ideal bất khả quy mạnh trong vành giao hoán

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
W@X




TRƯƠNG TẤN DUY





IDEAL BẤT KHẢ QUY MẠNH
TRONG VÀNH GIAO HOÁN




LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC






TP. HỒ CHÍ MINH - 2009

LỜI CẢM ƠN

Trước tiên em xin gởi lời cảm ơn đến tất cả các thầy cô trong khoa Toán - Tin học
trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên, nhất là những thầy trong bộ môn Đại số, những
người đã tận tì nh chỉ dạy cho em trong suốt thời gian e m học tại trường. Chính những
kiến thức mà e m học trong suốt t hời gian qua là nền tảng hế t sức quan trọng để em có
thể hoà n thành được luận văn này trong hiện tại và có thể là một quá trình nghiên cứu
khoa học lâu dài sau này.
Hơn ai hết, em xin chân thành cảm ơn thầy TS. Trần Ngọc Hội, là người trực tiếp
hướng dẫn, giúp đỡ em trong suốt quá trình làm luận văn này. Thầy thường xuyên quan
tâm và động viên và truyền đạt những kinh nghiệm quý báu trong học tập cũng như
trong nghiên cứu khoa học cho học trò của mình, trong đó có em. Qua đó em đã tiếp
thu được nhiều kiến thức và học đư ợc nhiều kinh nghiệ m đáng quý trong quá trình
nghiên c ứu. Một lần nữa, em xin chân thành cảm ơn thầy.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn TS. Nguyễn Viết Đông và PGS. TS. Mỵ Vinh
Quang đã dành thời gian đọc, góp ý và chỉnh sửa luận văn của em.
Xin cảm ơn gia đình và những người thân đã tạo mọi điều kiệ n về mọi mặt để em
hoàn thành luận văn. Cuối cùng xin cảm ơn các bạn Giang, Trí, Bá, Lợi đã cộng tác,
giúp đỡ cũng như tất cả bạn bè khác đã động viên rất nhiều trong suốt quá trình học
tập và làm luận văn này.
ii
Mục lục
Lời cảm ơn ii
Lời nói đầu iii
Bảng ký hiệu iv
1 Một s ố vấn đề cơ bản 1
1.1 Ideal trong vành gi ao hoán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Không gian tôpô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Ideal bất khả quy mạnh trong vành giao hoán 14
2.1 Định nghĩa và những t ính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Ideal bất khả quy mạnh trong vành địa phương hóa . . . . . . . . . . 18
3 Ideal bất khả quy mạnh trong một số vành giao hoán đặc biệt 20

3.1 Ideal bất khả quy mạnh trong vành Noether giao hoán . . . . . . . . . 20
3.2 Ideal bất khả quy mạnh trong một số vành giao hoán khác . . . . . . . 27
3.3 Tôpô trên tập tất cả ideal bất khả quy mạnh . . . . . . . . . . . . . . 33
Kết luận 40
Tài liệu tham khảo 42
i
BẢNG KÝ HIỆU
[x,y] : Bội chung nhỏ nhất
⊆ : Con hoặc bằng
⊂ : Con thật sự
∈ : Thuộc
/∈ : Không thuộc
∩ : Giao
∪ : Hợp
= : Khác
 : Lớn hơn hoặc bằng
V (I) : Số phần tử sinh của I
⊗ : Tích ten xơ
Z : Tập các số nguyên
N : Tập các số tự nhiên
/0 : Tập rỗng
Spec(R) : Tôpô Zariski
Jac(R) : Căn Jacobson
Zdv(R) : Tập hợp ước của 0
iv
LỜI NÓI ĐẦU
Như chúng ta đã biết, trong vành giao hoán R ideal thật sự I được gọi là ideal là ideal
bất khả quy nếu nó không là giao của hai ideal thật sự chứa nó. Ta có một kết quả
thú vị là trong vành R, nếu I bất khả quy, J,K là hai ideal khác thỏa (J ∩K ) + I =
(J + I)∩(K +I) và J ∩K ⊆ I thì J ⊆ I hoặc K ⊆ I. Vậy bà i toán đặt ra là với ideal thật

sự I bất kì, J,K là hai ideal thỏa J ∩K ⊆ I thì liệu J ⊆ I hoặc K ⊆ I hay không? Từ bà i
toán này chúng ta đi đến định nghĩa ideal bất khả quy mạnh của vành R. Tr ong luậ n
văn này, chúng tôi khảo sát những tính chất của ideal bất khả o quy mạnh và mối liên
hệ giữa ideal bất khả quy mạnh với ideal bất khả quy, idea l nguyên sơ và ideal nguyên
tố trong một số vành giao hoán đặc biệt như vành Noether, Lasker, dẹt tuyệt đối, hầu
nhân, ZPI-vành và miền Pr¨ufer, miền UFD, PID
Luận văn gồm ba chương:
+ Chương 1. Một số vấn đề cơ bản
Tóm tắt một số tính chất, định nghĩ a, định lý cần thiết của đại số giao hoán nhằm
phục vụ cho Chương 2, 3, bạn đọc có thể tìm thấy phần chứng minh trong các tài
liệu tham khảo của luận văn.
+ Chương 2. Ideal bất khả quy mạnh trong vành giao hoán
Chúng tôi trình bày một số tính chất của ideal bất khả quy mạnh và mối liên
hệ giữa ideal bất khả quy mạnh với ideal bất khả quy, ideal nguyên sơ và ideal
nguyên tố trong vành giao hoán nói chung.
+ Chương 3. Ideal bất khả quy mạnh trong một số vành giao hoán đặc biệt
Trong phần đầu của chương này, chúng tôi tiếp tục trình bày tính chất của ideal
bất khả quy m ạnh và mối liên hệ giữa nó với ideal bấ t khả quy, nguyên sơ và
nguyên tố trong một số vành giao hoán đặc biệt như: vành Noether, vành Lasker,
vành số học, miền UFD Trong phần cuối của chương, chúng tôi giới thiệu và
trình bày m ột số tính chất của tôpô trên tập các idea l bất khả quy mạnh.
Luận văn này ta chỉ xét vành giao hoán có đơn vị. Cho nên khi nói đến vành mà không
nói gì thêm thì ta hiểu đó là vành giao hoán có đơn vị.
iii
Chương 1
Một số vấn đề cơ bản
1.1 Ideal trong vành gia o hoá n
Định nghĩa 1.1.1 ([12], Định nghĩa 3.46). Cho Ilà ideal của vành R. Khi đó tập hợp
{x ∈ R|x
n

∈ I với n > 0} là ideal của R và được gọi là căn (radical) của I, kí hiệu là
Rad(I) hay
√
I.
Định lý 1.1.2. ([10], Định lý 9, trang 147]) Cho I, J là hai i deal của R. Khi đó:
i)
√
I là ideal chứa I của R;
ii) Nếu I
k
⊂ J, với k là số nguyên dương thì
√
I ⊂
√
J;
iii)
√
IJ =
√
(I ∩J) =
√
I ∩
√
J;
iv)
√
(I + J) =
√
(
√

