một số phương pháp cơ bản để chứng minh một bất đẳng thức và khai thác một số bài toán cơ bản dành cho học sinh lớp 10

Một số phương pháp cơ bản để chứng minh một bất đẳng thức và khai thác một số bài toán cơ bản dành cho học sinh lớp
10.
Phần I: Mở đầu
I- Lý do chọn đề tài.
Bất đẳng thức là một phần quan trọng trong chương trình toán học phổ thông,
được sử dụng nhiều trong các kỳ thi cao đẳng, đại học và trung học chuyên nghiệp,
thi học sinh giỏi…Các bài toán chứng minh bất đẳng thức rất đa dạng và phong phú
và có thể giải bằng nhiều phương pháp khác nhau. Tuy nhiên trong chương trình
SGK Đại số 10 cơ bản hiện hành bất đẳng thức được trình bày ở đầu chương IV chỉ
đưa ra các bất đẳng thức cơ bản và một số tính chất không có ví dụ để minh hoạ cụ
thể. Mặt khác do số tiết của chương trình này quá ít nên trong quá trình giảng dạy
các giáo viên không thể đưa ra được nhiều bài tập cho nhiều dạng để hình thành kỹ
năng giải cho học sinh. Nhưng trong thực tế, để chứng minh được một bất đẳng
thức đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức, phải có tư duy ở mức độ cao và
phải có năng lực biến đổi toán học nhanh nhẹn thuần thục.
Trong quá trình giảng dạy bộ môn toán trong trường THPT tôi nhận thấy
rằng trình độ của học sinh là rất khác nhau. Mức độ và năng lực tư duy của các em
cũng chênh lệch rất đáng kể. Với đối tượng học sinh ở các lớp cơ bản tiếp thu chậm
thì việc chứng minh một bất đẳng thức là khó thể thực hiện được.
Vậy làm thế nào để bản thân các em học sinh khá, giỏi không xem thường kiến
thức cơ bản sách giáo khoa, đồng thời các em học sinh trung bình và yếu không e
ngại sự chậm hiểu của bản thân ?
Vì vậy trong bài viết này, tôi đưa ra một số phương pháp cơ bản để chứng
minh một bất đẳng thức và khai thác một số bài toán cơ bản dành cho học sinh
lớp 10.
II- Mục đích nghiên cứu:
Nhằm tạo ra một không khí làm việc tập thể một cách thoải mái, tạo điều
kiện để các em được học tập tích cực, chủ động, sáng tạo, gây được hứng thú và
phát triển tư duy logíc. Tạo cho các em cảm thấy có nhu cầu làm việc trong giờ
Giáo viên: Lê Thị Thu Huyền - Tổ Toán - Trường THPT Lê Viết Tạo
1

Một số phương pháp cơ bản để chứng minh một bất đẳng thức và khai thác một số bài toán cơ bản dành cho học sinh lớp
10.
học, có một thói quen nhìn nhận một vấn đề dưới nhiều góc độ khác nhau, không
bằng
lòng với những gì đã biết. Đặc biệt qua đó giúp học sinh có khả năng ứng phó và
thích ứng nhanh với các thay đổi, đáp ứng yêu cầu của cuộc đổi mới phương pháp
giảng dạy trong ngành giáo dục nói riêng và trên đất nước nói chung.
Đứng trước một bài toán nói chung hay một bài toán bất đẳng thức nói riêng,
không nhiều em giải ngay được bài toán đó. Các em thường lúng túng không biết
bắt đầu từ đâu, không biết khai thác bài toán đó như thế nào.
Qua nhiều lần thử nghiệm tôi nhận thấy rằng: Cần bắt đầu từ việc giải quyết
một vấn đề bằng nhiều con đường khác nhau, cụ thể là: Giải một bài toán bất đẳng
thức bằng các cách giải khác nhau mới đạt được mong muốn đã nêu ở trên.
III- Phạm vi nghiên cứu :
- Nội dung phần bất phương trình và một số bài toán cơ bản, nâng cao nằm
trong chương trình đại số 10.
- Một số bài giải bất đẳng thức trong các đề thi Đại học – cao đẳng –THCN.
IV- Phương pháp nghiên cứu:
- Nghiên cứu lý luận chung.
- Khảo sát điêù tra từ thực tế dạy học.
- Tổng hợp so sánh, đúc rút kinh nghiệm .
V- Thời gian nghiên cứu:
Trong thời gian trực tiếp giảng dạy khối 10 tại trường THPT Lê Viết Tạo
năm học 2012-2013.
Giáo viên: Lê Thị Thu Huyền - Tổ Toán - Trường THPT Lê Viết Tạo
2
Một số phương pháp cơ bản để chứng minh một bất đẳng thức và khai thác một số bài toán cơ bản dành cho học sinh lớp
10.
Phần II: Nội dung
A- Cơ sở lý thuyết

