Chuyên Đề 06 phương pháp toa độ trong không gian

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán! Học Online: www.moon.vn




Tọa độ của vectơ và của điểm:
Cho
( ; ; )
( ; ; )
u x y z u xi y j zk
M x y z OM u xi y j zk

= ⇔ = + +


= ⇒ = = + +


    
    

N
ế
u
(
)
( ; ; ), ( ; ; ) ; ;
A A A B B B B A B A B A
A x y z B x y z AB x x y y z z
= = → = − − −




Vect
ơ
b
ằ
ng nhau. T
ọ
a
độ
c
ủ
a vect
ơ
t
ổ
ng, vect
ơ
hi
ệ
u:
Cho
1 1 1 2 2 2
( ; ; ), ( ; ; )
u x y z v x y z
= =
 
.
Khi

đ
ó
( )
1 2 1 2 1 2
1 1 1
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
1 2
1 2
1 2
; ;
( ; ; ),
( ; ; ), ,
; ( ) ( ) ( )
A B A B A B
u v x x y y z z
ku kx ky kz k
mu nv mx nx my ny mz nz m n
u x y z v x y z AB x x y y z z
x x
u v y y
z z
± = ± ± ±
= ∈
± = ± ± ± ∈
= + + = + + → = − + − + −
=



= ⇔ =


=

 

ℝ
 
ℝ
 
 


Hai vectơ cùng phương:
Hai vect
ơ
1 1 1 2 2 2
( ; ; ), ( ; ; )
u x y z v x y z
= =
 
cùng phương
2 1
2 2 2
2 1
1 1 1
2 1
:
x kx

x y z
k v ku y ky hay
x y z
z kz
=


⇔ ∃ ∈ = ⇔ = = =


=

 
ℝ


Tích vô h
ướ
ng c
ủ
a hai vect
ơ
:
Cho
1 1 1 2 2 2
( ; ; ), ( ; ; )
u x y z v x y z
= =
 
.

Tích vô h
ướ
ng c
ủ
a hai véc t
ơ
cho b
ở
i
(
)
1 2 1 2 1 2
. .cos ,
u v u v u v x x y y z z
= = + +
     

T
ừ đó suy ra
( )
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
.
cos , . 0 0
.
x x y y z z
u v
u v u v u v x x y y z z

u v
x y z x y z
+ +
= = → ⊥ ⇔ = ⇔ + + =
+ + + +
 
     
 

Ví dụ 1: Trong hệ tọa độ Oxy cho:
= − = − = − − =
(1; 1;0), ( 1;1;2), 2 ,
 
   
 
a b c i j k d i

a) Xác
đị
nh k
để
véct
ơ

= −
(2;2 1;0)

u k
cùng ph
ươ

ng v
ớ
i
.

a

b) Xác
đị
nh các s
ố
th
ự
c m, n, p
để
:
= − +
   
d ma nb pc

c) Tính
+
; ; 2
   
a b a b

Hướng dẫn giải:
a)
Để
u


cùng phương với
1 1 1
2 2 1 2
a k
k
−
⇔ = ⇔ = −
−


b)
2 (1; 2; 1); (1;0;0)
c i j k c d i d= − − ⇒ − − = ⇒
   

 


01. VÉC TƠ VÀ TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN
Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán! Học Online: www.moon.vn
Ta có
3
2
( ; ;0)
1
1
( ; ;2 ) 2 0

2
2 0
( ; 2 ; )
1
m
ma m m
m n p
nb n n n d ma nb pc m n p n
n p
pc p p p
p

=


= −
+ + =



  
= − → = − + ⇔ − − − = ⇔ =
  
  
− − =
= − −


= −






    


c)
2 2 2 2 2
1 ( 1) 2; ( 1) 1 2 6
a b= + − = = − + + =
 

2 2 2
2 (1 2.1; 1 2.1;0 2.2) ( 1;1;4) 2 ( 1) 1 4 18 3 2
+ = − − + + = − → + = − + + = =
   
a b a b

Ví dụ 2:

Cho A(1; –1; 1), B(2; –3; 2), C(4; –2; 2), D(3; 0; 1), E(1; 2; 3).
a) Chứng tỏ rằng ABCD là hình chữ nhật. Tính diện tích của hình chữ nhật ABCD.
b) Tính cosin các góc của tam giác ABC.
c) Tìm trên đường thẳng Oy điểm cách đều hai điểm AB.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi

ả
i:
a)
Ta có
(1; 2;1)
AB DC= = −
 
nên ABCD là hình bình hành
L
ạ
i có

0
. 1.2 2.1 0.1 0 . 90
AB BC AB BC ABC= − + = → ⇔ =
   
. V
ậ
y ABCD là hình ch
ữ
nh
ậ
t
2 2 2 2 2
. 1 1 2 . 2 1 30
ABCD
S AB BC= = + + + =
b)
G
ọ

i góc gi
ữ
a các c
ạ
nh c
ủ
a tam giác ABC là
φ
1;

φ
2
;
φ
3

Ta có
(1; 2;1); (2;1;0); (3; 1;1)
AB BC AC= − = = −
  

Do góc gi
ữ
a 2
đườ
ng th
ẳ
ng không v
ượ
t quá 90

0
nên ta có:
( )
( )
( )
1
2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2
3
2 2 2 2 2
1.2 2.1 1.0
cosφ cos ; 0
1 2 1 . 1 2
1.3 2.1 1.1
6
cosφ cos ;
66
1 2 1 . 1 1 3
2.3 1.1 0.1
5
cosφ cos ;
55
2 1 . 1 1 3
AB BC
AB AC
BC AC
− +
= = =
+ + +

+ +
= = =
+ + + +
− +
= = =
+ + +
 
 
 

c)
Gọi điểm I thuộc Oy có tọa độ là I(0, y, 0)
(1; 1 ;1), (2; 3 ;2)
IA y IB y
→ = − − = − −
 

I cách đều A và B khi
2 2 2 2 2 2 2 2
7 7
1 (1 ) 1 2 (3 ) 2 0; ;0
2 2
IA IB IA IB y y y I
− −
 
= ⇔ = ⇔ + + + = + + + ⇔ = →
 
 

Ví dụ 3: Cho:

(
)
(
)
(
)
2 5 3 0 2 1 1 7 2
− −
= = =
     
 
  

 
. Tìm to
ạ

độ
c
ủ
a các vect
ơ



v
ớ
i:
a)
1

4 3
2
= − +
   

  
b)
4 2
= − −
   

  
c)
2
4
3
= − +
  

 

d)
3 5
= − +
   

  
e)
1 4
2

2 3
= − −
   

  
f)
3 2
4 3
= − −
   

  

Ví dụ 4: Cho ba vect
ơ

(
)
(
)
(
)
1 1 1 4 0 1 3 2 1
= − = − = −
       
  

 
. Tìm:
a)

(
)

  

 
b)
(
)
2

  

 
c)
2 2 2
+ +
     
 
   

Ví dụ 5: Cho ba vect
ơ

(
)
(
)
(
)

2 1 1 0 3 4 1 3
= = − = +
       
    

 
. Tìm m
để

a)
2 3 2 69
+ − =a b c
  
(
Đ
/s: m = 2)
b)
(
)
3 . 0
+ =
a c b
  

c)
( )
22
cos ; 2
3045
+ − =a b b c

   
(Đ/s: m = 1)
Ví dụ 6:
Cho ba vectơ
(
)
(
)
(
)
1 3 4 2 1 1 2 1
= = − − =
       
    

 
. Tìm m để
a)

2 74
+ =a c
 
(Đ/s: m = 1)
b)

(
)
(
)
2 . 2 0

+ − =
b c a c
   
(Đ/s: m = –2)
Ví dụ 7:
Cho hai vectơ

 


. Tính X, Y khi biết
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán! Học Online: www.moon.vn
a)
4 6

= =

= −

 
  





b)
2 1 2 6 4


= − − = − =

= +

       
  
 
 



Ví dụ 8: Cho các điểm A(1; 1; 2), B(3; 0; –3), C(2; 4; –1).
a) Chứng minh rằng ABC là một tam giác. Tính chu vi và diện tích tam giác ABC.
b) Tìm điểm D để ABCD là một hình bình hành.
c) Tìm điểm M thỏa mãn hệ thức
3 2 0
+ − =
MA MB CM
   

Ví dụ 9: Tìm điểm M trên Oy cách đều các điểm
(3;1;0), ( 2;4;1)
−
A B
Đ
/s:
11
0; ;0
6
 

 
 
M
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1:
Tìm t
ọ
a
độ
chân
đườ
ng vuông góc H c
ủ
a tam giác OAB v
ớ
i
( 3; 2;6), ( 2;4;4), (0;0;0)
− − −
A B O
Đ
/s:
96 80 192
; ;
41 41 41
 
−
 
 
H
Bài 2:

Cho các
đ
i
ể
m A(2; 1; 0), B(3; 1; –1), C(1; 2; 3).
a)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng ABC là m
ộ
t tam giác. Tính chu vi và di
ệ
n tích tam giác ABC.
Đ
/s:
6
2
=S
b)
Tìm
đ
i
ể
m D
để
ABCD là m
ộ
t hình bình hành.

Đ
/s: D(2;2;2;)
c)
Tìm
đ
i
ể
m M th
ỏ
a mãn h
ệ
th
ứ
c
2 ,
− + =
MA MB MC MD
   
v
ớ
i D(4; 3; 2)
Đ
/s:
1
1; ;0
2
 
 
 
M

Bài 3:
Tìm
đ
i
ể
m C trên Ox sao cho tam giác ABC vuông t
ạ
i C v
ớ
i
(1;1;2), ( 1;2;5)
−
A B
Đ
/s:
(
)
2;0;0
−C
Bài 4:
Tìm
đ
i
ể
m C trên Oy sao cho tam giác ABC vuông t
ạ
i B v
ớ
i
(2; 1;0), (1; 1;1)

− −
A B
Đ
/s:
(
)
0;3;0
C
Bài 5:
Tìm
đ
i
ể
m M thu
ộ
c m
ặ
t ph
ẳ
ng xOz sao cho M cách
đề
u các
đ
i
ể
m
(1;1;1), ( 1;1;0), (3;1; 1)
− −
A B C
Đ

/s:
5 7
;0;
6 6
 
−
 
 
M
Bài 6:
Trong không gian Oxyz cho 4
đ
i
ể
m
(
)
(
)
(
)
(
)
4;2;1 , 1;0;3 , 2; 2;0 , 3;2;1
− − −A B C D
a)
Ch
ứ
ng minh r
ằ

ng A, B, C, D không
đồ
ng ph
ẳ
ng
b)
Tính th
ể
tích t
ứ
di
ệ
n ABCD và
đườ
ng cao c
ủ
a t
ứ
di
ệ
n h
ạ
t
ừ

đỉ
nh A
c)
Tìm t
ọ

a
độ

đ
i
ể
m M thu
ộ
c
đườ
ng th
ẳ
ng AB sao cho tam giác MCD có di
ệ
n tích nh
ỏ
nh
ấ
t.
Bài 7:
Trong không gian Oxyz, cho 3
đ
i
ể
m:
(
)
(
)
(

)
2;3;1 , 1;2;0 , 1;1; 2
− −
A B C
a)
Tìm t
ọ
a
độ
tr
ự
c tâm tam giác ABC
b)
Tìm t
ọ
a
độ
I là tâm
đườ
ng tròn ngo
ạ
i ti
ế
p tam giác ABC
c)
Gi
ả
s
ử
G là tr

ọ
ng tâm c
ủ
a tam giác ABC. Ch
ứ
ng minh 3
đ
i
ể
m G, H, I th
ẳ
ng hàng.

