+1
∞

k=n+1
∆2
−k
(−2k
2
+ 8k − 4) +
1
4

2
n+1
∞

k=n+1
∆2
k
(−2k
3
+ 6k
2
− 4k)
=−
1
4
n2
n+1
lim
k→+∞
2
−k
(−2k
2
+ 8k − 4) +
1
4
n2
n+1
+
1

2
n+1
[−2(n + 1)
2
+ 8(n + 1) − 4]
+
1
4
2
n+1
lim
k→+∞
2
−k
(−2k
3
+ 6k
2
− 4k) −
1
4
2
n+1
+
1
2
n+1
[−2(n + 1)
3
+ 6(n + 1)

2
− 4(n + 1)]
= n
2
2.3 Bài tập 3.
Viết công thức hàm Grin G
n
, rồi tìm nghiệm riêng x
∗
n
của phương trình sai phân sau đây:
x
n+1
−
5
2
x
n
+ x
n−1
= −
5
2
cos
nπ
2
Giải.
Phương trình đặc trưng λ
2
−

5
2
λ + 1 = 0 có nghiệm λ
1
= 2, λ
2
=
1
2
Suy ra |λ
1
| > |λ
2
|, |λ
1
| > 1, |λ
2
| < 1 Hàm Grin
G
n−k
=





1
C(λ
2
− λ

1
)λ
n−k
1
, n − k ≤ 0
1
C(λ
2
− λ
1
)
λ
n−k
2
, n − k ≥ 0
G
n−k
=





1
λ
2
− λ
1
λ
n−k

1
, k ≥ n
1
λ
2
− λ
1
λ
n−k
2
, k ≤ n
Nhóm 8 Lớp Phương Pháp Toán Sơ Cấp K24 9
Phương pháp hàm Grin giải phương trình sai phân tuyến tính cấp 2
hay
G
n−k
=





−2
3
(2)
n−k
, k ≥ n
−2
3


1
2

n−k
, k ≤ n
Vậy:
x
∗
n
=
∞

k=−∞
G
n−k
f
k
=
n

k=−∞
−
2
3

1
2

n−k


−
5
2

cos
kπ
2
+
∞

k=n+1
−
2
3
(2)
n−k

−
5
2

cos
kπ
2
=
5
3
.

1

2

n
n

k=−∞
2
k
cos
kπ
2
+
5
3
.(2)
n
∞

k=n+1

1
2

k
cos
kπ
2
Ta có
2
k

cos
kπ
2
= ∆2
k

a cos
kπ
2
+ b sin
kπ
2

= 2
k+1

a cos(k + 1)
π
2
+ b sin(k + 1)
π
2

− 2
k

a cos
kπ
2
+ b sin

kπ
2

= 2
k

−2a sin
kπ
2
+ 2b cos
kπ
2
− a cos
kπ
2
− b sin
kπ
2

=⇒

−2a −b = 0
−a + 2b = 1
=⇒ a = −
1
5
, b =
2
5
=⇒ 2

k
cos
kπ
2
= ∆2
k

−
1
5
cos
kπ
2
+
2
5
sin
kπ
2

Tương tự

1
2

k
cos
kπ
2
= ∆


1
2

k

−
4
5
cos
kπ
2
+
2
5
sin
kπ
2

Vậy
n

k=−∞
2
k
cos
kπ
2
=
n


k=−∞
∆

2
k

−
1
5
cos
kπ
2
+
2
5
sin
kπ
2

= 2
n+1

−
1
5
cos(n + 1)
π
2
+

1
5
sin(n + 1)
π
2

− lim
k→−∞
2
k

−
1
5
cos
kπ
2
+
2
5
sin
kπ
2

= 2
n

2
5
sin

nπ
2
+
4
5
cos
nπ
2

.
Tương tự
∞

k=−n+1
1
2
k
cos
kπ
2
=
∞

k=−n+1
∆
1
2
k

−

4
5
cos
kπ
2
+
2
5
sin
kπ
2

= −
1
2
n+1

−
4
5
cos(n + 1)
π
2
+
2
5
sin(n + 1)
π
2


+ lim
k→∞
1
2
k

−
4
5
cos
kπ
2
+
2
5
sin
kπ
2

= −
1
2
n

2
5
sin
nπ
2
+

1
5
cos
nπ
2

= −
1
2
n

2
5
sin
nπ
2
+
1
5
cos
nπ
2

Nhóm 8 Lớp Phương Pháp Toán Sơ Cấp K24 10
Phương pháp hàm Grin giải phương trình sai phân tuyến tính cấp 2
Thế thì
x
∗
n
=

5
3
.
1
2
n
.2
n

2
5
sin
nπ
2
+
4
5
cos
nπ
2

−
5
3
2
n
1
2
n


2
5
sin
nπ
2
+
1
5
cos
nπ
2

Vậy nghiệm cần tìm là
x
∗
n
= cos
nπ
2
2.4 Bài tập 4.
Viết công thức hàm Grin G
n
, rồi tìm nghiệm riêng x
∗
n
của phương trình sai phân sau đây
x
n+1
− x
n

