module con thuần khiết của module nhân

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN


TRẦN NHẬT DUY THANH



MODULE CON THUẦN KHIẾT
CỦA MODULE NHÂN



LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành Đại Số và Lý Thuyết Số
Mã số: 60 46 05



HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : TS. TRẦN NGỌC HỘI



Thành Phố Hồ Chí Minh – 2011


Trang 1



LỜI CẢM ƠN

Trong những dòng đầu tiên của luận văn này, tôi kính gửi những tình cảm tốt đẹp
nhất và lòng biết ơn chân thành, khắc ghi những công ơn giảng dạy của người thầy
TS.Trần Ngọc Hội, giảng viên khoa Toán – Tin học, trường Đại Học Khoa Học Tự
Nhiên, Đại Học Quốc Gia thành phố Hồ Chí Minh, người thầy đã dạy dỗ tôi trong những
năm ở bậc Đại học, Cao học, và cũng là người truyền niềm cảm hứng trong toán học nói
chung và trong chuyên ngành đại số nói riêng cho tôi. Thầy là người hết lòng tận tụy
hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi luôn ghi nhớ công ơn của các thầy cô giáo trong Ban Giám Hiệu nhà trường.
Ban Chủ Nhiệm khoa Toán – Tin học, Phòng Sau Đại Học của trường Đại học Khoa Học
Tự Nhiên. Đại Học Quốc Gia thành phố Hồ Chí Minh đã nhiệt tình giảng dạy, giúp đỡ và
tạo mọi điều kiện trong suốt quá trình học tập của tôi.
Tôi cũng xin cám ơn tất cả các bạn thành viên trong lớp Cao học Toán Đại số
Khóa 18 đã giúp đỡ quá trình học tập của tôi.
Lời cuối cùng tôi xin dành tặng tất cả những gì tốt đẹp nhất, lòng biết ơn sâu sắc
nhất cho gia đình tôi đã cho tôi có ngày hôm nay. Tôi xin dành tặng tất cả những cố gắng
trong học tập, sự thành công này cho ba mẹ cũng như những người thân của tôi như là
một sự đền đáp với những gì ba mẹ tôi đã cho tôi để tôi có ngày hôm nay.



Thành phố Hồ Chí minh, tháng 6 năm 2011
Tác giả


Trần Nhật Duy Thanh

2

2

Mục lục
Lời cảm ơn 1
Bảng ký hiệu 3
Lời nói đầu 4
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị
1.1 Vành, Ideal……………… ………………………… 6
1.2 Module………………… ………………………… 8
1.3 Module dẹt………………………………………….12
1.4 Module con thuần khiết………….…………………13
Chương 2 Module nhân………….………………………….15
Chương 3 Module con thuần khiết của module nhân
3.1 Module con thuần khiết của module nhân………….29
3.2 Vết của module con thuần khiết……………………43
Kết luận 45
Tài liệu tham khảo 46





3

3

Bảng Ký Hiệu

Ký hiệu Nội dung

[ : ]KL

: Thặng dư của K bởi L.

annM
: Linh hóa tử của mô đun M.

()ann m
: Linh hóa tử của phần tử m.

()TM
: Vết của module M.


: Tập con.


: Tập con thực sự.

I
: Căn của ideal I.

N
: Căn của mô đun con N.

4

4

LỜI NÓI ĐẦU



Trong những thập niên cuối của thế kỉ XIX Đại Số Giao Hoán đã có sự phát triển
mạnh mẽ và các nhà toán học rất hứng thú với cấu trúc đại số mới đó là module. Có thể
nói khái niệm module là mở rộng của khái niệm nhóm Abel và khái niệm không gian
vectơ. Nếu xem một vành là một module trên chính nó thì khái niệm module con chính là
khái niệm ideal. Sự quan tâm đến lớp module mà trong đó mỗi module con được biểu
diễn bởi các ideal là tiền đề cho sự ra đời của module nhân. Cụ thể, khái niệm này đã
được A. Barnard nêu ra trong bài báo Multiplication Modules, J. Algebra 71(1981) như
sau: M là một R-module nhân nếu mọi module con N của M đều có dạng IM, trong đó I
là ideal của R. Nhiều kết quả về module nhân đã lần lượt ra đời. Trong quá trình nghiên
cứu người ta thấy module nhân có nhiều tính chất giống như vành. Module nhân được
các nhà toán học nghiên cứu theo nhiều hướng khác nhau: Khảo sát sâu hơn về mối liên
hệ giữa ideal và module con của module nhân, tìm ra mối liên hệ giữa mô đun nhân và
các module khác, …Trong toán học, đặc biệt là trong lĩnh vực lý thuyết module, khái
niệm module con thuần khiết là tổng quát hóa của khái niệm hạng tử trực tiếp. Mô đun
con thuần khiết đã được tìm hiểu và nghiên cứu khá nhiều trong thời gian vừa qua.
Trong luận văn này, chúng tôi kết hợp hai khái niệm module nhân và module con
thuần khiết. Chúng tôi nghiên cứu về module con thuần khiết của module nhân. Các tính
chất và đặc tính của module con thuần khiết của module nhân được xem xét đến. Thông
qua khái niệm module con lũy đẳng, chúng tôi chỉ ra rằng một module con thuần khiết

