Prob ch4 TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG

Problem/ch-4
∞

4.1. Chứng tỏ rằng nếu f(t) là hàm chẵn thì: F (ω ) = 2 ∫0 f ( t )cos ω tdt
∞

và nếu f(t) là hàm lẻ thì: F (ω ) = −2 j ∫0 f ( t )sin ω tdt
do đó nếu f(t) là tín hiệu thực, chẵn thì F(ω) là phổ thực, chẵn và nếu f(t)
là tín hiệu thực, lẻ thì F(ω) là phổ thuần ảo và lẻ theo ω
4.2. Tín hiệu f(t) có thể được biểu diễn theo thành phần chẵn và lẻ:
f (t ) = fe (t ) + fo (t )

a) Nếu f ( t ) ↔ F (ω ) , f(t) là tín hiệu thực, chứng tỏ rằng:
f e ( t ) ↔ Re [ F (ω )] & f o ( t ) ↔ j Im [ F (ω )]

b) Kiểm chứng kết quả trên bằng cách tìm biến đổi Fourier của thành
phần chẵn và lẻ của các tín hiệu sau: u(t) và e-atu(t), a>0?

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10


Problem/ch-4
4.3. Dùng định nghĩa của biến đổi thuận, tìm biến đổi Fourier của tín hiệu f(t)
trên hình 4.3?
(a)

f (t )

1

e − at

0

t

T

f (t )

0

1

0

(c )

2

−τ

Hình 4.3

t

T

1

t

(b)

f (t )
eat

1

(d )

f (t )

0

τ

t

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10


Problem/ch-4
4.4. Dùng định nghĩa của biến đổi ngược, tìm biến đổi Fourier ngược của phổ
tín hiệu trên hình 4.4?
Hình 4.4

(a)

(c )

(b)

(d )

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10


Problem/ch-4
4.5. Vẽ các hàm sau:

3ω
a ) rect ( 2t ) b ) Λ ( 100
) c ) rect ( t −810 ) d ) sin c ( πω5 )

e ) sin c ( ω −510π ) f ) sin c ( 5t ) rect ( 10tπ )

4.6. Tìm phổ của các tín hiệu sau (trình bày cách tính):
a)

1
2

[δ ( t ) + j / π t ]

b) δ ( t + T ) + δ ( t − T ) c ) δ ( t + T ) − δ ( t − T )

jω
jω
4.7. Tín hiệu f(t) trên hình 4.7 có phổ như sau: F (ω ) = ω12 (e − jω e − 1)
Hãy xác định phổ của các tín hiệu cịn lại dựa trên phổ của f(t)

f (t )

f 2 (t )

f1 (t )
t

Hình 4.7

t

t

f5 (t )

f 4 (t )
f3 (t )
t

t

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

t


Problem/ch-4
4.8. Tìm tín hiệu f(t) biết phổ của nó như hình 4.8
Hình 4.8

4.9. Tìm phổ F(ω) của tín hiệu f(t) trên hình 4.9
Hình 4.9

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10


Problem/ch-4
4.10. Tìm phổ của các tín hiệu trên hình 4.10?

Hình 4.10

4.11. Chứng minh rằng: f ( t )sin ω0 t ↔ 21j [ F (ω − ω 0 ) − F (ω + ω 0 )]
1
2j

[ f ( t + T ) − f ( t − T )] ↔ F (ω )sin T ω

Vận dụng kết quả trên tìm phổ của tín hiệu trên hình 4.11?
Hình 4.11

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10


Problem/ch-4
4.12. Tín hiệu trên hình 4.12 được điều chế AM với sóng mang cos10t. Hãy
xác định và vẽ phổ của tín hiệu điều chế?
Hình 4.12

4.13. Xác định tín hiệu f(t) biết phổ của nó như trên hình 4.13?
Hình 4.13

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10


Problem/ch-4

4.14. Một tín hiệu f(t) có băng thơng giới hạn là B Hz. Chứng minh rằng tín
hiệu fn(t) có độ rộng băng thơng là nB Hz? Gợi ý: dùng tính chất về độ
rộng của tích chập!
4.15. Cho hệ thống LTIC với hàm truyền: H ( s ) =

1
s+1

Xác định đáp ứng (Zero-state) nếu tín hiệu vào f(t) là: (a) e-2tu(t); (b) e-tu(t);
(c) etu(-t); (d) u(t)?
4.16. Cho hệ thống LTIC ổn định với hàm truyền: H (ω ) =

−1
jω − 2

Xác định đáp ứng xung h(t) của hệ thống và chứng tỏ rằng đây là hệ thống
không nhân quả? Xác định đáp ứng của hệ thống nếu f(t) là: (a) e-tu(t); (b)
etu(-t)?

