C6 ttoantvan

CHƯƠNG

6

TÍNH TOÁN THỦY VĂN
6.1 TÍNH TOÁN VÀ PHÂN TÍCH TẦN SUẤT.
6.1.1. Tần số f:
Tần số là số lần xuất hiện biến cố x trong chuỗi biến cố xi mà ta quan
trắc.

6.1.2. Tần suất P (của biến cố x):
Được định nghóa là tỷ số giữa tần số f của biến cố xi và tổng số các biến
cố xi ( chiều dài của chuỗi biến cố mà ta quan trắc, n).

Px i

%

=

f xi
n

100

Trong lý thuyết xác suất, đại lượng này chính là xác suất xảy ra biến cố
x i.

6.1.3. Tần suất tích luỹ P (của những biến cố x ≥ xi):
Tần suất tích luỹ P (của những biến cố x ≥ xi): là tần suất xảy ra những
biến cố x lớn hơn hay bằng biến cố xi; ký hiệu là F(xi)

Để tính được tần suất tích lũy, ta thực hiện các bước sau:
• Đầu tiên ta sắp xếp (hoặc phân cấp) chuỗi quan trắc biến cố xi
theo thứ tự có giá trị giảm dần (lớn nhất đứng ở trên, nhỏ nhất
đứng ở dưới).
• Bước kế tiếp tính tần số. Nếu ta không phân cấp, mà để từng
biến cố xi để tính tần số thì ứng với mỗi biến cố xi tần tố bằng 1
(cũng có thể >=1 . đối với những biến cố xi xảy ra nhiều lần trong
chuỗi n biến cố); còn trong trường hợp phân theo cấp (xa –xb) thì


ta đếm xem có bao nhiêu biến cố xi rơi vào khoảng giữa cấp (xa –
xb), đó chính là tần số của cấp (xa–xb).
• Tiếp theo tính tần suất Pxi của biến cố xi
• Cuối cùng tính tần suất tích lũy của những biến cố x≥ xi bằng
cách cộng dồn theo thứ tự từ trên xuống dưới cột tần suất Pxi.

6.1.4. Đường tần suất
Đường biễu diễn tần suất tích luỹ P(x≥ xi) theo xi thông thường là một
đường cong trơn, trong lý thuyết xác suất, người ta gọi là đường tần suất
tích luỹ và đơn giản hơn gọi là đường tần suất.
Đường tần suất có các giá trị tần suấât tỷ lệ nghịch với giá trị xi. Trên
đường tần suất, ứng với các giá trị biến cố xi càng lớn thì giá trị tần suất
càng nhỏ , và ngược lại.
Trong thủy văn, người ta dùng đường tần suất để phục vụ cho hầu hết các
thiết kế công trìnhá. Ta thường gặp các bài toán như sau: Biết tiêu chuẩn
thiết kế là P%(x≥ xi); tìm xi tương ứng; hoặc ngược lại, biết xi, tìm P%
tương ứng.Ví dụ để xây dựng một công trình cần phải có lưu lượng Q5% ,
là những lưu lượng tương đối lớn). Vì vậy việc vẽ đường tần suất cho một
chuỗi số liệu biến cố x rất quan trọng.

6.1.5. Hàm mật độ tần suất f(xi):
Hàm mật độ tần suất f(xi) là đạo hàm bậc một của hàm phân bố tần suất
F(xi). Ta có:

f (x i ) = F ' (x i ) =

lim
Δx → 0
i

F(x i + Δx) − F(x i )
Δx

Đồ thị biễu diễn hàm mật độ là một đường cong trơn hình quả chuông.
(có thể xem hình vẽ của ví dụ dưới đây).
Biết hàm số mật độ tần suất, chúng ta có thể suy ngược lại hàm phân bố
tần suất (tích luỹ) và ngược lại.


6.2 VÍ DỤ TÍNH TOÁN
Ví dụ 1:
Xét sự phân bố tần suất Qmax trong năm tại một trạm thủy văn với các số
liệu trong chuỗi thời gian từ 1930 đến 1979 gồm 50 trị số, trong đó số lớn
nhất là 2560 m3/s, nhỏ nhất là 770 m3/s, trung bình là 1360 m3/s.

