Lecture 09 TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG

Ch-5: Lấy mẫu (Sampling)

Lecture-9
5.1. Giới thiệu
5.2. Lý thuyết lấy mẫu
5.3. Biến đổi Fourier rời rạc (DFT)
5.4. Biến đổi Fourier nhanh (FFT)

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

5.1. Giới thiệu

f(kTs)
to DSP

f(t)

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

1


5.1. Giới thiệu

y(kTs)
from
DSP

i0

y(t)

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

5.1. Giới thiệu

Sample/hold
Sample

∞

p(t) =

∑ δ(t − kT )

Hold

s

k =−∞

f(kTs)

f(kTs)

Chu kỳ lấy mẫu Ts hay tần số lấy mẫu ωs=2π/Ts , Fs=1/Ts phải thỏa
ĐK nào?
Signals & Systems – FEEE, HCMUT

2

5.2. Lý thuyết lấy mẫu

Xét tín hiệu cần lấy mẫu f(t) với băng tần hữu hạn là B Hz


Tín hiệu f(t) được lấy mẫu bằng cách nhân với chuỗi xung đơn vị
∞

∞

f (t)=f(t) ∑ δ(t − nTs )

f (t)=f(t)p(t)

f (t) =

n =−∞

∑ f(nT )δ(t − nT )
s

s

n =−∞

∞

p(t) =

∑ δ(t − kT )
s

k =−∞

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

5.2. Lý thuyết lấy mẫu

Phổ của tín hiệu đã được lấy mẫu

f(t) ↔ F(ω)

p(t) ↔ P(ω) =
−

−

f (t) ↔ F(ω)=

2π ∞
∑ δ(ω − nωs ); Fs =1/Ts , ωs =2πFs
Ts n =−∞
1
1
[F(ω) ∗ P(ω)] =
2π
Ts

∞

∑ F(ω − nω )
s

n =−∞

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

3


5.2. Lý thuyết lấy mẫu

Khơi phục tín hiệu - Định lý lấy mẫu: ĐL Nyquist, ĐL Shannon

Low-pass Filter

ωs ≥ 4πB

Fs ≥ 2B; Fs =2B Nyquist rate

Tín hiệu có phổ giới hạn là B Hz có thể khơi phục chính
xác từ các mẫu của nó có được khi lấy mẫu đều đặn với
tốc độ Fs≥2B mẫu/s. Nói cách khác tần số lấy mẫu nhỏ
nhất là Fs=2B Hz
Signals & Systems – FEEE, HCMUT

5.2. Lý thuyết lấy mẫu

Lấy mẫu với bộ giữ mẫu bậc không:
∞

p(t) =

∑ δ(t − kT )

s

k =−∞

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

4


5.2. Lý thuyết lấy mẫu

Phổ của tín hiệu đã được lấy và giữ mẫu:

| F(ω) |

Low-pass Filter


Khôi phục tín hiệu từ tín hiệu đã được lấy và giữ mẫu:

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

5.2. Lý thuyết lấy mẫu

Lưu ý khi lấy mẫu thực tế:
 Tín hiệu có băng tần hữu hạn: cần lấy mẫu với tốc độ lớn hơn

tốc độ Nyquist
Ideal Filter

Practical Filter

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

5


5.2. Lý thuyết lấy mẫu
 Tín hiệu thực tế thường có băng tần vơ hạn: giới hạn băng tần

bằng bộ lọc chống chồng lấn phổ

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

5.2. Lý thuyết lấy mẫu
 Tín hiệu thực tế thường có băng tần vô hạn: giới hạn băng tần

bằng bộ lọc chống chồng lấn phổ

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

6


5.3. Biến đổi Fourier rời rạc DFT

Mục đích: thiết lập mối quan hệ giữa các mẫu trong miền thời gian

với các mẫu trong miền tần số
f(t)=

1 ∞
F(ω)e jωt dω
∫

−∞
2π

∞

F(ω)=∫ f(t)e−jωtdt
−∞

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

5.3. Biến đổi Fourier rời rạc DFT

Xét tín hiệu f(t) được lấy mẫu với chu kỳ Ts


Xét tín hiệu tuần hồn fT0(t) do lập lại T0f(t) với chu kỳ T0:

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

7


5.3. Biến đổi Fourier rời rạc DFT

Lấy mẫu phổ tín hiệu đã được lấy mẫu với chu kỳ ω0

N0 mẫu
N0 mẫu

N0 =T0 /Ts = ωs /ω0
Signals & Systems – FEEE, HCMUT

5.3. Biến đổi Fourier rời rạc DFT

Biến đổi DFT thuận:
 Do f(t) chỉ tồn tại từ 0 đến T0 (tương ứng với N0 mẫu):
_

N 0 −1

f (t)= ∑ f(kTs )δ(t − kTs )

