Lecture 09 TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG

404001 - Tín hiệu và hệ thống

Lecture-9
Biế
Biến đổi Fourier

Biể
Biểu diễ
diễn TH khơng tuầ
tuần hồ
hồn bằng tích phân Fourier

Biế
Biến đổi Fourier của một số hàm thơng dụng

Các tính chấ
chất của biế
biến đổi Fourier

Năng lượ
lượng tín hiệ
hiệu

Truyề
Truyền tín hiệ
hiệu qua hệ thố
thống LTIC

Các bộ lọc lý tưở
tưởng và thự
thực tế

Ứng dụng trong viễ
viễn thông:
thông: điề
điều chế
chế AM

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Biểu diễn tín hiệu khơng tuần hồn bằng tích phân Fourier

Tín hiệu khơng tuần hồn được xem như tín hiệu tuần hồn có
chu kỳ dài vơ hạn
 Xét f(t) biểu diễn cho tín hiệu khơng tuần hồn:
f (t )

 Xét fT0(t) biểu diễn cho tín hiệu tuần hoàn do sự lặp lại f(t) với
chu kỳ T0:
fT 0 (t )

T0
 Ta có quan hệ giữa f(t) và fT0(t) như sau: f (t ) = lim  fT0 (t ) 
T0 →∞
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

1


Biểu diễn tín hiệu khơng tuần hồn bằng tích phân Fourier

Biểu diễn fT0(t) dựa vào chuỗi Fourier
fT 0 (t )

T0

Dn =

1 T0 / 2
1

fT (t )e − jnω0t dt =
∫
−
T
/
2
0
T0
T0

∫

S

−S

e − jnω0t dt =

T0 Dn

2 sin nω0 S 2 sin ω S
=
T0 nω0
T0 ω

2sin ω S

ω = nω0 = n

ω

2π
T0

n

ω

ω0 = 2π /T0
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Biểu diễn tín hiệu khơng tuần hồn bằng tích phân Fourier

Gấp đơi chu kỳ tín hiệu  gấp đơi số hài!!!
fT 0 (t )

T0
Dn =

1 T0 / 2
1
fT (t )e − jnω0t dt =
∫
−
T
/
2
T0 0
T0

∫

S

−S

e − jnω0t dt =

T0 Dn

2 sin nω0 S 2 sin ω S
=
T0 nω0
T0 ω

2sin ω S

ω

ω = nω0 = n

2π
T0
n

ω0 = 2π /T0

ω

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

2


Biểu diễn tín hiệu khơng tuần hồn bằng tích phân Fourier

Khi T0∞, các hài rời rạc  một hàm liên tục!!!

fT0 (t )

Dn =

1
T0

∫

T0 / 2

− T0 / 2

T0
1
2 sin nω0 S 2 sin ω S
fT (t )e − jnω0t dt = ∫ e − jnω0t dt =
=
−
S
T0
T0 nω0
T0 ω
T0 Dn 2sin ω S

2π
ω = nω0 = n
ω
T0
S

n

ω

ω0 = 2π /T0

T0 / 2
∞
2sin ω S
= F (ω )
lim [T0 .Dn ] = lim  ∫
fT0 (t )e − jnω0t dt  = ∫ f (t )e− jωt dt =
 −T0 / 2
T0 →∞
T0 →∞ 
 −∞
ω
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Biểu diễn tín hiệu khơng tuần hồn bằng tích phân Fourier

Khi T0∞, Chuỗi Fourier  Tích phân Fourier

fT 0 (t )

T0
T0 Dn

2sin ω S

ω

ω = nω0 = n

2π
T0
n

ω

ω0 = 2π /T0
T0 / 2
∞
2sin ω S
lim [T0 .Dn ] = lim  ∫
fT0 (t )e − jnω0t dt  = ∫ f (t )e− jωt dt =
= F (ω )
 −T0 / 2
T0 →∞
T0 →∞ 
 −∞
ω