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán! Học Online: www.moon.vn



Tích có hướng của hai véc tơ:
Cho hai véc tơ:
1 1 1 1 1 1
1 1 1 2 2 2
2 2 2 2 2 2
( ; ; ), ( ; ; ) ; ; ;
y z z x x y
u x y z v x y z u v
y z z x x y
 
 
= = → =

 
 
 
   

Ví dụ 1:
Tính tích có h
ướ
ng c
ủ
a các véc t
ơ
sau:
a)
( )
(1;1;2)
; 6; 4;5
( 2;3;0)
u
u v
v

=

 
→ = − −

 
= −




 


b)
( )
( 1;3;1)
; 7;0;5
( 2;1; 2)
u
u v
v

= −

 
→ = −

 
= − −



 


c)

( )

(2;0; 1)
; 2;4;4
( 2;2; 1)
u
u v
v

= −

 
→ =

 
= − −



 


Ví dụ 2:

Cho
(
)
(
)
= = − −
1;1;2 , 1; ; 2 .
 

u v m m Tìm m
để

a)
 
⊥
 
; ,
  
u v a
v
ớ
i
(
)
= − −
3; 1; 2 .

a b)
 
=
 
; 4.
 
u v c)
(
)
 
=
 

0
; ; 60 ,
  
u v a v
ớ
i
(
)
= −
1;2;0 .

a
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
Ta có
( )
( )
( )
1;1;2
; 2; ; 1
1; ; 2
u
u v m m m
v m m


=

 
→ = − − − +

 
− −



 


a)
( ) ( )
; ; . 0 2; ; 1 . 3; 1; 2 0 3 6 2 2 0 4 8 2.
u v a u v a m m m m m m m m
   
⊥ ⇔ = ⇔ − − − + − − = ⇔ − − + − − = ⇔ = − ⇔ = −
   
     

b)
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2
1
; 4 2 1 4 5 6 5 4 5 6 11 0
11
5

m
u v m m m m m m m
m
=


 
= ⇔ − − + − + + = ⇔ + + = ⇔ + − = ⇔
 

= −


 

c)

(
)
(
)
( )
0 2
2
1 2 2 1
; ; 60 cos ; ; 2 2 5. 5 6 5
2 2
5 6 5. 5
m m
u v a u v a m m m

m m
+ −
   
= ⇔ = ⇔ = ⇔ − = + +
   
+ +
     

( )
( )
2
2
2
2
2 0
2
227 23
23 227
4 2 5 5 6 5 42
21 46 9 0
42
m
m
m
m
m m m
m m
m
≤


− ≥

≤

−
 
⇔ ⇔ ⇔ → =
  
− ±
− = + +
+ + =
=







Các ứng dụng của tích có hướng:
+)
Ứ
ng d
ụ
ng 1:
Xét sự đồng phẳng của ba véc tơ (hoặc tính đồng phẳng của bốn điểm phân biệt A, B, C, D).

Ba véc tơ
; ;
  

a b c
đồ
ng ph
ẳ
ng khi
; . 0
 
=
 
  
a b c và không đồng phẳng khi
; . 0.
 
≠
 
  
a b c
B
ốn điểm A, B, C, D đồng phẳng khi
; . 0
 
=
 
  
AB AC AD và không đồng phẳng khi
; . 0.
 
≠
 
  

AB AC AD
+)
Ứ
ng d
ụ
ng 2:
Tính diện tích tam giác.
Ta có
1 1 1
; ; ;
2 2 2
∆
     
= = =
     
     
ABC
S AB AC BC BA CA CB

02. TÍCH CÓ HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG
Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán! Học Online: www.moon.vn
Từ đó
; ;
1 1
; .
2 2
∆
   

   
 
= = → = =
 
   
 
ABC a a
AB AC AB AC
S AB AC a h h
a BC

+) Ứng dụng 3:
Tính th
ể
tích kh
ố
i chóp tam giác ho
ặ
c t
ứ
di
ệ
n.
Ta có
1 1 3
; . . .
6 3
∆
∆
 

= = → =
 
  
ABCD ABC
ABC
V
V AB AC AD S h h
S

⇒ thể tích khối hình hộp
. ' ' ' '
ABCD A B C D
là
; . '
 
=
 
  
V AB AC AA

Ví dụ 3:

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 4 điểm A(6; –2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; –1), D(4; 1; 0).
a) Chứng minh rằng A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện.
b) Tính thể tích của tứ diện ABCD.
c) Tính đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh A.
d) Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD.
H
ướ
ng d

ẫ
n gi
ả
i:
a)
( 6;3;3), ( 4;2;4), ( 2;3; 3)
= − = − = − −
  
AB AC AD

Ta có
3 3 3 6 6 3
, ; ; ( 18; 36;0)
2 4 4 4 4 2
 − −
 
= = − −
 
 
− − − −
 
 
AB AC
, . 18.( 2) 36.3 72 0
 
⇒ = − − − = − ≠
 
  
AB AC AD nên ba vectơ
, ,

  
AB AC AD
không đồ
ng ph
ẳ
ng.
V
ậ
y A, B, C, D là 4
đỉ
nh c
ủ
a m
ộ
t t
ứ
di
ệ
n
b)

1 1
, . .72 12
6 6
 
= = =
 
  
ABCD
V AB AC AD (đvtt)

c)
(2; 1; 7), (4;0; 6)
= − − = −
 
BC BD
2 2 2
1 7 7 2 2 1
1 1
, ; ; (6; 16;4) , 6 16 4 77
0 6 6 4 4 0
2 2
 − − − −
   
= = − → = = + + =
 
   
− −
 
   
BCD
BC BD S BC BD
Gọi AH là đường cao hạ từ đỉnh A xuống (BCD) ta có
1 12 36
. . 3. 3.
3
77 77
= → = = =
ABCD
ABCD BDC
BDC

V
V S AH AH
S

d)
( 6;3;3), (2;1;1)
= − =
 
AB CD
G
ọi góc giữa 2 đường thẳng AB và CD là φ ta có:
2 2 2 2
6.2 3.1 3.1
6 1
cos
φ .
3
324
6 3 3 . 2 1 1
− + +
= = =
+ + + +

Vậy góc giữa hai đường thẳng
AB và CD là φ sao cho
1
cosφ
3
=

Ví dụ 4: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Biết rằng A(1; 2; –1), B(–1; 1; 3), C(–1; –1; 2) và D’(2; –2; –3)
a) Tìm tọa độ các đỉnh còn lại.
b) Tính thể tích hình hộp.
c) Tính thể tích tứ diện A.A’BC. Tính tỉ số
. ' ' ' '
. ' ' '
ABCD A B C D
A A B C
V
V

d) Tính thể tích khối đa diện ABCDD’.
Hướng dẫn giải:
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán! Học Online: www.moon.vn
a) Đặt D(a; b; c) ta có
(
)
1; 2; 1 ; (0; 2; 1)
= − − + = − −
 
AD a b c BC
1 0 1
2 2 0 (1;0; 2)
1 1 2
− = =
 
 
= ⇔ − = − ⇔ = → −
 

 
+ = − = −
 
 
a a
AD BC b b D
c c

Làm t
ươ
ng t
ự

' ' '(0; 1;2); ' ' '(0; 3;1); ' ' ' (2;0; 2)
= ⇒ − = ⇒ − = ⇒ = −
     
A B AB B B C BC C AA DD A , ;
b)
1 4 4 2 2 1
, ; ; (9; 2;4) , . ' 9.1 2.( 2) 4.( 1) 9
2 1 1 0 0 2
 − − − −
   
= = − ⇒ = − − + − =
 
   
− − − −
 
    
AB AD AB AD AA

. ' ' ' '
, . ' 9
 
= =
 
  
ABCD A B C D
V AB AD AA (
đ
vtt)
c)
. ' ' ' '
'. . ' ' ' . ' ' ' '
. ' ' '
1 1 3
.9 6
6 6 2
= = = = ⇒ =
ABCD A B C D
A ABC A A B C ABCD A B C D
A A B C
V
V V V
V

d)
' . ' . '
9 9
3

6 6
= + = + =
ABCDD D ACD B ACD
V V V (đvtt)
Ví dụ 5: Cho ba vectơ
(
)
(
)
(
)
1 1 2 2 1 0 3 2
= = − = −
       
    

 
. Tìm m để
a)
; 3 5
 
=
 
a c
 
(Đ/s: m = 1)
b)
; 2 5
 
=

 
b c
 
(Đ/s: m = 2)
Ví dụ 6: Cho ba vectơ
(
)
(
)
1 3 2 2 1= − = −
    
    


. Tìm m để
a)
0
=
 



b)

; . 0,
 
=
 
a b c
  

với
(3;1;1)
=

c
c)
; 3 10
 
=
 
a b
 
(Đ/s: m = –1)
Ví dụ 7: Cho
(
)
(
)
2;1;3 , 1; 1;2 1
= − = + −
 
u v m m . Tìm m để
a)
; ,
u v a
 
⊥
 
  
với

(
)
1;1; 3 .
= −

a
b)
; 2 2.
 
