Problem part 2 2 TOÁN KỸ THUẬT

Đề bài
I. Phương trình vi phân
Lưu ý: trong phần này, để cho gọn, chúng ta quy ước: x = x(t), y = y(t), x’ = dx/dt, y’ = dy/dt ....
1. Giải các phương trình vi phân sau, với các điều kiện đầu đã cho:
a. y’ + 3y = e-2t, y(0) = 2
b. 3y’ – 4y = sin2t, y(0) = 1/3
c. y’’ + 2y’ + 5y = 1, y(0) = y’(0) = 0
d. y’’ + 2y’ + y = 4cos2t, y(0) = 0, y’(0) = 2
-4t
e. y’’ - 3y’ + 2y = 2e , y(0) = 0, y’(0) = 1
f. y’’ + 4y’ + 5y = 3e-2t, y(0) = 4, y’(0) = -7
g. y’’ + y’ - 2y = 5e-tsint, y(0) = 1, y’(0) = 0
h. y’’ + 2y’ + 3y = 3t, y(0) = 0, y’(0) = 1
i. y’’ + 4y’ + 4y = t2 + e-2t, y(0) = 1/2, y’(0) = 0
j. 9y’’ + 12y’ + 5y = 1, y(0) = 0, y’(0) = 0
k. y’’ + 8y’ + 16y = 16sin4t, y(0) = -1/2, y’(0) = 1 l. 9y’’ +12y’ + 4y = e-t, y(0) = 1, y’(0) = 1
m. y’’’ - 2y’’ - y’ + 2y = 2 + t, y(0) = 0, y’(0) = 1, y’’(0) = 0
n. y’’’ + y’’ + y’ + y = cos3t, y(0) = 0, y’(0) = 1, y’’(0) = 1
2. Tìm lời giải y(t), t  0 của các phương trình vi phân sau:

3
a. y’’ + 5y’ + 6y = f(t), y(0) = 0, y’(0) = 2, f (t )  
0
t
b. y’’ + 2y’ + 5y = f(t), y(0) = 0, y’(0) = 3, f (t )  
0

t  [0,6)
t  [0,6)
t  [0,  )
t 

3. Giải các hệ phương trình sau khi t  0 với các điều kiện đầu cho trước:

 2 x ' 2 y ' 9 y  e 2 t

a. 2 x ' 4 y ' 4 x  37 y  0
1
x(0)  0, y(0) 
4
 x ' y ' 2 x  y  e 3t

c.  y ' 5 x  3 y  5e 2 t
x(0)  1, y(0)  4

 x ' 2 y ' x  y  5 sin t

b.  2 x ' 3 y ' x  y  e t
x(0)  0, y(0)  0

 3 x ' 3 y ' 2 x  e t

d.  x ' 2 y ' y  1
x(0)  1, y(0)  1

3x ' y ' 2 x  3sin t  5cos t

e.  2 x ' y ' y  sin t  cos t
x(0)  0, y(0)  1

 x ' y ' y  t


f.  x ' 4 y ' x  1
x(0)  1, y(0)  0

2 x ' 3 y ' 7 x  14t  7

g.  5x ' 3 y ' 4 x  6 y  14t  14
x(0)  0, y(0)  0

 x ''  y  2 x

h.  y ''  x  2 y
x(0)  4, y(0)  2, x '(0)  y '(0)  0

 5 x '' 12 y '' 6 x  0

5 x '' 16 y '' 6 y  0
j. 
7
x(0)  , y(0)  1, x '(0)  y '(0)  0
4

2 x '' y '' x ' y '  3 y  9 x

j.  2 x '' y '' x  y  5 y  7 x
x(0)  1, y(0)  0, x '(0)  1, y '(0)  0


II.

Mạch điện

4. Tìm dịng điện i1(t) and i2(t) trong mạch sau:
R1 = 20W

L1 = 0.5H

L2 = 1H i2

t=0
R2 = 8W

e(t) = 200V +-

R3 = 10W
i1

5. Xác định i2(t) trong mạch sau:

50mF

i1

i2

2H

100W

t=0

e(t) = Esin(100t)

~

Đáp án
I. Phương trình vi phân
1. y(t) =
a. e

2 t

e

3t

35 43 t 3 
2

b.
e   cos 2t  sin 2t 
78
26 
3


c.

1
1


1  e t cos 2t  e t sin 2t 

5
2


d.

e.

1 4t 7 t 4 2t
e  e  e
15
5
3

f. 3e 2t  e 2t  cos t  sin t 

12 t 6 t 12
16
e  te  cos 2t  sin 2t
25
5
25
25

1
13
1
3

g.  e 2t  et  e t cos 2t  e t sin 2t
3
12
4
4


2
2 
1
sin 2t 
h.   t  e  t  cos 2t 
3
3 
2


3 1
1
1
3
1
i.  t  t 2  e 2t  te 2t  t 2 e 2t
8 2
4
8
4
2

1 1  23 t 

1
1 
j.  e  cos t  2 sin t 
5 5
3
3 


1
k. te 4t  cos 4t
2
5 1
5
2
m.  t  e t  e 2t  e t
4 2
12
3

l. e t  2te

2. y(t) =

n.

2
 t
3

9 t 7

25
1
3
e  cos t  sin t  cos 3t  sin 3t
20
16
16
80
80


 1 1 2 t 3t
 e e
t  [0,6)


a.  2 2
 1 e 2 t  e 3t  3 e 2( t 6)  e 3( t 6) t  6

2
2
1
t
t  [0,  )
 25  5t  2  2e  cos 2t  18 sin 2t  

b. 


 1 e t   2  (5  2)e  cos 2t   36  1 (5  3)e  sin 2t  t  





 25 
2



3. Hệ phương trình vi phân


1  15 3t 11 t 2 t 
 x   e  e  e 
4 4
4

a. 
 y  1 3e 3 t  e t

8

 x  5 sin t  5 cos t  3  e t  e 2 t
b. 
2t
t
 y  3  e  2e  5 sin t

 x  3sin t  2 cos t  e


c. 
1 3t 9
7
 y   e  cos t  sin t

2
2
2


3 3t 1 t
 x  e  e
2
2
d. 
t
 y  1  1 e t  3 e 3

2
2

 x  2e  2 cos t  sin t
e. 
t
 y  2e  2 sin t  cos t

t


t

3
x


3

e

3
e

f. 
t

 y  t  1  1 et  3 e 3

2
2

 x  e t  e 2t  2t

g. 
7
1 2 t
t
 y  t   3e  e

2
2


x  3cos t  cos 3t
h. 

 y  3cos t  cos 3t


3
3
t  cos 6t
 x  cos

10 4
i. 
 y  5 cos 3 t  1 cos 6t

4
10 4


1 t 2
1
 x  3 e  3 cos 2t  3 sin 2t
j. 
 y  2 e t  2 cos 2t  1 sin 2t

3
3
3





2 t

t

II. Mạch điện
 i (t )  4.55  7.49e 59.1t  2.98e 14.9t
4.  1
59.1t
 4.86e 14.9 t
i2 (t )  3.64  1.22e

 1 100t 1 100t
1

5. i2 (t )  E  
e
 te

cos100t 
2
200
 200
