phương trình sóng phi tuyến có hệ số biến thiên

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN


TRỊNH NGỌC PHÚC



LUẬN VĂN THẠC SĨ




PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN
CÓ HỆ SỐ BIẾN THIÊN




Chuyên ngành: Toán Giải Tích
Mã số: 60.46.01





NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS. TRẦN MINH THUYẾT
ĐẠI HỌC KINH TẾ TP.HỒ CHÍ MINH

Thành phố Hồ Chí Minh
Năm 2009
1
LỜI CÁM ƠN

Lời đầu tiên, tôi xin tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến người Thầy hướng
dẫn của tôi: TS.Trần Minh Thuyết. Tôi đã may mắn được làm việc và học tập dưới
sự hướng dẫn nhiệt tình của Thầy trong một thời gian dài, qua đó tôi học được
nhiều điều bổ ích.
Tôi xin tỏ lòng biết ơn Thầy TS. Nguyễn Thành Long đã tạo điều kiện cho tôi
tham gia nhóm h
ọc thuật, giúp đở rất nhiều trong quá trình hoàn thành luận văn
cũng như giới thiệu cho tôi gặp được Thầy hướng dẫn.
Tôi xin gởi lời cám ơn Thầy TS. Nguyễn Công Tâm và Cô, TS. Lê Thị Phương
Ngọc và các Thầy trong hội đồng chấm luận văn đã cho tôi những nhận xét quý
báu.
Xin trân trọng cám ơn Quý Thầy Cô Khoa Toán, Phòng Quản Lý Sau Đại Học,
trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên đã giảng dạy và tạ
o điều kiện cho tôi hoàn tất
khóa học.

Tôi xin cám ơn các Anh Phạm Thanh Sơn, Nguyễn Văn Ý, Chị Trương Thị
Nhạn, bạn Hồ Ngọc Kỳ, đã góp ý và giúp đở cho tôi rất nhiều.
Cuối cùng, tôi xin gởi tặng luận văn này cho gia đình và những người thương
yêu của tôi.
Tp Hồ Chí Minh ngày tháng năm 2009

Trịnh Ngọc Phúc



2
MỤC LỤC
LỜI CÁM ƠN 1
MỤC LỤC 2
Chương 0. PHẦN TỔNG QUAN 3
Chương 1. CÁC CÔNG CỤ CHUẨN BỊ 6
Chương 2. SỰ TỒN TẠI TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM 11
Chương 3. KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM 36
Chương 4. MINH HỌA BẰNG VÍ DỤ CỤ THỂ 54
KẾT LUẬN 56
TÀI LIỆU THAM KHẢO 57


3

Chương 0
PHẦN TỔNG QUAN

Trong luận văn này, chúng tôi xét một số bài toán giá trị biên và ban đầu cho
phương trình sóng phi tuyến có hệ số biến thiên thuộc dạng dưới đây:

( () ) () () (,,, , ),0 1,0 ,
tt x t x t
uxuxuKxuFxtuuuxtT
x


 

(0.1)
(0, ) (1, ) 0,ut ut (0.2)

01
(,0) (), (,0) (),ux u x ux u x
 
(0.3)
trong đó
01
,,,,,uu KF



là các hàm cho trước thoả các điều kiện mà ta sẽ chỉ ra
sau.
Trong [7], Ficken và Fleishman đã chứng minh sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định
nghiệm của phương trình

3
12
2,

xx tt t
uu u uub

    với
0


bé. (0.4)
Trong [12], Rabinowitz đã chứng minh sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương
trình

1
2(,,,,),
xx tt t x
uu u Fxtuuu

 

(0.5)
trong đó

là tham số bé, F tuần hoàn theo thời gian.
Trong [4], Caughey và Ellison đã hợp nhất các xấp xỉ trong các trường hợp trước
đây để bàn về sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định tiệm cận của nghiệm cổ điển cho
một lớp các hệ đông lực phi tuyến liên tục.
Trong [5], Alain Phạm đã nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất và dáng điệu tiệm cận
khi
0



của nghiệm yếu của bài toán (0.1)-(0.3), trong đó số hạng phi tuyến có
dạng

(, ).FFtu

 (0.6)
Bằng sự tổng quát hóa [5], Alain Phạm và Long [6] đã xét bài toán (0.1)-(0.3) với
số hạng phi tuyến có dạng
4
(, , ).
t
FFtuu

 (0.7)
Nếu
2
([0, ] )
N
FC thỏa (,0,0) 0Ft

với mọi
0t 
, các tác giả đã thu được
một khai triển tiệm cận của nghiệm bài toán (0.1)-(0.3) đến cấp
1N 
theo