 Số thực dương, số thực âm và mệnh đề phủ định.
 Định nghĩa bất đẳng thức.
 Các tính chất của bất đẳng thức.
 Bất đẳng thức Côsi.
 Phương pháp chứng minh bất đẳng thức.
B- Nội dung đề tài
I- Các bài toán cơ bản
Bài toán 1 (Bài tập 4SGK ĐS10)
Chứng minh rằng :
, ,a b c R
∀ ∈
ta có:
( )
( )
222
2
3 cbacba
++≤++
(1)
Hướng dẫn giải:
Cách 1: (Sử dụng định nghĩa: a > b
⇔
a – b > 0)
Xét hiệu:
( )
( )
cabcabcbacbacba 2222223
222
2
222

−−−++=++−++

( ) ( ) ( )
cbaaccbba ,,,0
222
∀≥−+−+−=

⇒
( đpcm ).
Cách 2: ( Sử dụng phép biến đổi tương đương)

( )
222222
3222)1( cbacabcabcba
++≤+++++⇔

)2(,0)()()(
222
≥−+−+−⇔
accbba
luôn đúng
⇒
(đpcm).
Cách 3: Xuất phát từ một BĐT đúng:
( )
),(,20
22
2
yxxyyxyx ∀≥+⇔≥−
Ta có:

abba 2
22
≥+
(i)

bccb 2
22
≥+
(ii)

caac 2
22
≥+
(iii)
Giáo viên: Lê Thị Thu Huyền - Tổ Toán - Trường THPT Lê Viết Tạo
3
Một số phương pháp cơ bản để chứng minh một bất đẳng thức và khai thác một số bài toán cơ bản dành cho học sinh lớp
10.
Từ (i), (ii), (iii)
( )
cabcabcba 2222
222
++≥++⇒

( )
( )
2
222222
2223 cbacabcabcbacba
++=+++++≥++⇔

⇒
(đpcm).
Cách 4: Vì a, b, c có vai trò như nhau, không mất tổng quát giả sử
cba
≤≤
Khi đó ta có:

( )
( ) ( )( ) ( )
0223
22
222
≥−+−−=++−++
cbcabacbacba
(2)
(vì
( )( )
0
≥−−
caba
và
( )
0
2
≥−
cb
)
⇒
(2) luôn đúng
⇒

(đpcm).
Cách 5: (phương pháp tam thức bậc hai)
(1)
( )
00
222222
≥−+++−⇔≥−−−++⇔
bccbacbacabcabcba
Xem
( )
bccbacbaaf
−+++−=
222
)(
là tam thức bậc hai ẩn a, với b,c
là tham số.
Ta có:
( ) ( )
cbcbbccbcb
a
,,03)(4
2
22
2
∀≤−−=−+−+=∆

⇒
( )
cbabccbacbaaf ,,,0)(
222

∀≥−+++−=

⇒
(đpcm).
Cách 6:

( ) ( )
( ) ( )
Rcbacbcba
bccbacbacabcabcba
∈∀≥−+






+−⇔
≥−+++−⇔≥−−−++⇔
,,,0
2
1
2
1
001
2
2
222222

Suy ra điều phải chứng minh.

Nhận xét:
1)Với cách giải 5 và 6 ta có bài tập 3a ( sgk ĐS10):
Cho a, b, c
R∈
. Cmr :
cabcabcba
++≥++
222
(*)
2)Thay đổi số lượng các chữ trong (*) ta có bài toán mới:
1. Cho a, b, c, d
R∈
. Cmr :
dacdbcabdcba
+++≥+++
2222
2. Cho
niRx
i
;1,
=∈
. Cmr :
1433221
1
2
xxxxxxxxx
n
n
i
i

