Toán tử Sturm-Liouville

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
- - - - - - - - - - - - - - - - - -
TRẦN THỊ MÂY
TOÁN TỬ STURM-LIOUVILLE
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01.02
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. NGUYỄN VĂN NGỌC
HÀ NỘI- 2013
Lời cám ơn
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc của mình tới TS. Nguyễn
Văn Ngọc, người đã tận tình giúp đỡ và chỉ bảo tôi trong suốt quá trình hoàn thành
luận văn tốt nghiệp. Qua đây, tôi cũng xin chân thành cám ơn sự giúp đỡ của các thầy
giáo, cô giáo trong tổ Toán giải tích trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học quốc
gia Hà Nội, những người đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại
trường.
Do mới làm quen với công tác nghiên cứu khoa học và còn hạn chế về thời gian
thực hiện nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả kính mong nhận
được ý kiến đóng góp của thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn.
Hà Nội, năm 2013
1
Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1 Lý thuyết phổ đối với trường hợp chính quy 4
1.1 Khái niệm về bài toán Sturm-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Dáng điệu tiệm cận của giá trị riêng và hàm riêng . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Lý thuyết Sturm trên các không điểm của các nghiệm . . . . . . . . . . 14

1.4 Bài toán tuần hoàn và nửa tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.1 Số bội của những giá trị riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.2 Các không điểm của các hàm riêng . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5 Chứng minh định lý về sự khai triển bằng phương pháp phương trình
tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6 Chứng minh định lý về sự khai triển trong trường hợp tuần hoàn . . . 32
2 Một số ví dụ và bài toán áp dụng lý thuyết phổ đối với trường hợp
chính quy 35
2.1 Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1.1 Các ví dụ đơn giản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1.2 Các ví dụ phức tạp hơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2 Phương trình dao động của một dây (thanh) hữu hạn . . . . . . . . . . 42
2.2.1 Nghiệm của bài toán dao động của một dây . . . . . . . . . . . 42
2.2.2 Tính duy nhất nghiệm của bài toán dao động của một dây . . . 45
2.3 Phương trình truyền nhiệt của dây hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.3.1 Nghiệm của bài toán truyền nhiệt . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.3.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình truyền nhiệt . 53
2.4 Phương trình Laplace trong hình chữ nhật . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2
Mở đầu
Lý thuyết toán tử là một lĩnh vực quan trọng của giải tích. Ngày nay, nhiều ngành
của giải tích không thể tách rời lý thuyết toán tử, đáng chú ý phải kể đến phép tính
biến phân, lý thuyết biến đổi và các phương trình vi phân. Các ngành này đều phát
triển sau lý thuyết toán tử đến hàng thế kỉ. Vì thế, không phải ngạc nhiên khi nhiều
vấn đề của lý thuyết toán tử được giới thiệu trong các ngành này. Phương trình vi phân
và phương pháp tính nhiều biến được phát triển nhờ sự đóng góp to lớn của Euler,
Lagrange và gia đình Bernoulli.
Mối liên hệ đáng chú ý đầu tiên của các giá trị riêng với các phương trình vi phân

được nhắc đến trong lý thuyết phát triển bởi Charles Francois Sturm năm 1836 và
Joseph Liouville năm 1838. Đây là một bước liên hệ rất có ý nghĩa, bởi vì không giống
trường hợp không gian cơ sở là vô hạn chiều, ở đó cho phép các vấn đề không thể phát
triển được trong trường hợp của đại số tuyến tính.
Lý thuyết Sturm-Liouville được bắt đầu với lý thuyết phổ của các toán tử vi phân
thường. Lý thuyết phổ của toán tử Sturm-Liouville là một lĩnh vực cổ điển của giải
tích, bao gồm một lớp rộng các bài toán. Nhiều bài toán phương trình đạo hàm riêng
trong cơ học, lượng tử được đưa về bài toán biên Sturm-Liouville.
Bởi tầm quan trọng của toán tử Sturm-Liouville và được sự gợi ý, hướng dẫn của
TS. Nguyễn Văn Ngọc nên tôi đã thực hiện đề tài "Toán tử Sturm-Liouville" để
hoàn thành luận văn tốt nghiệp cao học chuyên ngành Toán giải tích của mình. Luận
văn bao gồm hai chương.
Chương 1 trình bày các vấn đề cơ bản trong lý thuyết phổ của toán tử Sturm-
Liouville đối với trường hợp chính quy, bao gồm đáng điệu tiệm cận của giá trị riêng
và hàm riêng, và các định lý khai triển hàm riêng. Bài toán Sturm-Liouville tuần hoàn
và nửa tuần hoàn cũng được giới thiệu trong chương này.
Chương 2 trình bày một số ví dụ và bài toán áp dụng lý thuyết phổ đối với trường
hợp chính quy. Đặc biệt, trong chương này bài toán truyền sóng, bài toán truyền nhiệt,
phương trình Laplace trong hình chữ nhật cũng được đưa về bài toán biên Sturm-
Liouville bằng phương pháp tách biến.
3
Chương 1
Lý thuyết phổ đối với trường hợp
chính quy
1.1 Khái niệm về bài toán Sturm-Liouville
1.1.1 Khái niệm
Định nghĩa 1.1.1. Cho L là một toán tử tuyến tính được xác định trên một tập hợp
đã biết của các phần tử. Một phần tử y = 0 được gọi là một vectơ riêng của L nếu
Ly = λy, và λ được gọi là giá trị riêng tương ứng của L.
Một trong những toán tử đơn giản nhất thường được sử dụng trong ứng dụng là

L = −
d
2
dx
2
+ q (x) .
Toán tử này được gọi là toán tử Sturm-Liouville.
Giả sử rằng q (x) là một hàm giá trị thực và liên tục trên đoạn [a, b].
Những điều kiện giá trị biên quan trọng nhất cho toán tử là
1. y (a) cosα + y

(a) sin α = 0, y (b) cosβ + y

(b) sin β = 0, ở đó α và β là hai số thực
tùy ý, và
2. y (a) = y (b), y

(a) = y

(b).
Định nghĩa 1.1.2. Bài toán giá trị biên
Ly (x) = −y

+ q (x) y = λy, (1.1)
y (a) cosα + y

(a) sin α = 0,
y (b) cosβ + y

(b) sin β = 0,

(1.2)
được gọi là bài toán Sturm-Liouville.
4
Bài toán Sturm-Liouville được gọi là chính quy nếu đoạn [a, b] là hữu hạn và hàm
q (x) là khả tổng trên đoạn đó. Ngược lại, nếu đoạn [a, b] là vô hạn, hoặc nếu q (x) là
không khả tổng trên đoạn đó, hoặc cả hai thì bài toán Sturm-Liouville được gọi là kì
dị.
1.1.2 Tính chất
Chúng ta xét bài toán giá trị biên (1.1) , (1.2). Không mất tổng quát, có thể giả sử
rằng a = 0 và b = π.
Thực tế đoạn [a, b] được ánh xạ vào đoạn [0, π] bởi phép thế t =
x−a
b−a
π, phép thế
này không làm thay đổi dạng của (1.1) , (1.2).
Nếu bài toán giá trị biên có một nghiệm không tầm thường y (x, λ
1
) = 0 với λ
1
đã
biết, thì khi đó λ
1
được gọi là một giá trị riêng, và y (x, λ
1
) = 0 được gọi là hàm riêng
của (1.1) , (1.2).
Bổ đề 1.1.1. Hai hàm riêng y (x, λ
1
) = 0 và y (x, λ
2

) = 0 tương ứng với những giá trị
riêng khác nhau là trực giao, tức là
π

0
y (x, λ
1
)y (x, λ
2
) dx = 0, λ
1
= λ
2
.
Chứng minh. Lấy f (x) và g (x) là các hàm liên tục và khả vi hai lần. Đặt
Lf = −f

(x) + q (x) f (x) .
Tích phân từng phần hai lần, chúng ta có
π

0
Lf.g (x)dx = W
π
{f, g}−W
0
{f, g}+
π

0

Lg.f (x)dx, (1.5)
ở đó
W
x
{f, g} =





f (x) g (x)
f

(x) g

(x)





