đồ thị euler và ứng dụng

Lý thuyết đồ thị và ứng dụng
MỤC LỤC
LỜI GIỚI THIỆU 3
Lý thuyết đồ thị là nghành khoa học được phát triển từ rất lâu nhưng lại có
nhiều ứng dụng hiện đại. Những ý tưởng cơ bản của nó được nhà toán học
Thụy sĩ vĩ đại Leonhard Euler đưa ra từ thế kỉ XVIII thông qua bài báo nổi
tiếng về những cái cầu ở Konigsberg 3
Cho đến ngày nay Lý thuyết đồ thị đã phát triển thành một nghành Toán có
vị trí đặc biệt quan trọng về mặt lý thuyết cũng như ứng dụng. Lý thuyết đồ
thị là kiến thức cơ sở cho nhiều nghành khoa học kỹ thuật khác nhau như
Điện tử, Hóa học, Ngôn ngữ học,Kinh tế học,Máy tính, 3
Đồ thị là một cấu trúc rời rạc gồm các đỉnh và các cạnh nối với đỉnh đó. Đây
là một công cụ hữu hiệu để mô hình hóa và giải quyết các bài toán trong
nhiều lĩnh vực: khoa học, kỹ thuật, kinh tế và xã hội,… 3
Đồ thị Euler là một chủ đề của lý thuyết đồ thị, nó là một bài toán hay và
khó, bởi thông qua bài toán này chúng ta được cung cấp một công cụ hữu
hiệu để mô hình hóa và giải các bài toán về đường đi 3
Nhóm chúng em xin trình bày đề tài “ĐỒ THỊ EULER” với 3 nội dung
chính là: 3
Chương 1: Đại cương về đồ thị 3
Chương 2: Đồ thị Euler 3
Chương 3: Ứng dụng 3
Trong thời gian nghiên cứu đề tài vì kiến thức, thông tin và thời gian có hạn
nên đề tài không tránh khỏi thiếu sót. Kính mong thầy và các bạn góp ý để
đề tài được hoàn chỉnh hơn 4
DANH SÁCH THÀNH VIÊN NHÓM 4
STT 4
Họ và tên 4
Công việc 4
(theo mục lục) 4
Ghi chú 4

Nhận xét của giáo viên 4
1 4
Phạm Văn Hạnh 4
Nhóm 9_Phương pháp toán sơ cấp Khóa 24. - 1
-
Lý thuyết đồ thị và ứng dụng
Chịu trách nhiệm nội dung và soạn thảo 4
2 4
Đinh Thị Ngọc Hạnh 4
Chương II 4
3 4
Lê Thị Nguyệt Nga 4
Chương II 4
4 4
Lê Thị Thanh Tâm 4
Chương III 4
CHƯƠNG I: ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐỒ THỊ 5
1.3. Đường đi, chu trình, tính liên thông 11
1.4. Biểu diễn đồ thị 16
1.4.1. Đồ thị vô hướng 16
Chương II ĐỒ THỊ EULER 20
2.1. Chu trình, đường đi Euler 20
2.2. Điều kiện cần và đủ 21
2.3. Các thuật toán tìm chu trình Euler 24
CHƯƠNG III : ỨNG DỤNG ĐỒ THỊ EULER 28
3.1. Bài toán về những cái cầu ở Konigsberg 28
3.2. Bài toán về các quân Domino 30
3.3. Một số ứng dụng khác 31
KẾT LUẬN 32
Nhóm 9_Phương pháp toán sơ cấp Khóa 24. - 2

-
Lý thuyết đồ thị và ứng dụng
LỜI GIỚI THIỆU
Lý thuyết đồ thị là nghành khoa học được phát triển từ rất lâu nhưng lại có
nhiều ứng dụng hiện đại. Những ý tưởng cơ bản của nó được nhà toán học Thụy sĩ
vĩ đại Leonhard Euler đưa ra từ thế kỉ XVIII thông qua bài báo nổi tiếng về những
cái cầu ở Konigsberg.
Cho đến ngày nay Lý thuyết đồ thị đã phát triển thành một nghành Toán có vị
trí đặc biệt quan trọng về mặt lý thuyết cũng như ứng dụng. Lý thuyết đồ thị là kiến
thức cơ sở cho nhiều nghành khoa học kỹ thuật khác nhau như Điện tử, Hóa học,
Ngôn ngữ học,Kinh tế học,Máy tính,
Đồ thị là một cấu trúc rời rạc gồm các đỉnh và các cạnh nối với đỉnh đó. Đây là
một công cụ hữu hiệu để mô hình hóa và giải quyết các bài toán trong nhiều lĩnh
vực: khoa học, kỹ thuật, kinh tế và xã hội,…
Đồ thị Euler là một chủ đề của lý thuyết đồ thị, nó là một bài toán hay và khó,
bởi thông qua bài toán này chúng ta được cung cấp một công cụ hữu hiệu để mô
hình hóa và giải các bài toán về đường đi.
Nhóm chúng em xin trình bày đề tài “ĐỒ THỊ EULER” với 3 nội dung chính
là:
Chương 1: Đại cương về đồ thị
Chương 2: Đồ thị Euler
Chương 3: Ứng dụng
Nhóm 9_Phương pháp toán sơ cấp Khóa 24. - 3
-
Lý thuyết đồ thị và ứng dụng
Trong thời gian nghiên cứu đề tài vì kiến thức, thông tin và thời gian có hạn nên
đề tài không tránh khỏi thiếu sót. Kính mong thầy và các bạn góp ý để đề tài được
hoàn chỉnh hơn
DANH SÁCH THÀNH VIÊN NHÓM
STT Họ và tên Công việc

