Tài liệu ôn thi đại học

Convert by TVDT
1

Chuyờn :Phng trỡnh v bt phng trỡnh i s

Một số dạng hệ ph-ơng trình th-ờng gặp
1) Hệ ph-ơng trình bậc nhất: Cách tính định thức
2) Hệ ph-ơng trình đối xứng loại 1: Hệ không thay đổi khi ta thay x bởi y và ng-ợc lại
3) Hệ ph-ơng trình đối xứng loại 2: Nếu đổi vai trò của x và y thì ph-ơng trình này trở thành ph-ơng trình kia và
ng-ợc lại
4) Hệ ph-ơng trình đẳng cấp bậc 2: Xét 2 tr-ờng hợp, sau đó đặt x = ty
5) Một số hệ ph-ơng trình khác
Các ví dụ
Ví dụ 1. Một số hệ dạng cơ bản
1) Cho hệ ph-ơng trình
8
)1)(1(
22
yxyx
myxxy

a) Giải hệ khi m = 12
b) Tìm m để hệ có nghiệm
2) Cho hệ ph-ơng trình
2 2 2
11
2
a

xy
x y a

Tìm a để hệ ph-ơng trình có đúng 2 nghiệm phân biệt
3) Cho hệ ph-ơng trình
22
22
1
32
x xy y
x xy y m
Tìm m để hệ có nghiệm
4) Cho hệ ph-ơng trình
222
6 ayx
ayx

a) Giải hệ khi a = 2
b) Tìm GTNN của F = xy + 2(x + y) biết (x, y) là nghiệm của hệ
5) Cho hệ ph-ơng trình
ymx
xmy
2
2
)1(
)1(
Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
6) Giải hệ ph-ơng trình:
22
22

xy
yx

7) Giải hệ ph-ơng trình:
myxxyyx
yx
1111
311

a) Giải hệ khi m = 6
b) Tìm m để hệ có nghiệm
Ví dụ 2. Giải hệ ph-ơng trình:
2
2
2
2
2
3
2
3
y
x
x
x
y
y
(KB 2003)

HD: TH1 x = y suy ra x = y = 1
TH2 chú : x>0, y> 0 suy ra vô nghiệm

Ví dụ 3. Giải hệ ph-ơng trình:
358
152
33
22
yx
xyyx




Convert by TVDT
2
HD: Nhóm nhân tử chung sau đó đặt S = 2x + y và P = 2x. y Đs: (1, 3) và (3/2, 2)
Ví dụ 4. Giải hệ ph-ơng trình:
)2(1
)1(33
66
33
yx
yyxx

HD: từ (2) : - 1 x, y 1 hàm số:
tttf 3
3
trên [-1;1] áp dụng vào ph-ơng trình (1)
Ví dụ 5. CMR hệ ph-ơng trình sau có nghiệm duy nhất:
x
a
xy

y
a
yx
2
2
2
2
2
2

HD:
223
2 axx
yx
; xét
23
2)( xxxf
, lập BBT suy ra KQ
Ví dụ 6. Giải hệ ph-ơng trình:
22
22
xy
yx

HD Bình ph-ơng 2 vế, đói xứng loại 2
Ví dụ 7.
)1(
)1(
2
2

xayxy
yaxxy
xác định a để hệ có nghiệm duy nhất
HD sử dụng ĐK cần và đủ a = 8
Ví dụ 8. Giải hệ ph-ơng trình:
)2(5
)1(2010
2
2
yxy
xxy

HD: Rút ra
y
yy
y
x
55
2
; Cô si
52
5
y
y
x
;
20
2
x
theo (1)

20
2
x
suy ra x, y
Ví dụ 9.
2
)1(
3
yxyx
yxyx
(KB 2002)
HD: từ (1) đặt căn nhỏ làm nhân tử chung (1;1) (3/2;1/2)
Ví dụ 10.
ayx
ayx
3
21
Tìm a để hệ có nghiệm

HD: Từ (1) đặt
2,1 yvxu
đ-ợc hệ dối xứng với u, -v
Chỉ ra hệ có nghiệm thì ph-ơng trình bậc hai t-ơng ứng có 2 nghiệm trái dấu
Bài tập áp dụng
1)
495
5626
22
22
yxyx

yxyx

2)
)(3
22
22
yxyx
yyxx
KD 2003
3)
095
18)3)(2(
2
2
yxx
yxxx

4)

