7 van de ve phuong phap toa do trong khong gian

Phương pháp tọa độ trong không gian –Ban KHTN- LTĐH Gv: Huỳnh Hữu Hùng
Vấn đề1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN-TỌA ĐỘ CỦAVECTO, TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM
1.Trong hệ tọa độ Oxy cho
(1; 2;1)a = −
r
,
( 2;1;1)b = −
r
,
3 2c i j k= + −
r
r r
r
.Tìm tọa độ các véctơ
a)
3 2u a b= −
r
r r
b)
3v c b= − −
r r r
c)
w 2a b c= − +
uur r r r
d)
3
2
2
x a b c= − +
r r r r
2.Trong hệ tọa độ Oxy cho

(1; 1;0)a = −
r
,
( 1;1;2)b = −
r
,
2c i j k= − −
r
r r
r
,
d i=
r r
a)xác định k để véctơ
(2;2 1;0)u k= −
r
cùng phương với
a
r
b)xác định các số thực m,n,p để
d ma nb pc= − +
r r r r
c)Tính
, , 2a b a b+
r r r r
3.Cho A(2;5;3) , B(3;7;4) , C(x;y;6)
a)Tìm x,y để ba điểm A,B ,C thẳng hàng
b)Tìm giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng yOz.Tính độ dài đoạn AB
c)Xác định tọa độ điểm M trên mp Oxy sao cho MA+MB nhỏ nhất
4.Trong hệ tọa độ Oxy cho

1
(1; 2; )
4
a = −
r
,
( 2;1;1)b = −
r
,
3 2 4c i j k= + +
r
r r
r
a) Tính các tích vô hướng
.a b
r r
,
.c b
r r
.Trong ba véctơ trên có các cặp véctơ nào vuông góc
b)Tính
os(a,b)C
r r
,
os(a,i)C
r r
5.Cho A(1;-1;1) ,B(2;-3;2), C(4;-2;2),D(3;0;1),E(1;2;3)
a)Chứng tỏ rằng ABCD là hình chữ nhật.Tính diện tích của nó.
b)Tính cos các góc của tam giác ABC
c)Tìm trên đường thẳng Oy điểm cách đều hai điểm AB

d)Tìm tọa độ điểm M thỏa
2 0MA MB MC+ − =
uuur uuur uuuur r
6.Cho A(1;-1;1) ,B(2;-3;2), C(4;-2;2).
a)Tìm tọa độ trung điểm của đoạn AB
b)Tìm tọa độ trong tâm tam giác ABC
Vấn đề 2:TÍCH CÓ HƯỚNG HAI VÉCTƠ VÀ CÁC ỨNG DỤNG
1.Tính tích có hướng
,u v
 
 
r r
biết rằng
a)
(1; 2;1)u = −
r
,
( 2;1;1)v = −
r
b)
( 1;3;1)u = −
r
,
(0;1;1)v =
r
c)
4u i j= +
r r r
,
2v i j k= − −

r r r
r
2.Tính tích
, .wu v
 
 
r r uur
biết rằng
a)
(1; 2;1)u = −
r
,
(0;1;0)v =
r
,
w (1;2; 1)= −
uur
b)
( 1; 1;1)u = − −
r
,
(0;0;2)v =
r
,
w (1; 2; 1)= − −
uur
c)
4u i j= +
r r r
,

2v i j k= − −
r r r
r
,
w (5;1; 1)= −
uur
3.Cho A(1;-1;1) ,B(2;-3;2), C(4;-2;2), D(1;2;3)
a)Chứng tỏ rằng A,B,C không thẳng hàng
b)Chứng tỏ rằng bốn điểm A,B,C,D không đồng phẳng
c)Tính diện tích tam giác ABC
d)Tính thể tích tứ diện ABCD.Biết rằng
4.Cho hình chóp S.ABCD có A(2;-1;1) ,B(2;-3;2), C(4;-2;2), D(1;2;-1), S(0;0;7)
a)Tính diện tích tam giác SAB
b)Tính diện tích tứ giác ABCD
c)Tính thể tích hình chóp S.ABCD.Từ đó suy ra khoảng cách từ S đến mp(ABCD)
d)Tính khoảng cách từ A đến mp(SCD)
5.Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ . Biết rằng A(1;2;-1), B(-1;1;3), C(-1;-1;2) và D’(2;-2;-3)
a)Tìm tọa độ các đỉnh còn lại
b)Tính thể tích hình hộp
Phương pháp tọa độ trong không gian –Ban KHTN- LTĐH Gv: Huỳnh Hữu Hùng
c)Tính thể tích tứ diện A.A’BC. Tính tỉ số
. ' ' ' '
. ' ' '
ABCD A B C D
A A B C
V
V
d)Tính thể tích khối đa diện ABCDD’
Vấn đề 3 : PHƯƠNG TRÌNH CỦA MẶT CẦU
1.Tìm tâm và bán kính mặt cầu