(theo mục lục)
Ghi chú Nhận xét của
giáo viên
1 Phạm Văn Hạnh Chịu trách nhiệm nội
dung và soạn thảo
2 Đinh Thị Ngọc Hạnh Chương II
3 Lê Thị Nguyệt Nga Chương II
4 Lê Thị Thanh Tâm Chương III
Nhóm 9_Phương pháp toán sơ cấp Khóa 24. - 4
-
Lý thuyết đồ thị và ứng dụng
CHƯƠNG I: ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐỒ THỊ
1.1. Đồ thị vô hướng và đồ thị có hướng.
Định nghĩa 1.1.1
Đồ thị vô hướng: G = (V, E) gồm một tập V các đỉnh và tập E các cạnh
Mỗi cạnh e
∈
E được liên kết với một cặp đỉnh v, w ( không kể thứ tự) như hình
sau
v w
Định nghĩa 1.1.2
Đồ thị vô hướng : G = (V, E) gồm một tập V các đỉnh và tập E các cạnh có
hướng gọi là cung
Mỗi cạnh e
∈
E được liên kết với một cặp đỉnh (v, w) có thứ tự như hình sau
v w

Cho đồ thị có hướng G = (V, E). Nếu ta thay mỗi cung của G bằng một cạnh, thì
đồ thị vô hướng được gọi là đồ thị lót của G

Ghi chú: Đồ thị vô hướng có thể coi là đồ thị có hướng trong đó mỗi cạnh e = (v, w)
tương ứng với hai cung (v, w) và (w,v)
Cho đồ thị (có hướng hoặc vô hướng) G = (V, E)
Nếu cạnh e liên kết đỉnh v, w thì ta nói cạnh e liên thuộc đỉnh v, w, các đỉnh v, w
liên thuộc cạnh e, các đỉnh biên của cạnh e và đỉnh v kề đỉnh w
Nếu chỉ có duy nhất một cạnh e liên kết với cặp đỉnh v, w, ta viết e =(v, w). Nếu e
là cung thì v gọi là đỉnh đầu và w gọi là đỉnh cuối của cung e
Nhóm 9_Phương pháp toán sơ cấp Khóa 24. - 5
-
Lý thuyết đồ thị và ứng dụng
Nếu có nhiều cạnh liên kết với cùng một cặp đỉnh thì ta nói đó là các cạnh song
song
Cạnh có hai đỉnh liên kết trùng nhau gọi là khuyên
Đỉnh không kề với đỉnh khác gọi là đỉnh cô lập
Số đỉnh của đồ thị gọi là bậc của đồ thị, số cạnh hoặc số cung của đồ thị gọi là cỡ
của đồ thị
Đồ thị hữu hạn là đồ thị có bậc và cỡ hữu hạn
Đồ thị đơn là đồ thị không có khuyên và không có cạnh song song
Đồ thị vô hướng đủ là đồ thị mà mọi cặp đỉnh đều kề nhau
Đồ thị có hướng đủ là đồ thị có đồ thị lót đủ
1.2. Bậc, nửa bậc vào, nửa bậc ra.
Cho đồ thị G = (V, E)
Định nghĩa 1.1.3
Bậc của đỉnh v
∈
V là tổng số cạnh liên thuộc với nó và ký hiệu là d(v). Nếu
đỉnh có khuyên thì mỗi khuyên được tính là 2 khi tính bậc, như vậy
d(v) = số cạnh liên thuộc + 2* Số khuyên
Từ định nghĩa suy ra đỉnh cô lập trong đồ thị đơn là đỉnh có bậc bằng 0
Số bậc lớn nhất của G ký hiệu là ∆(G), số bậc nhỏ nhất của G ký hiệu là δ(G)

Đỉnh treo là đỉnh có bậc bằng 1
Định nghĩa 1.1.4
Cho G = (V, E) là đồ thị có hướng, v
∈
V, nửa bậc ra của đỉnh v, ký hiệu là d
0
(v)
là số cung đi ra từ đỉnh v (v là đỉnh đầu) và nửa bậc vào của đỉnh v
∈
V, ký hiệu là
d
i
(v) là số cung đi tới đỉnh v ( v là đỉnh cuối)
Ví dụ1.2.1: x
2
x
6
e
1
e
2
x
1
x
4
e
2
e
3
Nhóm 9_Phương pháp toán sơ cấp Khóa 24. - 6

-
Lý thuyết đồ thị và ứng dụng
x
3
trong đồ thị này có
d(x
1
) = 6; d(x
2
) = d(x
3
) = 4; d(x
4
) = 3; d(x
5
) = 0; d(x
6
) = 1
Đỉnh x
1
có 2 khuyên liên thuộc và Có hai cạnh song song liên thuộc đỉnh x
2
và x
3
Đỉnh x
5
là đỉnh cô lập
Đỉnh x
6
là đỉnh treo

Ví dụ 1.2.2: Xét đồ thị có hướng sau
x
2
x
6
x
4
x
1
x
3
x
5
Trong đồ thị có hướng này ta có
d
i
(x
1
) = 0, d
o
(x
1
) = 2 d
i
(x
2
) = 1; d
o
(x
2

) = 2
d
i
(x
3
) = 2, d
o
(x
3
) = 1 d
i
(x
4
) = 2,d
o
(x
4
) = 2
d
i
(x
5
) =1, d
o
(x
5
) = 1 d
i
(x
6