2
)(7
22
33
yxyx
yxyx

HD: tách thành nhân tử 4 nghiệm

Convert by TVDT
3
5)
mxyx
yxy
26
12
2
2
Tìm m để hệ có nghiệm
6)
19
2.)(
33
2
yx
yyx
Đặt t = x/y Hệ pt có 2 nghiệm
7)
64
9)2)(2(
2
yxx
yxxx
Đặt X = x(x + 2) và Y = 2x + y
8)

2 2 2 2
2 (1)
4

x y x y
x y x y
HD
: Đổi biến theo v, u từ ph-ơng trình (1)
9)
22
333
6
191
xxyy
xyx
HD:
Đặt x = 1/z thay vào đ-ợc hệ y, z ĐS ( - 1/2, 3) (1/3, - 2)

10)
12
11
3
xy
y
y
x
x
(KA 2003)

HD: x = y V xy = - 1
CM
02
4
xx

vô nghiệm bằng cách tách hàm số kq: 3 nghiệm
11)

axy
ayx
2
2
)1(
)1(
xác định a để hệ có nghiệm duy nhất
HD sử dụng ĐK cần và đủ
12)
3
3
22
xyyx
x
y
y
x

HD bình ph-ơng 2 vế

13)

78
1
7
xyyxyx
xy

x
y
y
x

HD nhân 2 vế của

(1) với
xy

Đ2. Ph-ơng trình và bất ph-ơng trình ph-ơng trình đại số
Một số dạng ph-ơng trình và bất ph-ơng trình th-ờng gặp
1) Bất ph-ơng trình bậc hai
Định lý về dấu của tam thức bậc hai
Ph-ơng pháp hàm số
2) Ph-ơng trình, bất ph-ơng trình chứa giá trị tuyệt đối

22
0
( 0)
A B A B
AB
A B B
AB
A B B A B B

3) Ph-ơng trình, bất ph-ơng trình chứa căn thức
Một số ví dụ

Ví dụ 1. Tìm m để

mxxxx )64)(3)(1(
2
nghiệm đúng với mọi x



Convert by TVDT
4
HD: sử dụng hàm số hoặc tam thức: m - 2
Ví dụ 2. Tìm a để hệ sau có nghiệm
2)1(2
2
ayxxy
yx


HD:
22
2 (1)
( 1) ( 2) 1 (2)
xy
x y a

TH1:
a + 1 0
Hệ vô nghiệm
TH2: a + 1>0. Vẽ đồ thị (2) là đ-ờng

tròn còn (1) là miền gạch chéo:
a - 1/2

Ví dụ 3. Giải các ph-ơng trình, bất ph-ơng trình sau
1)
014168
2
xxx

2)
xxx 2114
: x = 0
3)
510932)2(2
22
xxxxx

4)
211
22
xxxx
HD: Tích 2 nhân tử bằng 1 suy ra cách giải
5)
023)3(
22
xxxx
KD 2002
Ví dụ 4. Tìm m để hệ sau có nghiệm
012
0910
2
2

mxx
xx
ĐS: m4
Ví dụ 5. Giải bất ph-ơng trình
2212 xxx

HD + /
Nhân 2 vế với biểu thức liên hợp của VT
+ / Biến đổi về BPT tích chú ý ĐK

Ví dụ 6. Giải bất ph-ơng trình:
7
2
1
2
2
3
3
x
x
x
x

HD
Đặt
2,
2
1
t
x

xt
, AD BĐT cô si suy ra ĐK

Ví dụ 7. Giải bất ph-ơng trình:
4
)11(
2
2
x
x
x

HD: + /
Xét 2 tr-ờng hợp chú y DK x> = - 1
+ / Trong tr-ờng hợp x

4, tiến hành nhân và chia cho biểu thức liên hợp ở mẫu ở VT

Ví dụ 8. Cho ph-ơng trình:
mxxxx 99
2
. Tìm m để ph-ơng trình có nghiệm
HD: + /
Bình ph-ơng 2 vế chú ý ĐK
+ / Đặt t = tích 2 căn thức, Tìm ĐK của t
+ / Sử dụng BBT suy ra KQ

Ví dụ 9. Giải bất ph-ơng trình (KA 2004) :
3
7

3
3
)16(2
2
x
x
x
x
x

Bài tập áp dụng
1)
0
12
22
ayx
xyx
Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm duy nhất đó.
ĐS a = - 1 và a = 3
2) Tìm m để bất ph-ơng trình sau có nghiệm:
mxx 41624

3)
16212244
2
xxxx

4)
12312 xxx

Convert by TVDT
5
5)

