hàm giá trị tối ưu và ánh xạ nghiệm hữu hiệu trong các bài toán tối ưu véc tơ có tham số

tãm t¾t
Luận án này trình bày một số kết quả mới về tính ổn định nghiệm và độ nhạy
nghiệm của các bài toán tối ưu véctơ có tham số. Luận án có 4 chương. Hai
chương đầu nghiên cứu tính ổn định nghiệm của các bài toán tối ưu véctơ nửa
vô hạn. Hai chương sau khảo sát độ nhạy nghiệm của một số bài toán tối ưu
véctơ dạng tổng quát.
Chương 1 nghiên cứu các điều kiện cần và đủ cho tí
nh chất nửa liên tục trên
và nửa liên tục dưới của ánh xạ nghiệm hữu hiệu trong bài toán tối ưu véctơ nửa
vô hạn.
Chương 2 thiết lập điều kiện đủ cho tính chất giả-Lipschitz của ánh xạ
nghiệm hữu hiệu trong bài toán tối ưu véctơ nửa vô hạn lồi.
Chương 3 đưa ra các công thức tính đạo hàm trên-đồ-thị Clarke suy rộng của
hàm
giá trị tối ưu cho bài toán tối ưu véctơ trong các trường hợp sau: a) bài toán
không có ràng buộc, b) bài toán có ràng buộc tổng quát, c) bài toán tối ưu nửa
vô hạn.
Chương 4 thiết lập các công thức tính đối đạo hàm Fréchet của hàm giá trị
tối ưu trong các bài toán tối ưu véctơ thuộc các dạng sau: a) bài toán có tập ràng
buộc được xác định bởi một ánh xạ đa trị, b) bài toán có ràng buộc toán tử, c)
bài toán có tập ràng buộc được mô tả bởi hữu hạn hoặc vô hạn
các hàm số thực.

ABSTRACT
This thesis presents some new results on stability analysis and sensitivity
analysis in parametric vector optimization problems. The thesis consists of four
chapters. The first two chapters of the thesis deal with the stability analysis of
semi-infinite vector optimization problems. The last two chapters of the thesis
investigate the sensitivity analysis of some general vector optimization
problems.
Chapter 1 studies necessary and sufficient conditions for the lower and upper
semicontinuity properties of efficient solution maps in semi-infinite vector
optimization problems.
Chapter 2 establishes sufficient conditions for the pseudo-Lipschitz property
of efficient solution maps in convex semi-infinite vector optimization problems.
Chapter 3 gives formulae for computing the generalized Clarke epiderivative
of marginal functions in vector optimization problems in the following cases: a)
unconstrained problems, b) general constrained problems, c) semi-infinite
optimization problems.
Chapter 4 establishes formulae for computing the Fréchet coderivative of
marginal functions in vector optimization problems in the following cases: a)
the constraint set is defined by a multifunction, b) operator constraints are
included, c) the constraint set is defined by an arbitrary (possibly infinite)
number of real functions.

F : X ⇒ Y X Y

R
n
n
R
n
+
R
n
R
n
−
R
n
R
R := R ∪ {±∞}
X
∗
X
x
∗
, x X
∗
X
x x
x
n
x R
n
|x| x ∈ R
B

X
X
B
ρ
(x) x ∈ X ρ X
{x
i
} {x
i
}
∞
i=1
∅
0 0 0
0
X
0 X
0
n
0 R
n
A ⊂ B A B
A  B A B
A ∩ B A B
A ∪ B A B
A × B A B
∃x x
∀x x
A \ B A B
A + B A B

clA A
intA A
(M) M
cone(M) M
argmin{f(x) | x ∈ Ω}
CO
K
[R
n
, R
m
] K R
n
R
m
C[Ω, R
n
] Ω R
n
E(A|K) A K
T
C
(A; x) A x
T
B
(A; x) A x

N(x; A) A x
∇f(x) f x
∂f(x)

f x

∂f(x) f x
D
C
F (x, y) F (x, y)

D
∗
F (x, y) F (x, y)
A := B A B
✷
f : X → Y
X Y
Y
K ⊂ Y y
1

K
y
2
⇔ y
2
−y
1
∈ K.
Y = R K = R
+
¨o
¨o

Θ
C[Θ, R
n
] Θ R
n
||f|| := max
x∈Θ
f(x)
n
∀f ∈ C[Θ, R
n
],
||· ||
n
n
R
n
X ×Y X
Y
||(x, y)|| := ||x|| + ||y|| ∀(x, y) ∈ X × Y.
Ω (X, d)
T
P := C[Ω, R
s
] × C[Ω ×T, R

m
] × C[T, R
m
].
p := (f, g, b) ∈ P
(SVO)
p
: min
R
s
+
f(x) x ∈ C(p),
C(p) := {x ∈ Ω |g(x, t) − b(t) ∈ −R
m
+
∀t ∈ T }
R
k
+
:= {x = (x
1
, , x
k
) ∈ R
k
|x
i
≥ 0 ∀i = 1, , k}, k = 1, 2,
R
k

