On thi dai hoc (31)

Nguyễn Thái Hòa
Đờng tròn và đờng cônic
Chuyên đề Đờng tròn và đờng Cônic
Bài 1
Cho hai điểm A(1,1) và B(9,7).
1/ Tìm quỹ tích các điểm M sao cho:
.
2/ Tìm quỹ tích các điểm M sao cho:
, trong đó
k là một số cho trớc.
Bài 2
Viết phơng trình đờng tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ và
đi qua điểm M(2,1).
Bài 3
Cho đờng tròn có phơng trình
.
1/ Tìm tọa độ tâm và bán kính đờng tròn.
2/ Viết phơng trình tiếp tuyến của đờng tròn, biết tiếp
tuyến đó đi qua điểm A(-1,0).
3/ Viết phơng trình tiếp tuyến của đờng tròn biết tiếp
tuyến đó vuông góc với đờng thẳng
.
4/ Tìm m để đờng thẳng
tiếp xúc với đờng
tròn.
Bài 4
Viết phơng trình tiếp tuyến chung của hai đờng tròn:
Bài 5
Cho A(-1,1), B(1,3), C(2,5).
Tìm tập hợp điểm M thỏa mÃn
.

Bài 6
Viết phơng trình chính tắc của (E) trong các trờng hợp sau:
1/ Độ dài trục lớn bằng 6, tiêu cự bằng 4.
2/ F1(-2,0) và độ dài trục lớn bằng 10.
3/
4/

.
.

Bài 7
Viết phơng trình chính tắc của (H) biết:
1/ Nửa trục thực là 4, tiêu cự bằng 10.
2/ Tiêu cự bằng

, một tiệm cận là
1

.
ĐT: 0989200410


Nguyễn Thái Hòa
Đờng tròn và đờng cônic
3/ Tâm sai
,

.

Bài 8

Qua tiêu điểm của (E):

kẻ đờng vuông góc với trục Ox

cắt (E) tại hai điểm A và B. Tìm độ dài đoạn thẳng AB.
Bài 9
Cho (E):

và điểm I(1,2). Viết phơng trình đờng

thẳng đi qua I và cắt (E) tại hai điểm A,B sao cho I là trung
điểm của AB.
Bài 10
Lập phơng trình tiếp tuyến của (E):

tại điểm

.

Bài 11
Lập phơng trình tiếp tuyến của (H):
.
Bài 12
Lập phơng trình tiếp tuyến của (E):

tại điểm

biết tiếp tuyến

đó qua điểm M(5,2).

Bài 13
Lập phơng trình tiếp tuyến của (H):
đó song song với đờng thẳng
Bài 14

biết tiếp tuyến

.

Tìm giao điểm của đờng thẳng

với (E):

.

Bài 15
Viết phơng trình tiếp tuyến với (E):
đó song song với đờng thẳng
Bài 16

, biết tiếp tuyến

.

Viết phơng trình tiếp tuyến của (H):

, biết tiếp

tuyến đó qua điểm M(3,-2).
Bài 17

Viết phơng trình tiếp tuyến chung cđa hai (E):
(E1):

,

(E2):

.
2

§T: 0989200410


Nguyễn Thái Hòa
Đờng tròn và đờng cônic

Bài 18
Tìm điểm M sao cho từ đó kẻ đợc hai tiếp tuyến vuông gãc
víi nhau tíi :
1/ (E):
2/ (H):

.
.

Bµi 19
Chøng minh r»ng hai tiếp tuyến của
(E):

đi qua điểm M(4,-3) vuông góc với nhau.

Bài 20
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho (P):
.
1/ Tìm tọa độ tiêu điểm và phơng trình đờng chuẩn của
(P).
2/ Qua tiêu điểm kẻ đờng thẳng bất kỳ cắt (P) tại hai điểm
A và B. Chứng minh rằng tiếp tuyến với (P) tại A và B vuông góc với
nhau.
3/ Tìm quỹ tích các điểm M mà từ đó có thể kẻ đợc hai tiếp
tuyến với (P) sao cho chúng vuông góc với nhau.
Bài 21
Cho
họ
đờng
cong
(Cm)
có
phơng
trình
.
1/ Tuỳ theo giá trị của m, hÃy xác định khi nào thì (C m) là (E)
và khi nào thì (Cm) là (H)?
2/ Giả sử A là một điểm tuỳ ý trên đờng thẳng x=1 và A
không thuộc trục hoành. Chứng minh rằng với mỗi điểm A luôn
luôn cã bèn ®êng cong cđa hä (Cm) ®i qua. Hái trong số bốn đờng cong đó có bao nhiêu (E) và bao nhiêu (H)?
Bài 22
Trong mặt phẳng hệ tọa độ trùc chuÈn Oxy cho ®êng cong
(Cm):
.

