Lecture 11 TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG

404001 - Tín hiệu và hệ thống

Lecture-11
Phân tích tín hiệ
hiệu liên tục dùng biế
biến
ñổi Laplace

Biế
Biến ñổi Laplace và các tính chấ
chất

Hàm truyề
truyền và đáp ứng của hệ thố
thống LTIC

Sơ ñồ khố
khối và thự
thực hiệ
hiện hệ thố
thống

Ứng dụng trong hồi tiế
tiếp và ñiề
ñiều khiể
khiển

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Biến ñổi Laplace và các tính chất



Biến đổi Laplace

Biến đổi Laplace của một số tín hiệu thơng dụng




Các tính chất của biến ñổi Laplace




Tìm biến ñổi Laplace thuận




Tìm biến ñổi Laplace ngược

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

1


Biến đổi Laplace



Biến đổi Fourier cho phép phân tích tín hiệu thành tổng của các
thành phần tần số  phân tích hệ thống đơn giản & trực quan hơn
trong miền tần số.




Biến đổi Fourier là cơng cụ chủ yếu để phân tích TH & HT trong

nhiều lĩnh vực (viễn thơng, xử lý ảnh, …)




Muốn áp dụng biến đổi Fourier thì tín hiệu phải suy giảm & HT
với đáp ứng xung h(t) phải ổn ñịnh.

∫

∞

−∞




| f (t ) | dt < ∞ &

∫

∞

−∞

| h(t ) | dt < ∞

ðể phân tích tín hiệu tăng theo thời gian (dân số, GDP,…) và hệ
thống khơng ổn định  dùng biến đổ i Laplace (là dạng tổng quát
của biến ñổi Fourier)
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Biến ñổi Laplace



Xét tín hiệu f(t) là hàm tăng theo thời gian  tạo hàm mớ i φ(t) từ
f(t) sao cho tồn tại biến ñổi Fourier: φ(t)=f(t).e-σt; σ∈R




Biến ñổi Fourier của φ(t) ñược tính như sau:
Φ ( ω ) = F [φ (t )] = ∫

∞

−∞

f (t )e −σ t e − jωt dt = ∫

−∞

ðặt s=σ+jω: Φ (ω ) =
∫

∞

−∞




∞

f (t )e− (σ + jω ) t dt

f (t )e − st dt = F ( s )

σt
Tín hiệu f(t) được tổng hợp như sau: f (t ) = φ (t ).e
∞
⇒ f (t ) = F −1[Φ (ω )].eσ t =  21π ∫ F ( s )e jωt d ω  .eσ t
 −∞


⇒ f (t ) = 2π1 j ∫

σ + j∞

σ − j∞

F ( s )e st ds

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

2


Biến ñổi Laplace
f (t )

φ (t ) = f (t )e − σ t

t

t

e jωt

e(σ + jω ) t

t
t




Chọn giá trị của σ: nếu tồn tại σ=σ0 sao cho
φ(t) tồn tại Φ(ω)=F(s), thì với mọ i σ≥σ0 đều
làm tồn tại Φ(ω)=F(s). Lưu ý: s=σ+jω, nên :
Trong mp phức sao cho tần số phức s có
Re{s}≥σ0 gọi là miền hội tụ
(ROC – Region Of Convergence)
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Biến đổi Laplace



Ví dụ: tìm ROC để tồn tại F(s) của các tín hiệu f(t) sau:
(a) f (t ) = e − at u (t ); a > 0 (b) f (t ) = e − at u (−t ); a > 0 (c) f (t ) = u (t )




Tóm lại ta có:
∞

F ( s) = ∫ f (t )e − st dt
−∞

f (t ) = 2π1 j ∫

c+ j ∞

c− j ∞

Biến ñổ i Laplace thuận

F (s)est ds
Biến ñổ i Laplace ngược

c ∈ ROC



Two-side

Ký hiệu của biến ñổ i Laplace:
F ( s ) = L[ f (t )] và

f (t ) = L-1[ F ( s)]

Hoặc ñơn giản hơn: f (t ) ↔ F ( s )
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

3

Biến ñổi Laplace



Biến ñổi Laplace một bên:

Ta thường quan tâm tới tín hiệu nhân quả & đây cũng là ứng dụng
thường gặp của biến ñổ i Laplace
F ( s) = ∫

∞

−∞

∞

− st
f (t )e − st dt ⇒ F ( s) = ∫0− f (t )e dt Biến ñổ i 1 bên

Giới hạn 0- : bao hàm cả xung ñơn vị tại gốc t=0.
 Biến ñổi Laplace 1 bên chỉ là trường hợp ñặc biệt của bñ 2 bên

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Bð Laplace của một số tín hiệu thơng dụng

Biến ñổi Fourier là trường hợp ñặc biệt của biến ñổi Laplace:
F (ω ) = F ( s ) s = jω

