Bai toan sturm liouville handout

BÀI TOÁN STURM-LIOUVILLE
BÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ

TS. Lê Xuân Đại
Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ mơn Tốn ứng dụng
Email:

TP. HCM — 2016.
TS. Lê Xn Đại (BK TPHCM)

BÀI TOÁN STURM-LIOUVILLE

TP. HCM — 2016.

1 / 45


NỘI DUNG
1

HỆ STURM-LIOUVILLE

Sự tách biến
Hệ Sturm-Liouville đầy đủ
Hệ Sturm-Liouville tuần hoàn
Bài tập
2

TRỊ RIÊNG VÀ HÀM RIÊNG

Hàm trực giao
Sự biểu diễn hàm thành chuỗi những
hàm riêng
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

BÀI TOÁN STURM-LIOUVILLE

TP. HCM — 2016.

2 / 45


Hệ Sturm-Liouville

Sự tách biến

Xét phương trình đạo hàm riêng cấp hai thuần
nhất dạng chuẩn tắc
a(x, y)uxx + c(x, y)uyy
+d(x, y)ux + e(x, y)uy + f (x, y)u = 0

(1)

Giả sử nghiệm của (1) được tìm dưới dạng
tách biến
(2)

u(x, y) = X (x)Y (y) 6= 0.

Thay nghiệm u(x, y) (2) vào phương trình (1),

ta được
aX 00 Y + cXY 00 + dX 0 Y + eXY 0 + fXY = 0
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

BÀI TOÁN STURM-LIOUVILLE

TP. HCM — 2016.

(3)
3 / 45


Hệ Sturm-Liouville

Sự tách biến

Giả sử tồn tại hàm p(x, y), sao cho nếu chia
phương trình (3) cho p(x, y), ta được
a1 (x)X 00 Y + b1 (y)XY 00 + a2 (x)X 0 Y + b2 (y)XY 0
+[a3 (x) + b3 (y)]XY = 0

(4)
Tiếp tục chia phương trình (4) cho XY , ta c
à

ả
à
ả
X 00
X0

Y 00
Y0
a1 + a2 + a3 = − b1
+ b2 + b3 (5)
X
X
Y
Y

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

BÀI TOÁN STURM-LIOUVILLE

TP. HCM — 2016.

4 / 45


Hệ Sturm-Liouville

Sự tách biến

Vế trái của phương trình (5) là hàm chỉ phụ
thuộc vào x, trong khi đó vế phải của phương
trình (5) chỉ phụ thuộc vào y . Do đó, lấy đạo
hàm phương trình (5) theo biến x, ta c
ả
à
X 00
X0

d
a1 + a2 + a3 = 0
dx
X
X

(6)

Ly tớch phõn phương trình (6), ta được
X 00
X0
a1 + a2 + a3 = λ = const
X
X
00
Y
Y0
b1
+ b2 + b3 = −λ
Y
Y
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

BÀI TOÁN STURM-LIOUVILLE

(7)
(8)
TP. HCM — 2016.

5 / 45

Hệ Sturm-Liouville

Sự tách biến

Phương trình (7) và (8) được viết lại như sau:
a1 X 00 + a2 X 0 + (a3 − λ)X = 0

(9)

b1 Y 00 + b2 Y 0 + (b3 + λ)Y = 0

(10)

Do đó, u(x, y) sẽ là nghiệm của phương trình
(1) nếu X (x) và Y (y) tương ứng là nghiệm của
phương trình vi phân (9) và (10).

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

BÀI TOÁN STURM-LIOUVILLE

TP. HCM — 2016.

6 / 45


Hệ Sturm-Liouville

Hệ Sturm-Liouville đầy đủ

Bằng phương pháp tách biến, chúng ta đã
chuyển phương trình đạo hàm riêng cấp hai
thuần nhất thành 2 phương trình vi phân (9)
và (10) có dạng sau:
dy
d2y
a1 2 + a2 + (a3 + λ)y = 0
dx
dx

(11)

Nếu ta thay
 x

Z
a2 (t) 
a3 (x)
p(x)
p(x) = exp 
dt , q(x) =
p(x), s(x) =
,
a1 (t)
a1 (x)
a1 (x)
x0

(12)

vào phương trình (11), ta được
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

BÀI TOÁN STURM-LIOUVILLE

TP. HCM — 2016.