• Đây là các biến ngẫu nhiên, ta tiến hành phân khoảng cho các trị
số, sắp xếp theo thứ tự từ lớn tới nhỏ thành các cấp lưu lượng,
thống kê số lần xuất hiện biến cố lưu lượng rơi vào khoảng của
cấp, số lần này gọi là tần số f.
• Tính tần suất P%=100*(f/50).

• Tính tần suất tích lũy (cộng dồn từ trên xuống) ta được
F(Qi)=ΣP%(Q>Qm)
• Ta tính mật độ tần suất f(xi) bằng cách chia tần suất P cho độ lớn
khoảng cách giữa hai cấp (bằng 300), ta được mật độ tần suất
bình quân của cấp lưu lượng đó, ký hiệu là f(xi).
• Tính toán như bảng sau:


Cấp lưu lượng, Tần số f,

Q
2600
2300
2000
1700
1400
1100
800
500

Q (m3/s)

lần

2600-2300
2299-2000
1999-1700
1699-1400
1399-1100
1099-800

799-500

1
2
3
11
18
12
3

Tổng số

50

Tần suất,

Mật độ tần suất,
-1

P%=100(f/n) (P/300)% (m3/s)
2
0.006666667
4
0.013333333
6
0.02
22
0.073333333
36
0.12

24
0.08
6
0.02
0
100

Tần suất tích lũy,
P%(Q>=Qm)=SumP%
2
6
12
34
70
94
100

Tần suất tích lũy,

Mật độ tần suất,
(P/300)% (m3/s)-1

P%(Q>=Qm)=SumP%

3000

0.14

2500

0.12
0.1

2000

0.08

1500

0.06

1000

0.04

500

0.02
0
0

1000

2000

3000

Đường phân bố mật độ tần suất lưu lượng đỉnh lũ

0

0

20

40

60

80

100

Đường tần suất tích luỹ lưu lượng đỉnh lũ

• ý nghóa đường tần suất:
Nếu khi lấy mẫu, mỗi năm chọÏn một trị số Qmax, liên tục trong nhiều năm
(n năm) thì tần suất có hàm ý: trong thời gian rất dài, ví dụ bình quân


trong 100 năm xuất hiện bao nhiêu lần, ví dụ P(Qmax>1900 m3/s)=20% có
nghóa là trong thời gian rất dài, bình quân 100 năm có 20 lần xuất hiện
Qmax>1900m3/s.
Rõ ràng từ hình vẽ, ứng với các giá trị tần suất tích lũy nhỏû thì Qmax lớn
và ngược lại.

6.3 ĐƯỜNG TẦN SUẤT KINH NGHIỆM.
Trong thủy văn, đường tần suất kinh nghiệm là đường tần suất xây dựng
từ các số liệu thực đo (ví dụ trên). Đây là đườøng tần suất phản ảnh về
tình hình các đặc trưng thủy văn của trạm đang đo, nhưng không phản ảnh
tình hình của trạm khác.

Ví dụ 2:
Trong 20 năm, có lượng mưa bình quân năm từ 1963 đến 1982 như sau:
Công thức tính tần suất kinh nghiệm:
Trong chuỗi số liệu dưới đây, giá trị nhỏ nhất của số liệu có tần suất
100%, như vậy mặc nhiên chấp nhận không có số nào nhỏ hơn nữa. Điều
này chỉ đúng khi số liệu dài (n rất lớn). Trong trường hợp ngược lại , n
bằng chừng vài chục số thì điều này vô lý.
Do đó, người ta dùng một số công thức khác để tính tần suất P như sau:

• Công thức trung bình: P1 =

f − 0.5
100%
n

• Công thức vọng số:

P2 =

f
100%
n+1

• Công thức số giữa:

P3 =

f − 0.3
100%
n + 0.4

Thực tế cho thấy tính theo P2 thì an toàn, P3 thì trung bình, P1 thì thiếu an
toàn.


