Lecture 08 TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG

404001 - Tín hiệu và hệ thống

Lecture-8
Biể
Biểu diễ
diễn tín hiệ
hiệu bằng chuỗ
chuỗi Fourier

Biể
Biểu diễ
diễn tín hiệ
hiệu bằng tập tín hiệ
hiệu trự
trực giao

Chuỗ
Chuỗi Fourier lượ
lượng giá
giác

Chuỗ
Chuỗi Fourier hàm mũ phứ
phức

ðáp ứng của hệ thố
thống LTIC với tín hiệ
hiệu tuầ
tuần hoà
hoàn

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Biểu diễn tín hiệu bằng tập tín hiệu trực giao

Biểu diễn tín hiệu dựa vào khơng gian tín hiệu trực giao:

N

f (t ) ≃ c1 x1 (t ) + c2 x2 (t ) + ... + cN xN (t ) = ∑ cn xn (t )
N

 Sai số: e(t ) = f (t ) −

∑ cn xn (t )

n =1

n=1

 Tìm cn thỏa điều kiện năng lượng sai số  min:
Thực: cn =

1
En

∫

t2

t1

f (t ) xn (t ) dt

Phức:

cn =

1 t2
f (t ) xn* (t )dt
∫
t
En 1
N

 Năng lượng của thành phần sai số min: Ee = E f −

∑c E
2
n

n

n=1

 Năng lượng của thành phần sai số  0 nếu N  ∞  tập cơ sở
 Khi N  ∞, ta có: lưu ý dấu “=” ñúng về mặt năng lượng
∞

f (t ) = ∑ cn xn (t ); t1 ≤ t ≤ t2

Chuỗi Fourier

n =1

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

1


Chuỗi Fourier lượng giác

Xét tập tín hiệu lượng giác sau:

{1, cos(ω0t ), cos(2ω0t ),..., cos( nω0t ),....; sin(ω0t ), sin(2ω0t ),..., sin( nω0t ),...}
 n: số nguyên dương
 nω0 : thành phần tần số thứ n - hài thứ n
 T0=2π/ω0 : chu kỳ của hài cơ bản
 Trong khoảng thời gian: t1
∫
∫

t1 +T0

∫

t1 +T0

t1
t1 +T0

t1

t1

t1 +T0

∫
∫
∫

cos( nω0t )dt = 0

t1

dt = T0

t1 +T0

sin(nω0t ) dt = 0

t1

sin( nω0t ) cos(mω0t ) dt = 0

cos 2 ( nω0t )dt = T0 / 2

t1 +T0

t1

sin 2 (nω0t ) dt = T0 / 2

 Vậy tập tín hiệu lượng giác trên là tập tín hiệu cơ sở trực giao
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Chuỗi Fourier lượng giác

Biểu diễn f(t) trong khơng gian tín hiệu lượng giác:
∞

∞

n=1

n=1

f (t ) = a0 + ∑ an cos( nω0t ) + ∑ bn sin( nω0t ); t1 ≤ t ≤ t1 + T0

a0

∫
=

t1 +T0

f (t )dt

t1

∫

t1 +T0

t1

an

∫
=

t1 +T0

∫

t1 +T0

t1

∫

t1

bn =

t1

∫

t1

cos 2 ( nω0t ) dt

f (t )sin( nω0t )dt

t1 +T0

1 t1 +T0

f (t ) dt
T0 ∫t1

⇒ an =

2
T0

∫

⇒ bn =

2
T0

∫

12 dt

f (t ) cos( nω0t )dt

t1 +T0

⇒ a0 =

sin 2 (nω0t ) dt

t1 +T0

t1

t1 +T0

t1

f (t ) cos(nω0t ) dt

f (t )sin(nω0t ) dt

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

2


Chuỗi Fourier lượng giác

Kết hợp các thành phần sin và cosin ta có dạng rút gọn:
∞

f (t ) = C0 + ∑ Cn cos( nω0t + θ n ); t1 ≤ t ≤ t1 + T0
n =1

C0 = a0
2
n

 −bn 

 an 

θ n = tan −1 

2
n

Cn = a + b
a0 =

1
T0

∫

bn =

2
T0

∫

an =

2
T0

∫

t1 +T0

t1
t1 +T0

t1
t1 +T0

t1

f (t ) dt
f (t )sin(nω0t ) dt
f (t ) cos(nω0t ) dt

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Chuỗi Fourier lượng giác

Ví dụ:
Tìm chuỗi Fourier của f(t)=e-t/2 trong khoảng 0≤t≤π

a0 =

1

π∫

π

0

e − t / 2 dt =0,504

 2 
an = ∫ e cos(2nt ) dt =0,504 

2 
0
π
 1 + 16n 
2 π
 8n 
bn = ∫ e − t / 2 sin(2nt )dt =0,504 
2 
π 0
 1 + 16n 
2