, với


đủ nhỏ, mà điều này đã nới rộng kết quả cho phương trình đạo hàm riêng từ phương
trinh vi phân thường [3].
Trong luận văn này chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm địa
phương của bài toán (0.1)-(0.3). Chứng minh được dựa vào phương pháp Galerkin
liên kết với các đánh giá tiên nghiệm cùng với kĩ thuật hội tụ yếu và tính compact.
Nhờ kết quả này chúng tôi tiến đến khảo sát bài toán nhiễu cấp cao theo mộ
t tham
số bé

, trong đó số hạng nhiễu là số hạng phi tuyến trên phương trình cùng dạng
và ở biểu thức của điều kiện đầu như bài toán sau:

()P

01
(() ) () () (,,, ,),
01,0 ,
(0, ) (1, ) 0,
(,0) (), (1,) ().
uxuxuKxuFxtuuu
x
xtT
ut ut
ux u x u t u x
eeee
ml
ì
ï
¶
ï

-++=
ï
ï
¶
ï
ï
ï
ï
<< <<
ï
ï
í
ï
ï
ï
==
ï
ï
ï
ï
ï
==
ï
ï
î
  



với

xt xt xt
xx xxx x
Kx Kx Kx
F xtuu u Fxtuu u F xtuu u
ee
e
e
m m em l l el
e
e
ì
ï
=+ =+
ï
ï
ï
ï
ï
=+
í
ï
ï
ï
ï
=+
ï
ï
î
11

1
1
() () (), () () (),
() () (),
(,, , , ) (,, , , ) (,, , , ).

trong đó ta giả sử rằng

11 1
00 10
13 3
1
,,
([0,1] ), ([0,1] ).
NN
uHHuH
FC FC











 

và thỏa một số điều kiện phụ. Luận văn này sẽ nghiên cứu khai triển tiệm cận của
nghiệm bài toán
()P

theo tham số bé, tức là nghiệm có thể xấp xỉ bởi một đa thức
theo

:
5

0
ˆ
(,) (,) ,
N
K
k
k
uxt U xt





theo nghĩa cần chỉ ra các hàm
ˆ
(,),( 0,1, , )
k
Uxt k N và thiết lập đánh giá theo dạng

1

2
0
1
00
(0, ; )
(0, ; )
ˆ
ˆ
,
NN
N
kk
k
kT
kk
LTH
LTL
uU
uU C
tt













với

đủ bé, hằng số
T
C độc lập với tham số


Luận văn được trình bày theo các chương sau:

Chương 0, phần tổng quan về bài toán khảo sát trong luận văn, điểm qua các kết
quả đã có trước đó, đồng thời nêu bố cục luận văn.

Chương 1, chúng tôi trình bày một số kết quả chuẩn bị bao gồm việc nhắc lại một
số không gian hàm, một số kết quả về phép nhúng compact giữa các không gian
hàm.

Chương 2, chúng tôi nghiên cứu về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của nghiệm yếu
của bài toán (0.1)-(0.3).

Chương 3, chúng tôi nghiên cứu khai triển tiệm cận của nghiệm yếu của bài toán
()P

theo một tham số

.

Chương 4, là minh họa một ví dụ cụ thể về khai triển tiệm cận của nghiệm yếu.
Kế đến là phần kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo.

6
Chương 1
CÁC CÔNG CỤ CHUẨN BỊ

1.1. Các không gian hàm thông dụng.
Đầu tiên ta đặt các kí hiệu sau (0,1), (0, ), 0
T
QTT

 và bỏ qua
định nghĩa các không gian hàm thông dụng:
(),
m
C

(),
p
L

(),
m
H 
,
().
mp
W


Để cho gọn, ta kí hiệu lại như sau:
(),

pp
LL

 ()
mm
HH


,2
(),
m
W
,,
().
mp mp
WW ( có thể xem trong [1, 3]).
Ta định nghĩa
22
()LL là không gian Hilbert với tích vô hướng

1
2
0
,()(), ,.uv uxvxdx uv L

(1.1)
Kí hiệu
. để chỉ chuẩn sinh bởi tích vô hướng (1.1), nghĩa là

1

1
2
2
2
0
,(), .uuu uxdxuL

 



(1.2)

Định nghĩa không gian Sobolev cấp 1



122
:.HvLvL

 
(1.3)
Không gian này cũng là không gian Hilbert đối với tích vô hướng

1
,,,.
H
uv uv u v

 (1.4)

Kí hiệu
1
.
H
để chỉ chuẩn sinh bởi tích vô hướng (1.4) nghĩa là

11
1
,, .
HH
uuuuH
(1.5)
Ta có bổ đề liên hệ giữa hai không gian
2
L và
1
H sau
Bổ đề 1.1. Phép nhúng
1
H ↪
0
()C

là compact và

01
1
()
2, .
CH

vvvH

 (1.6)
7
Chứng minh. Xem Adams[1]. Xem (1.6)
Ta cũng sử dụng một không gian Sobolev đặc biệt hơn đó là không gian

1
1
1
0
() ().
H
H
c
HD C

  (1.7)
Bổ đề 1.2. Ta có phép nhúng từ
1
0
H ↪
0
()C

là compact và

01
0
111

0
1
0
()
1
0
,
1
.
2
x
CH
x
HHH
vvvvH
vvvvvH


 


  


(1.8)
Chứng minh bổ đề 1.2 không khó khăn.
Một cách đặc trưng khác để xác định
1
0
H là


11
0
:(0) (1) 0.HvHv v  
(1.9)

Bổ đề 1.3. Đồng nhất
2
L với
2
()L

(đối ngẫu của
2
L ). Khi đó ta có
1
0
H ↪
22
()LL

 ↪
11
0
()HH



với các phép nhúng liên tục và nằm trù mật.

