Sang kien kinh nghiem vat li (1)

Một số vấn đề về phơng pháp giải bài toán cân
bằng.

MộT Số VấN Đề

Về PHƯƠNG PHáP GIảI TOáN TĩNH HọC
I. Đặt vấn đề:

Tĩnh học nghiên cứu sự cân bằng của của vật rắn dới
tác dụng của các lực. Trạng thái cân bằng của vật đợc
hiểu là trạng thái cân chuyển động không có gia tốc tức
là trạng thái đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều.
Ta biết rằng trạng thái cân bằng của một vật có nhiều
loại. Cân bằng mà khi vật lệch khỏi vị trí cân bằng thì
hợp của tất cả các lực tác dụng lên vật làm cho nó trở về
vị trí cân bằng ban đầu là cân bằng bền. Cân bằng
mà khi vật lệch ra khỏi vị trí cân bằng thì hợp lực tất cả
các lực tác dụng lên vật không làm cho nó trở về vị trí
cân bằng ban đầu là cân bằng không bền. Cân bằng
mà khi vật lệch ra khỏi vị trí cân bằng mà vật tìm đợc
vị trí cân bằng mới là cân bằng phiếm định.
Mặc dù trạng thái cân bằng chỉ là trờng hợp riêng của
trạng thái chuyển động khi gia tốc bằng không nhng
không vì thế mà việc giải các bài toán cân bằng của
một vật rắn trở nên đơn giản. Chính vì lẽ đó trong bài
viết nhỏ này chúng tôi xin trình bày những kinh nghiệm
giải toán cân bằng của một vật rắn.

II. Giải quyết vấn đề:

Chúng ta biết rằng trạng thái đứng yên hoặc chuyển

động của một vật đều có tính tơng đối, tức là phụ
thuộc vào Hệ quy chiếu. Vì thế trạng thái cân bằng của
một vật rắn chỉ có nghĩa khi ta đặt nó vào một Hệ
quy chiếu cụ thể, hay nói cách khác công việc đầu tiên
khi giải quyết các bài toán cân bằng là phải chọn đợc
một Hệ quy chiếu thích hợp.
Những lực tác dụng lên vật rắn ở trạng thái cân bằng
là những lực nào?
1


Một số vấn đề về phơng pháp giải bài toán cân
bằng.
Trớc hết cần phải kể đến trọng lực. Trọng lực tác
dụng lên vật rắn chính là hợp lực của các trọng lực tác
dụng lên từng phần tử của nó. Chính vì thế giá của
trọng lực đi qua trọng tâm của vật rắn.
Tiếp theo cần phải kể đến các phản lực liên kết. Đó là
các lực ngăn không cho vật dịch chuyển theo một hớng
nào đó. Phản lực liên kết là các lực đàn hồi và lực ma
sát. Đặc điểm của các lực này là độ lớn của chúng và
đôi khi cả hớng của chúng không biết trớc đợc và phụ
thuộc vào hình dạng của vật, vào trạng thái bề mặt tiếp
xúc và có lúc phụ thuộc vào các ngoại lực khác tác dụng
lên vật rắn.
Việc xác định đúng hớng của các phản lực đóng
một vai trò rất quan trọng khi giải bài toán tĩnh học.
Chính vì lẽ đó, chúng ta xét một vài phản lực liên kết
xem nó có hớng và độ lớn nh thế nào.
Vật đặt trên giá đỡ không có ma sát hoặc đặt

trên một mặt nhẵn.
Khi đó phản lực có phơng vuông góc với tiếp tuyến
của bề mặt vật (hình 1) hoặc có phơng pháp tuyến với
bề mặt giá đỡ (hình 2). Phản lực này gọi là phản lực
pháp tuyến.

Hình 2.

Hình

1.

Liên kết đợc thực hiện bởi một sợi dây mảnh,
mềm, khối lợng không đáng kể.
2


Một số vấn đề về phơng pháp giải bài toán cân
bằng.
Phản lực của sợi dây còn gọi là lực căng sợi dây có phơng cùng phơng cùng phơng với sợi dây và có chiều hớng
từ đầu dây nối với vật vào dây (hình 3).
Liên kết nhờ ổ trục dạng hình trụ.
Trong trờng hợp này trục của ổ vuông góc với mặt
phẳng tác dụng của lực. Phản lực của ổ trục có thể có hớng bất kỳ nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục của
nó (hình 4).