++++≥
∑
=
….
Giáo viên: Lê Thị Thu Huyền - Tổ Toán - Trường THPT Lê Viết Tạo
4
Một số phương pháp cơ bản để chứng minh một bất đẳng thức và khai thác một số bài toán cơ bản dành cho học sinh lớp
10.
Bài toán 2: ( VD1 SGK ĐS10)
Chứng minh rằng
Rbaabba ∈∀≥+ ,,2
22
(*)
Bài toán này được giải đơn giản bằng một trong các cách giải trên.
 Khai thác bài toán 2 :
Bài toán 3: ( Bài tập 5 SGK ĐS 10)
Cho a, b là hai số dương. Chứng minh rằng :
a)
2
≥+
a
b
b
a
b)
2233
abbaba
+≥+
Hướng dẫn giải: Bài toán này có nhiều cách giải, xin trình bày 2 cách sau.
a) Cách 1( SGK trình bày):

áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương
b
a
và
a
b
ta có:

2.2
=≥+
a
b
b
a
a
b
b
a

⇒
(đpcm).
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b.
Cách 2: Từ
222
22
22
≥+⇔≥
+
⇔≥+
a

b
b
a
ab
ba
abba
( a, b >0)
⇒
(đpcm).
b) Cách 1( SGK trình bày):

( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
2233
2
22
222233
0
abbaba
babababa
abbbaaabbaba
+≥+⇒
≥+−=−−=
−+−=−−+
Cách 2: (sử dụng bài toán 2) ta có:

( )
( )

( )
)0,(;
2
223322
2222
>+≥+⇔+≥+−+⇔
≥+−⇔≥+
baabbababaabbababa
abbabaabba
Bài toán 4: Cho a, b là hai số dương.
Giáo viên: Lê Thị Thu Huyền - Tổ Toán - Trường THPT Lê Viết Tạo
5
Một số phương pháp cơ bản để chứng minh một bất đẳng thức và khai thác một số bài toán cơ bản dành cho học sinh lớp
10.
Chứng minh rằng :
baba
+
≥+
411

Hướng dẫn giải : (Bài toán này có thể giải bằng nhiều cách)
Cách 1: (sử dụng Bài toán 2) ta có

( )
bababaab
ba
abbaabba
+
≥+⇔
+

≥
+
⇔≥+⇔≥+
4114
42
2
22
(vì a, b> 0).
Cách 2: áp dụng BĐT côsi cho hai số dương
ba
1
,
1
ta có :
)1(
211
ab
ba
≥+
Vì
2
ba
ab
+
≤
nên
⇒
+
=
+

≥+⇔
ba
ba
ba
4
2
211
)1(
(đpcm).
Bài toán 5: Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a, b, c.
Chứng minh rằng :






++≥
−
+
−
+
− cbacpbpap
111
2
111
(1)
Với p là nửa chu vi tam giác.
Hướng dẫn giải:
Cách 1: Với

2
cba
p
++
=
ta có:

( )
)2(
111
2
222
1






++≥
−+
+
−+
+
−+
⇔
cbacbabacacb
Mặt khác theo bài toán 4 ta có:

)(

2
2
411
)(
2
2
411
)(
2
2
411
iii
bbcbaacb
ii
aacbabac
i
ccbacacb
=≥
−+
+
−+
=≥
−+
+
−+
=≥
−+
+
−+

Giáo viên: Lê Thị Thu Huyền - Tổ Toán - Trường THPT Lê Viết Tạo
6
Một số phương pháp cơ bản để chứng minh một bất đẳng thức và khai thác một số bài toán cơ bản dành cho học sinh lớp
10.
Từ (i), (ii), (iii) suy ra (2) luôn đúng
⇒
(đpcm).
Cách 2:
( )
)3(
111111
1
cbacbabacacb
++≥
−+
+
−+
+
−+
⇔
Đặt:
2
;
2
;
2
yx
c
zx
b

zy
a
cbaz
bacy
acbx
+
=
+
=
+
=⇒





−+=
−+=
−+=

Khi đó
( )
)4(
222111
3
xzzyyxzyx +
+
+
+
+

≥++⇔
Mặt khác:

⇒
+
+
+
+
+
≥++⇒









+
≥+
+
≥+
+
≥+
xzzyyxzyx
xzxz
zyzy
yxyx
222111

111
411
411
(đpcm).
Cách 3: áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương
ap −
1
và
bp −
1
ta có:

( )( )
( ) ( )
c
bpap
bpap
bpap
2
2
1111
2
1
=
−+−
≥
−−
≥









−
+
−
(1’)
Tương tự ta có:
( )( )
( ) ( )
a
cpbp
cpbp
cpbp
2
2
1111
2
1
=
−+−
≥
−−
≥