của module nhân với linh hóa tử (annihilator) thuần khiết là thuần khiết nếu và chỉ nếu nó
là nhân và lũy đẳng. Nếu M là module nhân trung thành hữu hạn sinh thì một module con
N của M là thuần khiết nếu và chỉ nếu [N:M] là ideal thuần khiết của R. Nếu N là
module con thuần khiết hữu hạn sinh của R-module nhân trung thành hữu hạn sinh thì N
= eM = eN với e lũy đẳng trong R. Một vài kết quả về căn thức (radical) của module con
thuần thiết của module nhân cũng được đưa vào luận văn này.
Trong luận văn này, chúng tôi chỉ xét vành giao hoán có đơn vị nên khi nói đến
vành mà không nói gì thêm thì ta hiểu đó là vành giao hoán có đơn vị.

5

5

Dù bản thân đã cố gắng rất nhiều, nhưng do những hạn chế nhất định về khả năng
và thời gian nghiên cứu nên luận văn sẽ khó tránh khỏi thiếu sót. Tác giả rất mong nhận
được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và các bạn để luận văn này được hoàn thiện
hơn. Xin chân thành cảm ơn.






Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 6 năm 2011
Tác giả

Trần Nhật Duy Thanh

6

6

Chương 1
Kiến thức chuẩn bị









Nội dung chương này trình bày các Định nghĩa, Bổ đề, Mệnh đề và Định
lý cơ bản sử dụng trong các chương sau. Nếu không có giải thích gì thêm thì vành được
hiểu là vành giao hoán có đơn vị, các module được hiểu là module trên vành giao hoán có
đơn vị.

1.1 Vành và Ideal

Định nghĩa 1.1.1. Ideal A của vành R được gọi là một ideal thực sự nếu

AR
.

Định nghĩa 1.1.2. Ideal M của vành R được gọi là một ideal tối đại nếu M là phần tử tối
đại tương ứng với quan hệ bao hàm trong tập các ideal thực sự. Nói cách khác, ideal Q
của R là tối đại nếu và chỉ nếu :
(1)

QR
và
(2)
Không tồn tại ideal K nào của R thỏa
Q K R
.
Định nghĩa 1.1.3. Một ideal P của vành R được gọi là ideal nguyên tố nếu :
(i)
PR
và
(ii) Với a, b tùy ý thuộc R, nếu
ab P
thì
aP
hoặc
bP
.

7

7

Định nghĩa 1.1.4. Cho I là một ideal của vành R. Ideal I được gọi là ideal lũy đẳng trong
R nếu
2
II
.
Mệnh đề 1.1.5. ([13], Hệ quả 6.3). Nếu I là một ideal lũy đẳng hữu hạn sinh thì
Ia

với
2
aa
.
Định nghĩa 1.1.6. Ideal I của vành R được gọi là một ideal chính nếu I được sinh bởi một
phần tử
aR
hay
Ia
.
Định nghĩa 1.1.7. Vành R được gọi là một vành p.p nếu mỗi ideal chính là xạ ảnh, tương
đương với nếu mỗi linh hóa tử
()ann a
được sinh bởi một phần tử lũy đẳng với mọi
aR
.
Định lý 1.1.8. Cho I là một ideal khác không trong miền nguyên R, khi đó ta có các phát
biểu sau là tương đương :
(1)
 
I B IB





với mỗi tập hợp những ideal khác rỗng
{}B

của R.
(2)
 
I B IB




với mỗi tập những fractional ideals
{}B

của vành R.
(3) I khả nghịch.
(4) I xạ ảnh.
Định nghĩa 1.1.9. Vành R được gọi là một vành chính quy Von Neumann nếu
aR
thì
xR
sao cho
a axa
.

Mệnh đề 1.1.10. Nếu R là vành chính quy Von Neumann thì
P

R
là trường với mọi ideal
tối đại P của R.
Định nghĩa 1.1.11. Cho I là một ideal của vành R. Khi đó

( ) {rad I I r R n     
sao cho
}
n
rI
,
là một ideal chứa I của R và được gọi căn của I.

Đặc biệt nếu I=(0) thì
0
=
{r R n  
sao cho
0}
n
r 
được gọi là nilradical của R.
Bổ đề 1.1.12. Cho I là một ideal của vành R. Khi đó
I

là giao của tất cả các ideal
nguyên tố chứa I trong R.
Định nghĩa 1.1.13. Cho I là một ideal của vành R. I được gọi là meet-principal nếu
( [ : ])AI B A B I I
với mọi ideal A và B của R.

8

8

Định lý 1.1.14. ([7], Định lý 1). Cho I là một ideal, ta có các phát biểu sau là tương
đương :
(1) I là hữu hạn sinh và chính địa phương.
(2)
[ : ]
xI
Rx I R



.