Hình 4.

Hình 5.

Các dạng liên kết nêu trên đều là các liên kết lý tởng
tức là liên kết không có ma sát. Trong trờng hợp có lực ma
sát giữa vật và mặt tiếp xúc thì ngoài phản lực pháp
tuyến còn có một phản lực thứ hai, đó là lực ma sát. Lực
ma sát luôn có phơng tiếp tuyến với bề mặt tiếp xúc
giữa vật và mặt đỡ, có chiều ngợc chiều dịch chuyển
của vật. Nếu vật đang đứng yên thì lực ma sát nghỉ có
độ lớn bằng ngoại lực tác dụng lên vật nh thế sẽ ngăn
không cho vật dịch chuyển khỏi vị trí cân bằng ban
đầu. Giá trị cực đại của lực ma sát nghỉ có thể coi bằng
lực ma sát trợt.
Trong đó, là hệ số ma sát, N là phản lực pháp tuyến
của mặt tiếp xúc. Nh vậy tuỳ thuộc vào các lực khác tác
dụng vào vật mà lực ma sát nghỉ có thể nhận những giá
trị từ khác không đến giá trị cực đại nào đó. Khi đó
phản lực tổng hợp
sẽ có giá trị thay đổi từ N đến
giá trị Rmax nào đó (hình 5).
3


Một số vấn đề về phơng pháp giải bài toán cân
bằng.

Hình 5.
Trong tĩnh học có hai loại bài toán cơ bản sau:
1. Xác định điều kiện đối với các lực tác dụng lên vật
để vật ở trạng thái cân bằng.
2. Xác định các lực tác dụng lên vật (thờng là các
phản lực liên kết) khi đà biết vật nằm ở trạng thái cân

bằng.
Chơng trình THPT chỉ xét các lực tác dụng lên vật
cùng nằm trong một mặt phẳng, còn gọi là hệ lực đồng
phẳng.
Chuyển động bất kỳ của một vật rắn có thể xem
nh tổng hợp của hai loại chuyển động: Chuyển động
tịnh tiến và chuyển động quay (xung quanh một trục
nào đó). Nh thế một vật sẽ ở trạng thái cân bằng nếu
không có bất kỳ một nguyên nhân nào dẫn đến chuyển
động tịnh tiến và chuyển động quay.
Đối với chuyển động tịnh tiến vì tất cả các điểm
trên vật đều thực hiện chuyển động giống nhau và tại
mọi thêi ®iĨm ®Ịu cã vËn tèc nh nhau. Do vËy, khi xét
chuyển động tịnh tiến của một vật rắn chỉ cần xét
chuyển động của trọng tâm vật rắn.
Nếu hợp lực tác dụng lên vật rắn bằng không thì
trọng tâm của vật rắn sẽ bảo toàn vận tốc.
Nhng điều kiện trên vẫn cha đủ để có thể kết luận
vật rắn ở trạng thái cân bằng.
Điều kiện thứ hai để vật rắn nằm ở trạng thái cân
bằng là tổng đại số các momen lực tác dụng và vật rắn
phải bằng không.
4


Một số vấn đề về phơng pháp giải bài toán cân
bằng.
Nh vậy, điều kiện tổng quát để vật rắn ở trạng thái
cân bằng là tổng hình học các lực tác dụng và vật rắn
bằng không và tổng đại số các momen lực tác dụng và

vật rắn cũng phải bằng không, điều kiện này có thể
viết dới dạng toán học:

Việc chuyển biểu thức vector của phơng trình cân
bằng lực thành phơng trình đại số là một vấn đề không
đơn giản, đặc biệt là với những bài toán vật rắn chịu
tác dụng cđa nhiỊu lùc. Chóng ta cã thĨ thùc hiƯn bíc
trªn bằng phơng pháp hình chiếu lên các trục toạ
độ, phơng pháp tổng hợp vector, phơng pháp đại
số và có thể dùng phơng pháp hàm số để giải quyết.
Phơng pháp hình chiếu lên các trục toạ độ:
Với phơng pháp này, trớc hết ta cần chọn một hệ trục
toạ độ thích hợp (thông thờng là hệ trục toạ độ Đề các
trong mặt phẳng) sao cho phép chiếu lên các trục là
đơn giản nhất. Rõ ràng công việc này phụ thuộc vào
từng bài toán cụ thể.
Nếu chọn hệ toạ độ OXY ta sẽ đợc hai phơng trình
đại số:

Kết hợp với phơng trình cân bằng moment ta sẽ tìm
đợc ẩn số của bài toán.
Phơng pháp này tơng đối thông dụng và đợc các
thầy cô giáo cũng nh các em học sinh sữ dụng nhiều. Đây
cũng là phơng pháp chủ yếu đợc trình bày trong SGK.
Tuy nhiên, điều hạn chế ở đây là số ẩn số của bài toán
tăng lên theo số trục toạ độ đợc chọn.
Phơng pháp đại số:
5

Một số vấn đề về phơng pháp giải bài toán cân
bằng.
Trờng hợp vật rắn chịu tác dụng của 3 lực, chẳng
hạn , , . Khi đó ta có:
.
Bình phơng hai vế ta có:
. Trong đó
là góc giữa hai vector lực
và .
Nh vậy với việc bình phơng hai vế và áp dụng định
nghĩa tích vô hớng của hai vector ta đà chuyển biểu
thức vector thành biểu thức độ lớn một cách nhanh
chóng.
Phơng pháp này tỏ ra rất nhanh gọn nhng nhợc điểm
của nó là chỉ có thể dùng cho những bài toán vật rắn
chịu tác dụng của không quá 4 lực.
Phơng pháp hàm số:
Khi nghiên cứu sự cân bằng các chất điểm, thì ta
phải chọn một hệ quy chiếu nào đó, mà vật đứng yên
hay chuyển động thẳng đều thì vật ở trạng thái cân
bằng. Một chất điểm cân bằng theo phơng Ox thì hợp
lực tác dụng lên nó theo phơng đó phải bằng không.
x
x

f2(x)

O

f1(x)

Đặt f1(x) là hợp lực kéo vật theo hớng Ox, còn f2(x) là
hợp lực kéo vật theo chiều Ox.
Khi f1(x)=f2(x) thì vật ở trạng thái cân bằng.
f1(x) vµ f2(x) lµ hai hµm bËc nhÊt cđa x, lóc đó xảy ra
các trờng hợp sau:
Nếu vật lệch ra khỏi vị trí cân bằng theo chiều x,
nghĩa là x tăng, nếu f1(x) và f2(x) là hai hàm đồng biến
cả, thì ta phải xét đến hệ số góc k1 và k2:
+ Nếu k1>k2 nghĩa là f1(x) tăng nhanh hơn f2(x), thì
f1(x)>f2(x), hợp lực tác dụng lên vật kéo vật lệch về phía
x, cân bằng đó là cân bằng không bền.

6


Một số vấn đề về phơng pháp giải bài toán cân
bằng.
+ Nếu k1f1(x)cân bằng ban đầu, cân bằng đó là cân bằng bền.
Nếu f1(x) là hàm đồng biến, f 2(x) là hàm nghịch biến
thì khi vật lệch về phía x, nghĩa là x tăng, f 1(x) tăng,
f2(x) giảm, lúc đó f1(x)>f2(x), hợp lực tác dụng lên vật kéo
vật lệch tiếp khỏi vị trí cân bằng, đó là cân bằng
không bền.
Nếu f1(x) là hàm nghịch biến, f2(x) đồng biến, khi x
tăng nghĩa là vật lệch về phía x, f 1(x) tăng, f2(x) giảm,
lúc đó hợp lực tác dụng lên vật kéo vật trở lại vị trí cân
bằng ban đầu, cân bằng đó là cân bằng bền.