I +
√
J);
v)
√√
I =
√
I.
Định nghĩa 1.1.3. Một ideal I của vành R thỏa mãn Rad(I) = I được gọi là ideal nửa
nguyên tố.
Định nghĩa 1.1.4. Cho đồng cấu vành f : R −→S. Khi đó:
i) Nếu J là ideal của vành S thì f
−1
(J) = {x ∈R|f (x) ∈J}là ideal của R và được gọi
là ideal thu hẹp (contraction ideal) của J tới R, kí hiệu J ∩R hoặc J
c
.
ii) Nếu I là ideal của R thì f (I)S là ideal của S được sinh bởi f (I) và được gọi là ideal
mở rộng (extension ideal ) của I tới S, kí hiệu IS hoặc I
e
.
Bổ đề 1.1.5. [[12], 2.43 ] Cho I, J là hai ideal của R và L, K là hai ideal của S. Khi
đó:
i) (I + J)
e
= I
e
+ J
e
;

ii) (IJ)
e
= I
e
J
e
;
1
1.1 Ideal trong vành giao hoán 2
iii) (L ∩K)
c
= L
c
∩K
c
;
iv) (
√
L)
c
=
√
(L
c
).
Bổ đề 1.1.6. ([12], Bổ đề 2.44) Cho R và S là những vành giao hoán, và đồng cấu
vành f : R −→ S . Cho I và J lần lượt là ideal của R và S. Khi đó:
i) I ⊆ I
ec
.

ii) J
ce
⊆ J.
iii) I
e
= I
ece
.
vi) J
cec
= J.
IDEAL NGUYÊN SƠ VÀ IDEAL NGUYÊN TỐ
Định nghĩa 1.1.7. Cho R là vành và Q là ideal thật sự trong R. Khi đó, Q được gọi là
ideal nguyên sơ của R nếu ∀a,b ∈R,ab ∈ Q,b /∈ Q thì ∃n ∈N sao cho a
n
∈ Q.
Định lý 1.1.8. ([10], Định lý 12, trang 152) Cho Q là ideal nguyên sơ của R. Khi đó,
nếu P = Rad(Q) thì P là ideal nguyên tố. Hơn nữa, nếu ab ∈Q và b /∈Q thì a ∈ P. Mặt
khác, nếu I và J là hai ideal thỏa mãn IJ ⊆ Q và J  Q thì I ⊆ P.
Định lý 1.1.9. ([10], Định lý 13, trang 153) Cho Q và P là các ide al của R. Khi đó Q
là ideal nguyên sơ và P là căn của Q khi và chỉ khi các điều sau thỏa:
i) Q ⊆ P;
ii) nếu b ∈Q thì tồn tại m ∈N sao cho b
m
∈ Q;
iii) nếu ab ∈Q và b /∈P thì a ∈Q.
Bổ đề 1.1.10. ([12], Bổ đề 3.28) Cho I, J là những ideal của vành R, s ao cho J ⊇ I.
Khi đó J/I là ideal nguyên tố của vành R/I khi và chỉ khi J là ideal nguyên tố của R.
Bổ đề 1.1.11. ([12], Bổ đề 3.55) Cho P là ideal nguyên tố và I
1

,I
2
, , I
n
là những ideal
của R. Khi đó những khẳng định sau tương đương:
i) ∃j, 1  j  n, P ⊇ I
j
;
ii) P ⊇

n
i=1
I
i
;
iii) P ⊇
∏
n
i=1
I
i
.
1.1 Ideal trong vành giao hoán 3
Định lý 1.1.12. ([12], Định lý 3.60) Cho P
1
,P
2
, ,P
n

, với n  2 là những ideal của R,
sao cho có không quá hai ideal trong số P
1
,P
2
, ,P
n
không nguyên tố. Cho S là nhóm
con cộng của R và S đóng dưới phép nhân. Nếu
S ⊆
n

i=1
P
i
thì tồn tại j, 1  j  n sao cho S ⊆P
i
.
Mệnh đề 1.1.13. ([12],Mệnh đề 4.9) Cho Q là ideal của vành R và Q thỏa
√
Q = M,
với M là ideal nguyên tố tối đại của R. Khi đó Q là ideal nguyên sơ (hay M-nguyên sơ)
của R. Ngược lại, mọi lũy thừa M
n
của ideal tối đại M là ideal M-nguyên sơ.
Định lý 1.1.14. [12], Hệ quả 8.25 Cho I là ideal của vành Noether R, và I ⊆ Jac(R).
Khi đó
∞

n=1

I
n
= 0.
Hệ quả 1.1.15. Cho I là ideal thật sự của vành Noether giao hoán R. Khi đó I có sự
phân tích nguyên sơ và sự phân tích nguyên sơ này là tối tiểu.
VÀNH CÁC THƯƠNG CỦA VÀNH
Định nghĩa 1.1.16. Một tập con S của vành R là tập con nhân nếu 1 ∈S và xy ∈ S với
mọi x,y ∈S.
Mệnh đề 1.1.17. ([12], Mệnh đề 5.2) Cho S là một tập con nhân của vành giao hoán
R. Ta định nghĩa một quan hệ ∼ trên R×S như sau: với mỗi (a;s) và (b;t) thuộc R×S
ta viết (a; s) ∼ (b;t) nếu và chỉ nếu tồn tại u thuộc S sao cho u(at −bs) = 0. Khi đó
quan hệ ∼ là quan hệ tương đương và lớp tương đương chứa (a; s) kí hiệu là a/s hoặc
a
s
và tập tất cả các lớp tương đương của ∼ kí hiệu là S
−1
R. Hơn nữa, S
−1
R là vành
giao hoán với hai phép toán sau:
a
s
+
b
t
=
at + bs
st
,
a

s
.
b
t
=
ab
st
với mọi a,b ∈R và s,t ∈S. Phần tử không của S
−1
R là
0
1
, phần tử đơn vị của S
−1
R là
1
1
. Vành S
−1
R gọi là vành các thương của R.
Từ định nghĩa vành các thương, ta xác định một ánh xạ
f : R −→S
−1
R
1.1 Ideal trong vành giao hoán 4
r −→
r
1
Khi đó f là một đồng cấu vành. Hơn nữa f là toàn cấu và gọi là đồng cấu tự nhiên.
Bổ đề 1.1.18. ([12], Bổ đề 5.20) Cho P là ideal nguyên tố của R. Khi đó S = R −P là

tập con nhân của R và vành các thương S
−1
R (ký hiệu là R
P
) là vành địa phương với
ideal tối đại là
{
λ
∈ R
P
|
λ
=
a
s
,a ∈P,s ∈S}.
Bổ đề 1.1.19. ([12], Bổ đề 5.24) Cho J là ideal của S
−1
R. Khi đó J = J
ce
, hơn nữa
ideal của S
−1
R được mở rộng từ ideal của R.
Bổ đề 1.1.20. ([12], Bổ đề 5.25) Cho I là ideal của R, S là tập con nhân của R và đồng
cấu tự nhiên f : R −→ S
−1
R. Khi đó, ta có I
e
= {

λ
∈ S
−1
R|
λ
=
a
s
, a ∈I,s ∈S}.
Bổ đề 1.1.21. ([12], Bổ đề 5.29) Cho S là tập con nhân của R và Q là ideal nguyên sơ
của R sao cho Q ∩S = /0. Khi đó nếu
λ
∈ Q
e
và a/s =
λ
là biểu diễn dưới dạng phân
thức của
λ
(với a ∈ R và s ∈S ) thì a ∈Q.
Bổ đề 1.1.22. ([12], Bổ đề 5.31) Cho I, J là những ideal của R và đồng cấu vành
f : R −→S
−1
R. Khi đó:
i) (I + J)
e
= I
e
+ J
e