a)
2 2 2
( 2) ( 1) ( 2) 9x y z− + + + − =
b)
2 2 2
25
4 5 3 0
4
x y z x y z+ + − + + + =
2.Cho A(1;3;-7), B(5;-1;1) .
a)Lập phương trình mặt cầu tâm A bán kính AB
b)Lập phương trình mặt cầu đường kính AB
c)Lập phương trình mặt cầu tâm B tiếp xúc với mặt phẳng Oxy
3.Cho A(1;1;1) ,B(1;2;1) ,C(1;1;2) , D(2;2;1)
a)Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A,B,C,D
b)Tìm hình chiếu của tâm mặt cầu ở câu a) lên các mp Oxy, Oyz
4.Lập phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm A(1;2;-4), B(1;-3;1) , C(2;2;3) và có tâm nằm trên mp Oxy
5.Cho A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0), D(1;2;1)
a)Chứng tỏ rằng ABCD là một tứ diện
b)Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
c)Viết phương trình mặt cầu cắt mp(ABC) theo thiết diện là một đường tròn có bán kính lớn nhất.
6.Chứng tỏ rằng phương trình
2 2 2 2
4 2 4 4 0x y z mx my z m m+ + + − + + + =
luôn là phương trình của một
mặt cầu. Tìm m để bán kính mặt cầu là nhỏ nhất.
7.Chứng tỏ rằng phương trình
2 2 2 2
2 os . 2sin . 4 4 4sin 0x y z c x y z
α α α

+ + + − + − − =
luôn là phương trình
của một mặt cầu. Tìm m để bán kính mặt cầu là lớn nhất.
Vấn đề 4: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
1.Cho A(-1;2;3), B(2;-4;3), C(4;5;6)
a)Viết phương trình mp đi qua A và nhận vectơ
(1; 1;5)n −
r
làm vectơ pháp tuyến
b)Viết phương trình mp đi qua A biết rằng hai véctơ có giá song song hoặt nằm trong mp đó là
(1;2; 1), (2; 1;3)a b− −
r
r
c)Viết phương trình mp qua C và vuông góc với đường thẳng AB
d)Viết phương trình mp trung trực của đoạn AC
e)Viết phương trình mp (ABC)
2.Cho A(-1;2;1), B(1;-4;3), C(-4;-1;-2)
a)Viết phương trình mp đi qua I(2;1;1) và song song với mp (ABC)
b)Viết phương trình mp qua A và song song với mp (P):2x- y- 3z- 2 = 0
c)Viết phương trình mp qua hai điểm A , B và vuông góc với mp (Q):2x- y+2z- 2 = 0
d)Viết phương trình mp qua A, song song với Oy và vuông góc với mp (R):3x – y-3z-1=0
e)Viết phương trình mp qua C song song với mp Oyz
3.Viết phương trình mp đi qua M(2;1;4) và cắt các trục Ox, Oy, Oz tại các điểm A,B, C sao cho
OA = OB = OC
4.Viết phương trình mp đi qua M(2;2;2) cắt các tia Ox, Oy,Oz tại các điểm A,B,C sao cho thể tích tứ diện
OABC nhỏ nhất .
5.Viết phương trình mp đi qua M(1;1;1) cắt các tia Ox, Oy,Oz lần lược tại các điểm A,B,C sao cho tam
giác ABC cân tại A, đồng thời M là trọng tâm tam giác ABC.
6.Cho tứ diện ABCD ,biết rằng A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0), D(1;2;1).
a)Viết phương trình mp chứa A và song song với mp (ABC)

b)Viết phương trình mp cách đều bốn đỉnh của tứ diện đó.
7.Cho mp(P):2x- y+2z- 2 = 0 và hai điểm A(2;-1;6), B(-3;-1;-4).
Phương pháp tọa độ trong không gian –Ban KHTN- LTĐH Gv: Huỳnh Hữu Hùng
a)Tính khoảng cách từ A đến mp (P)
b)viết phương trình mp chứa hai điểm A,B và tạo với mp (P ) một góc có số đo lớn nhất.
c)Viết phương trình mặt cầu tâm B tiếp xúc với mp (P)
8.Cho ba mặt phẳng
( )
( )
( )
: 2 2 1 0
: 2 1 0
: 2 2 3 0
x y z
x y z
x y z
α
β
γ
− − − =
− + − =
− + + − =
a)Trong ba mặt phẳng đó mp nào song song với mp nào?
b)Tìm quỹ tích các điểm cách đều
( )
α
và
( )
γ
c)Tính khoảng cách giữa hai mp