π

ω0 = 2π / T0 = 2

−t / 2

C0 = a0 = 0,504



2
Cn = 0,504 

2
 1 + 16n 
θ n = − tan −1 4n

∞

2


f (t ) = 0.504 1 + ∑
cos 2nt + 4n.sin2nt )  ; 0 ≤ t ≤ π
2 (
 n=1 1 + 16n

∞


2
f (t ) = 0.504 1 + ∑
cos(2nt − tan −1 4n)  ; 0 ≤ t ≤ π
2
 n=1 1 + 16n


Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

3


Chuỗi Fourier lượng giác

Tính tuần hồn của chuỗi Fourier lượng giác:
 Chuỗi Fourier ϕ(t) cho f(t) chỉ ñúng trong khoảng t1≤t≤t1+T0
 Ngoài khoảng t1≤t≤t1+T0? ϕ(t)≠f(t) !!!
∞

ϕ (t ) = C0 + ∑ Cn cos( nω0t + θ n ); for all t

n =1

⇒ ϕ (t − T0 ) = ϕ (t ); for all t

ϕ(t) biểu diễn cho tin hiệu tuần hoàn?

 Vậy nếu ϕ(t); t1≤t≤t1+T0 biểu diễn cho f(t); t1≤t≤t1+T0  ϕ(t) biểu diễn
cho tín hiệu tuần hồn do lập lại phần của f(t); t1≤t≤t1+T0 với chu kỳ T0.
 Ví dụ:

 Kết luận: chuỗi Fourier chỉ biểu diễn cho TH tuần hoàn!!!
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Chuỗi Fourier lượng giác

Chuỗi Fourier lượng giác của tín hiệu tuần hồn:
∞

∞

n =1
∞

n =1

f (t ) = a0 + ∑ an cos(nω0t ) + ∑ bn sin( nω0t )
f (t ) = C0 + ∑ Cn cos( nω0t + θ n )
n =1

a0 =

1
T0

∫

f (t )dt

C0 = a0

an =

2
T0

∫

f (t ) cos( nω0t )dt

Cn = an2 + bn2

2
bn =
T0

T0

T0

∫

T0

f (t )sin(nω0t ) dt

Phương
trình tổng
hợp

 −bn 

 an 

θ n = tan −1 

Phương
trình
phân
tích

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

4


Chuỗi Fourier lượng giác

Ví dụ 1:

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Chuỗi Fourier lượng giác

Ví dụ 2:

(n even)
0
Cn = 
2 2
8 A / n π (n even)

(n even)
0

θ n = −π / 2 (n = 1,5,9,13,..)
π / 2 ( n=3,7,11,...)


Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

5


Chuỗi Fourier lượng giác

ðiều kiện tồn tại chuỗi Fourier:

Nếu

∫

f (t ) dt < ∞ (Dirichlet condition)

T0

 Tồn tại {Cn} hữu hạn  năng lượng sai số Ee  0 khi N ∞
 Lưu ý f(t) và ϕ(t) không bằng nhau tại mọi t
 Ví dụ: Hiện tượng Gibbs khi tổng hợp tín hiệu khơng liên tục

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Chuỗi Fourier hàm mũ phức

Tập tín hiệu hàm mũ phức trực giao:

{e }; n = 0, ±1, ±2,.... ;ω
jnω0t

0

= 2π /T0


Chuỗi Fourier hàm mũ phức:
∞

∑

f (t ) =

Dn e jnω0t

n=−∞

Phương
trình tổng

hợp

Dn =

1
En

∫

f (t ) e jnω0t dt

⇒ Dn =

1
T0

∫

f (t )e− jnω0t dt

T0

T0

(

*

)

Phương
trình
phân tích

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

6


Chuỗi Fourier hàm mũ phức

Ví dụ:
f (t )