;
ii) (IJ)
e
= I
e
J
e
;
iii) (I

J)
e
= I
e

J
e
;
vi) (
√
I)
e
=
√
(I
e
);
v) I
e
= S

−1
R nếu và chỉ nếu I

S = /0.
Định lý 1.1.23. ([12], Định lý 5.32) Cho S là một tập con nhân của R, đồng cấu tự
nhiên f : R −→ S
−1
R. Khi đó:
i) Nếu P ∈ Spec(R) và P ∩S = /0 thì P
e
= S
−1
R.
ii) Nếu P ∈Spec(R) và P ∩S = /0 thì P
e
∈ Spec(S
−1
R).
iii) Nếu P ∈Spec(S
−1
R) thì P
c
∩S = /0. Hơn nữa, P
ce
= Q.
iv) Tồn tại một tương ứng 1-1 giữa tập tất cả ideal nguyên tố của S
−1
R và tập tất cả
ideal nguyên tố của R không giao với S.
1.1 Ideal trong vành giao hoán 5

Định lý 1.1.24. ([12], Định lý 5.37) Cho S là tập con nhân của R và đồng cấu tự nhiên
f : R −→S
−1
R. Khi đó:
i) Nếu Q là ideal nguyên sơ của R sao cho Q ∩S = /0 thì Q
e
= S
−1
R.
ii) Nếu Q là P-nguyên sơ của R sao cho Q ∩S = /0 thì Q
e
là P
e
-nguyên sơ của S
−1
R.
iii) Nếu Q là P-nguyên sơ của S
−1
R thì Q
c
là P
c
-nguyên sơ của R sao cho Q
c
∩S = /0.
Hơn nữa, Q
ce
= Q.
iv) Tồn t ại một tương ứng 1-1 giữa tập tất cả ideal nguyên sơ của S
−1

R và tập tất cả
ideal nguyên sơ của R mà không giao với S.
Mệnh đề 1.1.25. ([15], Mệ nh đề 3.13) Cho A và B là hai ideal của vành R. Khi đó
A = B khi và chỉ khi AR
P
= BR
P
với mọi ideal nguyên tố P của R.
IDEAL BẤT KHẢ QUY
Định nghĩa 1.1.26 ([12], Định nghĩ a 4.31). Ideal thật sự I của vành R được gọi l à
ideal bất khả quy nếu với mọi ideal J, K của R thỏa mãn J ∩K = I thì J = I hoặc
K = I.
Mệnh đề 1.1.27. ([12], Mệnh đề 4.34) Cho R là vành Noether giao hoán và I là ideal
bất khả quy của R. Khi đó I là ideal nguyên sơ.
Định lý 1.1.28. ([10], Định lý 34, trang 248) Cho (R,M) là vành đị a phương Noether
và Q là ideal M-nguyên s ơ. Khi đó những khẳng định sau tương đương:
i) Q bất khả quy;
ii) (Q :
R
M)/Q là một R/M-không gian vectơ và có chiều bằng 1;
iii) (Q :
R
M) là phần tử nhỏ nhất trong tập tất cả ideal thật sự chứa Q của R ;
iv) giả sử J là ideal bất kỳ của R thỏa mãn Q ⊆ J. Khi đó tồn tại ideal K của R sao
cho K = Q và J = (Q :
R
K).
PHÂN TÍCH NGUYÊN SƠ
Định nghĩa 1.1.29. ([12], Định nghĩa 4.15) Cho I là ideal thật sự của vành R. Ideal I
được gọi là có phân tích nguyên sơ nếu I được phân tích thành giao của hữu hạn các

ideal nguyên sơ của R, tức là I =

n
i=1
Q
i
trong đó Q
i
là P
i
-nguyên sơ với 1  i  n.
Một sự phân tích của I như sau I =

n
i=1
Q
i
trong đó Q
i
là P
i
-nguyên sơ với 1  i  n,
được gọi là phân tích tối tiểu hay chuẩn tắc nếu
i) P
1
,P
2
, ,P
n
là các ideal nguyên tố khác nhau của R;

1.1 Ideal trong vành giao hoán 6
ii) Với mọi j = 1, ,n, ta có Q
j


n
i=1
i= j
Q
i
.
Nhận xét 1.1.30. ([12], Nhận xét 4.16) Cho I là ideal của vành R. Nếu I có phân t ích
nguyên sơ thì I có phân tích tối tiểu và sự phân tích tối tiể u là duy nhất.
Mệnh đề 1.1.31. [[12], Mệnh đề 4.24] Cho I là ideal có phân tích nguyên sơ trong
vành R và P ∈ Spec(R). Khi đó P là ideal nguyên tố tối tiểu của I (tức P là phần tử tối
tiểu theo quan hệ bao hàm trong tập Va r(I) c ủa tất cả các ideal nguyên tố của R chứa
I) khi và chỉ khi P là phần tử tối tiểu (theo quan hệ bao hàm) trong ass(I).
Cụ thế hơn, tất cả các ideal nguyên tố tối tiểu của I thuộc vào tập a ss(I). Do đó
I chỉ có hữu hạn ideal nguyên tố tối tiểu. Và nếu P
1
∈ Spec(R) và I ⊆ P
1
thì tồn tại
P
2
∈ ass(I) sao cho P
2
⊆ P
1
.

Định lý 1.1.32. ([12], Định lý 3.52) Cho I là ide al thật sự của vành R. Khi đó tập
Var(I) có phần tử tối tiểu theo quan hệ bao hàm và mỗi phần tử tối ti ểu này được gọi
là ideal nguyên tố tối tiểu của I. Trong trường hợp R = 0, ideal nguyên tố tối tiểu của
(0) được gọi là ideal nguyên tố tối tiểu của R.
Định lý 1.1.33. ([ 10], Định lý 11, trang 214) Cho R là vành Noether giao hoán, I và
J là hai ideal của R sao cho I = R . Khi đó (I : J) = I khi và chỉ khi không có ideal
nguyên tố liên kết nào của I chứa J.
Hệ quả 1.1.34. ([10], Hệ quả 1, trang 214) Cho I, J là hai ideal của vành Noether
giao hoán R và I = R. Khi đó (I : J) = I khi và chỉ khi tồn tại ideal nguyên tố liên kết
của I chứa J.
Hệ quả 1.1.35. ([10], Hệ quả 2, trang 214) Cho vành Noether R và phần tử x ∈ R. Khi
đó x thuộc ideal nguyên tố nào đó liên kết của ideal I khi và chỉ khi tồn tại y ∈ R −I
và xy ∈ I.
Hệ quả 1.1.36. ([10] , Hệ quả 3, trang 214) Trong vành Noether R, tập các ước của 0
là hội của mọi ideal nguyên tố liên kết của ideal (0).
LŨY TH ỪA HÌNH THỨC
Định nghĩa 1.1.37. ([10], Định nghĩa, trang 232) Cho vành có đơn vị R, Q là ideal
P-nguyên sơ và số tự nhiên n = 0. Khi đó ideal (Q
n
R
P
) ∩R được gọi là lũy thừa hình
thức thứ n của Q và được kí hiệu bởi Q
(n)
.
Định lý 1.1.38. ([10], Định lý 23, trang 232) Cho Q là ideal P-nguyên sơ của vành R.
Khi đó
i) Q
(n)
là ideal P-nguyên sơ;