1212)1(2
22
xxxxx

HD: Đặt
12
2
xxt
, coi là ph-ơng trình bậc hai ẩn t
6)
2
2)2()1( xxxxx

7)
2
3
1)2(12
x
xxxx

8) Cho ph-ơng trình:
mxxxx 444

a) Giải ph-ơng trình khi m = 6
b) Tìm m để ph-ơng trình có nghiệm
9)
1
1
251
2
x
xx

10)
023243
2
xxx

11) Tìm a để với mọi x:
32)2()(
2
axxxf
ĐS a 4 ; a 0
Chuyên đề 3: L-ợng giác
Đ1. Ph-ơng trình và hệ ph-ơng trình l-ợng giác
Một số kiến thức cần nhớ
Các công thức biến đổi l-ợng giác
Một số dạng ph-ơng trình cơ bản
Ph-ơng trình bậc 2, bậc 3 theo một hàm số l-ợng giác
Ph-ơng trình đẳng cấp bậc nhất với sinx, cosx: asinx + bcosx = c
Ph-ơng trình đẳng cấp bậc 2 với sinx, cosx: a. sin
2
x + b. sinx. cosx + c. cos

2
x + d = 0
Ph-ơng trình đẳng cấp bậc 3 với sinx, cosx:
a. sin
3
x + b. sin
2
x. cosx +
c. sinx. cos
2
x + d. cos
3
x = 0
a. sin
3
x + b. sin
2
x. cosx +
c. sinx. cos
2
x + d. cos
3
x + m = 0
Ph-ơng trình đối xứng với sinx, cosx a: (sinxcosx) + b. sinx. cosx + c = 0
Ph-ơng trình đối xứng với tgx, cotgx
Ph-ơng trình đối xứng với sin
2n
x, cos
2n
x

Các ví dụ
Ví dụ 1.
2.cos4
cot tan
sin2
x
xx
x

HD: đặt ĐK x =

/3 + k.
Ví dụ 2.
)1(sin
2
1
3
2
cos
3
cos
22
xxx


HD: Sử dụng công thức hạ bậc
xx sin
3
cos).2cos(.21
ĐS 3 họ nghiệm

Ví dụ 3.
2
sin
2sin
2sin
sin
2
2
2
2
x
x
x
x

HD: Nhóm, nhân lên và tách 2 thành 2 nhóm
Ví dụ 4.
33
sin .sin3 cos .cos3 1
8
tan .tan
63
x x x x
xx


HD: Đặt ĐK rút gọn MS = 1; AD công thức nhân 3; ĐS x = - /6 + k
Ví dụ 5.
3 tan (tan 2.sin ) 6.cos 0x x x x

HD: Biến đổi theo sin và cos đ-ợc
0)cos21(sin)cos21(cos.3
22
xxxx
ĐS x =

/3 + k



Convert by TVDT
6
Ví dụ 6.
3.tan 6sin 2sin( )
2
tan 2sin 6sin( )
2
y
x y x
y
x y x

HD: nhân (1) với (2) rút gọn
22
tan 4sin
2
y
y
đặt

2
tan
2
y
t
; t = 0,
3t

Ví dụ 7.
xxxxxx cos13sin.
2
1
sin.4cos2sin.3cos

HD: BĐ tích thành tổng rút gọn
Ví dụ 8.
2
1
5cos4cos3cos2coscos xxxxx


HD: nhân 2 vế với 2. sin(x/2) chú y xet tr-ờng hợp bằng 0
NX: Trong bài toán chứa tổng
cos cos2 .. cos
sin sin2 .. sin
T x x nx
T x x nx
thực hiện rút gọn bằng cách trên

Ví dụ 9.

22
tan .sin 2.sin 3(cos2 sin .cos )x x x x x x

HD: BĐ sau đó đặt t = tg(x/2)
Ví dụ 10.
2
9
sin
cos
2
log 4.log. 2 4
x
x

HD:
4
)(sinlog
2log
.2.log2
2
sin
sin
sin
x
x
x
x

Đ2. Giá trị lớn nhất nhỏ nhất, ph-ơng trình có tham số
Một số kiến thức cần nhớ

Ph-ơng pháp hàm số: Bài toán Max, Min trên 1 khoảng và một đoạn.
Ph-ơng pháp bất đẳng thức, nhận xét đánh giá.
Các ví dụ
Ví dụ 1. Tìm GTLN, GTNN:
xx
xx
y
24
24
cos2sin.3
sin4cos.3