9

9

1.2 Module

Định nghĩa 1.2.1. Cho M là một R-module, G là một module con của M và tập hợp
JM
với
J


. Ta ký hiệu ideal

 
,r R rj G j J   

của R là [G:J]. Chú ý rằng nếu N là một module con của M sinh bởi J thì [G:J]=[G:N].
Với
mM
, ta ký hiệu [G:m] thay cho [G:{m}]. Đặc biệt khi G=0, ideal

[0: ] { , }J r R rj G j J    

,

được gọi là linh hóa tử của J và được ký hiệu là ann(J). Tương tự, với
mM
ta gọi [0:m]
là linh hóa tử của m và được ký hiệu là ann(m).
Nhận xét 1.2.2. Cho N là một module con của R-module M, ta có ann(M/N)=(M:N).
Định nghĩa 1.2.3. Cho M là một R-module. Khi đó M được gọi là module trung thành
nếu ann(M)=0.
Định nghĩa 1.2.4. Cho R là một miền nguyên, M là một R-module. Khi đó tập hợp

 
( ) 0,M m M rm r R

   

là một module con của M và được gọi là module con xoắn của M.
(i) Khi
()M

=M thì M được gọi là module xoắn (torsion module).
(ii) Khi
()M

=0 thì M được gọi là module không xoắn (torsion-free module).
Định nghĩa 1.2.5. Cho M là một R-module. Nếu có một tập con hữu hạn
 
1
, ,
n

mm
của
M sao cho
1

n
M Rm Rm  
thì M được gọi là module hữu hạn sinh. Khi đó
 
1
, ,
n
mm

được gọi là tập sinh của M.
Mệnh đề 1.2.6. Ảnh đồng cấu của một module hữu hạn sinh là module hữu hạn sinh.
Hệ quả 1.2.7. Module thương của một module hữu hạn sinh là module hữu hạn sinh.

10

10

Mệnh đề 1.2.8. Cho M là một R-module, N là một module con của M. Khi đó nếu N và
M/N là các module hữu hạn sinh thì M hữu hạn sinh.
Định lý 1.2.9. ([27],76) Cho I là một ideal của R, M là một R-module hữu hạn sinh sao
cho IM=M. Khi đó (1+y)M=0 với
yI
.

Mệnh đề 1.2.10. Cho M là một R-module, và K và L là hai module con của M. Khi đó

các điều sau đây là tương đương :
(i)

[ : ] [ : ]R K L L K
.
(ii)

[( ): ] [ : ] [ : ]K L N K N L N  
với mọi module con N của M.
(iii)
[ :( )] [ : ] [ : ]N K L N K N L
với mọi module con N của M.
Trong trường hợp này
( ) ( ) ( )N K L N K N L    
với mọi module con N của M.
Ngoài ra nếu K+L là hữu hạn sinh và
( ) ( ) ( )N K L N K N L    
với mọi module con
N của M thì
[ : ] [ : ]R K L L K
.
Chứng minh.
( ) ( )i ii
. Nếu
[ : ] [ : ]R K L L K

thì
1 ab
với tồn tại
[ : ], [ : ]a K L b L K

. Giả sử N là module con bất kỳ của M.
Rõ ràng
[ : ] [ : ] [( ): ]K N L N K L N  
.
Lấy
[( ): ]r K L N
, do đó
r ra rb
,
()raN a K L K  
nên
[ : ]ra K N
và tương tự
[ : ]rb L N
. Do đó
[ : ] [ : ]r K N L N
. Suy ra
[( ): ] [ : ] [ : ]K L N K N L N  
.
( ) ( )ii i
. Lấy
N K L
trong (ii).
( ) ( )i iii
. Một lần nữa giả sử
1 ab
với
[ : ], [ : ]a K L b L K
. Với N là module con bất
kỳ của M. Rõ ràng

[ : ] [ : ] [ :( )]N K N L N K L 
. Lấy
[ :( )]s N K L 
. Do đó
,s sb sa

()sbK s K L N
sao cho
[ : ]sb N K
và tương tự
[ : ]sa N L
. Do đó
[ : ] [ : ]s N K N L
. Suy ra
[ :( )] [ : ] [ : ]N K L N K N L
.
( ) ( )iii i
. Lấy
N K L 
trong (iii).
Bây giờ giả sử (i) thỏa, từ đó 1=a+b với một vài
[ : ], [ : ]a K L b L K
. Giả sử với N là
module con bất kỳ của M. Khi đó

( ) ( ) ( )N K N L N K L    
.

11

11

Lấy
()x N K L
. Do đó
x ax bx
. Do
ax N K 
và
bx N K 
, nên
( ) ( )x N K N L
. Do đó ta có
( ) ( ) ( )N K L N K N L    
.
Giả sử
( ) ( ) ( )N K L N K N L    
với mọi module con N của M và K+L là
hữu hạn sinh. Do đó tồn tại số nguyên dương n và phần tử
, (1 )
ii
x K y L i n   
sao cho
11
( ) ( )
nn
K L R x y R x y     
. Lấy
yL
. Với bất kỳ

1 in
,

( ) ( ) ( ) [ ( ) ] [ ( ) )
i i i i
R x y R x y K L R x y K R x y L         
,
do đó tồn tại
rR
và
zL
sao cho

()
ii
x y r x y z   
và
()
i
r x y K

do đó
(1 )
i
r x L
và
ry K
. Điều này có nghĩa là

[ : ] [ : ]

i
R K Ry L Rx
(
1 in
).
Và do đó

[ : ] ([ : ] [ : ]) [ : ] [ : ]
in
R K Ry L Rx L Rx K Ry L K   
.
Đặc biệt

[ : ] [ : ]
i
R K Ry L K
(
1 in
).
Và do đó

([ : ] [ : ]) [ : ] [ : ] [ : ]
in
R K Ry K Ry K L K L L K   
.