1.1 Ideal trong vành giao hoán 7
ii) nếu Q
n
có một sự phân tích nguyên sơ thì P là ideal nguyên tố tách duy nhất và Q
(n)
là thành phần nguyên sơ tương ứng;
iii) nếu P hữu hạn sinh thì với mọi ideal I P-nguyên sơ, ta đều có ∃n
0
, Q
(n
0
)
⊆ I;
iv) nếu R là vành Noether thì P là ideal nguyên tố tách duy nhất của Q
(n)
Q
(m)
và thành
phần nguyên sơ tương ứng là Q
(n+m)
.
HẠNG CỦA IDEAL
Định nghĩ a 1.1.39. ([ 12], Định nghĩa 14.17) Cho R là một vành. Một dãy tăng ngặt
hữu hạn của n + 1 ideal nguyên tố P
0
⊂P
1
⊂ . ⊂P
n
được gọi là một chuỗi nguyên tố

có chiều dài n.
Định nghĩa 1.1.40. ([12], Định nghĩa, trang 277) Cho P ∈Spec(R), ideal P được gọi
là có chiều cao h hay hạng h (h  0), ký hiệu là htP hay rank(P) nếu tồn tại ít nhất
một chuỗi P
0
⊂ P
1
⊂ . ⊂P
h
= P với P
i
là các ide al nguyên tố phân biệt và không tồn
tại một chuỗi nào c ó chiều dài lớn hơn h.
Định nghĩa 1.1.41. Cho R là vành Noether và I là ideal thật sự của R. Chiều cao của
I được ký hiệu htI
htI = min{htP|P ∈ Spec(R),P ⊇I}
= min{htP|P ∈ass(I)}.
Định lý 1.1.42. ([12], Định lý 15.2) Cho R là vành Noether và a ∈R là phần tử không
khả nghịch. Nếu P là ideal nguyên tố tối tiểu của aR thì ht(P)  1.
Bổ đề 1.1.43. ([12], Bổ đề 15.12) Cho I, P là ideal trong vành Noether với I ⊆ P, P
nguyên tố. Nếu htI = ht P thì P là ideal nguyên tố tối tiểu của I.
Định nghĩa 1.1.44. ([12], Định nghĩa, trang 277) Cho R là vành giao hoán có đơn vị.
Chiều của vành R, ký hiệu là dim R, được định nghĩa là
dimR = sup{n : tồn tại chuỗi các ideal nguyên tố có chiều dài n},
nếu supremun này tồn tại và ∞ nếu ngược lại.
Định lý 1.1.45. ([12], Định lý 15.4) Cho R là vành Noether và I là ideal thật sự của R
được sinh bởi n phần tử. Khi đó htP  n với mọi ideal nguyên tố tối tiểu P của I.
Mệnh đề 1.1.46. ([12], Chú ý 14.8) Cho R là vành giao hoán và P ∈Spec(R). Khi đó
htP = ht
R

P
PR
P
= di mR
P
.
1.1 Ideal trong vành giao hoán 8
Định lý 1.1.47. ([ 12], Định lý 15.13) Cho R là vành Noether và P ∈ Spec(R); giả sử
htP = n. Khi đó tồn tại ideal I của R được sinh bởi n phần tử thỏa htI = n và I ⊆ P.
BỔ ĐỀ NAKAYAMA
Bổ đề 1.1.48. [[12], Bổ đề NAKAYAMA 8.24] Cho M là R-mô đun hữu hạn sinh, và I
là ideal của R sao cho I ⊆ Jac(R). Nếu M = IM thì M = 0.
Hệ quả 1.1.49. [ [12], Hệ quả 9.2] Cho M là R-mô đun hữu hạn sinh, và I là ideal của
R sao cho I ⊆ Jac(R). Cho N là R-mô đun con của M, sao cho N + IM = M. Khi đó
N = M.
VÀNH ĐỊA PHƯƠNG
Mệnh đề 1.1.50. ([8], Mệnh đề 1) Cho I là ideal của vành địa phương A. Nếu tồn tại
t ∈ N
∗
sao cho v(I
t
) = 1 thì v(I
k
) = 1, ∀k ∈ N
∗
hoặc I là tập các ước không. Nếu tồn
tại t ∈ N, t > 1 và v(I
t
) = 2 thì v(I
k

) = 2, ∀k ∈ N
∗
hoặc I là tập các ước của không.
VÀNH LASKER
Định nghĩa 1.1.51. Cho R l à vành giao hoán có đơn vị. Khi đó R được gọi là vành
Lasker nếu ideal bất kỳ của R có phân tích nguyên sơ chuẩn tắc.
MIỀN UFD
Định nghĩa 1.1.52. Một miền nguyên R được gọi là UFD nế u phần tử khác không và
không khả nghịch bất kỳ của R là tích hữu hạn của các phần tử nguyên tố.
VÀNH CHUẨN
Định nghĩa 1.1.53 ([15], Định nghĩa 5.1). M ột miền nguyên R được gọi là vành chuẩn
nếu I và J là hai ideal bất kỳ của R ta đều c ó I ⊆ J hoặc I ⊇ J.
VÀNH CHUẨN RỜI RẠC
Chứng minh.
Chứng minh.
Chứng minh.
Chứng minh.
Chứng minh.
Chứng minh.
1.1 Ideal trong vành giao hoán 9
Chứng minh.
Chứng minh.
Định nghĩa 1.1.54. Vành chuẩn có nhóm giá trị đẳng cấu với Z được gọi là vành
chuẩn rời rạc (DVR).
Định lý 1.1.55. ([9], Định lý 11.2) Cho R là vành. Khi đó những khẳng định sau t ương
đương:
i) R là DVR.
ii) R là miền ideal chính địa phương, và không l à trường.
iii) R là vành địa phương Noether, dimR > 0 và ideal tối đại của R là ideal chính.
iv) R là vành chuẩn địa phương Noether có chiều bằng 1.

MIỀN PR
¨
UFER
Định nghĩa 1.1.56. ([15], Định nghĩa 6.5) Một miền nguyên R là miề n Pr
¨
ufer nếu
ideal hữu hạn sinh khác không bất kỳ của R khả nghịch.
Mệnh đề 1.1.57. ([15], Hệ quả 6.7) Một miền nguyên R là miền Pr
¨
ufer nếu và chỉ nếu
R
P
là vành chuẩn với mọi ideal nguyên tố P = 0 của R.
MIỀN DEDEKIND
Định nghĩa 1.1.58 ([15], Định nghĩa 6.14). Một miền nguyên R là miền Dedekind nếu
ideal bất kỳ của R là tích của những ideal nguyên tố.
Định lý 1.1.59. ([15], Định lý 6.20) Nếu R là miền nguyên Noether thì những khẳng
định sau tương đương:
i) R là miền Dedekind.
ii) R đóng nguyên và i deal nguyên tố bất kỳ của R là ideal tối đại.
iii) Ideal bất kỳ khác không của R được sinh bởi hai phần tử là ideal khả nghịch.
iv) A ∩(B +C) = A ∩B + A ∩C, với ideal A,B,C là ide al bất kỳ của R.
v) Nếu P là ideal tối đại của R thì không tồn tại ideal của R thật sự nằm gi ữa P và P
2
.
vi) Nếu P là ideal tối đại của R thì tập hợp gồm những ideal P-nguyên sơ của R có thứ
tự toàn phần theo quan hệ bao hàm.
1.1 Ideal trong vành giao hoán 10
MIỀN HẦU DEDEKIND
Định nghĩa 1.1.60 ([15], Định nghĩa 9.1). Một miền nguyên R là miền hầu Dedekind

nếu R
M
là miền Dedekind với M là ideal tối đại bất kỳ của R.
MIỀN KRULL
Định nghĩa 1.1.61. ([9], Miền Krull, trang 86) Cho A là miền nguyên và K là trường
phân thức của A. Miền nguyên A được gọi là miền Krull nếu tồn tại một họ {R
λ
∈Λ
} là
những DVR của K thõa mãn hai điều kiện sau:
i) A =

