Lecture 14 TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG

404001 - Tín hiệu và hệ thống

Lecture-14
Phân tích tín hiệ
hiệu liên tục dùng biế
biến
ñổi Laplace

Biế
Biến ñổi Laplace và các tính chấ
chất

Hàm truyề
truyền và đáp ứng của hệ thố
thống LTIC

Sơ ñồ khố
khối và thự
thực hiệ
hiện hệ thố
thống

Ứng dụng trong hồi tiế
tiếp và ñiề
ñiều khiể
khiển

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Ứng dụng trong điều khiển

Phân tích một hệ thống đơn giản

Phân tích hệ thống bậc 2

Quỹ đạo nghiệm số

Các sai số xác lập

ðiều chỉnh hệ thống

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

1


Phân tích một hệ thống đơn giản

Xét hệ thống ñiều khiển sau:

D( D + a)θ (t ) = KT f (t )
a = B / J , K1 = KT / J
La.Thi page 91 − 92

θi

∑

K

−

G(s)

θo

θo ( s ) =

KG( s )
θi (s)
1 + KG( s )

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Phân tích một hệ thống đơn giản

ðáp ứng với θi(t)=u(t): θo ( s ) =
Giả sử: G ( s ) =

KG( s)
s[1 + KG( s )]

1
K / s ( s + 8)
K
⇒ θ o ( s) =
= 2
s ( s + 8)
s[1 + K / s ( s + 8)] s ( s + 8s + K )

 K=7: θo ( s ) =

7
⇒ θo (t ) = (1 − 76 e −t + 16 e −7t )u (t )
s ( s + 8s + 7)

 K=80: θo ( s ) =

80
⇒ θo (t ) = [1 − 25 e−4t cos(8t + 1530 )]u (t )
s( s + 8s + 80)

 K=16: θo ( s ) =

16
⇒ θo (t ) = [1 − (4t + 1)e−4t ]u (t )
s ( s + 8s + 16)

2

2

2

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

2


Phân tích một hệ thống đơn giản

within 2% the FV

PO = 21%

ess=0

90%

Khơng có
PO và tp

10%

tr
tp t
s

Giá trị của K được lựa chọn ñể ñạt ñược yêu cầu kỹ thuật của hệ thống
Yêu cầu nào là tốt cho hệ thống?
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Phân tích một hệ thống đơn giản

K
s ( s + 8s + K )
80
Giả sử: K = 80 ⇒ θ o ( s) = 2 2
s ( s + 8s + 80)


ðáp ứng với θi(t)=tu(t): θo ( s ) =

2

2

⇒ θo (t ) = [−0.1 + t + 18 e−8t cos(8t + 36.87 0 )]u (t )

Yêu cầu nào là tốt cho hệ thống?
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

3

Phân tích một hệ thống đơn giản

u cầu thiết kế hệ thống:
 ðáp ứng q độ
• Chỉ rỏ PO với kích thích u(t)
• Chỉ rỏ tr and/or td
• Chỉ rõ thời gian xác lập ts
 Sai số xác lập: chỉ rỏ ss x.lập với các kích thích u(t), tu(t) và t2u(t)
 ðộ nhạy của hệ thống: do sự thay đổi của thơng số h.thống, nhiễu
Khơng phân tích thơng số này!!!!

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Phân tích hệ thống bậc 2

ðáp ứng q độ phụ thuộc vào vị trí của poles và zeros của T(s).
Có cách để xác định nhanh chóng các thông số (PO, tr, ts) của hệ
thống bậc 2 không có điểm zero dựa vào vị trí của các poles.
 Chúng ta sẽ khảo sát chi tiết hệ thống này (cơ sở nghiên cứu hệ
thống bậc cao hơn)

Xét hệ thống bậc 2 có hàm truyền vịng kín T(s) như sau:

T (s) =

ωn2
s 2 + 2ζωn s + ωn2

 Hai poles của hệ thống là:

s1,2 = −ζωn ± jωn 1 − ζ 2

 ðáp ứng với u(t):
1
ωn2
1
s + 2ζωn
Y ( s) = 2
= − 2
2
s s + 2ζωn s + ωn s s + 2ζωn s + ωn2
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