Trong đó: trục ảo jω là miền hội tụ  Thường gọi: ñáp ứng tần số
Im

Im

Re

Re

ω
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

4


Bð Laplace của một số tín hiệu thơng dụng

Biến ñổi Laplace của δ(t): f (t ) = δ (t ) ⇒ F ( s ) = 1

δ (t ) ↔ 1 Vs δ (t ) ↔ 1

Biến ñổi Laplace của e-atu(t):

1
; ROC : Re{s} > −a
s+a
1
1
e − at u (t ) ↔
Vs e− at u (t ) ↔
jω + a
s+a
f (t ) = e − at u (t ) ⇒ F ( s ) =


Biến ñổi Laplace của -e-atu(-t):

f (t ) = −e − at u (−t ) ⇒ F ( s ) =
−e− at u (−t ) ↔

1
; ROC : Re{s} < −a
s+a

1
Vs None
s+a

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Bð Laplace của một số tín hiệu thơng dụng

Biến đổi Laplace của u(t):

1
f (t ) = u (t ) ⇒ F ( s ) = ; ROC : Re{s} > 0
s
1
1
u (t ) ↔ Vs u (t ) ↔ πδ (ω ) +
jω
s
Im

Im

Re

Re

ω
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

5


Các tính chất của biến đổi Laplace

Tính chất tuyến tính:

f1 (t ) ↔ F1 (s )
f 2 (t ) ↔ F2 ( s )

⇒

a1 f1(t ) + a2 f2 (t) ↔ a1F1(s) + a2 F2 (s)

Ex : 2e − t u (t ) + e −2t u (t ) ↔

2
1
+
; ROC : Re{s} > −1
s +1 s + 2


Dịch chuyển trong miền thời gian:

f (t − t0 ) ↔ F(s)e−st0

f (t ) ↔ F ( s ) ⇒

1 −3 s −5 s
t −4
Ex : rect 
 = u (t − 3) − u (t − 5) ↔ ( e − e )
s
 2 

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Các tính chất của biến ñổi Laplace

Dịch chuyển trong miền tần số:

f (t ) ↔ F ( s ) ⇒

f (t )es0t ↔ F(s − s0 )

Ex : cos ( bt ) u (t ) ↔

s
s+a
⇒ e − at cos ( bt ) u (t ) ↔
s + b2
( s + a) 2 + b 2
2


ðạo hàm trong miền thời gian:

f (t ) ↔ F ( s )

⇒

d n f (t )
↔ s n F ( s ) − s n −1 f (0 − ) − s n − 2 f
n
dt

(1)

(0 − ) − ... − f

( n −1)

(0 − )

δ (t ) ↔ 1 ⇒ δ (1) (t ) ↔ s ⇒ δ ( n ) (t ) ↔ s n
d 2 f (t )
t −4
f (t ) = rect 
⇒
↔?

 2 
dt 2
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

6

Các tính chất của biến đổi Laplace

Tích phân miền thời gian:

f (t ) ↔ F ( s ) ⇒

∫

t

∫

t

0−

∫
f (τ )dτ ↔

f (τ )dτ ↔
0−

−∞

−∞

F(s)
s

f (τ )dτ F(s)

+
s
s


Thay ñổi thang ñộ (co/dãn):

f (t ) ↔ F ( s ) ⇒

1 s
f (at) ↔ F  ; a > 0
a  a

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Các tính chất của biến đổi Laplace

Tích chập miền thời gian:

f1 (t ) ↔ F1 (s ); f 2 (t ) ↔ F2 ( s ) ⇒

f1(t) ∗ f2 (t ) ↔ F1(s)F2 (s)


Tích chập miền tần số:

f1 (t ) ↔ F1 (s ); f 2 (t ) ↔ F2 ( s ) ⇒ f1 (t ) f2 (t ) ↔ 2π j
1

[ F1(s) ∗ F2 (s)]


ðạo hàm trong miền tần số:

f (t ) ↔ F ( s ) ⇒

e − t u (t ) ↔

tf (t ) ↔ −

dF(s)
ds

1
1
⇒ te − t u (t ) ↔
2
s +1
( s + 1)

t 2 u (t ) ↔ ?

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

7


Tìm biến đổi Laplace thuận

Cần nắm vững biến đổ i Laplace của các tín hiệu cơ bản

 u(t); δ(t)
 Hàm mũ
 Hàm điều hịa
f (t )

F ( s)

δ (t )

1

u (t )

1/ s

e − at u (t )

1/( s + a )

cos(bt )u (t )

s /( s 2 + b 2 )

sin(bt )u (t )

b /( s 2 + b 2 )


Nắm vững các tính chất biến đổ i Laplace  mở rộng!!!!
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Tìm biến đổi Laplace ngược

Cơng thức tính biến đổi ngược:

f (t ) =

∫

c + j∞

c − j∞

F ( s )e st ds

 Chúng ta khơng tập trung vào việc tính trực tiếp tích phân trên!!!