Định nghĩa 1.2.11. Cho M là một R-module. Module con N của M là lũy đẳng trong M
nếu
[ : ]N N M N

.
Nhận xét : Khái niệm module con lũy đẳng là mở rộng của khái niệm ideal lũy đẳng
trong một vành. Thật vậy, cho I là một ideal của R. Nếu I là R-module lũy đẳng thì ta có
2
[ : ]I I R I I
.
Định lý 1.2.12. Cho I là ideal của vành R và N là module con của R-module M. Nếu I là
ideal lũy đẳng và N là module con lũy đẳng thì IN là lũy đẳng trong M.



12

12

Định nghĩa 1.2.13. Tích tenxơ của các module X và Y là các nhóm aben, mà ta sẽ ký
hiệu là
XY
, sao cho có ánh xạ song tuyến tính
: X Y X Y

  
có tính chất phổ dụng
đối với bất kỳ ánh xạ song tuyến tính
: X Y G


, tức là với mỗi ánh xạ song tuyến tính

đó, tồn tại và duy nhất đồng cấu

:f X Y G
thỏa mãn :

f


.

Định lý 1.2.14. Tích tenxơ của hai module con lũy đẳng trong R-module M là lũy đẳng
trong
MM
.

Bổ đề 1.2.15. (Bổ đề Nakayama) Cho M là một R-module hữu hạn sinh và A là một
ideal của vành R sao cho
()A J R
. Nếu M=AM thì M=(0).

Định nghĩa 1.2.16. Cho M là một R-module, P là một module con của M. Khi đó P được
gọi là module con nguyên tố của M nếu
PM
và bất kỳ
rm P
, với
mM
và
rR
, thì
mP
hoặc

[ : ]r P M
.

Định nghĩa 1.2.17. Cho M là một R-module, N là một module con của M. Căn N, ký
hiệu là M-radical N hay radN, là giao của tất cả module con nguyên tố của M chứa N.

Định nghĩa 1.2.18. Cho M là một R-module. M được gọi là torsionless nếu
,0m M m  
thì
( , )
R
f Hom M R

sao cho
( ) 0fm
.

Định nghĩa 1.2.19. Cho P là một R-module. Module P được gọi là một module xạ ảnh
nếu với mọi toàn cấu
: BC


, mỗi đồng cấu
:f P C
, tồn tại một đồng cấu
: PB



sao cho

f


.
Chú ý : Ideal I của R mà như là một R-module xạ ảnh thì được gọi là ideal xạ ảnh.
Hệ quả 1.2.20. ([6],p.332) Cho P là một R-module. Nếu P là module xạ ảnh thì ta có
()I P I P



với mỗi tập hợp những ideal
{}I

của R.
Định nghĩa 1.2.21. Cho Q là một ideal tối đại của vành R, M là một R-module. Đặt

( ) { (1 ) 0
Q
T M m M q m   
với q nào đó thuộc Q }.

13

13

Dễ dàng kiểm tra rằng
()
Q
TM
là một module con của M. Khi đó

(i) M được gọi là Q-xoắn nếu M=
()
Q
TM
.
(ii) M được gọi là Q-xyclic nếu tồn tại phần tử
qQ
và
mM
sao cho
(1 )q M Rm
.

Bổ đề 1.2.22. Cho M là một R-module. Khi đó M là xạ ảnh nếu ta có

00K F M

   

thì tồn tại một R-đồng cấu
: FF


sao cho
(i)
  

và
(ii)
ker ker



.
Hệ quả 1.2.23. Cho M là một R-module, và
(1 )
i
N i n
là một tập hợp hữu hạn những
module con của M sao cho
[Ni : Nj ] + [Nj : Ni] = R
với mọi i < j. Ta đặt

1
n
l
l
SN



,
1
n
l
NN

 
,
ij
ji

SN




,
ij
ji
NN


 
.
Khi đó ta có :
(i)
1
[ : ] [ : ]
n
i
i
S K N K



với mọi module con K của M.
(ii)
1
[ : ]
n
i

i
N S R



.
(iii)
1
[ : ] [ : ]
n
i
i
K N K N



với mọi module con K của M.
(iv)
1
[ : ]
n
i
i
N N R



.
(v)
1

()
n
i
i
K N K N




với mọi module con K của M.
(vi)
1
()
n
i
i
K N K N

  
với mọi module con K của M.
(vii)
1
n
l
l
IN IN

 
với mọi ideal I của R.
Chứng minh. Ta chứng minh (i) bằng quy nạp. Dễ dàng kiểm tra (i) đúng với n=2

([24], Mệnh đề 4). Giả sử n>2 và đúng tới n-1, với mỗi module con K của M,

14

14


[ : ] [ : ]
i
j
ji
S K N K




, với mọi
1 in
.
Giả sử K là một module con của M. Khi đó
1
[ : ] [ : ]
n
j
l
N K S K



. Vì ([20], Bổ đề 1.1) nên tồn tại

[ : ]
i
i
x S S


sao cho
1
1
n
i
i
x



. Chọn
z [S : K]
. Khi đó
1
z=
n
i
i
zx


và
i
ii

zx K x S S


với mọi
1 in
. Do đó
11
[ : ] [ : ]
nn
i
i
ii
z S K N K




, từ đó
1
[ : ] [ : ]
n
i
i
S K N K



, và (i) đã được chứng
minh.
Để chứng minh (ii) ta chọn K=S trong (i).