số thứ tự năm
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

1963
1964
1965

1966
1967
1968
1969
1970
1971
1972
1973
1974
1975
1976
1977
1978
1979
1980
1981
1982

Mưa bq Xi

Xi giảm

Tần suất tích lũy,

năm,mm
1760
2120
2340
1470
2880

2150
2620
2500
1920
1670
2840
2640
2750
2130
1880
2210
2420
1890
2450
1960

dần
2880
2840
2750
2640
2620
2500
2450
2420
2340
2210
2150
2130
2120

1960
1920
1890
1880
1760
1670
1470

P%(Qm>=Qmi)=SumP%
5
10
3500
15
20
25
3000
30
35
2500
40
45
50
2000
55
60
1500
65
70
1000
75

80
85
500
90
95
0
100

0

Tần suất tích lũy,
P%(Qm>=Qmi)=SumP%

20

40

60

80

100

Đường tần suất tích luỹ kinh nghiệm mưa Xbq năm

6.4 NGOẠI SUY ĐƯỜNG TẦN SUẤT KINH NGHIỆM.
Khi tính toán thuỷ văn cho các công trình quan trọng thường gặp tần suất
rất nhỏ (1%, 0,1%..) trong khi đó nếu chuỗi số liệu ngắn (ví dụ trên
n=20), nếu tính tần suất theo công thức P2 thì ứng với trị số X lớn nhất
cũng chỉ cho gần 5%. Do đó phải ngoại suy (kéo về hai phía ) đường tần

suất, việc này dễ dẫn đến sai số chủ quan (do tự kéo về hai phía không
đúng).
Để khắc phục vấn đề này, người ta dựa vào một số phương trình toán học
để tìm ra các đường tần suất lý luận. Để xác định đường tần suất lý luận,
ta làm quen với một số đặc trưng thống kê sau:


6.4.1 Các trị số đặc trưng thống kê biểu thị xu thế tập trung
n

• Số bình quân x : x =

∑ xi
1

n

n

∑f x
hay x =
∑f
i

i

1

n

= ∑ x i Pi
1

i

với fi là tần số của xi

• Số đông xd: là trị số X ứng với mật độ tần suất lớn nhất

6.4.2 Các trị số đặc trưng thống kê biểu thị xu thế phân tán
• Khoảng lệch lớn nhất: Là hiệu giữa trị số xmax và xmin:

Δ m = x max − x min
• Khoảng lệch quân phương σ:
n

σ=

2

∑ (x i − x )
1

n

Khoảng lệch quân phương σ nói lên mức độ phân tán toàn chuỗi, σ càng
lớn, độ phân tán càng lớn.
Tuy nhiên σ là một số có thứ nguyên nên không thể dùng so sánh mức độ
phân tán giữa các chuỗi có thứ nguyên khác nhau.
Để khắc phục điều này, người ta dùng hệ số biến động Cv

• Hệ số biến động Cv

∑(x
n

σ
Cv = =
x

i

1

n
x

−x

)

2

=

2

⎛x
⎞
∑1 ⎜⎝ xi − 1 ⎟⎠ =

n

1
n

n

1
n

∑ (K
1

i

− 1)

2


trong đó K i =

xi
là hệ số module
x

Cv ≥ 0 và là một số vô thứ nguyên, nên biểu thị mức độ phân tán tốt
hơn. Cv càng nhỏ, thì mức độ tập trung của chuỗi càng lớn.
Tuy vậy Cv chưa khái quát hết hình dạng của đường phân bố mật độ tần
suất, nên người ta dùng thêm hệ số thiên lệch Cs.