1/ Chøng minh r»ng (Cm) là đờng tròn với mọi m. HÃy tìm tập
hợp tâm của họ đờng tròn khi m thay đổi.
3

ĐT: 0989200410


Nguyễn Thái Hòa
Đờng tròn và đờng cônic
2/ Với m=4, hÃy viết phơng trình đờng thẳng vuông góc với
đờng thẳng
và cắt đờng tròn tại hai điểm A, B
sao cho độ dài AB=6.
Bài 23
Cho đờng tròn có phơng trình
.
Viết phơng trình tiếp tuyến của đờng tròn đi qua điểm
A(0,-1).

Bài 24
1/ Cho (E):

nhận các đờng thẳng

và

làm tiếp tuyến, hÃy tính a, b.
2/ Cho (E):

. Tìm mối liên hệ giữa a ,b, k, m để (E)

tiếp xúc với đờng thẳng
.
Bài 25
Trong mặt phẳng Oxy cho đờng thẳng
và hai đờng tròn
.
1/ Gọi I là tâm đờng tròn (C1). Tìm m sao cho (d) cắt (C1) tại
hai điểm phân biệt A, B. Với giá trị nào của m thì diện tích tam
giác IAB lớn nhất và tính giá trị đó.
2/ Chứng minh rằng (C1) tiếp xúc với (C2). Viết phơng trình
của tất cả các tiếp tuyến chung của (C1) và (C2).
Bài 26
Trong mặt phẳng hệ trục tọa độ Đề các Oxy cho (E):
và hai đờng thẳng
với
. Gọi M, N là các giao
điểm của (d1) với (E); P,Q là các giao điểm của (d2) với (E).
1/ Tính diện tích tứ giác MNPQ theo a, b.
2/ Tìm điều kiện đối với a,b để diện tích tứ giá MNPQ nhỏ
nhất.
Bài 27
Cho hai (E):
1/ Viết phơng trình đờng tròn đi qua giao điểm của hai (E).
4

ĐT: 0989200410


Nguyễn Thái Hòa

Đờng tròn và đờng cônic
2/ Viết phơng trình các tiếp tuyến chung của hai (E).
Bài 28
Cho họ đờng tròn:
.
1/ Chứng minh rằng họ đờng tròn luôn tiếp xúc với hai đờng
thẳng cố định.
2/ Tìm m để (Cm) cắt đờng tròn
tại hai điểm
phân biệt A, B. Chứng minh rằng khi đó đờng thẳng AB có phơng không đổi.
Bài 29
Cho (E):

.

1/ Viết phơng trình tiếp tuyến của (E) tại điểm

.

2/ Tìm tọa độ điểm M nằm trên (E) sao cho MF 1=4MF2, trong
đó F1,F2 là các tiêu điểm của (E).
Bài 30
Cho (E):

và hai điểm M(-2,m), N(2, n).

1/ Gọi A1(-2,0), A2(2,0). HÃy viết phơng trình các đờng thẳng
A1N và A2M. Xác định tọa độ giao điểm của chúng.
2/ Tìm điều kiện đối với n,m để đờng thẳng MN tiếp xúc
với (E).

Bài 31
1/ Cho đờng tròn (C):
.
Chứng minh rằng tiếp tuyến của đờng tròn tại điểm (x0,y0)
có phơng trình là:
.
2/ Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ
của (H):

đến các tiệm cận của nó là một số không thay

đổi.
Bài 32
Trong mặt phẳng tọa độ Đề các cho điểm A(8,-1) và đờng
tròn (C) có phơng trình:
.
1/ Viết phơng trình các tiếp tuyến của (C) kẻ từ A.
2/ Gọi M, N là các tiếp điểm. Tính độ dài MN.
Bài 33
5

ĐT: 0989200410


Nguyễn Thái Hòa
Đờng tròn và đờng cônic
Trong mặt phẳng hệ trục tọa độ Oxy cho họ đờng cong (Cm)
có phơng trình
.
1/ Tìm m để (Cm) là đờng tròn.

