một số thuật toán d-gap giải bài toán cân bằng và bât đẳng thức biến phân

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN





CAO NGHI THỤC









MỘT SỐ THUẬT TOÁN D-GAP GIẢI BÀI
TOÁN CÂN BẰ NG VÀ BẤT ĐẲNG THỨC
BIẾN PHÂN







LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2010
Lời cảm ơn
Tôi xin gửi lời cám ơn chân thành và sâu sắc nhất đến GS.TSKH Phan Quốc
Khánh, người đã tận tình giảng dạy và dìu dắt, giúp đỡ tôi rất nhiều trong
quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Tôi xin trân trọng cảm ơn thầy trưởng khoa PGS. TS Đặng Đức Trọng, các
thầy cô khoa Toán- tin học và đặc biệt là các thầy cô, đồng nghiệp trong bộ
môn tối ưu và hệ thống đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành khóa
học.
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã tin tưởng và động viên tôi
trong suốt thời gian qua.
TP HCM tháng 4 năm 2010.
Cao Nghi Thục
Mục lục
Lời cảm ơn 1
Lời nói đầu 4
1 Các kiến thức cơ bản 6
1.1 Tập lồi và hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.1 Tập lồi trong không gian tuyến tính . . . . . . . . . . 6
1.1.2 Hàm lồi trên không gian tuyến tính . . . . . . . . . . 7

1.2 Hàm liên tục trên không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Tính liên tục của hàm trên không gian định chuẩn . . 10
1.2.2 Tính liên tục của hàm lồi trong không gian định chuẩn 11
1.2.3 Hàm nửa liên tục trong không gian định chuẩn . . . . 14
1.3 Tính đơn điệu của ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4 Đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.1 Đạo hàm theo hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.2 Đạo hàm Gâteaux và đạo hàm Fréchet . . . . . . . . . 17
2 Bài toán cân bằng và bất đẳng thức biến phân 20
2.1 Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.1 Bài toán cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
MỤC LỤC 3
2.1.2 Bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Hàm Gap của bài toán cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 Bài toán cân bằng bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4 Nghiệm của bài toán cân bằng và bất đẳng thức biến phân . 24
3 Một số thuật toán D-gap giải bài toán cân bằng và bất đẳng
thức biến phân 26
3.1 Hàm D-gap của bài toán cân bằng và bất đẳng thức biến phân 26
3.2 Thuật toán D-gap giải bài toán cân bằng và bất đẳng thức
biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2.1 Thuật toán D-gap giải bài toán cân bằng . . . . . . . 34
3.2.2 Thuật toán D-gap giải bài toán bất đẳng thức biến phân 40
Kết luận 46
Tài liệu tham khảo 47
Lời nói đầu
Bài toán bất đẳng thức biến phân (Variational Inequality Problem) ra đời vào
thập niên 60 của thế kỷ XX với những đóng góp to lớn của G. Stampacchia,
J. L. Lions Đến nay, bài toán đã được phát triển thành nhiều dạng khác
nhau như bất đẳng thức biến phân vec tơ, bất đẳng thức biến phân suy rộng,

tựa bất đẳng thức biến phân
Mô hình bài toán này chứa đựng rất nhiều bài toán quan trọng của các lĩnh
vực khác như tối ưu hóa, lý thuyết trò chơi, cân bằng Nash, Do đó bài
toán thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới cũng như
trong nước trong đó phải kể đến N. D. Yen, G. T. Chen, P. Q. Khanh, L. M.
Luu, N. X. Hai.
Gần đây bài toán mở rộng của bài toán bất đẳng thức biến phân là bài
toán cân bằng cũng thu hút sự quan tâm của nhiều tác giả, chẳng hạn I. V.
Konnov [4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 ], O. Chadli [7], J. C. Yao [7], M. S. S.
Ali [11], O.V. Pinyagina [6], G. Mastroeni [14, 15, 16, 17], J. M. Peng [15],
M.Fukushima [3], Mô hình bài toán như sau.
Giả sử X là không gian định chuẩn, S ⊂ X là tập khác trống và f : S×S → R
là hàm cân bằng. Khi đó bài toán tìm x
∗
∈ S
sao cho
f(x
∗
, y)  0, ∀y ∈ S. (1)
được gọi là bài toán cân bằng (equilibrium problem).
Lời nói đầu 5
Trong luận văn này, chúng tôi hệ thống lại các phương pháp giải bài toán
cân bằng dưới dạng các thuật toán sử dụng hàm gap, hàm D-gap. Luận văn
gồm ba chương.
• Chương 1: trình bày các kiến thức về tập lồi, hàm lồi, tính liên tục,
nửa liên tục của hàm trên không gian tuyến tính, và một số vấn đề liên
quan.
• Chương 2: hệ thống lại mô hình bài toán cân bằng, bất đẳng thức biến
phân.
• Chương 3: trình bày thuật toán sử dụng hàm D-gap giải bài toán cân

