Lecture 05 TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG

404001 - Tín hiệu và hệ thống

Lecture-5
Phân tích hệ thố
thống LTIC trong
miề
miền thờ
thời gian
Giớ
Giới thiệ
thiệu

Đáp ứng với ngõ vào bằng không

Đáp ứng xung đơn vị δ(t)

Đáp ứng với ngõ vào bất kỳ

Tính ổn định của hệ thố
thống



Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Đáp ứng với ngõ vào bất kỳ
Đáp ứng với ngõ vào bất kỳ

Tích chập (convolution)

Đáp ứng với ngõ vào hàm mũ phức



Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

1

Đáp ứng với ngõ vào bất kỳ
 Dựa trên kết quả của đáp ứng với δ(t) để suy ra cho đáp ứng với f(t)

δ (t ) → h (t )

δ (t − n∆τ ) → h(t − n∆τ )
∆

∆

∆

∆

[ f (n∆τ )∆τ ]δ (t − n∆τ ) → [ f (n∆τ )∆τ ]h(t − n∆τ )

∆ ∆

∆ ∆

∆

∆

∆

∆

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Đáp ứng với ngõ vào bất kỳ
∞

∞

∑

f (n∆τ )δ (t − n∆τ )∆τ →

n=−∞

∑

f (n∆τ )h(t − n∆τ )∆τ

n =−∞

∆

∆
∆

∆
∞

∑

lim

∆τ →0

∞

f (n∆τ )δ (t − n∆τ )∆τ → lim

∆τ →0

n =−∞

⇔∫

∞

−∞

∑

f (n∆τ )h(t − n∆τ )∆τ

n=−∞

∞

f (τ )δ (t − τ )dτ = f (t ) → ∫ f (τ ) h(t − τ )dτ
−∞

y (t ) = ∫

∞

−∞

Tích chập
f (τ )h(t − τ )dτ = f (t ) ∗ h(t )

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

2


Tích chập (convolution)

Mơ hình hệ thống với tích chập, trong đó h(t) là đáp ứng với xung δ(t):
f(t)

y(t)

y (t ) = ∫

∞

−∞

f(t)

y(t)

f (τ )h(t − τ )dτ = f (t ) ∗ h(t )


Nếu hệ thống nhân quả: h(t)=0 với t<0

y (t ) = ∫

∞

−∞

f (τ )h(t − τ )dτ = ∫

t

−∞

f (τ )h(t − τ )dτ

=0 nếu t-τ<0
 Chỉ duy nhất các giá trị trước đó và hiện tại của f(τ) tham gia tạo nên y(t)


Nếu tín hiệu vào cũng nhân quả: f(t)=0 với t<0

y (t ) = ∫

t

−∞

t

f (τ )h(t − τ )dτ = ∫ f (τ )h(t − τ )dτ
0

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Tích chập (convolution)
∞


Biểu diễn tính tích chập bằng hình ảnh: f (t ) ∗ h(t ) = ∫−∞ f (τ )h(t − τ )dτ
 h(t-τ): đáp ứng xung làm trễ đi khoảng thời gian τ
 Xét h(t-τ) là hàm theo τ  h(t-τ): làm trễ đi t sau đó đảo ngược hoặc
đảo h(τ)  h(-τ) sau đó dịch h(-τ) sang phải một khoảng là t

 Nhân với f(t) từng điểm một

f (τ )

f (τ ) h (t − τ )

 Lấy tích phân trên toàn thang τ
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

3


Tích chập (convolution)

Ví dụ:
f (τ )

f (τ )

t <0

τ
f (τ )

f (τ )

1< t < 2

τ
f (τ )

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Tích chập (convolution)

Ví dụ:
f (τ )

f (τ )

1< t < 2

τ
f (τ )

f (τ )

y (t ) = f (t ) ∗ h (t )

t
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

4


Tích chập (convolution)