) = 2,d
o
(x
6
) = 0
Định nghĩa 1.1.5 (Bổ đề bặt tay - Hand Shanking Lemma).
Cho đồ thị G = (V, E). Khi đó
(i) Tổng bậc các đỉnh của đồ thị là số chẵn và
∑
∈
=
Vv
Ecardvd )(.2)(
(2i) Nếu G là đồ thị có hướng thì
∑ ∑
∈ ∈
==
Vv Vv
Ecardvdvd )()()(
10
Trong đó card(E) ký hiệu số phần tử của tập hợp X
Hệ quả 1.1.2 Số đỉnh bậc lẻ của đồ thị vô hướng là số chẵn
Ghi chú: Bổ đề trên có tên là bổ đề bắt tay từ bài toán thực tế sau
Nhóm 9_Phương pháp toán sơ cấp Khóa 24. - 7
-
Lý thuyết đồ thị và ứng dụng
Trong một hội thảo, các đại biểu bắt tay nhau. Khi đó, tổng số lần bắt tay của tất
cả đại biểu bao giờ cũng là số chẵn
Định nghĩa 1.1.5.
Đồ thị K

n
là đồ thị đơn, đủ n đỉnh ( mỗi cặp đỉnh đều có duy nhất 1 cạnh liên kết)
Ví dụ 1.2.3
Sau đây là đồ thị K
5
Mệnh đề 1.1.3. Mọi đỉnh của đồ thị K
n
có bậc n -1 và K
n
có n(n – 1) / 2 cạnh
Định nghĩa 1.1.6.
Đồ thị lưỡng phân G = ( V, E) là đồ thị là tập các đỉnh được phân làm 2 tập rời
nhau V
1
và V
2
sao cho mỗi cạnh của nó liên kết với một đỉnh thuộc V
1
và 1 đỉnh
thuộc V
2
, ký hiệu G = ({V
1
, V
2
}, E)
Đồ thị K
m,n
là đồ thị lưỡng phân ({V
1

, V
2
}, E) với tập V
1
có m đỉnh và tập V
2
có
n đỉnh và mỗi đỉnh của V
1
được nối với mỗi đỉnh của V
2
bằng 1 cạnh duy nhất.
Ví dụ 1.2.4.
Sau đây là đồ thị K
3,3
a b c
Nhóm 9_Phương pháp toán sơ cấp Khóa 24. - 8
-
Lý thuyết đồ thị và ứng dụng
x y z
Mệnh đề 1.1.4: Cho đồ thị lưỡng phân đủ K
m,n
= ({V
1
, V
2
}, E) với tập V
1
có m đỉnh
và tập V

2
có n đỉnh. Khi đó mỗi đỉnh trong V
1
có bậc là n và mỗi đỉnh trong V
2
có
bậc là m và K
m,n
có m.n cạnh.
Định nghĩa 1.1.7
Cho đồ thị G. Vectơ bậc d(V) của đồ thị G là dãy các bậc của tất cả các đỉnh của
G sắp xếp giảm dần.
Vectơ v gồm các số tự nhiên gọi là Vectơ đồ thị. Nếu tồn tại đơn thì đồ thị có Vectơ
bậc là v.
Ghi chú: Từ bổ đề bắt tay suy ra trong Vectơ đồ thị số thành phần lẻ là số chẵn.
Ví dụ 1.2.5
Vectơ [3, 3, 2, 2] là Vectơ đồ thị vì nó là Vectơ bậc của đồ thị sau

Ngược lại [3, 3, 3, 1] không phải là Vectơ đồ thị vì nếu tồn tại đồ thị G(4 đỉnh )
có Vectơ bậc là [3, 3, 3, 1] thì sau khi loại đỉnh bậc 1 và cạnh liên thuộc nó ta nhận
được đồ thị 3 đỉnh không đơn vì có đỉnh bậc 3, suy ra G cũng không đơn.
Định lý 1.1.5. (Hakimi-Havel)
Cho v = [d
1
, d
2
, , d
n
], n
≥

2, là Vectơ n số tự nhiên thỏa mãn
n – 1
≥
d
1

≥
d
2
≥

≥
d
n

≥
0
Nhóm 9_Phương pháp toán sơ cấp Khóa 24. - 9
-
Lý thuyết đồ thị và ứng dụng
Cho v’ là vectơ nhận được từ v bằng cách bỏ thành phần d
1
và trừ bớt 1 trong d
1
thành phần tiếp theo. Ký hiệu v
1
là vectơ v’ trong đó các thành phần được sắp xếp
giảm dần. Khi đó v là vectơ đồ thị khi và chỉ khi v
1
là vectơ đồ thị.

Sử dụng định lý Hakimi- Havel ta có thể đưa ra thuật toán kiểm tra xem 1 vectơ
có phải là vectơ đồ thị không như sau
Thuật toán 1.1.1. Kiểm tra vectơ đồ thị
* Đầu vào: vectơ v= [d
1
, d
2
, , d
n
] gồm n số nguyên giảm dần
* Đầu ra: kết luận v là vectơ đồ thị hay v không là vectơ đồ thị
* Các bước:
Bước 0( khởi tạo): Đặt k: = n và u: = v = [d
1
, d
2
, , d
n
]
Bước 1: Nếu u có thành phần lơn hơn ( k – 1) hoặc nhỏ hơn 0, thì sang bước 4.
Bước 2: Nếu các thành phần của u đều là số 0 thì sang bước 5
Bước 3( Bước lặp): Cho u’ là vectơ nhận được từ u bằng cách bỏ thành phần d
1
và trừ bớt 1 trong d
1
thành phần tiếp theo. Ký hiệu, u
1
là vec tơ u’ trong đó các thành
phần được sắp xếp giảm dần. Đặt k: = n - 1 và u : = u
1