( )
α
và
( )
γ
d)Tìm quỹ tích các điểm cách
( )
β
một khoảng bằng 1
e)Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc trục Ox và tiếp xúc với hai mp
( )
α
và
( )
γ
9.Cho hai mặt phẳng
( )
( )
: 2 2 1 0
: 2 1 0
x y z
x y z
α
β
− − − =
− + − =
a)Tính cosin góc giữa hai mp đó
b)Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc Oy tiếp xúc với cả hai mp đó.
c)Viết phương trình mp đi qua giao tuyến của hai mp đó và song song với trục Ox
10.Cho mặt phẳng (P):2x- y+2z- 3 = 0 và mặt cầu (C ):

2 2 2
( 1) ( 1) ( 2) 25x y z− + + + − =
a)Chứng tỏ rằng mặt phẳng (P) và mặt cầu (C ) cắt nhau. Tìm bán kính của đường tròn giao tuyến
b)Lập phương trình các tiếp diện của mặt cầu song song với mặt phẳng (P)
12. Cho hai mặt phẳng
( )
: 2 2 5 0x y z
α
− + − =
và mặt cầu (C)
2 2 2
( 1) ( 1) ( 2) 25x y z− + + + − =
a)Lập phương trình tiếp diện của mặt cầu song song với Ox và vuông góc với
( )
α
b)Tính góc giưa mp
( )
α
với Ox
c)Lập phương trình mp đi qua hai A(1;0;1) điểm B(1;-2;2) và hợp với
( )
α
một góc 60
0
13.Cho bốn điểm A(1;1;2), B(1;2;1), C(2;1;1), D(1;1;-1)
a)Viết phương trình mp ABC.
b)Tính góc cosin giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ABD)
14.Viết phương trình mp đi qua điểm M(2;1;-1) và qua giao tuyến của hai mặt phẳng x- y+ z -4= 0 và 3x-
y + z -1= 0
15. Viết phương trình mp đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng x+2 z -4= 0 và x+ y - z + 3= 0 đồng thời

song song với mặt phẳng x+ y+ z = 0
16. Viết phương trình mp đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng3 x-y+ z -2= 0 và x+4 y -5= 0 đồng thời
vuông góc với mặt phẳng 2x- y+ 7 = 0
17.Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 2.Gọi I,J ,K lần lược là trung điểm các cạnh BB’ ,
C’D’ và D’A’.
a) Chứng tỏ rằng mặt phẳng (IJK) vuông góc với mặt phẳng (CC’K)
b)Tính góc giữa hai mặt phẳng (JAC) và (IAC’)
c)Tính khoảng cách từ I đến mp(AJK)
18.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB= SA= 2a. AD= a.Đặt hệ trục Oxyz sao
cho các tia Ox, Oy ,Oz lần lược trùng với các tia AB,AD,AS.
a)Từ điểm C vẽ tia CE cùng hướng với tia AS. Tìm tọa độ của E.
b)Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD).
c)Chứng tỏ rằng mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SBC)
d)Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SDC)
Phương pháp tọa độ trong không gian –Ban KHTN- LTĐH Gv: Huỳnh Hữu Hùng
e)Tính thể tích hình chóp S.ABCD
19.Cho tam giác đều ABC cạnh a, I là trung điểm của BC.D là điểm đối xứng với A qua I.Dựng đoạn SD =
6
2
a
vuông góc với mp (ABC).Chứng minh rằng
a)
( ) ( )mp SAB mp SAC⊥
b)
( ) ( )mp SBC mp SAD⊥
c)Tính thể tích hình chóp S.ABC
Vấn đề 5: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
1.Viết phương trình tham số của đường thẳng
a)Đi qua A(1;2;-1) và có vectơ chỉ phương là
(1; 2;1)a = −

r
b) đi qua hai điểm I(-1;2;1), J(1;-4;3).
c)Đi qua A và song song với đường thẳng
1 2 1
2 1 3
x y z− − +
= =
−

d)Đi qua M(1;2;4) và vuông góc với mặt phẳng 3x- y + z -1= 0
2.Tìm phương trình chính tắc của đường thẳng
a)Qua A(3;-1;2) và song song với đường thẳng
1 2
3
x t
y t
z t
= −