Chứng minh (iii) khi đó tương tự như (i).
Chứng minh (iv) ta chọn K=N trong (iii).
Chứng minh (v), ta chọn K là module con bất kỳ của M. Khi đó
1
n
l
l
K N K S




. Từ (ii) ta có
tồn tại
[ : ]
ii
x N S
sao cho
1
1
n
i
i
x



. Chọn
u K S 
. Khi đó

1
n
i
i
u ux



và
ii
ux K N 
với
mọi
1 in
. Do đó
1
n
i
i
u K N




và từ đó
1
n
i
i
K S K N





.
Để chứng minh (vi), giả sử K là một module con của M. Khi đó
1
()
n
l
l
K N K N

  
. Từ (iv) ta
có tồn tại
[ : ]
ii
x N N
sao cho
1
1
n
i
i
x



. Chọn

1
()
n
j
j
v K N


. Khi đó
jj
v k n
với
,
jj
k K n N
nào đó và với mọi
1 in
. Khi đó ta có
j j j j j
x v x k x n K N   
và do đó
1
n
j
j
v x v K N

  

do đó

1
()
n
l
l
K N K N

  
và (vi) được chứng minh.
Cuối cùng, chọn I là ideal của R. Khi đó
1
n
l
l
IN IN

 
. Và từ (iv) ta có
1
1
n
i
i
x



với
[ : ]
ii

x N N
nào đó. Chọn
1
n
r
r
y IN

 
, khi đó
r
y IN
với mọi
1 rn
. Do đó
1
m
rk rk
k
y u n



với
rk
uI
và
rk r
nN
với mọi

1 rn
và với mọi
1 km
. Khi đó ta có

15

15


1 1 1
()
n m n
r rk rk r
r k r
y yx u n x
  

 
.
Nhưng
rk r
n x N
và do đó
()
rk rk r
u n x IN
với mọi
1 rn
và với mọi

1 km
. Điều này cho
ta
y IN
và điều cần chứng minh (vii).























16

16

1.3 Module dẹt

Định nghĩa 1.3.1. Cho A là một R-module. A được gọi là module dẹt nếu hàm tử
()A
là hàm tử khớp. Nói cách khác A là một module dẹt nếu hàm tử
()A
chuyển
mỗi dãy khớp ngắn các R-module :
00X Y Z


   

thành dãy khớp các nhóm tenxơ

11
00
AA
X A Y A Z A


      
.
Bổ đề 1.3.2. ([11], Bổ đề 11.21) Cho M là một R-module dẹt, và N là một module con.
Khi đó M/N là dẹt nếu và chỉ nếu

IN IM N 
(1)

Với mỗi ideal I hữu hạn sinh của R. Khi điều đó xảy ra, thì (1) cố định với mỗi ideal I.
Bổ đề 1.3.4. ([11], Bổ đề 11.23) Nếu M là một R-module dẹt, và N là một module con của
M thì M/N là module dẹt nếu và chỉ nếu
,rM N rN r R   
. (Khi đó
rM N rN
).
Bổ đề 1.3.3. Cho M là một R-module xạ ảnh, khi đó
M N F
với N là R-module và F
là R-module tự do.









17

17

1.4 Module con thuần khiết

Định nghĩa 1.4.1. Cho M là một R-module, N là một module con M. N là một module
con thuần khiết nếu và chỉ nếu dãy
0 N E M E   

là khớp với mỗi R-module E.
Ví dụ: Ta có không gian véc tơ con của không gian véc tơ trên trường là thuần khiết.
Module M cũng là module con thuần khiết của M.
Chú ý : Nếu ideal I của R là một R-module con thuần khiết thì được gọi là ideal thuần
khiết.
Bất kỳ hạng tử trực tiếp N của R-module M là thuần khiết (được suy ra từ dãy khớp
1
( / , ) .
R
Tor M N E N E M E   
Trong khi đó chiều ngược lại là đúng nếu
/MN
có
biểu diễn hữu hạn ([20], Định lý 7.14).
Bổ đề 1.4.2. Cho M là một R-module. Nếu N là một module con thuần khiết M. Khi đó
(i)
IN N IM 
với ideal I của R.
(ii)
rN N rM 
với mỗi
rR
.
Chứng minh. Áp dụng ([14], p.155(4.89)) với n=1.


Bổ đề 1.4.3. ([11]) Cho M là R-module dẹt. Nếu
/MN
dẹt thì N là module con thuần
khiết trong M.