. Quay lại bước 1
Bước 4: kết luận: v không phải là vec tơ đồ thị. Kết thúc
Bước 5: kết luận: v là vec tơ đồ thị. Kết thúc
Ví dụ 1.2.6: Kiểm tra vectơ v =[5, 4, 4, 3, 3, 3, 2]
Bước 0: Đặt k:= 7, u = [5, 4, 4, 3, 3, 3, 2]
Bước lặp 1: k:= 7, u = [5, 4, 4, 3, 3, 3, 2], u’= [3, 3, 2, 2, 2, 2], u
1
= [3, 3, 2, 2, 2, 2]
Bước lặp 2: k:= 6, u = [3, 3, 2, 2, 2, 2], u’= [2, 1, 1, 2, 2], u
1
= [2, 2, 2, 1, 1]
Bước lặp 3: k:= 5, u = [2, 2, 2, 1, 1], u’= [1, 1, 1, 1], u
1
= [1, 1, 1, 1]
Bước lặp 4: k:= 4, u = [1, 1, 1, 1], u’= [0, 1, 1], u
1
= [1, 1, 0]
Bước lặp 5: k:= 3, u = [1, 1, 0], u’= [0, 0], u
1
= [0, 0]
Kết luận v là vectơ đồ thị. Đồ thị sau có vectơ bậc là v
Nhóm 9_Phương pháp toán sơ cấp Khóa 24. - 10
-
Lý thuyết đồ thị và ứng dụng
1.3. Đường đi, chu trình, tính liên thông
Định nghĩa 1.1.8.
Cho đồ thị G = (V, E).
Dây
µ
từ đỉnh v đến đỉnh w là dãy các đỉnh và cạnh nối tiếp nhau bắt đầu từ đỉnh

v và kết thúc tại đỉnh w. Số cạnh trên dãy
µ
gọi là độ dài của dãy
µ
.
Dây
µ
từ đỉnh v đến đỉnh n được biểu diễn như sau
µ
= (v, e
1
, v
1
, e
2
, v
2
, …, v
n-1
, e
n
, w)
trong đó v
i
(i = 1, …, n-1) là các đỉnh trên dãy và e
i
(i = 1,…,n) là các cạnh trên dãy
liên thuộc đỉnh kề trước và sau nó. Các đỉnh và cạnh trên dãy có thể lặp lại.
Đường đi từ đỉnh v đến đỉnh w là dãy từ đỉnh v đến đỉnh w, trong đó có các cạnh
không lặp lại.

Đường đi sơ cấp là đường đi không đi qua một đỉnh quá 1 lần.
Vòng là dãy có đỉnh đầu và đỉnh cuối trùng nhau.
Chu trình là đường đi có đỉnh đầu và đỉnh cuối trùng nhau.
Chu trình sơ cấp là chu trình không đi qua một đỉnh quá 1 lần.
Dãy có hướng trong đồ thị có hướng là dãy các đỉnh và cung nối tiếp nhau (e
1
,
e
2
, , e
n
) thỏa mãn đỉnh cuối của cung e
i
là đỉnh đầu của cung e
i+1
, i = 1,…,n-1.
Đường đi có hướng trong đồ thị có hướng là dãy có hướng, trong đó có các cung
không lặp lại.
Đường đi có hướng sơ cấp là đường đi có hướng không đi qua một đỉnh quá 1
lần.
Nhóm 9_Phương pháp toán sơ cấp Khóa 24. - 11
-
Lý thuyết đồ thị và ứng dụng
Vòng có hướng là dãy có hướng có đỉnh đầu và đỉnh cuối trùng nhau.
Chu trình có hướng là đường đi có hướng có đỉnh đầu và đỉnh cuối trùng nhau.
Chu trình có hướng sơ cấp là chu trình có hướng khônng đi qua một đỉnh quá 1
lần.
Đồ thị vô hướng gọi là liên thông, nếu mọi cặp đỉnh của nó đều có đường đi nối
chúng với nhau.
Đồ thị có hướng gọi là liên thông mạnh, nếu mọi cặp đỉnh của nó đều có đường

đi có hướng nối chúng với nhau.
Đồ thị có hướng gọi là liên thông yếu, nếu đồ thị lót (vô hướng) của nó liên
thông.
Đồ thị có hướng gọi là bán liên thông, nếu với mọi cặp đỉnh (u, v) bao giờ cũng
tồn tại đường đi có hướng từ u đến v hoặc từ v đến u.
Ghi chú: Đồ thị liên thông mạnh  Đồ thị bán liên thông  Đồ thị liên thông yếu
Định lý 1.1.6
i) Trong đồ thị vô hướng mỗi dãy từ đỉnh v đến w chứa đường đi sơ cấp từ
v đến w.
ii) Trong đồ thị có hướng mỗi dãy có hướng từ đỉnh v đến w chứa đương đi có
hướng sơ cấp từ v đến w.
Định lý1.1.7. Đồ thị G lưỡng phân khi và chỉ khi G không chứa chu trình độ dài lẻ
Định nghĩa 1.1.9
Cho đồ thị G = (V, E). Đồ thị G’ = (V’, E’) gọi là đồ thị con của G nếu
V’
⊂
V  E’
⊂
E
Nếu V’ = V thì G’ gọi là đồ thì con phủ của G.
Nếu F
⊂
E, thì ký hiệu G-F là đồ thị con (V, E-F) của G gồm tập đỉnh V và tập
cạnh (cung) E-F.
Nếu U
⊂
V, thì ký hiệu G-U là đồ thị con của G thu được từ G sau khi loại bỏ
các đỉnh trong U và các cạnh liên thuộc chúng.
Nhóm 9_Phương pháp toán sơ cấp Khóa 24. - 12
-

Lý thuyết đồ thị và ứng dụng
Cho U
⊂
V. Đồ thị con của G sinh bởi U, ký hiệu <U>, là đồ thị (U, E
U
) với
E
U
= {e
∈
E / e liên thuộc đỉnh trong U}
Đồ thị con G’ = (V’, E’) của đồ thị (có hướng) G = (V, E) gọi là thành phần liên
thông (mạnh) của đồ thị G, nếu nó là đồ thị con liên thông (mạnh) tối đại của G, tức
là không tồn tại đồ thị con liên thông (mạnh) G’’ = (V’’, E’’)
≠
G’ của G thỏa V’
⊂
V’’, E’
⊂
E’’.
Ví dụ1.3.2. Xét đồ thị G = (V, E) ở ví dụ trước.
Đồ thị G
1
= (V
1
, E
1
), với V
1
= {x

