Luận văn Thạc sỹ: rèn luyện tư duy thuật toán và tư duy sáng tạo cho học sinh THPT qua dạy học phương trình

Chơng 2
Rèn luyện t duy thuật toán và t duy sáng tạo cho
học sinh thông qua dạy học phơng trình lợng giác ở
lớp 11 nớc Cộng hòa dân chủ nhân dân Lào.
2.1. Rèn luyện t duy thuật toán trong dạy học phơng
trình bậc hai đối với các hàm số lợng giác.
2.1.1. Rèn luyện t duy thuật toán trong dạy học phơng trình bậc hai đối
với sinx hoặc cosx.
2.1.1.1. Các ví dụ.
Ví dụ 1. Giải phơng trình:
2
2sin sin 1 0x x+ =
(Giáo viên làm mẫu)
Bớc 1. Đặt
sin x t=

[ 1,1]) (điều kiện : t
Thay vào phơng trình ta nhận đợc phơng trình:
2
2 1 0t t+ =
Bớc 2. Giải phơng trình:
2
2 1 0t t+ =
trong đoạn
[ 1,1]


2
2 1 0t t+ =

1

2
1
t
t

=



=


Bớc 3. Giải các phơng trình cơ bản:
1
sin
2
x =
và
sin 1x =



1
sin
2
=x
2
6
2
6

= +




= +


x k
x k




2
6
( )
5
2
6

= +




= +

Â
x k
k
x k







sin 1= x

( )
2
2
sin sin( )
3
2
2
2

= +

=


= +

Â
x k
x k
x k







24
Bớc 4. Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là:
2
6
5
2 ( ).
6
2
2

= +



= +



= +

Â
x k
x k k
x k






Ví dụ 2. Giải phơng trình:
2
6cos 2 13cos2 5 0 + =x x
(Học sinh và giáo viên cùng làm)
Bớc 1. Đặt:
cos2 =x t

[ 1,1]) (điều kiện : t
Thay vào phơng trình ta nhận đợc phơng trình:
2
6 13 5 0 + =t t
Bớc 2. Giải phơng trình:
2
6 13 5 0 + =t t
trong đoạn
[ 1,1]

2
6 13 5 0 + =t t
5
1
3
1
2

= >




=


t
t
( loại )

Bớc 3. Giải phơng trình cơ bản:
1
cos2
2
=x


1
cos2
2

=x
( )
6
= + Âx k k



Bớc 4. Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là:
( ).
6
= + Âx k k


Ví dụ 3. Giải phơng trình:
2
5sin 4sin 3 0
2 2
+ =
x x

(Học sinh giải có sự giúp đỡ của giáo viên khi cần thiết)
Bớc 1. Đặt:
sin
2
=
x
t

[ 1,1]) (điều kiện : t
Thay vào phơng trình (1) ta nhận đợc phơng trình:

2
5 4 3 0+ =t t

Bớc 2. Giải phơng trình:
2
5 4 3 0+ =t t
trong đoạn
[ 1,1]


2
5 4 3 0+ =t t
2 19
5
2 19
1 (
5

+
=




+
= <


t
t loại )

25
Bớc 3. Giải phơng trình cơ bản:
2 19
sin
2 5
x +
=

2 19
sin
2 5
+
=
x

sin=

2 4
( )
2( ) 4
= +



= +

Â
x k
k

x k



Bớc 4. Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là:
2 4
( )
2( ) 4
= +



= +

Â
x k
k
x k


.
2.1.1.2. Qui tắc giải
Khái quát hóa: Từ ba ví dụ trên các em hãy phát biểu một qui tắc tổng
quát bao
gồm các bớc để giải phơng trình tổng quát:

2
.sin .sin 0; , , , 0+ + = Ăa x b x c a b c a

2

( .cos .cos 0; , , , 0)+ + = Ăa x b x c a b c a
Bớc 1. Đặt
sin =x t

[ 1,1]) (điều kiện : t
)
Thay vào phơng trình ta nhận đợc phơng trình:
2
. . 0+ + =a t b t c

Bớc 2. Giải phơng trình:
2
. . 0+ + =a t b t c
trong đoạn
[ 1,1]