bằng và bất đẳng thức biến phân.
Chương 1
Các kiến thức cơ bản
1.1 Tập lồi và hàm lồi
1.1.1 Tập lồi trong không gian tuyến tính
Định nghĩa 1.1.1 Giả sử X là không gian tuyến tính. M ⊆ X được gọi là
tập lồi nếu ∀x, y ∈ S, ∀α ∈ [0, 1] : αx + (1 −α)y ∈ S.
Mệnh đề 1.1.2
(i) Giao họ bất kỳ các tập lồi là tập lồi.
(ii) Nếu C ⊆ X, D ⊆ X là hai tập lồi và α ∈ R thì
C + D := {c + d : c ∈ C, d ∈ D},
αC := {αx : x ∈ C}
cũng là tập lồi. Do đó C − D := C + (−1)D cũng là tập lồi.
Định nghĩa 1.1.3 Giả sử X là không gian tuyến tính. x ∈ X được gọi là tổ
hợp tuyến tính lồi của x
1
, x
2
, , x
m
∈ X nếu tồn tại α
1
, α
2
, , α
m
> 0 thỏa
mãn
m


i=1
α
i
= 1 và x =
m

i=1
α
i
x
i
.
1.1 Tập lồi và hàm lồi 7
Định lý 1.1.4 Giả sử X là không gian tuyến tính. Tập S ⊆ X được gọi là
lồi nếu và chỉ nếu S chứa mọi tổ hợp tuyến tính lồi của các điểm của S.
Định nghĩa 1.1.5 Giả sử X là không gian tuyến tính và S ⊆ X. Tập
lồi nhỏ nhất chứa S được gọi là bao lồi của S, kí hiệu là coS.
Nhận xét Tập S lồi khi và chỉ khi coS = S.
1.1.2 Hàm lồi trên không gian tuyến tính
Giả sử X là không gian tuyến tính, S ⊂ X và f : S → R ∪{±∞}.
Định nghĩa 1.1.6
(i) Miền hiệu quả (domain) của f là tập domf := {x ∈ S : f(x) < +∞}.
(ii) Trên đồ thị (epigraph) của f là tập epif := {(x, γ) ∈ S ×R : f (x) ≤ γ}.
Định nghĩa 1.1.7 Hàm f được gọi là chính thường (proper) trên S nếu
domf =  và f(x) > −∞, ∀x ∈ S.
Định nghĩa 1.1.8 Hàm f được gọi là lồi nếu epif là tập lồi (trong X ×R).
Mệnh đề 1.1.9
(i) Nếu f là hàm lồi thì domf là tập lồi và tập mức S
α
:= {x ∈ X : f(x) ≤

α} là tập lồi , ∀α ∈ R.
(ii) f là hàm lồi chính thường khi và chỉ khi với bất kỳ x, y ∈ domf và
α ∈ [0, 1] ta có f [αx + (1 −α)y] ≤ αf(x) + (1 − α)f(y).
Định lý 1.1.10(Bất đẳng thức Jensen) Giả sử f là hàm chính thường trên
S. Khi đó, f là lồi trên S khi và chỉ khi ∀x
1
, x
2
, , x
m
∈ S, ∀α
1
, α
2
, , α
m
≥
0;
m

i=1
α
i
= 1, f(
m

i=1
α
i
x

i
) ≤
m

i=1
α
i
f(x
i
).
1.1 Tập lồi và hàm lồi 8
Định nghĩa 1.1.11 Giả sử S ⊂ X là tập lồi và f : S → R ∪ {±∞}.
(i) Hàm f được gọi là lồi (convex)tại x
∗
∈ S nếu ∀x ∈ S, ∀α ∈ [0, 1] ta có
f[αx + (1 − αx
∗
)] ≤ αf(x) + (1 − α)f(x
∗
).
f được gọi là lồi trên S nếu nó lồi tại mọi x ∈ S.
(ii) Hàm f được gọi là lồi chặt (strictly convex) tại x
∗
∈ S nếu ∀x ∈ S, x =
x
∗
, ∀α ∈ (0, 1) ta có
f[αx + (1 − αx
∗
)] < αf(x) + (1 − α)f(x

∗
).
fđược gọi là lồi chặt trên S nếu nó lồi chặt tại mọi x ∈ S.
(iii) Hàm f được gọi là lõm (concave) tại x
∗
∈ S nếu −f là lồi tại x
∗
∈ S.
(iv) Hàm f được gọi là lõm chặt (strictly concave) tại x
∗
∈ S nếu −f là lồi
chặt tại x
∗
∈ S.
(v) Hàm f được gọi là lồi mạnh (strongly convex) tại x
∗
∈ S nếu ∀x ∈
S, ∀α ∈ [0, 1], ∃ρ > 0 thỏa mãn
f[αx + (1 − αx
∗
)] ≤ αf(x) + (1 − α)f(x
∗
) −ρα(1 − α)x − x
∗

2
.
Hàm f được gọi là lồi mạnh trên S nếu nó lồi mạnh tại mọi x ∈ S.
Nhận xét Nếu f lồi chặt tại x
∗