Chú thích 1.2.
Từ Bổ đề 1.3, ta dùng ký hiệu tích vô hướng , trong
2
L để
chỉ cặp tích đối ngẫu
11
0
,
,
HH

 giữa
1
0
H và
1
H

. Chuẩn trong
2
L được ký hiệu bởi
Ta cũng ký hiệu
X
 để chỉ chuẩn trong không gian Banach X và gọi X

là
không gian đối ngẫu của
.X
1.2. Không gian hàm .(0, ; ), 1



p
pLTX
Cho X là không gian Banach thực với chuẩn là .
X

Ta kí hiệu (0, ; ),
p
LTX
1 p là không gian các lớp tương đương chứa hàm :(0, )uT X đo được
sao cho

1
(0, ; )
0
() ,
p
T
p
p
LTX X
uutdt





nếu 1
p



và
8

(0, ; )
0
sup ( ) ,
p
LTX X
tT
uessut

 nếu .p


Khi đó ta có các bổ đề sau đây mà chứng minh của chúng có thể tìm thấy trong
Lions[8].
Bổ đề 1.4. (0, ; ),1


p
pLTX là không gian Banach.
Bổ đề 1.5. Gọi X

là đối ngẫu của X. Khi đó, với
,
1
p
p
p




1,
p

(0, ; )
p
LTX


là đối ngẫu của (0, ; ).
p
LTX
Hơn nữa, nếu X phản xạ thì
(0, ; )
p
LTX cũng phản xạ.
Bổ đề 1.6.
1
( (0, ; )) (0, ; ).LTX L TX




Hơn nữa, các không gian
1
(0, ; ),LTX (0, ; )LTX



không phản xạ.
Chú thích 1.3. Nếu ( ) thì (0, ; ) ( (0, )).
pp p
XL L TX L T 
1.3. Phân bố có giá trị trong không gian Banach.
Định nghĩa 1.1.
Cho X là không gian Banach thực. Một ánh xạ tuyến tính
liên tục từ
((0, ))DT vào X được gọi là một (hàm suy rộng) phân bố có giá trị
trong
.X Tập hợp các phân bố có giá trị trong X kí hiệu là
((0, ; ))DTX

= ( ((0, )); )LD T X = {u: ((0, ))DT

X: u tuyến tính}.
Chú thích 1.4. Ta kí hiệu (0, )DT thay cho ((0, ))DT hoặc ((0, ))
c
CT

để
chỉ không gian các hàm thực khả vi vô hạn và có giá compact trong
(0, ).T
Định nghĩa 1.2. Cho (0, ; ).

uD TX Ta định nghĩa đạo hàm
du
dt
theo nghĩa
phân bố của u bởi công thức

,, (0,).
du d
uDT
dt dt


   (1.10)
Bổ đề 1.7. (0, ; ) (0, ; )
p
LTX DTX

 với phép nhúng liên tục.
Chứng minh của bổ đề 1.7 có thể tìm thấy trong Lions[8].
9
1.4. Bổ đề về tính compact của Lions.
Cho ba không gian Banach
01
, , XXX với
0
X ↪ X ↪
1
X với các phép nhúng
liên tục, sao cho :

01
,
X
X là phản xạ, (1.11)
Phép nhúng

0
X ↪
X
là compact (1.12)
với
0,1 ,0,1,
i
Tpi       ta đặt



01
01
(0, ) (0, ; ): (0, ; ) .
pp
W T v L TX v L TX

 
(1.13)
Ta trang bị cho
(0, )WT chuẩn sau

01
01
(0, ) (0, ; ) (0, ; )
.
pp
WT L TX L TX
vv v


 (1.14)
Khi đó,
(0, )WT là không gian Banach. Hiển nhiên (0, )WT↪
0
(0, ; ).
p
LTX
Ta có kết quả sau đây liên quan đến phép nhúng compact.
Bổ đề 1.9. (Bổ đề về tính compact của Lions[8]). Với giả thiết (1.11), (1.12)
và nếu
1, 0,1
i
pi thì phép nhúng (0, )WT↪
0
(0, ; )
p
LTX là
compact.
Chứng minh. Có thể tìm thấy trong Lions[8], trang 57.
1.5. Bổ đề về sự hội tụ yếu trong ().
q
LQ
Bổ đề 1.10.
(xem Lion [8]).
Cho Q là tập mở, bị chặn của
N