4


Phân tích hệ thống bậc 2



1
y (t ) = 1 −
e −ζωnt sin(ωn 1 − ζ 2 t + cos −1 ζ )  u (t )
1−ζ 2


y (t p ) y (t )
1
0.9

ts =

tr

0.5

ζ <1

0.1
0

td
tr ≈

tp

t

ts

1 − 0.4167ζ + 2.917ζ 2

ωn

td ≈

tp =

4

ζωn

π
ωn 1 − ζ 2

PO = 100e−ζπ /

1−ζ 2

1.1 + 0.125ζ + 0.469ζ 2

ωn

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Phân tích hệ thống bậc 2

PO = 100e−ζπ /

ts =
tr ≈

1−ζ 2

4

ζωn

1 − 0.4167ζ + 2.917ζ 2

ωn

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

5


Phân tích hệ thống bậc 2

Ví dụ: T ( s ) =

KG ( s)
K
= 2
[1 + KG ( s)] s + 8s + K

Yêu cầu thiết kế: chọn K sao cho PO≤16%, tr≤0.5s, ts≤2s?
jω

 Xác ñịnh miền cho phép của các poles

PO ≤ 16%; tr ≤ 0.5; ts ≤ 2
 Xác định quỹ tích các poles khi K
thay đổi (quỹ ñạo nghiệm số)

K = 64

6

K = 25

4

K =0

s 2 + 8s + K = 0
⇒ s1,2 = −4 ± 16 − K

K =16

−4

−2

tr = 0.5

K = 25
K = 64

 Xác ñịnh giá trị của K

25 ≤ K ≤ 64

PO = 16%

2
0
−2

K =0

σ

−4
ts = 2

−6

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Quỹ ñạo nghiệm số

Xét hệ thống với hệ số khuếch ñại K thay ñổi như sau:

F (s)

∑

−

K

G ( s)

Y (s)

H ( s)
Hàm truyền vịng kín của hệ thống: T ( s ) =

KG ( s )
1 + KG( s ) H ( s)

Phương trình đặc trưng của hệ thống: 1 + KG ( s ) H ( s ) = 0
Chúng ta sẽ khảo sát quỹ đạo của nghiệm phương trình đặc trưng

(poles của hệ thống) khi K thay ñổi từ 0 ñến ∞  Quỹ ñạo nghiệm số.

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

6


Quỹ ñạo nghiệm số
Giá trị của s trong mp-s làm cho hàm truyền vịng hở KG(s)H(s)
bằng -1 chính là các poles của hàm truyền vịng kín

1 + KG (s )H (s ) = 0 ⇔ KG (s )H (s ) = −1

KG ( s ) H ( s ) = 1
⇒
0
 ∠KG ( s ) H ( s ) = ±180 ( 2l + 1)

l = 0 ,1, 2 , …

G ( s) H ( s ) = 1 K
⇔
o
 ∠G ( s ) H ( s ) = ±180 ( 2l + 1)

l = 0 ,1, 2 , …

Independent of K
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Quỹ ñạo nghiệm số

Quỹ ñạo nghiệm số ñược vẽ tuân theo các quy luật sau:

Áp dụng các quy luật dùng ví dụ sau:
Ví dụ 1: vẽ quỹ ñạo nghiệm số của hệ thống sau khi K thay ñổ i

F (s)

∑

−

K

1
s( s + 1)( s + 2)

Y (s)

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

7


Quỹ đạo nghiệm số

Luật #1
Giả sử G(s)H(s) có n poles và m zeros:
n nhánh của quỹ ñạo nghiệm bắt ñầu (K=0) tại n poles.
m trong n nhánh kết thúc (K=∞

∞) tại m zeros
n-m nhánh cịn lại kết thúc ở vơ cùng theo các ñường
tiệm cận.
Bước 1: Vẽ n poles và m zeros của G(s)H(s) dùng ký hiệu
x và o

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Quỹ ñạo nghiệm số

Áp dụng bước #1
Vẽ n poles và m zeros của
G(s)H(s) dùng ký hiệu x và o

G (s )H (s ) =

1
s (s + 1)(s + 2 )

 Có 3 poles:

s = 0 , s = − 1, s = − 2
 Khơng có zero

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

8


Quỹ ñạo nghiệm số

Luật #2
Các ñiểm trên trục thực thuộc quỹ đạo nghiệm khi bên
phải nó có tổng số poles thực và zeros thực của
G(s)H(s) là một số lẽ

Bước #2: Xác ñịnh các nghiệ m trên trục thực. Chọn
ñiểm kiểm tra tùy ý. Nếu tổng số của cả poles thực và
zeros thực bên phải của điểm này là lẽ thì ñiểm ñó
thuộc quỹ ñạo nghiệ m số.