∈ S hoặc trên tập S thì f cũng lồi tại x
∗
∈ S
hoặc trên tập S.
Trong mệnh đề, chiều ngược lại không đúng. Chẳng hạn, hàm f : R −→ R
xác định bởi f(x) = x
3
có tập mức
S
α
= {x ∈ R : f(x) ≤ α} = {x ∈ R : x
3
≤ α} = (−∞,
3
√
α)} là tập lồi
∀x ∈ R nhưng f không lồi. Tuy nhiên tính chất mọi tập mức lồi cũng là một
tính chất quan trọng nên người ta đã đưa ra thuật ngữ sau
Định nghĩa 1.1.12 Giả sử S ⊆ X là tập lồi và f : S −→ R ∪ {+∞}.
Nếu ∀α ∈ R tập mức S
α
của f là tập lồi thì hàm f được gọi là tựa lồi
(quasiconvex) trên S.
1.1 Tập lồi và hàm lồi 9
Mệnh đề 1.1.13 Giả sử S ⊆ X là tập lồi và f : S −→ R ∪{+∞}. Khi đó
f là tựa lồi khi và chỉ khi ∀x, y ∈ S, ∀α ∈ [0, 1],
f[αx + (1 − α)y] ≤ max{f(x), f(y)}.
Công thức trên là đặc trưng hoàn toàn cho tính tựa lồi của hàm trên một
tập lồi. Do vậy, nếu dùng nó làm định nghĩa sẽ thuận lợi hơn khi xét từng
điểm và để phát triển thêm khái niệm như sau

Định nghĩa 1.1.14 Giả sử S ⊆ X là tập lồi và f : S −→ R ∪{+∞}.
(i) Hàm f được gọi là tựa lồi tại x
∗
∈ S nếu với mọi x ∈ S sao cho
f(x) ≤ f(x
∗
) và α ∈ [0, 1] ta có
f[αx + (1 − αx
∗
)] ≤ f(x
∗
).
f được gọi là tựa lồi trên S nếu nó tựa lồi tại mọi x ∈ S.
(ii) Hàm f được gọi là tựa lồi chặt (strictly quasiconvex) tại x
∗
∈ S nếu
∀x ∈ S sao cho f(x) < f(x
∗
) và α ∈ (0, 1) ta có,
f[αx + (1 − αx
∗
)] < f(x
∗
).
f được gọi là tựa lồi chặt trên S nếu nó tựa lồi chặt tại mọi x ∈ S.
(iii) Hàm f được gọi là tựa lõm (quasiconcave) tại x
∗
∈ S hoặc trên S nếu
−f là tựa lồi tại x
∗

∈ S hoặc trên S.
(iv) Hàm f được gọi là tựa lõm chặt (strictly quasiconcave) tại x
∗
∈ S hoặc
trên S nếu −f là tựa lồi chặt tại x
∗
∈ S hoặc trên S .
1.2 Hàm liên tục trên không gian định chuẩn 10
1.2 Hàm liên tục trên không gian định chuẩn
1.2.1 Tính liên tục của hàm trên không gian định chuẩn
Giả sử X là không gian định chuẩn.
Định nghĩa 1.2.1
(i) Điểm x
∗
∈ X được gọi là điểm tụ của tập S nếu mọi lân cận của x
∗
đều có một điểm của S khác x
∗
.
(ii) a được gọi là giới hạn dưới của hàm f : S −→ R khi x dần đến
điểm tụ x
∗
của miền xác định S nếu a là điểm tụ nhỏ nhất của
tập f(S) := {f(x) : x ∈ S}, tức là tồn tại dãy x
n
→ x
∗
sao cho
lim
n→∞

f(x
n
) = a và ∀ε > 0, ∃δ > 0, x ∈ S ∩ B(x
∗
, δ) =⇒ f(x) > a − ε.
Ở đây B(x
∗
, δ) := {x ∈ X : x −x
∗
 < δ} là hình cầu mở tâm x
∗
, bán
kính δ. Lúc này ta viết
a = lim inf
x→x
∗
f(x).
(iii) Trong (ii) nếu ta thay f(x) > a −ε bởi f(x) < a + ε và tương ứng thay
điểm tụ nhỏ nhất bởi điểm tụ lớn nhất thì a được gọi là giới hạn trên
của f khi x dần đến điểm tụ x
∗
và ta có kí hiệu
a = lim sup
x→x
∗
f(x).
Nhận xét Nếu không tồn tại số thực a hữu hạn thỏa định nghĩa trên thì
ta nói lim inf
x→x
∗

f(x) = −∞ (tương ứng lim sup
x→x
∗
f(x) = +∞). Như vậy giới hạn
dưới và giới hạn trên luôn tồn tại, còn giới hạn không có tính chất này.
Thí dụ 1.2.2
Xét f(n) = (−1)
n
. Ta có lim inf
n→∞
f(n) = −1 và lim sup
n→∞
f(n) = 1.
1.2 Hàm liên tục trên không gian định chuẩn 11
Định nghĩa 1.2.3 Giả sử S ⊂ X và f : S −→ R.
(i) Hàm f được gọi là liên tục (continuous) tại x
∗
thuộc miền xác định S
và là điểm tụ của S nếu một bất kỳ trong hai điều tương đương sau
đây thỏa:
(α
1
) ∀ε > 0, ∃δ > 0, x ∈ S ∩ B(x
∗
, δ) ⇒ f(x
∗
) −ε < f(x) < f(x
∗
) + ε.
(α

