Lecture 11 (1) TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG

Ch-6: Phân tích hệ thống liên tục dùng biến đổi Laplace

Lecture-11
6.2. Phân tích hệ thống LTI dùng biến đổi Laplace
6.3. Sơ ñồ khối và thực hiện hệ thống

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

6.2. Phân tích hệ thống LTI dùng biến ñổi Laplace
6.2.1. Hàm truyền của hệ thống LTI
6.2.2. Xác ñịnh ñáp ứng của hệ thống LTI
6.2.3. Tính ổn ñịnh của hệ thống LTI mô tả bởi PTVP

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

1


6.2.1. Hàm truyền của hệ thống LTI

Hàm truyền của hệ thống LTI: xét HT LTI có đáp ứng xung h(t):

Ta có: y(t)=f(t) ∗ h(t)

Y(s)=F(s)H(s)

H(s)=Y(s)/F(s)

Với H(s) là biến đổi Laplace của h(t) cịn được gọi là “hàm truyền”
của hệ thống

Biểu diễn hệ thống LTI bằng hàm truyền

Hàm truyền của hệ thống LTI ghép liên tầng:

H(s)=H1 (s)H 2 (s)
Signals & Systems – FEEE, HCMUT

6.2.1. Hàm truyền của hệ thống LTI

Hàm truyền của hệ thống LTI ghép song song:

H(s)=H1 (s)+H 2 (s)

Hàm truyền của hệ thống LTI ghép hồi tiếp:

H(s)=

H1 (s)
1+H1 (s)H 2 (s)

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

2


6.2.1. Hàm truyền của hệ thống LTI

Hàm truyền của HT LTI nhân quả mơ tả bởi phương trình vi phân

Q(D)y(t)=P(D)f(t)
D k y(t) ↔ s k Y(s)
k

Q(s)Y(s)=P(s)F(s)

k

D f(t) ↔ s F(s)
H(s)=

Y(s) P(s)
=
F(s) Q(s)

Ví dụ: xác định hàm truyền của HT LTI mô tả bởi PTVP

(D2 +2D+3)y(t)=Df(t)
H(s)=

P(s)
s
= 2
Q(s) s + 2s + 3
Signals & Systems – FEEE, HCMUT

6.2.1. Hàm truyền của hệ thống LTI

Xác ñịnh hàm truyền của hệ thống mơ tả bởi sơ đồ khối

1/s

F(s)

Y(s)

1

s+1

2
2

H(s)=

Y(s)
2s+1
= 2
F(s) s + 5s + 2

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

3


6.2.1. Hàm truyền của hệ thống LTI

Xác ñịnh hàm truyền của hệ thống mơ tả bởi sơ đồ khối

4

Y(s)
1
s+1

F(s)

1/s

2
2

H(s)=

Y(s)
4s+1
= 2
F(s) s + 3s + 2

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

6.2.1. Hàm truyền của hệ thống LTI

Xác ñịnh hàm truyền của HT mơ tả bởi mơ hình vật lý

x: chiều cao mặt ñường , y: chiều cao xe
∴m

d 2 y(t) dy(t)
dx(t)
+b
+ky(t)=b
+kx(t)
2
dt
dt
dt

(D
H(s) =

(b/m)s+(k/m)
s +(b/m)s+(k/m)
2

2

+ mb D+ mk ) y(t)= ( mb D+ mk ) x(t)

X(s)

(b/m)s+(k/m)
s +(b/m)s+(k/m)
2

Y(s)

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

4


6.2.1. Hàm truyền của hệ thống LTI

Xác ñịnh hàm truyền của HT mơ tả bởi mơ hình mạch:

1H

y (t )
f (t )

4Ω

+
-

1
F
3

H(s)=?

 Cách 1: Tìm phương trình vi phân  H(s)

∴ (D 2 +4D+3)y(t)=Df(t)

H(s)=

s
s +4s+3
2

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

6.2.1. Hàm truyền của hệ thống LTI
 Cách 2: Toán tử hóa sơ đồ mạch, giải mạch  H(s) (Nhân quả)

v R (t)=Ri R (t)

iC (t)=C

VR (s)=RIR (s)

dvc (t)
dt

VC (s)=

di L (t)
dt

VL (s)=LsIL (s)

v L (t)=L
n

∑ i (t)=0
j

n

∑ I (s)=0
j

j=1

j=1

n

n

∑ v j (t)=0
j=1

1
IC (s)
Cs

∑ V (s)=0
j

KCL
KVL

j=1
Signals & Systems – FEEE, HCMUT

5


6.2.1. Hàm truyền của hệ thống LTI
 Cách 2: Toán tử hóa sơ đồ mạch, giải mạch  H(s) (Nhân quả)

1H

y (t )
f (t )

+
-

4Ω

Y(s)=

s

Y ( s) 4

1
F
3

F (s)

3/ s

F(s)
Y(s)
s
⇒ H(s)=
= 2
4+s+3/s
F(s) s +4s+3

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

6.2.1. Hàm truyền của hệ thống LTI

Hàm truyền của một số mạch ñiện Op-amp
 Bộ khuếch ñại:

H (s) = −

R2
R1

H (s) = 1 +

R2
R1

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

6


6.2.1. Hàm truyền của hệ thống LTI
 Hệ thống bậc 1:

H (s) = −

1 /R C
s

(Bộ tích phân)

H (s) = −

H (s) = −

1
R 1C

s+

C1
C2

1
R 2C

s+

1
R 1C 1

s+

1
R 2C 2

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

6.2.1. Hàm truyền của hệ thống LTI
 Hệ thống bậc 2:

H (s) =

1
R 2 C 1C 2

s2 +

2
R C1

s+

s2
H (s) = 2
s + R 22 C s+

1
R 2 C 1C 2

1
R 1R 2 C 2

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

7


6.2.1. Hàm truyền của hệ thống LTI
 Mạch cộng, trừ:

V ou t (s) =

R2
[ V 2 (s) − V1 (s)]

R1

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

6.2.2. Xác ñịnh ñáp ứng của hệ thống LTI

Qui trình tìm đáp ứng của hệ thống:

f(t)

LTI
L[ f(t)]

F(s)

∈ mơ hình

H(s)

y(t)

L−1[ Y(s)]
Y(s)=F(s)H(s)

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

8


6.2.2. Xác định đáp ứng của hệ thống LTI

Ví dụ về xác ñịnh ñáp ứng của hệ thống:

x(t)=u(t)

y(t)

L[ u(t)]

X(s)=

1
s

L−1[ Y(s)]

(b/m)s+(k/m)
s +(b/m)s+(k/m)
2

Y(s)=

1 (b/m)s+(k/m)
s s 2 +(b/m)s+(k/m)

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

6.2.2. Xác định đáp ứng của hệ thống LTI

Ví dụ về xác ñịnh ñáp ứng của hệ thống:

y(t)= (1+e − t − 2e −2t ) u(t)

x(t)=u(t)

L[ u(t)]

X(s)=

1
s

m=1, k=2, b=3

3s+2
s +3s+2
2

1 1
2
L−1[ +
−
]
s s+1 s+2

Y(s)=

1 3s+2
s s 2 +3s+2

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

9

6.2.2. Xác định đáp ứng của hệ thống LTI

Ví dụ về xác ñịnh ñáp ứng của hệ thống:

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

6.2.2. Xác ñịnh ñáp ứng của hệ thống LTI

Ví dụ về xác định đáp ứng của hệ thống:

x(t)=u(t)

L[ u(t)]

X(s)=

1
s

y(t)= 1− e−t (cos2t − 12 sin2t) u(t)

m=1, k=5, b=2

2s+5
s +2s+5
2

1
s+1
2

L−1[ −
+ 12
]
2
2
s (s+1) +2
(s+1)2 +22

Y(s)=

1 2s+5
s s 2 +2s+5

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

10


6.2.2. Xác định đáp ứng của hệ thống LTI

Ví dụ về xác ñịnh ñáp ứng của hệ thống:

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

6.2.2. Xác ñịnh ñáp ứng của hệ thống LTI

Xác ñịnh giá bắt ñầu và giá trị xác lập của ñáp ứng:

y ( 0 + ) = lim [s Y (s )]
s→ ∞

lim y (t) = lim [s Y (s )]

t→ ∞

Ví dụ: Y (s )=

s→ 0

3 s+ 2
s (s + 3 s + 2 )
2

y ( 0 + ) = lim s
s→ ∞

3s + 2
= 0
s (s + 3 s + 2 )

lim y ( t ) = lim s
t→ ∞

s→ 0

2

3s + 2
=1
s (s + 3 s + 2 )
2

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

11


6.2.3. Tính ổn định của hệ thống LTI mơ tả bởi PTVP


Các poles của hàm truyền H(s) chính là nghiệm của PTðT (xem

lại chương 2) nên tính ổn định của hệ thống tùy thuộc vào vị trí của
các poles trong mặt phẳng phức

Hệ thống ổn ñịnh tiệm cận nếu: tất cả các poles nằm ở LHP

Hệ thống ổn định biên nếu: khơng có pole nào ở RHP và có poles

đơn trên trục ảo

Hệ thống khơng ổn ñịnh nếu có

một trong 2 ðK: có pole ở RHP hoặc
có pole lặp trên trục ảo.

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

6.3. Sơ ñồ khối và thực hiện hệ thống

6.3.1. Thực hiện hệ thống ở mức sơ ñồ khối
6.3.2. Thực hiện hệ thống bằng mạch ñiện Op-amp

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

12

6.3.1. Thực hiện hệ thống ở mức sơ ñồ khối

b ms m +b m-1s m-1 +...+b1s+b0

Xét hệ thống với hàm truyền: H(s)=
s n +a n-1s n-1 +...+a1s+a 0

Ta có thể thực hiện hệ thống theo 3 cách khác nhau:

a) Dạng trực tiếp
b) Dạng ghép liên tầng
c) Dạng ghép song song
 Dựa trên cơ sở bộ tích phân hoặc vi phân + khuếch ñại & bộ cộng
 Thực tế khơng dùng bộ vi phân  khơng ổn định!!!