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Quỹ ñạo nghiệm số

Áp dụng bước #2

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

9


Quỹ đạo nghiệm số

Luật #3
Giả sử G(s)H(s) có n poles và m zeros:
Các nghiệ m s có giá trị lớn phải tiệm cận theo ñường thẳng
bắt ñầu tại ñiểm trên trục thực:

∑

s = σ

0

=

pi −

n

∑

zi

m

n − m

theo hướng của góc:
± 1 8 0 o ( 2 ℓ + 1)
φℓ =
n−m

Bước #3: Xác ñịnh n - m tiệm cận của các nghiệ m. Tại s = σ0
trên trục thực. Tính và vẽ các đường tiệm cận theo góc φℓ
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Quỹ ñạo nghiệm số

Áp dụng bước #3

s = σ0 =

φℓ =

p1 + p2 + p3 0 −1 − 2
= −1
=
3− 0
3

± 1 8 0 (2 ℓ + 1)
n − m

ℓ = 0 , 1, 2 , …

± 1800 (2 × 0 + 1)
= ±600
φ0 =
3−0
⇒
0
φ = ± 180 (2 ×1 + 1) = ±1800
 1
3−0
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

10


Quỹ đạo nghiệm số

Luật #4
Phương trình đặc trưng của hệ thống có thể viết là: KG(s)H(s) = -1

ðiểm tách phải thỏa ñiều kiện sau:

dK
=0
ds
Bước #4: xác ñịnh ñiểm tách. Biểu diễn K dưới dạng:
K=

−1
.
G (s )H (s )

Tính và giải dK/ds=0 để tìm pole là điểm tách
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Quỹ ñạo nghiệm số

Áp dụng bước #4
K=

−1
= − s(s + 1)(s + 2)
G( s )H ( s )

K = − s 3 − 3s 2 − 2 s

dK / ds = − s 3 − 3 s 2 − 2 s

⇒ −3s2 − 6s − 2 = 0
s1 = − 1 . 5 7 7 4 , s 2 = − 0 . 4 2 2 6

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

11


Quỹ ñạo nghiệm số

Bước #5

Vẽ n-m nhánh kết thúc ở vơ cùng dọc theo các
đường tiệm cận

jω?

Cho:

s = jω

Thế vào: 1 + KG (s )H (s ) = 0

⇒ ω = 0 or ω = ± 2

- jω
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Các sai số xác lập

Sai số xác lập là sự sai khác giữa tín hiệu vào f(t) và ra y(t) tại xlập
e(t ) = f (t ) − y ( t ) ⇒ E ( s ) = F ( s ) − Y ( s) = F ( s)[1 − T ( s )]
⇒ ess = lim e(t ) = lim sE ( s) = lim sF ( s )[1 − T ( s )]
t →∞

s →0

s →0

 Với f(t)=u(t): ess = es = lim[1 − T ( s )] ⇒ es = 1 − T (0)
s→0

[1 − T ( s )]
s
s→0

 Với f(t)=tu(t): ess = er = lim

if T (0) = 1 ⇒ er = −T '(0)

 Với f(t)=(1/2)t2u(t): ess = e p = lim

s→0

[1 − T ( s )]
s2

if T (0) = 1 and T '(0) = 0 ⇒ e p = −T ''(0) / 2
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

12


Các sai số xác lập

Với hệ thống hồi tiếp ñơn vị:
∑

F (s)

K

G ( s)

−

Y (s)

 ðịnh nghĩa các hằng số sau:

• Hằng số sai số vị trí: K p = lim[ KG ( s)]
s→0

• Hằng số sai số vận tốc: K v = lim s[ KG ( s)]
s →0

• Hằng số sai số gia tốc: K a = lim s 2 [ KG ( s )]
s →0

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Các sai số xác lập
 Các sai số xác lập ñược tính như sau:
es = lim s
s →0

1/ s
1
1/ s 2
1
=
; er = lim s
=
1 + KG ( s) 1 + K p
s →0 1 + KG ( s ) K v

e p = lim s
s →0

1/ s3
1
=
1 + KG ( s) K a

 Phân loại hệ thống ñiều khiển:
s+2
( s + 1)( s + 10)
• Hệ thống loại 1: es=0; er=finite; ep=∞. Ví dụ: G ( s ) = 1
s( s + 8)

• Hệ thống loại 0: es=finite; er= ep=∞. Ví dụ: G ( s ) =

• Hệ thống loại 2: es=er=0; ep=finite. G(s) có 2 poles tại gốc tọa độ
• Hệ thống loại q: có q poles tại gốc tọa ñộ
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

13


Các sai số xác lập
 Kết luận: với hệ thống hồ i tiếp ñơn vị việc tăng số poles tại gốc tọa
ñộ sẽ cải thiện chất lượng của hệ thống ở chế độ xác lập.
Vậy có nên tăng số poles tại gốc tọa ñộ?