2
) Với mọi dãy {x
n
} ⊂ S và x
n
→ x
∗
, lim
n→∞
f(x
n
) = f(x
∗
).
(ii) Hàm f được gọi là liên tục trên S nếu nó liên tục tại mọi điểm tụ của
S. Hay, hàm f được gọi là liên tục trên S nếu một bất kỳ trong ba
điều tương đương sau đây thỏa:
(β
1
) Với mọi α ∈ R, các tập mức dưới S
α
:= {x ∈ S : f (x) ≤ α} và
mức trên S
α
:= {x ∈ S : f(x) ≥ α} đều là tập đóng tương đối
trong S.
(β
2
) Với mọi α ∈ R, các tập mức sau đây đều là mở tương đối trong
S:

S
oα
:= {x ∈ S : f(x) < α}
S
oα
:= {x ∈ S : f(x) > α}
(β
3
) Trên đồ thị (epif) và dưới đồ thị (hypograph) của f hypof :=
{(x, γ) ∈ S ×R : f(x) ≥ γ} đều là tập đóng tương đối trong S×R.
1.2.2 Tính liên tục của hàm lồi trong không gian định
chuẩn
Định nghĩa 1.2.4 Hàm f : X −→ R ∪{+∞} được gọi là liên tục Lipschitz
quanh điểm x
∗
nếu tồn tại L ≥ 0 và lân cận U của x
∗
sao cho
| f(x) − f(y) |≤ Lx −y, ∀x, y ∈ U. (1.1)
Nếu lân cận U thay bằng một tập con A ⊆ X thì ta nói f liên tục Lipschitz
trong A.
Nhận xét Điều kiện Lipschitz mạnh hơn tính liên tục.
1.2 Hàm liên tục trên không gian định chuẩn 12
Định lý 1.2.5 Giả sử f là hàm lồi chính thường trên không gian định chuẩn
X. Khi đó năm khẳng định sau là tương đương.
(i) Hàm f là bị chặn trên trong một lân cận điểm x
∗
nào đó.
(ii) Hàm f liên tục tại điểm x
∗

nào đó.
(iii) Hàm f liên tục Lipschitz quanh x
∗
nào đó.
(iv) int(epif)= ∅, ở đây int(·) là phần trong của (·).
(v) int(domf)= ∅ và f liên tục trong int(domf).
Chứng minh:
(ii)⇒ (i) Hiển nhiên.
(i)⇒ (ii) Giả sử f(x) ≤ M < +∞, ∀x ∈ U, với U là lân cận của x
∗
.
Không mất tính tổng quát, giả sử x
∗
= 0, f(x
∗
) = 0 và M > 0, ta sẽ
chứng minh f liên tục. Cho trước ε > 0, ε < M ta sẽ kiểm tra
| f(x) |≤ ε, ∀x ∈ V. (1.2)
Ở đây ta chọn V =
ε
M
U ∩ (−
ε
M
)U. Giả sử x ∈ V bất kỳ. Khi đó
Mx
ε
∈ U và do tính lồi ta có
f(x) ≤
ε

M
f(
Mx
ε
) + (1 −
ε
M
)f(0) =
ε
M
f(
Mx
ε
) ≤ ε (1.3)
Sử dụng đẳng thức
0 =
1
1 +
ε
M
x +
ε
M
1 +
ε
M
(−
M
ε
x)

ta được
0 = f(0) ≤
1
1 +
ε
M
f(x) +
ε
M
1 +
ε
M
f(−
M
ε
x) ≤
1
1 +
ε
M
f(x) +
ε
1 +
ε
M
.
Do đó −ε ≤ f(x). Điều này cùng với (1.3) cho ta (1.2).
(i)⇒ (iv) Vì f (x) ≤ M, ∀x ∈ U, ta có
{(x, γ) ∈ S × R : x ∈ U, γ > M} ⊆ epi f
Vì tập ở vế trái là mở nên int(epif) = ∅.

(iv)⇒ (v) Giả sử (x, γ) ∈ int(epif). Khi đó rõ ràng f phải bị chặn trên
trong một lân cận của x. Do (i)⇔ (ii), nên f liên tục tại x. Ta thấy rằng
int(domf) = {x ∈ X : ∃α ∈ R, (x, α) ∈ int(epif}, trong đó int(epif)=
∅ nên int(domf)= ∅ và f liên tục tại mọi x trong int(domf).
1.2 Hàm liên tục trên không gian định chuẩn 13
(v)⇒ (ii) Hiển nhiên.
(ii)⇒ (iii) Vì f(x) liên tục tại điểm x
∗
nên tồn tại l > 0 và ε > 0 sao
cho | f(x) |< l với mọi x ∈ B(x
∗
, 2ε). Ta sẽ chứng minh (1.1) với
U = B(x
∗
, ε) và L =
2l
ε
. Với bất kỳ x, ˙x trong B(x
∗
, ε), x = ˙x ta xét
điểm
y = x + (x − ˙x)
ε
x − ˙x
.
Khi đó
x = γ ˙x + (1 −γ)yvớiγ =
ε
x − ˙x + ε
.