1
, x
2
, x
3
, x
4
} và E
1
= {e
1
, e
2
, e
3
, e
4
} là đồ thị con
của đồ thị G nhưng không phải thành phần liên thông.
Đồ thị G
2
= {V-{x
5
}, E} = <V-{x
5
}> là thành phần liên thông của G.
Đồ thị G
3
= {x
5

} là thành phần liên thông của G
⇒
G có 2 thành phần liên thông
Ghi chú: Đồ thị liên thông khi và chỉ khi số thành phần liên thông của nó bằng 1
Định lý1.1.8. Cho đồ thị đơn G = (V, E) với n đỉnh, và k thành phần liên thông. Khi
đó số cạnh m của đồ thị thỏa bất đẳng thức
n – k
≤
m
≤

2
)1)(( +−− knkn
Hệ quả 1.1.9 Mọi đơn đồ thị n đỉnh với số cạnh lớn hơn
2
)2)(1( −− nn
là liên thông.
Định nghĩa 1.1.10
Nhóm 9_Phương pháp toán sơ cấp Khóa 24. - 13
-
x
2
x
6

e
1
e
4
x

1
x
4


e
2
e
3
o
x
5

x
3

Lý thuyết đồ thị và ứng dụng
Cho đồ thị G = (V, E) liên thông.
Tập cạnh F
⊂
E gọi là tập hợp tách cạnh của đồ thị liên thông G, nếu G-F
không liên thông. Hơn nữa, nếu F là tập hợp tách cạnh cực tiểu(tức không tồn tại F’
⊂
F, F’
≠
F, F’ là tập tách cạnh), thì F gọi là tập cắt cạnh. Nếu tập cắt cạnh chỉ có 1
cạnh, thì cạnh đó gọi là cầu.
Đại lượng
λ
(G) = min{card(F) / F là tập tách cạnh của G}

gọi là số liên thông cạnh của G.
Đồ thị G gọi là k cạnh liên thông, nếu mọi tập tách cạnh có ít nhất k cạnh.
Ghi chú. Từ định nghĩa ta có
λ
(G)
≥
k
∀
k, G là k cạnh liên thông
Và
λ
(G) = max{k / G là k cạnh liên thông}
Định nghĩa 1.1.11
Tập đỉnh U
⊂
V gọi là tập gợp tách đỉnh của đồ thị liên thông G, nếu G-U
không liên thông. Hơn nữa, nếu U là tập hợp tách đỉnh cực tiểu (tức không tồn tại U’
⊂
U, U’
≠
U, U’ là tập tách đỉnh), thì U gọi là tập cắt đỉnh. Nếu tập tách đỉnh chỉ
có 1 đỉnh, thì đỉnh đó gọi là đỉnh tách.
Đại lượng
(G) = min{card(U) / U là tập tách đỉnh của G}
Gọi là số liên thông đỉnh của G.
Đồ thị G gọi là k-liên thông, nếu mọi tập tách đỉnh có ít nhất k đỉnh.
Ghi chú. Từ định nghĩa ta có
κ
(G)
≥

k
∀
k, G là k-liên thông
Và
κ
(G) = max{k / G là k-liên thông}
Ghi chú.
(i) Tập V và V – {v}
∀
v
∈
V đều không phải là tập tách đỉnh.
Nhóm 9_Phương pháp toán sơ cấp Khóa 24. - 14
-
Lý thuyết đồ thị và ứng dụng
(ii) Đồ thị đủ K
n
không có tập tách đỉnh. Vì vậy ta qui ước số liên thông
đỉnh của K
n
là (n – 1).
Ví dụ 1.3.3 Xét đồ thị sau:
Các tập cạnh sau: {b,c}, {e,g}, {b,c,d}, {d,e,g}, {d}
là tập tách cạnh, trong đó cạnh d là cầu, {b,c} và {e,g} là các tập cắt cạnh.
Các tập đỉnh sau: {1,3}, {2,3}, {3,4}, {3}, {4}, {5,7}
là tập tách đỉnh, trong đó đỉnh 3, 4 là đỉnh tách, {5,7}là các tập cắt đỉnh.
Định lý1.1.10 (Bất đẳng thức Whitney)
Với mọi đồ thị G ta có:
)()()( GGG
δλκ

≤≤
Định lý 1.1.11. Đồ thị G = (V, E) bậc n là k-liên thông (1
≤
k
≤
n-1), nếu
δ
(G)
≥
(n + k - 2)/2.
Định nghĩa 1.1.12
Cho đồ thị G= (V, E). Ta định nghĩa khoảng cách từ u đến v,
∀
u, v
∈
V, là độ
dài đường đi ngắn nhất từ u đến v và kí hiệu là d(u, v).
Đại lượng
e(v) = max{d(v, w) / w
∈
V}
gọi là độ lệch tâm của đỉnh v,
∀
v
∈
V.
Bán kính của đồ thị G, kí hiệu là r(G), là độ lệch tâm nhỏ nhất
r(G) = min{e(v) / v
∈
V}

Đỉnh v
∈
V gọi là đỉnh tâm nếu e(v) = r(G). Tập hợp tất cả các đỉnh tâm gọi là
tâm của đồ thị và kí hiệu là C(G).
Ví dụ 1.3.4
Nhóm 9_Phương pháp toán sơ cấp Khóa 24. - 15
-
5
b e f

a 3 d 4 i 6
c g h
2 7

Lý thuyết đồ thị và ứng dụng
Xét các đồ thị sau
Độ lệch tâm các đỉnh A, B, C, D, E, F, G của đồ thị G
1
tương ứng là 4, 3, 2, 4, 3,
2, 3. Suy ra bán kính r(G
1
) = 2, các đỉnh tâm là C và F, và tâm C(G
1
) = {C, F}.
Độ lệch tâm các đỉnh A, B, C, D, E của đồ thị G
2
tương ứng là 2, 2, 2, 2, 1. Suy
ra bán kính r(G
2
) = 1, đỉnh tâm duy nhất là E, và tâm C(G

