Part 6 TÍNH TOÁN ỨNG DỤNG TRONG KTDK
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.48 MB, 50 trang )
BÀI TẬP
Giải các hệ phương trình tuyến tính sau:
x – 2y = -1
3x + 4 y = 17
2x+3y-2z = 15
3x -2y + 2z = 2
4x – y + 3z = 2
x – y – z – t = -1
X – y + z + 4t = -6
3x + y – z + 2t = -4
5x + y – 3z + t = -9
©Copyright 2007
MICROSOFT EXCEL
67
BÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ
TIN HỌC ỨNG DỤNG
TRONG KỸ THUẬT ĐỊA CHẤT & DẦU KHÍ
HỒI QUI THỰC NGHIỆM
VÀ PHẦN MỀM RIGMATH
Tác giả : ThS. Đỗ Quang Khánh
ThS. Bùi Tử An
Bộ môn : Khoan & Khai thác dầu khí
©Copyright 2007
KHÁI NIỆM VỀ PHÉP PHÂN TÍCH HỒI QUY
Mơ tả mối quan hệ của các yếu tố trong một quá
trình kỹ thuật:
Cân nhắc lựa chọn mơ hình tốn học thích hợp
Q trình tính tốn – lượng thơng tin dữ liệu
thực nghiệm cần thiết
Thực tế như đo đạc, quan sát và lấy mẫu, etc
diễn ra rất phức tạp & phụ thuộc vào nhiều yếu
tố
©Copyright 2007
HỒI QUI THỰC NGHIỆM VÀ PHẦN MỀM RIGMATH
2
KHÁI NIỆM VỀ PHÉP PHÂN TÍCH HỒI QUY
Khi xây dựng mơ hình tốn học:
Mục tiêu nghiên cứu phải xác định rõ ràng
Được lượng giá một cách định lượng qua các
phép đo thực nghiệm bởi hàm mục tiêu
Hàm mục tiêu – thơng số tối ưu hóa– biến phụ
thuộc được đo trong thực nghiệm:
Dạng tổng quát: y = f (x1, x2, x3,…, xi)
xi (i=1:k): các yếu tố độc lập – biến độc lập
thay đổi trong thực nghiệm
©Copyright 2007
HỒI QUI THỰC NGHIỆM VÀ PHẦN MỀM RIGMATH
3
KHÁI NIỆM VỀ PHÉP PHÂN TÍCH HỒI QUY
Thực tế, việc thiết lập cụ thể mối tương quan
Không cần biết đầy đủ cơ chế của quá trình
Phải xác định các hệ số tương ứng với các biến qua các
dữ liệu thực nghiệm
Phương trình hồi quy của thơng số tối ưu hóa là giá trị ước
lương /tính tốn của mơ hình nhận được trên cơ sở dữ liệu
thực nghiệm
Dạng tổng quát: ў = f (xk, a0, a1, a2 , …)
a0, a1, a2 , …: các hệ số hồi quy tương ứng với các biến
trong mơ hình tốn học
Mặt đáp ứng của q trình & Khơng gian các yếu tố
Độ dư/ sai số của thực nghiệm
©Copyright 2007
HỒI QUI THỰC NGHIỆM VÀ PHẦN MỀM RIGMATH
4
KHÁI NIỆM VỀ PHÉP PHÂN TÍCH HỒI QUY
Phép phân tích hồi quy: trên cơ sở một tập các dữ
liệu thực nghiệm
Tính tốn các hệ số hồi quy
Nghiên cứu mơ hình tốn học của q trình kỹ
thuật cũng như biểu diễn đường cong phù
hợp nhất
©Copyright 2007
HỒI QUI THỰC NGHIỆM VÀ PHẦN MỀM RIGMATH
5
PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU
Cơ sở:
Tổng bình phương các sai số giữa giá trị
thực nghiệm và giá trị tính tốn của thơng số
tối ưu là min.
Đường cong biểu diễn là phù hợp nhất với dữ
liệu thực nghiệm mà không nhất thiết phải đi
qua tất cả các giá trị thực nghiệm.