.
Lấy f (x) = y (x, λ
1
) và g (x) = y (x, λ
2
) . Từ điều kiện biên (1.2) ta có W
0
{f, g} =
W

π
{f, g} = 0. Do đó, từ (1.5) , ta có
(λ
1
− λ
2
)
π

0
y (x, λ
1
)y (x, λ
2
) dx = 0.
Vì λ
1
= λ
2
nên ta có điều phải chứng minh.
5
Bổ đề 1.1.2. Các giá trị riêng của bài toán giá trị biên (1.1) , (1.2) là thực.
Chứng minh. Lấy λ
1
= u + iv là một giá trị riêng phức. Vì q (x) có giá trị thực và
α, β là thực, nên λ
2
= λ
1
= u − iv cũng là một giá trị riêng, tương ứng với hàm riêng

y (x, λ
1
). Khi đó, từ bổ đề trước ta có
π

0
|y (x, λ
1
)|
2
dx = 0;
do đó, y (x, λ
1
) ≡ 0, mâu thuẫn với y (x, λ
1
) là một hàm riêng. Vậy ta có điều phải
chứng minh.
Định lý 1.1.1. Nếu q (x) là một hàm liên tục trên đoạn [a, b], khi đó với bất kì α,
tồn tại duy nhất một nghiệm ϕ (x, λ) , a ≤ x ≤ b, của phương trình (1.1), sao cho
ϕ (a, λ) = sin α và ϕ

(a, λ) = −cosα.
Với bất kì x cố định thuộc đoạn [a, b], ϕ (x, λ) là một hàm nguyên của λ.
1.2 Dáng điệu tiệm cận của giá trị riêng và hàm
riêng
Đặt cot α = −h và cot β = H. Các điều kiện biên (1.2) có thể được viết dưới dạng
y

(0) −hy (0) = 0, y


(π) + Hy (π) = 0. (2.1)
Biểu thị nghiệm của (1.1) thỏa mãn điều kiện ban đầu
ϕ (0, λ) = 1, ϕ

x
(0, λ) = h (2.2)
và
ψ (0, λ) = 0, ψ

x
(0, λ) = 1. (2.3)
Bổ đề 1.2.1. Cho λ = s
2
. Khi đó
ϕ (x, λ) = cos sx +
h
s
sin sx +
1
s
x

0
sin [s (x −τ)]q (τ) ϕ (τ, λ) dτ, (2.4)
ψ (x, λ) =
sin sx
s
+
1
s

x

0
sin [s (x −τ)]q (τ) ψ (τ, λ) dτ. (2.5)
6
Chứng minh. Để chứng minh (2.4), chúng ta chú ý rằng, ϕ (x, λ) thỏa mãn (1.1), do
đó ta có
x

0
s
in [s (x −τ)]q (τ) ϕ (τ, λ) dτ
=
x

0
s
in [s (x −τ)]ϕ

τ
(τ, λ) dτ + s
2
x

0
s
in [s (x −τ)]ϕ (τ, λ) dτ.
Hai lần lấy tích phân từng phần cho tích phân đầu tiên ở vế phải và sử dụng (2.2),
chúng ta có
x


0
s
in [s (x −τ)]q (τ) ϕ (τ, λ) dτ = −h sin sx + sϕ (x, λ) −s cos sx,
từ đây ta có công thức (2.4). (2.5) có thể được chứng minh tương tự.
Bổ đề 1.2.2. Cho s = σ + it. Khi đó, tồn tại s
0
> 0 sao cho, với |s| > s
0
, các ước
lượng
ϕ (x, λ) = O

e
|t|x

, ψ (x, λ) = O

|s|
−1
e
|t|x

(2.6)
là hợp lệ; một cách chính xác hơn là
ϕ (x, λ) = cos sx + O

e
|t|x
|s|


,
ψ (x, λ) =
sin sx
s
+ O

e
|t|x
|s|
2

.
(2.7)
Tất cả các ước lượng là đều đối với x thuộc đoạn [0, π].
Chứng minh. Đặt ϕ (x, λ) = e
|t|x
f (x) . Từ (2.4) ta có
f (x) =

cos sx +
h
s
sin sx

e
−|t|x
+
1
s

x

0
sin [s (x −τ)]e
−|t|(x−τ)
q (τ ) f (τ) dτ.
Lấy µ = max
0≤x≤π
|f (x)|. Khi đó, từ đẳng thức trên ta nhận được
µ ≤ 1 +
|h|
|s|
+
µ
|s|
x

0
|q (τ )|dτ;
do đó
µ ≤

1 +
|h|
|s|



1 −
1

|s|
π

0
|q (τ )|dτ


−1
,
7
với điều kiện mẫu số dương, hay
|s| ≥
π

0
|q (τ )|dτ.
Bởi vậy (2.6) được chứng minh cho ϕ (x, λ), có thể chứng minh tương tự cho ψ (x, λ)
bằng việc sử dụng (2.5). Ước lượng (2.7) thu được bằng việc thay thế (2.6) trong tích
phân ở vế phải của (2.4) và (2.5).
Rõ ràng sự khai triển tiệm cận nói chung của ϕ (x, λ) và ψ (x, λ) như hàm của s có
thể thu được bằng việc lặp lại quy trình.
Bây giờ chúng ta sẽ nhận được công thức tiệm cận cho những giá trị riêng và hàm
riêng, trong trường hợp đặc biệt, công thức này chứng minh sự tồn tại vô hạn giá trị
riêng.
Trước tiên, chúng ta giả sử rằng h = ∞ và H = ∞. Hàm ϕ (x, λ) rõ ràng thỏa mãn
điều kiện biên đầu tiên trong (2.1) với λ bất kì. Bởi vậy, chúng ta tìm được giá trị riêng
bằng phép thay thế ϕ (x, λ) trong điều kiện thứ hai của (2.1) .
Từ Bổ đề 1.1.2, những giá trị riêng là thực, tức là Ims = t = 0. Do đó ước lượng
đầu tiên trong (2.7) đưa đến công thức
ϕ (x, λ) = cos sx + O


s
−1

. (2.8)
Lấy vi phân (2.4) đối với x và sử dụng (2.8), ta thu được ước lượng
ϕ

x
(x, λ) = −s sin sx + O (1) . (2.9)
Bây giờ, thay thế giá trị của ϕ (x, λ) và ϕ

x
(x, λ), được xác định bởi (2.7) và (2.9),
trong điều kiện của (2.1), chúng ta đi đến phương trình
−s sin sπ + O (1) = 0, (2.10)
phương trình này rõ ràng có những nghiệm gần nguyên với s lớn, do đó, sự tồn tại vô
hạn những giá trị riêng đã được chứng minh.
Bây giờ chúng ta sẽ chỉ ra rằng, từ một số nguyên đủ lớn N đã biết, chỉ có một
nghiệm của (2.10) gần với mỗi số nguyên n > N. Vi phân vế trái của (2.10) theo biến
s, chúng ta thu được −πs cos sπ + O (1). Ta thấy rằng biểu thức này không triệt tiêu
nếu s gần với những số nguyên lớn.
Lấy s
n
là nghiệm thứ n của (2.10). Từ định lý Sturm (Phần 3) và từ công thức
tiệm cận cho những hàm riêng ta có s
n
gần với n, và không gần với bất kì số nguyên
khác. Phép chứng minh khác, không dựa trên cơ sở lý thuyết Sturm có thể thu được
như sau.