HD: t = cos2x, tìm Max, Min trên 1 đoạn M = 8/5 m = 4/3
Ví dụ 2. Cho ph-ơng trình:
tgxxmx 1cos.2cos
2

1) Giải ph-ơng trình khi m = 1
2) Tìm m để ph-ơng trình có nghiện thuộc đoạn [0; /3]

HD: t = tgx,
0; 3t
; Lập BBT f(t) ĐS:
1;31)31(m

Ví dụ 3. : Tìm GTLN, GTNN:
xxy 2cossin.2
48

HD: t = cos2x,
- 1t1
tìm Max, Min trên 1 đoạn
33,
)1(80 tttf
ĐS:M = 3, m = 1/
27
Ví dụ 4. Tìm GTLN, GTNN:
1cos.sinsincos
44
xxxxy

Ví dụ 5. Cho ph-ơng trình:
02sin24cos)cos.(sin2
44
mxxxx

Tìm m để ph-ơng trình có ít nhất một nghiện thuộc đoạn [0; /2]
ĐS: [ -10/3; -2]
Ví dụ 6. Cho ph-ơng trình
3cos2sin
1cossin2
xx
xx
a

1) Giải ph-ơng trình khi a = 1/3
2) Tìm a để ph-ơng trình có nghiệm

HD: Đ-a về dạng: (2 - a) sinx + (2a + 1
) cosx = 3a + 1
ĐS [ -1/2, 2]
Ví dụ 7. Tìm nghiệm của pt sau trong khoảng (0, ) :
4
3
cos212cos.3
2
sin4
22
xx
x

Bài tập áp dụng



Convert by TVDT
7
1)
2
1
3sin.2sin.sin3cos.2cos.cos xxxxxx

2)
2cos.3sincos.3sin xxxx

3)
22
53

3sin (3 ) 2sin .cos 5sin 0
2 2 2
x x x x

4)
x
x
x
x
cos
1
3cos.2
sin
1
3sin.2

5)

2
1 cos2
1 cot 2
sin 2
x
x
x
HD:
Chú ý ĐK ĐS: x = - /4 + k /2
6)
2
cos2 cos (2.tan 1) 2x x x

7)
03cos2cos84cos3
26
xx

8)
1
1cos2
3sin
42
sin2cos)32(
2
x
x
x
x

9)
02cos2sincossin1 xxxx

Một số đề thi từ năm 2002
1) Tìm nghiệm thuộc khoảng
0;2
của ph-ơng trình
32cos
2sin21
3sin3cos
sin5 x
x

xx
x
KA 2002
2) Giải ph-ơng trình
2
4
4
(2 sin 2 )sin3
1 tan
cos
xx
x
x
(DB 2002)
3) Tìm nghiệm thuộc khoảng
0;2
của ph-ơng trình
2
cot 2 tan 4sin2
sin2
x x x
x
KB 2003
4) Tìm x nghiệm đúng thuộc khoảng
0;14
của ph-ơng trình
cos3 4cos2 3cos 4 0x x x
KB 2003
5) Xác định m để ph-ơng trình
44

2 sin cos cos4 2sin 2 0x x x x m
có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn
0;
2
(DB 2002)
6) Giải ph-ơng trình
44
sin cos 1 1
cot2
5sin2 2 8sin2
xx
x
xx
(DB 2002)
7) Giải ph-ơng trình
2
tan cos cos sin 1 tan .tan
2
x
x x x x x
(DB 2002)
8) Cho ph-ơng trình
2sin cos 1
(1)
sin 2cos 3
xx
a
xx

a) Giải ph-ơng trình (2) khi

1
3
a

b) Tìm a để ph-ơng trình có nghiệm
9) Giải ph-ơng trình
2
1
sin
8cos
x
x
(DB 2002)
10) Giải ph-ơng trình
2
cos2 1
cot 1 sin sin2
1 tan 2
x
x x x
x
(KA 2003)
11) Giải ph-ơng trình
3 tan tan 2sin 6cos 0x x x x
(DBKA 2003)
12) Giải ph-ơng trình
2
cos2 cos 2tan 1 2x x x
(DBKA 2003)