©Copyright 2007
HỒI QUI THỰC NGHIỆM VÀ PHẦN MỀM RIGMATH
6
PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU
Bài tốn xác định hệ số hồi quy đối với một dạng phương
trình hồi quy trên cơ sở một tập dữ liệu thực nghiệm cho
trước:
Bài toán cực tiểu:
N
φ = ∑[ y j − yˆ j ]
j =1
N
= ∑[ y j − f ( xi , a0 , a1, a2...) j ]2 → min
j =1
9
yj (j=1:N): giá trị thực nghiệm
9
ўj = f(xi, a0, a1, a2,…)j: giá trị tính tốn
9
N: tổng số lần thực nghiệm
9
xi (i=1:k): biến số độc lập trong thực nghiệm.
©Copyright 2007
HỒI QUI THỰC NGHIỆM VÀ PHẦN MỀM RIGMATH
7
PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU (tt)
Phương pháp giải:
Điều kiện: ў = f(xi, a0, a1, a2,…) là hàm khả vi
Điều kiện cần để hàm Φ cực tiểu: đạo hàm riêng phần
của hàm Φ theo các hệ số hồi quy ai bằng 0
N
N
j =1
j =1
φ = ∑ [ y j − yˆ j ] = ∑ [ y j − f ( xi , a0 , a1 , a2 ...) j ]2 → min
Sắp xếp và biến đổi ta được hệ phương trình chuẩn có
số phương trình bằng số các hệ số hồi quy (a0, a1,
a2,…) trong mơ hình.
Biểu diễn dưới dạng ma trận
Giải hệ phương trình xác định hệ số hồi quy (a0, a1,
a2,…)
©Copyright 2007
HỒI QUI THỰC NGHIỆM VÀ PHẦN MỀM RIGMATH
8
PHÂN TÍCH HỒI QUY TUYẾN TÍNH BỘI
Dạng phương trình hồi quy tuyến tính bội
ў = a0 + a1x1 + a2x2 + … + amxm
Các bước tiến hành:
Thiết lập hàm Φ
N
N
φ = ∑ [y j − yˆ j ] = ∑ [y j − (a 0 + a1x1 + a 2 x 2 + " + amxm )j ]2
j =1
2
j =1
Áp dụng phương pháp bình phương cực tiểu
−
Thiết lập HPT đại số tuyến tính đối với (m+1) ẩn số a0,
a1, a2, …, am
−
Biểu diễn dưới dạng ma trận: AX = B
−
Vector ần số X = [a0, a1, a2, …, am]T
©Copyright 2007
HỒI QUI THỰC NGHIỆM VÀ PHẦN MỀM RIGMATH
9
PHÂN TÍCH HỒI QUY TUYẾN TÍNH BỘI (tt)
Suy ra:
Vector vế phải;
⎡∑
⎢ j
⎢
⎢∑
⎢ j
B = ⎢∑
⎢ j
⎢
⎢ #
⎢∑
⎢ j
⎣
j
y j x1 j
y jx2j
y j x mj
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
Ma trận A là ma trận vuông cấp (m+1)
⎡N
⎢
⎢ ∑ x1 j
A = ⎢∑ x 2 j
⎢
⎢#
⎢
⎣ ∑ x mj
©Copyright 2007
y
∑x
∑x
∑x
∑x
1j
x2 j
∑x
∑x
∑x
1j
x mj
∑x
1j
2
1j
x1 j
"
"
∑x
∑x
∑x
x mj
"
∑
2 j
2 j
2
2j
2j
⎤
⎥
mj x 1 j ⎥
⎥
mj x 2 j
⎥
⎥
2
⎥
x mj
⎦
mj
Giải theo các phương pháp (ma trận nghịch đảo, khử Gauss, …)
tìm X
Thay (a0, a1, a2, …, am) vào mơ hình và biểu diễn đường cong hồi
quy phù hợp nhất với một tập điểm thực nghiệm lấy mẫu
{(yj,x1j,x2j,…,xmj), j=1:N}
HỒI QUI THỰC NGHIỆM VÀ PHẦN MỀM RIGMATH
10
PHÂN TÍCH HỒI QUY TUYẾN TÍNH BỘI (tt)
Trường hợp đặc biệt: ў = a0 + a1x
Khi đó hàm tổng bình phương các sai số φ đối
với tập N điểm thực nghiệm lấy mẫu