8
Chúng ta chú ý rằng giá trị riêng λ thỏa mãn
ϕ (π, λ) + Hϕ

x
(π, λ) = ω (λ) = 0.
Đặt λ = s
2
. Khi đó ω (λ) = ω
1
(s), hàm này, theo (2.4), là một hàm nguyên của s.
Cũng từ công thức tiệm cận (2.8) và (2.9), với sin πs = 0, ta có
ω
1
(s) = −Hs sin sπ

1 + O

|s|
−1

. (2.11)
Lấy đường tròn D
R
bán kính R = N +
1
2
trong s-phẳng, ở đó N là một số tự nhiên. Từ
Định lý Rouche và công thức tiệm cận (2.11), ta thấy có nhiều không điểm của ω
1

(s)
bên trong D
R
như của hàm s sin sπ, tức là 2 (N + 1). Hàm ω
1
(s) là hàm chẵn, do đó
chúng ta chỉ cần xét nghiệm dương của nó. Mỗi không điểm dương là liên hợp với một
giá trị riêng, và chúng ta có N + 1 giá trị riêng s
k
nhỏ hơn N +
1
2
. Ta có
s
n
= n + O (1) . (2.12)
Thật vậy, lấy s
n
= m
n
+O (1) , m
n
= n. Mặt khác, có n+1 giá trị riêng s
k
(k = 0, 1, , n)
nhỏ hơn s
n
. Từ trên ta thấy rằng phải có 2 (m
n
+ 1) không điểm của ω

1
(s) trong một
đĩa bán kính m
n
+
1
2
, tức là phải có m
n
+ 1 = n + 1 giá trị riêng s
k
nhỏ hơn s
n
, mâu
thuẫn, và (2.12) được chứng minh.
Đặt s
n
= n + δ
n
. Phương trình (2.10) khi đó đưa về dạng
(n + δ
n
) sin δ
n
π + O (1) = 0.
Do đó sin δ
n
π = O (n
−1
), tức là δ

n
= O (n
−1
).
Như vậy, với n lớn, các nghiệm của (2.10) là
s
n
= n + O

n
−1

. (2.13)
Công thức tiệm cận (2.13) có thể được làm tăng thêm nhiều nếu chúng ta giả sử rằng
đạo hàm của q (x) trong (1.1) là bị chặn. Thật vậy, vi phân (2.4) theo biến x và thay
thế ϕ (x, λ) và ϕ

x
(x, λ) trong điều kiện biên thứ hai của (2.1), chúng ta thu được phép
biến đổi đơn giản sau
(−s + B)
s
insπ + A cos sπ = 0, (2.14)
ở đó
A = h + H +
π

0

cos sτ +

H
s
s
insτ

q (τ ) ϕ (τ, λ) dτ,
B =
hH
s
+
π

0

s
insτ +
H
s

q (τ ) ϕ (τ, λ) dτ.
9
Bởi (2.8) nên
A = h + H +
1
2
π

0
q (τ )dτ +
1

2
π

0
q (τ )cos2sτdτ + O

1
s

,
B =
1
2
π

0
q (τ ) sin 2sτdτ + O

1
s

.
Vì q (x) có đạo hàm bị chặn bởi giả thiết, lấy tích phân từng phần, chúng ta có
π

0
q (τ )cos2sτdτ = O

1
s


,
π

0
q (τ ) sin 2sτdτ = O

1
s

,
và
A = h + H + h
1
+ O

1
s

, h
1
=
1
2
π

0
q (τ )dτ, B = O

1

s

.
Bởi vậy, phương trình (2.14) có thể được viết dưới dạng sau
t
ansπ =

h + H + h
1
+ O

1
s


s + O

1
s

.
Đặt s
n
= n + δ
n
, chúng ta thu được
tan πδ
n
=
h + H + h

1
n
+ O

1
n
2

.
Do đó,
δ
n
=
h + H + h
1
πn
+ O

1
n
2

và
s
n
= n +
c
n
+ O


1
n
2

, (2.15)
ở đó
c =
1
π


h + H +
1
2
π

0
q (τ ) dτ


.
Giả sử rằng q (x) ∈ C
2
([0, π]), chúng ta có thể chứng minh rằng phương trình tiệm
cận đúng đắn hơn là
s
n
= n +
c
n

+
c
1
n
3
+ O

1
n
4

ở đó c
1
là một hằng số.
10
Sử dụng công thức (2.15), chúng ta thu được công thức tiệm cận cho hàm riêng
ϕ (x, λ
n
) ≡ ϕ
n
(x), Thay thế biểu thức ϕ (x, λ) từ (2.8) vào (2.4), và vì q (x) khả vi nên
chúng ta thu được
ϕ (x, λ) = cos sx +
h
s
sin sx +
1
s
π


0
sin [s (x −τ)] cos sτq (τ ) dτ + O

1
s
2

= cos sx +
h
s
sin sx +
sin sx
2s
π

0
q (τ ) dτ + O

1
s
2

.
Thay s
n
cho s, từ (2.15) chúng ta nhận được
ϕ (x, λ
n
) ≡ ϕ
n

(x) = cos nx −
cx
n
sin nx +
h
n
sin nx +
sin nx
2n
x

0
q (τ )dτ + O

1
n
2

= cos nx +
β (x)
n
sin nx + O

1
n
2

,
ở đó β (x) = −cx + h +
1

2
x

0
q (τ )dτ.
Để nhận được sự khai triển tiệm cận của các hàm riêng thông thường, chúng ta xét
tích phân
α
2
n
=
π

0
ϕ
2
n
(x) dx =
π

0
cos
2
nxdx +
1
n
π

0
β (x) sin 2nxdx + O


1
n
2

.
Vì hàm β (x) là khả vi, nên
π

0
β (x) sin 2nxdx = O

1
n

.
Do đó, α
2
n
=
π
2
+ O

1
n
2

,
1

α
n
=

2
π

1 + O

1
n
2

,
và công thức tiệm cận cho các hàm riêng thông thường là
v
n
(x) =
1
α
n
ϕ
n
(x) =

2
π

cos nx +
β (x)

n
sin nx

+ O

1
n
2

.
Bây giờ chúng ta sẽ xét trường hợp h = ∞, H = ∞ (trường hợp h = ∞, H = ∞
được biến đổi đến trường hợp này bằng phép thế t = π − x). Điều kiện biên đầu tiên
trong (2.1) đưa đến công thức y (0) = 0.
11
Hàm ψ (x, λ) của phần trước thỏa mãn điều kiện này. Do đó, chúng ta sẽ xác định
giá trị riêng trong trường hợp này bằng phép thế ψ (x, λ) trong điều kiện biên thứ hai
của (2.1). Vi phân đẳng thức (2.5) theo biến x chúng ta thu được
ψ

x
(x, λ) = cos sx +
x

0
cos [s (x −τ)]q (τ) ψ (τ, λ) dτ.
Từ điều kiện biên thứ hai của (2.1) ta có
cos sπ +
π

0

cos [s (π − τ)]q (τ) ψ (τ, λ) dτ
+ H



s
insπ
s
+
1
s
π

0
sin [s (π − τ)]q (τ) ψ (τ, λ) dτ



= 0.
Chúng ta có
cos sπ +
1
s
π

0
cos [s (π − τ)]q (τ)
s
insτdτ + H
s

insπ
s
+ O

1
s
2

= 0, (2.16)
cũng dựa trên ước lượng (2.7) đối với ψ (x, λ) .
Lại giả sử rằng q (x) có đạo hàm bị chặn, chúng ta nhận được
π