Tính chất của tích chập:
 Tính chất giao hốn: xét tích chập của f(t) và g(t)

f (t ) ∗ g (t ) = ∫

∞

f (τ ) g (t − τ )dτ

−∞

Đặt: τ 1 = t − τ ⇒ τ = t − τ 1 ⇒ dτ = − dτ 1

⇒ f (t ) ∗ g (t ) = − ∫

−∞

∞

∞

f (t − τ 1 ) g (τ 1 )dτ 1 = ∫ g (τ 1 ) f (t − τ 1 )dτ 1
−∞

⇒ f (t ) ∗ g (t ) = g (t ) ∗ f (t )
 Tính chất phân phối: xét tích chập của f(t), g(t) và h(t)

f (t ) ∗ [ g (t ) + h(t )] = f (t ) ∗ g (t ) + f (t ) ∗ h(t )
Cm:

f (t ) ∗ [ g (t ) + h(t )] = ∫

∞

−∞

=∫

∞

−∞

f (τ )[ g (t − τ ) + h(t − τ )]dτ
f (τ ) g (t − τ )dτ + ∫

∞

−∞

f (τ )h(t − τ )dτ

= f (t ) ∗ g (t ) + f (t ) ∗ h(t )
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Tích chập (convolution)

Tính chất của tích chập:

 Tính chất kết hợp: xét tích chập của f(t), g(t) và h(t)

f (t ) ∗ [ g (t ) ∗ h(t )] = [ f (t ) ∗ g (t )] ∗ h(t ) = [ f (t ) ∗ h(t )] ∗ g (t ) = ...
Cm:

f (t ) ∗ [ g (t ) ∗ h(t )] = ∫

∞

−∞

=∫

∞

−∞

f (τ 1 )[ g (t − τ 1 ) ∗ h(t − τ 1 )]dτ 1
∞
f (τ 1 )  ∫ g (τ 2 )h(t − τ 1 − τ 2 )dτ 2 dτ 1
 −∞


Đặt: τ 3 = τ 1 + τ 2 ⇒ dτ 3 = dτ 2

⇒ f (t ) ∗ [ g (t ) ∗ h(t )] = ∫

∞

−∞

∞
f (τ 1 )  ∫ g (τ 3 − τ 1 )h(t − τ 3 )dτ 3 dτ 1
 −∞


∞
∞
= ∫  ∫ f (τ 1 ) g (τ 3 − τ 1 )dτ 1 h(t − τ 3 )dτ 3
 −∞
−∞ 


= [ f (t ) ∗ g (t )] ∗ h(t )
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

5


Tích chập (convolution)

Tính chất của tích chập:
 Tính chất dịch theo thời gian: xét tích chập của f(t), g(t)

c(t ) = f (t ) ∗ g (t ) → f (t − T ) ∗ g (t ) = f (t ) ∗ g (t − T ) = c(t − T )
 Tính chất với xung đơn vị δ(t)

f (t ) ∗ δ (t ) = f (t )
f (t ) ∗ δ (t ) = ∫

∞

−∞

f (τ )δ (t − τ )dτ = f (t )

 Tính chất về độ rộng:

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Tích chập (convolution)

Tính chất của hệ thống tích chập:
 Hệ thống tích chập là tuyến tính:

h(t ) ∗ [a1 f1 (t ) + a2 f 2 (t )] = a1h(t ) ∗ f1 (t ) + a2 h(t ) ∗ f 2 (t )
 Hệ thống tích chập là bất biến: f (t − T ) → y (t − T )
 Ghép nối tiếp 2 hệ thống tích chập:

f (t )

y1 (t )
h1 (t )

f (t )

h2 (t )

y (t )

y (t )

h1 (t ) ∗ h2 (t )

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

6


Tích chập (convolution)

Tính chất của hệ thống tích chập:
 Ví dụ về đo đáp ứng xung của hệ thống tích chập:

h(t )

h(t )

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Đáp ứng với tín hiệu hàm mũ phức

Xét đáp ứng với hàm mũ est, s: biến phức
∞

∞

−∞

−∞

y (t ) = h(t ) ∗ e st = ∫ h(τ )e s (t −τ ) dτ ⇒ y (t ) = e st ∫ h(τ )e− sτ dτ
Đặt: H ( s ) =

∫

∞

−∞

h(τ )e− sτ dτ ⇒ y (t ) = H ( s )e st

Hàm truyền: H ( s ) =

output signal
input signal

Q ( D ) y (t ) = P ( D )e st

input signal = est

H (s) =

P(s)
Q(s)


Cách mới về biểu diễn tín hiệu để tính đáp ứng của hệ thống; chi tiết
về cách biễu diễn tín hiệu theo dạng hàm mũ phức (chuỗi Fourier,
biến đổi Fourier) sẽ được đề cập ở những chương sau
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

7