- Nếu vô nghiệm trong đoạn
[ 1,1]
thì chuyển sang bớc 4, kết luận
phơng trình đã cho vô nghiệm
- Nếu có nghiệm
0
[ 1,1] t
thì chuyển sang bớc 3 (có thể có 2
nghiệm
0
[ 1,1] t
)
Chú ý:
Qui tắc giải trên đợc sử dụng để giải phơng trình tơng tự:

2
( .cos .cos 0, 0)+ + = a x b x c a

Bớc 3. Giải các phơng trình cơ bản:
0
sin =x t

Bớc 4. Kết luận.
2.1.1.3. Ví dụ áp dụng quy tắc (thực hiện theo qui tắc giải học sinh giải)
Ví dụ 4. Giải phơng trình:
2
6cos cos 1 0 =x x
Bớc 1. Đặt
cos =x t

[ 1,1]) (điều kiện : t
Thay vào phơng trình ta nhận đợc phơng trình:
2
6 1 0 =t t

Bớc 2. Giải phơng trình:
2
6 1 0 =t t
trong đoạn
[ 1,1]

26

2

6 1 0 =t t

1
2
1
3

=




=


t
t

Bớc 3. Giải các phơng trình cơ bản:
1
cos
2
=x
và
1
cos
3
= x

1
cos
2
=x
cos cos
3
=x


2 ( )
3
= + Âx k k





1
cos cos cos
3
= =x x


2 ( ) = + Âx k k


Bớc 4. Kết luận pt đã cho có nghiệm là:
2
( ).

3
2

= +



= +

Â
x k
k
x k




Ví dụ 5. Giải phơng trình:
2
sin 3 sin3 2 0 =x x
Bớc 1. Đặt:
sin3 =x t

[ 1,1]) (điều kiện : t
Thay vào phơng trình ta nhận đợc phơng trình:
2
2 0 =t t

Bớc 2. Giải phơng trình:
2

2 0 =t t
trong đoạn
[ 1,1]

2
2 0 =t t

2 1
1
= >



=

t
t
(loại)

Bớc 3. Giải phơng trình cơ bản:
sin3 1= x

2
sin3 sin( ) ( )
2 6 3
= = + Â
k
x x k

Bớc 4. Kết luận phơng trình đã cho có nghiệm là:
2
( )
6 3
= + Â
k
x k

.
Ví dụ 6. Giải phơng trình:
2
3cos 2cos 1 0 =x x
Bớc 1. Đặt:
=cosx t

[ 1,1]) (điều kiện : t
Thay vào phơng trình ta nhận đợc phơng trình:
2
3 2 1 0 =t t

Bớc 2. Giải phơng trình:
2
3 2 1 0 =t t
trong đoạn
[ 1,1]

2
3 2 1 0 =t t

1

1
3
=




=

t
t


27
Bớc 3. Giải các phơng trình cơ bản:
cos 1=x
và
1
cos
3
= x



cos 1 cos cos0 2 ( )= = = Âx x x k k

1
cos cos
3
= =x


2 ( ) = + Âx k k

Bớc 4. Kết luận phơng trình đã cho có nghiệm là:
2
( ).
2
=



= +

Â
x k
k
x k


Bài tập
Giải các phơng trình sau:
1)
cos2 3cos 4 0 =x x
2)
2

5sin 4sin 1 0 =x x

3)
( )
2
2sin 2 3 sin 3 0 + + =x x
4)
( )
2
4 2 3 1 3 0 + + =cos x cosx

5)
2
2cos 2 3cos2 1 0 + =x x
6)
2
4cos 3cos 1 0 =x x
7)
2
2sin 5sin 3 0
2 2
+ =
x x
8)
2
3cos 7cos 4 0 + =x x
9)
2
2sin sin 3 0 =x x
10)

2
2sin 3 5sin3 2 0 =x x
11)
2
2sin 4 7sin 4 1 0 =x x
12)
2
2cos 3cos 2 0
2 2
+ =
x x
13)
2
2sin cos 1 0+ + =x x
14)
2
5cos 2 8cos2 4 0+ =x x
15)
2
sin 2cos 2 0
2 2
+ =
x x
16)
2
3cos 2 2sin 2 3 0+ =x x
17)
2
8cos 2sin 7 0x x
+ =