−
+
−
(2’)

( )( )
( ) ( )
b
apcp
apcp
apcp
2
2
1111
2
1
=
−+−
≥
−−
≥









−
+
−
(3’)
Từ (1’),(2’),(3’) suy ra:






++≥
−
+
−
+
− cbacpbpap
111
2
111

⇒
(đpcm).
Bài toán 6: Cho a,b, c dương.
Giáo viên: Lê Thị Thu Huyền - Tổ Toán - Trường THPT Lê Viết Tạo
7

Một số phương pháp cơ bản để chứng minh một bất đẳng thức và khai thác một số bài toán cơ bản dành cho học sinh lớp
10.
Chứng minh rằng :

bacacbcbacba
++
+
++
+
++
≥++
2
1
2
1
2
1
4
1
4
1
4
1
Hướng dẫn giải:
Ta có:
(*)
1
4
1
4

1
baba
+
≥+

(**)
1
4
1
4
1
cbcb
+
≥+

*)*(*
1
4
1
4
1
acac +
≥+

Từ (*),(**),(***)
)1(
111
2
1
2

1
2
1
accbbacba
+
+
+
+
+
≥++⇒
Mặt khác:

)2(
2
2
2
2
2
2111
2
411
2
411
2
411
bacacbcbaaccbba
acbbacb
baccbac
cbaacba
++

+
++
+
++
≥
+
+
+
+
+
⇒









++
≥
+
+
+
++
≥
+
+
+

++
≥
+
+
+
Từ (1) và (2) ta có:
bacacbcbacba
++
+
++
+
++
≥++
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
bacacbcbacba ++
+
++
+
++

≥++⇔
2
1
2
1
2
1
4
1
4
1
4
1
⇒
(đpcm).
Bài toán 7: Cho a,b, c dương.
Chứng minh rằng
bacacbcbaaccbba ++
+
++
+
++
≥
+
+
+
+
+ 2
1
2

1
2
1
3
1
3
1
3
1
Giáo viên: Lê Thị Thu Huyền - Tổ Toán - Trường THPT Lê Viết Tạo
8
Một số phương pháp cơ bản để chứng minh một bất đẳng thức và khai thác một số bài toán cơ bản dành cho học sinh lớp
10.
Giải: Ta có:
)3(
2
1
2
2
3
1
2
2
242
4
2
1
3
1
)2(

2
1
2
2
3
1
2
2
242
4
2
1
3
1
)1(
2
1
2
2
3
1
2
2
242
4
2
1
3
1
cbabacacbacbaccbaac

bacacbcbacbacbbaccb
acbcbabacbacbaacbba
++
−
++
≥
+
⇔
++
=
++
≥
++
+
+
++
−
++
≥
+
⇔
++
=
++
≥
++
+
+
++
−

++
≥
+
⇔
++
=
++
≥
++
+
+
Từ (1), (2), (3) suy ra:

bacacbcbaaccbba
++
+
++
+
++
≥
+
+
+
+
+
2
1
2
1
2

1
3
1
3
1
3
1

⇒
(đpcm).
Bài toán 8: Cho a,b,c là 3 số thực dương. Chứng minh rằng :

2≥
+
+
+
+
+ ba
c
ac
b
cb
a
Giải: Sử dụng BĐT Côsi cho hai số dương
a
và
cb +
ta có :

( )

( )
cba
a
cb
a
cba
cba
cbacba
++
≥
+
⇔
++
≥
+
⇔+≥++
221
2
(1)

Tương tự ta có:
)2(,
2
cba
b
ac
b
++
≥
+

và
)3(,
2
cba
c
ba
c
++
≥
+
Từ (1),(2),(3) suy ra:
2
222
=
++
++
≥
+
+
+
+
+ cba
cba
ba
c
ac
b
cb
a

⇒
(đpcm).
Bài toán 9: Cho a,b,c là 3 số thực dương.
Chứng minh rằng :
2
333
>
+
+
+
+
+
ba
c
ac
b
cb
a
Giải : Đặt
32
3
xaxa =⇔=

32
3
ybyb =⇔=


32
3

zczc =⇔=
Giáo viên: Lê Thị Thu Huyền - Tổ Toán - Trường THPT Lê Viết Tạo
9
Một số phương pháp cơ bản để chứng minh một bất đẳng thức và khai thác một số bài toán cơ bản dành cho học sinh lớp
10.
CM:
zy
x
cb
a
+
>
+
3
(*) Thật vậy ta có:

( ) ( ) ( )
)(23
23
3
2
3
ibczyyzcbzy
zy
x
cb
a
zy
x
cb

a
>+⇔+>+⇔








+
>






+
⇔
+
>
+
Mặt khác:
( )
0,,26663
33
>∀>==≥+
cbbcbczyyzyzzyyz
.