+
1
4
x
n−1
=
3
4
cos
nπ
2
− sin
nπ
2
Giải.
Phương trình đặc trưng λ
2
− λ +
1
4
= 0 có nghiệm bội 2, λ
1
=
1
2
= λ
2
= λ
Ta có |λ| < 1
Hàm Grin

G
n−k
=

0 khi n − k ≤ 0
1
C
(n −k)λ
n−k−1
khi n − k ≥ 0
G
n−k
=



0 khi k ≥ n
(n −k)
1
2
n−k−1
khi k ≤ n
Vậy:
x
∗
n
=
∞

k=−∞

G
n−k
f
k
=
n

k=−∞
(n −k)

1
2

n−k−1

3
4
cos
kπ
2
− sin
kπ
2

=2
1
2
n
n
n


k=−∞
2
k

3
4
cos
kπ
2
− sin
kπ
2

− 2
1
2
n
n
n

k=−∞
2
k

3
4
k cos
kπ
2

− k sin
kπ
2

Ta có
2
k

3
4
k cos
kπ
2
− k sin
kπ
2

= ∆2
k

a cos
kπ
2
+ b sin
kπ
2

= 2
k+1


a cos(k + 1)
π
2
+ b sin(k + 1)
π
2

− 2
k

a cos
kπ
2
+ b sin
kπ
2

= 2
k

−2a sin
kπ
2
− b sin
kπ
2
+ 2b cos
kπ
2
− a cos

kπ
2

=⇒

−2a −b = −1
−a + 2b =
3
4
=⇒ a =
1
4
, b =
1
2
=⇒ 2
k

3
4
cos
kπ
2
− sin
kπ
2

= ∆2
k


1
4
cos
kπ
2
+
1
2
sin
kπ
2

Ta có
2
k

3
4
k cos
kπ
2
− k sin
kπ
2

= ∆2
k

(a
1

k + b
1
) cos
kπ
2
+ (a
2
k + b
2
) sin
kπ
2

= 2
k+1

(a
1
(k + 1) + b
1
) cos
(k+1)
2
π
2
+ (a
2
(k + 1) + b
2
) sin

(k+1)
2
π
2

Nhóm 8 Lớp Phương Pháp Toán Sơ Cấp K24 11
Phương pháp hàm Grin giải phương trình sai phân tuyến tính cấp 2
−2
k

(a
1
k + b
1
) cos
kπ
2
+ (a
2
k + b
2
) sin
kπ
2

=2
k

(2a
1

k + 2a
1
+ 2b
1
) cos
(k+1)π
2
+ (2a
2
k + 2a
2
+ 2b
2
) sin
(k+1)π
2

−2
k

(a
1
k + b
1
) cos
kπ
2
+ (a
2
k + b

2
) sin
kπ
2

= 2
k

(2a
1
k + 2a
1
+ 2b
1
) cos
(k + 1)π
2
+ (2a
2
k + 2a
2
+ 2b
2
) sin
(k + 1)π
2

−2
k


(a
1
k + b
1
) cos
kπ
2
+ (a
2
k + b
2
) sin
kπ
2

=2
k

−[(2a
1
k + 2a
1
+ 2b
1
) sin
kπ
2
+ (2a
2
k + 2a

2
+ 2b
2
) cos
kπ
2
− (a
1
k + b
1
) cos
kπ
2
− (a
2
k + b
2
) sin
kπ
2

=⇒

(−2a
1
− a
2
)k − 2a
1
− 2b

1
− b
2
= −k
(2a
2
− a
1
)k + 2a
2
+ 2b
2
− b
1
=
3
4
k
=⇒ a =
1
4
, a
2
=
1
2
, b
1
= 0, b
2

= −
1
2
Suy ra
2
k

3
4
k cos
kπ
2
− k sin
kπ
2

= ∆2
k

1
4
k cos
kπ
2
+

k
2
−
1

2

sin
kπ
2

Mặt khác
n

k=−∞
∆

2
k

1
4
cos
kπ
2
+
1
2
sin
kπ
2

= 2
n+1


1
4
cos (n + 1)
π
2
+
1
2
sin (n + 1)
π
2

− lim
k→−∞
2
k

1
4
cos
kπ
2
+
1
2
sin
kπ
2

= 2

n

1
2
sin
π
2
+ cos
nπ
2

Và
n

k=−∞
∆

2
k

k
4
cos
kπ
2
+

k
2
−

1
2

sin
kπ
2

= 2
n+1

n + 1
4
cos (n + 1)
π
2
+

n + 1
2
−
1
2

sin (n + 1)
π
2
− lim
k→−∞
2
k


k
4
cos
kπ
2
+

k
2
−
1
2

sin
kπ
2

=
2
n

−(n + 1)
2
sin
nπ
2
+ n cos
nπ
2


Vậy
x
∗
n
= 2.
1
2
n
.n.2
n

−
1
2
sin
nπ
2
+ cos
nπ
2

− 2.
1
2
n
2
n

−(n + 1)

