Chuong 2 tong quat dan nhiet phuong trinh vi phan

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Tp.HCM

CHƯƠNG 2
KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ DẪN NHIỆT VÀ PHƯƠNG
TRÌNH VI PHÂN DẪN NHIỆT VẬT RẮN
1. Trường nhiệt độ
2. Gradient nhiệt độ
3. Dòng nhiệt và định luật Fourier
4. Phương trình vi phân dẫn nhiệt
5. Một số điều kiện trong quá trình dẫn nhiệt
1
Cán bộ giảng dạy: Ths. Phan Thành Nhân


TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Tp.HCM

1. Trường nhiệt độ
Quá trình dẫn nhiệt trong vật rắn diễn ra đồng thời với sự
thay đổi của nhiệt độ theo cả không gian và thời gian.

t = f (x , y, z, τ)
Trường nhiệt độ là tập hợp các nhiệt độ tại tất cả các điểm
trong không gian tại một thời điểm nào đó.
Có hai loại trường nhiệt độ:
–

Trường nhiệt độ ổn định

–

Trường nhiệt độ không ổn định

2

Cán bộ giảng dạy: Ths. Phan Thành Nhân


TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Tp.HCM

 Nếu nhiệt độ tại mỗi điểm là hằng số theo thời gian, thì
trường nhiệt độ là trường ổn định: là trường ba chiều (nhiệt độ là
một hàm theo ba trục tọa độ)

t = f (x , y, z )

;

∂t
=0
∂τ

 Nếu nhiệt độ là một hàm theo hai trục tọa độ thì trường nhiệt
độ là trường hai chiều:
– Trường không ổn định

t = f (x , y, τ)

;

∂t
=0
∂z

– Trường ổn định

t = f (x , y )
Cán bộ giảng dạy: Ths. Phan Thành Nhân

;

∂t
∂t
=0 ;
=0
∂z
∂τ

3


TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Tp.HCM

 Nếu nhiệt độ là một hàm theo một trục tọa độ thì trường nhiệt
độ là trường một chiều:
– Trường không ổn định

t = f (x , τ)

;

∂t
∂t

=
=0
∂y ∂z

– Trường ổn định

t = f (x )

∂t
∂t
∂t
=
=
0
=0
; ∂y
;
∂z
∂τ

4
Cán bộ giảng dạy: Ths. Phan Thành Nhân


TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Tp.HCM

2. Gradient nhiệt độ:
 Maët đẳng nhiệt của một vật thể là quỹ tích của của các
điểm có nhiệt độ đồng nhất trong một trường nhiệt độ.
– Không thể có bất kỳ điểm nào trên vật thể có thể tồn tại

đồng thời các nhiệt độ khác nhau
n
x
– Giao nhau của các mặt
đẳng nhiệt bởi một mặt phẳng
t +∆t
∆
n
∆t
cho ra một họ những đường
t
đẳng nhiệt trên mặt phẳng
này
t −∆t
5
Cán bộ giảng dạy: Ths. Phan Thành Nhân


TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Tp.HCM

Gradient nhiệt độ:
– Nhiệt độ trong vật thể thay đổi theo phương xuyên qua
các bề mặt đẳng nhiệt.
– Độ biến thiên nhiệt độ trên một đơn vị chiều dài theo
phương pháp tuyến với bề mặt đẳng nhiệt là lớn nhất.
– Sự gia tăng nhiệt độ theo phương này được mô tả theo
gradient nhiệt độ.
Gradient nhiệt độ là một vector pháp tuyến tới bề mặt
đẳng nhiệt và có chiều dương theo chiều tăng nhiệt độ.