{yj,xj,j=1:N} cho trước sẽ là:
N
N
φ = ∑ [y j − yˆ j ] = ∑ [y j − (a 0 + a1x j ]2
j =1
2
j =1
Cực tiểu hóa các hàm φ nói trên:
N
∂φ
= −∑ 2[y j − (a 0 + a1x j )] = 0
∂a 0
j=1
N
∂φ
= −∑ 2[y j − (a 0 + a1x j )]x j = 0
∂a1
j=1
©Copyright 2007
HỒI QUI THỰC NGHIỆM VÀ PHẦN MỀM RIGMATH
11
PHÂN TÍCH HỒI QUY TUYẾN TÍNH BỘI (tt)
Bài tốn thực tế: Quan sát 2 đại lượng vật lý X và Y trong một thí
nghiệm:
©Copyright 2007
I
X
Y
XY
X2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
2
19
6
23
10
23
9
30
18
25
19
2
27
28
8
29
29
16
33
3
34
32
13
33
35
66
77
37
106
55
89
52
128
63
104
76
44
97
109
40
124
98
63
131
41
111
151
76
114
143
132
1463
222
2438
550
2047
468
3840
1134
2600
1444
88
2619
3052
320
3596
2842
1008
4323
123
3774
4832
988
3762
5005
14
361
36
529
100
529
81
900
324
625
361
4
729
784
64
841
841
256
1089
9
1156
1024
169
1089
1225
= ΣX = 506
= ΣY = 2.195
= ΣXY = 52670
= ΣX2 =13.130
HỒI QUI THỰC NGHIỆM VÀ PHẦN MỀM RIGMATH
12
PHÂN TÍCH HỒI QUY TUYẾN TÍNH BỘI (tt)
a1 =
25(52670 ) − (506)(2195)
= 2,854
2
25(13130 ) − (506)
a 0 = 87,80 − 2,854(20,24) = 30,04
⇒ yˆ = 30,04 + 2,854x
Y
150
Y = 30.04 + 2.854X
100
50
0
©Copyright 2007
0
5
10
15
HỒI QUI THỰC NGHIỆM VÀ PHẦN MỀM RIGMATH
20
25
30
35 X
13
PHÂN TÍCH HỒI QUY TUYẾN TÍNH BỘI (tt)
Trong tính toán địa chất thủy văn người ta thường xác định bán
kính ảnh hưởng R theo các cơng thức kinh nghiệm hoặc theo tài
liệu hút nước thí nghiệm. Khi phân tích các công thức xác định lưu
lượng của lỗ khoan chúng ta thấy rằng quan hệ giữa lưu lượng Q
và mực nước hạ thấp S là quan hệ tuyến tính đối với lỗ khoan
trong tầng chứa nước áp lực:
Quan hệ đường thẳng: Q = qS
Quan hệ logarit Q = a + blgS
Ứng dụng định luật thấm Darcy trong môi trường đất đá, quan hệ
giữa vận tốc thấm V và độ dốc thuỷ lực J là quan hệ tuyến tính
giữa V và J
Khi dịng thấm ở trạng thái chảy tầng: V = KJ
©Copyright 2007
Đối với tầng thấm nước yếu, quan hệ giữa V và J có dạng: V =
K(J +a)
HỒI QUI THỰC NGHIỆM VÀ PHẦN MỀM RIGMATH
14
PHÂN TÍCH HỒI QUY TUYẾN TÍNH BỘI (tt)
Quan hệ ứng xử cơ học của dung dịch khoan giữa ứng
suất trượt và tốc độ trượt theo các mơ hình Bingham:
Các thí dụ minh họa:
Thí dụ 1: Theo 18 mẫu thử hình rãnh lấy ở cùng một
vỉa trên các khu vực khác nhau, người ta ghi lại dung
trọng của than đá và độ tro của chúng như sau:
xi 9
20
20
17
24
24
24
25
25
26
30
33
36
yi 1,4 1,4 1,4 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5 1,6 1,6 1,7 1,7 1,8
9Biết rằng dung trọng và độ tro có quan hệ bậc nhất.