Suy ra (i) luôn đúng.
Tương tự ta có:
xz
y
ac
b
+
>
+
3
(**),

yx
z
ba
c
+
>
+
3
(***)
Từ (*),(**),(***) suy ra:

⇒>
+
+
+
+
+
>

+
+
+
+
+
2
333
yx
z
xz
y
zy
x
ba
c
ac
b
cb
a
đpcm (bài toán 8).
Bài toán 10: (Khối A, 2003)
Cho x, y, z là ba số dương và
1x y x
+ + ≤
. Chứng minh rằng:
2 2 2
2 2 2
1 1 1
82.x y z
x y z

+ + + + + ≥
Giải : Ta sử dụng phương pháp đặt qua vectơ để đánh giá bất đẳng thức

Nhận xét: với mọi
,u v
r r
ta có |
u v
+
r r
|
≤
|
u
r
| +|
v
r
| (*)
Vì
2 2
2 2 2 2
2 ( )u v u v u v u v u v
+ = + ≤ + + = +
r r r r r r r r r r
Đặt
1 1 1
( ; ), ( ; ), ( ; ).a x b y c z
x y z
= = =

r
r r
Từ bất đẳng thức (*) ta có:

.a b c a b c a b c
+ + ≥ + + ≥ + +
r r r
r r r r r r
Giáo viên: Lê Thị Thu Huyền - Tổ Toán - Trường THPT Lê Viết Tạo
10
Một số phương pháp cơ bản để chứng minh một bất đẳng thức và khai thác một số bài toán cơ bản dành cho học sinh lớp
10.
Vậy P =
( )
2
2 2 2 2
2 2 2
1 1 1 1 1 1
.x y z x y z
x y z x y z
 
+ + + + + ≥ + + + + +
 ÷
 
Cách 1. Ta có
P
≥

( )
( )

2
2
2
2
3
3
1 1 1 1 9
3 3 9 ,x y z xyz t
x y z xyz t
 
 
+ + + + + ≥ + = +
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
Với
( )
2
2
3
1
0 .
3 9
x y z
t xyz t
+ +
 
= ⇒ < ≤ ≤

 ÷
 
Đặt
( )Q t
=
2
9 9 1
9 '( ) 9 0, 0;
9
t Q t t
t t
 
+ ⇒ = − < ∀ ∈


 

( )Q t⇒
giảm trên
1
0;
9
 


 
Suy ra
1
( ) 82.
9

Q t Q
 
≥ =
 ÷
 
Vậy P
( ) 82.Q t
≥ ≥
( Dấu “=” xảy ra khi
1
3
x y z= = =
).
Cách 2.
Ta có
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2 2
2
1 1 1 1 1 1
81 80
1 1 1
18 80 162 80 82.
x y z x y z x y z
x y z x y z
x y z x y z
x y z
   
+ + + + + = + + + + + − + +

 ÷  ÷
   
 
≥ + + + + − + + ≥ − =
 ÷
 
Vậy P
82
≥
.
( Dấu “=” xảy ra khi
1
3
x y z= = =
).
Bài toán 11: (Khối A, 2005)
Cho x, y, z là các số dương thoả mãn
1 1 1
4.
x y z
+ + =
Chứng minh rằng:
Giáo viên: Lê Thị Thu Huyền - Tổ Toán - Trường THPT Lê Viết Tạo
11
Một số phương pháp cơ bản để chứng minh một bất đẳng thức và khai thác một số bài toán cơ bản dành cho học sinh lớp
10.
1 1 1
1.
2 2 2x y x x y z x y z
+ + ≤

+ + + + + +
Giải:
Với a, b >0 ta có:

( )
2
1 1 1 1 1
4 .
4 4
a b
ab a b a
a b ab a b a b
+
 
≤ + ⇔ ≤ ⇔ + ≤ +
 ÷
+ +
 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a=b.
Từ kết quả trên ta có:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 4 2 4 2 4 8 2 2x y z x y z x y z x y z
 