và , ( ), 1
q
m

GGLQ q

 sao cho,
,
q
m
L
GC trong đó C là hằng số độc lập với m và
m
GG hầu khắp nơi trong
Q. Khi đó,
m
GG yếu trong ().
q
LQ
1.7. Một số kết quả khác.
Bổ đề sau đây liên quan đến một bất phương trình tích phân và nó rất cần
thiết cho việc đánh giá tiên nghiệm trong các chương sau.
Bổ đề 1.11. (Bổ đề Gronwall).
10
Giả sử :[0, ]
f
T   là hàm khả tích, không âm trên [0, ]T và thỏa bất
đẳng thức
12
0
() ()
t
f
tCCfsds


với hầu hết [0, ],tT

trong đó
12
,CC là các
hằng số không âm.
Khi đó
2
1
() ,
Ct
f
tCe với hầu hết [0, ].tT


Cuối cùng ta cần đến bổ đề sau.
Bổ đề 1.12. Cho dãy
m
{}

thỏa mãn

01
0, 0 , 1,2,
mm
m

 


   (1.15)
trong đó
01, 0


  là các hằng số cho trước. Khi đó

,
1
m





với mọi 1.m  (1.16)
Trong luận văn ta kí hiệu
()ut , () (),
t
ut ut


() (),
tt
ut ut


() (),
x
ut ut

() ()
xx
ut ut để lần lượt chỉ
22
22
(,), (,), (,), (,), (,).
uuuu
uxtxt xtxt xt
tt xx
 
 


11

Chương 2
SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM

2.1. Giới thiệu.
Trong chương này, chúng tôi xét bài toán giá trị biên và giá trị ban đầu sau
đây:

( () ) () () (,,, , ),
tt x t x t
uxuxuKxuFxtuuu
x


 


(2.1)
(0, ) (1, ) 0,ut ut (2.2)

01
(,0) (), (,0) ().ux u x ux u x
 
(2.3)
trong đó
01
,,,,,uu KF



là các hàm cho trước thỏa các điều kiện mà ta sẽ chỉ ra
sau.
Trong chương này, chúng tôi sẽ kết hợp bài toán (2.1) – (2.3) với một thuật
giải quy nạp tuyến tính mà sự tồn tại và duy nhất nghiệm được chứng minh bằng
phương pháp Galerkin và phương pháp compact yếu.
2.2. Các ký hiệu và giả thiết.
Ta thành lập các giả thiết sau:

1
() A
21 1
0010
,,uH HuH



2

()A
13
([0,1] ),FC

 thoả
(0, ,0,0, ) (1, ,0,0, ) 0Ft wFt w với mọi ,,tw






1
30
( ) , , ([0,1]), (x) >0. AKC
  

Với
0M >
và 0,T > ta định nghĩa



00 *
(,,)sup (,,,,):(,,,,) (,),KKMTF FxtuvwxtuvwAMT  (2.4)

5
00 *
1
(,,)sup (,,,,):(,,,,) (,),

j
j
K K MTF DFxtuvw xtuvw A MT


 



(2.5)
trong đó
12



(,) (,,,,):0 1,0 , ;, .AMT xtuvw x t T u v w M





21 1 2
00
21 1 2
00
(0, , ) (0, , ) ( )
( , ) (0, , ) : (0, , ), ( ),
, , ,
T
tttT

LTHH LTH LQ
WMT u L TH H u L TH u L Q
uMuMuM


  




(2.6)



2
1
(,) (,): (0,,),
tt
WMT u WMT u L TL

  (2.7)
trong đó
(0, ).
T
QT
2.3. Thuật giải xấp xỉ tuyến tính.
Trong phần này, với sự lựa chọn M và T thích hợp ta xây dựng một dãy
{}
m
u trong

1
(,)WMT bằng quy nạp. Dãy {}
m
u sẽ được chứng minh hội tụ về
nghiệm yếu của bài toán (2.1) – (2.3).
Ta chọn số hạng đầu tiên
00
uu


. Giả sử rằng

11
(,).
m
uWMT

 (2.8)
Ta liên kết bài toán (2.1)-(2.3) với bài toán biến phân sau.
Tìm
1
(,), 1
m
uWMTmγ sao cho

(), (), (),
mmm
utw ut w utw

 

 
1
0
(), (), , ,
mm
Ku t w F t w w H (2.9)

01
(0) , (0) ,
mm
uuuu
 
(2.10)
trong đó

111
() ( ,, , , ).
mmmm
Ft Fxtu u u



(2.11)
Sự tồn tại
m
u cho bởi định lý sau đây
Định lý 2.1. Giả sử rằng các giả thiết
13
()()AA đúng. Khi đó, tồn tại các
hằng số