=
 
 
u v

c)

(
)
0
; ; 30 ,
 
=
 
  
u v a

v
ớ
i
(

)
2;1;1 .
= −

a

Ví dụ 8:
Cho ba vect
ơ

(
)
(
)
3 2 1 0 1 3 3 2 1 1
= − = − = + −
        
    
 

. Tìm m
để

a)

; 3 6
 
=
 
a c

 
(
Đ
/s: m = 0)
b)

; 2 26
 
=
 
b c
 
(
Đ
/s: m = –1)
c)
ba véc t
ơ

đ
ã cho
đồ
ng ph
ẳ
ng

Ví dụ 9:
Cho ba vect
ơ

(
)
(
)
2 3 1 3 1 1 2 2 3 1
= + + = − = −
        
    
 

. Tìm m
để

a)

; 110
 
=
 
a b
 
(
Đ
/s: m = 0)
b)

(
)
. 6
+ =

a b c
  
(
Đ
/s: m = –1)
c)
; . 0
 
=
 
a b c
  

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán! Học Online: www.moon.vn
Ví dụ 10: Cho ba vectô
, ,
a b c

 
. Tìm
m, n bi
ế
t
,
 
=
 
c a b


 
:
a)
(
)
(
)
(
)
3; 1; 2 , 1;2; , 5;1;7
= − − = =a b m c

 

b)
(
)
(
)
(
)
6; 2; , 5; ; 3 , 6;33;10
= − = − =a m b n c

 

c)
(
)
(

)
(
)
2;3;1 , 5;6;4 , ; ;1
= = =
a b c m n

 

Ví dụ 11:
Xét s
ự

đồ
ng ph
ẳ
ng c
ủ
a ba véc t
ơ

, ,
a b c

 
cho d
ướ
i
đ
ây:

a)
(
)
(
)
(
)
1; 1;1 , 0;1;2 , 4;2;3
= − = =a b c

 
b)
(
)
(
)
(
)
4;3; 4 , 2; 1;2 , 1;2;1
= = − =a b c

 

c)
(
)
(
)
(
)

3;1; 2 , 1;1;1 , 2;2;1
= − − = = −a b c

 
d)
(
)
(
)
(
)
4;2;5 , 3;1;3 , 2;0;1
= = =a b c

 

Ví dụ 12:
Tìm m
để
ba véc t
ơ

, ,
a b c

 

đồ
ng ph
ẳ

ng:
a)
(
)
(
)
(
)
1; ; 2 , 1;2;1 , 0; 2;2
= = + = −a m b m c m

 

b)
(2 1;1;2 1); ( 1;2; 2), (2 ; 1;2)
= + − = + + = +a m m b m m c m m

 

d)
(
)
(
)
(
)
1; 3; 2 , 1; 2;1 , 0; 2;2
= − = + − − = −a b m m m c m

 

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1:
Trong không gian v
ớ
i h
ệ
to
ạ

độ
Oxyz cho 4
đ
i
ể
m A(–4; 4; 0), B(2; 0; 4), C(1; 2; –1); D(7; –2; 3).
a)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng A, B, C, D
đồ
ng ph
ẳ
ng.
b)
Tính di
ệ

n tích t
ứ
giác ABDC.
Bài 2:
Trong không gian v
ớ
i h
ệ
to
ạ

độ
Oxyz cho 4
đ
i
ể
m A(6; –2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; –1), D(4; 1; 0).
a)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng A, B, C, D là 4
đỉ
nh c
ủ
a m
ộ
t t
ứ

di
ệ
n.
b)
Tính th
ể
tích c
ủ
a t
ứ
di
ệ
n ABCD.
c)
Tính
đườ
ng cao c
ủ
a t
ứ
di
ệ
n h
ạ
t
ừ

đỉ
nh A.
d)

Tính góc gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng AB và CD.
Bài 3:
Trong không gian cho các
đ
i
ể
m A(1; –1; 1), B(2; –3; 2), C(4; –2; 2), D(1; 2; 3).
a)
Ch
ứ
ng t
ỏ
r
ằ
ng A, B, C không th
ẳ
ng hàng.
b)
Ch
ứ
ng t
ỏ
r
ằ

ng b
ố
n
đ
i
ể
m A, B, C, D không
đồ
ng ph
ẳ
ng.
c)
Tính di
ệ
n tích tam giác ABC.
d)
Tính th
ể
tích t
ứ
di
ệ
n ABCD.
Bài 4:
Cho hình chóp S.ABCD có A(2; –1; 1), B(2; –3; 2), C(4; –2; 2), D(1; 2; –1), S(0; 0; 7).
a)
Tính di
ệ
n tích tam giác SAB.
b)

Tính di
ệ
n tích t
ứ
giác ABCD.
c)
Tính th
ể
tích hình chóp S.ABCD. T
ừ

đ
ó tính kho
ả
ng cách t
ừ
S
đế
n (ABCD).
d)
Tính kho
ả
ng cách t
ừ
A
đế
n (SCD).

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán! Học Online: www.moon.vn


1) Véc tơ pháp tuyến, phương trình tổng quát của mặt phẳng

(
)
2 2 2
; ; , 0
= + + >

n A B C A B C có ph
ươ
ng vuông góc v
ớ
i (P)
đượ
c g
ọ
i là véc t
ơ
pháp tuy
ế
n c
ủ
a (P).

(P)

đ
i qua
đ
i
ể
m
(
)
0 0 0
; ;
M x y z
và có véc t
ơ
pháp tuy
ế
n
(
)
; ;
=

n A B C
thì có ph
ươ
ng trình
đượ
c vi
ế
t d
ạ

ng
(
)
(
)
(
)
(
)
0 0 0
: 0.
P A x x B y y C z z
− + − + − =


(P) có véc t
ơ
pháp tuy
ế
n
(
)
; ;
=

n A B C
thì có ph
ươ
ng trình t
ổ

ng quát
(
)
: 0.
P Ax By Cz D
+ + + =


(P)
đ
i qua ba
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t A, B, C thì có véc t
ơ
pháp tuy
ế
n
;
P
n AB AC
 
=
 
  

 (P) đi qua điểm A và song song với (Q) thì ta chọn cho

=
 
P Q
n n

 (
P
) đi qua điểm
A
và vuông góc với hai mặt phẳng phân biệt (α), (β) thì
;
α
α β
β

⊥

 
→ =

 
⊥


 
  
 
P
P
P

n n
n n n
n n


(P)
đ
i qua
đ
i
ể
m A và song song v
ớ
i hai véc t
ơ

;
 
a b
thì
;

⊥

 
→ =

 
⊥



 
  
 
P
P
P
n a
n a b
n b


(P)
đ
i qua
đ
i
ể
m A, B và vuông góc v
ớ
i (
α
) thì ;
α
α

⊥

 
→ =


 
⊥


 
  
 
P
P
P
n AB
n AB n
n n

Ví dụ 1.

Viết phương trình mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau:
a) qua M(1; 1; 2) và có véc tơ pháp tuyến
(
)
= −
1; 2;1 .

n
b) qua M(2; 0; 1) và song song v
ớ
i (Q): x + 2y + 5z
−
−−

−
1 = 0.
c) qua M(3;
−
−−
−
1; 0) và vuông góc v
ớ
i hai m
ặ
t ph
ẳ
ng (Q): 4x + z
−
−−
−
1 = 0; (R): 2x + 3y
−
−−
−
z
−
−−
−
5 = 0.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi

ả
i:
a) (P)
đ
i qua M(1; 1; 2) và có véc t
ơ
pháp tuy
ế
n
(
)
1; 2;1
= −

n nên có ph
ươ
ng trình
(
)
(
)
(
)
(
)
: 1. 1 2. 1 1. 2 0 2 1 0
− − − + − = ⇔ − + − =
P x y z x y z

b) (P) // (Q) nên

// ,
 
P Q
n n
ch
ọ
n
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1;2;5 :1. 2 2. 0 5. 1 0
= = → − + − + − =
 
P Q
n n P x y z
(
)
: 2 5 7 0.
→ + + − =
P x y z
c) (P) qua vuông góc v
ớ
i hai m

ặ
t ph
ẳ
ng (Q): 4x + z
−
1 = 0; (R): 2x + 3y
−
z
−
5 = 0 nên có véc t
ơ
pháp tuy
ế
n
( ) ( ) ( )
4 0 1
; 3;6;12 3 1; 2; 4 1; 2; 4
2 3 1

⊥


 
→ = = = − = − − −
⇒
= − −


 
−


⊥


 
   
 
P Q
P Q R P
P R
n n
n n n n
n n

Khi
đ
ó (P) có ph
ươ
ng trình
(
)
(
)
1. 3 2. 1 4 0 2 4 5 0
− − + − = ⇔ − − − =
x y z x y z
Ví d
ụ
2. Cho A(–1; 2; 3), B(2; –4; 3), C(4; 5; 6).
a) Vi

ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng
đ
i qua A và nh
ậ
n vect
ơ

(
)
1; 1;5
−

n làm vect
ơ
pháp tuy
ế
n
b) Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ

t ph
ẳ
ng
đ
i qua A bi
ế
t r
ằ
ng hai véct
ơ
có giá song song ho
ặ
t n
ằ
m trong m
ặ
t ph
ẳ
ng
đ
ó là
(
)
(
)
1;2; 1 , 2; 1;3
− −


a b

c) Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng qua C và vuông góc v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng AB.
d) Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng trung tr
ự
c c
ủ
a
đ
o

ạ
n AC.
e) Vi
ế
t ph
ươ
ng trình (ABC).
Ví d
ụ
3. Cho A(–1; 2; 1), B(1; –4; 3), C(–4; –1; –2).
a) Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng
đ
i qua I(2; 1; 1) và song song v
ớ
i (ABC).
b) Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph

ẳ
ng qua A và song song v
ớ
i (P): 2x – y – 3z – 2 = 0.
03. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán! Học Online: www.moon.vn
c) Viết phương trình mặt phẳng qua hai điểm A, B và vuông góc với (Q): 2x – y + 2z – 2 = 0.
d) Viết phương trình mặt phẳng qua A, song song với Oy và vuông góc với (R): 3x – y – 3z – 1 = 0.
e) Viết phương trình mặt phẳng qua C song song với (Oyz).
Ví dụ 4. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (β) cho trước, với:
a)
( )
3 1 1 2 1 4
2 3 1 0

− −

− + − =

β
       

 
  
b)
( )
2 1 3 4 2 1
2 3 2 5 0


− − −

+ − + =

β
       

 
  

c)
( )
2 1 3 4 7 9
3 4 8 5 0

− − −

+ − − =

β
       

 
  
d)
( )
3 1 2 3 1 2
2 2 2 5 0


− − −

− − + =

β
       

 
  

Ví dụ 5.
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng (α)
đ
i qua
đ
i
ể
m
M
và giao tuy
ế
n c

