Chuyen de pt nghiem nguyen

Chuyên đề : Phơng trình nghiệm nguyên
Chuyên đề: Phơng trình nghiệm nguyên
Phần I:
Một số phơng pháp giải phơng trình nghiệm nguyên
A. Tóm tắt lý thuyết.
1.Số 2 là số nghuyên tố chẵn duy nhất.
2.Phơng trình đợc đa về dạng f(x).g(x) = k với f(x) và g(x) là các
đa thức hệ số nguyên. Ta phân tích k ra thừa số nguyên tố rồi
giải các hệ phơng trình.
với m.n = k.
3.Phơng trình đối xứng các ẩn của x, y, z.....Khi tìm nghiệm
nguyên dơng ta cã thĨ gi¶ sư 1  x  y z .....
4.Không tồn tại số chính phơng nằm giữa hai số chính phơng
liên tiếp.
B. các dạng toán Thờng gặp.
Dạng 1: Sư dơng phÐp chia hÕt vµ chia cã d.
Hai vế của phơng trình nghiệm nguyên khi chia cho
cùng một số có số d khác nhau thì phơng trình đó không
có nghiệm nguyên.
Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình sau.
(1)
Giải:
Rõ ràng x = y = 0 là nghiệm của (1).
Nếu

Ta có:

và

là nghiệm của (1). Gọi

chẵn

, suy ra

chẵn, vô lý.

Vậy phơng trình (1) chỉ có nghiệm nguyên duy nhất là (0,0).

Đào Minh Trởng: Trờng THCS Hùng Sơn

1


Chuyên đề : Phơng trình nghiệm nguyên
Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình sau.
(1)
Giải:
1)Nếu

thì

vô lý.

2)Nếu

thì từ

ta có

và

suy ra

. Vậy phơng trình không có nghiệm nguyên.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng tổng bình phơng của ba số
nguyên trong phép chia cho 8 không thể có d là 7 từ đó
suy ra phơng trình

không có nghiệm

nguyên.
Giải:
Giả sử:

mà

nên

suy ra
nhng

vô

lý.

Phơng trình đà cho có thể viết:

Vậy
Từ đó

suy ra phơng trình không có nghiệm nguyên.
Ví dụ 4: Giải phơng trình sau trên tập số nguyên:
Giải:
1)Nếu x = 2k thì

.

2)Nếu x = 2k + 1 thì

vì

và

.
Vậy

Do đó khi chia tổng

d không vợt quá 7, trong khi đó

cho 16 có số
. Suy ra phơng trình

không có nghiệm nguyên.
Dạng 2: Phơng pháp phân tích.

Đào Minh Trởng: Trêng THCS Hïng S¬n

2

Chuyên đề : Phơng trình nghiệm nguyên
Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: a( x+ y ) + b = cxy
( víi a, b, c  Z ) (1)
Ta cã: (1)

Ph©n tích

với m, n Z, sau đó lần lợt giải các hệ:

Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình:
Giải:
Ta có:

Giả sử:

khi đó

và 52 = 1.52 = 2.26 = 4.13 ta có

các hệ sau:

Giải các hệ trên ta đợc các nghiệm nguyên dơng của phơng
trình là: ( 1, 18);
( 18, 1); ( 2, 5); ( 5, 2);
VÝ dô 2: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:
Giải:
Vì 105 là số lẻ nên
nên

lẻ suy ra y chẵn mà

chẵn

lẻ x = 0.

Với x = 0 ta có phơng trình ( 5y + 1 ) ( y + 1 ) = 21.5 Do ( 5y +
1, 5 ) =1 nên
hoặc

Thử lại ta thấy x = 0, y = - 4 là

nghiệm nguyên của phơng trình.
Đào Minh Trởng: Trờng THCS Hùng Sơn

3


Chuyên đề : Phơng trình nghiệm nguyên
Ví dụ 3: Tìm tất cả các tam giác vuông có các cạnh là số
nguyên và có diện tích bằng chu vi.
Giải:
Gọi x, y, z là các cạnh của tam giác vuông :

. Ta có:

Từ (1) ta có:

do

Thay

vào (2) ta đợc:

vậy các cặp:

Ví dụ 4: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:
với p là số nguyên tố.
Giải:
Ta có:
Mà
các

.Từ đó phơng trình đà cho có
nghiệm

nguyên

là:

Dạng 3: Phơng trình đối xứng.
Để tìm nghiệm nguyên của phơng trình ®èi xøng ta gi¶
sư 1  x  y  z ..... rồi chặn trên một ẩn.
Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:
Giải:
Vì x, y ,z có vai trò nh nhau nên ta giả sử 1 x y z . Từ (1)
suy ra:
Đào Minh Trởng: Trêng THCS Hïng S¬n

4

Chuyên đề : Phơng trình nghiệm nguyên

Với x = 1 ta có

.