0M >
và
0T >
sao cho, với
00
,uu=

tồn tại một dãy quy nạp tuyến tính
1
{} (,)
m
uWMTÌ xác định bởi (2.8)-(2.11).
Chứng minh.Gồm nhiều bước
Bước 1. Xấp xỉ Galerkin.
13
Giả sử {}
j
w với
() 2sin( ),
j
wx jx jp=Î
là cơ sở đặc biệt của
1
0
H gồm
các hàm riêng
j
w của toán tử
2
2

¶
-D =
¶x
sao cho

,
jjj
wwl-D =
1
0
.
j
wHÎ (2.12)
Dùng phương pháp xấp xỉ Galerkin để xây dựng nghiệm xấp xỉ

() ()
1
() () ,
k
kk
mmjj
j
ut ctw
=
=
å
(2.13)
trong đó, các hệ số
()k
mj

c thoả hệ phương trình vi phân thường

() () ()
(), (), (),
kkk
mi m i mi
utw ut w utw

  
 


()
(), (), , 1 ,
k
mimi
Ku t w F t w i k

 (2.14)

() ()
01
(0) , (0) ,
kk
mkmk
uuuu

(2.15)
trong đó

()
00
1
k
k
kmjj
j
uwu





mạnh trong
12
0
HH , (2.16)

()
11
1
k
k
kmjj
j
uwu






mạnh trong
1
0
H . (2.17)
Hệ (2.14)-(2.15) có thể viết thành một dạng khác như sau:

() () ()
11
()
1
() () () ()
() ( ) , () ( ) , ()
() , () (), ,1 ,
(0) , (0) .
kk
kkk
mj i j mj i j mj
jj
k
k
ijmj m j
j
kkkk
mj mj mj mj
ct xwwct xwwct
Kxww c t F t w i k
cc






 












 

(2.18)
hay

() () () ()
111
() () () ()
() () () () (), ,1 ,
(0) , (0) ,
kkk
kkkk
mj ij mj ij mj ij mj m j
jjj

kkkk
mj mj mj mj
ct act bct dct Ftw ik
cc



 






 

(2.19)
trong đó,
14
,
ij i j ji
awwa

  là phần tử hàng
i
, cột j của ma trận ,A

,
ij i j ji
bwwb


 là phần tử hàng
i
, cột j của ma trận ,B

,
ij i j ji
dKwwd là phần tử hàng
i
, cột j của ma trận ,C
với
,,ABC là ma trận đối xứng .
ta viết lại (2.19) như sau

() () () ()
() () () ()
() () () () (), ,
(0),(0).
kkkk
mmmmm
kkkk
mmmm
ctActBctCct Ftw
cc









 

(2.20)
với

1
() () () () () ()
11
() () () () () ()
11
( , , ),
(0) ( (0), , (0)), ( , , ),
(0) ( (0), , (0)), ( , , ).
k
kkk kkk
m m mk m m mk
kkk kkk
m m mk m m mk
ww w
ccc
ccc













Đặt

AAC 

(2.21)
ta có hệ phương trình tương đương

() () ()
() () () ()
() () () (), ,
(0),(0).
kkk
mmmm
kkkk
mmmm
ct ActBct Ftw
cc










 

(2.22)
suy ra

() () () () () ()
00 0 00
() () () (),
tr t tr
kkkk k k
mmmm m m m
c t B t t dr Ac s ds Bc s ds dr F s w ds

    
  

(2.23)
Ta bỏ qua các chỉ số
,mk trong cách viết và viết (), ,ct


lần lượt thay cho
() () ()
(), ,
kkk
mmm
ct



. Khi đó, ta viết lại phương trình (2.23) như sau

00 0 00
() () () (),
tr t tr
m
ct Bt t drAcsds Bcsds dr Fswds

    
  

(2.24)
Bổ đề 2.2. Giả sử
13
()()AA đúng. Khi đó hệ (2.22) có nghiệm
() () ()
1
( , , )
kk k
mm mk
ccc trên
0.tT

Chứng minh bổ đề 2.2.
15
Ta đặt
()
0
[0, ];
k

YC T= 
là không gian các hàm liên tục Banach đối với chuẩn
.
Y
như sau:

11
0
1
sup () , () (),
k
j
Y
tT
j
cctctct
<<
=
==
å
với
1
( , , ) .
k
cc cY=Î
Ta viết lại hệ (2.24) thành phương trình điểm bất động

() [ ]() () [](), 0 ,ct Uc t Gt Vc t t T  (2.25)
trong đó

00
00 0
() (), ,
[]() () () .
tr
m
tr t
Gt B t t dr F s wds
Vc t dr Acsds Bcsds


  








 


Khi đó ta sẽ kiểm tra lại rằng:
) U :iYY liên tục
)ii Tồn tại p Î  sao cho :
p
UY Y là ánh xạ co:
Ta có

[ ]() () [ ]()Uc t Gt Vc t=+ hay [] [].Uc G Vc=+ (2.26)
Ta kiểm tra được
V tuyến tính theo ,c nghĩa là

[ ] [][], ,, ,.Vc d Vc Vd cd Ya+b =a +b "abÎ " Î (2.27)
Ta sẽ chứng minh rằng tồn tại
p Î  sao cho :
p
VY Y là ánh xạ co. Sau đó
suy ra
:
p
UY Y cũng là ánh xạ co.