     
≤ + + ≤ + + = + +
 
 ÷  ÷  ÷
+ +
     
 

Tương tự

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 4 2 4 2 4 8 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 4 2 4 2 4 8 2 2
x y z y x z y x z y x z
x y z z x y z x y z x y
     
 
≤ + ≤ + + = + +
 ÷  ÷
 ÷
 
+ + +
 
     
 
     
≤ + ≤ + + = + +
 
 ÷  ÷  ÷
+ + +
     
 
Vậy ta có
1 1 1 1 1 1 1
1
2 2 2 4x y z x y z x y z x y z
 

+ + ≤ + + =
 ÷
+ + + + + +
 
Ta thấy trong các bất đẳng thức trên thì dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z.
Vậy đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
3
4
x y z
= = =
.
Sau khi đưa ra các dạng bài tập về bất đẳng thức và hướng dẫn học sinh giải. Giáo
viên ra các dạng bài tập tương tự để học sinh giải, qua đó hình thành kỹ năng nhìn
nhận và đáng giá bất đẳng thức.
Giáo viên: Lê Thị Thu Huyền - Tổ Toán - Trường THPT Lê Viết Tạo
12
Một số phương pháp cơ bản để chứng minh một bất đẳng thức và khai thác một số bài toán cơ bản dành cho học sinh lớp
10.
Bài tập đề nghị
Bài 1: Cho a, b, c là 3 số thực dương.
Chứng minh rằng :
2
444
>
+
+
+
+
+
ba

c
ac
b
cb
a
(giải tương tự bài toán 9)
Bài 2: Cho a, b, c là 3 số thực dương.
Chứng minh rằng :
2
666
>
+
+
+
+
+
ba
c
ac
b
cb
a
Bài 3: Cho a, b, c là 3 số thực dương,
2,
≥Ν∈
nn
.
Chứng minh rằng :
1.
1

n
n n n
a b c n
n
b c c a a b n
+ + > × −
+ + + −
Bài 4: Cho a, b, c, d là các số thực dương.
Chứng minh rằng :
2
>
++
+
++
+
++
+
++
cba
d
bad
c
adc
b
dcb
a
Bài 5: Cho a, b, c, d là các số thực dương.
Chứng minh rằng :
2
3333

>
++
+
++
+
++
+
++
cba
d
bad
c
adc
b
dcb
a
Bài 6: Cho a, b, c là các số thực dương.
Chứng minh rằng :
2
22
>
++
+
+
+
+
cba
c
ca
b

cb
a
Bài 7: Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a, b, c.
Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
cba
ca
cba
bc
cba
ab
P
++
+
++
+
++
=
222
Bài 8 : Với
, , 1o a b c
≤ ≤
, chứng minh rằng:

(1 )(1 )(1 ) 1.
1 1 1
a b c
a b c
b c a c b a
+ + + − − − ≤
+ + + + + +

Bài 9: Với a, b, c > 0, chứng minh rằng:
Giáo viên: Lê Thị Thu Huyền - Tổ Toán - Trường THPT Lê Viết Tạo
13
Một số phương pháp cơ bản để chứng minh một bất đẳng thức và khai thác một số bài toán cơ bản dành cho học sinh lớp
10.
2 2 2
1 1 1
.
2
a b c
a bc b ac c ab abc
+ +
+ + ≤
+ + +
Bài 10: Với
0 , , 3x y z≤ ≤
, chứng minh rằng:
2 2 2
3 1 1 1
.
1 1 1 2 1 1 1
x y z
x y z x y z
+ + ≤ ≤ + +
+ + + + + +
II- Các biện pháp để tổ chức thực hiện
Để thực hiện được bài viết này tôi đã sử dụng các phương án sau:
1. Thực hiện qua giờ bài tập
2. Thực hiện qua các buổi học ngoại khóa theo các chuyên đề
PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