Vậy (1) có nghiệm nguyên dơng ( x, y, z ) = ( 1, 2, 3 ) và các
hoán vị của nó.
Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:
Giải:
Vì x, y ,z có vai trò nh nhau nên ta gi¶ sư x  y  z  t 1 . Tõ
(1) suy ra:

*)Víi

ta cã:

1)Víi z = 1 ta cã:

Ta cã c¸c nghiƯm( x, y, z, t) =( 35, 3, 1, 1 ),( 9, 5, 1, 1 ) vµ các
hoán vị của chúng,
2) Với z = 2, z= 3, phơng trình không có nghiệm nguyên dơng.
*) Với

, ta có:
vì

.

Khi đó:
Do

nên

, mà 265 = 53.5 Trờng hợp này

phơng trình không có nghiệm nguyên dơng.
Đào Minh Trởng: Trờng THCS Hùng Sơn

5


Chuyên đề : Phơng trình nghiệm nguyên
Ví dụ 3: Một tam giác có số đo độ dài của đờng cao là
mhững số nguyên dơng và đờng tròn nội tiếp tam giác có
bán kính bằng 1. Chứng minh tam giác đó là tam giác
đều.
Giải:
Đặt a = BC, b = CA, c = AB. Gọi độ dài các đờng cao ứng với các
cạnh a, b, c của tam giác.
Bán kính đờng tròn néi tiÕp b»ng 1 nªn x, y, z > 2. Gi¶ sư x  y
 z > 2.
DiƯn tÝch tam giác ABC:
Mặt khác:
Từ (1) và (2) Suy ra:
Thay z = 3 vào

ta đợc:

Vậy x = y = z = 3, khi đó a = b = c. Vậy tam giác ABC là tam
giác đều.
Dạng 4: Phơng pháp loại trừ.
Tính chất: Nếu có số nguyên m sao cho

thì n

không thể là số chính phơng.
Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:
Giải:
Với x 5 thì x! có chữ số tận cùng là 0 nên:
Đào Minh Trởng: Trờng THCS Hùng Sơn

6


Chuyên đề : Phơng trình nghiệm nguyên
Có chữ số tận cùng là 3 nên không thể là số chinh, Vậy x 5 thì
phơng trình đà cho không có nghiện nguyên dơng.
Với 1 x < 5, bằng cách thử trực tiếp x = 1, 2, 3, 4 phơng
trình có nghiệm (1,1) và (3,3).
Ví

dụ

2:

Tìm

nghiệm

nguyên

của

phơng

trình:

Giải:
Rõ ràng x = 0, y = 1 là nghiệm nguyên của phơng trình.
+)Với x > 0 ta cã:
( v« lý ).
+)Víi x  - 2 thì :
+)Với x = - 1 thì :

( vô lý ).
, ( vô lý ).

Vậy phơng trình đà cho có hai cỈp nghiƯm ( 0; 1 ); ( 0; -1 ).
Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:
Giải:
Khai triển và rút gọn hai vế ta đợc:

+)Nếu x > 0 thì từ

suy ra

không là số

chính phơng nên (1) không có nghiệm nguyên.
+)Nếu x < - 1 thì từ

suy ra (1) không có nghiệm

nguyên.
+)Nếu x = 0 hoặc x = - 1 thì từ (1) suy ra

.

Vậy phơng trình có 4 nghiƯm nguyªn ( x; y ) = ( 0; 0 ); ( 0; -1 ); (
-1; 0 ); (-1; -1 );
Dạng 5: Phơng pháp xuống thang.

Đào Minh Trởng: Trờng THCS Hïng S¬n

7


Chuyên đề : Phơng trình nghiệm nguyên
Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:
Giải:
Giả sử

là nghiệm nguyên của phơng trình khi đó

đặt

thay

vào (1) ta đợc:

đặt

khi đó:
đặt

khi

đó:

.
Vậy

cũng là nghiệm của phơng trình.