Ta sẽ chứng minh bằng qui nạp biểu thức dưới đây đúng với mọi :p Î 


1
[ ] [ ] || || || || || || ,
!
p
p
pp
Y
t
Vc Vd AT B cd
p
 

(2.28)

trong đó,
{}
max 1, ,TT=


chú ý rằng với ma trận
A như trên thì
11
Ac A c , với
1, ,
1
max .
k
ij
ik
j
Aa





Chứng minh:
16
 Với 1p  , ta có

11
1
00 0
[][] () ()

tr t
Vc Vd dr Ac d ds Bc d ds 
 



11
00 0
()
tr t
Adrcdds B Bcdds
 



2
2!
YY
t
Acd Btcd


(),
2!
Y
t
ABtcd


().
Y
AT B t c d 


(2.29)
Vậy (2.28) đúng với
1p 
Giả sử (2.28) đúng với
1p  , tức là

1
[] [ ] ( ) ,
!
p
pp p
Y
t
Vc Vd AT B cd
p
 

(2.30)
Ta sẽ chứng minh (2.28) đúng với
1p

, tức là

1
11 1

1
[] [ ] ( ) ,
(1)!
p
pp p
Y
t
VcVd ATB cd
p

 
 


(2.31)
Thật vậy

11
11
[] [] [ [] [ []]
pp p p
VcVd VVcVVd



1
1
00 0
([][]) ([][])
tr t

pp pp
dr A V c V d ds B V c V d ds
 



00 0
() ()
!!
tr t
pp
pp
YY
AAT B cd dr d BAT B cd d
pp



 
 
 



21
() ()
( 2)! ( 1)!
pp
pp
YY

tt
A AT B cd B AT B cd
pp

  

 


1
()
(2)(1)!
p
p
Y
tt
AAT B cd
pp

 


1
()
(1)!
p
p
Y
t
BAT B cd

p

 




1
1
()
(1)!
p
p
Y
t
AT B c d
n


 


(2.32)
Từ (2.32) suy ra (2.28) đúng với mọi
p Î  .

Tồn tại p Î  sao cho :
p
VY Y là ánh xạ co.
17

Từ (2.28), ta có
|| [] []|| (|||| ||||) .
!
p
pp p
Y
Y
t
Vc Vd AT B cd
p
 

(2.33)
Mặt khác, do
lim ( ) 0,
!
p
p
p
t
AT B
p
+¥
+=


nên tồn tại p Î  sao cho

0( )1,[0,1].
!

p
p
t
AT B t
p
q<= + < "Î


(2.34)
Từ (2.33), (2.34) ta suy ra

[] [] , , .
pp
Y
Y
Vc Vd c d cd Yq-£-"Î (2.35)
Với
p Î  thoả (2.34) thì toán tử :
p
VY Y là co.

:
p
UY Y là ánh xạ co
Bằng qui nạp, dễ dàng chứng minh được rằng

[] [] [] [], .
pp pp
Uc Ud Vc Vd p-=- "Î (2.36)
Từ (2.35), (2.36) ta có

[] [] , , .
pp
Y
Y
Uc Ud c d cd Yq-£-"Î
Vậy
:
p
UY Y là ánh xạ co.
)iii U có điểm bất động duy nhất trong .Y
Do toán tử
:
p
UY Y là co, nên theo nguyên lý ánh xạ co, suy ra
p
U có điểm
bất động duy nhất trong
.Y Từ đó cũng suy ra được rằng U có điểm bất động duy
nhất trong
.Y
Từ các chứng minh
), ), )iiiiii và nguyên lý ánh xạ co, ta suy ra rằng hệ (2.22)
có duy nhất nghiệm
()k
m
c trên
0 tT



. Vậy bổ đề 2.2 dược chứng minh hoàn tất.
Bước 2. Các đánh giá tiên nghiệm
Đánh giá tiên nghiệm 1
Thay
j
w bởi
()k
m
u

trong (2.14), sau đó tích phân theo t
18

() () () ()
00
2(),()2 (),()
tt
kk k k
mm m m
ususds us usdsm+ 
òò
  
() ()
0
2(),()
t
kk
mm
ususdsl+
ò




() ()
0
2(),()
t
kk
mm
Ku s u s ds+
ò

()
0
2(),()
t
k
mm
Fsu sds=
ò

(2.37)
Ta có

2
2
() () ()
1
0
2(),()= () ,

t
kk k
mm m k
ususds ut u

  
(2.38)
22
() () ()
0
0
2(),() () ,
t
kk k
mm m k
ususds ut u

  


(2.39)
Đặt

2
222
() () () () () ()
0
() () () () () ()
kk k kk k
mm m mm m

X
tut ut Xtut ut



(2.40)
Từ (2.37)-(2.40) ta suy ra

() () () () () ()
00
() (0) 2 (), () 2 (), ()
tt
k k kk kk
m m mm mm
X
t X ususds Kususds

 

 


()
0
2(),()
t
k
mm
Fsu s ds





()
123
(0) .
k
m
X
II I (2.41)
Đánh giá tích phân thứ nhất

tt
kk
mm
IusdsXsdsll
¥¥
££
òò
2
() ()
1
00
2()2().