ủ
a hai m
ặ
t ph
ẳ
ng (
P
), (
Q
) cho tr
ướ
c, v
ớ
i:
a)
(
)
(
)
(
)
1 2 3 2 3 5 0 3 2 5 1 0
− − + − = − + − =
             

b)
(
)
(
)

(
)
2 1 1 4 0 3 1 0
− − + − = − + − =
             

c)
(
)
(
)
(
)
3 4 1 19 6 4 27 0 42 8 3 11 0
− − + = − + + =
             

d)
(
)
(
)
(
)
0 0 1 5 3 2 5 0 2 1 0
− + − = − − − =
             

Ví dụ 6.
Vi

ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng (α) qua giao tuy
ế
n c
ủ
a hai m
ặ
t ph
ẳ
ng (
P
), (
Q
),
đồ
ng th
ờ
i song song v
ớ
i m
ặ
t
ph
ẳ

ng (
R
) cho tr
ướ
c, v
ớ
i:
a)
2 4 0 3 0 2 0
          
        
+ − = + − − = + + − =

b)
4 2 5 0 4 5 0 2 19 0
         
       
− + − = + − = − + =

c)
3 2 0 4 5 0 2 7 0
         
        
− + − = + − = − + =

Ví dụ 7.
Vi
ế
t ph
ươ

ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng (α) qua giao tuy
ế
n c
ủ
a hai m
ặ
t ph
ẳ
ng (
P
), (
Q
),
đồ
ng th
ờ
i vuông góc v
ớ
i m
ặ
t
ph
ẳ
ng (
R
) cho tr

ướ
c, v
ớ
i:
a)
2 3 4 0 2 3 5 0 2 3 2 0
         
         
+ − = − − = + − − =

b)
2 4 0 3 0 2 0
          
       
+ − = + − + = + + − =

c)
2 4 0 2 5 0 2 3 6 0
           
       
+ − − = + + + = − − + =

d)
3 2 0 4 5 0 2 7 0
         
        
− + − = + − = − + =

2) Một số dạng phương trình mặt phẳng đặc biệt



 Mặt phẳng (xOy):
véc t
ơ
pháp tuy
ế
n là
Oz
và
đ
i qua
g
ố
c t
ạ
o
độ
nên có ph
ươ
ng trình là
z
= 0.
Đặ
c bi
ệ
t, m
ặ
t ph
ẳ
ng song song v

ớ
i (
Oxy
) có ph
ươ
ng trình
là
z
−
a
= 0.


 Mặt phẳng (yOz):
véc t
ơ
pháp tuy
ế
n là
Ox
và
đ
i qua
g
ố
c t
ạ
o
độ
nên có ph

ươ
ng trình là
x
= 0.
Đặ
c bi
ệ
t, m
ặ
t ph
ẳ
ng song song v
ớ
i (
Oyz
) có ph
ươ
ng trình
là
x
−
a
= 0.


 Mặt phẳng (xOz):
véc t
ơ
pháp tuy
ế

n là
Oy
và
đ
i qua
g
ố
c t
ạ
o
độ
nên có ph
ươ
ng trình là
y
= 0.
Đặ
c bi
ệ
t, m
ặ
t ph
ẳ
ng song song v
ớ
i (
Oxz
) có ph
ươ
ng trình

là
y
−
a
= 0.


 Mặt phẳng trung trực:

Cho hai
đ
i
ể
m
A, B
. Khi
đ
ó m
ặ
t ph
ẳ
ng trung tr
ự
c c
ủ
a
AB

đ
i qua trung

đ
i
ể
m
I
c
ủ
a
AB
và nh
ậ
n

AB
làm véc t
ơ
pháp
tuy
ế
n.



Ph
ươ
ng trình m
ặ
t ch
ắ
n:

N
ế
u m
ặ
t ph
ẳ
ng (
P
) c
ắ
t ba tr
ụ
c t
ọ
a
độ
l
ầ
n l
ượ
t t
ạ
i các

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán! Học Online: www.moon.vn
điểm
(
)
(

)
(
)
;0;0 , 0; ;0 , 0;0;
A a B b C c
thì (
P) có ph
ươ
ng
trình
đ
o
ạ
n ch
ắ
n:
( )
: 1
+ + =
x y z
P
a b c
.
Một số đặc điểm của mặt chắn:
+
Độ dài ; ;
= = =
OA a OB b OC c

+ Thế tích tứ diện

1 1
. .
6 6
= =
OABC
V OA OB OC abc

+ Chân đường cao hạ từ O xuống (ABC) trùng với trực
tâm H của tam giác ABC.


Ví dụ 1. Viết phương trình mặt phẳng đi qua M(2; 2; 2) cắt các tia Ox, Oy,Oz tại các điểm A, B, C sao cho thể
tích tứ diện OABC nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải:
• Giả sử mặt phẳng cần lập cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c). Do mặt phẳng cắt các tia nên
Ta có a, b, c > 0
Ph
ương trình mặt chắn
( )
: 1.
+ + =
x y z
P
a b c

• Do
( )
2 2 2 1 1 1 1
1
2

∈ → + + = ⇔ + + =
M P
a b c a b c

Ta có
1
; ;
6
= = = → =
OABC
OA a OB b OC c V abc

• Do a, b, c là ba s
ố dương nên theo Côsi ta có
3
3 3
1 1 1 3 1 3
6 216
2
+ + ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥abc abc
a b c
abc abc

min
1
.216 36 36 6
6
→ ≥ =
⇒
= ⇔ = = =

OABC
V V a b c , t
ừ

đ
ó ta
đượ
c ph
ươ
ng trình (P): x + y + z – 6 = 0

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1:
Cho
đ
i
ể
m A(1; 0; 0) và m
ặ
t ph
ẳ
ng (P): y – z + 1 = 0. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng

đ
i qua A, vuông góc v
ớ
i (P)
và c
ắ
t các tr
ụ
c Oy, Oz l
ầ
n l
ượ
c t
ạ
i các
đ
i
ể
m B, C sao cho di
ệ
n tích tam giác ABC b
ằ
ng
6.

Đ
/s:
( )
: 1
2 2

y z
ABC x
± ± =

Bài 2:
Cho
đ
i
ể
m A(2; 0; 0) và
đ
i
ể
m M(2; 3; 2). Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng (
α
)
đ
i qua A, M sao cho (
α
) c
ắ
t các tr

ụ
c
Oy, Oz
l
ầ
n l
ượ
c t
ạ
i các
đ
i
ể
m B, C sao cho
2
OABC
V
=
, với O là gốc tọa độ.
Đ/s:
( )
: 1; 1
2 3 2 2 3 2
x y z x y z
ABC
+ − = − + =

Bài 3:
Cho điểm A(–2; 0; 0) và mặt phẳng (P): x + 2z + 3 = 0. Viết phương trình mặt phẳng đi qua A, vuông góc với
(P) và c

ắt các trục Oy, Oz lần lược tại các điểm B, C sao cho
4
OABC
V
=

Đ/s:
( )
: 1
2 3 4
x y z
ABC
− + + =

Bài 4: Cho điểm B(0; 3; 0) và điểm M(1; -3; 2). Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua B, M sao cho (α) cắt các trục
Ox, Oz lần lược tại các điểm A, C sao cho
7
2
ABC
S
=
, với O là gốc tọa độ.
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán! Học Online: www.moon.vn
Đ/s:
( )
α : 1
3 2
y z
x

+ + =

Bài 5: Viết pt mp đi qua M(2; 1; 4) và cắt các trục Ox, Oy, Oz tại các điểm A, B, C sao cho OA = OB = OC.
Bài 6: Viết phương trình mặt phẳng đi qua M(2; 2; 2) cắt các tia Ox, Oy,Oz tại các điểm A, B, C sao cho thể tích tứ
diện OABC nhỏ nhất.
Bài 7: Viết phương trình mặt phẳng đi qua M(1; 1; 1) cắt các tia Ox, Oy,Oz lần lược tại các điểm A, B, C sao cho tam
giác ABC cân tại A, đồng thời M là trọng tâm tam giác ABC.

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán! Học Online: www.moon.vn


1) Véc tơ chỉ phương, các dạng phương trình đường thẳng

(
)
2 2 2
; ; , 0
= + + >

u a b c A B C có ph
ươ
ng song song ho
ặ
c trùng v
ớ
i (d)
đượ
c g
ọ

i là véc t
ơ
ch
ỉ
ph
ươ
ng c
ủ
a (d).

(d)
đ
i qua
đ
i
ể
m
(
)
0 0 0
; ;
M x y z
và có véc t
ơ
ch
ỉ
ph
ươ
ng
(

)
; ;
=

u a b c
thì có ph
ươ
ng trình
+) Ph
ươ
ng trình tham s
ố

( )
0
0
0
:
= +


= +


= +

x x at
d y y bt
z z ct

+) Ph
ươ
ng trình chính t
ắ
c
( )
0 0 0
: .
− − −
= =
x x y y z z
d
a b c

+) Ph
ươ
ng trình t
ổ
ng quát c
ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng:
0
( ) ( ) :
' ' ' ' 0
Ax By Cz D
d P Q d

A x B y C z D
+ + + =

= ∩ ⇒

+ + + =


Trong
đó véc tơ chỉ phương của d được xác định bởi ;
d P Q
u n n
 
=
 
  

 (d) đi qua điểm A và song song với đường thẳng (∆) thì ta chọn cho
d
u u
∆
=
 

 (
d
) đi qua điểm
A
và vuông góc với hai đường thẳng (
d

1
), (
d
2
) thì
1
1 2
2
;

⊥

 
→ =

 
⊥


 
  
 
d d
d d d
d d
u u
u u u
u u



(d)
đ
i qua
đ
i
ể
m A và song song v
ớ
i hai m
ặ
t ph
ẳ
ng (
α
), (
β
) thì
;
α
α β
β

⊥

 
→ =

 
⊥



 
  
 
d
d
d
u n
u n n
u n


(d)
đ
i qua
đ
i
ể
m A và vuông góc v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng ∆; song song m
ặ
t ph
ẳ
ng (P) thì ;
d

d P
d P
u u
u u n
u n
∆
∆

⊥

 
→ =

 
⊥


 
  
 

Ví dụ 1:
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình tham s
ố
c
ủ

a
đườ
ng th
ẳ
ng
đ
i qua
đ
i
ể
m M và có VTCP



cho tr
ướ
c:
a)
− = −
   

 

b)
− =
  

 


c)
− = −
   

 

d)
− − = −
    

 