7 / 45


H Sturm-Liouville

H Sturm-Liouville y

à
ả
dy
d
p
+ (q + s)y = 0,
dx dx

(13)

Phương trình này được gọi là phương trình
Sturm-Liouville.
Tốn tử Sturm-Liouville c xỏc nh nh
sau:

à
ả
d
d
p
+ q.
(14)
L :=
dx

dx

Khi ú, phng trỡnh (13) được viết lại như
sau:
L[y] + λsy = 0.
(15)
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

BÀI TOÁN STURM-LIOUVILLE

TP. HCM — 2016.

8 / 45


Hệ Sturm-Liouville

Hệ Sturm-Liouville đầy đủ

ĐỊNH NGHĨA 1.1

Phương trình Sturm-Liouville được gọi là đầy đủ trên
đoạn [a, b] nếu hàm p(x) > 0 và s(x) > 0 trên đoạn [a, b].
ĐỊNH NGHĨA 1.2
Phương trình Sturm-Liouville đầy đủ
L[y] + λsy = 0,

a É x É b,

với điều kiện biên
a1 y(a) + a2 y 0 (a) = 0,

b1 y(b) + b2 y 0 (b) = 0,

(16)

được gọi là hệ Sturm-Liouville đầy đủ.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

BÀI TOÁN STURM-LIOUVILLE

TP. HCM — 2016.

9 / 45


Hệ Sturm-Liouville

Hệ Sturm-Liouville đầy đủ

ĐỊNH NGHĨA 1.3

Những giá trị λ để hệ Sturm-Liouville có
nghiệm khơng tầm thường được gọi là trị
riêng, và những nghiệm tương ứng được gọi
là hàm riêng.
VÍ DỤ 1.1
Xét hệ Sturm-Liouville đầy đủ
y 00 + λy = 0,

0 É x É π,

y(0) = 0, y 0 (π) = 0.

Tìm trị riêng và hàm riêng tương ứng của hệ này.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

BÀI TOÁN STURM-LIOUVILLE

TP. HCM — 2016.

10 / 45


Hệ Sturm-Liouville

1

2

Hệ Sturm-Liouville đầy đủ

Nếu λ É 0 thì λ khơng là trị riêng.
Nếu λ > 0 thì nghiệm của phương trình
Sturm-Liouville là
p
p
y(x) = A cos λx + B sin λx.

Do y(0) = 0, nên A = 0. Điều kiện y 0(π) = 0 cho
ta
p
p
B λ cos λπ = 0.

Vì λ 6= 0 mà nghiệm phải khác không nên
p
cos λπ = 0, B 6= 0.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

BÀI TOÁN STURM-LIOUVILLE

TP. HCM — 2016.

11 / 45


Hệ Sturm-Liouville

Hệ Sturm-Liouville đầy đủ

Từ đó, suy ra
p
2n − 1
λ=
, n = 1, 2, 3, . . .
2
(2n − 1)2
Do đó, các trị riêng là λn =
và các
4

hàm riêng tương ng l
à

ả
2n 1
sin
x, n = 1, 2, 3, . . .
2

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

BÀI TOÁN STURM-LIOUVILLE

TP. HCM — 2016.

12 / 45


Hệ Sturm-Liouville

Hệ Sturm-Liouville đầy đủ

VÍ DỤ 1.2
Xét bài tốn sau với phương trình Euler
x2 y 00 + xy 0 + λy = 0,

1 É x É e,

và điều kiện biên y(1) = 0, y(e) = 0. Tìm trị
riêng và hàm riêng tương ứng của bài tốn
này.
Ta có
a1 = x2 , a2 = x, a3 = 0.

Do đó, ta sẽ sử dụng phép biến đổi
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

BÀI TOÁN STURM-LIOUVILLE

TP. HCM — 2016.

