De thi vao 10 chuyen tinh ninh binh

MÃ ký hiệu:
Đ01T- 08 - TS10CT

Đề thi : vào lớp 10 chuyên lơng văn tuỵ

Năm học : 2008-2009
Môn thi : Toán
Thời gian làm bài :150 phút
( Đề này gồm 05 câu, 01

trang)
Bài 1: Rút gọn biểu thức sau :
P=

Bài 2: Giải các phơng trình và hệ phơng trình sau:
a)

b)

Bài 3: Chứng minh rằng :

Bài 4 : BC là dây cung không là đờng kính của đờng tròn tâm
O . Một ®iĨm A di ®éng trªn cung lín BC sao cho tâm O luôn
nằm trong tam giác ABC, các đờng cao AD, BE, CF của tam giác
ABC cắt nhau tại H.
a) Chứng minh các tam giác AEF và ABC đồng dạng
b) Gọi A' là trung điểm của BC, chứng minh AH = 2OA'
c) Gọi A1 là trung điểm của EF, chứng minh : R.AA1 =
AA'.OA'
d) Chøng minh r»ng R(EF + FD + DE) = 2SABC từ đó tìm vị
trí của A ®Ĩ tỉng (EF + FD + DE) lín nhÊt.

Bµi 5 : Cho a, b, c là độ dài ba cạnh cđa mét tam gi¸c cã chu vi
b»ng 2
Chøng minh r»ng : a2 + b2 + c2 + 2abc < 2
……………………..HÕt………………………


MÃ ký hiệu:

Hớng dẫn chấm
Đề thi : vào lớp 10 chuyên lơng văn tuỵ

HD01T- 08 - TS10CT

Bài 1: (2,5 điểm)
Có : A =

cho 0,25

điểm
cho 0,25

A=

điểm
Tơng tự có:
B=

cho 0,25 điểm

cho 0,25 điểm

Từ đó

Tập xác định là x

và

Ta có P = A+B =
=

cho 0,5

điểm
=

Cho 0,25 điểm

=

Cho 0,25

điểm
Vậy

P=

Với x

và x

Cho 0, 25

điểm
Bài 2 ( 4,5 ®iĨm)
a, Tõ hƯ
 xy +x
0,25 ®iĨm
(*)
0,25 ®iĨm
- NÕu y = 0 ta đợc :

cho
cho
hệ này vô nghiệm

cho 0,25 ®iÓm
- NÕu y ≠ 0 ta cã : (*)  3
®iĨm

cho 0,25




cho

0,5 điểm
Vậy hệ đà cho tơng đơng với
hay

cho 0,25

điểm
Giải hệ đầu ta đợc (x; y) = (1; 1) hay (x ; y) = (-1 ; -1)
cho
0,25 điểm
Hệ sau vô nghiệm
cho 0,25 điểm
Vậy hệ đà cho có 2 nghiệm là x = y = 1 hc x = y = -1
cho 0,25 điểm
b) Điều kiện
-4x1
cho 0,25 điểm
Phơng trình tơng đơng với : (vì cả 2 vế đều không âm)
cho 0,25
điểm

cho 0,25
điểm
4- 3x - x2 = 4
cho
0,25 ®iĨm
 x2 +3x = 0
cho
0,25 ®iĨm
 x(x + 3) = 0
cho
0,25 ®iĨm
 x = 0 hoặc x = -3
cho

0,25 điểm
Vậy phơng trình có 2 nghiệm x = 0 hoặc x = -3
cho 0,25 điểm
Bài 3 : (3điểm)
Ta có với n 1 thì
cho 0,5
điểm
<

cho 0,5

®iĨm
Tõ ®ã ta cã :
Sn =
< 1-

cho 0,75 ®iĨm


= 1-

cho 0,5

điểm
Vậy Sn <

cho

0,25 điểm
áp dụng cho n = 2007 ta có

S2007 <

là điều phải chứng

minh ( 0,5 điểm)
Bài 4 : Hình vẽ đúng cho 0,25 điểm
x

A
F

B

A1
H

E
O

D A'