Vì f lồi nên ta có:
f(x) ≤ γf( ˙x) + (1 − γ)f(y).
nên
f(x) − f( ˙x) ≤ (1 −γ)(f(y) − f( ˙x))
≤
x − ˙x
x − ˙x + ε
| f(y) − f( ˙x) | .
≤
x − ˙x
ε
| f(y) − f( ˙x) | .
≤
2l
ε
x − ˙x. (1.4)
(iii)⇒ (ii) Theo định nghĩa. 
1.2 Hàm liên tục trên không gian định chuẩn 14
1.2.3 Hàm nửa liên tục trong không gian định chuẩn
Định nghĩa 1.2.6 Giả sử S ⊆ X, x
∗
∈ S và là điểm tụ của S và f : S −→ R.
(i) Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới (lower semi-continuous) tại x
∗
nếu
một bất kỳ trong hai điều tương đương sau thỏa.
(α
1
) ∀ε > 0, ∃δ > 0, x ∈ S ∩ B(x
∗

, δ) ⇒ f(x
∗
) −ε < f(x).
(α
2
) Với mọi dãy {x
n
} ⊂ S, x
n
→ x
∗
ta có lim inf
n→∞
f(x
n
)  f(x
∗
).
(ii) Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới trên S nếu nó nửa liên tục dưới
tại mọi điểm tụ của S. Hay, hàm f được gọi là nửa liên tục dưới trên
S nếu một bất kỳ trong ba điều tương đương sau thỏa.
(β
1
) Với mọi α ∈ R, tập mức dưới S
α
là đóng tương đối trong S.
(β
2
) Với mọi α ∈ R, tập mức trên S
oα

là mở tương đối trong S.
(β
3
) Trên đồ thị epif là đóng tương đối trong S ×R.
Định nghĩa 1.2.7 Giả sử S ⊆ X, x
∗
∈ S và là điểm tụ của S và f : S → R.
(i) Hàm f được gọi là nửa liên tục trên (upper semi-continuous) tại x
∗
nếu một bất kỳ trong hai điều tương đương sau thỏa.
(α
1
) ∀ε > 0, ∃δ > 0, x ∈ S ∩ B(x
∗
, δ) ⇒ f(x) < f(x
∗
) + ε.
(α
2
) Với mọi dãy {x
n
} ⊂ S, x
n
→ x
∗
ta có lim sup
n→∞
f(x
n
)  f(x

∗
).
(ii) Hàm f được gọi là nửa liên tục trên trên S nếu nó nửa liên tục trên
tại mọi điểm tụ của S. Hay, hàm f được gọi là nửa liên tục trên trên
S nếu một bất kỳ trong ba điều tương đương sau thỏa.
(β
1
) Với mọi α ∈ R, tập mức trên S
α
là đóng tương đối trong S.
(β
2
) Với mọi α ∈ R, tập mức dưới S
oα
là mở tương đối trong S.
(β
3
) Dưới đồ thị hypof là đóng tương đối trong S ×R.
Nhận xét Hàm f được gọi là nửa liên tục trên tại x
∗
(hoặc trên S) khi và
chỉ khi −f nửa liên tục dưới tại x
∗
(hoặc trên S). Hàm f được gọi là liên
tục tại x
∗
(hoặc trên S) khi và chỉ khi f vừa nửa liên tục trên vừa nửa liên
tục dưới tại x
∗
(hoặc trên S).

1.3 Tính đơn điệu của ánh xạ 15
Thí dụ 1.2.8 Xét hai hàm số f : R −→ R, g : R −→ R xác định như sau.
(a) Hàm
f(x) =

x nếu x = 2
x
2
nếu x = 2
là nửa liên tục dưới tại x
∗
= 2 và liên tục tại mọi x = 2. Do đó f nửa
liên tục dưới trên R.
(b) Hàm
g(x) =

x nếu x = 2
2x nếu x = 2
là nửa liên tục trên tại x
∗
= 2 và liên tục tại mọi x = 2. Do đó g nửa
liên tục trên trên R.
1.3 Tính đơn điệu của ánh xạ
Giả sử X là không gian định chuẩn, X
∗
là không gian liên hợp, tức là
không gian tất cả các phiếm hàm tuyến tính, liên tục trên X và ánh xạ
F : X −→ X
∗
.

Định nghĩa 1.3.1 Ánh xạ F được gọi là đơn điệu (monotone) trên S ⊂ X
nếu
F (y) − F(x), y −x  0, ∀x, y ∈ S.
Định nghĩa 1.3.2 Ánh xạ F được gọi là đơn điệu chặt (strictly monotone)
trên S ⊂ X nếu
F (y) − F(x), y −x > 0, ∀x, y ∈ S, x = y.
Định nghĩa 1.3.3 Ánh xạ F được gọi là đơn điệu mạnh (strongly monotone)
trên S ⊂ X với modulus µ > 0 nếu
F (y) − F(x), y −x  µy −x
2
, ∀x, y ∈ S.
1.4 Đạo hàm 16
1.4 Đạo hàm
1.4.1 Đạo hàm theo hướng
Định nghĩa 1.4.1 Giả sử X là không gian vectơ, (Y,  · ) là không gian
định chuẩn, S ⊂ X là tập khác trống và ánh xạ f : S −→ Y . Nếu với
x
∗
∈ S, h ∈ X giới hạn
f

(x
∗
)(h) := lim
λ→0
+
1
λ
(f(x
∗

+ λh) −f(x
∗
)) (1.5)
tồn tại thì f

(x
∗
)(h) được gọi là đạo hàm theo hướng của f tại x
∗
theo hướng
h. Nếu với mọi h ∈ X giới hạn f

