Lecture 04 TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG

404001 - Tín hiệu và hệ thống

Lecture-4
Phân tích hệ thố
thống LTIC trong
miề
miền thờ
thời gian
Giớ
Giới thiệ
thiệu

Đáp ứng với ngõ vào bằng không

Đáp ứng xung đơn vị δ(t)

Đáp ứng với ngõ vào bất kỳ

Tính ổn định của hệ thống



Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Giới thiệu

Tập trung khảo sát hệ thống tuyến tính bất biến & liên tục (LTIC)

Mơ tả tốn học của hệ thống LTIC: dạng phương trình vi phân
f(t)

System

y(t)

dny
d n−1 y
dy

dm f
d m−1 f
df
a
a
a
y
b
b
+
+
...
+
+
=
+
+ ... + b1
+ b0 f
n −1
1
0
m
m −1
n
n−1
m
m −1
dt
dt
dt

dt
dt
dt

 {ai}, {bi} là các hằng số
 Thực tế m≤n  tập trung khảo sát trường hợp này

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

1


Giới thiệu
 Ví dụ 1: mạch điện RLC – hệ thống điện

d 2v(t ) 1 dv(t ) 1
1 di (t )
+
+
v (t ) =
2
dt
RC dt
LC
C dt

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Giới thiệu
 Ví dụ 2: Giảm sốc – hệ thống cơ học

d 2v(t ) B dv(t ) K
1 df (t )
+
+ v(t ) =
2
dt
M dt
M
M dt
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

2


Giới thiệu
dny
d n−1 y
dy
dm f
d m−1 f
df
+
a
+
...
+
a
+
a

y
=
b
+
b
+ ... + b1
+ b0 f
n −1
1
0
m
m −1
n
n−1
m
m −1
dt
dt
dt
dt
dt
dt

 Ký hiệu D thay cho d/dt, ta có:
( D n + an−1 D n−1 + .. + a1D + a0 ) y (t ) = (bm D m + bm−1 D m−1 + .. + b1D + b0 ) f (t )

 Đặt Q(D), P(D) lần lượt là đa thức bên trái và bên phải, ta có:
Q ( D ) y (t ) = P( D ) f (t )

(2.1)

Đáp ứng của hệ thống: 2 nguyên nhân gây ra đáp ứng
 Điều kiện bên trong của hệ thống (năng lượng tích trữ,….)
 Tác nhân bên ngoài của hệ thống (f(t))

Đáp ứng tổng cộng: do hệ thống tuyến tính nên
Total response = zero-input response + zero-state response
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Đáp ứng với ngõ vào bằng không
( D n + an−1 D n−1 + .. + a1D + a0 ) y (t ) = (bm D m + bm−1 D m−1 + .. + b1D + b0 ) f (t )

Phương trình đặc trưng của hệ thống LTIC
 Gọi y0(t) là đáp ứng của hệ thống với ngõ vào bằng 0 (Zero-input)
 Ngõ vào f(t)=0, từ (2.1) ta có:

Q( D) y0 (t ) = 0

 y0(t) phải có dạng Ceλt

⇒ Dy0 (t ) = C λ eλt, D 2 y0 (t ) = C λ 2 eλt ,..., D n y0 (t ) = C λ n eλt
⇒ C (λ n + an−1λ n−1 + ... + a1λ + a0 )eλt = CQ(λ )eλt = 0
Q (λ ) = 0

Phương trình đặc trưng của hệ thống

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

3


Đáp ứng với ngõ vào bằng không

Các kiểu đặc trưng của hệ thống:
 Nếu Q(λ)=0 có n nghiệm đơn:

y0 (t ) = C1eλ1t + C2 eλ2t + ... + Cn−1eλn−1t + Cn eλnt
 Nếu Q(λ)=0 có nghiệm bội (giả sử λ1 là ngiệm bội r):

y0 (t ) = (C1 + C2t + ... + Cr t r −1 )eλ1t + Cr +1eλ2t + ... + Cn eλnt
 Nếu Q(λ)=0 có nghiệm phức: giả sử là α±jβ

y0 (t ) = Ce−α t cos( β t + θ ) + C3eλ3t + ... + Cn eλnt
 Các hàm e

λit

được gọi là các kiểu đặc trưng của hệ thống

 Sự kết hợp của các kiểu đặc trưng rất quan trọng trong việc thể hiện
hành vi của hệ thống, cũng quan trọng trong việc tìm đáp ứng xung
đơn vị của hệ thống  Tính đáp ứng của hệ thống với f(t) trong miền t
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Đáp ứng với ngõ vào bằng không