0
q (τ ) cos [s (π −τ )]
s
insτdτ =
s
insπ
2
π

0
q (τ )dτ + O

1
s

.
Bởi vậy, phương trình (2.16) cho ta

cos sπ +
s
insπ
s


H +
1
2
π

0
q (τ )dτ


+ O

1
s
2

= cos sπ + H
1
s
insπ
s
+ O

1
s

2

= 0,
(2.17)
Có thể thấy rằng, với s lớn, các nghiệm của (2.17) gần với n +
1
2
, ở đó n là một số tự
nhiên. Hơn nữa, như đã chứng minh trước, với n đủ lớn chỉ có một nghiệm của phương
trình gần với mỗi n +
1
2
.
Đặt s
n
= n +
1
2
+ δ
n
. Từ (2.17) ta có
cot

n +
1
2
+ δ
n

π = −tan δ

n
π = −
H
1
n +
1
2
+ O

n
−2

và δ
n
=
H
1
π
(
n+
1
2
)
+ O (n
−2
); do đó
s
n
= n +
1

2
+
H
1
π

n +
1
2

+ O

n
−2

,
12
ở đó H
1
= H +
1
2
π

0
q (τ )dτ.
Bây giờ, thay s
n
trong (2.5), chúng ta thu được công thức tiệm cận
ψ

n
(x) =
1
n +
1
2
sin

n +
1
2

x + O

1
n
2

với những hàm riêng ψ (x, λ
n
) ≡ ψ
n
(x) . Công thức cho α
−1
n
là
1
α
n
=


2
π

n +
1
2

1 + O

1
n

.
Do đó, các hàm đã chuẩn hóa là
v
n
(x) =
1
α
n
ψ
n
(x) =

2
π
sin

n +

1
2

x + O

1
n

.
Cuối cùng, chúng ta nghiên cứu trường hợp h = ∞ và H = ∞, ở đó điều kiện biên
(2.1) có dạng y (0) = y (π) = 0, do đó, hàm ψ (x, λ) của phần trước cũng thỏa mãn
điều kiện ψ (π, λ) = 0. Từ (2.5) ta có
s
insπ +
π

0
sin [s (π − τ)]q (τ) ψ (τ, λ) dτ = 0,
hoặc
s
insπ


1 +
π

0
cos sτq (τ) ψ (τ, λ) dτ



− cos sπ
π

0
sin sτq (τ) ψ ( τ, λ) dτ = 0.
Từ phương trình cuối và ước lượng (2.7) đối với ψ (x, λ), ta có
sinsπ −
1
2s
cos sπ
π

0
q (τ ) dτ + O

1
s
2

=
s
insπ −
c
s
cos sπ + O

1
s
2


= 0, (2.18)
với giả sử rằng q (x) có đạo hàm bị chặn.
Đây là một phương trình có dạng như (2.10). Tiếp tục như trước, chúng ta thiết
lập các nghiệm của (2.18) gần với các số nguyên, và bắt đầu với số nguyên n đủ lớn,
chỉ có một nghiệm gần với n. Do đó, các nghiệm s
n
của (2.18) là
s
n
= n +
c
n
+ O

1
n
2

, c =
1
2π
π

0
q (τ )dτ. (2.19)
Thế s
n
trong (2.5), chúng ta thu được công thức tiệm cận
ψ
n

(x) =
sin nx
n
+ O

1
n
2

với hàm riêng ψ (x, λ
n
) ≡ ψ
n
(x), và công thức
v
n
(x) =

2
π
sin nx + O

1
n

với các hàm riêng đã chuẩn hóa.
13
1.3 Lý thuyết Sturm trên các không điểm của các
nghiệm
Nghiên cứu sâu hơn sự phân phối của các không điểm của hàm riêng cho phép

Sturm chứng minh sự tồn tại của vô hạn các giá trị riêng của bài toán giá trị biên
(1.1), (1.2) theo cách khác.
Trong phần này chúng ta xét bài toán giá trị biên đơn giản nhất
y

+ λy = 0, y

(0) = y

(π) = 0
với các hàm riêng
ϕ
0
(x) = 1, ϕ
1
(x) = cos x, ϕ
2
(x) = cos 2x, , ϕ
n
(x) = cos nx,
và các giá trị riêng tương ứng
λ
0
= 0, λ
1
= 1
2
, λ
2
= 2

2
, , λ
n
= n
2
,
Các hàm riêng được sắp thứ tự theo các giá trị riêng tăng dần, bắt đầu từ 0. Các không
điểm của chúng có hai tính chất sau:
(1) Hàm riêng thứ n trong đoạn [0, π] có đúng n không điểm, và
(2) Các không điểm của hàm riêng thứ n và n + 1 đan xen nhau, tức là có một không
điểm của hàm riêng thứ n + 1 nằm giữa hai không điểm liên tiếp của hàm riêng thứ n.
Những tính chất này cũng được trang bị hợp lệ trong trường hợp tổng quát.
Định lý Sturm cơ bản sau đây là phần quan trọng nhất:
Định lý 1.3.1. Cho
u

+ g (x) u = 0 (3.1)
v

+ h (x) v = 0 (3.2)
trong toàn bộ đoạn [a, b], nếu g (x) < h (x), thì có ít nhất một không điểm của mỗi
nghiệm của (3.2) nằm giữa hai không điểm của nghiệm không tầm thường bất kì của
(3.1).
Chứng minh. Nhân (3.1) với v, (3.2) với u, và trừ cho nhau, chúng ta thu được
u

v −v

u =
d

dx
(u

v −v

u) = [h (x) − g (x)] uv (3.3)
Kí hiệu các không điểm liên tiếp của u là x
1
và x
2
. Khi đó, lấy tích phân từng phần
đồng nhất thức (3.3) từ x
1
đến x
2
, chúng ta thu được
u

(x
2
) v (x
2
) −u

(x
1
) v (x
1
) =
x

2

x
1
[h (x) − g (x)]u (x) v (x) dx.
14
Giả sử rằng v không bị triệt tiêu trong (x
1
, x
2
). Không mất tổng quát, chúng ta có
thể giả sử rằng u > 0 và v > 0 trong (x
1
, x
2
). Do đó vế phải của phương trình cuối là
dương. Vì u (x) > 0 bởi giả thiết, hàm tăng tại x
1
. Do vậy, u

(x
1
) > 0 (nó không thể
triệt tiêu, bởi vì khi đó từ định lý về tính duy nhất nghiệm của (3.1) ta có u (x) ≡ 0,
điều này không thể xảy ra). Tương tự, u

(x
2
) < 0. Do đó,
u


(x
2
) v (x
2
) −u

(x
1
) v (x
1
) ≤ 0;
mâu thuẫn. Như vậy, định lý được chứng minh.
Hệ quả 1.3.1. Bất kì nghiệm của phương trình
y

+ g (x) y = 0, −∞ ≤ a ≤ x ≤ b ≤ +∞, (3.4)
với g (x) < −m
2
< 0 không thể có nhiều hơn một không điểm.
Chứng minh. Thật vậy, phương trình y

− m
2
y = 0 có nghiệm e
mx
không triệt tiêu
tại bất kì đâu. Do đó, từ định lý trên, bất kì nghiệm của (3.4) không thể có hơn một
không điểm trong bất kì đoạn hữu hạn nào.
Định lý 1.3.2. (Định lý so sánh.) Cho u (x) là nghiệm của phương trình (3.1), thỏa

mãn điều kiện ban đầu
u (a) = sin α, u

(a) = −cosα (3.5)
và cho v (x) là nghiệm của phương trình (3.2) với điều kiện biên tương tự. Hơn nữa,
giả sử rằng g (x) < h (x) trên toàn bộ đoạn [a, b]. Khi đó, nếu u (x) có m không điểm
trong (a, b], thì v (x) có không ít hơn m không điểm cũng trên khoảng đó và không điểm
thứ k của v (x) nhỏ hơn không điểm thứ k của u (x).
Chứng minh. Lấy x
1
là không điểm của hàm u (x) gần với a (nhưng khác a). Định lý
trước đủ để chỉ ra rằng v (x) có ít nhất một không điểm trong [a, x
1
]. Giả sử ngược lại,
không giảm tổng quát, chúng ta có thể lấy v (x) > 0 và u (x) > 0 trong đoạn [a, x
1
].
Vì u (x
1
) = 0, hàm u (x) giảm trong lân cận của điểm x
1
. Do đó, u

(x
1
) ≤ 0. Lấy tích
phân đồng nhất thức (3.3) từ a đến x
1
, chúng ta thu được
u