1. Kết luận:
Bất đẳng thức là một nội dung quan trọng trong chương trình môn toán lớp 10
nói riêng và bậc THPT nói chung. Nhưng đối với học sinh lại là một mảng tương
đối khó, đây cũng là phần nhiều thầy cô giáo quan tâm.
Việc giảng dạy giải bài tập toán nói chung, hay một bài toán bất đẳng thức nói
riêng phụ thuộc vào nhiều yếu tố. Tuy nhiên nếu chúng ta biết kết hợp, vận dụng
các kiến thức và phương pháp nhuần nhuyễn, hợp lý sẽ đạt được hiệu quả cao.
Với cách làm trên tôi nhận thấy rằng : Đã tạo cho các em cảm thấy có nhu cầu
làm việc trong giờ học, có một thói quen nhìn nhận một vấn đề dưới nhiều góc độ
khác nhau, biết khai thác một bài toán. Đặc biệt là tạo cho các em có lòng tin khi
đứng trước một vấn đề cần giải quyết. Hình thành phương pháp tự học, tự nghiên
cứu cho học sinh.
Đề tài của tôi đã được kiểm nghiệm trong các năm học giảng dạy lớp 10,
được học sinh đồng tình và đạt được kết quả, nâng cao khả năng giải bất đẳng
thức. Các em hứng thú học tập hơn, ở những lớp có hướng dẫn kỹ các em học sinh
với mức học trung bình cứng trở lên đã có kỹ năng giải các bài tập. Số học sinh biết
Giáo viên: Lê Thị Thu Huyền - Tổ Toán - Trường THPT Lê Viết Tạo
14
Một số phương pháp cơ bản để chứng minh một bất đẳng thức và khai thác một số bài toán cơ bản dành cho học sinh lớp
10.
áp dụng tăng rõ rệt. Cụ thể ở các lớp khối 10 sau khi áp dụng sáng kiến này vào
giảng dạy thì số HS hiểu và có kỹ năng giải được cơ bản các dạng toán nói trên, kết
quả qua các bài kiểm tra thử như sau :
Năm
học
Lớp
Tổng
số
Điểm 8 trở lên
Điểm từ 5 đến

8
Điểm dưới 5
Số
lượng
Tỷ lệ
Số
lượng
Tỷ lệ
Số
lượng
Tỷ lệ
2010-
2011
10A8 38 8 13.1 % 20 52,6 % 13 34,3 %
10B8 36 5 14 % 17 47 % 14 39 %
2011-
2012
10A9 39 8 20,5 % 22 56,4 % 9 23.1 %
10B9 42 9 21 % 23 55 % 10 24 %

Như vậy tôi thấy các phương pháp có hiệu quả tương đối. Theo tôi khi dạy phần
toán giải bất đẳng thức giáo viên cần chỉ rõ các dạng toán và cách giải tương ứng
để học sinh nắm được bài tốt hơn.
Mặc dù cố gắng tìm tòi, nghiên cứu song chắc chắn đề tài không tránh khỏi
những thiếu sót và hạn chế. Tôi rất mong được sự quan tâm của tất cả các đồng
nghiệp bổ sung và góp ý cho đề tài đạt hiệu quả cao hơn. Tôi xin chân thành cảm
ơn.
2. Kiến nghị và đề xuất:
- Đề nghị các cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh và giáo viên có nhiều
hơn nữa tài liệu sách tham khảo đổi mới và phòng thư viện để nghiên cứu học

tập nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ .
- Nhà trường cần tổ chức các buổi trao đổi phương pháp giảng dạy. Có tủ sách
lưu lại các tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập của giáo viên hàng năm để
làm cở sở nghiên cứu phát triển chuyên đề.
- Học sinh cần tăng cường học tập trao đổi, học nhóm nâng cao chất lượng học
tập.
Giáo viên: Lê Thị Thu Huyền - Tổ Toán - Trường THPT Lê Viết Tạo
15
Một số phương pháp cơ bản để chứng minh một bất đẳng thức và khai thác một số bài toán cơ bản dành cho học sinh lớp
10.
Hoằng Hóa, tháng 05 năm 2013
XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Tôi xin cam đoan đây là SKKN do tôi tự viết,
không sao chép của người khác.
Người viết

Lê Thị Thu Huyền

* ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI CỦA TỔ CHUYÊN MÔN:




Xếp loại:
* ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC- GIÁO DỤC NHÀ TRƯỜNG:




Xếp loại:
Giáo viên: Lê Thị Thu Huyền - Tổ Toán - Trường THPT Lê Viết Tạo

16
Một số phương pháp cơ bản để chứng minh một bất đẳng thức và khai thác một số bài toán cơ bản dành cho học sinh lớp
10.

Giáo viên: Lê Thị Thu Huyền - Tổ Toán - Trường THPT Lê Viết Tạo
17