Giải: Tiến hành các bước trên ta xây dựng được
phương trình hồi qui thực nghiệm (Sinh viên tiến hành
các bước tính tốn như một bài tập)
©Copyright 2007
HỒI QUI THỰC NGHIỆM VÀ PHẦN MỀM RIGMATH
15
PHÂN TÍCH HỒI QUY TUYẾN TÍNH BỘI (tt)
Đáp án Thí dụ 1
2
y = 1.1863+ 0.0153x
Độ tro
1.5
1
0.5
0
0
©Copyright 2007
10
20
30
Dung trọ ng
40
Qua số liệu ta thấy độ tro X tăng lên khi giá trị trọng lượng lượng
riêng than đá tăng. Tuy nhiên mối liên hệ đó khơng phải lúc nào
cũng được bảo tồn. Trong một trường hợp Y tăng nhưng X
khơng đổi có trường hợp X tăng nhưng Y không đổi. Điều này
được giải thích bởi trọng lượng riêng của than khơng những phụ
thuộc vào độ tro, mà còn phụ thuộc vào độ ẩm cũng như phụ
thuộc vào mức độ biến chất của nó.
HỒI QUI THỰC NGHIỆM VÀ PHẦN MỀM RIGMATH
16
PHÂN TÍCH HỒI QUY TUYẾN TÍNH BỘI (tt)
Thí dụ 1: Kết quả thí nghiệm về tính thấm của một loại đất dính, ta
được quan hệ giữa độ dốc thủy lực J và vận tốc thấm V (cm/d)
như sau:
J
7
9 12 15
18
V (cm/d) 0,5
2
6,5 9,5
14
Biết V và J có quan hệ tuyến tính, xác định mối quan hệ này.
Giải: Tiến hành các bước trên ta xây dựng được phương trình
hồi qui thực nghiệm (Sinh viên tiến hành các bước tính tốn
như một bài tập) V (cm/d)
16
12
V = 1.2373J - 8.5952
8
4
0
©Copyright 2007
0
HỒI QUI THỰC NGHIỆM VÀ PHẦN MỀM RIGMATH
5
10
15
20
J
17
PHÂN TÍCH HỒI QUY ĐA THỨC
Dạng phương trình hồi quy hàm đa thức bậc m
ў = a0 + a1x + a2x2 + … + apxp
Trong đó: ao, a1, a2, …, ap là các hệ số hồi quy.
Các bước tiến hành:
Đặt x1 = x, x2 = x2, … , xp = xp
Đưa về dạng phương trình hồi quy tuyến tính bội
Các bước tiếp theo như mục trước…
Biểu diễn phương trình hồi quy và đường hồi quy thực
nghiệm
Trường hợp đặc biệt: p =2 -> PTHQ parabol: ў = a0 + a1x
+ a2x2
©Copyright 2007
HỒI QUI THỰC NGHIỆM VÀ PHẦN MỀM RIGMATH
18
PHÂN TÍCH HỒI QUY ĐA THỨC (tt)
Bài tốn thực tế: Thử nghiệm ứng suất kéo một hợp kim
có được bảng dữ liệu sau:
Test
Stress(ksi) Strain (in./in.)
Stress(ksi) Strain (in./in.)
Test
Y
X
Y
X
1
2
3
4
5
91
97
108
111
114
0.001
0.002
0.003
0.005
0.006
6
7
8
9
10
110
112
105
98
91
0.006
0.009
0.011
0.016
0.017
Biết rằng hai đại lượng Stress và Strain có quan hệ
parabol. Tìm quan hệ này.
Giải: Lập bảng tính tốn chuyển về dạng hồi qui tuyến
tính.