Trờng hợp f1(x), f2(x) là hai hàm nghịch biến cả thì ta
lại phải xét hệ sè gãc k.
+ NÕu k1f2(x) giảm nhanh hơn f1(x), lúc đó f1(x)>f2(x), hợp lực kéo
vật về phía x, cân bằng đó là cân bằng không bền.
+ Nếu k1>k2 , nghĩa là f1(x) giảm nhanh hơn f2(x), khi
vật lệch khỏi vị trí cân bằng theo chiều x thì hợp lực
kéo vật về vị trí cân bằng ban đầu, đây là cân bằng
bền. Còn nếu vật lệch khỏi vị trí cân bằng về một phía
nào đó mà f1(x)=f2(x), nghĩa là cân bằng ở mọi vị trí
thì đó là cân bằng phiếm định.
Ví dụ 1:
Thanh OA quay quanh trục thẳng đứng Oz với vận tốc
góc góc
không đổi. Một hòn bi nhỏ có khối lợng m
có thể trợt không ma sát trên OA và đợc nối với điểm O
bằng một lò xo có độ cứng k và có chiều dài tự nhiên l0 .
-Tìm vị trí cân bằng của bi và điều kiện để có
cân bằng.
-Cân bằng là bền hay không bền?
Cách 1: Dùng phơng pháp tổng hợp lực:
Chọn HQC gắn với vật m, đây là HQC phi quán tính
chuyển động tròn đều nên ngoài các lực thông thờng tác
dụng vào vật còn có lực quán tính ly tâm.
7


Một số vấn đề về phơng pháp giải bài toán cân
bằng.

Hình 6: Các lực tác dụng lên viên bi.

Phơng trình cân bằng lực có dạng:
.
Chiếu lên phơng trùng với thanh, chiều dơng hớng lên:
m 2l.sin2 = kl+mgcos -kl0
Vì bi nhỏ nên mgcos < kl0
kl0 - mgcos > 0
để có cân bằng tức là vật ở trạng thái a=0 và vị trí
của vật khác gốc tọa
độ, lúc đó l>0.
kl0 - mgcos > 0 (1)
<

. (2)

Với vận tốc góc thoả (2) thì viên bi luôn ở trạng thái
cân bằng bền vì nếu ngoại lực làm viên bi chuyển dịch
ra khỏi VTCB thì nó sẽ trở lại VTCB lúc đầu.
Cách 2: Dùng phơng pháp hàm số:
Gọi f1(l) là hợp lực kéo vật theo chiều x, còn f 2(l) là hợp
lực kéo vật theo chiều ngợc lại.
Lúc đó ta có f1(l)=m 2l.sin2
Để vật ở trạng thái cân bằng thì f1(l)=f2(l)
m 2l.sin2 = kl+mgcos -kl0
Vì bi nhỏ nên mgcos < kl0
kl0 - mgcos > 0
Để có cân bằng tức là vật ở trạng thái a=0 và vị trí
của vật khác gốc tọa độ, lúc đó l>0.
kl0 - mgcos > 0

(1)
8


Một số vấn đề về phơng pháp giải bài toán cân
bằng.
<
Bây giờ ta xét trạng thái cân bằng của vật, khi vật
lệch về phía x, lúc đó l tăng dần đều, f1(l) tăng nhanh
hơn f2(l), nghĩa là f1(l)>f2(l), hợp lực tác dụng lên vật kéo
vật trở lại vị trí cân bằng ban dầu thì cân bằng của vật
là cân bằng bền. Ngợc lại nếu lò xo nén, l giảm thì f1(l)
giảm nhanh hơn f2(l), hợp lực f1(l)trí ban đầu nên cân bằng này là cân bằng bền.
Ví dụ 2:
Một ống xx đờng kính nhỏ đợc gắn ở điểm O tạo với
đờng thẳng Oz góc xOz= (hình 7) và quay quanh Oz
với vận tốc góc , trong ống có hai hòn bi A có khối lợng
m1, B cã khèi lỵng m2 nèi víi nhau b»ng thanh CD chiều
dài l, khối lợng không đáng kể. Hai hòn bi có thể trợt
không ma sát trong ống. Xét tất cả các trờng hợp có thể
xảy ra về vị trí của A và B so với O, trong mỗi trờng hợp
tìm vị trí cân bằng đối với ống của hệ hai bi. Xác định
vị trí cân bằng.

Hình 7
Bài toán này là bài toán hay và khó, để xét và vét hết
các trờng hợp có thể xảy ra, để xác định vị trí cân
bằng và các trạng thái cân bằng ta phải sử dụng phơng
pháp trên.