.
C : P ⇒ Ω p ∈ P C(p)
A Y intA clA N(y)
y ∈ Y
¯x ∈ S(p) ¯x
(SVO)
p
¯x ∈ C(p) x ∈ C(p)
f(x) − f(¯x) ∈ −R
s
+
\{0
s
}. 0
s
0 R
s
.
S : P ⇒ Ω p ∈ P S(p)
¯x ∈ S
w
(p) ¯x
(SVO)
p
¯x ∈ C(p) x ∈ C(p)
f(x) − f(¯x) ∈ −intR
s
+
. S
w

: P ⇒ Ω p ∈ P
S
w
(p)
F : Y ⇒ Z
domF := {y ∈ Y | F (y) = ∅} F.
F : Y ⇒ Z
y
0
∈ Y V ⊂ Z F(y
0
) ⊂ V
U ∈ N(y
0
) F (y) ⊂ V y ∈ U.
y
0
∈ F V ⊂ Z
V ∩F (y
0
) = ∅ U ∈ N(y
0
) V ∩F (y) = ∅ y ∈ U.
y
0
∈ F F
y
0
.
Y Z

F
y
0
∈ F z
0
∈ F (y
0
)
{y
i
} ⊂ F, y
i
→ y
0
, {z
i
} ⊂ Z, z
i
∈ F (y
i
) z
i
→ z
0
F y
0
∈ F
{y
i
} ⊂ Y, y

i
→ y
0
, {z
i
} ⊂ Z, z
i
∈ F(y
i
)\F (y
0
)
i {z
i
j
} ⊂ {z
i
} z
i
j
→ z
0
∈ F(y
0
)
S
Θ
f : Θ → R
s
K ⊂ R

s
f K K Θ x
1
, x
2
∈ Θ,
t ∈ [0, 1],
f(tx
1
+ (1 − t)x
2
) ∈ tf(x
1
) + (1 − t)f(x
2
) − K,
f K K Θ intK = ∅,
y ∈ R
s
, x
1
, x
2
∈ Θ, x
1
= x
2
, t ∈ (0, 1),
f(x
1

), f(x
2
) ∈ y −K f(tx
1
+ (1 − t)x
2
) ∈ y −intK.
C : P ⇒ Ω
C
p ∈ dom C.
p
0
:= (f
0
, g
0
, b
0
) ∈ dom C.
C p
0
.

p
k
:= (f
k
, g
k
, b

k
)

∞
k=1
⊂ P
p
k
→ p
0
k → ∞ {x
k
}
∞
k=1
⊂ Ω
x
k
∈ C(p
k
)\C(p
0
) k ∈ {1, 2, }. Ω
x
k
→ x
0
k → ∞
x
0

∈ C(p
0
)
p
k
→ p
0
k → ∞  > 0 k
0
||p
k
−p
0
|| <

3
k ≥ k
0
. ||g
k
−g
0
|| <

3
, ||b
k
−b
0
|| <


3
k ≥ k
0
.
g
0
(x, t) − g
k
(x, t) −
1
3

m
∈ −R
m
+
∀x ∈ Ω, t ∈ T, k ≥ k
0
,
b
k
(t) − b
0
(t) −
1
3

m
∈ −R

m
+
∀x ∈ Ω, t ∈ T, k ≥ k
0
,

m
:= (, , , ) ∈ R
m
. g
0
T
δ > 0 x ∈ Ω d(x, x
0
) < δ
||g
0
(x, t) − g
0
(x
0
, t)||
m
<

3
∀t ∈ T.
g
0
(x

0
, t) − g
0
(x, t) −
1
3

m
∈ −R
m
+
∀t ∈ T.
x
k
→ x
0
k → ∞ k
1
≥ k
0
d(x
k
, x
0
) < δ
k ≥ k
1
.
g
0

(x
0
, t) − b
0
(t) − 
m
∈ −R
m
+
∀t ∈ T.
g
0
b
0
R
m
+
g
0
(x
0
, t) − b
0
(t) ∈ −R
m
+
∀t ∈ T.
x
0
∈ C(p

0
) ✷
C
p ∈ dom C
C
C
Ω
p
0
:= (f
0
, g
0
, b
0
) ∈ P
t ∈ T g(·, t) R
m
+
Ω
C(p
0
) ˆx ∈ Ω
g
0
(ˆx, t) − b
0
(t) ∈ −intR
m
+

∀t ∈ T.
C p
0
W W ∩ C(p
0
) = ∅
ˆx ∈ C(p
0
)
g
0
(ˆx, t) − b
0
(t) ∈ −intR
m
+
∀t ∈ T.
x
0
∈ W ∩ C(p
0
) r ∈ (0, 1]
x
r
:= x
0
+ r(ˆx − x
0
) ∈ W.
C(p

0
) x
r
∈ W ∩ C(p
0
).
g
0
(·, t)
g
0
(x
r
, t) = g
0
((1 − r)x
0
+ rˆx, t) ∈ (1 − r)g
0
(x
0
, t) + rg
0
(ˆx, t) − R
m
+
⊂ b
0
(t) − intR
m

