Lecture 07 TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG

404001 - Tín hiệu và hệ thống

Lecture-7
Biể
Biểu diễ
diễn tín hiệ
hiệu bằng chuỗ
chuỗi Fourier

Biể
Biểu diễ
diễn tín hiệ
hiệu bằng tập tín hiệ
hiệu trự
trực giao

Chuỗi Fourier lượng giác

Chuỗi Fourier hàm mũ phức

ðáp ứng của hệ thống LTIC với tín hiệu tuần hoàn

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Biểu diễn tín hiệu bằng tập tín hiệu trực giao

Biểu diễn gần đúng vectơ:



f


e



f


x


e1



f


e2



c2 x
c1 x





 
 


f = cx + e = c1 x + e1 = c2 x + e2 ⇒ e : min ⇒ f ≃ cx
1
 
⇒c=  2 f x
| x|

cx

Kích thước vectơ
Tích vơ hướng

 Khi nào c=0?
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

1


Biểu diễn tín hiệu bằng tập tín hiệu trực giao

Biểu diễn gần đúng tín hiệu:
 Biểu diễn gần đúng f(t) theo x(t): f (t ) ≃ cx(t ); t1 ≤ t ≤ t2

 f (t ) − cx(t ) t1 ≤ t ≤ t2
⇒ e(t ) = 
otherwise
0
t2
 Tìm c ñể sai số nhỏ nhất  Ee = ∫ [ f (t ) − cx (t )]2 dt : min
t1

⇒c=

1
Ex

Kích thước tín hiệu

∫

t2

t1

f (t ) x(t )dt

Tích vơ hướng của f(t) với x(t)

 Tính tương tự cho tín hiệu phức:

∫

t2

t1

f (t ) x* (t )dt

(tổng quát)

 Khi nào c=0?
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Biểu diễn tín hiệu bằng tập tín hiệu trực giao
 Ví dụ:

f (t ) ≃ c sin t
2π

Ex = ∫ sin 2 tdt = π

0

∫

2π

0

⇒c=

2π

π

f (t ) x(t ) dt = ∫ sin tdt − ∫ sin tdt = 4
0

1
Ex

∫

2π

0

f (t ) x(t ) dt =

π

4

π


Không gian (tập) tín hiệu trực giao:
 {x1(t), x2(t),…,xN(t)} trực giao trong khoảng [t1, t2] nếu:

∫

t2

t1

0
xm (t ) xn* (t ) dt = 
 En

m≠n
m=n

 Nếu En=1 với mọi n  tập trực chuẩn
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

2


Biểu diễn tín hiệu bằng tập tín hiệu trực giao

Biểu diễn tín hiệu dựa vào khơng gian tín hiệu trực giao:
N

f (t ) ≃ c1 x1 (t ) + c2 x2 (t ) + ... + cN xN (t ) = ∑ cn xn (t )
N

 Sai số: e(t ) = f (t ) −

∑ cn xn (t )

n =1

n=1

 Tìm cn thỏa điều kiện năng lượng sai số  min:
Thực: cn =

1
En

∫

t2

t1

f (t ) xn (t ) dt

Phức:

cn =

1 t2

f (t ) xn* (t )dt
∫
t
En 1
N

 Năng lượng của thành phần sai số min: Ee = E f −

∑c E
2
n

n

n=1

 Năng lượng của thành phần sai số  0 nếu N  ∞  tập cơ sở
 Khi N  ∞, ta có: lưu ý dấu “=” đúng về mặt năng lượng
∞

f (t ) = ∑ cn xn (t ); t1 ≤ t ≤ t2

Chuỗi Fourier

n =1

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Biểu diễn tín hiệu bằng tập tín hiệu trực giao

Chọn tập cơ sở nào:

 Các hàm lượng giác
 Các hàm mũ phức
 Các hàm Walsh
 Các hàm Bessel
 Các ña thức Legendre
 Các hàm Laguerre
 ða thức Jacobi
 ða thức Hermit
 ða thức Chebyshev
 Trong môn học này chỉ tập trung khảo sát chuỗi Fourier theo
dạng hàm lượng giác và hàm mũ phức!!!

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

3


Biểu diễn tín hiệu bằng tập tín hiệu trực giao

Tại sao?

 Trong chương trước ta ñã biết ñáp ứng của hệ thống LTIC với
hàm mũ phức est:
f (t ) = e st ⇒ y (t ) = H ( s)e st
∞

H ( s) = ∫ h(τ )e − sτ dτ = P ( s) / Q ( s)
−∞

 Nếu s=jω, suy ra: f (t ) = e jωt ⇒ y (t ) = H ( jω )e jωt

 Do hệ thống là tuyến tính  biểu diễn f(t) thành tổng các tín hiệu
hàm mũ phức thì việc tính đáp ứng ngõ ra trở nên ñơn giản!!!
 Hàm lượng giác là một dạng ñặc biệt của hàm mũ phức:
cos(ωt ) = 12 (e jωt + e − jωt )

sin(ω t ) =

1
j2

(e jωt − e − jωt )

 Hàm lượng giác: quen với giải tích mạch; tín hiệu: dùng hàm
mũ phức.
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Biểu diễn tín hiệu bằng tập tín hiệu trực giao

Phổ tần số tín hiệu?

 Biểu diễn độ lớn và pha của các thành phần tần số
 Biểu diễn ñộ lớn gọi là phổ biên ñộ
 Biểu diễn pha gọi là phổ pha
 Ví dụ: xét tín hiệu sau:

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

4