• Hệ số thiên lệch (hay hệ số không đối xứng) Cs
Hệ số thiên lệch Cs là đặc trưng phản ánh hình dạng của đường phân
bố mật độ tần suất lệch về bên trái hay bên phải so với giá trị bình
quân:
n

Cs =

n

3
∑ (x i − x ) ∑ (K i − 1)3
1
3
nC3v x

=

1

nC3v

Cs cũng là một đại lượng vô thứ nguyên.
Trong công thức tính Cs ta có mẫu số luôn luôn dương nên:
- Khi tử số ∑(Ki-1)3 >0 thì Cs>0, dạng phân bố đường mật độ tần
suất lệch về bên trái của trị số bình quân.
- Khi tử số ∑(Ki-1)3 <0 thì Cs<0, dạng phân bố đường mật độ tần
suất lệch về bên phải của trị số bình quân.
- Khi tử số ∑(Ki-1)3 =0 thì Cs=0, dạng phân bố đường mật độ tần

suất đối xứng qua trục đi qua trị số bình quân.
P
Cs=0
Cs<0

Cs>0

x
Xbq


Cần lưu ý rằng những công thức tính σ, Cv; Cs ở trên chỉ dùng để tính
toán cho những chuỗi số liệu rất dài (n rất lớn). Ở nước ta, chuỗi quan
tắc thường ngắn (n chỉ bằng vài chục số), nên công thức tính các đại
lượng σ, Cv; Cs được đề nghị sửa đổi như sau:

σ=

1 n
∑ xi − x
n − 1 i =1

(

1
Cv =
x
Cs =

)

2

1 n
(K i − 1)2
=x
∑
n − 1 i =1

1 n
∑ xi − x
n − 1 i =1

(

1
(n −

3)C3v

)

2

=

1 n
(K i − 1)2
∑
n − 1 i =1

n

∑ (K i − 1)3
1

6.4.3 Sai số lấy mẫu:
Khi tính các đại lượng trung bình x , Cv; Cs ta cần cộng trừ thêm các sai
số như sau:

σx =

• Sai số của x : sai số tuyệt đối :
sai số tương đối:

σ 'x =

• Sai số của Cv:sai số tuyệt đối :

σ Cv =

sai số tương đối:

σ 'Cv =

• Sai số của Cs:sai số tuyệt đối :
sai số tương đối:

σ cs =

σ 'cs =

6.5 ĐƯỜNG TẦN SUẤT LÝ LUẬN.

σ
n

100C v
n
Cv
2n
100
2n

(%)
1 + Cv

2

2

1 + C v (%)

6
(1 + 6C2v + 5C4v
n

100 6
(1 + 6C2v + 5C4v )
Cs n

Như đã nói ở trên, do tài liệu quan trắc ít, ta nhận được chuỗi số liệu
ngắn nên đường tần suất có được không đáp ứng được nhu cầu thiết kế
(không suy ra được những giá trị x ứng với tần suất nhỏ, cần phải kéo dài
đường tần suất dễ gây ra sai số vì chủ quan. Do đó người ta tập trung
nghiên cứu từ lý thuyết, vẽ nên những đường phân bố mật độ tần suất
tổng thể dạng toán y=f(x).
Vì rằng mật độ tần suất chính là:

f (x i ) = F ' (x i ) =

F(x i + Δx) − F(x i )
lim
Δx
Δx i → 0

Nên sau đó, lấy tích phân đường cong mật độ tần suất sẽ cho ra đường
tần suất (tích lũy) lý luận. Dựa vào đường tần suất lý luận này, người ta
kéo dài và bổ sung cho đường tần suất kinh nghiệm. Ở đây ta giới thiệu
đường tần suất lý luận Pearson III thường dùng trong thủy văn như sau:

Đường tần suất lý luận Pearson III:
Có đặc tính sau:

Kp − 1
Cv

= f (Cs , P) = Φ

Trong đó Φ là là khoảng lệch tung độ phụ thuộc vào Cs và P .
Khi Cs và P không đổi thì Φ cũng không đổi và không phụ thuộc vào Cv
¾ Trường hợp Cv=1:
Foster và Rypkin đã dựa vào một số đặc tính của đường PIII , tiến hành
tích phân tìm ra các trị số Φp tương ứng với các tần suất và Cs>0 khác
nhau và lập ra bảng tra cứu (xem phụ lục 5 của giáo trình NKCường)).
¾ Trường hợp Cv ≠ 1:
Trong thực tế, khi Cv ≠ 1, dựa vào công thức trên ta suy ra:
Kp=ΦCv+1
Ví dụ: Cv=0,5; Cs =1; tra bảng ta được Φ1%=3,02; Φ75%=-0,73; Vậy Kp ứng
với hai tần suất trên là:
K1%=3,02.0,5+1=2,51