2/ Khi (Cm) là một đờng tròn, xác định m để đờng thẳng xy+2 = 0 là tiếp tuyến của (Cm).
Bài 34
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho (P):
.
1/ Xác định tọa độ tiêu điểm F, đờng chuẩn, trục đối xứng
của (P).
2/ Cho A(0,2), viết phơng trình tiếp tuyến của (P) biÕt tiÕp
tuyÕn ®ã ®i qua A.
3/ Gäi M, N là các tiếp điểm. Tính khoảng cách từ A tới đờng
thẳng MN.

Bài 35
Cho họ đờng tròn (Cm):
.
1/ Chứng minh rằng (Cm) luôn đi qua hai điểm cố định với
mọi m.
2/ Xác định m để (Cm) tiếp xúc với trục tung.
Bài 36
Viết phơng trình của (P) biết:
1/ Ox là trục đối xứng và tiêu điểm là F(4,0).
2/ Ox là trục đối xứng và tiêu điểm là F(-2,0).
3/ Tiêu điểm là F(0,1) và đờng chuẩn là là y=-1.
Bài 37
Tìm tọa độ tiêu điểm, đờng chuẩn, trục đối xứng của (P):
.
Bài 38
Tìm tham số tiêu của (P) có tiêu điểm F(1,2), đờng chuẩn là
.
Bài 39
Cho hai Parabol có phơng trình

Chứng minh rằng nếu hai (P) đó cắt nhau tại bốn điểm
phân biệt thì bốn điểm đó nằm trên một đờng tròn.
Bài 40
6

ĐT: 0989200410


Nguyễn Thái Hòa
Đờng tròn và đờng cônic
Lập phơng trình tiếp tun cđa (P):
, biÕt tiÕp tun
®ã ®i qua ®iĨm M(3,4). Viết phơng trình đờng thẳng đi qua
các tiếp điểm.
Bài 41
Lập phơng trình tiếp tuyến của (P):
, biết tiếp tuyến
đó vuông góc với đờng thẳng
.
Bài 42
Một điểm A nằm trên (P):
. Gọi B là hình chiếu của A
trên Oy. Chứng minh rằng tiếp tuyến của (P) tại A đi qua trung
điểm của OB.
Bài 43
Chứng minh rằng trong các tiếp tuyến của (P):
kẻ từ các
điểm A(0,1), B(2,-3) có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.
Bài 44
Cho hai đờng tròn

Viết phơng trình tiếp tuyến chung của hai đờng tròn.
Bài 45
Cho (P):
, và hai ®iĨm A, B di ®éng trªn (P) sao cho AB
=2.
1/ Tìm quỹ tích trung điểm của AB.
2/ Xác định vị trÝ cđa A, B sao cho diƯn tÝch cđa phÇn mặt
phẳng giới hạn bởi (P) và cát tuyến AB đạt giá trị lớn nhất.
Bài 46
Cho (E):
và hai điểm M(-2,m), N(2,n).
1/ Gọi A1,A2 là các đỉnh trên trục lớn của (E). HÃy viết phơng
trình các đờng thẳng A1N, A2M và xác định tọa độ giao điểm
của chúng.
2/ Cho đờng thẳng MN thay đổi sao cho nó luôn tiếp xúc với
(E). HÃy tìm quỹ tích của I.
Bài 47
Cho M là một điểm thuộc (P):
, N là một điểm thuộc
đờng thẳng 4x+3y+46=0.
1/ Xác định M, N để đoạn thẳng MN là ngắn nhất.
2/ Với kết quả đà tìm đợc ở câu 1, chứng tỏ rằng khi đó đờng thẳng MN vuông góc với tiếp tuyến của (P) tại M.
7