Mệnh đề 1.4.4. Cho M là một R-module, N là module con của M. Nếu M là module dẹt
thì ta có những điều sau là tương đương :
(1)
/MN
là dẹt.
(2)
IN N IM 
với mỗi ideal I của R.
(3)
rM N rN
với mỗi
rR
.

Chứng minh. Từ Bổ đề 1.3.2 và 1.3.3 ta có điều cần phải chứng minh.


Mệnh đề 1.4.5. Cho R là một R-module, N là module con của M. Nếu M là moduel dẹt thì
ta có những mệnh đề sau là tương đương :
(1) N là module con thuần khiết của M.


18

18

(2)
IN N IM 
cho mỗi ideal I của R.
(3)

rM N rN
cho mỗi
rR
.
 Ta có Định nghĩa 1.4.1 chính là Định nghĩa của Cohn về module con thuần khiết,
và (2) chính là Định nghĩa của Anderson và Fuller về module con thuần khiết, và
(3) cũng chính là Định nghĩa của Ribenboim về module con thuần khiết.
 Ta có Định nghĩa của Cohn dẫn đến Định nghĩa của Anderson và Fuller (Bổ đề
1.4.2), và dễ dàng ta thấy Định nghĩa của Anderson với Fuller dẫn đến Định nghĩa
của Ribenbiom.
 Và từ Mệnh đề 1.4.5 ta có ba định nghĩa về module con thuần khiết sẽ tương
đương nhau khi M là module dẹt.

Định nghĩa 1.4.6. Cho I là một ideal của vành R, M là một R-module. Ideal vết (trace
ideal) của một module M được ký hiệu là T(M) :

( , )
( ) ( )
f Hom M R
T M f M




Mệnh đề 1.4.7. ([26], [27]) Cho M là một R-module.Nếu M là R-module xạ ảnh thì :
   
1 M T M M.

   
 

2 annM ann T M .

(3)T(M) là ideal thuần khiết.
Hệ quả 1.4.8. Module xạ ảnh là module con thuần khiết của module tự do.
Chứng minh. Ta có module xạ ảnh là hạng tử trực tiếp của module tự do (chú ý ở Hệ quả
1.4.1).






19

19

Chương 2
Module nhân








Định nghĩa 2.1. Cho M là một R-module. M được gọi là module nhân nếu với mỗi
module con N của M thì tồn tại một ideal I của R sao cho
N IM
.

Chú ý : Nếu ideal I của R là một R-module nhân thì được gọi là ideal nhân.
Bổ đề 2.2. Cho M là R-module nhân và N là module con của M. Khi đó
[ : ]N N M M
.
Chứng minh. Vì N là module con của module nhân M nên ta có
N IM
với ideal I của R.
Do đó
[ : ]I N M
và ta có
[ : ]N IM N M M N  
, vì vậy
[ : ]N N M M
.


Bổ đề 2.3. Cho M là một R-module nhân, K là một module con của M. Khi đó K là
module con nhân của M nếu và chỉ nếu
[ : ]N K N K K
với mỗi module con N của M .

20

20

Chứng minh. Cho A và B là hai R-module, ta chứng tỏ nếu B là module nhân thì ta có
[ : ]A B A B B
. Lấy
x A B 
, do đó

xB
, vì B là module nhân, nên tồn tại ideal J của
R sao cho
()x JB A
. Do đó
( ) [ : ] [ : ]x A B B A B A B B  
.
()
Giả sử K là module con nhân của M theo chứng minh trên ta có
[ : ]N K N K K
với
mỗi module con N của M .
()
Lấy N=M.


Định lý 2.4. Cho M là một R-module nhân hữu hạn sinh và N là một module con của M.
Khi đó
[ : ]radN N M M
.
Chứng minh. Đầu tiên ta chứng minh
[ : ]N M M radN
. Thật vậy nếu radN=M thì kết
quả là hiển nhiên. Mặt khác, nếu P là một module nguyên tố bất kỳ của M mà chứa N, thì
[ : ] [ : ]B M P M
. Ta chứng minh [P:M] là ideal nguyên tố. Giả sử
[ : ]rs P M
, sao cho
rsM P
. Do đó hoặc

sM P
hoặc
/sa M P
với một vài
aM
. Trong trường hợp
cuối với P là module con nguyên tố và
rsa P
, do đó
rM P
. Và do đó
[ : ]r P M
hoặc
[ : ]s P M
. Suy ra
[ : ]PM
là nguyên tố. Do đó
[ : ] [ : ]N M P M M P
. Vì P là module
con nguyên tố bất kỳ chứa B nên ta có
[ : ]N M M radN
.
Ta có M là module nhân nên
[ : ]radN radN M M
. Do đó
[ : ] [ : ]radN M N M
.
Lấy P là ideal nguyên tố bất kỳ sao cho
[ : ]N M P
. Vì P là ideal nguyên tố chứa

[0: ]annM M
, do đó PM là module con nguyên tố của M chứa N=[N:M]M. Từ đó
[ : ]radN M M radN PM
, sao cho
[ : ]radN M P
. Do đó,
[ : ] [ : ]radN M N M
. Khi
đó
[ : ] [ : ]radN M M N M M
, từ đó
[ : ]radN N M M
.