13 / 45


Hệ Sturm-Liouville

Hệ Sturm-Liouville đầy đủ

x

¶
a2 (t)
dt = exp(ln x) = x,
p(x) = exp
1 a1 (t)
p(x) 1
a3 (x)
p(x) = 0, s(x) =
= ,
q(x) =
a1 (x)
a1 (x) x
µZ

Khi đó, phương trình Euler cú th chuyn v
dng Sturm-Liouville:
à
ả
d
dy
1
x
+ y = 0.
dx dx
x
TS. Lờ Xuân Đại (BK TPHCM)

BÀI TOÁN STURM-LIOUVILLE

TP. HCM — 2016.

14 / 45


Hệ Sturm-Liouville

Hệ Sturm-Liouville đầy đủ

Nghiệm của phương trình Euler
x2 y 00 + xy 0 + λy = 0,

là
y(x) = C1 x

p
i λ

1 É x É e,

+ C2 x

p
−i λ

.

Do
xia = eia ln x = cos(a ln x) + i sin(a ln x),

nên nghiệm y(x) có thể viết lại như sau:
p
p
y(x) = A cos( λ ln x) + B sin( λ ln x).

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

BÀI TOÁN STURM-LIOUVILLE

TP. HCM — 2016.

15 / 45


Hệ Sturm-Liouville

Hệ Sturm-Liouville đầy đủ

Điều kiện y(1) = 0 cho A = 0, còn điều kiện
y(e) = 0 cho
p
sin λ = 0, B 6= 0,

Do đó, trị riêng là
λn = n2 π2 , n = 1, 2, 3, . . .

và hàm riêng tương ứng là
sin(nπ ln x), n = 1, 2, 3, . . .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

BÀI TOÁN STURM-LIOUVILLE

TP. HCM — 2016.

16 / 45


H Sturm-Liouville

H Sturm-Liouville tun hon

NH NGHA 1.4
Phng trỡnh Sturm-Liouville
à
ả
d
dy
p
+ (q + λs)y = 0,
dx dx

a ≤ x ≤ b,

(17)

trong đó p(a) = p(b), cùng với điều kiện biên
tuần hoàn
y(a) = y(b),

y 0 (a) = y 0 (b)

được gọi là hệ Sturm-Liouville tuần hồn.
TS. Lê Xn Đại (BK TPHCM)

BÀI TỐN STURM-LIOUVILLE

TP. HCM — 2016.

17 / 45


Hệ Sturm-Liouville

Hệ Sturm-Liouville tuần hồn

VÍ DỤ 1.3
Xét hệ Sturm-Liouville tuần hoàn
y 00 + λy = 0,
y(−π) = y(π),

−π ≤ x ≤ π,
y 0 (−π) = y 0 (π)

Ta có p(x) = 1, nên p(−π) = p(π).

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

BÀI TOÁN STURM-LIOUVILLE

TP. HCM — 2016.

18 / 45


Hệ Sturm-Liouville

Hệ Sturm-Liouville tuần hồn

Nếu λ > 0 thì nghiệm của phương trình
Sturm-Liouville là
p
p
y(x) = A cos λx + B sin λx.

Với điều kiện biên tuần hồn, ta có
p
(2 sin λπ)B = 0,

p
p
(2 λ sin λπ)A = 0,

Để thu được nghiệm khơng tầm thường, thì

p
sin λπ = 0, A 6= 0, B 6= 0 ⇒ λn = n2 , n = 1, 2, 3, . . .
p
Vì sin λπ = 0 thỏa với mọi A và B, nên ta
được 2 hàm riêng độc lập tuyến tính cos nx
và sin nx tương ứng với cùng trị riêng λn = n2.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

BÀI TOÁN STURM-LIOUVILLE

TP. HCM — 2016.

19 / 45


Hệ Sturm-Liouville

Hệ Sturm-Liouville tuần hồn

Nếu λ < 0, thì nghiệm của phương trình
Sturm-Liouville khơng thỏa mãn điều
kiên biên tuần hồn.
Nếu λ = 0 thì hàm riêng tương ứng là 1.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

BÀI TOÁN STURM-LIOUVILLE

TP. HCM — 2016.

20 / 45