λ
R
λ
.
ii) ∀x ∈ K
∗
, khi đó tồn tại không quá hữu hạn
λ
∈ Λ sao cho v
λ
(x) = 0, với v
λ
là
chuẩn tương ứng của R
λ
.
Định lý 1.1.62. ([9], Định lý 12.1) Nế u A là miền Krull và S là tập con nhân của A
thì A

S
là miền Krull . Nếu {R
λ
}
λ
∈Λ
là một họ định nghĩa của A, thì {R
λ
}
λ
∈Γ
là họ con
định nghĩa của A
S
, với Γ = {
λ
∈ Λ|R
λ
⊃ A
S
} .
Định lý 1.1.63. ([9], Định lý 12.5) Miền Dedekind chính là miền Krull có chiều bằng
1.
ZPI-VÀNH
Định nghĩa 1.1.64. Vành R là ZPI-vành nếu mọi ideal của nó là tích hữu hạn của
những ideal nguyên tố.
Định lý 1.1.65. ([15], Định lý 9.10) Cho R là vành. Những khẳng định sau tương
đương:
i) R là ZPI-vành.
ii) R là vành Noether và không tồn tại ideal thật sự nằm giữa M, M

2
với ideal tối đại
M bất kỳ của R.
Định lý 1.1.66. ([15], Định lý 9.23) Cho R là vành hầu nhân, khi đó với mọi ideal
nguyên tố thật sự P của R thì R
P
là ZPI-vành.
VÀNH SỐ HỌC
Định nghĩa 1.1.67. ([16], Định nghĩa 2.1, trang 58) Vành giao hoán có đơn vị R được
1.1 Ideal trong vành giao hoán 11
gọi là vành số học nếu I ∩(J + K) = (I ∩J) + (I ∩K) với I,J và K là những ideal bất
kỳ của R.
Định lý 1.1.68. ([5], Định lý 1) Cho R là vành giao hoán có đơn vị. R là vành số học
khi và chỉ khi tập các ideal trong vành R
M
có thứ tự toàn phần theo quan hệ bao hàm,
với M là ideal tối đại bất kỳ của R.
Định lý 1.1.69. ([5], Định lý 6) Cho R là vành số học. Khi đó ideal nguyên sơ là ideal
bất khả quy.
Định lý 1.1.70. ([5], Định lý 6’) Giả sử trong miền nguyên R mọi ideal nguyên tố khác
0 đều tối đại. Khi đó R là vành số học khi và chỉ khi mọi ideal nguyên sơ đều bất khả
quy.
Mệnh đề 1.1.71. Cho R là vành số học và P là ideal nguyên tố bất kỳ của R. Khi đó,
tập hợp gồm các ideal của vành R
P
được sắp thứ tự theo quan hệ bao hàm.
VÀNH NHÂN
Định nghĩa 1.1.72. ([15], Định nghĩa 9.12) Vành giao hoán R được gọi là vành nhân
nếu A ⊆ B với A và B là ideal của R thì tồn tại ideal C của R sao cho A = BC.
VÀNH HẦU NHÂN

Định nghĩa 1.1.73 ( [15], Định nghĩa 9.22). Vành giao hoán R được gọi là vành hầu
nhân nếu ideal bất k ỳ của R có căn nguyên tố thì nó là lũy thừa của căn.
Định lý 1.1.74. [[15], Định lý 9.28] R là vành hầu nhân nếu và chỉ nếu R
P
là vành
nhân với ideal nguyên tố P bất kỳ của R.
MÔ ĐUN DẸT
Định nghĩa 1.1.75 ([19], Định nghĩa, trang 84). R-mô đun A được gọi là R-mô đun dẹt
nếu (A ⊗−) và (−⊗A) là hai hàm tử khớp.
VÀNH DẸT TUYỆT ĐỐI
Định nghĩa 1.1.76. Vành R được gọi là vành dẹt tuyệt đối nếu mọi R-mô đun đều dẹt.
Bổ đề 1.1.77. Cho R là vành dẹt tuyệt đối. Khi đó:
i) Mọi ideal chính lũy đẳng.
1.2 Không gian tôpô 12
ii) M ọi ideal nguyên sơ là ideal tối đại.
Chứng minh. i) Cho x ∈R thì R/(x) là R-mô đun dẹt. Theo đó trong biểu đồ sau
−−−−−→
β
=1×
π
−−−−→
−−−−→
α
−−−−−−−−−→
(x) ⊗R (x) ⊗R/(x)
R R/(x),
ánh xạ
α
là đơn ánh. Suy ra Im(
β

) = 0, kéo theo (x) = (x
2
).
ii) Cho M là ideal nguyên sơ bất kỳ của R, và a ∈ R −M. Khi đó M + aR = M + a
2
R
(do i)). Từ đó m
1
−a = a
2
r với m
1
,m
2
∈ M và r ∈ R. Suy r a a(1 −ar) ∈ M. Bởi vì a
lũy đẳng và a /∈ M, cho nên 1 −ar ∈ M (do M nguyên sơ). Do đó 1 ∈ M + aR. Vậy M
là tối đại.
MỞ RỘNG DẸT TRUNG THÀNH TRÊN VÀNH
Định nghĩa 1.1.78 ([9], trang 45–46). Cho f : A −→B là một đồng cấu vành và B là
một A-mô đun dẹt. Khi đó chúng ta nói f là một đồng cấu dẹt hoặc B là một A-đại số
dẹt.
Định nghĩa 1.1.79 ([9], trang 45–46). R-đại số A được gọi là vành dẹt trung thành
trên R nếu A là R-mô đun dẹt và từ A ⊗M = 0 ta có M = 0.
Định lý 1.1.80. ([9], Định lý 7.5) Cho f : A −→ B là một đồng cấu vành dẹt trung
thành. Khi đó:
i) Với mọi A-mô đun M, ánh xạ M −→M ⊗
A
B được xác định m →m⊗1 là đơn ánh.
Đặc biệt f : A −→ B là đơn ánh.
ii) Nếu I là ideal của A thì IB ∩A = I.

Định lý 1.1.81. ([9], Định lý 7.4) Cho f : A −→ B l à một đồng cấu vành dẹt và I,J là
hai ideal của A. Khi đó
(I ∩J)B = IB ∩JB.
1.2 Không gian tôpô
Định nghĩa 1.2.1 ([20], Định nghĩa 5.1, trang 164). Cho X là một tập hợp, ta ký hiệu
P(X)là tập tất cả các tập con của X và
τ
là một tập con của P(X). Ta nói
τ
là một
tôpô trên X nếu và chỉ nếu
i) X và tập /0 chứa trong
τ
;
1.2 Không gian tôpô 13
ii) cho một họ bất kỳ {O
α
}
α
∈Λ
các phần tử trong
τ
thì

α
∈Λ
O
α
chứa trong
τ

;
iii) cho một họ hữu hạn {O
k
}
n
k=1
các phần tử trong
τ
thì

n
k=1
O
k
chứa trong
τ
.
Lúc đó ta gọi
τ
là một tôpô trên X, (X ,
τ
) là một không gian tôpô và các phần tử của
τ
là các tập mở hoặc vắn tắt là một mở trong không gian tôpô (X,
τ
). Một tập hợp con
F của X được gọi là một tập đóng trong không gian tôpô (X ,
τ
) nếu và chỉ nếu X −F
là một tập mở trong không gian tôpô (X,

τ
).
Định nghĩa 1.2.2 ([20], Định nghĩa 5.14, trang 175). Cho (X ,
τ
) là một không gian
tôpô. Ta nói X là một không gian compac nếu và chỉ nếu với mọi họ tập mở {O
α
}
α
∈Λ
trong X với