2
) = {E}.
1.4. Biểu diễn đồ thị
1.4.1. Đồ thị vô hướng
Định nghĩa 1.1.13: Cho đồ thị vô hướng G = (V , E) có n đỉnh theo thứ tự v
1
, v
2
,
…, v
n
. Ma trận kề của đồ thị G là ma trận vuông A = (a
ij
)
nxn
, trong đó a
ij
là cạnh nối
v
i
với v
j
. Lưu ý rằng mỗi khuyên được tính là hai cạnh.
Từ định nghĩa suy ra rằng ma trận kề của đồ thị vô hướng luôn luôn đối xứng qua
đường chéo chính.
Ví dụ 1.4.1 Đồ thị
Nhóm 9_Phương pháp toán sơ cấp Khóa 24. - 16
-
A B C D A B
E

G F E C D

G
1

G
2


Lý thuyết đồ thị và ứng dụng
có ma trận kề là
Mệnh đề 1.1.12. Cho đồ thị G = (V, E) với ma trận kề (a
ij
). Khi đó
d(v
i
) =
∑
=
n
j 1
a
ij
+a
ii
=
∑
=
n
j 1

a
ji
+a
ii
∀
v
i,j

∈
V
Định lý 1.1.13
Cho đồ thị đơn G = (V, E) có n đỉnh, V = {v
1
, v
2
, …, v
n
} và có ma trận kề của đồ
thị G là ma trận A = (a
ij
)
nxn
. Giả sử A
k
= (c
ij
)
nxn
, k
≥

1. Khi đó c
ij
, i
≠
j, là số các dãy có
chiều dài k từ đỉnh v
i
đến đỉnh v
j
. Đặc biệt phần tử trên ô [i, j] , 1
≤
i
≤
n, của A
2
là
bậc của đỉnh v
i
.
Hệ quả 1.1.14.
Cho đồ thị G = (V, E) có n đỉnh, V = {v
1
, v
2
, …, v
n
} và ma trận kề của đồ
thị G là ma trận A = (a
ij
)

nxn
. Ký hiệu
T = A + A
2
+ …+ A
n-1
.
Nhóm 9_Phương pháp toán sơ cấp Khóa 24. - 17
-
v
3
v
2
v
1
v
4
v
5
v
1
v
2
v
3
v
4
v
5
v

1
0 1 0 0 1
v
2
1 0 1 0 1
v
3
0 1 2 0 1
v
4
0 0 0 0 1
v
5
1 1 1 1 0
Lý thuyết đồ thị và ứng dụng
Khi đó đồ thị G liên thông khi và chỉ khi các phần tử ngoài đường chéo
chính của ma trận T đều lớn hơn 0.
+ Chú ý. Nếu đồ thị có 2 thành phần liên thông thì ta có thể đánh số lại các đỉnh và
ma trận kề có dạng






2
1
0
0
A

A
Nếu đồ thị là lưỡng phân thì ta có thể đánh số lại các đỉnh và ma trận kề
có dạng






0
0
T
A
A
1.4.2 Đồ thị có hướng
Định nghĩa 1.1.14. Cho đồ thị có hướng G = (V, E) có n đỉnh theo thứ tự v
1
, v
2
,
…, v
n
. Ma trận kề của đồ thị G là ma trận vuông A = (a
ij
)
nxn
, trong đó a
ij
là số cung
đi từ v

i
tới v
j
.
Ví dụ 1.4.2
Xét đồ thị có hướng sau
Đồ thị trên có ma trận kề là
Nhóm 9_Phương pháp toán sơ cấp Khóa 24. - 18
-
v
2
v
6

e
1
e
4

e
6
v
1
e
3
e
8

e
2
e
5
v
4
e
7
v
5

v
1
v
2
v
3
v
4
v
5
v
6
v
1
0 1 1 0 0 0
v
2
0 0 1 1 0 0

v
3
0 0 0 1 0 0
v
4
0 0 0 0 1 1
v
5
0 0 0 0 0 1
v
6
0 0 0 0 0 0
Lý thuyết đồ thị và ứng dụng
Mệnh đề 1.1.15. Cho đồ thị có hướng với ma trận kề (a
ij
). Khi đó
d
0
(v
i
) =
∑
=
n
j 1
a
ij
 d
1
(v

i
) =
∑
=
n
j 1
a
ji
∀
v
i

∈
V
Định lý 1.1.16
Cho đồ thị có hướng G = (V, E) có n đỉnh, V = {v
1
, v
2
, …, v
n
} và ma trận kề của
đồ thị G là ma trận A = (a
ij
)
nxn
. Giả sử A
k
= (c
ij