2
sin
nπ
2
+ n cos
nπ
2

= −n sin
nπ
2
+ 2n cos
nπ
2
+ (n + 1) sin
nπ
2
− 2n cos
nπ
2
= sin
nπ
2
2.5 Bài tập 5.
Viết công thức hàm Grin G
n
, rồi tìm nghiệm riêng x
∗
n
của phương trình sai phân sau đây

x
n+1
− 6x
n
+ 9x
n−1
= 4n
2
− 16n + 10
Giải.
Phương trình đặc trưng λ
2
− 6λ + 9 = 0 có nghiệm λ
1
= λ
2
= λ = 3
Ta có |λ| > 1
Hàm Grin
G
n−k
=

0 khi n − k ≤ 0
1
C
(n −k)λ
n−k−1
khi n − k ≥ 0.
G

n−k
=

−
1
9
(n −k).3
n−k+1
khi n ≤ k
0 khi n ≤ k.
Suy ra
x
∗
n
=
∞

k=n+1

−
1
9

(n −k).3
n−k+1
(4k
2
− 16k + 10)
Nhóm 8 Lớp Phương Pháp Toán Sơ Cấp K24 12
Phương pháp hàm Grin giải phương trình sai phân tuyến tính cấp 2

= −
1
3
.3
n
.n.
∞

k=n+1

1
3

k
(4k
2
− 16k + 10) +
1
3
.3
n
.
∞

k=n+1
k.
1
3
k
(4k

2
− 16k + 10)
Ta có
1
3
k
(4k
2
− 16k + 10) = ∆
1
3
k
(ak
2
+ bk + c) =
1
3
k+1

a(k + 1)
2
+ b(k + 1) + c

−
1
3
k
(ak
2
+ bk + c)

1
3
k


a
3
− a

k
2
+

2a + b
3
− b

k +
a + b + c
3
− c

=⇒












a −3a
3
= 4
2a + b −3b
3
= −16
a + b + c −3c
3
= 10
=⇒





a = −6
b = 18
c = −9
Suy ra
1
3
k
(4k
2
− 16k + 10) = ∆
1

3
k
(−6k
2
+ 18k − 9)
Tương tự
1
3
k
.k.(4k
2
− 16k + 10) =
1
3
k
(4k
3
− 16k
2
+ 10k) = ∆
1
3
k
(−6k
3
+ 15k
2
− 9k)
Trong đó
∞


k=n+1
1
3
k
(4k
2
− 16k + 10) =
∞

k=n+1
1
3
k
(−6k
2
+ 18k − 9)
= lim
k→∞
1
3
k
(−6k
2
+ 18k − 9) −
1
3
n+1

−6(n + 1)

2
+ 18(n + 1) − 9

= −
1
3
n+1
(−6n
2
+ 6n + 3) = −
1
3
n
(−2n
2
+ 2n + 1)
và
∞

k=n+1
1
3
k
(4k
3
− 16k
2
+ 10k) =
∞


k=n+1
∆
1
3
k
(−6k
3
+ 15k
2
− 9k)
= lim
k→∞
1
3
k
(−6k
3
+ 15k
2
− 9k) −
1
3
n+1
[−6(n + 1)
3
+ 15(n + 1)
2
− 9(n + 1)]
= −
1

3
n+1
(−6n
3
− 3n
2
+ 3n) = −
1
3
n
(−2n
3
− n
2
+ n)
Từ đó ta có
x
∗
n
=

−
1
3

.3
n
.n.

−

1
3
n

(−2n
2
+ 2n + 1) +
1
3
.3
n
.

−
1
3
n

(−2n
3
− n
2
+ n)
x
∗
n
=
1
3
(−2n

3
+ 2n
2
+ n) +
1
3
(2n
3
+ n
2
− n) = n
2
Vậy
x
∗
n
= n
2
Nhóm 8 Lớp Phương Pháp Toán Sơ Cấp K24 13
KẾT LUẬN
Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai là một phương trình khá phức tạp. Tuy nhiên, chúng ta
cũng có một số phương pháp tìm nghiệm riêng của nó như phương pháp chọn (còn gọi là phương
pháp hệ số bất định), phương pháp biến thiên hằng số, phương pháp hàm Grin,
Qua tiểu luận này, nhóm chúng tôi đã trình bày: "‘Phương pháp hàm Grin cho phương trình dạng
ax
n−1
+ bx
n
+ cx
n+1

= f
n
Đây có thể coi là một phương pháp rất hữu ích trong việc giải quyết các phương trình phức tạp như
là phương trình sai phân tuyến tính cấp hai.
Hi vọng nội dung của tiểu luận sẽ được tiếp tục phát triển, hoàn thiện và mở rộng nhiều hơn nữa.
14
Tài liệu tham khảo
[1] Phương trình sai phân và ứng dụng,Lê Đình Thịnh, NXB Giáo dục, 1994.
[2] Phần mềm toán học Maple, PGS. TSKH Trần Quốc Chiến, 2008.
[3] Tra cứu và soạn thảo Latex, Nguyễn Hữu Điển, Đại học quốc gia Hà Nội, 2001.
[4] WIKI MEDIA
15