α
∈Λ
O
α
= X ( lúc đó {O
α
}
α
∈Λ
được gọi là một phủ mở ) thì có một tập
con hữu hạn I của Λ sao cho

α
∈I
O
α
= X ( lúc đó{O
α

}
α
∈I
được gọi là một phủ mở
hữu hạn).
Định nghĩa 1.2.3. Không gi an tôpô (X,
τ
) được gọi là T
0
-không gi an nếu với hai điểm
khác nhau trong X thì sẽ tồn tại một tập mở chứa điểm này mà không chứa điểm kia.
Định nghĩa 1.2.4 ([9], trang 29). Một không gi an tôpô (X ,
τ
) được gọi l à Noether nếu
các tập mở thỏa mãn điều kiện A.C.C .
Định nghĩa 1.2.5 ( [9], trang 29). Một tập con đóng khác rỗng của một không gian
tôpô được gọi là tập con đóng bất khả quy nếu nó không là hợp của hai tập đóng thật
sự chứa nó và gọi là khả quy nếu ngược lại.
Chương 2
Ideal bất khả quy mạnh trong vành giao
hoán
2.1 Định nghĩ a và những tính chất cơ bản
Định nghĩa 2.1.1. Ideal thật sự I của vành R được gọi là ideal bất khả quy mạnh nếu
với mọi ideal J, K của R thỏa mãn J ∩K ⊆I thì J ⊆ I hoặc K ⊆ I.
Ví dụ 2.1.2. {p
n
Z | với p nguyên tố ,n ∈ N} là tập tất cả ideal bất khả quy mạnh
của Z.
Bổ đề 2.1.3. Cho I là ideal của vành R. Ta có:
i) Nếu I bất khả quy mạnh thì I bất khả quy. Theo đó, nếu R là vành Noether thì I là

ideal nguyên sơ.
ii) Nếu I là ideal nguyên tố thì I bất khả quy mạnh.
iii) Nếu I bất khả quy mạnh và H là ideal của R chứa trong I thì I/H bất khả quy
mạnh trong R/H.
iv) Nếu I bất khả quy mạnh thì I là ideal nguyên tố khi và chỉ khi I là ideal nửa nguyên
tố.
v) Nếu I là ideal thật sự của R thì tồn tại phần tử tối tiểu trong tập gồm những ideal
bất khả quy mạnh c ủa R chứa I.
vi) Điều k iện cần và đủ để I bất khả quy mạnh là nếu bR và cR là hai ide al chính bất
kỳ của R sao cho bR ∩cR ⊆ I thì b ∈I hoặc c ∈I.
vii) Nếu (0) bất khả quy thì bất khả quy mạnh.
Chứng minh. i) Giả sử I bất khả quy mạnh và H, K là hai ideal bất kỳ c ủa R sao cho
H ∩K = I. Theo đó H ∩K ⊆I. Suy ra H ⊆I hoặc K ⊆I (do I bất khả quy mạnh). Mặt
khác, hiển nhiên I ⊆ H và I ⊆ K. Do đó H = I hoặc K = I. Vậy I bất khả quy. Hơn
nữa, nếu R là vành Noether thì ta thu được I là idea l nguyên sơ (do M ệnh đề 1.1.27).
14
2.1 Định nghĩa và những tính chất cơ bản 15
ii) Giả sử I là ideal nguyên tố và H, K là hai ideal bất kỳ của R thỏa mãn H ∩K ⊆I.
Theo đó HK ⊆ I. Vì I nguyên tố, nên H ⊆ I hoặc K ⊆ I(do Bổ đề 1.1.11). Vây I bất
khả quy mạnh.
iii) Giả sử I bất khả quy mạnh và J, K là hai ideal bất kỳ của R thỏa mãn H ⊆
J, H ⊆K và J/H ∩K/H ⊆I/H. Khi đó J ⊆I hoặc K ⊆ I (do I bất khả quy mạnh). Do
vậy J/H ⊆ I/H hoặc K/H ⊆ I/H. Vậy I/H bất khả quy mạnh tr ong R/H.
iv) Giả sử I bất khả quy mạnh. Nếu I là ideal nguyên tố, hiển nhiên I là ideal nửa
nguyên tố. Ngược l ại, cho H, K là hai ideal bất kỳ của R thỏa mãn HK ⊆ I. Do đó
H ∩K ⊆
√
(H ∩K) =
√
(HK) ⊆

√
I = I (do I là ideal nửa nguyên tố). Suy ra H ⊆ I
hoặc K ⊆I (do I bất khả quy mạnh). Vậy I nguyên tố.
v) Đặt T = {J|J bất khả quy mạnh của R và J ⊇ I}, tr ên T ta đặt quan hệ như sau:
H
1
 H
2
khi và chỉ khi H
1
⊇ H
2
. Dễ thấy đây là quan hệ thứ tự bán phần trên T , và
T = /0 (do ideal tối đại là ideal bất khả quy mạnh). Cho Ω là tập con khác rỗng của
T và có thứ tự toàn phần. Đặt H :=

J∈Ω
J. Khi đó H là ideal thật sự c ủa R, và hiển
nhiên H ⊇ I . Ta cần chứng mi nh H bất khả quy mạnh. Thật vậy, cho A và B là hai
ideal của R thỏa mãn A ∩B ⊆ H và A  H. Khi đó tồn tại J
1
∈ Ω, sao cho A  J
1
. Cho
J ∈Ω. Khi đó J ⊆J
1
hoặc J
1
⊆ J. Nếu trường hợp đầu tiên xảy ra, khi đó A  J. Theo
đó B ⊆ J (do J bất khả quy mạnh). Nếu trường hợp thứ hai xảy ra, khi đó B ⊆ J

1
⊆ J
(do J
1
bất khả quy mạ nh). Bởi vì J là phần tử bất kỳ của Ω, do đó B ⊆ H. Theo đó H
bất khả quy mạnh. Suy ra H là chận trên của Ω. Theo bổ đề Zorn, T có phần tử tối đại
theo quan hệ , nghĩa là có phần tử tối tiểu theo theo quan hệ bao hàm.
vi) Điều kiện cần là hiển nhiê n.
Điều kiện đủ, giả sử I là ideal thật sự của R và thỏa tính chất nêu trên. Cho J, K là
hai ideal của R sao cho J ∩K ⊆ I. Giả sử J  I. Tồn tại b ∈ J và b /∈ I. Với mọi c ∈ K,
ta có bR ∩cR ⊆ I. Theo đó c ∈I. Vậy K ⊆ I. Cho nên I bất khả quy mạnh.
vii) Cho J, K là hai ideal bất kỳ của R thỏa mãn J ∩K ⊆ (0). Khi đó J ∩K = (0),
kéo theo J = (0) hoặc K = (0) (do (0) bất khả quy). Vậy (0) bất khả quy mạnh.
Nhận xét 2.1.4. Trong vành Noether thì một ideal nguyên sơ không nhất thiết bất k hả
quy và do đó không nhất thiết bất khả quy mạnh.
Ví dụ 2.1.5. Cho R = K[X,Y ], K là trường và M = (X,Y). Khi đó M
2
= (X
2
,XY,Y
2
)
là ideal M-nguyên sơ nhưng không bất khả quy.
Chứng minh. Vì
√
M
2
= M và M tối đại nên M
2
là ideal M-nguyên sơ. Ta chứng mi nh