)
nxn
, k
≥
1. Khi đó c
ij
, i
≠
j, là số các
dãy có hướng chiều dài k từ đỉnh v
i
đến đỉnh v
j
.
Hệ quả 1.1.17
Cho đồ thị có hướng G = (V, E) có n đỉnh, V = {v
1
, v
2
, …, v
n
} và ma trận kề của
đồ thị G là ma trận A = (a
ij
)
nxn
. Ký hiệu
T = A + A
2
+ …+ A

n-1
.
Khi đó đồ thị G liên thông mạnh khi và chỉ khi các phần tử ngoài đường chéo chính
của ma trận T đều lớn hơn 0.
Nhóm 9_Phương pháp toán sơ cấp Khóa 24. - 19
-
Lý thuyết đồ thị và ứng dụng
Chương II ĐỒ THỊ EULER
2.1. Chu trình, đường đi Euler
Định nghĩa 2.1.1
Cho đồ thị G = (V, E).
Chu trình Euler là chu trình qua mọi cạnh và mọi đỉnh của đồ thị, mỗi cạnh
không quá 1 lần.
Đường đi Euler là đường đi qua mọi cạnh và mọi đỉnh của đồ thị, mỗi cạnh
không quá 1 lần.
Cho đồ thị có hướng G = (V, E).
Chu trình có hướng Euler là chu trình có hướng qua mọi cung và mọi đỉnh của
đồ thị, mỗi cung không quá 1 lần.
Đường đi có hướng Euler là đường đi có hướng qua mọi cung và mọi đỉnh của
đồ thị, mỗi cung không quá 1 lần.
Đồ thị chứa chu trình Euler gọi là Đồ thị Euler.
Ví dụ 2.1.1. Đồ thị
Nhóm 9_Phương pháp toán sơ cấp Khóa 24. - 20
-
1
3
6
5
2
4

Lý thuyết đồ thị và ứng dụng
Có chu trình Euler là: (1, 2, 3, 4, 2, 5, 6, 3, 1).
2.2. Điều kiện cần và đủ.
Định lý 2.1.1 (Định lý Euler)
Đồ thị G có chu trình Euler khi và chỉ khi G liên thông và mọi đỉnh có bậc chẵn
khác 0.
Chứng minh :
(i)
( )
⇒
: Giả sử G có chu trình Euler và v là một đỉnh bất kì của G. Khi đó chu trình
Euler đến v theo cạnh e thì ra khỏi v bằng cạnh e’
≠
e. Do đó bậc của G phải là số
chẵn. G hiển nhiên liên thông.
(ii)
( )
⇐
: Giả sử G liên thông và mọi đỉnh có bậc chẵn khác 0. Ta chứng minh G có
chu trình Euler quy nạp theo số cạnh m của G.
+) m = 1 : Vì G liên thông và mọi đỉnh có bậc chẵn nên G chỉ có 1 đỉnh và 1
khuyên. Khuyên đó cũng tạo thành chu trình Euler.
+) Giả sử G có m cạnh, số đỉnh n > 0 và mọi đồ thị liên thông có số cạnh nhỏ
hơn m với mọi đỉnh có bậc chẵn đều có chu trình Euler.
- Trường hợp n = 1 hoặc n = 2 thì hiển nhiên tồn tại chu trình Euler.
- Trường hợp n > 2. Vì bậc của các đỉnh chẵn
2≥
, bao giờ cũng chọn được 3
đỉnh a, b, c với các cạnh x=(a, b) ; y=(a, c) .
• Giả sử G chứa cạnh z = (b, c).

Xét đồ thị G’ thu được từ G bằng cách loại bỏ ba cạnh x, y, z. Sẽ xảy ra một
trong 3 khả năng sau :
*/ G’ liên thông, vì số cạnh của G’ nhỏ hơn m và các đỉnh của G vẫn có bậc
chẵn nên theo giả thiết quy nạp tồn tại chu trình Euler C’ của G’. Nối chu trình con
(x, y, z) với C’ ta thu được chu trình Euler C của G.
*/ G’ có 2 thành phần liên thông G
1
và G
2
. Không mất tính tổng quát giả sử G
1
chứa a, G
2
chứa b và c. G
1
có chu trình Euler C
1
, G
2
có chu trình Euler C
2
. Ta xây
dựng chu trình Euler của G như sau:
Nhóm 9_Phương pháp toán sơ cấp Khóa 24. - 21
-
Lý thuyết đồ thị và ứng dụng
Xuất phát từ đỉnh a ta đi theo chu trình C
1
, quay về a sau đó ta đi theo cạnh x=(a,
b) đến đỉnh b, rồi từ b đi theo chu trình C

2
quay về b, sau đó đi theo cạnh z = (b, c),
y=(c, a) quay về a.
*/ G’ có 3 thành phần liên thông G
1
, G
2
và G
3
. Không mất tính tổng quát giả sử
G
1
chứa a, G
2
chứa b và G
3
chứa c. G
1
có chu trình Euler C
1
, G
2
có chu trình Euler C
2
và G
3
có chu trình Euler C
3
. Ta xây dựng chu trình Euler C của G như sau :
Xuất phát từ đỉnh a ta đi theo chu trình C

1
, quay về a sau đó ta đi theo cạnh x=(a,
b) đến đỉnh b, rồi từ b đi theo chu trình C
2
quay về b, sau đó đi theo cạnh z = (b, c)
đến đỉnh c, rồi từ c đi theo chu trình C
3
quay về c sau đó đi theo cạnh y=(c, a) quay
về a.
• Giả sử G không chứa cạnh z = (b, c).
Xét đồ thị G’ thu được từ G bằng cách loại bỏ hai cạnh x, y và thêm cạnh z, sẽ
xảy ra một trong hai khả năng sau :
*/ G’ liên thông, vì số cạnh của G’ nhỏ hơn m và các đỉnh vẫn có bậc chẵn
nên theo giả thiết quy nạp tồn tại chu trình Euler C’ của G’. Thay cạnh
'z C
∈
bằng
cạnh x và y ta thu được chu trình Euler C của G.
*/ G’ có 2 thành phần liên thông G
1
và G
2
. Không mất tính tổng quát giả sử
G
1
chứa a, G
2
chứa b và c. G
1
có chu trình Euler C