_

N 0 −1

F(ω)= ∑ f(kTs )e − jωkTs

k=0

k=0

 Mặt khác trong đoạn -ωs/2 đến ωs/2 (tương ứng với N0 mẫu):
_

F(ω) =

F(ω)
Ts

_

N 0 −1

F(rω0 )=Ts F(rω0 )=Ts ∑ f(kTs )e − jrω0kTs
k=0

 Đặt Ω0=ω0Ts=2π/N0; Fr=F(rω0): mẫu thứ r của F(ω); fk=Tsf(kTs):

mẫu thứ k của f(t); ta có:
Fr =

N 0 −1

∑ f k e− jrΩ k
0

(Biến đổi DFT thuận)

k=0
Signals & Systems – FEEE, HCMUT

8


5.3. Biến đổi Fourier rời rạc DFT

Biến đổi DFT ngược: nhân DFT thuận với e jmΩ0r sau đó lấy tổng:
N 0 −1

∑

Fr e jmΩ0 r =

N 0 −1  N 0 −1

r=0

∑

r=0

N 0 −1

∑ Fr e

jmΩ0 r

r=0

 ∑ fke
 k=0

− jrΩ 0 k

 jmΩ r
0
e


N 0 −1

 N 0 −1 j(m−k)Ω r 
0
= ∑ fk  ∑ e


 r=0

k=0

N 0 −1

0; k ≠ m
 0f k = N 0f m ;k = m

∑ Fr e jmΩ r =  N
0

r=0

fk =

1
N0

N 0 −1

∑ Fr e jrΩ k

(Biến đổi DFT ngược)

0

r=0
Signals & Systems – FEEE, HCMUT

5.4. Biến đổi Fourier nhanh FFT
Đưa ra bởi Turkey and Cooley năm 1965, N0 phải là lũy thừa của 2
Giảm khối lượng tính tốn: N 02 → N 0 log N 0

fk =

1
N0

N 0 −1

∑

Fr e jrΩ0 k Fr =

r =0

N 0 −1

∑

Nhân: N0
Cộng: N0-1

f k e − jrΩ0k

k =0

Tổng cộng cho các hệ số: N0N0 phép nhân và N0(N0-1) phép cộng

− j 2π / N 0 )

Đặt: WN 0 = e (
= e − jΩ0


Các biểu thức DFT được viết lại:
N 0 −1

Fr =

∑

k =0

f kWNkr0

1
fk =
N0

N 0 −1

∑ FrWN−kr

r =0

0

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

9

5.4. Biến đổi Fourier nhanh FFT

Chia fk thành 2 chuỗi: chẵn và lẻ theo số thứ tự:
f 0 , f 4 , f 6 ,..., f N 0 −2 f1 , f 3 , f5 ,..., f N 0 −1







sequence g k

sequence h k

Biểu thức DFT được viết lại:
N0
2

Fr =

−1

∑

k =0

f 2 kWN20kr

N0
2

−1

∑

+

k =0

f 2 k +1WN(2 k +1) r
0

Ta có: W N0 = WN2
0
2
N0
2

−1

∑

⇒ Fr =

kr

f 2 kW N 0
2

k =0

+ WNr 0

N0
2

−1

∑

k =0

f 2 k +1W Nkr0 = G + W r H
2
r
N0 r

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

5.4. Biến đổi Fourier nhanh FFT
⇒ Fr =

N0
2

−1

∑

k =0

kr

f 2 kW N 0
2

+ WNr 0

N0
2

−1

∑

k =0

f 2 k +1W Nkr0 ⇒ Fr = Gr + WNr 0 H r
2

(0 ≤ r ≤ N 0 − 1)

Do Gr và Hr là DFT N0/2 điểm nên nó có tính tuần hoàn:
Gr + N0 = Gr & H r + N0 = H r
2

Mặt khác:

N0
WNr + 2
0

2

N0
2

= WN WNr 0
0

=e

− jπ

WNr 0 = −WNr 0

N0

⇒ Fr + N0 = Gr + N0 + WNr + 2 H r + N0 ⇒ Fr + N0 = Gr − WNr H r
2
2
2
0
0
2
Fr = Gr + WNr 0 H r ; 0 ≤ r ≤
Fr + N0
2

= Gr − WNr 0 H r ;

N0
2

0≤r≤

−1
N0
2

⇔
−1


Áp dụng tính DFT N0=8 điểm:
Signals & Systems – FEEE, HCMUT

10


5.4. Biến đổi Fourier nhanh FFT

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

5.4. Biến đổi Fourier nhanh FFT

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

11


5.4. Biến đổi Fourier nhanh FFT

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

5.4. Biến đổi Fourier nhanh FFT

Fr = Gr + WNr 0 H r ; 0 ≤ r ≤
Fr + N0
2

= Gr − WNr 0 H r ;

N0
2

0≤r≤

−1
N0
2

⇔
−1


Số phép toán nhân và cộng dùng để tính DFT dùng giải thuật FFT:
 Số phép toán nhân: N 0 log 2 N 0
2
 Số phép toán cộng: N 0 log 2 N 0

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

12