18)
2
30cos 29sin 23 0 =x x
19)
2
2sin 5cos 1 0x x+ + =
20)
2
2cos 2 3cos2 1 0 + =x x

Lời giải
Bài 1. Giải phơng trình:
cos2 3cos 4 0 =x x
Phơng trình tơng đơng với :
2
2cos 3cos 5 0 =x x
Bớc 1. Đặt:
=cosx t
(điều kiện
[ ]
1,1 t
)
Thay vào phơng trình ta nhận đợc dạng:
2
2 3 5 0 =t t
Bớc 2. Giải phơng trình:
2
2 3 5 0 =t t
trong đoạn
[ 1,1]

28

2
5
1
2 3 5 0
2
1

= >

=

=

t
t t
t
Bớc 3. Giải phơng trình cơ bản:
cos 1=x

1 2 ( )= = = + Âcosx cosx cos x k k

Bớc 4. Kết luận phơng trình đã có nghiệm là:
2 ( )= + Âx k k

.
Bài 3. Giải phơng trình:

( )
2
2sin 2 3 sin 3 0 + + =x x

Bớc 1. Đặt:
sin =x t
(điều kiện
[ ]
1,1 t
)
Thay vào phơng trình ta nhận đợc dạng:
( )
2
2 2 3 3 0 + + =t t
Bớc 2. Giải phơng trình:
( )
2
2 2 3 3 0 + + =t t
trong đoạn
[ 1,1]

( )
2
1
2 2 3 3 0
3
2
=

+ + =

=


t
t t
t

Bớc 3. Giải phơng trình cơ bản:
sin 1=x
và
3
sin
2
=x




sin 1 sin sin 2 ( )
2 2
= = = + Âx x x k k





3
sin sin sin

2 3
= =x x


2
3
sin sin ( )
2
3
2
3

= +

=


= +


Â
x k
x k
x k





Bớc 4. Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là:

2
2
2 ( ).
3
2
2
3

= +



= +



= +


Â
x k
x k k
x k






Bài 16. Giải phơng trình:

2
3cos 2 2sin 2 3 0+ =x x

29
(loại)
Phơng trình tơng đơng với :
2
3sin 2 2sin 2 0 =x x
Bớc 1. Đặt:
sin 2 =x t
(điều kiện
[ ]
1,1 t
)
Thay vào phơng trình ta nhận đợc dạng:
2
3 2 0 =t t
Bớc 2. Giải phơng trình:
2
3 2 0 =t t
trong đoạn
[ 1,1]


2
0
3 2 0
2
3
=

=

=

t
t t
t

Bớc 3. Giải phơng trình cơ bản:
sin 2 0=x
và
2
sin 2
3
=x




sin 2 0 2 ( )
2
= = = Â
k
x x k x k

2 2
2
2
sin 2 sin ( )
2 2
3
2

= +

= +

= =


= +


= +


Â
x k
x k
x k
x k
x k

Bớc 4. Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là:
2
( ).
2
2

=



= +




= +


Â
k
x
x k k
x k

Bài 19. Giải phơng trình:
2
2sin 5cos 1 0+ + =x x
Phơng trình tơng đơng với :
2
2 5cos 3 0 =cos x x
Bớc 1. Đặt:
=cosx t
(điều kiện
[ ]
1,1 t
)
Khi đó phơng trình đợc chuyển về dạng:
2
2 5 3 0 =t t
Bớc 2. Giải phơng trình:
2
2 5 3 0 =t t
trong đoạn
[ 1,1]

2
11
1
4
2 5 3 0
1

2

= >

=


=


t
t t
t

30
(loại)
Bớc 3. Giải phơng trình cơ bản:
1
2
=cosx

1 2 2
2 ( )
2 3 3
= = = + Âcosx cosx cos x k k


Bớc 4. Kết luận phơng trình đã cho có nghiệm là:
2
2 ( ).