Quá trình này tiếp tục thì đợc:

là các nghiệm nguyên

của (1) với mọi k điều này chỉ xảy ra khi

Vậy ( 0, 0, 0

) là nghiệm duy nhất của
phơng trình đà cho.
Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:
Giải:
Giả sử

là nghiệm nguyên của phơng trình khi đó:
là số chẵn nên trong các số

phải có số
chẵn số lẻ (0; 2 hoặc 4 ).
+)Nếu

đều lẻ thì

, trong khi đó

.
+)Nếu

trong

các

số

có

, trong khi đó

hai

số

. Vậy

lẻ

thì
phải

là các số chẵn,
đặt

,

,

,

phơng trình trở thành:

Đào Minh Trëng: Trêng THCS Hïng S¬n

8


Chuyên đề : Phơng trình nghiệm nguyên
Lý luận tơng tự ta có:
Với

tiếp tục ta có:

Là số nguyên vơi mọi n, điều này chỉ xảy ra khi
Vậy ( 0, 0, 0, 0 ) là nghiệm duy nhất của phơng trình đà cho.

Dạng 6: Hạn chế tập hợp chứa nghiệm dựa vào điều kiện
của các ẩn.
Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình:
Giải:
Ta thấy

từ

ta có

Vì y nguyên nên

với

chỉ có thể nhận các giá trị: 0; 1; 2; 3; 4; 5. Lựa chọn k trong các
số trên để thoả mÃn phơng trình ta đợc các nghiệm:
.
Dạng 7: Một số dạng khác.
Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:
Giải:
Ta có: (1)
Đặt
Do đó:

Do (3, 5) = 1 nên
,

Ta có:

và

.

. Vậy x = 2, y = 0.

Phơng trình có hai nghiệm nguyên ( 2, 0 ); ( -2, 0 ).
VÝ dô 2: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:
Giải:
Tac có:

.
Đào Minh Trởng: Trờng THCS Hïng S¬n

9


Chuyên đề : Phơng trình nghiệm nguyên
Vì:

nên

hoặc

Giải các hệ phơng trình trên ta đợc các nghiệm nguyên của phơng trình là:
Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:
Giải:
Phơng trình đà cho đợc viết lại là:

.

Phơng trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi:

Do y nguyên nên

.

+)Với y = 0 ta cã x = 0.
+)Víi y = 1 ta cã x = 1.
+)Víi y = 2 vµ y = 2 ta có không tìm đợc x nguyên.
Vậy phơng trình có hai nghiệm nguyên là ( x ; y ) = ( 0 ; 0 ); ( 1 ;
1 );
PhÇn II: Bài tập
Dạng 1: Sử dụng phép chia hết và chia có d.
Giải phơng trình trên tập số nguyên.
a)

.

d)

.

b)

.

e)

.

c)

.

f)

.

Dạng 2: Phơng pháp phân tích.
Giải phơng trình trên tập số nguyên.
a)
d)

.
.

b)
e)

.

c)

.

.

e)

.

Dạng 3: Phơng trình đối xứng.

Tìm nghiệm nguyên dơng của các phơng trình sau.
a)

.

b)

.

c)

Đào Minh Trởng: Trờng THCS Hùng Sơn

.
10


Chuyên đề : Phơng trình nghiệm nguyên
d)

.

e)

.

f)

.

Dạng 4: Phơng pháp loại trừ.
Giải phơng trình trên tập số nguyên.
a)

.

b)

.

. d)

c)

.

f)

e)

.

. Dạng 5: Phơng pháp xuống thang.
Giải phơng trình trên tập số nguyên.

a)

.

b)

.

c)

.

Dạng 6 và Dạng 7.
Giải phơng trình trên tập số nguyên.
a)

.

b)

. c)
.

Phần III: Kết luận.
Trên đây là một vài dạng bài tập về phơng trình nghiệm
nguyên mà tôi đà su tầm đợc, chắc chắn không tránh khỏi
những thiếu sót mong sự đóng góp ý kiến và đánh giá, nhận
xét của các đồng chí và hội đồng khoa học của Phòng giáo dục
Hiệp Hoà, để chuyên đề này đợc đầy đủ hơn và góp phần
vào việc thi giáo viên giỏi cấp tỉnh của huyện đạt kết qua cao.
Xin chân thành cảm ơn !
Hùng Sơn, ngày 21 tháng 02
năm 2008
Ngời viết

Đào Minh Trởng
Đào Minh Trởng: Trờng THCS Hùng Sơn

11


Chuyên đề : Phơng trình nghiệm nguyên

Đào Minh Trởng: Trờng THCS Hïng S¬n

12