(x
∗
)(h) đều tồn tại thì f được gọi là khả
vi theo hướng tại x
∗
.
Định lý 1.4.2 Giả sử X là không gian vectơ, S ⊂ X là tập khác trống
và hàm f : S −→ R.
(i) Giả sử x
∗
là điểm cực tiểu của f trên S. Nếu hàm f có đạo hàm theo
hướng tại x
∗
theo mọi hướng x − x
∗
, với x ∈ S thì
f


(x
∗
)(x −x
∗
)  0, ∀x ∈ S. (1.6)
(ii) Giả sử S là tập lồi và f là hàm lồi. Nếu hàm f có đạo hàm theo hướng
tại x
∗
∈ S theo mọi hướng x − x
∗
, với x ∈ S và (1.6) thỏa mãn thì x
∗
là điểm cực tiểu của f trên S.
Chứng minh.
(i) Vì f có đạo hàm theo hướng tại x
∗
với mọi hướng x − x
∗
, với x ∈ S
nên ta có
f

(x
∗
)(x −x
∗
) := lim
λ→0
+
1

λ
(f(x
∗
+ λ(x −x
∗
)) −f(x
∗
)).
Theo giả thiết x
∗
là điểm cực tiểu của f trên S, do đó với λ > 0 đủ
nhỏ ta được
f(x
∗
+ λ(x −x
∗
))  f(x
∗
).
Vậy
f

(x
∗
)(x −x
∗
)  0, ∀x ∈ S.
1.4 Đạo hàm 17
(ii) Vì f là hàm lồi nên ∀x ∈ S, ∀λ ∈ [0, 1] ta có
f(x

∗
+ λ(x −x
∗
)) = f(λx + (1 −λ)x
∗
)  λf(x) + (1 −λ)f(x
∗
)
Do đó
f(x)  f(x
∗
) +
1
λ
(f(x
∗
+ λ(x −x
∗
)) −f(x
∗
)).
Do f có đạo hàm theo hướng tại x
∗
theo hướng x − x
∗
nên
f(x)  f(x
∗
) + f


(x
∗
)(x −x
∗
).
Kết hợp (1.6) ta được
f(x
∗
)  f(x), ∀x ∈ S.
Như vậy x
∗
là điểm cực tiểu của f trên S. 
1.4.2 Đạo hàm Gâteaux và đạo hàm Fréchet
Định nghĩa 1.4.3 Giả sử (X,  · 
X
) và (Y,  · 
Y
) là các không gian định
chuẩn, S ⊂ X là tập mở khác trống và ánh xạ f : S → Y , x
∗
∈ S . Với mọi
h ∈ S nếu giới hạn
f

(x
∗
)(h) := lim
λ→0
1
λ

(f(x
∗
+ λh) −f(x
∗
)) (1.7)
tồn tại và f

(x
∗
) là ánh xạ tuyến tính liên tục từ X vào Y thì f

(x
∗
) được
gọi là đạo hàm Gâteaux của f tại x
∗
và ánh xạ f gọi là khả vi Gâteaux tại x
∗
Định nghĩa 1.4.4 Giả sử (X,  · 
X
) và (Y,  · 
Y
) là các không gian định
chuẩn, S ⊂ X là tập mở khác trống và ánh xạ f : S → Y , x
∗
∈ S . Nếu tồn
tại ánh xạ tuyến tính liên tục f

(x
∗

) : X → Y thỏa
lim
h
X
→0
f(x
∗
+ h) −f(x
∗
) −f

(x
∗
)(h)
Y
h
X
= 0 (1.8)
thì f

(x
∗
) được gọi là đạo hàm Fréchet của f tại x
∗
và ánh xạ f gọi là khả
vi Fréchet tại x
∗
.
Mối liên hệ giữa đạo hàm Fréchet và đạo hàm Gâteaux được thể hiện qua
định lý sau.

1.4 Đạo hàm 18
Định lý 1.4.5 Giả sử (X, ·
X
) và (Y, ·
Y
) là các không gian định chuẩn,
S ⊂ X là tập mở khác trống và ánh xạ f : S → Y , x
∗
∈ S . Nếu f khả vi
Fréchet tại x
∗
thì f cũng khả vi Gâteaux tại x
∗
và hai đạo hàm này bằng
nhau.
Mối liên hệ giữa đạo hàm Fréchet và tính liên tục, tính lồi của ánh xạ thể
hiện qua các định lý sau.
Định lý 1.4.6 Giả sử (X,  · 
X
) và (Y,  · 
Y
) là các không gian định
chuẩn, S ⊂ X là tập mở khác trống và ánh xạ f : S → Y , x
∗
∈ S . Nếu f
khả vi Fréchet tại x
∗
thì f liên tục tại x
∗
.