C
K

a) Chứng minh AEF đồng dạng ABC.
Có E, F cùng nhìn BC dới một góc vuông nên E, F cùng thuộc ®êng
trßn ®êng kÝnh BC
Cho 0,25 ®iĨm
 gãc AFE = gãc ACB (cùng bù góc BFE)

cho
0,25 điểm
AEF đồng dạng ABC (g.g)
cho
0,25 điểm
b) Vẽ đờng kính AK
Có BE
(gt)
KC
(Vì góc ACK = 90 )
cho 0,25
điểm
BE // KC
cho
0,25 điểm
Tơng tự CH // BK
cho
0,25 điểm
Do đó tứ giác BHCK là hình bình hành
cho
0,25 điểm
HK là đờng chéo nên đi qua trung điểm A' của đờng chéo
BC. H, A', K thẳng hàng.
cho 0,25 ®iĨm
XÐt tam gi¸c AHK cã A'H = A'K
OA = OK
cho 0,25
®iĨm

Nên OA' là đờng trung bình
AH = 2 A'O
cho
0,25 điểm
c, áp dụng tính chất: nếu 2 tam gác đồng dạng thì tỉ số giữa 2
trung tuyến tơng ứng, tỉ số giữa 2 bán kính các đờng tròn ngoại
tiếp bằng tỉ số đồng dạng nên ta có:
cho 0,25 điểm
AEF đồng dạng ABC

=

cho 0,25

điểm
Trong đó R là bán kính của đờng tròn tâm O
R' là bán kính đờng tròn ngoại tiếp AEF
0,25 điểm
cũng là đờng tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF
0,25 điểm
R. AA = R'. AA' =

.AA'

cho
cho
cho 0,5

điểm
= AA'.

= AA'. OA'

cho

0,25 ®iĨm
VËy R.AA1 = AA'. OA'
0,25 ®iĨm
d,
Tríc hÕt ta chứng minh OA EF
vẽ tiếp tuyến Ax của đờng tròn tâm O
Ta có OA Ax
0,25 điểm
Vì góc xAB = Góc BCA
mµ gãc BCA = gãc EFA (cmt)
gãc EFA = gãc xAB
0,25 điểm
EF// Ax
0,25 điểm
OA EF
0,25 điểm
Chứng minh tơng tự có OB DF vµ OC  ED
Ta cã S
=S
+S
+S
=

OA. EF +

OB. FD +

OC.DE

cho

cho

cho
cho
cho

cho 0,25

điểm
=

R( EF + FD + DE ) (vì OA = OB = OC = R)

R (EF + FD + DE) = 2 S
0,25 ®iĨm
EF + FD + DE =

cho


Nên EF + FD + DE lớn nhất
điểm
Lại có S

=

S

lớn nhất

cho 0,25

BC.h (h là đờng vuông góc hạ từ A ®Õn BC) 

S
lín nhÊt  h lín nhÊt  ABC là tam giác cân A là điểm
chính già của cung AB lớn.
cho 0,25 điểm
Bài 5: (3 điểm)
Vì a, b, c là 3 cạnh của tam giác có chu vi là 2 nên ta có: 0 < a;
b, c
(cho
0,25 điểm)
a-1 0;b-1
0; c-1
0
cho 0,25 ®iĨm
 ( a -1) (b -1) (c -1)
0
 ( ab - a - b +1) ( c -1)
0
cho 0,25
®iĨm
 abc - (ab + ac + bc) + (a + b + c) - 1 0

cho 0,25
®iĨm
 2abc - 2(ab + ac + bc) + 2( a + b +c)
2
cho
0,25 ®iĨm
 2abc - 2(ab + ac + bc) +2.2 2
cho 0,25
®iĨm
 2abc - 2(ab + ac + bc) + (a +b +c)
2
cho 0,5
®iĨm
 2abc - 2(ab + ac + bc) + a + b + c +2(ab + ac + bc)
2
(cho 0,25 ®iĨm)
 2abc + a + b + c
2
(đpcm)
cho 0,25 điểm
Chú ý: đối với các bài nếu có cách giải khác mà làm
đúng vẫn cho điểm tối đa.
- Đối với bài hình học sinh có thể sử dụng nhiều hình
vẽ khác nhau cho các ý và ở ý 4 cã thĨ sư dơng c«ng thøc
tÝnh diƯn tÝch của tứ giác có 2 đờng chéo vuông góc mà
không cần chứng minh lại.