K75%=-0,73.0,5+1=0,063

xp = K p x

Sau khi tính được Kp; ta tìm xp bằng:
¾ Trường hợp Cs<0 :

Ta vẫn có thể sử dụng bảng tra cứu Foster-Rypkin, nhưng phải biến
đổi lại:

Φp(Cs<0)= - Φ100-p (⎮Cs⎮)
Với Φ100-p (⎮Cs⎮) tra bảng ứng với ⎮Cs⎮và giá trị tần suất bằng (100-p).
Ví dụ:
Tìm Φ1% khi Cv=0,5 và Cs =-1. Ta có:

Φ1%(Cs=-1)= -Φ(100-1)%(Cs=1)= -Φ99%(Cs=1)=-(-1,59)=1,59

(trong bảng phụ lục Φ99%(Cs=1)=-1,59)
Như vậy, từ chuỗi số liệu cho trước, sau khi tính các giá trị x , Cv, Cs; ta
tra bảng ra Φp (ứng với P và Cv=1) và tính được Kp (ứng với P và Cv của
chuỗi vừa tính ); suy ra xp=Kp x ứng với từng giá trị cho trước của P. Sau
đó vẽ từng cặp (xp, P) lên đồ thị ta được đường tần suất lý luận PIII.
Giới hạn của Cs khi vẽ đường PIII:

2C v ≤ Cs ≤

2C v
1 − K min

Nếu Cs vượt ra ngoài giới hạn trên thì :
Nếu Cs < 2C v thì xuất hiện những giá trị âm trên đường PIII.
Nếu Cs >

2C v
thì đường tần suất có dạng lưỡi liềm không phù hợp
1 − K min

với các hiện tượng thủy văn.

Đường tần suất lý luận Krisky-Melken:


Trong thực tế thủy văn vẫn tồn tại Cs< 2Cv nên Krisky-Melkin đề nghị
thêm dạng đường mật độ tần suất dùng cho trường hợp này, sau khi lấy
tích phân cho ra đường tần suất tích lũy K-M.
Krisky-Melkin cũng lập những bảng cho sẵn các giá trị Kp ứng với từng
giá trị p cho các trøng hợp khác nhau của Cs: Cs /Cv=(1÷6) (tra phụ lục

6).
Từ các cặp (Kp,P) hay (xp,P) ta vẽ nên được đường tần suất lý luận K-M.

6.6 PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG ĐƯỜNG TẦN SUẤT
THƯỜNG DÙNG TRONG THỦY VĂN.
Như đã nói, đường tần suất kinh nghiệm được vẽ trên cơ sở thực đo, cần
kéo dài và hiệu chỉnh bằng cách dựa vào các đường tần suất lý luận. Ở
đây, chúng ta làm quen với một cách đơn giản nhất là phương pháp thử
đường:
Phương pháp thử đường (đường thích hợp):
Nội dung của phương pháp này là : dựa vào kết quả tính x , Cv của chuỗi
số liệu, ta giả thiết nhiều giá trị Cs khác nhau (thông thường cho Cs=mCv
với m=1-6) và vẽ nên được nhiều đường tần suất lý luận khác nhau.
Đường tần suất lý luận nào phù hợp tốt nhất với các điểm thực nghiệm thì
đường đó được chọn làm tần suất tính toán.
Chú ý rằng đôi khi cần phải hiệu chỉnh lại cả x , Cv thì mới đạt được
đường tần suất phù hợp với thực nghiệm.
Ưu điểm của phương pháp đường thích hợp là tính toán đơn giản, dựa trên
cơ sở thực nghiệm để kiểm nghiệm đường tần suất lý luận; hiện nay
phương pháp này được sử dụng nhiều; tuy nhiên còn phụ thuộc chủ quan
người tính
Qua thực tế các số liệu thủy văn ở VN, đường PIII và đường K-M đều cho
kết quả toát.