+
∀t ∈ T.
 > 0
g
0
(x
r
, t) − b
0
(t) + 
m
∈ −R
m
+
∀t ∈ T,

m
:= (, , , ) ∈ R
m
. p := (f, g, b) ∈ P
||p − p
0
|| <

2
W ∩ C(p) = ∅.
g(x, t) − g
0
(x, t) −
1

2

m
∈ −R
m
+
∀x ∈ Ω, t ∈ T,
b
0
(t) − b(t) −
1
2

m
∈ −R
m
+
∀x ∈ Ω, t ∈ T.
g(x
r
, t) − b(t) ∈ −R
m
+
∀t ∈ T.
x
r
∈ C(p) W ∩C(p) = ∅. C p
0
. ✷
Ω

g(·, t)
t ∈ T
C
S
p
0
:= (f
0
, g
0
, b
0
) ∈ P. S
p
0
x
0
∈ S(p
0
) V (x
0
) ∈ N(x
0
) Ω
¯x ∈ V (x
0
) ∩ S(p
0
)
f

−1
0
(f
0
(¯x)) ∩ C(p
0
) ⊂ V (x
0
).
C p
0
x
0
∈ S(p
0
) V (x
0
) ∈ N(x
0
) Ω
f
−1
0
(f
0
(x)) ∩ C(p
0
)  V (x
0
) ∀x ∈ V (x

0
) ∩ S(p
0
).
V
1
(x
0
), V
2
(x
0
) x
0
clV
1
(x
0
) ⊂ V
2
(x
0
) ⊂ clV
2
(x
0
) ⊂ V (x
0
).
α

Ω α(x) = 0 x ∈ clV
1
(x
0
) α(x) = 1 x ∈ Ω\V
2
(x
0
).
k > 1, u
k
:= (
1
k
, ,
1
k
) ∈ R
s
f
k
(x) := f
0
(x) − α(x)u
k
∀x ∈ Ω.
f
k
∈ C[Ω, R
s

] k > 1. p
k
:= (f
k
, g
0
, b
0
) ∈ P.
V
1
(x
0
) ∩ S(p
k
) = ∅ ∀k > 1.
x ∈ V
1
(x
0
)
x ∈ V
1
(x
0
) ∩ S(p
0
) z
x
∈ C(p

0
)\V (x
0
)
f
0
(z
x
) = f
0
(x).
f
k
(z
x
) − f
k
(x) =f
0
(z
x
) − f
0
(x) − (α(z
x
) − α(x))u
k
=f
0
(z

x
) − f
0
(x) − u
k
= − u
k
∈ −intR
s
+
⊂ −R
s
+
\{0
s
}.
x /∈ S(p
k
) k > 1.
x ∈ (V
1
(x
0
) ∩ C(p
0
))\S(p
0
), z
x
∈ C(p

0
)
f
0
(z
x
) − f
0
(x) ∈ −R
s
+
\{0
s
}.
f
k
(z
x
) − f
k
(x) =f
0
(z
x
) − f
0
(x) − (α(z
x
) − α(x))u
k

=f
0
(z
x
) − f
0
(x) − α(z
x
)u
k
∈ −R
s
+
\{0
s
}.
x /∈ S(p
k
) k > 1.
x ∈ V
1
(x
0
)\C(p
0
) x /∈ S(p
k
) C(p
k
) = C(p

0
)
k > 1
p
k
→ p
0
k → ∞ S p
0
.
C
p
0
. S p
0
x
0
∈ S(p
0
)
V (x
0
) ∈ N(x
0
) {p
k
:= (f
k
, g
k

, b
k
)} ⊂ P
p
k
→ p
0
S(p
k
) ∩ V (x
0
) = ∅, ∀k ≥ 1.
V

(x
0
) ∈ N(x
0
) clV

(x
0
) ⊂ V (x
0
).
¯x ∈ V

(x
0
) ∩ S(p

0
)
f
−1
0
(f
0
(¯x)) ∩ C(p
0
) ⊂ V

(x
0
).
C p
0
{v
k
} v
k
→ ¯x
v
k
∈ C(p
k
) k ≥ 1. V

(x
0
) ¯x

v
k
∈ V

(x
0
) k ≥ 1. k ≥ 1,
W
k
(¯x) :=

x ∈ C(p
k
) ∩ V

(x
0
) | d(x, ¯x) < d(v
k
, ¯x) +
1
k

.
v
k
∈ W
k
(¯x) k ≥ 1. W
k

(¯x) = ∅ k ≥ 1
k
0
≥ 1, x
k
∈ W
k
(¯x) z
k
∈ C(p
k
)\V

(x
0
)
f
k
(z
k
) − f
k
(x
k
) ∈ −R
s
+
\{0
s
} ∀k ≥ k

0
.
{k
l
} ⊂ {k}
{k} k ≥ 1,
x ∈ W
k
(¯x) z ∈ C(p
k
)\V

(x
0
)
f
k
(z) −f
k
(x) ∈ −R
s
+
\{0
s
}.
S(A, f
k
)
min
R

s
+
{f
k
(x) | x ∈ A},