Mot so van de chon loc cua giai tich handout

MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHỌN LỌC CỦA GIẢI TÍCH
BÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ

TS. Lê Xuân Đại
Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ mơn Tốn ứng dụng
Email:

TP. HCM — 2016.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHỌN LỌC CỦA GIẢI TÍCH

TP. HCM — 2016.

1/1


NỘI DUNG

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHỌN LỌC CỦA GIẢI TÍCH

TP. HCM — 2016.

2/1


Chuỗi Fourier

Định nghĩa hàm trực giao

ĐỊNH NGHĨA 1.1
n
o∞
được gọi là hệ
Dãy những hàm ϕn(x)
n=1

trực giao theo hàm trọng số q(x) trên đoạn
[a, b] nếu như
b

Z
a

ϕm (x).ϕn (x).q(x)dx = 0, m 6= n.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHỌN LỌC CỦA GIẢI TÍCH

TP. HCM — 2016.

3/1


Chuỗi Fourier

Định nghĩa hàm trực giao

ĐỊNH NGHĨA 1.2
Nếu m = n thì ta có ||ϕn(x)|| =

sZ

b
a

ϕ2n (x)q(x)dx

được gọi là chuẩn của ϕn(x).

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHỌN LỌC CỦA GIẢI TÍCH

TP. HCM — 2016.

4/1


Chuỗi Fourier

Định nghĩa hàm trực giao

VÍ DỤ 1.1
Dãy những hàm {sin mx}, m = 1, 2, . . . là hệ
trực giao trên đoạn [−π, π] vì
Z

(

π

sin mx. sin nxdx =
−π

0, m 6= n
π, m = n

Ở đây hàm trọng số q(x) ≡ 1.
p
Chuẩn || sin mx|| = π.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHỌN LỌC CỦA GIẢI TÍCH

TP. HCM — 2016.

5/1


Chuỗi Fourier

Định nghĩa hàm trực giao

ĐỊNH NGHĨA 1.3
Dãy những hàm trực giao {ψn(x)} được gọi là

hệ trực chuẩn theo hàm trọng q(x) trên đoạn
[a, b] nếu như
b

Z
a

(
ψm (x).ψn (x).q(x)dx =

0, m 6= n
1, m = n

Chú ý. Hệ trực chuẩn có thể thu được từ hệ
trực giao bằng cách chia mỗi hàm số của hệ
cho chuẩn của nó.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHỌN LỌC CỦA GIẢI TÍCH

TP. HCM — 2016.

6/1


Chuỗi Fourier

Định nghĩa hàm trực giao

VÍ DỤ 1.2

Dãy những hàm 1, cos x, sin x, . . . , cos nx, sin nx
là hệ trực giao trên [−π, π] với hàm trọng số
q(x) = 1, vì
Z

(

π

sin mx. sin nxdx =
−π

Z

0, m 6= n
π, m = n

π

sin mx. cos nxdx = 0, ∀m, n.
(
Z π
0, m 6= n
cos mx. cos nxdx =
π, m = n
−π
−π

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHỌN LỌC CỦA GIẢI TÍCH

TP. HCM — 2016.

7/1


Chuỗi Fourier

Định nghĩa hàm trực giao

Để thu được hệ trực chuẩn, ta chia mỗi hàm
cho chuẩn của nó
cos nx sin nx
1 cos x sin x
p , p , p ,..., p , p ·
π
π
π
π
2π

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHỌN LỌC CỦA GIẢI TÍCH

TP. HCM — 2016.

8/1

Chuỗi Fourier

Chuỗi Fourier

ĐỊNH NGHĨA 1.4
Hàm số f (x) được gọi là hàm liên tục từng
khúc trên đoạn [a, b] nếu như tồn tại những
điểm a = x1 < x2 < . . . < xn = b sao cho hàm số f
liên tục trên khoảng (xi , xi+1) và tồn tại hữu
hạn giới hạn từ 1 phía f (xi +) và
f (xi+1 −), ∀i = 1, 2, . . . , n − 1.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHỌN LỌC CỦA GIẢI TÍCH

TP. HCM — 2016.