(x
1
) v (x
1
) =
x
1

a
[h (x) − g (x)]u (x) v (x) dx.
Từ giả thiết, v (x) > 0 và u (x) > 0 trong [a, x
1
], và h (x) > g (x), ta có vế phải của
phương trình cuối là dương. Tuy nhiên, biểu thức ở vế trái nhỏ hơn hoặc bằng 0, mâu
thuẫn. Như vậy, định lý được chứng minh.
15
Cho ϕ (x, λ) là hàm được đưa ra ở Phần 2. Xét phương trình ϕ (x, λ) = 0, a ≤ x ≤ b.
Rõ ràng các nghiệm của phương trình này là các hàm của λ. Chúng ta sẽ chứng minh
chúng liên tục.
Bổ đề 1.3.1. Nếu x
0
∈ (a, b) là một nghiệm của hàm ϕ (x, λ
0
) thì với một số ε > 0 đủ
nhỏ, tồn tại một số δ > 0 sao cho, với |λ − λ
0
| < δ, hàm ϕ (x, λ) có đúng một không
điểm trong khoảng |x − x
0

| < ε.
Chứng minh. Không điểm x
0
của nghiệm ϕ (x, λ
0
) của phương trình (1.1) là đơn, vì
nếu chúng ta có ϕ

x
(x
0
, λ
0
) = 0, thì từ định lý về tính duy nhất nghiệm của bài toán
(1.1), (3.5), ta có ϕ (x, λ
0
) ≡ 0. Bởi vậy, ϕ

x
(x
0
, λ
0
) = 0. Từ định nghĩa, chúng ta đặt
ϕ

x
(x
0
, λ

0
) > 0. Cho ε > 0 đủ nhỏ để ϕ

x
(x, λ
0
) > 0 trong toàn bộ khoảng |x −x
0
| ≤ ε.
Khi đó ϕ (x
0
− ε, λ
0
) < 0 và ϕ (x
0
+ ε, λ
0
) > 0.
Hơn nữa, vì ϕ

(x, λ) liên tục đối với λ (theo Định lý 1.1.1, ϕ (x, λ) là hàm nguyên
của λ), có δ > 0 sao cho, với |λ − λ
0
| ≤ δ, ϕ

x
(x, λ) cũng dương trên toàn bộ khoảng
|x −x
0
| ≤ ε. Bởi vậy, hàm tăng đơn điệu ϕ (x, λ) rõ ràng không thể có hai không điểm

trong khoảng này. Hơn nữa, nếu chúng ta chọn δ nhỏ để sao cho với |λ −λ
0
| < δ, hàm
ϕ (x
0
− ε, λ
0
) âm, và ϕ (x
0
+ ε, λ
0
) dương (điều này có thể có được do tính liên tục của
ϕ (x, λ) đối với λ), thì từ bổ đề ta có: Nghiệm ϕ (x, λ) với |λ − λ
0
| < δ có đúng một
không điểm trong đoạn [x
0
− ε, x
0
+ ε]. Như vậy, bổ đề được chứng minh.
Sau đây là một kết quả quan trọng.
Hệ quả 1.3.2. Khi λ thay đổi, ϕ (x, λ) có thể mất đi hoặc thu được không điểm chỉ
nếu không điểm nhận bên trong khoảng hoặc bên ngoài khoảng thông qua một trong
những điểm đầu mút a, b.
Sau đây chúng ta sẽ chứng minh sự tồn tại của vô hạn các giá trị riêng.
Định lý 1.3.3. Có một dãy tăng vô hạn các giá trị riêng λ
0
, λ
1
, , λ

n
, của bài toán
giá trị biên (1.1), (1.2), và các hàm riêng tương ứng với giá trị riêng λ
m
có đúng m
không điểm trong khoảng a < x < b.
Chứng minh. Cho ϕ (x, λ) là nghiệm của phương trình (1.1), thỏa mãn điều kiện ban
đầu (3.5). Từ Định lý 1.3.2, vì λ tăng, số các không điểm của hàm ϕ (x, λ) không giảm.
Lấy |q (x)| < c với a ≤ x ≤ b. So sánh (1.1) với phương trình y

+(λ + c) y = 0. Nghiệm
của nó thỏa mãn điều kiện ban đầu (3.5) là hàm
y = sin α. cosh

(−λ −c)
1
2
(x −a)

− cosα.(−λ −c)
1
2
sinh

(−λ −c)
1
2
(x −a)

.

Với λ âm có giá trị tuyệt đối đủ lớn, y tuyệt đối không bị triệt tiêu. Bởi vậy, áp dụng
Định lý 1.3.2, chúng ta thấy rằng ϕ (x, λ) không bằng 0 với những giá trị này của λ.
16
Tuy nhiên, lựa chọn phương trình y

+ (λ − c) y = 0, chúng ta thấy rằng số không
điểm của ϕ (x, λ) trong đoạn [a, b] tăng lên vô hạn nếu λ dương và tăng vô hạn.
Xét phương trình ϕ (x, λ) = 0. Từ Bổ đề 1.3.1 ta thấy rằng các nghiệm của nó
phụ thuộc liên tục vào λ. Mặt khác, từ Định lý 1.3.2, khi λ tăng, mỗi không điểm của
ϕ (x, λ) dịch chuyển về bên trái nhưng không qua điểm a, vì số các không điểm không
giảm. Từ hệ quả của Bổ đề 1.3.1, các không điểm mới được đưa vào qua điểm b. Lấy
µ
0
là giá trị đầu tiên của tham số λ sao cho ϕ (b, µ
0
) = 0.
Hiển nhiên là tồn tại một giá trị như thế. Lấy µ
1
là giá trị thứ hai của λ với
ϕ (b, µ
1
) = 0. Dãy giá trị µ
0
, µ
1
, , µ
m
, có tính chất hàm ϕ (x, µ
m
) có đúng m không

điểm bên trong đoạn [a, b], và ϕ (b, µ
m
) = 0. Nếu sin β = 0, thì điều kiện biên thứ hai
trong (1.2) xảy ra (điều kiện biên đầu tiên xảy ra bởi vì có (3.5)); bởi vậy µ
m
là giá trị
riêng, và định lý được chứng minh trong trường hợp này.
Bây giờ, giả sử rằng sin β = 0, và u (x) , v (x) là những hàm được xét trong Định lý
1.3.2. Khi đó
d
dx

u
2

u

u
−
v

v

= 2uu


u

u
−

v

v

+ u
2

u

u
−
v

v

− u
2

u

2
u
2
−
v

2
v
2


=
(u

v −uv

)
2
v
2
+ u
2
[h (x) − g (x)] > 0. (3.6)
Bởi vậy hàm u
2

u

u
−
v

v

đơn điệu tăng trong bất kì đoạn nào mà ở đó v không bị triệt
tiêu. Giả sử rằng u (x) và v (x) có cùng số không điểm trong [a, b].
Lấy x
ν
là nghiệm của u (x) gần nhất với điểm b. Chúng ta chỉ ra rằng hàm v (x)
không thể có bất kì không điểm nào với x
ν

≤ x ≤ b. Thật vậy, từ Định lý 1.3.2, có ít
nhất ν không điểm của v (x) ở giữa a và x
ν
. Nếu v (x) bị triệt tiêu với x
ν
≤ x ≤ b, nó
sẽ có nhiều hơn số không điểm trong toàn bộ [a, b] so với u (x), trái giả thiết.
Lấy tích phân (3.6) từ x
ν
đến b, chúng ta thu được
u
2
(b)

u

(b)
u (b)
−
v

(b)
v (b)

≥ u
2
(x
ν
)


u

(x
ν
)
u (x
ν
)
−
v

(x
ν
)
v (x
ν
)

= 0.
Do đó,
u

(b)
u (b)
>
v

(b)
v (b)
. (3.7)

Lấy ϕ (x, λ

) = u (x) và ϕ (x, λ

) = v (x), ở đó µ
m
< λ

< λ

< µ
m+1
.
Theo (3.7), hàm
ϕ

(b,λ)
ϕ(b,λ)
đơn điệu giảm trong (µ
m
, µ
m+1
). Vì ϕ (b, µ
m
) = ϕ (b, µ
m+1
) =
0, hàm giảm từ +∞ đến −∞. Bởi vậy, tồn tại một giá trị λ
m
bên trong (µ

m
, µ
m+1
),
với
ϕ

(b,λ
m
)
ϕ(b,λ
m
)
= −cot β, và điều kiện thứ hai trong (2.1) xảy ra. Do đó, λ
m
là một giá trị
riêng, và ϕ (x, λ
m
) có nhiều không điểm trong khoảng (a, b) như ϕ (x, µ
m
), nghĩa là m
không điểm. Định lý được chứng minh.
17
1.4 Bài toán tuần hoàn và nửa tuần hoàn
Xét phương trình
y