1
, G
2
có chu trình Euler C
2
. Ta xây
dựng chu trình Euler của G như sau:
Thay cạnh z
2
C∈
bằng các cạnh x và y ta có chu trình C
2
’. Nối C
2
’ với C
1
ta thu
được chu trình Euler C của G.
Định lý 2.1.2
Cho đồ thị G có k đỉnh bậc lẻ. Khi đó số đường đi tối thiểu phủ G là
/ 2k
Chứng minh :
Ta đã biết số đỉnh bậc lẻ là chẵn, k = 2n, chứng minh quy nạp theo n ta có :
Nhóm 9_Phương pháp toán sơ cấp Khóa 24. - 22
-
Lý thuyết đồ thị và ứng dụng
*/ n = 1 : Đồ thị có 2 đỉnh bậc lẻ nối với nhau bằng cạnh z ta thu được đồ thị G’
thỏa mãn định lí Euler. Như vậy G’ có chu trình Euler C’. Bỏ cạnh z trên C’ ta thu
được đường đi Euler phủ G.
*/ Giả sử G có số đỉnh bậc lẻ là 2n và định lý đúng với k < 2n. nối 2 đỉnh bậc lẻ a, b

nào đó với nhau bằng cạnh z ta thu được đồ thị G’ có 2n -2 đỉnh bậc lẻ. Theo giải
thiết quy nạp G’ có n-1 đường đi phủ G’. Gọi P là đường đi qua cạnh z. Hiển nhiên
a, b không phải đỉnh đầu hoặc cuối của P, vì vậy nếu bỏ cạnh z ta thu được 2 đường
đi P
1
và P
2
cùng với n-2 đường đi còn lại phủ đồ thị G.
Bây giờ xét đồ thị có hướng G = (V, A). Ký hiệu :
{ }
R= deg ( ) deg ( )
I O
u V v v∈ =
{ }
{ }
S= deg ( ) deg ( )
T= deg ( ) deg ( )
I O
I O
u V v v
u V v v
∈ >
∈ <
Theo bồ đề bắt tay ta có :
( ) ( )
deg ( ) deg ( ) deg ( ) deg ( ) deg ( ) deg ( )
O I I O O I
v R v R v S v T
v v v v v v
∈ ∈ ∈ ∈

= ⇒ − = −
∑ ∑ ∑ ∑
Ta kí hiệu
( ) ( )
deg ( ) deg ( ) deg ( ) deg ( )
I O O I
v S v T
k v v v v
∈ ∈
= − = −
∑ ∑
Định lý 2.1.3
(i) Đồ thị có hướng G có chu trình có hướng Euler khi và chỉ khi G liên thông
yếu và mọi đỉnh có nửa bậc vào bằng nửa bậc ra, tức
;S T≠ ∅ ≠ ∅
.
(ii) Nếu
S
≠ ∅
, thì số đường đi tối thiểu phủ G là k. Các đường đi này nối các
đỉnh của tập T đến các đỉnh của tập S.
Ví dụ 2.2.1 Đồ thị
Nhóm 9_Phương pháp toán sơ cấp Khóa 24. - 23
-
A
B
C
D
Lý thuyết đồ thị và ứng dụng
Có chu trình Euler : (A, B, C, D, A).

Ví dụ 2.2.2 Đồ thị
Không có chu trình Euler.
Ta có :
{ }
{ }
{ }
{ }
{ }
R= deg ( ) deg ( )
S= deg ( ) deg ( ) ,
T= deg ( ) deg ( ) ,
I O
I O
I O
u V v v
u V v v C D
u V v v A B
∈ = = ∅
∈ > =
∈ < =
và
( ) ( )
deg ( ) deg ( ) deg ( ) deg ( ) 2
I O O I
v S v T
k v v v v
∈ ∈
= − = − =
∑ ∑
Vậy số đường đi có hướng tối tiểu phủ đồ thị là k = 2, ví dụ hai đường đi sau :

(A, C, D, A, B, C) và (B, D)
2.3. Các thuật toán tìm chu trình Euler
Thuật toán 2.1.1
* Đầu vào: Đồ thị
G ≠ ∅
, không có đỉnh cô lập.
* Đầu ra: Chu trình Euler C của G, hoặc kết luận G không có chu trình Euler.
* Phương pháp:
(1) Khởi tạo: Đặt H := G, k := 1, C :=
∅
, v
G∈
.
(2) Xuất phát từ v, xây dựng chu trình bất kỳ C
k
trong H
Nếu tồn tại C
k
, nối C
k
vào C, C :=
k
C C∪
. Sang bước (3)
Nếu không tồn tại C
k
, thì kết luận không có chu trình Euler, kết thúc.
Nhóm 9_Phương pháp toán sơ cấp Khóa 24. - 24
-
A

B
C
D
Lý thuyết đồ thị và ứng dụng
(3) Loại H khỏi chu trình C
k
. Nếu H chứa các đỉnh cô lập thì loại chúng ra
khỏi H sang bước (4).
(4) Nếu H =
∅
, thì kết luận C là chu trình Euler, kết thúc. Ngược lại sang
bước (5).
(5) Nếu H và C không có đỉnh chung thì kết luận không có chu trình Euler,
kết thúc.
Nếu H và C có đỉnh chung. Đặt k := k+1. Chọn đỉnh
v C H
∈ ∩
bất kỳ.
Quay lại bước (2).
Ví dụ 2.2.3
Cho G là đồ thị thanh mã tấu Mohammed
Ta áp dụng thuật toán 2.1.1 để tìm chu trình Euler.
(1) Đặt H := G, k :=1, C:=
∅
, v := f
(2) Ta xây dựng chu trình C
1
trong H :
C
1

:= (f,g,k,h,i,e,b,c,d,f)
Đặt C :=
1
C C∪
= (f,g,k,h,i,e,b,c,d,f)
(3) Loại C
1
ra khỏi H ta được đồ thị H như sau:
Nhóm 9_Phương pháp toán sơ cấp Khóa 24. - 25
-
a
k
c
b
e
d
f
i
j
h
g
a
k
c
b
e
d
f
i
j

h
g