Mơ tả F(s) về các hàm đơn giản mà đã có kết quả trong bảng các cặp
biến đổ i Laplace. Thực tế ta quan tâm tới các hàm hữu tỷ!!!
 Zero của F(s): các giá trị của s ñể F(s)=0
 Pole của F(s): các giá trị của s ñể F(s)→∞
 Nếu F(s)=P(s)/Q(s)  Nghiệm của P(s)=0 là các zero & nghiệm
của Q(s)=0 là các pole

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

8


Tìm biến đổi Laplace ngược


Ví dụ:

s2 − 2
1 1
1
=− +

+
3
2
s + 3s + 2s
s s +1 s + 2

Dùng ?

 s2 − 2 
1 1
1 
⇒ L-1  3
= L-1  − +
+
= ( −1 + e − t + e −2t ) u (t )
2


 s s +1 s + 2
 s + 3s + 2 s 
Dùng bảng

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Tìm biến đổi Laplace ngược

Xét hàm hữu tỷ sau:

F ( s) =

bm s m + bm−1s m−1 + ... + b1s + b0 P( s )

=
s n + an−1s n−1 + ... + a1s + a0
Q( s )

m≥n: improper; mm
start
m≥
≥n

Polynomical
dividing;
in case m=n
F(s)/s

Expend
the proper.
The result
depends on
n unknown
coefficients
(k1, k2,…)

Find unknown
coefficients
by using:
[1] Clearing func
[2] Heaviside
[3] Mixing boths

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

9


Tìm biến đổi Laplace ngược

Khai triển các hàm proper: F ( s) = P ( s ) / Q ( s )

 Xác ñịnh zero & pole của F(s); zero & pole phải khác nhau
 Giả sử các pole là: s=λ1,λ2,λ3,…
 Khai triển F(s) dùng quy luật sau:

• Các pole không lặp lại:
F ( s) =

k3
k1
k2
+
+
+ ...
( s − λ1 ) (s − λ2 ) ( s − λ3 )

• Các pole lặp lại, giả sử λ2 lặp lại r lần
F ( s) =

r −1
k2 j
k3

k1
+∑
+
+ ...
r− j
( s − λ1 ) j =0 ( s − λ2 )
( s − λ3 )

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Tìm biến đổi Laplace ngược

Phương pháp hàm tường minh xác định các hệ số:

• Nhân 2 vế với Q(s); sau đó cân bằng thu được hệ phương trình
theo các hệ số cần tìm
• Giải hệ phương trình tìm các hệ số
It’s easy to understand and perform, but it needs so much work and time!!!

• ví dụ:

k
k
k
s2 − 2
= 1+ 2 + 3
3
2
s + 3s + 2 s s s + 1 s + 2

⇒ s 2 − 2 = k1 ( s + 1)(s + 2) + k2 s( s + 2) + k3 s( s + 1)

k1 + k2 + k3 = 1

⇒

3k1 + 2k2 + k3 = 0
2k1 = −2

k1 = −1

⇒

k2 = 1
k3 = 1

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

10


Tìm biến đổi Laplace ngược

Phương Heaviside xác định các hệ số:

• Các pole khơng lặp lại:

k i = ( s − λi ) F ( s ) s = λ

ki 0 = ( s − λi )r F (s)
• Các pole lặp lại:

• Ví dụ: F ( s ) =

i

s=λi

1 dj
(s − λi )r F ( s) ; j ≠ 0
kij =
j 
s =λi
j ! ds
8s + 10
k
k20
k21
k
= 1 +
+
+ 22
3
3
2
(s + 1)( s + 2)
( s + 1) ( s + 2) ( s + 2) ( s + 2)

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Tìm biến đổi Laplace ngược

Phương hổn hợp: phương pháp nhanh nhất!!!

• Ví dụ: F ( s ) =
k1 =

8s + 10
k
k20
k21
k
= 1 +
+
+ 22
3
3
2
(s + 1)( s + 2)
( s + 1) ( s + 2) ( s + 2) ( s + 2)

8s + 10
=2
3
( s + 2 ) s=−1

k 20 =

8s + 10
=6
( s + 1) s=−2

sF (s ); s → ∞ : k1 + k22 = 0 ⇒ k 22 = −2

s = 0 : k1 +

⇒ k21 =

k20 k21 k22 5
10 − 8k1 − k20 − 4k22
+
+
=
⇒ k21 =
8
4
2 4
2

10 − 16 − 6 + 8
= −2
2

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

11


Tìm biến đổi Laplace ngược

Ví dụ: tìm biến đổi Laplace ngược của các hàm sau:

(a) F(s)=

7s - 6

s −s−6

(b) F(s)=

2s2 + 5
s 2 + 3s + 2

(c) F(s)=

6( s + 34)
s (s + 10s + 34)

2

2

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

12