= +


= −

b)Qua A và song song với hai mặt phẳng x+2 z -4= 0 ; x+ y - z + 3= 0
c)Qua M(1;1;4) và vuông góc với hai đường thẳng (d
1
):
1 2

3
x t
y t
z t
= −


= +


= −

và (d
2
):
1 2 1
2 1 3
x y z− − +
= =
−
3.Cho tứ diện ABCD ,biết rằng A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0), D(1;2;1)
a)Viết phương trình đường thẳng qua A và vuông góc với mặt phẳng (BCD).
b)Viết phương trình đường thẳng qua I(1;5;-2) và vuông góc với cả hai đường thẳng AB,CD.
4.Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng (d):
1 2 1
2 1 3
x y z− − +
= =
−
lên các mặt phẳng tọa

độ
5.Viết phương trình hình chiếu của đường thẳng (d)
1 2
3
x t
y t
z t
= −


= +


= −

lên mặt phẳng (P):x+ y - z + 3= 0
6.Viết phương trình giao tuyến của hai mặt phẳng
( ) ( )
: 2 2 1 0, : 2 1 0x y z x y z
α β
− − − = − + − =
Vấn đề 6: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ CÁC MẶT PHẲNG
-GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH
7.Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
a) (d)
1 7 3
2 1 4
x y z− − −
= =
và (d’)

6 1 2
3 2 1
x y z− + +
= =
−

b) (d)
1 2
2 2 1
x y z− −
= =
−
và (d’)
8 4
2 3 1
x y z+ −
= =
−

c) (d)
2 1
4 6 8
x y z− +
= =
− −
và (d’)
7 2
6 9 12
x y z− −
= =

Phương pháp tọa độ trong không gian –Ban KHTN- LTĐH Gv: Huỳnh Hữu Hùng
d) (d)
1 2
3
x t
y t
z t
= −


= +


= −

và (d’) là giao tuyến của hai mặt phẳng
( ) ( )
: 2 3 3 9 0, : 2 3 0x y z x y z
α β
− − − = − + + =
8.Xét vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng.Tìm tọa độ giao điểm của chúng nếu có.
a)(d)
12 9 1
4 3 1
x y z− − −
= =
và
( )
:3 5 2 0x y z

α
+ − − =
b)(d)
1 3
2 4 3
x y z+ −
= =
và
( )
:3 3 2 5 0x y z
α
− + − =
c)(d)
9 1 3
8 2 3
x y z− − −
= =
và
( )
: 2 4 1 0x y z
α
+ − + =
9.Tính góc giữa các cặp đường thẳng ở bài 7.
10.Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng ở bài 7(nếu chúng chéo nhau hoặt song song nhau)
11.Tính góc giữa cặp đường thẳng và mặt phẳng ở bài 8.
12.Tính khoảng cách từ điểm M(-1;2;3) đến các đường thẳng
a)(d
1
):
12 9 1

4 3 1
x y z− − −
= =
b) (d
2
):
1 2
3
x t
y t
z t
= −


= +


= −

c)(d
3
) là giao tuyến của hai mặt phẳng
( ) ( )
: 2 3 3 9 0, : 2 3 0x y z x y z
α β
− − − = − + + =
13.Cho đường thẳng (d)
1 1 3
1 2 1
x y z− − −

= =
và
( )
: 2 4 1 0x y z
α
+ − + =
.
a)Tìm giao điểm giữa (d) và
( )
α
b)Viết phương trình mp chứa (d) và hợp với
( )
α
một góc có số đo lớn nhất
c)Viết phương trình mp chứa (d) và hợp với
( )
α
một góc có số đo nhỏ nhất
14.Trong không gian cho bốn đường thẳng
(d
1
):
1 2
1 2 2
x y z− −
= =
−
, (d
2
):

2 2
2 4 4
x y z− −
= =
−

(d
3
):
1
2 1 1
x y z −
= =
, (d
4
) :
2 1
2 2 1
x y z− −
= =
−

a)Chứng tỏ rằng (d
1
) và (d
2
) cùng nằm trên một mặt phẳng.Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng đó
b)Chứng tỏ rằng tồn tại một đường thẳng (d) cắt cả bốn đường thẳng đã cho.
c)Tính côsin góc giữa (d
1