9/1


Chui Fourier

Chui Fourier

V D 1.3
à ả
1
1

Hm v sin
khụng l hm liên tục từng
x
x
khúc trên [0, 1], vì khơng tồn tại giới hạn
f (0+)
1

2

Hàm liên tục từng khúc trên [a, b] thì bị
chặn và khả tích trên [a, b]
Tích của hai hàm liên tục từng khúc là
hàm liên tục từng khúc.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHỌN LỌC CỦA GIẢI TÍCH

TP. HCM — 2016.

10 / 1


Chuỗi Fourier

Chuỗi Fourier

ĐỊNH NGHĨA 1.5
Hàm liên tục từng khúc f (x) trên đoạn [a, b]

được goi là hàm tuần hoàn nếu tồn tại số
thực dương p sao cho f (x + p) = f (x), ∀x. Lúc
này, p được gọi là chu kỳ của f , còn số nhỏ
nhất trong những số p được gọi là chu kỳ cơ
bản

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHỌN LỌC CỦA GIẢI TÍCH

TP. HCM — 2016.

11 / 1


Chuỗi Fourier

1

2

Chuỗi Fourier

Nếu f (x) là hàm tuần hoàn với chu kỳ p
thì f (x + np) = f (x), ∀n ∈ N.
Nếu f1(x), f2(x), . . . , fk (x) là những hàm tuần
hoàn với chu kỳ p và ck ∈ R, thì
f (x) = c1 f1 (x) + c2 f2 (x) + . . . + ck fk (x) là hàm
tuần hồn với chu kỳ p.

VÍ DỤ 1.4
Hàm
a0 +a1 cos x+a2 cos 2x+. . .+b1 sin x+b2 sin 2x+. . .
là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHỌN LỌC CỦA GIẢI TÍCH

TP. HCM — 2016.

12 / 1


Chuỗi Fourier

Chuỗi Fourier

ĐỊNH LÝ 1.1
Mọi hàm liên tục từng khúc, tuần hồn với
chu kỳ 2π, có thể được xấp xỉ bởi chuỗi lượng
giác
∞
a0 X
f (x) ≈ + (ak cos kx + bk sin kx)
2 k=1

Vì f (x) là hàm liên tục từng khúc nên khả
tích theo Riemann trên [−π, π]. Xét tổng

n

a0 P
riêng sn(x) = + (ak cos kx + bk sin kx).
2 k=1
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHỌN LỌC CỦA GIẢI TÍCH

TP. HCM — 2016.

13 / 1


Chuỗi Fourier

Chuỗi Fourier

Ta sẽ xác định những hệ số a0, ak , bk sao cho
sn (x) xấp xỉ tốt nhất hàm f (x) theo nghĩa
bình phương cực tiểu, có nghĩa là cực tiểu
tích phân
Zπ
I(a0 , ak , bk ) =

[f (x) − sn (x)]2 dx −→ min

−π

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHỌN LỌC CỦA GIẢI TÍCH

TP. HCM — 2016.

14 / 1


Chuỗi Fourier

Chuỗi Fourier

Điều kiện cần để I đạt cực tiểu là
∂I
=−
∂a0

Z

π

π

−π

"

#
n
a0 X
f (x) − − (aj cos jx + bj sin jx) dx = 0
2 j=1

#
n
a0 X
f (x) − − (aj cos jx + bj sin jx) cos kxdx = 0
2 j=1
−π
#
Z π"
n
∂I
a0 X
= −2
f (x) − − (aj cos jx + bj sin jx) sin kxdx = 0
∂bk
2 j=1
−π

∂I
= −2
∂ak

Z

"

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHỌN LỌC CỦA GIẢI TÍCH

TP. HCM — 2016.

15 / 1


Chuỗi Fourier

Chuỗi Fourier

Do tính trực giao của dãy 1, cos x, sin x, . . . , cos nx, sin nx
và

Rπ

cos mxdx =

−π

Rπ

sin mxdx = 0 nên

−π

∂I
= πa0 −
∂a0

Zπ
f (x)dx = 0

−π

∂I
= 2πak − 2
∂ak

Zπ
f (x) cos kxdx = 0

−π

∂I
= 2πbk − 2
∂bk

Zπ
f (x) sin kxdx = 0

−π

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHỌN LỌC CỦA GIẢI TÍCH

TP. HCM — 2016.