3
= + Âx k k


Bình luận
Quá trình dạy học giải phơng trình lợng giác dạng: bậc hai đối với sinx
hoặc cosx theo một hàm số lợng giác đã góp phần phát triển một số yếu tố của
t duy thuật toán.
Từ ba ví dụ cụ thể phát biểu thành qui tắc giải phơng trình tổng
quát(khái quát hóa một quá trình diễn ra trên một số đối tợng riêng lẻ thành
một quá trình điễn ra trên một lớp đối tợng), áp dụng qui tắc tổng quát để giải
các phơng trình cụ thể(khả năng thực hiện thuật toán).
2.1.2. Rèn luyện t duy thuật toán trong dạy học phơng trình bậc hai đối
với tgx hoặc cotgx
2.1.2.1 Các ví dụ
Ví dụ 1. Giải phơng trình:
2
3 4 3 0 + =tg x tgx
(Giáo viên làm mẫu)
Bớc 1. Đặt điều kiện:
cos 0 ( )
2
+ Âx x k k


Bớc 2. Đặt:
=tgx t
Thay vào phơng trình ta nhận đợc phơng trình:
2
3 4 3 0 + =t t

Bớc 3. Giải phơng trình:
2
3 4 3 0 + =t t


2
3 4 3 0 + =t t

3
1
3

=



=


t
t
Bớc 4. Giải phơng trình cơ bản:
3=tgx
và
1
3
=tgx

3=tgx

3
=tgx tg


( )
3
= + Âx k k





1
3
=tgx

6
=tgx tg

( )
6
= + Âx k k



31
Bớc 5. Các giá trị x tìm đợc thoả mãn điều kiện:
2

+x k


, vậy phơng trình
đã cho có nghiệm là:
3
( ).
6

= +




= +


Â
x k
k
x k




Ví dụ 2. Giải phơng trình:
2
4 t 5 t 1 0
2 2
+ =

x x
co g co g
(Giáo viên và học sinh cùng làm)
Bớc 1. Đặt điều kiện:
sin 0 2 , ( )
2
Â
x
x k k

Bớc 2. Đặt:
2
=
x
cotg t
Thay vào phơng trình ta nhận đợc phơng trình:
2
4 5 1 0 + =t t
Bớc 3. Giải phơng trình:
2
4 5 1 0 + =t t

2
4 5 1 0 + =t t

1
1
4
=

=

t
t
Bớc 4. Giải phơng trình cơ bản:
1
2
=
x
cotg
và
1
2 4
=
x
cotg



1
2
=
x
cotg

2 4
=

x
cotg cotg


2 ( )
2
= + Âx k k





1
2 4
= =
x
cotg cotg

cot cot =gx g

2 2 ( ) = + Âx k k

Bớc 5. Các giá trị x tìm đợc thoả mãn điều kiện:
2x k

, vậy phơng trình đã
cho có nghiệm là:
2
( ).
2

2 2

= +



= +

Â
x k
k
x k



Ví dụ 3. Giải phơng trình:
2
9 2 8 3 2 3 0 =tg x tg x
(Học sinh làm là chủ yếu)

32
Bớc 1. Đặt điều kiện:
cos2 0 ( )
4 2
+ Â
k
x x k

Bớc 2. Đặt:
2 =tg x t

Thay vào phơng trình ta nhận đợc phơng trình:
2
9 8 3 3 0 =t t
Bớc 3. Giải phơng trình:
2
9 8 3 3 0 =t t

2
9 8 3 3 0 =t t

3
3
9

=



=


t
t
Bớc 4. Giải phơng trình cơ bản:
2 3=tg x
và
3
2
9
= tg x

2 3=tg x

2
3
=tg x tg


( )
6 2
= + Â
k
x k



3
2
9
= =tg x tg


2 =tg x tg


( )
2 2
= + Â

k
x k

Bớc 5. Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là:
6 2
( ).
2 2

= +




= +


Â
k
x
k
k
x


2.1.2.2. Qui tắc giải
Khai quát hóa: Từ ba ví dụ trên các em hãy phát biểu một qui tắc tổng
quát bao gồm các bớc để giải phơng trình tổng quát:

2
. . 0 ( , , , 0)+ + = Ăa tg x b t gx c a b c a

Bớc 1. Đặt điều kiện:
cos 0 ( )
2
+ Âx x k k


Bớc 2. Đặt:
=tgx t

Thay vào phơng trinh ta nhận đợc phơng trình:
2
0+ + =at bt c
Bớc 3. Giải phơng trình:
2
0at bt c+ + =
- Nếu vô nghiệm thì chuyển sang bớc 5, kết luận phơng trình đã
cho vô nghiệm
- Nếu có nghiệm
0
t
thì chuyển sang bớc 4 (có thể có 2 nghiệm
0
t
)
Bớc 4. Giải phong trình cơ bản:
0
=tgx t

33
Bớc 5. Các giá trị x tìm đợc thoả mãn điều kiện:
2
+x k


, kết luận.
Chú ý:
Qui tắc giải trên đợc sử dụng để giải phơng trình:

2
. . 0+ + =a cotg x b cotgx c
,
0a

Với điều kiện
sin 0 ( ). Âx x k k

2.1.2.3. Ví dụ áp dụng qui tắc giải (thực hiện theo qui tắc giải học sinh giải)
Ví dụ 4. Giải phơng trình:
2
2 3 1 0 + =tg x tgx
Bớc 1. Đặt điều kiện:
cos 0 ( )
2
+ Âx x k k


Bớc 2. Đặt:
=tgx t

Thay vào phơng trình ta nhận đợc phơng trình:
2
2 3 1 0 + =t t
Bớc 3. Giải phơng trình:
2
2 3 1 0 + =t t

2
2 3 1 0 + =t t

1
1
2
=




=

t
t
Bớc 4. Giải phơng trình cơ bản:
3=tgx
và
1
2
=tgx

1=tgx

4
=tgx tg


( )
4
= + Âx k k





1
2
= =tgx tg


=tgx tg

( ) = + Âx k k

Bớc 5. Kết luận các giá trị x tìm đợc thoả mãn điều kiện:
2
+x k


, vậy

phơng trình đã cho có nghiệm là:
( ).
4

= +



= +

Â
x k
k
x k



Ví dụ 5. Giải phơng trình:
2
3cot 2cot 1 0 =g x gx
Bớc 1. Đặt điều kiện:
sin 0 ( ) Âx x k k

Bớc 2. Đặt:
=cotgx t

Thay vào phơng trình ta nhận đợc phơng trình:
2
3 2 1 0 =t t

34
Bớc 3. Giải phơng trình:
2
3 2 1 0t t =

2
3 2 1 0 =t t

1
1
3
=




=

t
t
Bớc 4. Giải phơng trình cơ bản:
1=cotgx
và
1
3
= cotgx

1=cotgx

4
=cotgx cotg


( )
4
= + Âx k k





1
3
= cotgx
=
cot g

( ) = + Âx k k

Bớc 5. Các giá trị x tìm đợc thoả mãn điều kiện:
x k

, vậy phơng trình
đã cho có nghiệm là:
( ).
4

= +



= +

Â
x k
k
x k



Ví dụ 6. Giải phơng trình:
2
2 2
3 4 0
3 3
=
x x
tg tg
Bớc 1. Đặt điều kiện:
2 3 3
cos 0 ( )
3 4 2
+ Â
x k
x k

Bớc 2. Đặt:

2
3
=
x
tg t

Thay vào phơng trình ta nhận đợc phơng trình:
2
3 4 0 =t t

Bớc 3. Giải phơng trình:
2
3 4 0 =t t

2
3 4 0 =t t

4
3
1

=



=

t
t
Bớc 4. Giải phơng trình cơ bản:

2
1
3
=
x
cotg
và
2 1
3 3
=
x
cotg




2 4
3 3
= =
x
tg tg

3 3
( )
2 2
= + Â
k
x k

2 3 3
1 ( )
3 4 8 2

= = = +
ữ

Â
x k
tg tg x k


35
Bớc 5. Các giá trị x tìm đợc thoả mãn điều kiện:
3 3
4 2
+
k
x

, vậy phơng
trình đã có nghiệm là:
3 3
2 2
( ).
3 3
8 2

= +




= +


Â
k
x
k
k
x


Bài tập
Giải các phơng trình sau đây:
1).
( )
2
1 3 3 0+ =tg x tgx
2).
2
cot 4cot 3 0 + =g x gx