) và (d
3
)
15.Cho ba điểm A(1;1;1), B(-1;2;0) C(2;-3;2) và mp
( )
: 2 0x y z
α
+ + − =
a)Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AB và BC
b)Tìm trên mp
( )
α
điểm cách đều 3 điểm A,B,C
c)Tìm phương trình hình chiếu của đường thẳng AB lên mp
( )
α
16.Cho tứ diện ABCD.Biết rằng A(1;1;2), B(1;2;1), C(2;1;1), D(1;1;-1)
a)Tính góc giữa hai đường thẳng AC và BD
b)Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD
c)Tìm tọa độ hình chiếu H của A lên mp (BDC)
d) Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng DB
e)Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến mp (BCD)
17.Tìm điểm M’ đối xứng với điểm M(2;-1;1) qua mp
( )
: 2 0x y z
α
+ + − =
Phương pháp tọa độ trong không gian –Ban KHTN- LTĐH Gv: Huỳnh Hữu Hùng
18.Tìm điểm A’ đối xứng với điểm A(2;-1;5) quađường thẳng
1 2 3

1 2 3
x y z− − −
= =
19.Cho A(3;1;0) , B(1;-2;5) và mp
( )
: 2 0x y z
α
+ + − =
Tìm điểm M trên mp
( )
α
sao cho MA+MB nhỏ
nhất
20.Cho A(2;1;1) , B(1;2;-1) và mp
( )
: 2 4 0x y z
α
+ + + =
.Tìm điểm M trên mp
( )
α
sao cho
MA MB−

lớn nhất
21.Cho A(2;1;1) , B(1;2;-1) và mp
( )
: 2 4 0x y z
α
+ + + =

.Tìm điểm M trên mp
( )
α
sao cho
MA MB+
uuur uuur

nhỏ nhất .
22.Cho A(3;1;0) , B(1;-2;5) và mp
( )
: 2 0x y z
α
+ + − =
Tìm điểm M trên mp
( )
α
sao cho MA
2
+MB
2
nhỏ
nhất
23.Cho A(3;1;0) , B(1;-2;5),C(-1;-2;-3) và mp
( )
: 2 0x y z
α
+ + − =
Tìm điểm M trên mp
( )
α

sao cho
MA
2
+MB
2
+MC
2
nhỏ nhất
24.Cho A(3;1;0) , B(1;-2;5),C(-1;-2;-3), D(1;5;1) và mp
( )
: 1 0x y z
α
+ + + =
Tìm điểm M trên mp
( )
α

sao cho MA
2
+MB
2
+MC
2
+MD
2
nhỏ nhất
25.Cho ba đường thẳng (d
1
):
1 2 2

1 4 3
x y z− + −
= =
,(d
2
):
3
1
5
x t
y t
z t
=


= −


= +

Và (d
3
) là giao tuyến của hai mặt phẳng
( ) ( )
: 2 4 3 0, : 2 1 0x y z x y z
α β
− + − = − − + =
Viết phương trình song song với (d
1
) cắt cả hai đường thẳng (d

2
) và (d
3
)
26.Cho hai đường thẳng (d
1
):
1 2
3
x t
y t
z t
= +


=


= −

Và (d
2
) là giao tuyến của hai mặt phẳng
( ) ( )
: 2 1 0, : 2 3 0x y z x z
α β
+ + − = + − =
Viết phương trình đường thẳng đi qua A(1;-1;1) cắt cả hai đường thẳng (d
1
) và (d

2
)
27.Viết phương trình của đường thẳng nằm trong mp :y+2z = 0 và cắt cả hai đường thẳng.
(d
1
):
1
4
x t
y t
z t
= −


=


=

(d
2
):
2
4 2
1
x t
y t
z
= −



= +


=

28.Cho hai đường thẳng (d):
1 1 2
2 3 1
x y z+ − −
= =
và (d’):
2 2
1 5 2
x y z− +
= =
−
.
a)Chứng tỏ rằng (d) và (d’ ) chéo nhau.Tính khoảng cách giữa chúng
b)Viết phương trình đường vuông góc chung của chúng
c)Tính góc giữa (d
1
) và (d
2
)
29.Cho hai đường thẳng (d):
1 2 3
1 2 3
x y z− − −
= =

và (d’):
2
1
x t
y t
z t
= −


= − +


=

.
a)Chứng tỏ rằng (d) và (d’ ) chéo nhau.Tính khoảng cách giữa chúng
b)Viết phương trình đường vuông góc chung của chúng
c)Tính góc giữa (d
1
) và (d
2
)
Phương pháp tọa độ trong không gian –Ban KHTN- LTĐH Gv: Huỳnh Hữu Hùng
30.Cho hai đường thẳng (d
1
):
1 3
2
x t
y t

z t
= +


= − +


=

Và (d
2
) là giao tuyến của hai mặt phẳng
( ) ( )
: 2 0, : 1 0x y z x
α β
+ − + = + =
Viết phương trình đường thẳng đi qua A(0;1;1) vuông góc với đường thẳng (d
1
) và cắt (d
2
)
31.Cho đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng
( ) ( )
: 4 1 0, : 0x y x z
α β
+ − = + =
.Viết phương
trình đường thẳng đi qua điểm M(0;1;-1) vuông góc và cắt đường thẳng (d)
32.Cho hai điểm A(1;1;-5), B(0;1;-7) và đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng
( ) ( )