T0 = 1 → ω 0 = 2 π

Dn =

∫

T0

⇔ Dn =

f ( t )e − jnω 0 t dt = −

1
2

∫

0
−1 / 2

e − j 2 π nt dt +

1
2

∫

1/ 2
0

e − j 2 π nt dt

1
(2 − e jπ n − e − jπ n )
j 4π n

1 / jπ n ( n is odd ) ⇒ f ( t ) =
⇔ Dn = 
( otherw ise )
0

+∞

∑
n = −∞
n odd

1
jπ n

e j 2 π nt

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Chuỗi Fourier hàm mũ phức

Mối liên hệ giữa chuỗi Fourier hàm mũ phức & chuỗi Fourier
lượng giác:

Cn cos(nω0t + θ n ) = Cn e j ( nω0t +θn ) + e − j ( nω0t +θ n )
2
C

C

=  n e jθn  e jnω0t +  n e − jθ n  e − jnω0t
 2

 2


(

D− n

Dn
∞

f (t ) = C0 + ∑ Cn cos( nω0t + θ n )
n =1
∞

f (t ) = D0 + ∑ Dn e
n =1

(

)

Dạng hàm mũ &
lượng giác là tương
ñương  thường
dùng hàm mũ
∞

jnω0t

+ D− n e

− jnω0t

)= ∑ D e

jnω0t

n

n =−∞

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

7


Chuỗi Fourier hàm mũ phức

Mối liên hệ giữa chuỗi Fourier hàm mũ phức & chuỗi Fourier
lượng giác:
Lượng giác

D0 = C0
Cn jθ n
e
2
C
D− n = n e− jθ n
2
Dn =

Hàm mũ phức

n = 1,2,3,...

Phổ Fourier:

1
D0 = C0 ; Dn = D− n = Cn
2
∠Dn = θn ; ∠D− n = −θn ;

 Phổ biên ñộ:

(chẵn)

 Phổ pha:

(lẻ)

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Chuỗi Fourier hàm mũ phức

ðịnh lý Parseval :
∞

f (t ) = C0 + ∑ Cn cos( nω0t + θ n )

Pf = C02 +

n =1
∞

f (t ) =

∑
n =−∞

∞

Dne jnω0t

Pf =

∑
n =−∞

1 ∞ 2
∑ Cn
2 n=1

∞

Dn = D02 + 2∑ Dn
2

2

n =1

 Cơng suất của tín hiệu tuần hồn bằng tổng công suất của tất cả các hài

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

8


ðáp ứng của hệ thống LITC với tín hiệu tuần hồn

ðáp ứng của hệ thống LTIC với tín hiệu tuần hoàn :
∞

f (t ) =

(LTI)

∑De

jnω0t

n

; ω0 =

n =−∞

2π
T0

e jωt → H ( jω )e jωt
input

∑De
n

Hàm truyền
không tạo tần số
mới!!!

Output

∞

∞

jnω0t

→

n =−∞

∑ D H ( jnω )e
n

jnω0t

0

n =−∞

Input f(t)

Hàm truyền làm:
 Tăng hoặc giảm Bð
 Thay ñổi pha

Output y(t)

Xem HT LTIC như
là bộ lọc (Filter)
Tuần hoàn
cùng chu kỳ
với f(t)

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

ðáp ứng của hệ thống LITC với tín hiệu tuần hồn

Ví dụ :

i (t )

vi(t)

vi (t ) = Ri (t ) + v0 (t )

dv (t )
⇒ vi (t ) = RC 0 + v0 (t )
dt
dv (t )
dv0 (t ) 1
1
1
i (t ) = C o
⇒
+
v0 (t ) =
vi (t ) ; ωc =
dt
dt
RC
RC
RC
P(s)
ωc

⇒ ( D + ωc )v0 (t ) = ωc vi (t ) ⇒ H ( s ) =
=
Q ( s ) s + ωc
+∞
1 j 2 π nt
ωc
vi (t ) = ∑
e
H ( jω ) =
n = −∞ jπ n
jω + ωc
n od d
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

9


ðáp ứng của hệ thống LITC với tín hiệu tuần hồn

Ví dụ :

Vi ( jω )

ω / ωc
∠Vi ( jω )

ω / ωc
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

ðáp ứng của hệ thống LITC với tín hiệu tuần hồn

ω0 << ωc
ω / ωc

ω / ωc

ω0 < ωc

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

10


ðáp ứng của hệ thống LITC với tín hiệu tuần hoàn

ω0 = ωc
ω / ωc

ω / ωc

ω0 > ωc
ω / ωc

ω / ωc
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

11