Hệ quả 2.5. Cho A và B là hai ideal của vành R và M là một R-module nhân hữu hạn
sinh. Khi đó
AM BM
nếu và chỉ nếu
()A B ann M
.
Chứng minh. Giả sử
[ : ]M B A M
. Ta có M là hữu hạn sinh, do đó tồn tại phần tử
[ : ]r B A
sao cho
(1 ) 0rM
, và khi đó
[ : ] ( )R B A ann M
. Từ đó ta có

()A RA B ann M  
.


Hệ quả 2.6. Cho I là một ideal nhân của vành R và M là một R-module nhân. Khi đó IM
là một R-module nhân.
Chứng minh. Gọi P là một ideal tối đại của R.

21

21

+) Giả sử I là P- xoắn. Ta sẽ chứng minh IM là P-xoắn. Thật vậy, ta luôn có :

()
P
T IM IM
(1)
chọn tùy ý
x IM
. Giả sử

1
n
jj
j
x i m




với
,
jj
i I m M
,
1,jn
.
Vì I là P-xoắn nên với mỗi
1,jn
tồn tại
j
pP
sao cho
(1 ) 0
jj
pi
. Khi đó nếu ta đặt

)
1
: 1 (1
n
j
j
pp

  


Thì (1-p)x = 0. Do đó

()
P
x T IM
. Vì x là phần tử tùy ý của IM nên :

()
P
IM T IM
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
()
P
IM T IM
hay IM là P-xoắn.
+) Nếu I không là P-xoắn và M là P-xoắn thì chứng minh tương tự như trên ta cũng có được IM
là P-xoắn.
+) Giả sử I và M đều không là P-xoắn. Khi đó ta có I và M là P-xyclic. Do đó tồn tại các phần tử
12
, , ,t t P a I m M  
sao cho
1
(1 )t I Ra
và
2
(1 )t M Rm
. Nếu ta đặt
1 2 1 2
:q t t t t  
thì
qP

và
12
(1 ) (1 )(1 ) ( )q IM t t IM R am    
. Vì vậy IM là P-xyclic.
Tóm lại, với P là ideal tối đại tùy ý của R thì IM là P-xoắn hoặc P-xyclic do đó IM là module
nhân.


Định lý 2.7. Cho M là một R-module nhân trung thành hữu hạn sinh. Cho A là một ideal
của R và N là một module con của M. Khi đó
(i) N là module nhân nếu và chỉ nếu [K:N][N:M]=[K:M] với mỗi module con
K của N.
(ii) I=[IM:M] với mỗi ideal I của R.
(iii) N là module nhân nếu và chỉ nếu [N:M] là deal nhân.
(iv) AM là module nhân nếu và chỉ nếu A là ideal nhân.

22

22

Chứng minh. (i) Giả sử N là module nhân. Nếu K là module con của N thì
[ : ] , [ : ]K K M M K K N N
và
[ : ]N N M M
, do đó
[ : ][ : ] [ : ]K K N N M M K M M
. Do
Hệ quả 2.5 ta có
[ : ][ : ] [ : ]K N N M K M
. Ngược lại giả sử rằng K là một module con của

N sao cho
[ : ][ : ] [ : ]K N N M K M
. Khi đó
[ : ] [ : ][ : ] [ : ]K K M M K N N M K N N  
. Do
đó N là module nhân.
()ii
Nếu I là một ideal bất kỳ của R thì
[ : ]IM IM M M
do đó
[ : ]I IM M
bởi Hệ quả
2.5.
()iii
Đặt
[ : ]I N M
, khi đó kết quả có được từ Hệ quả 2.6.
()
Giả sử N là module nhân. Cho B là ideal bất kỳ chứa trong [N:M]. Khi đó
BM N

và từ đó
[ : ] [ : ][ : ]B BM M BM N N M
bởi (i) và (ii). Từ đó ta có [N:M] là ideal nhân.
()iv
Ta dễ dàng chứng minh từ (ii) và (iii).


Hệ quả 2.8. Cho M là một R-module nhân hữu hạn sinh sao cho
( ) Reann M 

với e là
phần tử lũy đẳng nào đó, và cho N là một module con của M. Khi đó N là module nhân
nếu và chỉ nếu [N:M] là ideal nhân.
Chứng minh. Lấy
ReS 
và
(1 )T R e
do đó
R S T
và M là T-module trung thành
hữu hạn sinh. Rõ ràng
[ : ] Re {[ : ] }N M N M T 
. Nếu N là R-module nhân thì N là T-
module nhân,
[ : ]N M T
là ideal nhân của T và từ đó [N:M] là ideal nhân của R. Kết quả
đã được chứng minh.
Mệnh đề 2.9. Cho I là một ideal nhân. Khi đó
M
I
là ideal chính với mọi ideal M tối đại
của R. Ngoài ra, đặt
( ) [ : ]
xI
I Rx I





, nếu
()MI


thì
0
MM
I 
.
Chứng minh. Nếu
()MI


, thì
( ) ( ).
M M M
R I I


Từ Định lý 1.1.13 ta có
M
I
là ideal
chính. Giả sử rằng
()MI


, lấy
xI
, khi đó

( ) ( ) ( )x x I


và do đó
( ) ( ) ( )
M M M
x x I


.
Do Bổ đề Nakayama, ta có
( ) 0
MM
x 
. Do đó
0
MM
I 
.