16 / 1

Chuỗi Fourier

Chuỗi Fourier

Vậy

Z
1 π
f (x)dx,
a0 =
π −π
Z
1 π
f (x) cos kxdx,
ak =
π −π
Z
1 π
bk =
f (x) sin kxdx,
π −π
∂2 I ∂2 I
∂2 I
∂2 I
Vì 2 = π, 2 = 2 = 2π,
= 0 nên
∂ak bk
∂a0
∂ak ∂bk
d2 I > 0, có nghĩa là I có giá trị cực tiểu.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHỌN LỌC CỦA GIẢI TÍCH

TP. HCM — 2016.

17 / 1


Chuỗi Fourier

Chuỗi Fourier

VÍ DỤ 1.5
Tìm chuỗi Fourier của hàm số
f (x) = x + x2 , −π < x < π

Đáp số.

·
¸
∞
π2 P
4
2
f (x) =
+
(−1)k cos kx − (−1)k sin kx
2
3 k=1 k

k

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHỌN LỌC CỦA GIẢI TÍCH

TP. HCM — 2016.

18 / 1


Chuỗi Fourier

Chuỗi Fourier

HÌNH: sum(1->3), sum(1->10)

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHỌN LỌC CỦA GIẢI TÍCH

TP. HCM — 2016.

19 / 1


Chuỗi Fourier

Chuỗi Fourier

VÍ DỤ 1.6
Tìm chuỗi
Fourier của hàm số
(
f (x) =

−π, −π < x < 0
x, 0 < x <

ỏp s. ẵf (x) =


Ô
Ô
P
1 Ê
1Ê
k
k
+
(1)

1
cos
kx
+
1

2(1)
sin kx

4 k=1 k2 π
k

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHỌN LỌC CỦA GIẢI TÍCH

¾

TP. HCM — 2016.

20 / 1


Chuỗi Fourier

Chuỗi Fourier

HÌNH: sum(1->10), sum(1->100)

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHỌN LỌC CỦA GIẢI TÍCH

TP. HCM — 2016.

21 / 1


Chuỗi Fourier

Chuỗi Fourier

VÍ DỤ 1.7
Tìm chuỗi Fourier của hàm số
f (x) = x, −π < x < π
∞
sin kx
P
Đáp số. f (x) = 2 (−1)k+1
k
k=1
HÌNH: sum(1->3)

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHỌN LỌC CỦA GIẢI TÍCH

TP. HCM — 2016.

22 / 1


Chuỗi Fourier

Chuỗi Fourier

HÌNH: sum(1->10), sum(1->100)

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHỌN LỌC CỦA GIẢI TÍCH

TP. HCM — 2016.

23 / 1


Chuỗi Fourier

Chuỗi Fourier Cosine và Sine

Cho f (x) là hàm chẵn trên đoạn [−π, π]. Khi
đó f (x) cos kx là hàm chẵn còn f (x) sin kx là
hàm lẻ. Vì vậy, những hệ số Fourier của hàm
f (x) là
1
ak =
π

Z

π

Z
2 π
f (x) cos kxdx =
f (x) cos kxdx
π 0
−π

Z
1 π
bk =
f (x) sin kxdx = 0
π −π

Chuỗi Fourier của hàm chẵn là
∞
a0 X
f (x) ≈ +
ak cos kx
2 k=1
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHỌN LỌC CỦA GIẢI TÍCH

TP. HCM — 2016.

24 / 1


Chuỗi Fourier

Chuỗi Fourier Cosine và Sine

Cho f (x) là hàm lẻ trên đoạn [−π, π]. Khi đó
f (x) cos kx là hàm lẻ còn f (x) sin kx là hàm
chẵn. Vì vậy, những hệ số Fourier của hàm
f (x) là
1

ak =
π

Z

π

f (x) cos kxdx = 0
Z
Z
1 π
2 π
bk =
f (x) sin kxdx =
f (x) sin kxdx
π −π
π 0
−π

Chuỗi Fourier của hàm lẻ là
f (x) ≈

∞
X

bk sin kx

k=1
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHỌN LỌC CỦA GIẢI TÍCH

TP. HCM — 2016.

25 / 1