+ [λ − q (x)] y = 0, (4.1)
ở đó q (x) là một hàm giá trị thực và tuần hoàn với chu kì a, tức là q (x + a) = q (x).
Bởi tính tuần hoàn, chúng ta có thể xét bài toán giá trị biên cho (4.1) với điều kiện

biên
y (0) = y (a) , y

(0) = y

(a) (4.2)
y (0) = −y (a) , y

(0) = −y

(a) . (4.3)
Bài toán (4.1), (4.2) được gọi là bài toán tuần hoàn, và (4.1), (4.3) là nửa tuần hoàn.
Dễ thấy cả hai bài toán là tự liên hợp (sử dụng đồng nhất thức của Green).
Kí hiệu ϕ (x, λ) và ϑ (x, λ) là nghiệm của (4.1) với điều kiện ban đầu ϕ (0, λ) =
ϑ

(0, λ) = 0, ϕ

(0, λ) = ϑ (0, λ) = 1. Lấy y (x, λ) là hàm riêng của bài toán (4.1), (4.2)
hoặc (4.1), (4.3), tương ứng với giá trị riêng λ. Vì y (x, λ) là một nghiệm của (4.1) và
ϕ (x, λ) , ϑ (x, λ) là hai nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình (4.1), nên
y (x, λ) = C
1
ϑ (x, λ) + C
2
ϕ (x, λ) , (4.4)
ở đó C
1
và C
2

là hai hằng số. Thay biểu thức (4.4) trong điều kiện biên (4.2), chúng
ta thu được
C
1
ϑ (a, λ) + C
2
ϕ (a, λ) = C
1
, C
1
ϑ

(a, λ) + C
2
ϕ

(a, λ) = C
2
;
do đó
C
1
[ϑ (a, λ) −1] + C
2
ϕ (a, λ) = 0,
C
1
ϑ

(a, λ) + C

2
[ϕ

(a, λ) − 1] = 0.
(4.5)
Để hệ (4.5) có nghiệm không tầm thường, thì điều kiện cần và đủ là





ϑ (a, λ) −1 ϕ (a, λ)
ϑ

(a, λ) ϕ

(a, λ) − 1





= 0 (4.6)
Vì ma trận Wronskian
W [ϕ (a, λ) , ϑ (a, λ)] = ϕ (a, λ) ϑ

(a, λ) − ϕ

(a, λ) ϑ (a, λ) = −1,
nên từ (4.6) ta có ϕ


(a, λ) + ϑ (a, λ) − 2 = 0. Bởi vậy, giá trị riêng của bài toán tuần
hoàn (4.1), (4.2) thỏa mãn phương trình F (λ) = 2, ở đó F (λ) = ϑ (a, λ) + ϕ

(a, λ) .
Có thể chỉ ra tương tự rằng giá trị riêng của bài toán nửa tuần hoàn (4.1), (4.3)
thỏa mãn phương trình F (λ) = −2.
Những giá trị riêng của bài toán tuần hoàn và nửa tuần hoàn là thực, kết quả này
được chứng minh tương tự như trong Phần 1.
18
1.4.1 Số bội của những giá trị riêng
Đối lập bài toán (4.1) với điều kiện biên tách biệt, giá trị riêng của bài toán tuần
hoàn và nửa tuần hoàn có thể được lặp lại nhưng số bội không vượt quá 2. Kết quả
sau đây đưa ra một sự kiểm tra đơn giản cho một giá trị riêng lặp.
Bổ đề 1.4.1. Để một giá trị riêng λ
0
của bài toán tuần hoàn (nửa tuần hoàn) là lặp
thì điều kiện cần và đủ là
ϑ

a, λ
0

= ϕ


a, λ
0

= 1, ϑ



a, λ
0

= ϕ

a, λ
0

= 0

ϑ

a, λ
0

= ϕ


a, λ
0

= −1, ϑ


a, λ
0

= ϕ


a, λ
0

= 0.

(4.7)
Chứng minh. (Điều kiện cần.) Lấy λ
0
là một giá trị lặp của bài toán tuần hoàn (4.1),
(4.2). Khi đó, tồn tại hai nghiệm độc lập tuyến tính y
1
(x, λ
0
) và y
2
(x, λ
0
) của phương
trình (4.1), thỏa mãn điều kiện biên (4.2). Bất cứ nghiệm khác của (4.1) cũng là tổ
hợp tuyến tính của y
1
(x, λ
0
), y
2
(x, λ
0
), và bởi vậy cũng thỏa mãn (4.2). Đặc biệt, điều
này cũng hợp lệ với nghiệm ϑ (x, λ

0
) và ϕ (x, λ
0
). Bởi vậy,
ϑ

a, λ
0

= ϑ

0, λ
0

= 1, ϑ


a, λ
0

= ϑ


0, λ
0

= 0,
ϕ

a, λ

0

= ϕ

0, λ
0

= 0, ϕ


a, λ
0

= ϕ


0, λ
0

= 1,
và điều kiện (4.7) được thỏa mãn.
(Điều kiện đủ.) Giả sử (4.7) được thỏa mãn. Khi đó
ϑ

a, λ
0

= 1 = ϑ

0, λ

0

, ϑ


a, λ
0

= 0 = ϑ


0, λ
0

,
ϕ

a, λ
0

= 0 = ϕ

0, λ
0

, ϕ


a, λ
0


= 1 = ϕ


0, λ
0

.
Bởi vậy, ϑ (x, λ
0
) và ϕ (x, λ
0
) thỏa mãn (4.2) và là hàm riêng của bài toán tuần
hoàn.
Chứng minh cho bài toán nửa tuần hoàn là tương tự. Như vậy, định lý được chứng
minh.
Chú ý. Để xét xem một giá trị riêng của bài toán tuần hoàn hoặc nửa tuần hoàn là
lặp, ta kiểm tra điều kiện thứ hai trong (4.7), hoặc ϑ

(a, λ
0
) = ϕ (a, λ
0
) = 0.
Thật vậy, nếu nó là lặp, chúng ta sẽ có ϑ (a, λ
0
) ϕ

(a, λ
0

) = 1, bởi vì ma trận
Wronskian là hằng. Hơn nữa, ϕ

(a, λ
0
) + ϑ (a, λ
0
) = ±2. Bởi vậy, ϕ

(a, λ
0
) , ϑ (a, λ
0
)
là các nghiệm của phương trình bậc hai X
2
∓ 2X + 1 = (X ∓ 1)
2
= 0, và ϑ (a, λ
0
) =
ϕ

(a, λ
0
) = ±1.
Để chứng minh điều kiện số bội của một giá trị riêng là lặp đến các không điểm
của hàm F (λ) − 2 (hoặc F (λ) + 2) là không đơn giản.
19
Định lý 1.4.1. Một số λ

0
là một nghiệm bội của phương trình F (λ) ∓ 2 = 0 nếu và
chỉ nếu
ϕ

a, λ
0

= ϑ


a, λ
0

= 0. (4.8)
Chứng minh. Nếu điều kiện (4.8) được thỏa mãn, thì khi đó dưạ vào Chú ý sau Bổ đề
1.4.1, ta có ϑ (a, λ
0
) = ϕ