+ Trờng cả A và B ®Ịu n»m trªn O.
9


Một số vấn đề về phơng pháp giải bài toán cân
bằng.
Lúc đó 1(l)= 1x + 2x
2(l)=
1x +
2x
Chiếu cả hai hàm số trên lên phơng xx ta đợc.
f1(l)= m1(x-l)sin2 + m2 2xsin2
f2(l)=(m1+m2)cos
Để hai viên bi ở trạng thái cân bằng thì: f1(l)= f2(l)
Hay
m1(x-l)sin2 +m2 2xsin2 =(m1+m2)cos
x=

(2)

Điều kiện để có cân bằng là x > l
Từ (2)

<

=

Bây giờ ta xét loại cân bằng:
Khi >
thì f1 tăng lên còn f2 không đổi, hợp lực tác

dụng lên vật kéo vật về phía x, lúc đó A, B là cân bằng
không bền.
+ Trờng hợp A trùng O, B ở trên O.
để có cân bằng x=l
và
Khi tăng f(( ) tăng, f2 không đổi, hợp lực tác dụng
lên vật kéo A, B về phía x , lúc đó cân bằng là cân
bằng bền.
+ Trờng hợp A nằm dới O, B nằm trên O, để AB cân
bằng:
(m1+m2)gcos + m1(l-x)sin2 – m2 xsin = 0 (3)
Tõ (3)  f1(x)=m2 xsin2
f2(x)=(m1+m2)gcos
Khi x tăng, f1(x) tăng, f2(x) không đổi, hợp lực tác dụng
lên AB kéo vật về phía x, lúc đó AB ở trạng thái cân
bằng bền.
+ Trờng hợp cả hai n»m díi O
10


Một số vấn đề về phơng pháp giải bài toán cân
bằng.

f1(x) và f2(x) đều kéo vật AB về phía x , lúc đó AB
không có cân bằng.
Ví dụ 3:
Một hình cầu bán kính R chứa một hòn bi ở đáy, khi
hình cầu quay quanh trục thẳng đứng với vận tốc góc
đủ lớn thì bi cùng quay với hình cầu ở vị trí xác định
bởi góc . Tìm các vị trí cân bằng tơng đối của bi và

nghiên cứu sự bền vững của chúng.

Để giải bài toán này ta lại phải dùng hàm số nhng ở
đây một hàm thay đổi và một hàm bằng không.
Đặt = + + qt (4) và f=0
Chiếu (4) lên phơng tiếp tuyến có
Rt=mgcos m rsin cos =sin (g- rcos )
để có cân bằng R=f
sin (g- rcos )=0
Hc sin =0  =0 (5) hc cos =
Tõ (5)
Nếu cos =
ứng với

(6)

đều có Rt=0. Tại A ta có cân bằng.
<1

ta có vị trí cân bằng thứ hai

đợc xác định bởi (6)

+ Tại A: - Nếu bị lÖch khái A mét gãc nhá

11


Một số vấn đề về phơng pháp giải bài toán cân
bằng.

Nếu
Rt>0 bi trở lại vị trí A, tại A ta có cân bằng
bền.
Nếu
Rt<0, hợp lực kéo bi lệch ra khỏi vị trí cân
bằng nên đây là cân bằng không bền.
+ Tại vị trí
Khi bi bị đẩy lên cao một chút
Rt>0 vì g- rcos >o , hợp lực tác dụng lên bi kéo bi
tụt xuống. Tơng tự khi bi tụt xng thÊp mét chót
 Rt<0 v× g- rcos Nh vậy bi tại vị trí

thỏa mÃn cos =

<1 là cân

bằng bền.

III. Kết luận:

Việc nắm vững các phơng pháp giải toán cân bằng
tạo nhiều điều kiện thuận lợi để các giáo viên trình bày
bài giảng của mình một cách chủ động, tích cực. Trên
cơ sở đó giúp cho học sinh, đặc biệt là các học sinh
khá, giỏi có cách nhìn tổng thể hơn các phuơng pháp
giải toán cân bằng của vật rắn.
Trên đây là một số vấn đề về phơng pháp giải toán
cân bằng và cách xác định các trạng thái cân bằng. Hy
vọng sẽ là một tài liệu nhỏ cho các giáo viên tham khảo

thêm, và là tài liệu cho các em học sinh khối 10 khi học
phần Tĩnh học vật rắn. Tuy đà có nhiều cố gắng
nhng tài liệu không thể trách khỏi những thiếu sót, mong
quý thầy cô giáo và các em học sinh đóng góp thêm.
-------**Hết**-------

12


Một số vấn đề về phơng pháp giải bài toán c©n
b»ng.

13