Đề thi : vào lớp 10 chuyên lơng văn

tuỵ

MÃ ký hiệu:
Đ02T- 08 - TS10 CT

Bài 1:
a, Chứng minh rằng nếu ab

Năm học : 2008-2009
Môn thi : Toán
Thời gian làm bài :150 phú
0 thì ta luôn luôn có

=
b, Phân tích đa thức M = a

thành nhân tử

Bài 2:
a, Giải hệ phơng trình
b, cho x, y

0 và x + y = 1

Chứng minh 8(x + y ) +
Bài 3: Cho đa thức f(x) = ax
a) Chứng minh nếu f(x) nhận giá trị nguyên với mọi x thì 4 số 6a;
2b; a + b + c ; d đều là các số nguyên.
b, Đảo lại nếu cả 4 số 6a; 2b; a + b + c ; d đều là các số nguyên
thì đa thức f(x) có nhận giá trị nguyên với bất kỳ giá trị nguyên

nào của x không? tại sao?
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, D là điểm trên cạnh huyền
BC, E là điểm đôí xứng với D qua AB, G làgiao điểm của AB với
DE, từ giao diểm H của AB với CE hạ HI vuông góc với BC tại I các


tia CH, IG cắt nhau tại K. Chứng minh KC là tia phân giác của góc
IKA.
Bài 5: Chứng minh rằng phơng trình
x -x +x -x +x -x+

=0

Vô nghiệm trên tập hợp các số thực.
..Hết..

MÃ ký hiệu:

Hớng dẫn chấm
Đề thi : vào lớp 10 chuyên lơng văn tuỵ

HD02T- 08 - TS10

Bài 1: (3 điểm)
a, Vì 2 vế đều không âm nên bình phơng vế trái ta có:
(
= (

+

)

=

) + ab + (a + b)

+ (

) + ab - (a + b)

+2

Cho 0,25 ®iĨm
= 2(

) + 2ab + 2(

) - 2ab

Cho 0,25

ab)

Cho 0,25

điểm
( vì (

)

điểm
= 4(
)

)

=
Cho 0,5 điểm
(vì ab

0 a; b cïng dÊu)

(a + b) = (

+




+

=

+

(Víi ab

Cho 0,25 ®iĨm

0)

b, Ta cã A = a + a + 1
=a -a+a -a +a +a+1
= a(a - 1)(a + a + 1) + a (a - 1) + a + a + 1
Cho 0,25 ®iĨm
= a(a - 1)( a + a + 1)( a + a + 1) +
+ a (a - 1)(a

+ a + 1) + a

+ a + 1

Cho 0,25 ®iĨm
= (a + a + 1) a(a - 1)(a + a + 1) + a (a - 1) + 1)
Cho 0,25 ®iĨm
= (a

+ a + 1)(a

- a+ a

- a + a

- a + 1)

Cho 0, 5 điểm
Bài 2: (5 điểm)
a,

Nếu

x

=

0

thay

vào

ta

có

vô

lý

=

tx

Cho 0,25 điểm
Vậy

x

0

Đặt

y

Cho 0,25 điểm
Ta có

Cho 0,25

điểm


=

Cho

0,25 ®iĨm
( v× t ≠ -1 hƯ míi cã nghiƯm)

Cho

0,25 ®iĨm


=2

Cho

0,25 ®iÓm


t

Cho 0,25 ®iÓm

+

t

=

2

-

2t

+

2t




t

-

3t

+

2

=

0

Cho 0,25 ®iĨm

Cho 0,25 ®iĨm
* NÕu t = 1  y = x  4x = 2
x=y=

Cho

0,25 ®iĨm
* nÕu t = 2 y = 2x


18x

=

2

Cho 0,25 điểm

Tóm lại hệ có 2 nghiệm
x=y=

Hoặc ( x =

;y=

)

Cho

0,25 điểm
b, áp dụng bất ®¼ng thøc
(

) Víi mäi a, b

Cho 0,25

®iĨm
ta cã
(

)

Cho 0,25

®iĨm


(

) =

Cho 0,5

®iĨm
 8( x + y )
0,25 ®iĨm

1

Cho


lại có xy

(

) =

Cho

0,25 điểm


4

Cho

0,25 điểm
Vậy 8( x + y ) +

1+4=5

Cho

0,25 điểm
Bài 3: ( 4 điểm)
a,

Ta

có

f(0)

=

d

là

số

nguyên

Cho 0,25 điểm
f(1)

=

a

+

b

+

c

+

d

là

số

nguyên

là

số

nguyên

Cho 0,25 điểm


f(1)