Định lý 1.4.7 Giả sử (X, ·) là không gian định chuẩn, S ⊂ X là tập lồi,
mở , khác trống và hàm f : S → R khả vi Fréchet tại mọi điểm x
∗
∈ S . Khi
đó hàm f là lồi khi và chỉ khi với mọi x, y ∈ S
f(y)  f(x) + f

(x)(x −x
∗
). (1.9)
Chứng minh.
(i) Giả sử f là hàm lồi. Khi đó với mọi x, y ∈ S và λ ∈ (0, 1]
f(x + λ(y −x)) = f(λy + (1 − λ)x)  λf(y) + (1 −λ)f(x).
Từ đó ta có
f(y)  f(x) +
1
λ
(f(x + λ(y −x)) − f(x)).
Vì f khả vi Fréchet tại x ∈ S nên
f

(x)(y −x) = lim
λ→0
+
1
λ
(f(x + λ(y −x)) − f(x)).
Do đó với mọi x, y ∈ S
f(y)  f(x) + f


(x)(y −x).
(ii) Giả sử (1.9) thỏa mãn. Do S là tập lồi nên với mọi x, y ∈ S và λ ∈ [0, 1]
ta có
f(x)  f(λx + (1 − λ)y) + f

(λx + (1 − λ)y)(1 − λ)(x −y).
và
f(y)  f(λx + (1 − λ)y) + f

(λx + (1 − λ)y)(−λ)(x − y).
1.4 Đạo hàm 19
Vì f

(x)(·) là ánh xạ tuyến tính nên
λf(x) + (1 −λ)f(y) λf(λx + (1 − λ)y) + λ(1 −λ)f

(λx + (1 − λ)y)(x − y)
+ (1 −λ)f(λx + (1 − λ)y)
− λ(1 −λ)f

(λx + (1 − λ)y)(x − y)
=f(λx + (1 −λ)y).
Như vậy f là hàm lồi.
Định lý 1.4.8 Giả sử (X, ·) là không gian định chuẩn và hàm f : X → R.
Nếu x
∗
∈ X là điểm cực tiểu của f trên X và f khả vi Gâteaux tại x
∗
thì,
∀h ∈ X,

f

(x
∗
)(h) = 0. (1.10)
Hệ thức (1.10) là điều kiện cần để x
∗
là điểm cực tiểu của hàm f. 
Chương 2
Bài toán cân bằng và bất
đẳng thức biến phân
2.1 Phát biểu bài toán
2.1.1 Bài toán cân bằng
Định nghĩa 2.1.1 Giả sử X là không gian định chuẩn, S ⊂ X là tập khác
trống. Hàm f : S ×S → R được gọi là hàm cân bằng (equilibrium function)
nếu
f(x, x) = 0, ∀x ∈ S.
Định nghĩa 2.1.2 Giả sử X là không gian định chuẩn, S ⊂ X là tập khác
trống và f : S × S → R là hàm cân bằng. Khi đó bài toán tìm x
∗
∈ S
sao cho
f(x
∗
, y)  0, ∀y ∈ S. (2.1)
được gọi là bài toán cân bằng (equilibrium problem) viết tắt (EP).
2.2 Hàm Gap của bài toán cân bằng 21
2.1.2 Bất đẳng thức biến phân
Định nghĩa 2.1.3 Giả sử X là tập lồi, đóng, khác trống trong R
n

, ánh xạ
F : R
n
→ R
n
và ·, · là tích trong trong R
n
. Bài toán tìm vectơ x
∗
∈ X sao
cho
F (x
∗
), y −x
∗
  0, ∀y ∈ X. (2.2)
được gọi là bài toán bất đẳng thức biến phân (variational inequality) viết
tắt (VI).
Ta nhận thấy rằng trong (EP) nếu xét f(x, y) := F (x), y −x thì ta nhận
được bài toán (VI).
2.2 Hàm Gap của bài toán cân bằng
Định nghĩa 2.2.1 Giả sử S ⊆ X. Hàm p : X → R được gọi là hàm gap cho
bài toán (EP) nếu và chỉ nếu
(i) p(x)  0, ∀x ∈ S.
(ii) p(x) = 0 và x ∈ S khi và chỉ khi x là nghiệm của (EP).
Bổ đề 2.2.2 [13] Giả sử f là hàm cân bằng. Khi đó, các khẳng định sau là
tương đương:
(i) x
∗
là nghiệm của (EP);

(ii) x
∗
= arg min
x∈S
sup
y∈S
(−f(x, y)) và min
x∈S
sup
y∈S
(−f(x, y)) = 0;
(iii) x
∗
= arg min
y∈S
f(x
∗
, y).
Định nghĩa 2.2.3 Từ bổ đề trên ta nhận thấy (EP) nhận hàm
g(x) = sup
y∈S
[−f(x, y)] (2.3)
làm hàm gap.
Như vậy việc giải (EP) tương đương tìm cực tiểu hàm gap trên S.
2.2 Hàm Gap của bài toán cân bằng 22
Mệnh đề 2.2.4 Giả sử
(i) ∀x ∈ S, f(x, ·) là hàm lồi chặt trên S;
(ii) ∀y ∈ S, f(·, y) là khả vi và f
x
liên tục trên S × S;

(iii) sup trong (2.3) đạt được với mọi x ∈ S.
Khi đó hàm gap g là khả vi liên tục và gradient là:
g

(x) = −f
x
(x, y(x)),
trong đó y(x) = arg min
y∈S
f(x, y).
Nhận xét Theo bổ đề ,với f là hàm cân bằng y(x
∗
) = x
∗
khi và chỉ khi x
∗
là nghiệm của (EP).
Mệnh đề 2.2.5 Giả sử (i)-(iii) của mệnh đề 2.2.4 thỏa. Thêm vào đó,
∀x, y ∈ S; x = y,
f
x
(x, y) + f
y
(x, y), x − y < 0.
Khi đó, nếu y(x) = x thì y(x) −x là hướng giảm của g tại x ∈ S, nghĩa là
g