M
2
= (X,Y
2
) ∩(X
2
,Y).
Thật vậy, M
2
⊆ (X,Y
2
) ∩(X
2
,Y ) là hiển nhiên. Ngược lại, cho f ∈ (X,Y
2
) ∩(X
2
,Y).
Do f ∈ ( X
2
,Y) nên những đơn thức có bậc 1 của f t hì chứa Y và thành phần còn lại
có dạng là đa thức g. Trong đa thức g, đơn t hức có bậc không nhỏ hơn 2 t hì chứa X
2
2.1 Định nghĩa và những tính chất cơ bản 16
hoặc XY. Theo đó g ∈ M
2
. Kéo theo f −g = aY với a ∈ K. Giả sử a = 0. Khi đó
Y = a
−1
.aY ∈ (X ,Y

2
) ∩(X
2
,Y ) + M
2
= (X,Y
2
) ∩(X
2
,Y) ⊆ (X,Y
2
). Hay Y ∈ (X,Y
2
),
điều này không thể. Do đó a = 0, suy ra M
2
= (X,Y
2
)∩(X
2
,Y ). Dễ thấy (X,Y
2
)  M
2
và (X
2
,Y)  M
2
nên M
2

khả quy.
Mệnh đề 2.1.6. Giả sử trong vành R mọi ideal nguyên sơ đều bất khả quy mạnh. Khi
đó, phân tích nguyên sơ tối tiểu nếu có của một i deal là duy nhất.
Chứng minh. Cho I = ∩
n
i=1
Q
i
= ∩
m
i=1
Q

i
là hai phân tích nguyên sơ tối tiểu của I trong
R. Giả sử n  m. Ta có ∩
n
i=1
Q
i
⊆ Q

1
. Do đó tồn tại 1  j  n,Q
j
⊆ Q

1
(do Q


1
bất khả
quy m ạnh) . Mặt khác ∩
m
i=1
Q

i
⊆ Q
j
. Suy ra tồn tại k, 1  k  m,Q

k
⊆ Q
j
(do Q
j
bất
khả quy mạnh). Do đó Q

k
⊆ Q
j
⊆ Q

1
. Bởi vì ∩
m
i=1
Q


i
là phân tích nguyên sơ tối tiểu.
Nên Q

k
= Q

1
. Do đó k = 1 và Q

1
= Q
j
. Không giảm tổng quát, ta có thể giả sử j = 1.
Theo đó Q

1
= Q
1
. Tương tự, ta chứng minh Q

2
= Q
t
với 1  t  n. Vì Q

2
= Q


1
, nên
Q
t
= Q
1
và t = 1. Không giảm tổng quát, ta có t hể giả sử t = 2. Tương tự như thế, ta
thu đư ợc n = m,Q

i
= Q
i
,∀i,1  i  n.
Bổ đề 2.1.7. Cho vành R. Khi đó những khẳng định sau tương đương:
i) Mọi ideal thật sự của R bất khả quy mạnh.
ii) M ọi ideal của R đều so sánh được với nhau.
Chứng minh. i)⇒ ii ) Cho I, J là hai ideal thật sự của R. Khi đó I ∩J là i de al bất khả quy
mạnh của R (giả thiết). Mặt khác I ∩J ⊆ I ∩J. Do đó I ⊆ I ∩J ⊆ J hoặc J ⊆I ∩J ⊆ I.
Vậy I ⊆ J hoặc J ⊆ I.
ii) ⇒ i ) Cho I là ideal thật sự của R. Giả sử J, K l à nhữ ng ideal bất kỳ của R thỏa
mãn J ∩K ⊆ I. Theo giả thiế t, ta có J ⊆ K hoặ c K ⊆ J. Khi đó J = J ∩K ⊆ I hoặc
K = J ∩K ⊆ I. Hay J ⊆ I hoặc K ⊆ I. Vậy I bất khả quy mạnh.
Hệ quả 2.1.8. Trong vành chuẩn hoặc địa phương hóa của vành số học mọi ideal thật
sự đều bất khả quy mạnh.
Chứng minh. Trong địa phương hóa của vành số học hoặc vành chuẩn, mọi ideal đều
so sánh được với nhau. Theo Bổ đề 2.1.7, mọi ideal thật sự đều bất khả quy mạnh.
Bổ đề 2.1.9. Cho b và c là hai phần tử của R. Khi đó bR ∩cR = b(cR :
R
bR) = c(bR :
R

cR). Hơn nữa, nếu I là ideal của R thỏa mãn I ⊆ bR thì I = b(I :
R
bR).
Chứng minh. Giả sử I là ideal của R thỏa mãn I ⊆bR. Khi đó b(I :
R
bR) ⊆I. Mặt khác,
nếu x ∈I ⊆ bR thì x = rb với r ∈ R. Do đó
r ∈ (xR :
R
bR) ⊆(I :
R
bR).
2.1 Định nghĩa và những tính chất cơ bản 17
Cho nên
x = rb ∈b(I :
R
bR).
Vây I = b(I :
R
bR). Lại có bR ∩cR ⊆ bR. Theo tr ên
bR ∩cR = b((bR ∩cR) :
R
bR) = b(cR :
R
bR).
Và do tính đối xứng ta cũng thu được
c(bR :
R
cR) = bR ∩cR.
Định lý 2.1.10. Cho (R, M) là vành địa phương và I là ideal bất khả quy mạnh M-

nguyên sơ trong R, thỏa mãn I = (I :
R
M). Khi đó:
i) (I :
R
M) là ideal chính.
ii) I = (I :
R
M)M.
iii) Với J là ideal bất kỳ của R, ta có J ⊆ I hoặc (I :
R
M) ⊆ J.
Chứng minh. i) Do I ⊂(I :
R
M), nên tồn tại x ∈(I :
R
M)−I. Giả sử (I :
R
M) = xR. Khi
đó với mọi y ∈ (I :
R
M) −xR, ta đều có (xR :
R
yR) là ideal thật sự của R (do y /∈ xR).
Do y ∈ (I :
R
M)) nên y(xR :
R
yR) ⊆I . Theo Bổ đề 2.1.9
y(xR :

R
yR) = xR ∩yR.
Dẫn đến xR ∩yR ⊆ I. Hơn nữa I bất khả quy mạnh kéo theo xR ⊆I hoặc yR ⊆I. Từ đó
y ∈I. Đưa đến
(I :
R
M) = xR ∪I.
Theo Định lý 1.1.12, (I :
R
M) ⊆xR hoặc (I :
R
M) ⊆ I , mâu thuẫn. Vậy (I :
R
M) = xR.
ii) Theo i) I ⊂(I :
R
M) = xR. Suy ra M ⊆ (I :
R
xR). Mặt khác (I :
R
xR) là ideal thật
sự c ủa R (do x /∈ I). Vì R là vành địa phương nên (I :
R
xR) = M. Theo Bổ đề 2.1.9
I = x(I :
R
xR) = xM.
Vậy
I = (I :
R