 ∂t
gradt = n o
∂n
6
Cán bộ giảng dạy: Ths. Phan Thành Nhân


TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Tp.HCM

Chiếu vector gradient nhiệt độ t lên các trục tọa độ Ox, Oy, Oz:

(gradt )x

∂t
 ∧  ∂t
cos n , x  =
=
∂n
 ∂x


(gradt )y

∂t
 ∧  ∂t
cos n , y  =
=
∂n
 ∂y


(gradt )z

∂t
 ∧  ∂t
cos n , z  =
=
∂n
 ∂z


7
Cán bộ giảng dạy: Ths. Phan Thành Nhân


TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Tp.HCM

3. Dòng nhiệt và định luật Fourier:
Quá trình truyền nhiệt bằng dẫn nhiệt yêu cầu gradient nhiệt
độ tại những điểm khác nhau của vật thể phải lớn hơn 0.
t + 2 ∆t
grad t

t + ∆t

q

t

t −∆t

t − 2∆t

8
Cán bộ giảng dạy: Ths. Phan Thành Nhân


TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Tp.HCM

Quá trình truyền nhiệt bằng dẫn nhiệt: yêu cầu gradient
nhiệt độ tại những điểm khác nhau của vật thể phải lớn hơn 0.

 ∂t
q = −n oλ
∂n

Độ lớn của mật độ dòng nhiệt q:
∂t
q = −λ
∂n

(W/m2)

Nhiệt lượng qua mặt đẳng nhiệt F trên một đơn vị thời
gian:
Q = ∫ qdF = − ∫ λ
F

F

∂t
dF
∂n

(W)

9
Cán bộ giảng dạy: Ths. Phan Thành Nhân


TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Tp.HCM

 Lượng nhiệt tổng qua diện tích mặt đẳng nhiệt F trong
khoảng thời gian τ:
τ

∂t
Q τ = − ∫ ∫ λ dF.dτ
∂n
0 F

(J)

 Lượng nhiệt truyền qua diện tích bề mặt dFl với góc nghiêng
ϕ tạo bởi đường thẳng tiếp tuyến với mặt phẳng và bề mặt đẳng
nhiệt:
n
l

q l = q cos ϕ =

dQ τ 1
dQ τ 1
cos ϕ =
dτ dFl
dτ dF

ϕ

dF

dF
l
10

Cán bộ giảng dạy: Ths. Phan Thành Nhân


TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Tp.HCM

Nhiệt lượng qua diện tích dFl trên thời gian dτ

dQτ = q l .dFl .dτ = q(dFl . cos ϕ)dτ = q.dF.dτ
τ

∂t
Q τ = − ∫ ∫ λ dFl .dτ
dl
0 Fl

(J)

giá trị mật độ dòng nhiệt lớn nhất sẽ là mật độ dọc theo
đường pháp tuyến với mặt đẳng nhiệt

11
Cán bộ giảng dạy: Ths. Phan Thành Nhân


TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Tp.HCM

Mật độ dòng nhiệt theo ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz:
∂t
q x = −λ
∂x

∂t
q y = −λ
∂y

q z = −λ

∂t
∂z


Vectơ mật độ dòng nhiệt q


q = iq x + jq y + kq z

(i, j, k: là vectơ đơn vị theo 3 trục tọa ñoä x, y, z)
12
Cán bộ giảng dạy: Ths. Phan Thành Nhân


TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Tp.HCM

4. Phương trình vi phân dẫn nhiệt:
 Khảo sát quá trình dẫn nhiệt theo một phương xác định:
Xét vật thể với chiều dày dx, sự cân bằng năng lượng:
Dòng nhiệt dẫn vào mặt bên trái + nhiệt phát sinh bên trong vật thể =
lượng biến đổi nội năng + dòng nhiệt dẫn đi ra mặt bên phải.

qgen=qAdx
qx

x
Cán bộ giảng dạy: Ths. Phan Thành Nhân

qx+dx

dx

13


TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Tp.HCM

Với các giá trị năng lượng :

∂T
Dòng nhiệt dẫn vào mặt bên trái = q x = −λF
∂x

Nhiệt phát sinh bên trong vật thể = q v Fdx
Lượng biến đổi nội năng = ρcF

∂T
dx
∂τ

Dòng nhiệt dẫn đi ra mặt bên phải: = q x + dx = −λF

Trong đó:

∂T 
∂x  x + dx

 ∂T ∂  ∂T  
+  λ dx 
= − F λ
 ∂x ∂x  ∂x  

qv = coâng suất nguồn nhiệt trong trên một đơn vị thể tích, W/m3
c = nhiệt dung riêng của vật liệu, J/kg oC
ρ = khối lượng riêng, kg/ m3
14
Cán bộ giảng dạy: Ths. Phan Thành Nhân

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Tp.HCM

Khi đó công thức dẫn nhiệt một chiều:
− λF

 ∂t ∂  ∂t  
∂t
∂t
ρ
−
λ +  λ dx 
q
Fdx
cF
dx
F
+ v
=

∂τ
∂x
 ∂x ∂x  ∂x  

∂t
∂  ∂t 
⇔
 λ  + q v = ρc
∂τ
∂x  ∂x 

15
Cán bộ giảng dạy: Ths. Phan Thành Nhân


TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Tp.HCM

 Khảo sát quá trình dẫn nhiệt đa chiều:
Xét đến quá trình dẫn nhiệt một vật thể qua cả ba phương tọa độ:

q x + q y + q z + q ps = q x + dx + q y + dy + q z + dz

dE
+
dτ
16

Cán bộ giảng dạy: Ths. Phan Thành Nhân


TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Tp.HCM

Với các giá trị năng lượng:
∂t
q x = −λdydz
∂x

∂t
q y = −λdxdz
∂y

q z = −λdxdy

∂t
∂z

q ps = q v dxdydz

q x + dx

 ∂t ∂  ∂t  
= − λ +  λ dx  dydz
 ∂x ∂x  ∂x  

q y + dy

 ∂t ∂  ∂t  
= − λ +  λ dy  dxdz
 ∂y ∂y  ∂y  

q z + dz

 ∂t ∂  ∂t  
= − λ +  λ dz  dxdy
 ∂z ∂z  ∂z  

∂t
dE
= ρcdxdydz
dτ
∂τ

17

Cán bộ giảng dạy: Ths. Phan Thành Nhân


TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Tp.HCM

Phương trình dẫn nhiệt tổng quát theo ba chiều:

∂t
∂  ∂t  ∂  ∂t  ∂  ∂t 


 λ  +  λ  +  λ  + q v = ρc
∂τ
∂x  ∂x  ∂y  ∂y  ∂z  ∂z 
Với hệ số dẫn nhiệt λ = constant, phương trình được viết lại:

λ
a=
ρc

∂ 2 t ∂ 2 t ∂ 2 t q v 1 ∂t
+ 2+ 2+
=
2
∂z
λ a ∂τ
∂x
∂y

là hệ số khuyếch tán nhiệt của vật liệu, m2/s

Giá trị a càng lớn, nhiệt độ khuyếch tán qua vật liệu càng nhanh,
giá trị a lớn là do vật liệu có tính dẫn nhiệt cao, hệ số dẫn nhiệt
lớn, và khi đó dòng nhiệt sẽ truyền nhanh hơn
18
Cán bộ giảng dạy: Ths. Phan Thành Nhân


TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Tp.HCM

Trong tọa độ trụ:
x = r ⋅ cos φ

y = r ⋅ sin φ
z = z


∂ 2 t 1 ∂t 1 ∂ 2 t ∂ 2 t q v 1 ∂t
+
+ 2 2+ 2+
=
2
λ a ∂τ
∂r
r ∂r r ∂φ ∂z

19
Cán bộ giảng dạy: Ths. Phan Thành Nhân

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Tp.HCM

Trong tọa độ cầu:

x = r ⋅ cos φ ⋅ sin θ

y = r ⋅ sin φ ⋅ sin θ
z = r ⋅ cos θ


∂ 2 t q v 1 ∂t
1
∂ 
∂t 
1
1 ∂2
(rt ) + 2
+
=
 sin θ  + 2 2
2
2
λ a ∂τ
∂θ  r sin θ ∂φ
r ∂r
r sin θ ∂θ 
20
Cán bộ giảng dạy: Ths. Phan Thành Nhân