Bổ đề 2.10. Cho A, B là hai R-module. Nếu B là module nhân, khi đó
[ : ]A B A B B
.
Chứng minh. Cho
x A B 
, do đó
xB
, vì B là module nhân, nên tồn tại một ideal J
thuộc R sao cho

()x JB A
. Điều đó chỉ ra rằng
[ : ]x A B B
. Chiều ngược lại là hiển
nhiên.




23

23

Định lý 2.11. Cho I là một ideal của vành R, ta có ba mệnh đề sau là tương đương nhau :
(1) I là meet-principal, có nghĩa là
( [ : ])AI B A B I I
với mọi ideal A và B của R.
(2) I là ideal nhân.
(3) Nếu
()MI


là ideal tối đại thì
0
MM
I 
.
Chứng minh.
(1) (2)
: Với

BI
là một ideal, khi đó
( [ : ]) [ : ]B RI B R B I I B I I  
.
Từ đó I là ideal nhân.
(2) (3)
: Định lý .
(3) (1)
: Từ quan hệ bao hàm
( [ : ])AI B A B I I
luôn đúng, ta chỉ cần chứng minh
rằng
( [ : ])AI B A B I I
. (*)
Địa phương hóa (*), cho M là một ideal tối đại của R, nếu
()MI


thì ta có
( ) (( [ : ]) ) 0
M M M
AI B A B I I
. Vì vậy ta có thể giả sử rằng
()MI


. Do đó tồn tại
phần tử
xI
với

[ : ]Rx I M
và do đó ta có
t R M
với
tI Rx
. Lấy
11

nn
b ai a i AI B    
với
i
aA
và
i
iI
và
1, ,jn
. Khi đó
j
ti tI Rx
, do đó
jj
ti r x
với
j
rR
nào đó. Từ đó

1 1 1 1 1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n n n n n n
tb a ti a ti a r x a r x a r a r x        
.
Bây giờ
1 1 1 1
( ) ( )
n n n n
a r a r tI a r a r Rx Rtb B      
, do đó
11
( ) [ : ]
nn
a r a r t A B I   
.
Từ đó
11
( )/1 ( [ : ])
n n M
a r a r A B I   
. Nhưng

11
11
/1 ( /1) ( /1) ( /1) ( )/1( /1) ( [ : ])
n n M M
b t tb t a r a r x A B I I

     
.



Định lý 2.12. Cho I là một ideal của vành R, I được sinh bởi hữu hạn phần tử. Khi đó I là
ideal nhân của R.
Chứng minh. Giả sử I là hữu hạn sinh và khi đó
()I I I


. Nếu
()MI


là một ideal tối
đại, thì
()
M M M
I I I


. Từ Bổ đề Nakayama, ta có
0
MM
I 
. Do đó từ Định lý 2.11 ta có I
là ideal nhân của R.



24

24

Hệ quả 2.13. Cho I và J là hai ideal của vành R. Nếu I và J là hai ideal nhân thì IJ cũng
là ideal nhân.
Chứng minh. Cho A và B là hai ideal bất kỳ của R. Khi đó

( ) ( ) ( [ : ]) (( [[ : ]: ) ) ( [ : ])A IJ B AI J B AI B J J A B J I I J A B IJ IJ       
,
do đó ta có IJ thỏa điều kiện (1) của Định lý 2.11 nên IJ là ideal nhân của vành R.


Bổ đề 2.14. Cho
()N



là một tập hợp những module con của R-module M, cho
N
NN





, và
[ : ]
N
A N N






. Khi đó ta có những phát biểu sau :
(i) N là module nhân.
(ii) H = AH với mỗi module con H của N.
(iii) R = A + ann(n) với mọi
nN
.

(iv)
[ : ] ( ) [ : ] ( )N K ann n N K ann n



  

với mọi module con K của M và tất
cả
nN
.

(v)
N
K N K N







với mọi module con K của M.
Khi đó
( ) ( ) ( ) ( ) ( )i ii iii iv v   
. Nếu tất cả
N

là module nhân, thì bốn phát biểu đầu
tiên là tương đương với nhau.
Chứng minh.
( ) ( )i ii
. Với N là module nhân,
[ : ]N N N N


với mọi


, và do đó
N AN
. Lấy H là module con bất kỳ của N. Do đó
H IN
với ideal I nào đó của R, và
vì vậy ta có

( ) ( ) .H IN I AN A IN AH   

( ) ( )ii iii
. Lấy
nN

. Khi đó
Rn An
, và do đó
()R A ann n
.
( ) ( )iii ii
. Hiển nhiên.
( ) ( )iii iv
. Lấy K là module con bất kỳ của M. Lấy
nN
. Khi đó

[ : ] ( ) [ : ] ( ).N K ann n N K ann n



  