M)M.
iii) Cho J là ideal bất kỳ của R. Giả sử J  I. Ta cần chứng minh (I :
R
M) ⊆ J. Thật
vậy theo i), (I :
R
M) = xR. Giả sử x /∈ J. Khi đó với mọi j ∈ J, ta đều có x /∈ jR. Suy
ra ( jR :
R
xR) là ideal thật sự của R. Do R là vành địa phương nên ( jR :
R
xR) ⊆M. Hơn
nữa theo Bổ đề 2.1.9
xR ∩ jR = x( jR :
R
xR).
2.2 Ideal bất khả quy mạnh trong vành địa phươ ng hóa 18
Dẫn dến
xR ∩ jR ⊆ xM ⊆ I.
Vì I bất khả quy mạnh nên jR ⊆ I. Suy ra J ⊆ I, mâu thuẫn. Vậy x ∈J. Hay
(I :
R
M) ⊆ J.
Nhận xét 2.1.11. Giả thiết trong Định lý 2.1.10 tồn tại. Lấy I = M trong vành địa
phương Noether (R,M), theo Bổ đề 2.1.3 I bất khả quy mạnh và hiển nhiên M = (M :
R
M) = R.
2.2 Ideal bất khả quy mạnh trong vành địa phương hóa
Định lý 2.2.1. Cho S là tập con nhân c ủa R. Đặt C = {I ∩R|I là ideal của S
−1

R}. Khi
đó tập tất cả ideal bất khả quy mạnh của S
−1
R tương ứng 1-1 với tập tất cả ideal bất
khả quy mạnh của R thuộc C và không giao với S.
Chứng minh. Cho I là ideal bất khả quy mạnh của S
−1
R. Khi đó I ∩R = R,I ∩R ∈C
và (I ∩R) ∩S = /0. Giả sử A và B là hai ideal bất kỳ của R thỏa mãn A ∩B ⊆I ∩R. Khi
đó do Bổ đề 1.1.22
S
−1
A ∩S
−1
B = S
−1
(A ∩B) ⊆S
−1
(I ∩R) = I.
Vì I bất khả quy mạnh nên S
−1
A ⊆I hoặc S
−1
B ⊆I. Vì vậy do Bổ đề 1.1.6
A ⊆(S
−1
A) ∩R ⊆I ∩R
hoặc
B ⊆(S
−1

B) ∩R ⊆I ∩R.
Theo đó I ∩R bất khả quy mạnh trong R.
Ngược lại, cho I là ideal bất khả quy mạnh trong R thỏa mãn I ∩S = /0 và I ∈C. Từ
đó S
−1
I = S
−1
R. Giả sử C, D là hai ideal bất kỳ của S
−1
R thỏa mãn C ∩D ⊆S
−1
I. Khi
đó theo Bổ đề 1.1.5
(C ∩R) ∩(D ∩R) = (C ∩D) ∩R ⊆ (S
−1
I ∩R).
Theo Bổ đề 1.1.19 và vì I ∈C nên S
−1
I ∩R = I. Do đó
(C ∩R) ∩(D ∩R) ⊆I.
Mặt khác I bất khả quy mạnh suy ra C ∩R ⊆I hoặc D ∩R ⊆ I. Theo đó
C = S
−1
(C ∩R) ⊆S
−1
I
hoặc
D = S
−1
(D ∩R) ⊆S

−1
I.
Vậy S
−1
I là ideal bất khả quy mạnh trên vành S
−1
R.
2.2 Ideal bất khả quy mạnh trong vành địa phươ ng hóa 19
Hệ quả 2.2.2. Cho S là tập con nhân của R. Khi đó
i) Nếu I là ideal nguyên sơ bất khả quy mạnh và không giao với S của R thì S
−1
I là
ideal bất khả quy mạnh của S
−1
R.
ii) Nếu R là vành Noether thì có một tương ứng 1-1 giữa tập tất cả ideal bất khả quy
mạnh của S
−1
R và tập tất cả ideal bất khả quy mạnh của R mà không giao với S.
Chứng minh. i) Do I nguyên sơ và I ∩S = /0. Do Bổ đề 1.1.21 nên S
−1
I ∩R = I. Do đó
I ∈C( C trong Định lý 2.2.1). Theo Định lý 2.2.1, ta thu được S
−1
I bất khả quy mạnh
trong S
−1
R.
ii) Ta đã biết trong vành Noethe r, ideal bất khả quy mạnh l à ideal nguyên sơ (theo
Bổ đề 2.1.3 i)). Do đó theo i), nếu I bất khả quy mạnh trong R thì S

−1
I bất khả quy
mạnh trong S
−1
R. Ngược lại, nếu I bất khả quy mạnh trong S
−1
R thì theo định lý trên
ta cũng thu được I ∩R bất khả quy mạ nh trong R.
Bổ đề 2.2.3. Cho vành R. Những khẳng định sau tương đương:
i) Mọi ideal nguyên sơ của R bất khả quy mạnh.
ii) Cho P là ideal nguyên tố bất kỳ của R. Khi đó mọi ideal nguyên sơ của R
P
bất khả
quy mạnh.
iii) Cho M là ideal tối đại bất kỳ của R. Khi đó mọi ideal nguyên sơ của R
M
bất khả
quy mạnh.
Chứng minh. i) ⇒ii) Cho I là ideal nguyên sơ của R
P
. Khi đó I ∩R là ideal nguyên sơ
của R, (I ∩R) ∩(R −P) = /0 và I ∩R ∈C (C trong Định lý 2.2.1). Theo đó I ∩R bất khả
quy mạnh (do I bất khả quy mạnh).
ii) ⇒iii) Hiển nhiên.
iii) ⇒ i) Cho I là ideal nguyên sơ của R, và M là ideal tối đại của R chứa I. Khi
đó IR
M
là ideal nguyên sơ của R
M
. Theo đó IR

M
bất khả quy mạnh trong R
M
. Suy ra
IR
M
∩R là ideal bất khả quy mạnh của R. Và do I là ideal nguyên sơ, nên IR
M
∩R = I.
Vậy I bấ t khả quy mạnh trong R.
Chương 3
Ideal bất khả quy mạnh trong một số vành
giao hoán đặc biệt
3.1 Ideal bất khả quy mạnh trong vành Noether giao hoán
Mệnh đề 3.1.1. Cho I là ideal bất khả quy mạnh trong vành Noether R, Rad(I) = P
và giả sử I = P. Khi đó:
i) (I :
R
P)R
P
là ideal chính và ht(I)  1.
ii) IR
P
= ((I :
R
P)P)R
P
.
iii) Với J là ideal bất kỳ của R, ta có J ⊆ I hoặc (I :
R

P)R
P
⊆ JR
P
.
Chứng minh. Vì I bất khả quy mạnh t rong vành Noether nên I là ideal P- nguyên sơ.
Theo Hệ quả 2.2.2 IR
P
bất khả quy mạnh.
i) Theo Định lý 1.1.33, ta có IR
P
⊂(IR
P
:
R
P
PR
P
) (do
√
IR
P
= PR
P
). Từ đó áp dụng
Định lý 2.1.10 (IR
P
:
R
P

PR
P
) là ideal chính. Hơn nữa (IR
P
:
R
P
PR
P
) = (I :
R
P)R
P
dẫn
đến (I :
R
P)R
P
là ideal chính của vành R
P
. Ta có
PR
P
=
√
IR
P
⊆
√
(IR

P
:
R
P
PR
P
) = PR
P
,
và 1 /∈(IR
P
:
R
P
PR
P
). Dẫn đến PR
P
là ideal nguyên tố tối tiểu của ( IR
P
:
R
P
PR
P
). Hay
PR
P
là ideal nguyên tố tối tiểu của (I :
R

P)R
P
. Theo Định lý 1.1.45 ht
R
P
PR
P
 1. Tiếp
tục áp dụng Mệnh đề 1.1.46 htI = htP  1 .
ii) Theo Định lý 2.1.10 và theo Bổ đề 1.1.22
IR
P
= (IR
P
:
R
P
PR
P
)PR
P
= (I :
R
P)R
P
PR
P
= ((I :
R
P)P)R

p
.
Vậy
IR
P
= ((I :
R
P)P)R
p
.
20