: 1, : 1y x z
α β
= + = −
Tìm điểm M thuộc đường thẳng (d) sao cho chu vi tam giác AMB nhỏ nhất.
Vấn đề 7: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
Giải các bài toán sau bằng phương pháp tọa độ1
1 Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có A trùng với gốc
của hệ toạ độ, B(a; 0; 0), D(0; a; 0), A'(0; 0; b)
(a > 0, b > 0). Gọi M là trung điểm cạnh CC'.
a) Tính thể tích khối tứ diện BDA'M theo a và b.
b) Xác định tỷ số
b
a
để hai mặt phẳng (A'BD) và (MBD) vuông góc với nhau.
2. Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi , AC cắt
BD tại gốc toạ độ O.Biết A(2; 0; 0) B(0; 1; 0) S(0; 0; 2
2
). Gọi M là trung điểm của cạnh SC.
a) Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM.
b) Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt SD tại N. Tính thể tích hình chóp S.ABMN.
3.Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D cạnh a.
a)Chứng minh rằng
' ( ' ')A C AB D⊥

b)Chứng minh rằng giao điểm của đường chéo A’C và mp (AB’D’) đi qua trọng tâm của tam giác AB’D’
c)Tính khoảng cách giữa hai mp(AB’D’) và(C’BD)
d)Tính góc tạo bởi hai mp(DA’C) và (ABB’A’)
e)Tính thể tích của khối đa diện ABCA’B’
4.Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D cạnh a.Các điểm M thuộc AD’ và N thuộc BD sao cho
AM=DN=k ,(

0 2k a< <
)
a) Xác định k để đoạn MN ngắn nhất
b)Chứng minh rằng MN luôn song song với mp (A’D’BC) khi k biến thiên.
c)Khi đoạn MN ngắn nhất chứng minh MN là đường vuông góc chung của AD’ và BD và lúc đó MN
song song với AC.
5.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a, góc
·
0
60BAD =
và đường cao SA = a.
a) Tính khoảng cách từ O đến mp (SBC)
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB
c)Góc giữa đường thẳng SA và mp (SCD)
e)Gọi M, N lần lược là trung điểm của SA,SB.TÍnh tỉ số
.
.
S MNAB
S ABCD
V
V
6.Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAD cạnh a nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau.Gọi I
là trung điểm của AB.
a)Chứng minh rằng CI
⊥
SB
b)Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB
c)Tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng SA và BD
Phương pháp tọa độ trong không gian –Ban KHTN- LTĐH Gv: Huỳnh Hữu Hùng
d)Tính tỉ số

.
.
I SAB
S ABCD
V
V
7.Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a; các cạnh bên đều bằng
6
2
a
.Gọi
( )
α
là mp song
song với BC và vuông góc với mp(SBC), gọi I là trung điểm của BC.
a)Tính khoảng cách từ I đến mp
( )
α
b)Tính góc giữa AB và
( )
α
8.Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là một hình thoi cạnh a, góc = 60
0
. gọi M
là trung điểm cạnh AA' và N là trung điểm cạnh CC'. Chứng minh rằng bốn điểm B', M, D, N cùng thuộc
một mặt phẳng. Hãy tính độ dài cạnh AA' theo a để tứ giác B'MDN là hình vuông.
9. Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, có giao tuyến là đường thẳng ∆. Trên ∆ lấy hai điểm
A, B với AB = a. Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C, trong mặt phẳng (Q) lấy điểm D sao cho AC, BD cùng
vuông góc với ∆ và AC = BD = AB. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và tính khoảng cách
từ A đến mặt phẳng (BCD) theo a.

10. Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi,
AC cắt BD tại gốc toạ độ O. Biết A(2; 0; 0) B(0; 1; 0) S(0; 0; 2
2
). Gọi M là trung điểm của cạnh SC.
a) Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM.
b) Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt SD tại N. Tính thể tích hình chóp S.ABMN.
*Một số đề thi đại học trong thời gian gần đây
1) (Đề dự bị 1 khối B năm 2007)Trong không gian Oxyz cho các điểm A(–3,5,–5); B(5,–3,7); và mặt
phẳng (P): x + y + z = 0
1. Tìm giao điểm I của đường thẳng AB với mặt phẳng (P).
2. Tìm điểm M ∈ (P) sao cho MA
2
+ MB
2
nhỏ nhất.
2) (Đề dự bị 1 khối B năm 2007). Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông
góc với hình chóp. Cho AB = a, SA = a
2
. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SD. Chứng
minh SC ⊥ (AHK) và tính thể tích hình chóp OAHK.
3) (Đề dự bị 2 khối A năm 2007)Trong không gian Oxyz cho các điểm A(2,0,0); B(0,4,0); C(2,4,6) và
đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng
α − + = β + + − =( ) : 6x 3y 2z 0,( ) : 6x 3y 2z 24 0
1. Chứng minh các đường thẳng AB và OC chéo nhau.
2. Viết phương trình đường thẳng ∆ // (d) và cắt các đường AB, OC.
4) (Đề dự bị 2 khối A năm 2007) Cho hình chóp SABC có góc
( )
o
60ABC,SBC =
∧

, ABC và SBC là các
tam giác đều cạnh a. Tính theo a khoảng cách từ đỉnh B đến mp(SAC).
5)(Đề dự bị 1 khối A năm 2007)Trong không gian Oxyz cho hai điểm A (-1;3;-2), B (-3,7,-18) và mặt
phẳng (P): 2x - y + z + 1 = 0
1. Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mp (P).
2. Tìm tọa độ điểm M ∈ (P) sao cho MA + MB nhỏ nhất.
6)(Đề dự bị 1 khối A năm 2007). Cho lăng trụ đứng ABCA
1
B
1
C
1
có AB = a, AC = 2a, AA
1

2a 5=
và
o
120BAC =
∧
. Gọi M là trung điểm của cạnh CC
1
. Chứng minh MB⊥MA
1
và tính khoảng cách d từ điểm A
tới mặt phẳng (A
1
BM).
Phương pháp tọa độ trong không gian –Ban KHTN- LTĐH Gv: Huỳnh Hữu Hùng
7) (Đề dự bị 2 khối B năm 2007). Trong không gian Oxyz cho các điểm A(2,0,0); M(0,–3,6)

1. Chứng minh rằng mặt phẳng (P): x + 2y – 9 = 0 tiếp xúc với mặt cầu tâm M, bán kính MO. Tìm tọa độ
tiếp điểm.
2. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa A, M và cắt các trục Oy, Oz tại các điểm tương ứng B, C sao cho
V
OABC
= 3.
8) (Đề dự bị 1 khối B năm 2007). . Trong mặt phẳng (P) cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và
điểm C thuộc nửa đường tròn đó sao cho AC = R. Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A lấy điểm S
sao cho
( )
o
60SBC,SAB =
∧
. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC. Chứng minh ∆AHK vuông
và tính V
SABC
?
9)(Đề dự bị 1 khối D năm 2007)Cho đường thẳng d:
1
1z
1
2y
2
3x
−
+
=
+
=
−

và mặt phẳng
(P):
02zyx =+++
1. Tìm giao điểm M của d và (P).
2. Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong (P) sao cho ∆ ⊥ d và khoảng cách từ M đến ∆ bằng
42
.
10)(Đề dự bị 1 khối D năm 2007). Cho lăng trụ đứng ABCA
1
B
1
C
1
có đáy ABC là tam giác vuông
aACAB ==
, AA
1
= a
2
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của đoạn AA
1
và BC
1
. Chứng minh MN là
đường vuông góc chung của các đường thẳng AA
1
và BC
1
. Tính
11

BCMA
V
.
11)(Đề dự bị 2 khối D năm 2007).Cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 1 = 0 và các đường thẳng
2
z
3
3y
2
1x
:d
1
=
−
−
=
−
và
5
5z
4
y
6
5x
:d
2
−
+
==
−

1. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d
1
và (Q) ⊥ (P).
2. Tìm các điểm M ∈ d
1
, N ∈ d
2
sao cho MN // (P) và cách (P) một khoảng bằng 2.
12(Đề dự bị 2 khối D năm 2007). Cho lăng trụ đứng ABCA
1
B
1
C
1
có tất cả các cạnh đều bằng a. M là
trung điểm của đoạn AA
1
. Chứng minh BM ⊥ B
1
C và tính d(BM, B
1
C).
13. (Đề dự bị 1 khối A năm 2006).
Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có AB = AD = a và góc BAD = 60
0
. Gọi M,N là trung điểm các
cạnh A’D’ và A’B’.Chứng minh rằng A’C’ vuông góc với mặt phẳng (BDMN). Tính thể tích của khối
chóp A.BDMN
14.(Đề chính thức khối D năm 2007).
Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B. BA = BC = a, AD = 2a.