ĐT: 0989200410


Nguyễn Thái Hòa
Đờng tròn và đờng cônic
Bài 48

Cho các đờng tròn
1/ Tìm quỹ tích tâm các đờng tròn (Cm) khi m thay đổi.
2/ Chứng minh rằng có hai đờng tròn (Cm) tiếp xúc với đờng
tròn (C), ứng với hai giá trị của m. Viết phơng trình tiếp tuyến
chung của hai đờng tròn đó.
Bài 49
Cho (P):
và đờng thẳng
. Gọi A, B là
các giao điểm của (P) và (d). Chứng tỏ rằng ®êng trßn ®êng
kÝnh AB tiÕp xóc víi ®êng chn cđa (P).
Bài 50
Lập phơng trình đờng tròn đi qua điểm A(1,-2) và giao
điểm của đờng thẳng
với đờng tròn
.
Bài 51
Một đờng thẳng bất kỳ qua gốc tọa độ cắt (E):

tại

hai điểm M, N. Chứng minh rằng các tiếp tuyến của (E) tại M, N lµ
song song víi nhau.
Bµi 52
Chøng minh r»ng tÝch các khoảng cách từ một điểm của (H):
đến hai tiệm cận của nó là một số không đổi.
Bài 53
Cho hai điểm M, N trên một tiếp tuyến của (E):

sao

cho mỗi tiêu điểm của (E) nhìn đoạn MN dới một góc vuông. HÃy
xác định vị trí của M, N.
Bài 54
Cho A là một điểm tuỳ ý trên (P):
(p>0), (d) là một đờng thẳng song song với tiếp tuyến tại A của (P). Đờng thẳng (d)
cắt Parabol (P) tại hai điểm M, N. HÃy so sánh diện tích tam giác
AMN và diện tích hình chắn phía trên bởi đờng thẳng (d) và
phía dới bởi (P).
Bài 55
8

ĐT: 0989200410


Nguyễn Thái Hòa
Đờng tròn và đờng cônic
Cho đờng tròn
của đờng tròn tại điểm
Bài 56
Tìm
tiếp
tuyến

. Chứng minh rằng tiếp tuyến
là:
.
chung

của

hai

đờng

tròn:

Bài 57
Viết phơng trình tiếp tuyến chung của hai (E):
Bài 58
Viết phơng trình tiếp tuyến chung của (E):

và (P):

.
Bài 59
Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để đờng thẳng (d):
tiếp xúc với (E):
Bài 60
Cho (H):
vẽ (H).

là

.

. Xác định tiêu điểm, tiệm cận và

Bài 61
Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để đờng thẳng

tiếp xúc với (H):
Bài 62

là

.

Cho (H):

và một tiếp tun bÊt kú (d):

tiÕp xóc víi (H) t¹i T. Gäi M, N là các giao điểm của (d) với
các tiệm cận của (H).
1/ Chứng minh rằng T là trung điểm của đoạn MN.
2/ Chứng minh rằng tam giá OMN có diện tích không phụ
thuộc vào tiếp tuyến (d).
Bài 63
9

ĐT: 0989200410


Nguyễn Thái Hòa
Đờng tròn và đờng cônic
Cho hai (E):
1/ Viết phơng trình đờng tròn đi qua giao điểm của hai (E).
2/ Viết phơng trình tiếp tuyến chung của hai (E).
Bài 64
Cho họ đờng cong
trong đó a là một

số dơng cho trớc cố định.
1/ Với giá trị nào của m thì phơng trình trên là phơng trình
của đờng tròn. Ta ký hiệu (C m) là họ đờng tròn ứng với giá trị m
vừa tìm đợc.
2/ Chứng minh rằng đoạn thẳng nối O với A(2a, 0) luôn cắt đờng tròn (Cm).
3/ Chứng minh rằng tồn tại một đờng thẳng là trục đẳng phơng của họ đờng tròn.
Bài 65
Cho (E):

,

xem các điểm A(-3,0), M(-3,a), B(3,0),

N(3,b), trong đó a, b là hai số thay đổi.
1/ Xác định các tọa độ của giao điểm I của các đờng thẳng
AN và BM.
2/ Chứng tỏ rằng để đờng thẳng MN tiếp xúc với (E) điều
kiện cần và ®đ lµ
.
3/ Víi a, b thay ®ỉi sao cho MN luôn tiếp xúc với (E). Tìm quỹ
tích điểm I.

10

ĐT: 0989200410