Ví dụ 2:
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình tham s
ố
c
ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng
đ
i qua hai
đ

i
ể
m A, B cho tr
ướ
c:
a)
(
)
(
)
2 3 1 1 2 4
−
   
 
b)
(
)
(
)
1 1 0 0 1 2
−
   
 

c)
(
)
(
)
3 1 5 2 1 1

− −
   
 
d)
(
)
(
)
2 1 0 0 1 2
   
 
Ví dụ 3:
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình tham s
ố
c
ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng
đ
i qua
đ
i
ể

m A và song song v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
∆
cho tr
ướ
c:
a)
(
)
3 2 4− ≡
∆
 
  
c)
2 3
2 5 3 3 4
5 2

= −

− = +


= −


∆
    
 
  
 

d)
2 5 2
4 2 2
4 2 3
+ − −
− = =
∆
    
  

e)
3 4
1 3 2 2 2
3 1

= +

− = −


= −

∆
    

 
  
 

Ví dụ 4:
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình tham s
ố
c
ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng là giao tuy
ế
n c
ủ
a hai m
ặ
t ph
ẳ
ng (P), (Q) cho tr
ướ
c:
04. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Thầy Đặng Việt Hùng

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán! Học Online: www.moon.vn
a)
6 2 2 3 0
3 5 2 1 0

+ + + =

− − − =

 
 
   
   
b)
2 3 3 4 0
2 3 0

− + − =

+ − + =

 
 
   
   

c)
3 3 4 7 0
6 2 6 0


+ − + =

+ + − =

 
 
   
   
d)
2 3 0
1 0

+ − + =

+ + − =

 
 
   
   

Ví dụ 5: Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với hai đường thẳng d
1
, d
2
cho
trước:
a)
1 2

1 2 1
1 0 5 3 2 2
1 1 3
 
= + = −
 
= − = +
 
 
= + = −
 
      
   
      
   
b)
1 2
1 1 3
2 11 2 2
3 3
 
= + = +
 
− = − + = − +
 
 
= = +
 
      
   

      
  

c)
1 2
1 1
1 2 3 2 2 2
3 3 3
 
= − =
 
− = − − = − +
 
 
= − = +
 
      
  
      
   
d)
1 2
7 3 1
4 1 4 4 2 9 2
4 3 12
 
= − + = +
 
= − = − +
 

 
= + = − −
 
      
   
      
   

Ví dụ 6:
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình tham s
ố
, chính t
ắ
c c
ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng
a)

đ
i qua
A
(1; 2; –1) và có vect

ơ
ch
ỉ
ph
ươ
ng là
(
)
1; 2;1 .
= −

u
b)

đ
i qua hai
đ
i
ể
m I(–1; 2; 1), J(1; –4; 3).
c)

đ
i qua M(1; 2; 4) và vuông góc v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng (P): 3x – y + z – 1 = 0.

d)

đ
i qua M(1; 2; 0) và song song v
ớ
i 2 m
ặ
t ph
ẳ
ng (P): 2x – 5y – z + 1 = 0 và (Q): 3x + 4z – 4 = 0.
Ví dụ 7:
Tìm ph
ươ
ng trình chính t
ắ
c c
ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng:
a)
qua A(3; –1; 2) và song song v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng

( )
1 2
: 3
= −


∆ = +


= −

x t
y t
z t

b)
qua A(4; 4; 1) và song song v
ớ
i hai m
ặ
t ph
ẳ
ng (P): x + 2z – 4 = 0, (Q): x + y – z + 3 = 0
c)
qua M(1; 1; 4) và vuông góc v
ớ
i hai
đườ
ng th
ẳ

ng
1
1 2
: 3
= −


= +


= −

x t
d y t
z t
và
2
1 2 1
:
2 1 3
− − +
= =
−
x y z
d
d) qua M(2; 1; 0) và song song với (P): x + 2z = 0 đồng thời vuông góc với
( )
1 2
:
2 3 1

− +
∆ = =
−
x y z

2) Ứng dụng cơ bản của phương trình tham số
Cho đường thẳng
( )
0
0
0
:
= +


= +


= +

x x at
d y y bt
z z ct
, nếu điểm M thuộc d thì
(
)
0 0 0
; ; .
+ + +
M x at y bt z ct

Ph
ương trình tham số giúp cho bài toán tìm điểm trên đường thẳng được quy về một ẩn t giải dễ dàng hơn.
Ví dụ 1: Cho đường thẳng
= +


= −


= +

1
: 2 .
2 2
x t
d y t
z t
Tìm
đ
i
ể
m M thu
ộ
c d sao cho
a)
(
)
= −
13; 2; 1;0 .

MA A
b)
(
)
(
)
⊥ −
; 0;1;2 , 1;2; 2 .
MI IA I A
c)
∆
∆∆
∆
MAB cân t
ạ
i A, v
ớ
i A(2; 1; 3), B(0;
−
−−
−
2; 1).
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán! Học Online: www.moon.vn
d)
∆
=
7
,
2

MAB
S với A(2; 1; 3), B(0; −
−−
−2; 1).
Hướng dẫn giải:
Ta có,
(
)
(
)
1 ; 2 ;2 2 .
M d M t t t
∈ ⇒ + − +
a)

( ) ( ) ( )
(
)
2 2 2
2 2
1 0;2;0
13 13 1 1 2 2 2 13 9 2 7 0
7 16 14 23
; ;
9 9 9 9
t M
MA MA t t t t t
t M
 = − ⇒


= ⇔ = ⇔ − + − + + = ⇔ + − = ⇔
 

= ⇒ −
 

 


V
ậ
y có hai
đ
i
ể
m M th
ỏ
a mãn yêu c
ầ
u bài toán.
b)
Ta có
(
)
(
)
1 ;1 2 ; 2 , 1;1; 4
MI t t t IA
= − − + − = −
 

(
)
. 0 1 1 2 8 0 0 1;0;2
MI IA MI IA t t t t M⊥ ⇔ = ⇔ − − + + + = ⇔ = ⇒
 

c)
Ta có
(
)
(
)
1 ;1 2 ;1 2 , 1 ; 2 2 ;1 2
MA t t t MB t t t
= − + − = − − − + −
 

Theo bài,
2 2 2 2 2 2 2 2
(1 ) (1 2 ) (1 2 ) ( 1 ) ( 2 2 ) (1 2 )
MA MB MA MB t t t t t t
= ⇔ = ⇔ − + + + − = − − + − + + −
2 2
3 11 3 11
9 2 3 9 10 6 8 3 ; ; .
8 8 4 4
t t t t t t M
 
⇔ − + = − + ⇔ = ⇔ = ⇒ −

 
 

d) Ta có
( ) ( ) ( )
1 ;1 2 ;1 2 , 1 ; 2 2 ;1 2 ; 3 6 ; 2 4 ; 1 7
MA t t t MB t t t MA MB t t t
 
= − + − = − − − + − → = − − + − +
 
   

Khi
đó
2 2 2 2
1 1 1
; (3 6 ) ( 2 4 ) ( 1 7 ) 101 66 14
2 2 2
MAB
S MA MB t t t t t
 
= = − + − + + − + = − +
 
 

(
)
2 2
1 2; 2;4
1 7

101 66 14 101 66 35 0
35 136 70 272
2 2
; ;
101 101 101 101
t M
t t t t
t M
 = ⇒ −

⇔ − + = ⇔ − − = ⇔
 

= ⇒ −
 

 


V
ậ
y có hai
đ
i
ể
m M th
ỏ
a mãn yêu c
ầ
u bài toán.

Ví dụ 2:
Tìm
đ
i
ể
m M trên
đườ
ng th
ẳ
ng
2 1
:
1 2 1
x y z
d
+ −
= =
−
th
ỏ
a mãn
a)
thu
ộ
c m
ặ
t ph
ẳ
ng (P): x – y + 2z + 2 = 0.
Đ

/s: M(2; 2; –1)
b)
tam giác MAB vuông t
ạ
i A v
ớ
i A(3; 1; 0), B(2; –1; –3)
c)
tam giác MAB cân t
ạ
i M v
ớ
i A(1; 0; –1), B(4; –2; 3)
d)

30
,
2
MAB
S = v
ớ
i A(2; 3; 1) và B(1; –1; –2)
Đ
/s: M(1; 0; 0)
Ví dụ 3:
Tìm
đ
i
ể
m M trên

đườ
ng th
ẳ
ng
1 2
:
2
x t
d y t
z t
= +


=


= −

th
ỏ
a mãn
a)
thu
ộ
c m
ặ
t ph
ẳ
ng (P): 2x + y – z – 6 = 0.
Đ

/s: M(3; 1; 1)
b)

2 2 2
3 5.
M M M
x y z
+ + =

Đ
/s: M(1; 0; 2)
c)

14,
MA = v
ớ
i A(0; 2; 1)
Đ
/s: M(–1; –1; 3)
d)
IM ⊥ d, v
ớ
i I(3; 0; –4)
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán! Học Online: www.moon.vn
Ví dụ 4: Tìm điểm M trên đường thẳng
1
: 2 3
x t
d y t

z t
= +


= −


=

th
ỏ
a mãn
a)
thu
ộ
c m
ặ
t ph
ẳ
ng (P): x + 2y – z + 1 = 0.
Đ
/s: M(2; –1; 1)
b)

2 2 2
2 37.
M M M
x y z+ − =
Đ
/s: M(2; –4; 2)

c)
tam giác MAB vuông t
ạ
i M v
ớ
i A(2; 1; 1), B(1; 1; –10)
Đ
/s: M(0; 5; –1)
d)

2 3,
MA = v
ớ
i A(3; 0; –2)
Đ
/s: M(2; –1; 1)

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1:
Tìm
đ
i
ể
m M trên
đườ
ng th
ẳ
ng
2 1
:

1 1 2
x y z
d
− −
= =
−
th
ỏa mãn
a)
30,
MI = với I(2; 0; –3) Đ/s: M(1; 1; 2)
b) tam giác MAB cân tại M với A(1; 1; –3), B(–2; 1; –2) Đ/s: M(2; 1; 0)
c)
2 2 2
3 13.
M M M
x y z+ − = Đ/s: M(–1; 4; 6)
Bài 2: Cho hai điểm A(3; 1; –2), B(2; 3; –4) và đường thẳng
1 1 1
:
2 1 1
+ − +
∆ = =
x y z

Tìm
điểm C trên ∆ sao cho:
a) tam giác ABC đều.
b) tam giác ABC cân tại A.
c) diện tích tam giác ABC bằng 9/2.

d) tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất.
e)
2 2 2
= − +
M M M
F x y z
đạt giá trị lớn nhỏ nhất.
f) CA
2
+ CB
2
đạt giá trị nhỏ nhất.



LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831



I. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG
Cho hai mặt phẳng
(
)
( )
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
: 0
: 0
P A x B y C z D

P A x B y C z D

+ + + =


+ + + =





( ) ( )
1 1 1 1
1 2
2 2 2 2
/ /
A B C D
P P
A B C D
⇔ = = ≠


( ) ( )
1 1 1 1
1 2
2 2 2 2
A B C D
P P
A B C D
≡ ⇔ = = =


( ) ( )
1 1
2 2
1 2
1 1
2 2
A B
A B
P P
A C
A C

≠


∩ ⇔

≠



Đặc biệt,
(
)
(
)
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
. 0 0.

P P n n A A B B C C
⊥ ⇔ = ⇔ + + =
 

Ví dụ 1. Xét vị trí tương đối của các mặt phẳng sau:
a)
{
− + + =
− + − =
3 4 3 6 0
3 2 5 3 0
x y z
x y z
b)
{
+ − + =
+ − − =
2 3 2 5 0
3 4 8 5 0
x y z
x y z
c)
− − + =



− − + =


2 2 4 5 0

25
5 5 10 0
2
x y z
x y z

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a) Ta có
3 4 3
3 2 5
−
≠ ≠ ⇒
−
hai m
ặt phẳng cắt nhau.
b)
Ta có
2 3 2
3 4 8
−
≠ ≠ ⇒
−
hai m
ặt phẳng cắt nhau.

c)
Ta có
2 2 4 5
25
5 5 10
2
−
= = = ⇒
−
hai m
ặ
t ph
ẳ
ng
đ
ã cho trùng nhau.
Ví d
ụ
2. Xác
đị
nh m, n
để
các m
ặ
t ph
ẳ
ng sau
đ
ây song song, c
ắ

t nhau, trùng nhau?
a)
{
+ − − =
+ − + =
3 2 7 0
7 6 4 0
x my z
nx y z
b)
{
− + − =
+ + − =
5 2 11 0
3 5 0
x y mz
x ny z
c)
− − + − =


+ − + − =

3 ( 3) 2 5 0
( 2) 2 10 0
x m y z
m x y mz

H
ướ

ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a)

{
3 2 7 0
7 6 4 0
x my z
nx y z
+ − − =
+ − + =


Hai m
ặ
t ph
ẳ
ng song song nhau khi
9
3 2 7
7
7 6 4
3
n
m
n
m

=

− −

= = ≠ ⇔

−
=




Hai m
ặ
t ph
ẳ
ng c
ắ
t nhau nhau khi
3 2
7
6
3
2
9
7 6
m
n
m
n

−

≠


≠
−

⇔


−

≠
≠



−



Hai m
ặ
t ph
ẳ
ng trùng nhau khi
3 2 7
7 6 4
m

n
− −
= = = ⇒
−
h
ệ
vô nghi
ệ
m.

b)
{
5 2 11 0
3 5 0
x y mz
x ny z
− + − =
+ + − =

05. BÀI TOÁN XÉT VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI
Thầy Đặng Việt Hùng
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
 Hai mặt phẳng song song nhau khi
6
5 2 11
5
5
3 1 5
3

n
m
n
m

= −

− −

= = ≠ ⇔

−

=




Hai m
ặ
t ph
ẳ
ng c
ắ
t nhau nhau khi
5 2 5
3 3
5 6
1 3 5
m

n
m
n
−
 
≠ ≠
 
⇔
 
 
≠ ≠ −
 
 


Hai m
ặ
t ph
ẳ
ng trùng nhau khi
5 2 11
3 1 5
m
n
− −
= = = ⇒
−
h
ệ vô nghiệm.
c)

3 ( 3) 2 5 0
( 2) 2 10 0
x m y z
m x y mz
− − + − =


+ − + − =



Hai mặt phẳng song song nhau khi
( )
2
4
2 4 3
2 2 10
4 3 3 4 0
3 3 2 5
4
4
m
m m
m m
m m m m
m
m
m
=


+ =


+ − −

= = ≠ ⇔ − = − ⇔ − − = ⇒
 
− −
 
≠
≠


vô nghi
ệ
m.

Hai m
ặ
t ph
ẳ
ng c
ắ
t nhau nhau khi
2
2
4
4
3 2
2 1

3 4 0
3 2
m m
m
m
m m
m m
m
+

≠

≠

≠

⇔ ⇔



− ≠ −
− − ≠



≠

−



Hai m
ặ
t ph
ẳ
ng trùng nhau khi
( )
2
4
2 4 3
2 2 10
4 3 3 4 0 4
3 3 2 5
4
4
m
m m
m m
m m m m m
m
m
m
=

+ =


+ − −

= = = ⇔ − = − ⇔ − − = ⇔ =

 
− −
 
=
=



Ví dụ 3.
Xét v
ị
trí t
ươ
ng
đố
i c
ủ
a các c
ặ
p m
ặ
t ph
ẳ
ng sau:

a)
3 4 3 6 0
3 2 5 3 0
x y z
x y z

− + + =


− + − =

b)
5 5 5 1 0
3 3 3 7 0
x y z
x y z
+ − − =


+ − + =


c)
3 2 6 23 0
3 2 6 33 0
x y z
x y z
− − − =


− − + =

d)
6 4 6 5 0
12 8 12 5 0
x y z

x y z
− − + =


− − − =


Ví dụ 4.
Xác
đị
nh m, n
để
các m
ặ
t ph
ẳ
ng sau
đ
ây song song v
ớ
i nhau?
a)
2 2 1 0
3 2 0
x ny z
x y mz
− + − =


− + − =


b)
2 3 5 0
6 6 2 0
x my z
nx y z
+ + − =


− − + =


c)
3 9 0
2 2 3 0
x y mz
x ny z
− + − =


+ + − =

d)
2 0
2 4 3 0
x my z
x y nz
+ − + =



+ + − =


Ví dụ 5.
Xác
đị
nh m, n
để
các m
ặ
t ph
ẳ
ng sau
đ
ây vuông góc v
ớ
i nhau?
a)
2 7 2 0
3 2 15 0
x y mz
x y z
− + + =


+ − + =

b)
(2 1) 3 2 3 0
( 1) 4 5 0

m x my z
mx m y z
− − + + =


+ − + − =


c)
2 12 0
7 0
mx y mz
x my z
+ + − =


+ + + =

d)
3 ( 3) 2 5 0
( 2) 2 10 0
x m y z
m x y mz
− − + − =


+ − + − =


II. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

Cho
đườ
ng th
ẳ
ng d và m
ặ
t ph
ẳ
ng (P) có ph
ươ
ng trình
( )
( )
0 0 0
:
: 0
x x y y z z
d
a b c
P Ax By Cz D
− − −

= =



+ + + =


d
đi qua
(
)
0 0 0
; ;
M x y z
và có véc tơ chỉ phương
(
)
; ;
d
u a b c
=

, (P) có véc t
ơ
pháp tuy
ế
n
(
)
; ;
P
n A B C
=




( ) ( )
( ) ( )
0 0 0
0 0
0
. 0
/ /
0
P d P d
Aa Bb Cc
n u n u
d P
Ax By Cz D
M P M P
 
+ + =
⊥ ≠

 
⇔ ⇔ ⇔
  
+ + + ≠
∉ ∉

 
 
   

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831

Kiểm tra
. 0
d P
u n
=
 

(
)
d P
∩
Ki
ể
m tra
(
)
0
M P
∈

T F
(
)
d P
⊂

(
)
/ /
d P

T F


( ) ( )
( ) ( )
0 0 0
0 0
0
. 0
0
P d P d
Aa Bb Cc
n u n u
d P
Ax By Cz D
M P M P
 
+ + =
⊥ ≠

 
⊂ ⇔ ⇔ ⇔
  
+ + + =
∈ ∈

 
 
   



(
)
(
)
. 0
P d
d P n u
∩ ⇔ ≠
 

Khi
đ
ó, t
ọ
a
độ
giao
đ
i
ể
m th
ỏ
a mãn h
ệ
ph
ươ
ng trình

0
0 0 0
0
0


0

x
x x y y z z
y
a b c
Ax By Cz D
z
=

− − −

= =
 
→ =
 
 
+ + + =
=



L
ượ
c
đồ
xét v
ị
trí t
ươ
ng
đố
i gi
ữ
a
đườ
ng th
ẳ
ng và m

ặ
t ph
ẳ
ng

Ví dụ 1. Xét vị trí tương đối của đường thẳng d và mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau:
a)
( )
+ −
= = − + − =
1 3
: ; : 3 3 2 5 0
2 4 3
x y z
d P x y z
b)
( )
− − −
= = + − + =
9 1 3
: ; : 2 4 1 0
8 2 3
x y z
d P x y z
c)
( )
= − +


= − + − − =



= − +

1
: ; : 2 3 0
2 3
x t
d y t P x y z
z t

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a)
Đườ
ng th
ẳ
ng d
đ
i qua
đ
i
ể
m M(
−

1; 3; 0) và có véc t
ơ
ch
ỉ
ph
ươ
ng
(
)
2;4;3 .
d
u
=


M
ặ
t ph
ẳ
ng (P) có véc t
ơ
pháp tuy
ế
n
(
)
3; 3;2 .
P
n
= −



Ta có
(
)
(
)
. 2;4;3 3; 3;2 6 12 6 0
d P
u n
= − = − + =
 

L
ạ
i có,
(
)
(
)
(
)
1;3;0 / / .
M P d P
− ∈
⇒
b)
Đườ
ng th
ẳ

ng d
đ
i qua
đ
i
ể
m M(9; 1; 3) và có véc t
ơ
ch
ỉ
ph
ươ
ng
(
)
8;2;3 .
d
u
=


M
ặ
t ph
ẳ
ng (P) có véc t
ơ
pháp tuy
ế
n

(
)
1;2; 4 .
P
n
= −


Ta có
(
)
(
)
. 8;2;3 1;2; 4 8 4 12 0
d P
u n
= − = + − =
 

L
ạ
i có,
(
)
(
)
(
)
9;1;3 .
M P d P

∈
⇒
⊂

c)
Đườ
ng th
ẳ
ng d
đ
i qua
đ
i
ể
m M(
−
1; 0;
−
2) và có véc t
ơ
ch
ỉ
ph
ươ
ng
(
)
1; 1;3 .
d
u