Cạnh SA vuông góc với đáy và SA =
2a
.H là hình chiếu của A lên SB .Chứng minh rằng tam
giác SCD vuông và tính theo a khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD)
15. (Đề chính thức khối B năm 2007).
Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, Gọi E là điểm đối xứng của D qua
trung điểm của SA,M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC.Chứng minh rằng MN vuông
góc với BD và tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC.
(Đề chính thức khối A năm 2007).
16.Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với đáy .Gọi M,N,P lần lược là trung điểm của các cạnh SB,BC,CD. Chứng minh
AM vuông góc với BP và tính thể tích khối tứ diện CMNP
ĐỀ THAM KHẢO sè 1
MÔN: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút
Phng phỏp ta trong khụng gian Ban KHTN- LTH Gv: Hunh Hu Hựng
*********
I - PHN CHUNG CHO TT C CC TH SINH (7,0 im)
Cõu I (2,0 im) Cho hm s
3 2
y = - x + (m - 1)x + (m + 3)x - 4.
1. Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s v i m = 0
2. Tỡm hm s ng bin trờn khong (0; 3)
Cõu II (2,0 im)
1. Gii phng trỡnh:
( )
2 2
sinx 1+ tanx x + tan x=1
2. Gii bt phng trỡnh:
+ + +3 4 2 1 3x x x

3. Gii phng trỡnh :
x x 1
l og (4 4) x log (2 3)
2 1
2
+
+ =
Cõu III (1,0 im) Tớnh tớch phõn: I =
1
3
2
0
x 2
dx
x +1
2 1


ữ
+


x
x
Cõu IV (1,0 im) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA vuông góc với
mp(ABCD) và SA = a. Gọi E là trung điểm của cạnh CD. Tính SH theo a với H là hình chiếu của S lên đờng
thẳng BE.Tính thể tích của khối nón tròn xoay khi quay
SHE
quanh SH.
Cõu V (1 im) Cho 3 s dng a, b, c tho món: abc = 1.

Chng minh rng:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
ab bc ac 3
+ +
c a + c b a b +a c b a +b c 2

II - PHN RIấNG (3,0 im) . Thớ sinh ch oc lm mt trong hai phn (phn A hoc B)
A. Theo chng trỡnh Chun
Cõu VI.a (2,0 im)
1. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho A(2; 2) và hai đờng thẳng (d) : x+y-2=0 và (d) : x + y
-8 =0
Tìm toạ độ của B

(d) và C

(d)sao cho
ABC
vuông cân tại A
2. Trong không gian cho hai đờng thẳnhg
( )



=+
=+
032
022
:
1
zx

yx
d
,
( )



=+
=++
0642
0104
:
2
zyx
zyx
d
và
điểmA(1, 2, 3)
a. Lập phơng trình của đờng thẳng (d) đi qua điểm A vuông góc với
( )
1
d
và cắt đờng thẳng
( )
2
d
.
b. Lập phơng trình mặt cầu tâm A cắt
( )
1

d
tại A, B phân biệt sao cho AB = 3
Cõu VII.a (1,0 im) Cho n

N
*
thoả mãn :
1 2 2 3 3 4 2 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2.2 3.2 . 4.2 (2 1).2 25
+
+ + + + +
+ + + + =
n n
n n n n n
C C C C n C
Tìm số hạng không chứa x trong khai triển Niutơn của (x + 1/x)
12
B. Theo chng trrỡnh Nõng cao
Cõu VI.b (2,0 im)
1. Giải phơng trình
+ + + =
2
4 3
1 0
2
z
z z z
Với z C
2. Trong không gian 0xyz ,cho hai đờng thẳng (d

1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi :
( )
3
3
2
2
1
1
:
1

=

=
zyx
d
;
( )

0532
02
:
2



=+

=+
zyx
zyx
d
a) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d
1
), (d
2
) chéo nhau. Tính khoảng cách giữa chúng. Lập phơng trình đ-
ờng thẳng qua gốc toạ độ vuông góc và cắt
( )
1
d
b) Viết phơng trình mặt phẳng(P) song song, cách đều (d
1
), (d
2
)
Cõu VII.b (1 im)
Phương pháp tọa độ trong khơng gian –Ban KHTN- LTĐH Gv: Huỳnh Hữu Hùng
Cho hàm số
2
1
1
x mx
y
x
+ −
=
−

(1) Đònh m để đường thẳng y=m cắt đồ thò hàm số (1) tại hai điểm
phân biệt A, B sao cho
OA OB⊥
.