3).
2
5 6 0
3 3

+ =
x x
tg tg
4).
2
4 3 4 2 0+ + =cotg x tg x
5).
2
2 5 2 0 + =tg x tgx
6).
2
2 2 2 1 0 + =tg x tg x
7).
2
3 4 7 0
2 2
=
x x
cotg cotg
8).
2 2
2 sec 0 =tg x x
9).
2 2
cot 0 =g x tg x
10).
2 2
sec 4 0 =x tg x
11).
2

3 2 3 3 0
2 2
=
x x
tg tg
12).
2
4 3 0
2 2
+ + =
x x
tg tg
Lời giải
Bài 1. Giải phơng trình:
( )
2
1 3 3 0+ =tg x tgx
Bớc 1. Đặt điều kiện:
cos 0 ( )
2
+ Âx x k k


Bớc 2. Đặt:
=tgx t
Thay vào phơng trình ta nhận đợc dạng:
( )
2
1 3 3 0+ =t t

Bớc 3. Giải pơng trình:
( )
2
1 3 3 0+ =t t


( )
2
1
1 3 3 0
3
=

+ =

=

t
t t
t

Bớc 4. Giải phơng trình cơ bản:
1=tgx
và
3=tgx




1 ( )

4 4
= = = + Âtgx tgx tg x k k



36



3 ( )
3 3

= = = +
ữ

Âtgx tgx tg x k k



Bớc 5. Các giá trị x tìm đợc thoả mãn điều kiện:
2
+x k


, vậy phơng
trình đã cho nghiệm là:
4
( )
3

= +




= +


Â
x k
k
x k




.
Bài 2. Giải phơng trình:
2
cot 4cot 3 0 + =g x gx
Bớc 1. Đặt điều kiện:
0 ( ) Âsinx x k k

Bớc 2. Đặt:
cot =gx t
Thay vào phơng trình ta nhận đợc phơng trình:
2
4 3 0 + =t t
Bớc 3. Giải phơng trình:
2

4 3 0t t + =

2
3
4 3 0
1
=

+ =

=

t
t t
t
Bớc 4. Giải phơng trình cơ bản:
cot 3gx =
và
cot 1gx =



cot 3 cot ( )= = = + Âgx g x k k




cot 1 cot cot ( )
4 4
= = = + Âgx gx g x k k

Bớc 5. Các giá trị x tìm đợc thoả mãn điều kiện:
x k

, vậy phơng trình
đã cho có nghiệm là:
( )
4
= +




= +

Â
x k
k
x k



.
Bài 6. Giải phơng trình:
2
2 2 2 1 0 + =tg x tg x
Bớc 1. Đặt điều kiện:
cos2 0 ( )
4 2

+ Â
k
x x k

Bớc 2. Đặt:
2 =tg x t
Thay vào phơng trình ta nhận đợc phơng trình:
2
2 1 0 + =t t
Bớc 3. Giải phơng trình:
2
2 1 0 + =t t

2
2 1 0 + =t t

1 =t

37
Bớc 4. Giải phơng trình cơ bản:
2 1=tg x


2
4
=tg x tg


( )
8 2

= + Â
k
x k

Bớc 5. Các giá trị x tìm đợc thoả mãn điều kiện:
4 2
+
k
x

, vậy phơng trình
đã cho có nghiệm là:
( ).
8 2
= + Â
k
x k

Bài 7. Giải phơng trình:
2
3 4 7 0
2 2
=
x x
cotg cotg
Bớc 1. Đặt điều kiện:
sin 0 2 ( )
2
Â
x

x k k

Bớc 2. Đặt:
2
=
x
cotg t
Thay vào phơng trình ta nhận đợc phơng trình:
2
3 4 7 0 =t t
Bớc 3. Giải phơng trình:
2
3 4 7 0 =t t

2
3 4 7 0 =t t

7
3
1

=



=

t
t
Bớc 4. Giải phơng trình cơ bản:

7
3
=cotgx
và
1= cotgx



7
3
=cotgx
=
cot g

( ) = + Âx k k





1= cotgx

( )
4
= cotgx cotg


( )
4
= + Âx k k

Bớc 5. Các giá trị x tìm đợc thoả mãn điều kiện:
2x k

, vậy phơng trình đã
cho có nghiệm là:
( ).
4

= +



= +

Â
x k
k
x k




Bài 8. Giải phơng trình:
2 2
2 sec 0 =tg x x

38
Bớc 1. Đặt điều kiện:

cos 0 ( )
2
+ Âx x k k


Phơng trình tơng đơng với:
2
1 0 =tg x
Bớc 2. Đặt:
=tgx t
Thay vào phơng trình ta nhận đợc phơng trình:
2
1 0 =t

Bớc 3. Giải phơng trình:
2
1 0 =t

2
1 0 =t

1 =t
Bớc 4. Giải phơng trình cơ bản:
1= tgx

1= tgx

( )
4
= + Âx k k

Bớc 5. Các giá trị x tìm đợc thoả mãn điều kiện:
2
+x k


, vậy phơng trình
đã cho có nghiệm là:
( ).
4
= + Âx k k



Bình luận
Quá trình dạy học giải phơng trình lợng giác dạng: bậc hai đối với tgx
hoặc cotgx theo một hàm số lợng giác đã góp phần phát triển một số yếu tố
của t duy thuật toán.
Từ ba ví dụ cụ thể phát biểu thành qui tắc giải phơng trình tổng quát
(khái quát hóa một quá trình diễn ra trên một số đối tợng riêng lẻ thành một
quá trình điễn ra trên một lớp đối tợng), áp dụng qui tắc tổng quát để giải các
phơng trình cụ thể (khả năng thực hiện thuật toán).
2.2. Rèn luyện TDTT và TDST trong dạy học phơng trình l-
ợng giác dạng bậc nhất đối với sinx và cosx
2.2.1. Các ví d
Ví d 1: Gii phng trình:
3sinx 3cosx 3+ =
(Giáo viên l m m u)
Bc 1. Chia hai v của phng trình cho:

2 2
(3) ( 3) 2 3+ =
Khi ó phơng trình (1) c chuyn v dng:
3 1 3
sinx cosx
2 2 2
+ =

39
Bc 2. t:
1
sin
6 2
=

;
3
6 2
=cos


Thay v o ph ng trình ta nhn c:
3
sinx.cos cosx.sin
6 6 2
+ =



3

sin(x )
6 2
+ =


Bc 3. Gii phng trình c bn:
3
sin(x )
6 2
+ =



sin(x ) sin
6 3
+ =


x k2
6
, k
x k2
2

= +




= +

Â




Bc 4. Vậy phng trình đã cho có nghim l :
( )
x k2
6
, k
x k2
2

= +




= +


Â




.
Ví d 2. Gii phng trình:

x x
3sin 3cos 2
2 2
=

(Giáo viên v h c sinh cùng gii)
Bc 1. Chi hai v của phng trình cho:
2 2
( 3) ( 3) 2 3+ =

Phơng trình c chuyn v dng:
1 x 3 x 6
sin cos
2 2 2 2 6
=

Bc 2. t:
1
cos
3 2
=

;
3
sin
3 2
=

Thay v o ph ơng trình ta nhn c:
x x 6

sin .cos cos .sin
2 3 2 3 6
+ =



x 6
sin( )
2 3 6
+ =


Bc 3. Gii phng trình c bn:
x 6
sin( )
2 3 6
+ =



40

x 6
sin( ) sin
2 3 6
+ = =



x

2k
2 3
x
2k
2 3

+ = +




+ = +







2
x 2 4k
3
( k )
4
x 2 4k
3

= +

= +


Â




Bc 4. Vậy phng trình có nghim l :
( )
2
x 2 4k
3
k
4
x 2 4k
3

= +




= +


Â

.
Ví d 3. Gii phng trình:
4sin2x + 5cos2x 7=
(Hc sinh làm là chủ yếu)
Bc 1. Chia hai v của phng trình cho:
2 2
4 5 41+ =
Phơng trình c chuyn v dng:
4 5 7
sin2x + cos2x =
41 41 41
Bc 2. t:
4 5
cos = ; sin
41 41
=