= −


M
ặ
t ph
ẳ
ng (P) có véc t
ơ
pháp tuy
ế
n
(
)
1; 2; 1 .
P
n
= −


Ta có
(
)
(
)
(
)
. 1; 1;3 1;2; 1 1 2 3 4 0
d P
u n d P I

= − − = − − = − ≠
⇒
∩ =
 

T
ạ
o
độ

đ
i
ể
m I th
ỏ
a mãn h
ệ
ph
ươ
ng trình
3
1
1
2
1
2 3
2 3
2
1
7

2 3 0
1 2 2 3 3 0
2
2
x t
x
x t
y t
y t
y
z t
z t
x y z
t t t t
z

= − +

= −

= − +



= −


= −
  
⇔ ⇔ =

  
= − +
= − +
  
  
+ − − =
− + − + − − = ⇒ = −

= −





LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
3 1 7
; ; .
2 2 2
I
 
⇒ − −
 
 

Ví dụ 2. Tìm m để đường thẳng
− + +
= =
−
1 2 3

:
2 1 2
x y z
d
m m
và mặt phẳng
(
)
+ − − =
: 3 2 5 0
P x y z
a) c
ắ
t nhau
b) song song v
ớ
i nhau
c) vuông góc v
ớ
i nhau
d) (P) ch
ứ
a d

Hướng dẫn giải:
Đường thẳng d đi qua điểm M(1; −2; −3) và có véc tơ chỉ phương
(
)
;2 1;2 .
d

u m m= −


M
ặ
t ph
ẳ
ng (P) có véc t
ơ
pháp tuy
ế
n
(
)
1;3; 2 .
P
n
= −


Ta có
(
)
(
)
. ;2 1; 2 1;3; 2 6 3 4 7 7
d P
u n m m m m m
= − − = + − − = −
 

a) d và (P) c
ắ
t nhau khi
. 0 7 7 0 1.
d P
u n m m
≠ ⇔ − ≠ ⇔ ≠
 

b) d và (P) song v
ớ
i nhau khi
( )
. 0 7 7 0
1
4 0
d P
u n m
m
M P

= − =


⇔ ⇔ =
 
− ≠
∉




 

c)
1
2 1 2
( ) 1
2 1 3
1 3 2
d P
m
m m
d P u kn m
m
= −

−
⊥ ⇔ = ⇔ = = ⇔ ⇔ = −

− = −
−

 

d)
(P) chứa (d)
( )
. 0 7 7 0
.

4 0
d P
u n m
vn
M P

= − =


⇔ ⇔ →
 
− =
∈



 

Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví d
ụ
3.
Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng và mặt phẳng sau:
a)
12 9 1
: ; ( ) : 3 5 2 0.
4 3 1
x y z
d P x y z
− − −

= = + − − =

b)
11 3
: ; ( ) : 3 3 2 5 0
2 4 3
x y z
d P x y z
+ −
= = − + − =

c)
13 1 4
: ; ( ) : 2 4 1 0
8 2 3
x y z
d P x y z
− − −
= = + − + =

d)
3 2
: 1 4 ; ( ) : 4 3 6 5 0
4 5
x t
d y t P x y z
z t
= −



= − − − − =


= −


Ví d
ụ
4.
Xác định m, n để các cặp đường thẳng và mặt phẳng sau đây song song, cắt nhau, trùng nhau?
a)
1 3 1
: ; ( ) : 3 2 5 0
2 2
x y z
d P x y z
m m
+ − −
= = + + − =
−

b)
3 4
: 1 4 ; ( ) : ( 1) 2 4 9 0
3
x t
d y t P m x y z n
z t
= +



= − − + − + − =


= − +


c)
3 2
: 5 3 ; ( ) : ( 2) ( 3) 3 5 0
2 2
x t
d y t P m x n y z
z t
= +


= − + + + + − =


= −


Ví d
ụ
5.
Cho
2 1
: ; ( ) : (3 4) ( 1) (3 2 ) 0
1 2 1

x y z
d P m x m y m z m
+ −
= = − + − + − + =
−

Tìm m để d ⊂ (P). Đ/s: m = 2.
III. V
Ị
TRÍ T
ƯƠ
NG
ĐỐ
I C
Ủ
A HAI
ĐƯỜ
NG TH
Ẳ
NG

Cho hai đường thẳng d
1
và d
2
với
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )

1 1 1
1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2 2 2
:
; ; ; ; ;
; ; ; ; ;
:
x x y y z z
d
M x y z d u a b c
a b c
x x y y z z
M x y z d u a b c
d
a b c
− − −

= =


∈ =
 
→
 
− − −

∈ =
 

= =





LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng ta thực hiện như sau:
 Nếu
1 2
1 2
1 2
/ /
d d
u ku
d d

= →

≡

 

+ Nếu
1 2 1 2
M d d d

∈ → ≡

+ Nếu
1 2 1 2
/ /
M d d d
∉ →

N
ế
u
1 2
1 2
1 2
d d
u ku
d d
∩

≠ →

×

 

+ N
ế
u
1 2 1 2 1 2
; . 0

u u M M d d
 
= → ∩
 
  

+ N
ếu
1 2 1 2 1 2
; . 0
u u M M d d
 
= → ×
 
  

Ví dụ 1. Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng:
a)
= − = − −
 
 
= + =
 
 
= − = +
 
1 2
1 2 1 '
: 3 , : 2 '
2 2 '

x t x t
d y t d y t
z t z t

b)
− − − − + +
= = = =
−
1 2
1 7 3 6 1 2
: , :
2 1 4 3 2 1
x y z x y z
d d
Hướng dẫn giải:
a) Ta có
1 1 1
1 2
2 2 2
( 2;1; 1), (1;3;0)
( 2; 3;2)
( 1;2;2), ( 1;0;2)
u M d
M M
u M d

= − − ∈

⇒ = − −


= − − ∈







Ta nh
ậ
n th
ấ
y
1 2
u ku
≠
 


M
ặ
t khác
1 2 1 2 1 2
, (4;5; 3) , . 29 0
u u u u M M
   
= −
⇒
= − ≠ →
   

    
hai
đườ
ng th
ẳ
ng chéo nhau
b)
Ta có
1 1 1
1 2
2 2 2
(2;1; 4), (1;7;3)
(5; 8; 5)
(3; 2;1), (6; 1; 2)
u M d
M M
u M d

= ∈

⇒
= − −

= − − − ∈







Ta nh
ậ
n th
ấ
y
1 2
u ku
≠
 


M
ặ
t khác
1 2 1 2 1 2
, (9;10; 7) , . (9;10; 7).(5; 8; 5) 0
u u u u M M
   
= −
⇒
= − − − = →
   
    
hai
đườ
ng th
ẳ
ng c
ắ

t nhau.
Ví dụ 2. Trong không gian cho bốn đường thẳng
( ) ( ) ( ) ( )
− − − − − − −
= = = = = = = =
− − −
1 2 3 4
1 2 2 2 1 2 1
: , : ; : , :
1 2 2 2 4 4 2 1 1 2 2 1
x y z x y z x y z x y z
d d d d
a) Chứng tỏ rằng d
1
và d
2
cùng nằm trên một mặt phẳng. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng đó.
b) Chứng tỏ rằng tồn tại một đường thẳng d cắt cả bốn đường thẳng đã cho.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a)
Ta có
1 1 1
1 2
2 2 2

(1; 2; 2), (1; 2;0)
(1;0;0)
(2;4; 4), (2;2;0)
u M d
M M
u M d

= − ∈

⇒
=

= − ∈







Ta nh
ậ
n th
ấ
y
1 2
1 2
1 2
/ /
1

2
d d
u u
d d

≠ →

≡

 


L
ạ
i có, M
1
(1; 2; 0)
∈
d
1
, thay vào d
2
ta có
1 2 2 2 0
2 4 4
− −
= = →
−
vô lí.
V

ậy
M
1
∉
d
2
⇒ hai đường thẳng
d
1
và
d
2
song song với nhau.

 Lập phương trình mặt phẳng chứa
d
1
và
d
2

Do
d
1
//
d
2
nên
1 1 2
, (0; 2; 2) 2(0;1;1)

n u M M
 
= = − − = −
 
  

Phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng là (
P
) :
y
+
z
– 2 = 0
b) Ta có
3 3
. 2 0 ( )
P
n u P d
= ≠ ⇒ ∩
 

G
ọi giao điểm của (
P
) và
d
3
là
A
.

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
Tọa độ của A là nghiệm của hệ
2 0
2
1 1 3
1; ; .
2 2 2
1
y z
x t
t A
y t
z t
+ − =


=

 
→ = ⇒

 
=
 


= +


Ch
ứ
ng minh t
ươ
ng t
ự
d
4
c
ắ
t mp (P) t
ạ
i
đ
i
ể
m B(4; 2; 0).
Ta có

1 1
3 3 3
3; ; (2;1; 1); . 9 0
2 2 2
AB AB u u
 
= − = − = ≠ ⇒
 
 
   
không cùng phương với

AB

nên
AB
cắt
d
1
và
d
2
(do
d
1
song
song
d
2
). V
ậy
AB
là đường thẳng cắt cả bốn đường thẳng đã cho.
Ví dụ 3. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:
a)
1 2
1
1 2 4
: ; :
2 1 3
2 3
x t

x y z
d d y t
z t
= − +

− + −

= = = −

−

= − +


b)
1 2
5 2 3 2 '
: 1 ; : 3 '
5 1 '
x t x t
d y t d y t
z t z t
= + = +
 
 
= − = − −
 
 
= − = −
 

c)
1 2
1 2 3 7 6 5
: ; :
9 6 3 6 4 2
x y z x y z
d d
− − − − − −
= = = =
d)
1 2
2 2 1
: 1 ; : 1
1 3
x t x
d y t d y t
z z t
= + =
 
 
′
= − + = +
 
 
′
= = −
 

e)

1 2
1 5 3 6 1 3
: ; :
2 1 4 3 2 1
x y z x y z
d d
− + − − + +
= = = =
f)
1 2
2 1 7 2
: ; :
4 6 8 6 9 12
x y z x y z
d d
− + − −
= = = =
− − −

Ví dụ 4. Tìm m để hai đường thẳng sau đây cắt nhau? Khi đó tìm tọa độ giao điểm của chúng?
a)
1 2
1 1 '
: ; : 2 2 '
1 2 3 '
x mt x t
d y t d y t
z t z t
= + = −
 

 
= = +
 
 
= − + = −
 
Đ/s: m = 2
b)
1 2
1 2 '
: 3 2 ; : 1 '
2 3 '
x t x t
d y t d y t
z m t z t
= − = +
 