-

f(0)

=

a

+

b

+

c

cũng

-

c

+

d

2c

+

d

cũng

2b

+

2d

Cho 0,25 điểm
f(

-1)

=-

a

+

+

4b

b

là

số

nguyên

Cho 0,25 điểm
f(2)

=

8a

+

là

số

nguyên

số

nguyên

Cho 0,25 điểm
Vậy

f(1)

+

f(

-1)

=

là

Cho 0,25 điểm


2b

là

số

nguyên

(

vì

2d

là

số

nguyên)

Cho 0,25 ®iÓm
f(2) = 6a + 2( a + b + c) + 2b + d là số nguyên
Cho 0,25 điểm
Mà
Nên

là các số nguyên
6a

là

Cho 0,25 điểm
Ta có điều phải chứng minh
b, Đảo lại:
f(x) = ax + bx + cx + d

số

nguyên


=

(ax -

ax) + (bx - bx) + ax + bx + cx + d

Cho 0,25 ®iĨm
= a(x - 1)x( x + 1) + bx(x - 1) + (a + b + c)x + d
Cho 0,25 ®iĨm

=

+

+ (a + b + c)x + d

Cho

0,25 ®iĨm
= 6a

+ 2b

+ (a + b + c)x + d

Cho 0,25 điểm
Vì (x - 1)x( x + 1) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên nó chia hết
cho 6
6a

là số nguyên

Cho

0,25 điểm
x(x -1) là tích 2 sè nguyªn liªn tiÕp nªn nã chia hÕt cho 2
nên

2b

là

số

nguyên

Cho 0,25 điểm
Và

(a

+

b

+

c)x

là

số

nguyên

Cho 0,25 điểm
d là số nguyên
f(x) nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên khi 4số 6a; 2b; a + b
+

c;

d

là

các

số

Cho 0,25 điểm
Bài 4: ( 6 điểm)
(Vẽ hình đúng 0,5 điểm)
B
1

E

G
1
K
2

I
D

H
A

C

nguyên


Ta có G và I cùng nhìn HD dới 1 góc vuông nên HGID là tứ giác nội
tiếp
Cho 0,5 điểm
Gãc GHD = gãc GIB (cïng bï víi gãc GID)

Cho

0,5 ®iĨm
Hay

gãc

GHD

=

gãc

KIB

Cho 0,5 ®iĨm
l¹i cã gãc GHD = gãc GHK ( do E và I đối xứng qua AB)
Cho 0,5 điểm
gãc KIB = gãc KHB ( cïng = gãc GHD)

Cho

0,25 điểm
Nên

KHIB

là

tứ

giác

nội

tiếp

Cho 0,5 điểm
Vì

góc

HIB

=

90



góc

HKB

=

90

Cho 0,5 điểm
Ta có góc B = góc K (Do KHIB là tứ giác nội tiếp)

Cho

0,5 điểm
Lại có K và A cùng nhìn BC dới một góc vuông nên AKBC là tứ giác
nội tiếp
Cho 0,5 điểm


góc

K

=

góc

B

Cho 0,5 điểm
Từ

đó

ta

có

KC

là

phân

giác

của

góc

IKA

Cho 0,5 điểm
Chú ý khi học sinh vẽ hình có thể khác cũng cho điểm tơng tự.
Bài 5: (2 điểm)


* Nếu x 0 thì vế phải nhận giá trị dơng nên ở khoảng này phơng

trình

vô

nghiệm

Cho 0,5 điểm
* Nếu 0 < x < 1
Ta có vế trái =

Cho 0,25

điểm
=

Cho 0,25

điểm
cũng luôn dơng nên ở khoảng này phơng trình vô nghiệm
* NÕu x

1 ta cã

VÕ tr¸i = x (x - 1) + x (x - 1) + x(x - 1) +

Cho

0,25 điểm
Cũng là số dơng nên ở khoảng này phơng trình vô ngiệm
Cho 0,25 điểm
Tóm lại phơng trình đà cho vô nghiệm trên tập hợp các số thực R
(

Cho 0,25 điểm)
Chú ý khi chấm: nếu học sinh làm các bài theo cách khác
nhng đúng vẫn cho điểm tối đa


Ngời soạn thảo : Phạm Văn Phan
Giáo viên trờng THCS Lý Tự Trọng - Thành phố Ninh Bình Ninh Bình