Convert by TVDT
8
13) Giải ph-ơng trình
62
3cos4 8cos 2cos 3 0x x x
(DBKB 2003)
14) Giải ph-ơng trình
2
2 3 cos 2sin
24
1
2cos 1
x
x
x
(DBKB 2003)
15) Giải ph-ơng trình
2 2 2
sin .tan cos 0
2 4 2
xx
x
(KD 2003)
16) Giải ph-ơng trình
2
cos cos 1
2 1 sin
cos sin

xx
x
xx
(DBKD 2003)
17) Giải ph-ơng trình
2sin4
cot tan
sin2
x
xx
x
(DBKD 2003)
18) Giải ph-ơng trình
2
5sin 2 3 1 sin tanx x x
(KB 2004)
19) Giải ph-ơng trình
2cos 1 2sin cos sin2 sinx x x x x
(KB 2004)
Chuyên đề 4: Mũ & Lôgarit
Đ1. Ph-ơng trình và hệ ph-ơng trình Mũ lôgarit

Một số kiến thức cần nhớ
Các công thức về mũ và lôgarit.
Giới thiệu một số ph-ơng trình cơ bản.
Khi giải ph-ơng trình về logarit chú ĐK.
Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho ph-ơng trình:
0121loglog
2

3
2
3
mxx

1) Giải ph-ơng trình khi m = 2
2) Tìm m để ph-ơng trình có ít nhất một nghiệm thuộc
3
3;1
HD: m [0;2]
Ví dụ 2.
4loglog2
5)(log
24
22
2
yx
yx
đs (4, 4)
Ví dụ 3.
)4(log)1(log
4
1
)3(log
2
1
2
8
4
2

xxx

HD: ĐK
x>0
Và
x1
; ĐS x = 2,
332x

Ví dụ 4.
xxxx
3535
log.loglog.log
HD: Đổi cơ số ĐS: x = 1 và x = 15
Ví dụ 5.
633
)(39
22
3log)(log
22
xyyx
xy
xy

Ví dụ 6.
x
x )1(log
3
2

HD: ĐK x> - 1 TH1: - 1<x

0 ph-ơng trình vn
TH2: x>0, đặt y = log
3
(x + 1) Suy ra
1
3
1
3
2
yy

Ví dụ 7.
32
2
2
23
1
log xx
x
x

HD: VP

1 với x>0, BBT VT

1 ; Côsi trong lôgagrit ĐS x = 1
Ví dụ 8.
y

yy
x
xx
x
22
24
452
1
23
ĐS (0, 1) (2, 4)



Convert by TVDT
9
Ví dụ 9. Tìm m để ph-ơng trình sau có nghiệm thuộc [32, + ) :
3log3loglog
2
4
2
2
1
2
2
xmxx

HD: t > = 5;
31
1
31

1,0
2
2
m
t
m
m
mm

Ví dụ 10.
322
loglog
yx
xy
yxy


HD ĐK x, y>0 và khác 1; BĐ (1) đ-ợc
TH1: y = x thay vào (2) có nghiệm
TH2:
2
1
y
x
thay vào (2) CM vô nghiệm chia thành 2 miền y>1 và 0<y<
1
Đ2. Bất ph-ơng trình và hệ bất ph-ơng trình Mũ lôgarit

Một số kiến thức cần nhớ
Giới thiệu một số bất ph-ơng trình về mũ và logarit

Chú y ĐK
Các ví dụ
Ví dụ 1. Tìm k để hệ ph-ơng trình sau có nghiệm:
1)1(log
3
1
log
2
1
031
3
2
2
2
3
xx
kxx

HD: ĐK x>1; Giải (2) 1<x 2; BBT
33
1
x
f x x
ĐS: k > - 5
Ví dụ 2.
06log)1(log2log
2
4
1
2

1
xx

Ví dụ 3.
xx
xx
22
log
2
3
log
2
1
.2.2
HD: Lấy logarit 2 vế theo cơ số 2
Ví dụ 4.
1))279.((loglog
3
x
x

Ví dụ 5.
2
2
4
log log ( 2 ) 0x x x

Ví dụ 6.
06log)52(log)1(
2

1
2
2
1
xxxx

HD:
Đặt t = log x , coi BPT đã cho là Bpt bậc 2 ẩn t; Chú ý so sánh 2 tr-ờng hợp t
1
,

t
2


ĐS (0;2] v (x

4)
Ví dụ 7. Giải bất ph-ơng trình
xx
x
22
log
2
3
log
2
1
22

Ví dụ 8. Giải bất ph-ơng trình:
0
1
)3(log)3(log
3
3
1
2
2
1
x
xx

Ví dụ 9. Giải bất ph-ơng trình:
2
42
11
log ( 3 ) log (3 1)x x x

Bài tập áp dụng
1)
x
x
x
x
2
3
323
log
2

1
3
loglog.
3
log