 
= + = +
 
 
= + = −
 



LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831

I. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
Cho hai mặt phẳng
(
)
( )
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
: 0
: 0
P A x B y C z D
P A x B y C z D

+ + + =


+ + + =



Đặ
t
( )

( )
1 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 2

1 1 1 2 2 2
.
α ( );( ) cos α cos ;
.
.
n n
A A B B C C
P P n n
n n
A B C A B C
+ +
= ⇒ = = =
+ + + +
 
 
 

Chú ý:



( )

0 0
1 2
α ( );( ) 0 α 90
P P= ⇒ ≤ ≤


(

)
(
)
0
1 2 1 2
/ /
α 0
⇔ = ⇒ =
 
P P n k n


(
)
(
)
0
1 2 1 2
. 0
α 90 .
P P n n⊥ ⇔ = ⇒ =
 

Ví dụ 1:
Cho hai mặt phẳng
( ) : 3 1 0
( ) : (2 1) 3 0
P x y z
Q m x my z m
+ + − =



+ + − + + =


Tìm m
để

a)
( ) ( )
P Q
⊥

b)
( )

( );( )
α
P Q
=
v
ớ
i
5
cosα
33
=
(
Đ/s:
m

= –1)
Ví dụ 2:
Cho hai mặt phẳng
( ) : 1 0
( ) : ( 1) 3 (4 3) 3 0
+ + + =


− + + − + =

P x y z
Q m x y m z

Tìm
m
để
( )

( );( )
α
P Q
=
với
8
sin α
35
= (Đ/s: m = 1)
Ví dụ 3: Tính góc giữa các cặp mặt phẳng sau:
a)
3 4 3 6 0

3 2 5 3 0
x y z
x y z
− + + =


− + − =

b)
1 0
5 0
+ − + =


− + − =

x y z
x y z

c)
3 3 3 2 0
4 2 4 9 0

− + + =


+ + − =


x y z

x y z
d)
2 2 3 0
2 2 12 0
− − + =



+ + =


x y z
y z

Ví dụ 4:
Xác
đị
nh m
để
góc gi
ữ
a các c
ặ
p m
ặ
t ph
ẳ
ng sau b
ằ
ng

α
cho tr
ướ
c?
a)
0
(2 1) 3 2 3 0
( 1) 4 5 0
α 90
− − + + =


+ − + − =


=

m x my z
mx m y z
b)
0
2 12 0
7 0
α 45
+ + − =


+ + + =



=

mx y mz
x my z

c)
0
( 2) 2 5 0
( 3) 2 3 0
α 90
+ + − + =


+ − + − =


=

m x my mz
mx m y z
d)
0
3 0
(2 1) ( 1) ( 1) 6 0
α 30
− + + =


+ + − + − − =



=

mx y mz
m x m y m z

II. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

05. BÀI TOÁN VỀ GÓC
Thầy Đặng Việt Hùng
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
Cho đường thẳng d
1
và d
2
có véc tơ chỉ phương lần lượt là
(
)
(
)
1 1 1 1 2 2 2 2
; ; , ; ; .
= =
 
u a b c u a b c

Đặ
t
( )


( )
1 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 2
1 1 1 2 2 2
.
β ; cosβ cos ;
.
.
+ +
= ⇒ = = =
+ + + +
 
 
 
u u
a a b b c c
d d u u
u u
a b c a b c

Chú ý:



( )


0 0
1 2
β ; 0 β 90
= ⇒ ≤ ≤d d


(
)
(
)
0
1 2 1 2
/ /
β 0
⇔ = ⇒ =
 
d d u ku


(
)
(
)
0
1 2 1 2
. 0
β 90 .
⊥ ⇔ = ⇒ =
 
d d u u

Ví dụ 1:
Cho các đường thẳng
1
1 3
:
2 1 1
− −
= =
−
x y z
d và
2
3 ( 1)
: –1 3
4
= + +


= +


= +

x m t
d y t
z mt

Tìm m
để

a) d
1
và d
2
c
ắ
t nhau. Tìm t
ọ
a
độ
giao
đ
i
ể
m t
ươ
ng
ứ
ng. (
Đ
/s: m = 1)
b)
( )

1 2
165
; α; sin α
15
= =d d
Ví dụ 2:

Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:
a)
1 2
1 2 2 –
: –1 : –1 3
3 4 4 2
= + =
 
 
= + = +
 
 
= + = +
 
x t x t
d y t d y t
z t z t

b)
1 2
1 2 4 2 3 4
: ; :
2 1 2 3 6 2
− + − + − +
= = = =
− −
x y z x y z
d d

c)

1
3 1 2
:
2 1 1
+ − −
= =
x y z
d

và d
2
là các trục tọa độ

Ví dụ 3:
Xác định m để góc giữa các cặp mặt phẳng sau bằng α cho trước?
0
1 2
1 2
: 2 ; : 1 2 ;
α 60
2 2
= − + = +
 
 
= − = + =
 
 
= + = +
 
x t x t

d y t d y t
z t z mt

III. GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

Cho đường thẳng d có véc tơ chỉ phương là
(
)
; ;
=

d
u a b c
và mặt phẳng (P) có véc tơ pháp tuyến
(
)
; ; .
=

P
n A B C

Đặt
( )

( )
2 2 2
.
γ ; sin γ cos ;
.

.
+ +
= ⇒ = = =
+ + + +
 
 
 
d P
d P
d P
u n
Aa Bb Cc
d P u n
u n
a b c A B C

Chú ý:



( )

0 0
γ ; 0 γ 90
= ⇒ ≤ ≤d P


(
)
/ / . 0 0

⇔ = ⇔ + + =
 
d P
d P u n Aa Bb Cc


( )
⊥ ⇔ = ⇔ = =
 
d P
a b c
d P u kn
A B C

Ví dụ 1:
Tính góc giữa các cặp đường thẳng và mặt phẳng sau:
a)
( )
1 1
:
2 1 1
: 3 2 5 3 0
+ −

= =

−


− + − =


x y z
d
P x y z
b)
( )
1 2
: 2 ; : 2 2 1 0
3
= +


= − − + − =


=

x t
d y t P x y z
z t

Ví dụ 2:
Tìm tham s
ố
m
để

đườ
ng th
ẳ

ng d song song v
ớ
i (P):
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
a)
( )
1 2
:
2 3 1
: (2 1) 3 1 0
+ −

= =

−


− + + − + =

x y z
d
P x m y mz m

b)
( )
2 2
: 1 3 ; : 2 (1 ) 2 3 0
= −



= + − − + − + =


=

x t
d y t P mx m y z m
z t

Ví dụ 3: Tìm m để đường thẳng d tạo với (P) góc 30
0

a)
( )
2 1
:
1 2 1
: ( 1) 2 0
+ +

= =

−


+ + + − =

x y z
d

P m x my z m

b)
( )
1
: 2 ; : ( 2) 5 3 0
3
= +


= − + + + + − =


=

x t
d y t P x m y mz m
z t

Ví dụ 4: Cho đường thẳng và mặt phẳng
( )
1 2
:
1 1 1
: 2 ( 2) 3 0
− −

= =

−



+ + + − =

x y z
d
P x m y mz

Tìm giá trị của tham số
m để
a)
d // (P) Đ/s: Không tồn tại m.
b)
d tạo với (P) góc φ với
7
cosφ
3
= Đ/s:
m
= 2;
m
= –4
Ví dụ 5:
Cho đường thẳng và mặt phẳng

( )
1 1
:
1 3 2
: 2 ( 3) (4 1) 1 0

+ −

= =

−


+ + + − + =

x y z
d
P x m y m z

Tìm giá trị của tham số
m
để
a)
d
// (
P
) Đ/s: Không tồn tại
m
.
b)
d
tạo với (
P
) góc φ với
8
sin φ

406
= Đ/s:
m
= 1


LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831



I. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM TỚI MẶT PHẲNG
Khoảng cách từ M(x
0
; y
0
) đến mặt phẳng
(
)
: 0
+ + + =
P Ax By Cz D
là
( )
0 0 0
;( )
2 2 2
+ + +
=
+ +

M P
Ax By Cz D
d
A B C

Chú ý:
N
ế
u hai m
ặ
t ph
ẳ
ng song song thì kho
ả
ng cách gi
ữ
a hai m
ặ
t ph
ẳ
ng chính là kho
ả
ng cách t
ừ
m
ộ
t
đ
i
ể

m b
ấ
t kì trên m
ặ
t này
đế
n m
ặ
t kia.
M
ệ
nh
đề
:
(
)
(
)
( ) ( )
(
)
// ⇒ = ∈
P;Q M ;( Q )
P Q d d ; M P .

Ví dụ 1: Cho mặt phẳng
( ) : (2 1) ( 3) 2 4 0
+ + − + + + =
P m x m y z m .
Tìm m

để
a)
(1;0; 3) ( )
− ∈
A P

b)
( )
9
;( ) ;
14
=d A P với
(2;1; 1)
−
A (Đ/s: m = 1)
Ví dụ 2: Cho mặt phẳng
( ) : ( 1) ( 3) 2 0
+ + + − + =
P x m y m z .
Tìm m
để
a)
(2;1;1) ( )
∈
A P
(Đ/s: m = –1)
b)
( )
8
;( ) ;

3
=
d B P v
ớ
i
(2;1; 1)
−
B
(Đ
/s: m = 1)
Ví dụ 3:
Cho m
ặ
t ph
ẳ
ng
( ) : ( 1) 2 3 0
+ + − + =
P m x my mz .
Tìm m
để

a)

1 2
:
1 3 1
− +
= =
−

x y z
d song song v
ớ
i (P)
b)

( )
10
;( ) ;
3
=d A P v
ớ
i
(1;1; 3)
−
A
(Đ
/s: m = 1)
Ví dụ 4:
Cho
đườ
ng th
ẳ
ng
2 1
:
1 1 2
+ +
= =
−

x y z
d và m
ặ
t ph
ẳ
ng
( ) : 2 2 5 0
+ + − =
P x y z . Tìm M trên d và
Tìm m
để

a)

( )
∈
M P

b)

( )
1
;( )
3
=
d M P
(Đ
/s: t = 2)
Ví dụ 5:
Cho

đườ
ng th
ẳ
ng
1 1
:
2 1 1
+ −
= =
x y z
d và m
ặ
t ph
ẳ
ng
( ) : 2 2 1 0
− + − =
P x y z . Tìm M trên d và
Tìm m
để

07. BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH – P1
Thầy Đặng Việt Hùng