 ∞ F (nω0 ) jnω0t 
1

f (t ) = lim  fT0 (t )  = lim  ∑
e  → f (t ) =
T0 →∞
T0 →∞
2π
 n=−∞ T0


∫

∞

−∞

F (ω )e jωt d ω

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

3


Biểu diễn tín hiệu khơng tuần hồn bằng tích phân Fourier

Vậy ta có kết quả:
F (ω ) = ∫

∞

Phương trình phân tích –
Biến đổi Fourier thuận

f (t )e − jωt dt

−∞

f (t ) ↔ F (ω )

 F(ω): Mật độ phổ tín hiệu – thường xem là phổ của tín hiệu f(t)!!!
T0 Dn 2sin ω S
2π
ω = nω0 = n
ω
T0
n

ω
ω0 = 2π /T0
f (t ) =

1
2π

∫

∞

−∞

Phương trình tổng hợp –
Biến đổi Fourier ngược

F (ω )e jωt dω


Điều kiện tồn tại tích phân Fourier:

∫

∞

f (t ) dt < ∞

−∞

Điều kiện Dirichlet

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Biến đổi Fourier của một số tín hiệu thông dụng

f(t)=δ
δ(t):
+∞

+∞

F (ω ) = ∫ δ (t )e − jωt dt = ∫ δ (t )dt = 1 ⇒
−∞
−∞

δ (t )

1

↔
0

δ (t ) ↔ 1

t

0

ω


f(t)=1:
F (ω ) = 2πδ (ω ) ⇒ f (t ) =

1
2π

∫

+∞

−∞

2πδ (ω )e jωt dω =1 ⇒ 1 ↔

1

↔
0

t

2πδ (ω )

2πδ (ω )

0

ω

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

4


Biến đổi Fourier của một số tín hiệu thơng dụng

f(t)=e-atu(t); a>0:
+∞

+∞

−∞

0

F (ω ) = ∫ e − at u (t )e − jωt dt = ∫ e − ( a + jω )t dt = −

⇒

1
e− ( a+ jω ) t
a + jω

+∞

=
0

1
a + jω

1
e−at u(t ); a > 0 ↔
a + jω
⇒ F (ω ) =

F (ω ) =

a − jω
a2 + ω 2

⇒

1
2

a + ω2

∠F (ω ) = − tan −1 (ω / a )

∠F (ω )

F (ω )
1/ a

π /2
ω
−π / 2

ω

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Biến đổi Fourier của một số tín hiệu thơng dụng

f(t)=u(t):
+∞

F (ω ) = ∫ u (t )e
−∞

1

− jωt

+∞

dt = ∫ e
0

− jωt

1 − jωt
dt = −
e
jω

+∞

=?
0

u (t )
e − at u (t )

u (t ) = lim e − at u (t )
a →0

t

0
+∞

⇒ F (ω ) = lim ∫ e− at u (t )e − jωt dt = lim
a →0 −∞

a
1
+
2
a +ω

jω
1
⇒ F (ω ) = πδ (ω ) +
jω
⇒ F (ω ) = lim
a →0

2

a →0

1
 a − jω 
= lim  2
2
a
→
0
a + jω
 a + ω 

Diện tích bằng π

u(t ) ↔ πδ (ω) + 1/ jω
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

5


Biến đổi Fourier của một số tín hiệu thơng dụng

f(t) xung cổng đơn vị:
r e ct ( τt ) =
+∞

0

t >τ / 2

1

t <τ / 2

F (ω ) = ∫ rect ( τ )e
t

− jωt

−∞

j 2sin (
⇔ F (ω ) =
jω

dt = ∫

τ /2

−τ / 2

e

− jωt

1 jωt
dt = −
e
jω

+∞

=
0

e jωτ / 2 − e− jωτ / 2
jω

sin ( )
t
ωτ
2 )
= τ ωτ 2 = τ sin c ( ωτ2 ) ⇒ rect(τ ) ↔τ sin c( 2 )
(2)