(x), y(x) − x < 0.
Tính chất này đóng vai trò quan trọng trong việc xây dựng phương pháp
hướng giảm cho (EP). Tuy nhiên giả thiết tính lồi chặt của f(x, ·) không phải

luôn thỏa. Chẳng hạn, trường hợp bài toán (VI), f(x, y) = F(x), y −x là
tuyến tính và không thỏa tính lồi chặt. Để tránh giả thiết về tính lồi chặt,
Fukushima[3, 18 ] và Zhu-Marcotte[20, 21] đã chính quy hóa bài toán (VI)
bằng việc thêm hàm H và sử dụng hàm gap (2.3) cho bài toán chính quy.
Định nghĩa 2.2.6 Giả sử S ⊆ X. Hàm p : X → R được gọi là hàm
gap cho bài toán (VI) nếu và chỉ nếu
(i) p(x)  0, ∀x ∈ S.
(ii) p(x) = 0 và x ∈ S khi và chỉ khi x là nghiệm của (VI).
2.3 Bài toán cân bằng bổ trợ 23
2.3 Bài toán cân bằng bổ trợ
Bài toán bổ trợ đã được Cohen[2] sử dụng trong việc giải quyết các bài toán
tối ưu. Sau đó Mastroeni G[17] cũng sử dụng nó vào bài toán cân bằng. Ý
tưởng của việc áp dụng là cộng thêm hàm chính quy vào bài toán gốc mà
không làm thay đổi nghiệm của bài toán ban đầu song việc giải bài toán mới
này lại thuận tiện hơn.
Định nghĩa 2.3.1 Giả sử H : R
n
× R
n
→ R thỏa các điều kiện sau:
(H1) H khả vi liên tục;
(H2) H(x, y)  0 và H(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y;
(H3) ∀x ∈ R
n
, H(x, ·) là lồi mạnh với modulus λ;
(H4) ∀x, y ∈ R
n
, H
x
(x, y) + H

y
(x, y) = 0;
(H5) ∀x ∈ R
n
, H
y
(x, ·) là Lipschitz với hằng số L.
Với α > 0, bài toán tìm x
∗
∈ S sao cho
∀y ∈ S, f(x
∗
, y) + αH(x
∗
, y) ≥ 0.
được gọi là bài toán cân bằng bổ trợ (AEP).
Mệnh đề 2.3.2 (AEP) nhận hàm
g
α
(x) = sup
y∈S
(−f(x, y) − αH(x, y)). (2.4)
làm hàm gap.
2.4 Nghiệm của bài toán cân bằng và bất đẳng thức biến phân 24
2.4 Nghiệm của bài toán cân bằng và bất đẳng
thức biến phân
Mệnh đề 2.4.1 Giả sử (H1)-(H3) thỏa mãn. Khi đó H
y
(x, y) = 0 khi và chỉ
khi x = y.

Chứng minh.
"khi". Theo (H2), H(x, ·) đạt cực tiểu tại y = x. Vì (H3) và (H1) thỏa
nên,∀z ∈ R
n
, ta có
H
y
(x, x), z −x ≥ 0 (2.5)
Chọn t = 2x −z ∈ R
n
ta thấy H
y
(x, x), z −x ≤ 0. Kết hợp (2.5) ta được
H
y
(x, x), z −x = 0, ∀z ∈ R
n
. Vì vậy H
y
(x, x) = 0.
"Chỉ khi". Từ (H1) và (H3) ta được:
H(x, x) −H(x, y) ≥ H
y
(x, y), x − y + λx − y
2
. (2.6)
Giả sử H
y
(x, y) = 0. Vì H(x, x) = 0, (2.6)
−H(x, y) ≥ λx −y

2
.
Kết hợp (H2) ta được H(x, y) = 0 và khi đó x = y. 
Mệnh đề 2.4.2 Giả sử (H1)-(H3) thỏa. Hơn nữa, f(x
∗
, ·) là hàm lồi khả vi.
Khi đó x
∗
là nghiệm của (EP) khi và chỉ khi x
∗
là nghiệm của (AEP).
Chứng minh.
"chỉ khi" rõ ràng vì (H2).
"khi" giả sử x
∗
là nghiệm của (AEP). Áp dụng bổ đề 2.2.2 đối với hàm
f + αH, ta thấy x
∗
là nghiệm của bài toán
min
y∈S
(f(x
∗
, y) + αH(x
∗
, y)).
Vì S lồi, ta có điều kiện cần, ∀y ∈ S,
f
y
(x

∗
, x
∗
) + αH
y
(x
∗
, x
∗
), y −x
∗
 ≥ 0.
Theo mệnh đề 2.4.1, H
y
(x
∗
, x
∗
) = 0 và do đó, ∀y ∈ S,
f
y
(x
∗
, x
∗
), y −x
∗
 ≥ 0,
Dựa vào tính lồi của hàm f(x
∗

, ·) ta được x
∗
là nghiệm của bài toán min
x∈S
f(x
∗
, y)
. Theo bổ đề 2.2.2 , x
∗
là nghiệm của (EP). 