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10


Problem/ch-4
4

4
4.17. Cho hệ thống với sơ đồ trên hình 4.17. Biết: f1 ( t ) = 10 rect (10 t )

ω
ω
f 2 ( t ) = δ ( t ), H 1 (ω ) = rect ( 40000
π ) , H 2 (ω ) = rect ( 20000π )

a) Vẽ F1(ω) và F2(ω)?
b) Vẽ H1(ω) và H2(ω)?
c) Vẽ Y1(ω) và Y2(ω)?
d) Xác định băng thơng của y1(t), y2(t) và y(t)?
Hình 4.17

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10


Problem/ch-4
4.18. Xét bộ lọc với hàm truyền: H (ω ) = e

− ( kω 2 + jω t0 )

Chứng tỏ rằng bộ lọc không thực hiện được trên thực tế dựa trên miền
thời gian [h(t) không nhân quả] và miền tần số (Paley-Wiener)? Có thể
chọn giá trị của t0 đủ lớn để có thể thực hiện bộ lọc trên thực tế? Nếu
được xác định giá trị t0 này?
2.105
− jω t0
4.19. Xét bộ lọc với hàm truyền: H (ω ) = 2
e

ω + 1010
Chứng tỏ rằng bộ lọc không thực hiện được trên thực tế dựa trên miền
thời gian [h(t) không nhân quả]? Có thể chọn giá trị của t0 đủ lớn để có
thể thực hiện bộ lọc trên thực tế? Nếu được xác định giá trị t0 này?
2a
t 2 + a2
Xác định băng thông B Hz của f(t) sao cho năng lượng chứa trong
khoảng băng thông này là 99% năng lượng của tín hiệu?

4.20. Xét tín hiệu: f ( t ) =

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10


Problem/ch-4
4.21. Xét các tín hiệu băng gốc sau: (i) m(t)=cos1000t; (ii)
m(t)=2cos1000t+cos2000t; (iii) m(t)=cos1000tcos3000t
a) Xác định và vẽ phổ của m(t)?
b) Xác định và vẽ phổ tín hiệu DSB-SC m(t)cos10000t?
c) Xác định phổ USB và LSB?
d) Xác định các tần số trong tín hiệu băng gốc và các tần số tương ứng
trong phổ DSB-SC, USB và LSB?
4.22. Cho hệ thống điều chế và tín hiệu băng gốc có phổ như hình 4.22, biết
bộ lọc thông dãi được điều chỉnh để chọn lọc tần số ωc.
a) Có thể tạo tín hiệu điều chế DSB-SC chỉ với hệ thống này không?
Nếu được hãy xác định giá trị của k?
b) Xác định phổ tín hiệu tại các điểm a, b và c?
c) Giá trị nhỏ nhất có thể của ωc là bao nhiêu?
d) Hệ thống có thể hoạt động như mong muốn nếu bộ tạo sóng mang là
cos2ωct? giải thích?

e) Hệ thống có thể hoạt động như mong muốn nếu bộ tạo sóng mang là
cosnωct với mọi số nguyên n≥2?
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10


Problem/ch-4

Hình 4.22

4.23. Việc thực hiện bộ nhân tương tự rất khó thực hiện và đắc tiền do vậy có
thể thực hiện nhân số (chuyển mạch) như hệ thống trên hình 4.23 trong
đó T0=2π/ωc. Chứng tỏ rằng hệ thống này có thể tạo tín hiệu điều chế
biên độ km(t)cosωct? Xác định giá trị của k? Chứng tỏ rằng hệ thống này
có thể thực hiện giải điều chế bằng cách thay thế bộ lọc thơng dải thành
bộ lọc thơng thấp?
Hình 4.23

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10


Problem/ch-4
4.24. Cho sơ đồ giải điều chế đồng bộ trên hình 4.24. Chứng tỏ rằng sơ đồ
này có thể giải điều chế tín hiệu AM [A+m(t)]cosωct với bất kể giá trị nào
của A?
Hình 4.24

4.25. Vẽ tín hiệu AM [A+m(t)]cosωct với tín hiệu m(t) trên hình 4.25 theo các
chỉ số điều chế: (a) µ=0.5; (b) µ=1; (c) µ=2 và µ=∞
∞?
m(t )

Hình 4.25

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10


Problem/ch-4
4.26. Cho các tín hiệu băng gốc: (a) m(t)=cos100t; (b) m(t)=cos100t+2cos300t
(c) m(t)=cos100tcos500t. Tương ứng với mỗi tín hiệu hãy:
(i) Vẽ phổ của m(t)
(ii) Xác định và vẽ phổ tín hiệu DSB-SC 2m(t)cos1000t
(iii) Từ phổ thu được ở bước (ii), triệt phổ LSB để thu được phổ USB
(iv) Biết được phổ USB ở bước (iii), viết hàm mô tả cho ϕUSB(t) cho tín
hiệu USB
(v) Lặp lại bước (iii) & (iv) để thu được tín hiệu ϕLSB(t)

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10