Nếu m>n  H(s) là bộ vi phân bậc m-n  khơng xét trên thực tế!!!

Bài tốn tổng qt trên thực tế m≤n – tổng quát m=n:

H(s)=

b n s n +b n-1s n-1 +...+b1s+b0
s n +a n-1s n-1 +...+a1s+a 0
Signals & Systems – FEEE, HCMUT

a) Dạng trực tiếp (dạng chính tắc)

b3s3 +b 2s 2 +b1s+b0

Xét hàm truyền bậc 3: H(s)= 3
s +a 2s 2 +a1s+a 0
F(s)

b3s3 +b2s 2 +b1s+b0

s3 +a 2s 2 +a1s+a 0

F(s)

1
X(s) 3
b3s +b 2s 2 +b1s+b 0
s +a 2s +a1s+a 0
3

Y(s)

2

H1 (s)=X(s)/F(s)

Y(s)

H2 (s)=Y(s)/X(s)

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

13


a) Dạng trực tiếp (dạng chính tắc)

H1 (s)=
F (s )

1
X(s)
Y(s)
H 2 (s)=b3s3 +b 2s 2 +b1s+b 0 =
=
s +a 2s +a1s+a 0 F(s)
X(s)
3

2

+-

s 3 X (s)

b3

-

+

Y (s)

1
s

a2

b2

s 2 X (s)
1
s

a1

b1

sX (s)
1
s

X ( s)
a0

b0

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

a) Dạng trực tiếp (dạng chính tắc)

Tổng quát cho hàm truyền bậc n: H(s)=
F (s )

+ -

s n X ( s)

bnsn +b n-1sn-1 +...+b1s+b0
sn +a n-1sn-1 +...+a1s+a 0
bn

- --

+

Y (s)

1
s

a n −1

sn −1 X ( s)

b n −1

1
s
an−k

s n−k X ( s)

bn − k

1
s

a1

a0

sX (s)

X ( s)

b1
1
s

b0

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

14


a) Dạng trực tiếp (dạng chính tắc)

Ví dụ: Vẽ sơ ñồ khối thực hiện hệ thống sau

a)

5
s
s+5
4s+28
; c)
; b)
; d) 2
s+2
s+7

s+7
s +6s+5

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

b) Dạng ghép liên tầng

Ví dụ 1: xét hệ thống sau: H (s)=

4s+28
s +6s+5
2

4s+28   1 
H (s)= 


 s+1   s+5 
F(s)

4s+28
s+1

1
s+5

Y(s)

7s 2 +37s+51

Ví dụ 2: xét hệ thống sau: H (s)=
(s+2)(s+3) 2

Thực hiện như thế nào?

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

15


c) Dạng ghép song song

Ví dụ 1: xét hệ thống sau: H (s)=

H (s)=

4s+28
s +6s+5
2

6
2
−
s+1 s+5
6/(s+1)

F(s)

Y(s)

+

-

2/(s+5)

7s 2 +37s+51

Ví dụ 2: xét hệ thống sau: H (s)=
(s+2)(s+3) 2
Thực hiện như thế nào?
Signals & Systems – FEEE, HCMUT

d) Kết hợp liên tầng và song song

Thực hiện H(s) có nghiệm lặp lại:

7s 2 +37s+51
Ví dụ: xét hệ thống sau: H (s)=
(s+2)(s+3) 2

H (s)=

5
2
3
+
−
s+2 s+3 (s+3) 2
5/(s+2)

F(s)

2

Y(s)

+

1/(s+3)

1/(s+3)

3

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

16


d) Kết hợp liên tầng và song song

Thực hiện H(s) có các cực liên hiệp phức:

Ví dụ: xét hệ thống sau: H (s)=

H (s)=

2
1+j2
1-j2
s+3 s+2-j3 s+2+j3

H (s)=

F(s)

10s+50
(s+3)(s 2 +4s+13)
Khơng
thực
hiện
được

2
2s-8
- 2
s+3 s +4s+13
2/(s+3)
2s-8
2
s +4s+13

Y(s)

+

Thực hiện theo dạng trực tiếp
Thực hiện nhờ hệ thống bậc 2

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

6.3.2. Thực hiện hệ thống bằng mạch điện Op-amp

2s+5

Ví dụ: thực hiện hệ thống có hàm truyền H(s)= 2

bằng
s
+4s+10
mạch điện Op-amp

Bước 1: Vẽ sơ đồ khối dạng trực tiếp (chính tắc)

Lưu ý: mạch cộng dùng Op-amp thực hiện như sau:

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

17


6.3.2. Thực hiện hệ thống bằng mạch ñiện Op-amp

Bước 2: Thay đổi sơ đồ khối để có thể dùng mạch Op-amp

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

6.3.2. Thực hiện hệ thống bằng mạch ñiện Op-amp

Bước 3: Vẽ mạch thực hiện

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

18