(a, λ
0
) = ±1.
Chúng ta viết đồng nhất thức Wronskian dưới dạng
−ϑ

ϕ = 1 − ϕ

ϑ = 1 −
1

4

(ϑ + ϕ

)
2
− (ϑ − ϕ

)
2

. (4.9)
Vì ϕ (a, λ) và ϑ

(a, λ) có một nghiệm với λ = λ
0
(dựa vào (4.8)), tích ϕ (a, λ) ϑ

(a, λ)
có một nghiệm bội tại λ = λ
0
. Tuy nhiên, vế phải là
1
4
[2 −(ϑ + ϕ

)] [2 + (ϑ + ϕ

)] +
1

4
(ϑ −ϕ

)
2
. (4.10)
Với λ = λ
0
, các hàm ϑ (a, λ) và ϕ

(a, λ) đều là 1 hoặc -1; do vậy, hiệu của chúng
ϑ (a, λ) − ϕ

(a, λ) có một nghiệm với λ = λ
0
, và (ϑ −ϕ

)
2
có một nghiệm bội tại
điểm λ = λ
0
. Từ (4.10) ta thấy hàm [2 −(ϑ + ϕ

)] [2 + (ϑ + ϕ

)] cũng có một nghiệm
bội tại λ = λ
0
. Nhưng nếu λ

0
là một giá trị riêng, tức là bài toán tuần hoàn, thì
2 + (ϑ + ϕ

) = 4, và do đó 2 −(ϑ + ϕ

) = 2 − F (λ) có một nghiệm bội với λ = λ
0
.
Ngược lại, cho F

(λ
0
) = 0, tức là cho λ
0
là một nghiệm bội của phương trình
F (λ) = ±2. Lấy vi phân phương trình cơ bản (4.1) đối với λ chúng ta thu được
∂
3
y
∂x
2
∂λ
+ [λ − q (x)]
∂y
∂λ
= −y (4.11)
với ϕ (x, λ) và ϑ (x, λ) cũng vậy,
∂y (0, λ)
∂λ

= 0,
∂y

x
(0, λ)
∂λ
= 0, (4.12)
bởi những điều kiện ban đầu với ϕ (x, λ) và ϑ (x, λ) tại x = 0 không phụ thuộc λ. Bây
giờ chúng ta xác định
∂y
∂λ
như một nghiệm của phương trình không thuần nhất (4.11)
với các điều kiện ban đầu (4.12). Phương pháp biến thiên hằng số đưa đến các công
thức
∂ϕ (x, λ)
∂λ
=
x

0
[ϕ (ξ, λ) ϑ (x, λ) − ϕ (x, λ) ϑ (ξ, λ)]ϕ (ξ, λ) dξ, (4.13)
∂ϑ (x, λ)
∂λ
=
x

0
[ϕ (ξ, λ) ϑ (x, λ) − ϕ (x, λ) ϑ (ξ, λ)]ϑ (ξ, λ) dξ. (4.14)
Lấy vi phân (4.13) đối với x, chúng ta có
∂ϕ


(x, λ)
∂λ
=
x

0
[ϕ (ξ, λ) ϑ

(x, λ) − ϕ

(x, λ) ϑ (ξ, λ)]ϕ (ξ, λ) dξ. (4.15)
20
Bây giờ, đặt x = a trong (4.14), (4.15) rồi cộng chúng với nhau và để ý rằng ϑ (a, λ) +
ϕ

(a, λ) = F (λ), chúng ta thu được
dF (λ)
dλ
=
a

0

ϑ

ϕ
2
(ξ, λ) −(ϑ − ϕ


) ϑ (ξ, λ) ϕ (ξ, λ) − ϕϑ
2
(ξ, λ)

dξ. (4.16)
Đặt
√
λ = s = σ + it. Từ Bổ đề 1.2.2, chúng ta có
ϑ = cos as + O

|s|
−1
e
at

, ϑ

= −s sin as + O

e
at

,
ϕ = s
−1
sin as + O

|s|
−2
e

at

, ϕ

= cosas + O

|s|
−1
e
at

.
Do đó, với |λ| lớn,
F (λ) = 2 cos as + O

|s|
−1
e
at

.
Khi Realλ → +∞, hàm F (λ) dao động giữa 2 và −2. Khi Realλ → −∞, số s = i

|λ|
là thuần ảo và F (λ) ∼ 2 cosh α

|λ| → +∞. Tồn tại ít nhất một không điểm λ
0
của
hàm F (λ) −2, tuy nhiên rõ ràng F (λ) không lấy hai giá trị ±2 bên phải của điểm λ

0
.
Lấy λ sao cho −2 < F (λ) < 2. Khi đó
ϑ
2
+ ϕ
2
+ 2ϑϕ

< 4 = 4 (ϑϕ

− ϕϑ

) .
(ϑ −ϕ

)
2
= (ϑ + ϕ

)
2
− 4ϑϕ

< 4 −4ϑϕ

= 4 (1 − ϑϕ

) = −4ϕϑ


.
Vì vậy ϕ = 0, ϑ

= 0 và ϕ, ϑ

có dấu đối nhau.
Biến đổi công thức (4.16) như
dF
dλ
= −ϕ
a

0

ϑ (ξ, λ) −
ϑ −ϕ

2ϕ
ϕ (ξ, λ)

2
dξ −
4 −(ϑ + ϕ

)
2
4ϕ
a

0

ϕ
2
(ξ, λ)dξ, (4.17)
ở đó vế phải không bằng 0, có dấu đối với dấu của ϕ (a, λ). Bởi vậy, F (λ) có thể có
một giá trị lớn nhất và một giá trị nhỏ nhất tại một điểm, và nếu F

(λ
0
) = 0, thì F (λ)
giảm đơn điệu từ 2 tại λ = λ
0
đến -2 tại một điểm µ
0
nào đó. Trong trường hợp tổng
quát, đường cong y = F (λ) giao với đường thẳng y = −2 tại điểm µ
0
; trong trường
hợp đặc biệt, một tiếp điểm có thể xuất hiện.
Như vậy, nói chung, thêm vào µ
0
, một không điểm µ
1
khác của hàm F (λ) + 2 xuất
hiện, một không điểm λ
1
của hàm F (λ) − 2, , và chúng ta viết
λ
0
< µ
0

< µ
1
< λ
1
< λ
2
< µ
3
<
Từ trên ta thấy rằng ϕ > 0 với λ
0
< λ < µ
0
và ϕ < 0 với µ
1
< λ < λ
1
,
21
Bây giờ chúng ta giả sử rằng λ
0
là một không điểm của F (λ) − 2 có bậc cao hơn
1. Khi đó ϑ + ϕ

= 2, và nếu ϕ = 0, từ công thức (4.17) chúng ta thu được
dF
dλ
= −ϕ
a


0

ϑ (ξ, λ) −
ϑ −ϕ

2ϕ
ϕ (ξ, λ)

2
dξ = 0
với hàm dưới dấu tích phân không đồng nhất bằng 0. Do vậy,
dF
dλ
= 0 đưa đến ϕ (a, λ
0
) =
0. Tương tự, nếu ϑ

= 0, thì từ công thức (4.16) ta có
dF
dλ
= ϑ

a

0

ϕ (ξ, λ) +
ϑ −ϕ


2ϑ

ϑ (ξ, λ)

2
dξ.
Bởi vậy, nếu
dF
dλ
= 0, thì ϑ

(a, λ
0
) = 0.
Như vậy, nếu λ
0
là một không điểm của hàm F (λ) − 2 có bậc cao hơn 1, thì
ϕ (a, λ
0
) = ϑ

(a, λ
0
) = 0; do đó, λ
0
là một giá trị riêng lặp, và định lý được chứng
minh.
Phần cuối, chúng ta chỉ ra hàm F (λ) ± 2 không thể có những không điểm có bậc
lớn hơn 2.
Lấy vi phân phương trình (4.11) và điều kiện ban đầu (4.12) đối với λ, chúng ta

thu được bài toán
∂
4
y
∂x
2
∂λ
2
+ [λ − q (x)]
∂
2
y
∂λ
2
= −2
∂y
∂λ
,
∂
2
y (0, λ)
∂λ
2
= 0,
∂
2
y

(0, λ)
∂λ

2
= 0
với các hàm ϑ (x, λ) , ϕ (x, λ) khi giải sử dụng phương pháp biến thiên hằng số, thu
được những biểu thức
∂
2
ϕ (x, λ)
∂λ
2
= 2
x