ωτ

ωτ

↔

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Các tính chất của biến đổi Fourier

Tính chất tuyến tính:
f1 (t ) ↔ F1 (ω ); f 2 (t ) ↔ F2 (ω ) ⇒

a1 f1(t) + a2 f2 (t) ↔ a1F1(ω) + a2 F2 (ω)


Dịch chuyển trong miền thời gian:
f (t ) ↔ F (ω )
f1 (t ) = f (t − t0 ) ↔ ?
F1 (ω ) = ∫

+∞

−∞

f1 (t )e − jωt dt = ∫

−∞

⇔ F1 (ω ) = ∫

+∞

−∞

⇒

+∞

f (t − t0 )e − jωt dt

f ( x)e − jω ( x+t0 ) dx =e− jωt0 ∫

f (t −t0) ↔F(ω)e− jωt0

+∞

−∞

f ( x)e− jω x dx = e− jωt0 F (ω )
Linear phase shift

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

6


Các tính chất của biến đổi Fourier

Dịch chuyển trong miền thời gian:

f (t −t0) ↔F(ω)e− jωt0

Linear phase shift

Ví dụ:

−ωτ / 2
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Các tính chất của biến đổi Fourier

Dịch chuyển trong miền tần số (điều chế):
jω t
f (t ) ↔ F (ω ) ⇒ f1 (t ) = f (t )e 0 ↔ ?

F1 (ω ) = ∫

+∞

−∞

⇒

f1 (t )e − jωt dt = ∫

+∞

−∞

f (t )e − j (ω −ω0 ) t dt = F (ω − ω0 )

f (t)ejω0t ↔F(ω −ω0)

Ví dụ: Điều chế AM
f (t ) cos ω0t =

f (t ) co s ω 0t

1
1

f (t )e jω0t + f (t )e − jω0t⇒ f (t ) cos ω0t ↔ 12 F (ω − ω0 ) + 12 F (ω + ω0 )
2
2

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

7


Các tính chất của biến đổi Fourier

Đối ngẫu thời gian-tần số:
f (t ) ↔ F (ω )
f (t ) =

1
2π

∫

+∞

−∞

F (ω )e jωt dω ⇒ f (−t ) =

⇒ 2π f (−ω ) = ∫

+∞

−∞

F (t )e − jωt dt ⇒

∫

1
2π

+∞

−∞

F (ω )e − jωt d ω

F (t ) ↔ 2π f (−ω)

Ví dụ:
e− at u (t ); a > 0 ↔ 1/(a + jω ) ⇒ 1/(a + jt ) ↔ 2π eaω u (−ω ); a > 0
rect ( τt ) ↔ τ sin c ( ω2τ

⇒

ω0

)

⇒ 2 ω 0 sin c (ω 0 t ) ↔ 2 π rect ( 2ωω 0 )

sin c (ω 0 t ) ↔ rect ( 2ωω0 )

2

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Các tính chất của biến đổi Fourier

Thay đổi thang độ (đồng dạng):
f (t ) ↔ F (ω ) ⇒ f (at ); a real ↔ ?

a > 0:

∫
∫

+∞

−∞
+∞

a < 0:

−∞

f (at )e− jωt dt = 1a ∫

+∞

−∞
−∞

f ( x)e

f (at)e− jωt dt = 1a ∫ f ( x)e

⇒

+∞

−j

−j

( ωa ) x

( ωa ) x

dx = 1a F ( ωa )

dx = −1a F(ωa )

f (at ) = 1a F ( ωa )

Ví dụ:

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

8


Các tính chất của biến đổi Fourier

f (at ) = 1a F ( ωa )


Đảo thời gian/tần số:
f (t ) ↔ F (ω ) ⇒ f (−t ) ↔ ?

a = −1 ⇒

f (−t ) ↔ F (−ω)

Ví dụ:
e − at u (t ) ↔ 1/(a + jω ) ⇒ eat u (−t ) ↔ 1/(a − jω )
e

−a t

u (t ) ↔ ?