Ví dụ: Vẽ đường tần suất theo phương pháp đường thích hợp cho chuỗi số
liệu Q bình quân từ 1950 đến 1969. Tìm Q10%; Q50%;
Ta lập bảng tính toán dưới đây (để rõ hơn, nên xem tính toán trong
file viduNOISUYTANSUAT.xls):
Từ bảng tính toán, ta có kết quả sau:

Do sai số tương đối của Cs quá lớn, nên ta thiết lập đường tần suất lý
luận bằng cách chọn:
Cs=mCv
chọn m=2; ta có:

Cs=2Cv=2*0,27=0,54

Như vậy, dựa vào Cv=0,27; Cs=0,54; tra phụ lục 6 (Kp của đường tần

suất Kriski-Menken) ta có cột P% lý luận như trong bảng dưới đây
(cột cuối cùng)
Từ đường tần suất lý luận, ta suy ra
K10%=1,36

K50%=0,98

Suy ra:
Q10%= K10%*Qtb=1,36*396.75= 539,58 m3/s
Q50%= K50%*Qtb=0,98*396.75= 388,82 m3/s


Số tt Năm Q(m3/s) Qsort Ki=Q/Qtb (Ki-1)
Qtb= 396.75

Cv=

0.269

(Ki-1)^2 (Ki-1)^3 P%=m/(n+1) P%tích luỹ P%lýluậnõ

σ = 106.77269

Cs=

0.11

saiso%

σ Cs =

607.01

Kp

1

1950

570

592

1.492

0.492

0.24219

0.119

4.76

4.76

0.1

2.05

2

1951

503

570

1.437

0.437

0.19068

0.083

4.76

9.52

1

1.72

3

1952

313

503

1.268

0.268

0.07172

0.019

4.76

14.29

5

1.48

4

1953

485

496

1.250

0.250

0.06258

0.016

4.76

19.05

10

1.36

5

1954

460

485

1.222

0.222

0.04948

0.011

4.76

23.81

20

1.22

6

1955

592

463

1.167

0.167

0.02788

0.005

4.76

28.57

50

0.98

7

1956

215

460

1.159

0.159

0.02541

0.004

4.76

33.33

80

0.77

8

1957

346

446

1.124

0.124

0.01541

0.002

4.76

38.10

99.99

0.37

9

1958

333

445

1.122

0.122

0.01479

0.002

4.76

42.86

10 1959

411

411

1.036

0.036

0.00129

0.000

4.76

47.62

11 1960

263

399

1.006

0.006

0.00003

0.000

4.76

52.38

12 1961

446

346

0.872

-0.128

0.01636

-0.002

4.76
2.500

57.14

13 1962

445

342

0.862

-0.138

0.01904

-0.003

4.76

61.90

14 1963

342

333

0.839

-0.161

0.02582

-0.004

4.76

66.67

15 1964

274

313

0.789

-0.211

0.04456

2.000

-0.009

1.500

4.76

71.43
76.19

16 1965

496

306

0.771

-0.229

0.05232

-0.012

1.000
4.76

17 1966

399

274

0.691

-0.309

0.09572

-0.030

4.76
0.500

80.95

18 1967

463

273

0.688

-0.312

0.09729

-0.030

4.76

85.71

19 1968

273

263

0.663

-0.337

0.11365

20 1969

306

215

0.542

-0.458

-0.038

0.000
4.76

0.00

90.48
50.00

0.20985

-0.096

4.76

95.24

1.37607

0.036

100.00

150.00


6.7 PHÂNTÍCH TƯƠNG QUAN
Khi số liệu của chuỗi biến cố mà ta nghiên cứu ngắn, không thể dựa vào
đó để vẽ đường tần suất được, ta có thể dựa vào chuỗi số liệu của biến
cố dài hơn để có thể bổ sung cho số liệu của biến cố đầu, với điều kiện
hai biến cố này phải có quan hệ tương quan, cùng bản chất.
Phương pháp phân tích quan hệ giữa các biến cố này gọi là phương pháp
tương quan.
Có 3 trường hợp quan hệ giữa hai biến cố:

1) Quan hệ chặt chẽ: với mỗi trị số xác định của biến cố y sẽ có một
hay nhiều trị số xác định của biến cố x, đây là tương quan hàm số
(ví dụ y=x2)
2) Quan hệ rời rạc: Không có quan hệ nào giữa hai chuỗi biến cố.
3) Quan hệ tương quan: Trong trường hợp ứng với mỗi giá trị của
biến cố y, có thể có được giá trị này hoặc giá trị khác của biến cố
x mà ta không thể xác định được. Tuy vậy, qua tài liệu thống kê,
có thể tìm một mối quan hệ nào đó, gọi là tương quan thống kê,
hay gọi tắt là tương quan.
Trong thuỷ văn chủ yếu xét hai loại tương quan đơn như sau:

6.7.1

Tương quan đường thẳng:

1) Phương pháp giải tích:
a) Phương trình đường hồi quy:
Ta xây dựng phương trình đường hồi quy
như sau:
Giả sử (x1, x2,.. xn) và (y1, y2,.. yn) là
hai chuỗi biến cố quan trắc được.
Trên trục toạ độ ta chấm các cặp điểm

y
y=a+bxi

(xi ,yi)
yi
y

(xi ,y)

xi

x


(xi,yi), nếu các điểm tập trung trên một dải hẹp, ta có tương quan đường
thẳng y = a+bxi
Từ hình vẽ cho thấy, cùng giá trị xi, ta có giá trị của điểm quan hệ thực là
yi; còn của điểm nằm trên đường quan hệ là y; ta tính được sai lệch là:

yi - y = yi - (a+bxi)
Để đường hồi quy vẽ được chính xác nhất, ta có tiêu chuẩn sau:
Tổng bình phương các khoảng lệch là nhỏ nhất (phương pháp bình
phương cực tiểu):

∑ (yi-y)2 = ∑(yi-(a+bxi))2=min
Giải phương trình trên với a và b là hai biến số. Ta tìm cực tiểu của hàm
số trên để suy ra a và b:

∂ ∑ ( y i − y )2
=0
∂a
hay:

∂ ∑ ( y i − y )2
=0
∂b

;

∂ ∑ ( y i − (a + bx i ))2
=0
∂a

∂ ∑ ( y i − (a + bx i ))2
=0
∂b

;

Giải hệ phương trình trên ta suy ra:

a=y−∑

( xi − x )(y i − y )
x
2
(
x
−
x
)
∑ i

;

b=

∑ (x − x)(y − y )
∑ (x − x)
i

2

i

Nhö vậy phương trình đường hồi quy có dạng:

y−y=

∑ (x − x)(y − y ) (x
∑ (x − x)
i

i

2

i

i

i

− x)


trong đó:

x; y : lần lượt là giá trị trung bình của các giá trị chuỗi biến cố x,y.
Tương tự , phương trình đường hồi quy x=a1+b1yi có dạng như sau:

x−x=

∑ (x − x)(y − y ) (y
∑ (y − y )
i

i

2

i

− y)

i

b) Hệ số tương quan γ:
Để biết được mức độ chặt chẽ của quan hệ giữa hai
chuỗi biến cố, ta dùng hệ số tương quan γ.
Xét góc β hợp bởi hai đường hồi quy như hình vẽ:
¾ Khi β=0; hai đường hồi quy trùng nhau, ta có
quan hệ chặt chẽ và trở thành hàm số. Lúc ấy hệ
số góc của chúng bằng nhau:

b=

1

b1

hay

bb 1 = 1

hay

y

y=a+bx
β
α2
α1

± bb 1 = ±1

¾ Khi β<>0: hai đường hồi quy không trùng nhau, ta có quan hệ
thống kê. Khi ấy ta có:

Như vậy

bb1

± bb1 ≠ ±1

biểu thị mức độ quan hệ chặt chẽ của tương quan thẳng

giữa hai biến cố x và y
Đặt

γ = ± bb1 gọi là

Thay các giá trị của b,b1 vào ta được:

x=a1+b1y

hệ số tương quan

x


[∑ (x

γ=±
=±

i

][

− x )( y i − y ) ∑ ( x i − x )( y i − y )
∑ ( x i − x )2 ∑ ( y i − y )2

∑ (x − x)(y − y )
∑ (x − x) ∑ (y − y )
i

i

2

i

K xi =

Trong ñoù:

2

=±

i

]

∑ (K − 1)(K − 1)
∑ (K − 1) ∑ (K − 1)
xi

yi

2

xi

2

yi

xi
y
; K yi = i
x
y

¾ Khi γ > 0 : quan hệ đồng biến (mưa-dòng chảy).
¾ Khi γ < 0 : quan hệ nghịch biến (bốc hơi-dòng chảy).
¾ Khi

γ

càng nhỏ thì mức độ tương quan càng kém.

Qua phân tích tài liệu, nếu

γ

>0,8 và chuỗi quan trắc lớn hơn 10 năm

thì có thể áp dụng phương pháp giải tích để tìm phương trình đường hồi
quy thẳng.

c) Hệ số hồi quy:
Là hệ số các đường hồi quy:

• Hệ số hồi quy y theo x:

b=

• Hệ số hồi quy x theo y:

b1 =

σy
σx

γ

σx
γ
σy

Khi ấy,

d) Phương trình các đườøng hồi quy được viết lại dưới dạng sau:


• Phương trình đường hồi quy y theo x: y = y + b ( x − x )
• Phương trình đường hồi quy x theo y: x = x + b 1 ( y − y )
Khi áp dụng phương pháp giải tích để tìm phương trình đường hồi quy ta
không mắc phải các sai số chủ quan, có mức độ để đánh giá tương quan.
Tuy nhiên không tránh khỏi những điểm quá phân tán.
Trong thực tế, người ta thường kết hợp với phương pháp tương quan đồ
giải để bổ sung thêm vấn đề kéo dài tài liệu.

2) Phương pháp đồ giải:
¾

Chấm các điểm (xi,yi) lên hệ trục

toạ độ. Nếu các điểm tương đối tập
trung thành dải hẹp (kiểm tra qua hệ
số tương quan γ>0,8), ta có thể vẽ
đường thẳng đi qua giữa các điểm, và
đường này sẽ là đường tương quan để
bổ sung kéo dài tài liệu (có x suy ra y
hay ngược lại).

y
(xi ,yi)

y=a+bxi

x

Phương pháp này có thể khắc phục được những trường hợp các điểm quá
phân tán cần loại bỏ.
Ví dụ:
Hai trạm A và B ở gần nhau, có cùng điều kiện hình thành dòng chảy. Ta
có chuỗi số liệu quan trắc 12 năm về module dòng chảy cho hai trạm A
và B như sau: (xem trong tính toán bảng .xls)

6.7.2. Tương quan đường cong:


Khi đường hồi quy dạng đường cong ta có tng quan đường cong. (ví dụ
quan hệ mưa rào-dòng chảy lũ; đỉnh lũ-tổng lượng lũ…)
Trong quan hệ các hiện tượng thuỷ văn, có hai loại đường cong thường
gặp dạng như sau:
a) Dạng Parabol: y=axm

b) Dạng Hyperbol: y=b/xm
Với cả hai dạng trên, để tiện tính toán, trước khi vẽ đường hồi quy ta lấy
log hai vế, sẽ nhận được tương quan dạng đường thẳng, ta có thể vẽ bằng
kết quả thật trên giấy trục log cũng có đường thẳng.
Ví dụ:
tuong quan yy=b/x^2
x

y=x^2 y=100/x^2
1
1 100
2
4
25 10000
3
9 11.1
4
16 6.25
5
25
4
6
36 2.78
100
7
49 2.04
8
64 1.56
9
81 1.23

10 100
1
20 400 0.25
1
30 900 0.11
40 1600 0.06
50 2500 0.04

0.01

y=x^2

1

10

100
y=100/x^2