0
[ϑ (x, λ) ϕ (ξ, λ) − ϕ (x, λ) ϑ (ξ, λ)]
∂ϕ (ξ, λ)
∂λ
dξ, (4.18)
∂
2
ϑ (x, λ)
∂λ
2
= 2
x

0
[ϑ (x, λ) ϕ (ξ, λ) − ϕ (x, λ) ϑ (ξ, λ)]
∂ϑ (ξ, λ)
∂λ
dξ. (4.19)

Bây giờ, lấy vi phân công thức (4.18) đối với x, rồi cộng nó với (4.19) và đặt x = a,
chúng ta thu được
d
2
F
∂λ
2
= ±2
a

0

ϕ (ξ, λ)
∂ϑ (ξ, λ)
∂λ
− ϑ (ξ, λ)
∂ϕ (ξ, λ)
∂λ

dξ
= ∓2
a

0
dξ
ξ

0
{ϕ (ξ, λ) ϑ (t, λ) − ϑ (ξ, λ) ϕ (t, λ)}
2

dt,
22
cũng sử dụng điều kiện (4.7) và các công thức (4.13), (4.14) trong phép biến đổi cuối
cùng.
Vì vế phải của phương trình cuối cùng không đồng thời bằng 0, hàm F (λ) ± 2
không thể có những không điểm có bậc cao hơn 2. Cũng vậy, F (λ) có một giá trị lớn
nhất (hoặc giá trị nhỏ nhất) tại một không điểm bậc hai, tức là, điểm λ
0
không thể là
một không điểm bậc hai.
1.4.2 Các không điểm của các hàm riêng
Xét hai bài toán phụ
y (0) = y (a) = 0 (4.20)
y

(0) = y

(a) = 0 (4.21)
đối với phương trình (4.1).
Cho ν
1
< ν
2
< ν
3
< là các giá trị riêng của bài toán (4.1), (4.20) và τ
0
< τ
1
<

τ
2
< là các giá trị riêng của bài toán (4.1), (4.21). Hiển nhiên là ν
n
là các không
điểm của hàm ϕ (a, λ), và τ
n
là các không điểm của ϑ

(a, λ).
Định lý 1.4.2. Trong mỗi khoảng [µ
0
, µ
1
], (λ
1
, λ
2
), [µ
2
, µ
3
], (λ
3
, λ
4
), , được gọi là
khoảng trống, có đúng một ν
k
và một τ

k
, k = 1, 2, , và giá trị τ
0
∈ (−∞, λ
0
].
Chứng minh. Từ đồng nhất thức (4.9) ta có
−ϕ (a, λ) ϑ

(a, λ) = 1 −
1
4

[ϑ (a, λ) + ϕ

(a, λ)]
2
− [ϑ (a, λ) −ϕ

(a, λ)]
2

tức là,
[ϑ (a, ν
k
) + ϕ

(a, ν
k
)]

2
= 4 + [ϑ (a, ν
k
) −ϕ

(a, ν
k
)]
2
≥ 4,
với λ = ν
k
, và một đẳng thức tương tự với λ = τ
k
, k = 0, 1, 2, Do đó, ν
k
và τ
k
chỉ có
thể nhận được trong các đoạn trong định lý trên.
Chúng ta sẽ chỉ ra rằng không có nhiều hơn một ν
k
(τ
k
) có thể nhận giá trị trong
mỗi khoảng trống, đưa đến Định lý Sturm 1.3.1, định lý biểu diễn hàm ϕ (x, ν
k
) có
đúng n −1 không điểm trong khoảng (0, a).
Vì ϕ


(0, ν
n
) = 1, ϕ

(a, ν
n
) > 0 với n chẵn và ϕ

(a, ν
n
) < 0 với n lẻ.
Bằng ma trận Wronskian, ϑ (a, ν
n
) ϕ

(a, ν
n
) = 1; do đó,
F (ν
n
) = ϑ (a, ν
n
) + ϕ

(a, ν
n
) = ϑ (a, ν
n
) +

1
ϑ (a, ν
n
)
≥ 2
nếu n chẵn, và F (ν
n
) ≤ −2 nếu n lẻ. ν
n
và ν
n+1
không thể nhận trong cùng một
khoảng trống. Kết luận tương tự với τ
n
.
23
Ta còn có thể chỉ ra rằng có một ν
n
và một τ
n
nằm trong mỗi khoảng trống, ngoại
trừ khoảng trống (−∞, λ
0
] chỉ chứa τ
0
.
Xét hai nghiệm liên tiếp λ

và λ


cuả hàm F
2
(λ)−4, với F (λ) > 2 hoặc F (λ) < −2
ở giữa chúng. Từ công thức (4.17), ϕ (a, λ) F

(λ) ≤ 0 với λ = λ

và λ = λ

. Vì
F

(λ

) , F

(λ

) có dấu đối nhau, ϕ (a, λ

) và ϕ (a, λ

) cũng có dấu đối nhau, do đó,
ϕ (a, λ) có ít nhất một không điểm trong (λ

, λ

). Tuy nhiên, như đã biết ở trên, không
thể có hơn một không điểm.
Hơn nữa, ν

1
không thuộc (−∞, λ
0
]. Thật vậy, ϕ (a, λ) > 0 với λ âm lớn. Do đó, nếu
ϕ (a, λ) bị triệt tiêu trên (−∞, λ
0
] thì hàm này có thể dương trên (λ
0
, µ
0
). Cũng như
vậy, τ
0
nằm trong (−∞, λ
0
). Thật vậy, với λ âm lớn, ϑ

(a, λ
0
) > 0. Do đó, nếu không
điểm đầu tiên của hàm ϑ

(a, λ) nằm trong [µ
0
, µ
1
], thì ϑ

(a, λ) có thể không âm trên
(λ

0
, µ
0
). (Nhắc lại là ϕ và ϑ

cùng dấu dương, ϕ (a, λ) dương trên (λ
0
, µ
0
).)
Định lý 1.4.3. Cho η
0
(x) , η
1
(x) , η
2
(x) , là các hàm riêng của bài toán tuần hoàn,
và ξ
1
(x) , ξ
2
(x) , ξ
3
(x) , là các hàm riêng của bài toán nửa tuần hoàn. Khi đó
1. η
0
(x) không thể có các không điểm trên [0, a],
2. η
2m+1
(x) và η

2m+2
(x) có đúng 2m + 2 không điểm trên [0, a), m = 0, 1, 2, ,
3. ξ
2m+1
(x) và ξ
2m+2
(x) có đúng 2m + 1 không điểm trên [0, a), m = 0, 1, 2,
Chú ý. Kết luận 2 và 3 xét với [0, a), không xét với [0, a], nếu x = 0 là một không
điểm của nghiệm tuần hoàn (nửa tuần hoàn) thì x = a cũng là một không điểm, và
chúng ta chỉ lấy một không điểm.
Chứng minh. Vì ϕ (x, ν
1
) không có những không điểm trên (0, a) và λ
0
< ν
1
, η
0
(x)
không thể có hơn một không điểm trên [0, a]. Bởi tính tuần hoàn, η
0
(x) có một số chẵn
các không điểm trên [0, a]. Do đó, η
0
(x) không có không điểm trên [0, a) và, dựa vào
tính tuần hoàn, nó không có không điểm trên [0, a].
Bây giờ chúng ta xét η
2m+1
(x). Chúng ta có ν
2m+1

< λ
2m+1
≤ ν
2m+2
. Ngoài ra,
hàm ϕ (x, ν
2m+1
) có 2m + 2 không điểm, và ϕ (x, ν
2m+2
) có 2m + 1 không điểm trên
[0, a). Do đó, theo Định lý so sánh Sturm, η
2m+1
(x) có không ít hơn 2m + 1 và không
nhiều hơn 2m + 2 không điểm trong [0, a). Dựa vào tính tuần hoàn của điều kiện biên,
η
2m+1
(x) phải có một số chẵn các không điểm, tức là phải có 2m + 2 không điểm trên
[0, a). Chứng minh tương tự với η
2m+2
(x) và ξ
n
(x). Định lý được chứng minh.
24