Điều kiện đầu:
 Điều kiện đầu là cần thiết trong việc tìm đáp ứng của hệ thống
 Nếu xét móc thời gian là t=0  biết trước giá trị tại t=0 Cần tìm giá trị tại t=0+, vì y0(t) độc lập với f(t) nên tại t=0+

y (0− ) = y0 (0+ ); y , (0− ) = y0, (0+ ), y ,, (0− ) = y0,, (0+ ),....
 Lưu ý mô tả trên không đúng cho trường hợp đáp ứng tổng cộng y(t)
(vì nó phụ thuộc vào ngõ vào f(t))
 Ví dụ: f(t)=10e-3tu(t); y(0-)=0 (dòng điện trong mạch); vc(0-)=5

y (0 − ) = 0; y , (0 − ) = −5
y (0 + ) = 0; y , (0 + ) = 5

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

4


Đáp ứng với ngõ vào bằng khơng

Ví dụ:
 Tìm y0(t): (D2+3D+2)y(t)=Df(t); y0(0)=0; y0’(0)=-5
ĐS: y0(t) = -5e-t+5e-2t
 Tìm y0(t): (D2+6D+9)y(t)=(D+2)f(t); y0(0)=3; y0’(0)=-7
ĐS: y0(t) = 4e-2tcos(6t-π/3)

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Đáp ứng xung đơn vị δ(t)

Khảo sát đáp ứng của hệ thống với xung δ(t) là quan trọng trong việc
xác định đáp ứng của hệ thống với tín hiệu vào bất kỳ.

Phương trình tốn của hệ thống: (chú ý m≤n  TH chung: m=n):

( D n + an−1 D n−1 + .. + a1D + a0 ) y (t ) = (bn D n + bn−1D n−1 + .. + b1D + b0 ) f (t )

Bản chất của đáp ứng với kích thích δ(t):
 Các điều kiện đầu tại t=0- đều bằng 0
 Xuất hiện kích thích tại t=0, sau đó kết thúc, xem như khởi tạo
điều kiện đầu tức thời tại t=0+.
 Khơng có kích thích của ngõ vào khi t≥0+  Đáp ứng: zero-input
 Vậy nếu gọi h(t) là đáp ứng với δ(t) thì nó sẽ có dạng:

h(t)=kết hợp của các kiểu đặc trưng

; t≥
≥ 0+

 Phương trình trên chỉ đúng khi t>0, t=0 có kích thích δ(t)  Điều chỉnh
lại như sau:
h(t)=A0δ(t)+kết hợp của các kiểu đặc trưng; t≥
≥0
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

5


Đáp ứng xung đơn vị δ(t)

Người ta xác định được h(t) như sau:
h(t)=bnδ(t)+[P(D)yn(t)]u(t)
 yn(t) là đáp ứng zero-input của hệ thống với điều kiện đầu như sau:

ynn−1 (0) = 1; ynn−2 (0) = ynn−3 (0) = ... = y1n (0) = yn (0) = 0

Đáp ứng với δ(t-T)  h(t-T) - bất biến

Ví dụ:
 Tìm h(t) của hệ thống: ( D 2 + 3D + 2) y (t ) = Df (t )
−t
−2 t
ĐS: h(t ) = (−e + 2e )u (t )

 Tìm h(t) của hệ thống: ( D + 2) y (t ) = (3D + 5) f (t )
−2 t
ĐS: h(t ) = 3δ (t ) − e u (t )

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

6