©Copyright 2007
HỒI QUI THỰC NGHIỆM VÀ PHẦN MỀM RIGMATH
19
PHÂN TÍCH HỒI QUY ĐA THỨC (tt)
Y
X1(X)
X1Y
X2(X2)
X2Y
X1X2
X22
91
97
108
111
114
110
112
105
98
91
1037
=ΣY
0.001
0.002
0.003
0.005
0.006
0.006
0.009
0.011
0.016
0.017
0.076
=ΣX1
0.091
0.194
0.324
0.555
0.684
0.660
1.008
1.155
1.568
1.547
77.786
=ΣX1Y
1×10-6
4×10-6
9×10-6
25×10-6
36×10-6
36×10-6
81×10-6
121×10-6
256×10-6
289×10-6
858×10-6
=ΣX2
0.000091
0.000388
0.000972
0.02775
0.004104
0.003960
0.009072
0.012705
0.025088
0.026299
0.085454
=ΣX2Y
1×10-9
8×10-9
27×10-9
125×10-9
216×10-9
216×10-9
729×10-9
1331×10-9
4096×10-9
4913×10-9
11662×10-19
=ΣX1X2
1×10-12
16×10-12
81×10-12
625×10-12
1296×10-12
1296×10-12
6561×10-12
14641×10-12
65536×10-12
83521×10-12
173574×10-12
=ΣX22
1037 = 10a0 + 0.076a1 + 858×10-6a2
7.786 = 0.076a0 + 858×10-6a1 + 11662×10-9a2
0.085454 = 858×10-6a0 + 11662×10-9a1 + 173574×10-12a2
⇒ a0 = 89.6; a1 = 5378; b2 = -311829
⇒ Yˆ = 89.6 + 5378X1 - 311829X2 = 89.6 + 5378X - 311829X
©Copyright 2007
HỒI QUI THỰC NGHIỆM VÀ PHẦN MỀM RIGMATH
20
PHÂN TÍCH HỒI QUY ĐA THỨC (tt)
Ta có đường hồi quy thực nghiệm.
120
2
y = -311829x + 5378x + 89.583
Stress (ksi)
110
100
90
80
0
0.005
0.01
Strain (in./in.)
0.015
0.02
©Copyright 2007
HỒI QUI THỰC NGHIỆM VÀ PHẦN MỀM RIGMATH
21
PHÂN TÍCH HỒI QUY ĐA THỨC (tt)
Trong tính tốn địa chất thủy văn người ta thường
xác định bán kính ảnh hưởng R theo các công
thức kinh nghiệm hoặc theo tài liệu hút nước thí
nghiệm. Khi phân tích các cơng thức xác định lưu
lượng của lỗ khoan chúng ta thấy rằng quan hệ
giữa lưu lượng Q và mực nước hạ thấp S là quan
hệ bậc hai parabol đối với lỗ khoan trong tầng
chứa nước không áp: S = aQ + bQ2
Ứng dụng định luật thấm Darcy trong môi trường
đất đá, quan hệ giữa vận tốc thấm V và độ dốc
thuỷ lực J đối với đất đá thấm nước mạnh: J = aV
+ bV2.
©Copyright 2007
HỒI QUI THỰC NGHIỆM VÀ PHẦN MỀM RIGMATH
22
PHÂN TÍCH HỒI QUY LŨY THỪA
Dạng phương trình hồi quy hàm lũy thừa
ў = a0x1a1 x2a2 … xmam
Các bước tiến hành:
Tuyến tính hóa: ln ў = ln a0 + a1(ln x1) + a2(ln x2) + … + am(ln xm)
Đặt ž = ln ў, b0 = ln a0, t1 = ln x1, t2 = ln x2, … , tm = ln xm
Đưa về dạng phương trình hồi quy tuyến tính bội
ž = b0 + a1t1 + a2t2 + … + amtm
Các bước tiếp theo như mục trước…->(b0, a1, a2,…, am)
Tìm lại các hệ số hồi quy ban đầu: (b0, a1, a2,…, am) ->(a0, a1, a2,…,
am)
Biểu diễn phương trình hồi quy và đường hồi quy thực nghiệm
©Copyright 2007
Trường hợp đặc biệt: m =1 -> PTHQ lũy thừa một biến: ў =
a0x1a1
HỒI QUI THỰC NGHIỆM VÀ PHẦN MỀM RIGMATH
23
PHÂN TÍCH HỒI QUY LŨY THỪA (tt)
Bài tốn thực tế:
Quan hệ ứng xử cơ học của dung dịch khoan giữa ứng
suất trượt và tốc độ trượt theo mô hình hàm lũy thừa có
dạng: Để xác định mối quan hệ này, thực tế tiến hành
đo ứng suất trượt trên nhớt kế Fann theo các tốc độ
quay khác nhau (thông thường 3, 6, 100, 200, 300 và
600 vịng/phút).
©Copyright 2007
HỒI QUI THỰC NGHIỆM VÀ PHẦN MỀM RIGMATH
24