(2.42)
Đánh giá tích phân thứ hai

22
() () () ()

2
00
2() () (()+ ())
tt
kk k k
mm m m
I K ususdsK us us ds






() ()
0
00
() + () .
tt
kk
mm
K
X
sds K X sds





(2.43)
Đánh giá tích phân thứ ba

() () 2 ()
300
000
2(),() 2 () + ().
ttt
kk k
mm m m
I F s u s ds K u s ds TK X s ds


(2.44)
19
Ta viết lại (2.41) như sau
() () 2 ()
0
0
0
() (0) (2 1) ()
t
kk k
mm m
K
X
tX KT K Xsds









2
2
()
10
0
0
(2 1) ( )
t
k
kk m
K
uu KXsds




 

(2.45)
Đánh giá tiên nghiệm 2
Nhân hai vế của (2.14) với
j

 , ta có

() ()
(), (),

kk
mj m j
utw ut w

 

() ()
(), (),
kk
mjmj
utw Kut w

 



(), ,1 ,
mj
Ft w j k

 (2.46)
Ta có:

1
() ()
0
(), ()
kk
mjmj
utw utwdx 


 
1
() () ()
0
= (1, ) (1)- (0, ) (0) ( )
kk k
mjm j mj
utw u tw utwdx

  


()
(), ,1 ,
k
mj
ut w jk    

(2.47)

1
() ()
0
(), ( ) ()
kk
mj mj
ut w xut wdx






() ()
= (1) (1, ) (1) (0) (0, ) (0)
kk
mj m j
utw u tw

 


1
()
0
- ( )
k
mj
ut wdx

 



() ()
(), (), ,1 ,
kk
mj mj
utw utw jk


         (2.48)

1
() ()
0
(), ()
kk
mjmj
utw utwdx

 





1
() () ()
0
= (1)(1,) (1)(0)(0,) (0) ()
kk k
mj m j mj
utw u tw utwdx
 
   

 


() ()

(), (), ,1 ,
kk
mj mj
ut w ut w jk

       

(2.49)
1
() ()
0
(), ( ) ()
kk
mj mj
Ku t w K x u t w dx 


20


1
() () ()
0
= (1) (1, ) (1) (0) (0, ) (0) ( )
kk k
mj m j mj
Ku tw K u tw Ku t wdx   


() ()
(), (), ,1
kk
mj mj
Ku t w K u t w j k        (2.50)
1
0
(), (),
mjmj
Ft w Ft wdx 



0
(1)(1) (0)(0) ()
t
mjm j mj
Fw F w Ftwdx



(),
mj
Ft w   (2.51)
Khi đó, phương trình (2.46) trở thành

() ()
(), (),
kk
mj mj

utw utw



() ()
(), (),
kk
mj m j
utw ut w

   



() () ()
(), (), (),
kk k
mj mj mj
ut w Kut w Kut w

      



(), , 1 ,
mj
Ft w j k    (2.52)
Từ phương trình (2.52) thay
j
w bởi

()k
m
u

, sau dó lấy tích phân theo t

() () () ()
00
2 (), () 2 (), ()
tt
kk kk
mm mm
ususds ususds

 

  


() () () ()
00
2 (), () 2 (), ()
tt
kk k k
mm m m
ususds ususds

   



() () () ()
00
2(),()2(),()
tt
kk kk
mm mm
ususds Kususds

   

 


() ()
0
2(),()
t
kk
mm
Ku s u sds 




()
0
2(),(),
t

k
mm
Fs u sds 


(2.53)
Ta có:

22
() () () ()
0
2 ( ), ( ) ( ) (0)
t
kk k k
mm m m
ususds ut u  

   


2
2
()
1
() ,
k
mk
ut u 

(2.54)

21

22
() () () ()
0
2(),() () (0)
t
kk k k
mm m m
ususds ut u

  




22
()
0
() ,
k
mk
ut u

  (2.55)
Đặt
2
222
() () () () () ()
0

() () () () () () ,
kk kkk k
mm mmm m
Yt ut ut Y t ut ut

      

(2.56)
Từ (2.53)-(2.56), ta suy ra

() () () () () ()
00
() (0) 2 (), () 2 (), ()
tt
kk kk kk
mm mm mm
Y t Y u s u sds u s u sds