−a t

u (t ) = e − at u (t ) + e at u (−t ) ↔

e

1
1
2a
+
= 2
a + jω a − jω a + ω 2

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Các tính chất của biến đổi Fourier

Tích chập trong miền thời gian:
f1 (t ) ↔ F1 (ω ); f 2 (t ) ↔ F2 (ω ) ⇒ f1 (t ) ∗ f 2 (t ) ↔ ?

∫

+∞
+∞
f1 (t ) ∗ f 2 (t )e − jωt dt = ∫  ∫ f1 (τ ) f 2 (t − τ )dτ  e− jωt dt

−∞ 
−∞


+∞

−∞

=∫

+∞

−∞

+∞
+∞
− jωτ
f1 (τ )  ∫ f 2 (t − τ )e− jωt dt  dτ =

∫−∞ f1 (τ ) F2 (ω )e dτ
 −∞


= F2 (ω ) ∫

+∞

−∞

⇒

f1 (τ )e − jωτ dτ = F1 (ω ) F2 (ω )

f1(t) ∗ f2 (t) ↔ F1(ω)F2 (ω)

Ví dụ:

rect ( 2Tt ) ↔ T2 sin c ( ω4T )
2

rect ( 2Tt ) ∗ rect ( 2Tt ) = T2 Λ ( Tt ) ↔ T4 sin c 2 ( ω4T )
⇒

Λ ( Tt ) ↔

T
2

sin c 2 ( ω4T )

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

9


Các tính chất của biến đổi Fourier

Tích chập trong miền tần số:
f1 (t ) ↔ F1 (ω ); f 2 (t ) ↔ F2 (ω ) ⇒ ? ↔ F1 (ω ) ∗ F2 (ω )
1
2π

=

∫

1
2π

+∞

−∞

∫

F1 (ω ) ∗ F2 (ω )e jωt dω =

+∞

−∞

∫  ∫
+∞

+∞

−∞

−∞

F1 (τ ) F2 (ω − τ )dτ  e jωt d ω


+∞
F1 (τ )  ∫ F2 (ω − τ )e jωt dω dτ =
 −∞


= f 2 (t ) ∫

+∞

−∞

⇒

1
2π

1

2π

∫

+∞

−∞

+∞
F1 (τ )e jτ t  ∫ F2 ( x)e jxt dx dτ
 −∞


F1 (τ )e jτ t dτ = 2π f 2 (t ) f1 (t )

f1(t ) f2 (t ) ↔ 21π F1(ω) ∗ F2 (ω)

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Các tính chất của biến đổi Fourier

Đạo hàm trong miền thời gian:
n
df (t )
↔ ? ⇒ d f n(t ) ↔ ?
dt
dt
+∞
+∞
df
(

t
)
jωt
jωt
∫−∞ F (ω )e dω ⇒ dt = ( jω ) 21π ∫−∞ F (ω )e dω

f (t ) ↔ F (ω )
f (t ) =
⇒

⇒

1
2π

⇒

df (t )
↔ ( jω ) F (ω )?
dt

d n f (t )
↔ ( jω ) n F (ω )
n
dt

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

10

Các tính chất của biến đổi Fourier

Tích phân trong trong miền thời gian:
f (t ) ↔ F (ω ) ⇒ ∫

t

−∞

f (t ) ∗ u (t ) = ∫

+∞

−∞

f (τ )dτ ↔ ?

f (t )u (t − τ )dτ = ∫

t

−∞

f (t )dτ

u ( t ) ↔ π δ (ω ) + 1 / jω
f (t ) ∗ u (t ) = F (ω ) [πδ (ω ) + 1/ jω ] = π F (0)δ (ω ) + F (ω ) / jω
⇒

∫

t

−∞

f (τ )dτ ↔ π F (0)δ (ω) + F (ω) / jω

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

11