∑
s = σ

0

=

pi −

∑

n

zi

m

n − m

± 1 8 0 o ( 2 ℓ + 1)
φℓ =
n−m

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Các sai số xác lập

Nói chung trong thiết kế hệ thống người ta phải xác định rõ ess
Ví dụ:

F (s)

∑

−

G ( s) =

K

G(s)

Y ( s)

1
KG( s)
K

⇒ T (s) =
= 2
s( s + 8)
[1 + KG( s)] s + 8s + K

Yêu cầu thiết kế: chọn K sao cho PO≤16%, tr≤0.5s, ts≤2s,
es=0 và er≤0.15
 ðảm bảo yêu cầu quá ñộ: 25≤K≤64
 ðảm bảo yêu cầu xác lập: es = 0; er = 8 / K ; e p = ∞

⇒ 8 / K ≤ 0.15 ⇒ K ≥ 53.34
 Kết luận: 53.34 ≤ K ≤ 64
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

14


ðiều chỉnh hệ thống

Trong ví dụ trước ta thấy chất lượng xác lập tốt nhất khi K
lớn nhất!!!

K = 64 ⇒ ( er )min = 8 / K = 8 / 64 = 0.125
Nếu yêu cầu thiết kế là er<0.125?
jω
K = 64

6

K = 25

4

K =0

2

K =16

−4

0
−2

−2

tr = 0.5

K = 25
K = 64

Dời sang trái
K =0

−4
ts = 2

PO = 16%

∑

σ

s = σ

0

=

pi −

n

∑

zi

m

n − m

Nối tiếp G(s) với Gc(s):

Gc ( s) =

−6

s +α
s+β

Bộ ñiều

chỉnh

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

ðiều chỉnh hệ thống

Hệ thống có bộ điều chỉnh:
∑

F (s)

−

Gc (s)

KG (s)

Y (s)

 Ví dụ:
G(s) =

1
; PO ≤ 16%; tr ≤ 0.5; ts ≤ 2; es = 0; er ≤ 0.05
s( s + 8)

er = 8 / K ≤ 0.05 ⇒ K ≥ 160

Giả sử chọn:
Gc ( s ) =

s +8
K
⇒ KGc ( s )G ( s) =
s + 30
s( s + 30)

Và chọn K=600: ⇒ T ( s ) =

600
2

s + 30s + 600

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

15


ðiều chỉnh hệ thống
600
T (s) = 2
; PO ≤ 16%; tr ≤ 0.5; ts ≤ 2; es = 0; er ≤ 0.05
s + 30s + 600

⇒ ωn = 600 ; ζωn = 15 ⇒ ζ = 0.61
ts =

4

ζωn

= 4 /15 = 0.266 < 2

PO = 8.9% < 16%
tr = 0.0747 < 0.5
es = 0
er = 0.05

ðạt ñược mọi yêu cầu thiết kế!!!
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

ðiều chỉnh hệ thống
 Với hệ thống ñiều khiển hồ i tiếp ñơn vị thì Gc(s)=1/s sẽ bảo ñảm
cải thiện chất lượng xác lập. Tuy nhiên lại làm giảm chất lượng q
độ, và tính ổn định của hệ thống!!! ðể dung hòa người ta chọn Gc(s)
như sau:

Gc ( s) =

s +α
s+β

α và β chọn rất nhỏ và tỷ số α/β rất lớn

∑
s = σ

0

=

n

pi −

∑

zi

m

n − m

1
1
< es =
1 + ( K p )c
1+ K p

( K p )c = K p .Gc (0) = (α / β ) K p

⇒ ( es )c =

( K v )c = Kv .Gc (0) = (α / β ) Kv

⇒ ( er )c = 1/( Kv )c < er = 1/ K v

( K a )c = K a .Gc (0) = (α / β ) K a

⇒ ep

( )c = 1/( K a )c < e p = 1/ K a

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

16