 




() () () ()
00
+2 (),() 2 (),()
tt
kk kk
mm mm
ususds Kususds


  

 


() () ()
00
+ 2 ( ), ( ) 2 ( ), ( )
tt
kk k
mm mm
Kususds Fsusds 




()
123456
(0)
k
m
Y IIIIII 

2
2
1 0 123456
.
kk
u u IIIIII


    (2.57)
Đánh giá
1
I

() ()
1
0
2(),()
t
kk
mm
Iususds

 




1
() ()
00
=2 () () ()
t
kk
mm
ds x u s u s dx

 





1
() ()
00
=2 ( ) ( )
t
kk
mm
dx u s u s ds

 




() () () ()
2(),()2(0),(0)
kk k k
mm m m
utut u u

   

() ()
0
2(),(),
t

kk
mm
usus

 


(2.58)
Từ (2.58) suy ra

() () () ()
1
2(),()2(0),(0)
kk k k
mm m m
Iutut uu

   

22

() ()
0
2(),()
t
kk
mm
ususds

 





123
,ii i (2.59)
Ta có:

() () () ()
1
2(),()2 ()()
kk k k
mm m m
iutut utut


    


22
2
() ()
1
() ()
kk
mm
ut ut




  

2
() ()
00
1
() ()
kk
mm
X
tYt




 

2
() ()
2
00
212
() () ( = )
2
kk
mm
Xt Yt





 


2
22
() 2
100
2
0
12
()
2
k
mkk
Yt u u KT



 

()
0
0
(2 1) ( )
t
k
m
K
KXsds














2
22
()
10
2
0
12
()
2
k
mkk
Yt u u



 

2
2
0
2
0
2
KT





2
()
2
00
0
2
(2 1) ( ) ,
t
k
m
K
KXsds



 
   


(2.60)

() () () ()
2
2 (0), (0) 2 (0) (0)
kk k k
mm m m
iuu uu


    


00
2,
kk
uu


   (2.61)

() () () ()
3
00
2 ( ), ( ) 2 ( ) ( )
tt
kk k k
mm m m
iususds ususds



    




22
() ()
00
() ()
tt
kk
mm
u s ds u s ds


   




()
0
0
(),
t
k
m
Yds







 

(2.62)
23
Từ(2.59)-(2.62)
2
22 2
() 2
110000
22
00
12 2
() ( ) 2
2
k
mkk kk
IYt u u KT uu
 


 

2
()
2

00
0
2
(2 1) ( )
t
k
m
KXsds




 
   



()
0
0
()(),
t
k
m
Ysds







 

(2.63)
Đánh giá
2
I

() () () ()
2
00
2(),()2 ()()
tt
kk k k
mm m m
Iususds ususds


   

  


22
() ()
00
() ()
tt
kk
mm

us us


  




() ()
00
() () ,
tt
kk
mm
X
sds Y sds


 

(2.64)
Đánh giá
3
I

2
() () ()
3
00
2(),()2 ()

tt
kk k
mm m
Iusus usds


   

 


()
0
2(),
t
k
m
Ysds




(2.65)
Đánh giá
4
I

() () () ()
4
00

2(),()2 ()()
tt
kk k k
mm m m
IKususdsKususds

   




22
() ()
00
() ()
tt
kk
mm
KusdsK usds

  




() ()
0
00
() ()
tt

kk
mm
K
X
sds K Y sds






(2.66)
Đánh giá
5
I
24

() () () ()
5
00
2 ( ), ( ) 2 ( ) ( )
tt
kk k k
mm m m
I Kususds K us usds

    



22
() ()
00
() ()
tt
kk
mm
KusdsKusds

 




() ()
0
00
() () ,
tt
kk
mm
K
X
sds K Y sds






(2.67)
Đánh giá
6
I

111
(,,, ,),
mmmm
FFxtu uu





23 14 15 1mmmm
FDFDFu DFu DFu






1111
(1 ),
mmm
Ku u u
 



1111
(1 )
mmmm
FK u u u

    



1
(1 3 ),KM

() ()
6
00
2(),()2()()
tt
kk
mm m m
IFsusdsFsusds   




()
1
0
2 (1 3 ) ( )
t

k
m
KMusds




2
22 ()
1
00
(1 3 ) ( )
tt
k
m
K M ds u s ds 




22()
1
0
(1 3 ) ( )
t
k
m
KT M Y sds

(2.68)

Từ (2.57)-(2.68), ta được
2
222
() () 2
10 0
22
00
44
() 2 2 (0)
kk
mk k m
Yt u u X KT
 


     

22
00 1
42(13)
kk
uu TK M


    

2
()
2
0000

0
2
2(2 1) ())
t
k
m
KKK
KXsds
 


 

  





()
0
0
222 1()
t
k
m
KK Ysds






 
    



(2.69)