Thay v o ph ơng trình ta nhn ợc:
7
sin2x.cos +cos2x.sin =
41


7
sin(2x )
41
+ =

Bc 3. Gii phng trình c bn:
7
sin(2x )
41
+ =


7
sin(x )
41
+ =

vô nghim vì
7
1
41
>
Bc 4. Vậy phng trình đã cho vô nghim.
2.2.2. Quy tc gii
Khái quát hóa: T ba ví d trên các em hãy phát biu mt quy tc tng
quát bao gm các bc gii phng trình tng quát:

a.sinx b.cosx c+ =

( , , , 0) Ăa b a b

41
Bc 1. Chia hai v của phng trình cho:
2 2

a b+
Phơng trình đợc chuyn v:
2 2 2 2 2 2
a b c
sinx + cosx =
a b a b a b+ + +

Bc 2. t :
2 2
a
cos
a b
=
+

;
2 2
b
sin
a b
=
+

Thay v o ph ơng trình ta nhn c:
2 2
c
sinx.cos + cosx.sin =
a b+

2 2
c
sin( x )
a b
+ =
+

Bc 3. Gii phng trình c bn:
2 2
c
sin(x )
a b
+ =
+




Nu trng hp:
2 2 2
2 2
1> > +
+
c
c a b
a c
phng trình vô nghiêm
thì chuyển sang bớc 4, kết luận phơng trình đã cho vô nghiệm

Nu trng hp:
2 2 2
2 2
1 +
+
c
c a b
a c
phng trình có nghiêm,
thì giải phơng trình:
2 2
c
sin(x )
a b
+ =
+

Bc 4. Kết luận.
2.2.3. Ví d áp dng quy tc ( hc sinh gii )
Ví d 4. Gii phng trình:
3sinx + cosx = 2
Bc 1. Chia hai v phng trình cho:
2 2
( 3) (1) 2+ =
Phơng trình c chuyn về dng:
3 1 2
sinx + osx =
2 2 2
c
Bc 2. t:

3 1
os ; sin
6 2 6 2
= =c

Thay v o ph ng trình ta nhn c:
2
sinx.cos osx.sin
6 6 2
+ =c


42



2
sin( )
6 2
+ =x


Bc 3. Gii phng trình c bn:
2
sin( )
6 2
+ =x

sin( ) sin
6 4
+ =x


2
12
( )
7
2
12

= +




= +


Â
x k
k
x k




Bc 4. Vậy phng trình đã cho có nghiệm l :
( )

2
12
7
2
12

= +




= +


Â
x k
k
x k




.
Ví d 5. Gii phung trình:
3sin4x 3 os4x 1 =c
Bc 1. Chia hai v của phng trình cho :
2 2
3 ( 3) 2 3+ =
Phơng trình c chuyn v dng:
3 1 3

sin4x os4x
2 2 6
=c
Bc 2. t:
3 1
os ; sin
6 2 6 2
= =c

Thay v o ph ơng trình ta nhn c:
3
sin4x.cos os4x.sin
6 6 6
=c



3
sin(4 )
6 6
=x


Bc 3. Gii phng trình cơ bản:
3
sin(4 )
6 6
=x

3
sin(4 ) sin
6 6
= =x



4 24 2
( )
5
24 2 4

= + +




= + +


Â
k
x
k
k
x



43

Bớc 4. Vậy phơng trình đã cho có nghiệm l :
4 24 2
.
5
24 2 4

= + +




= + +


Â
k
x
k
k
x


Ví dụ 6. Giải phơng trình:
x x
3 os 6sin = 5
2 2
c
Bớc 1. Chia hai vế của phơng trình cho:
2 2
( 3) ( 6 ) 3+ =

Phơng trình đợc chuyển vế dạng:
3 x 6 x 5
os sin =
3 2 3 2 3
c

Bớc 2. Đặt:
3 6
os ; sin
3 3
= =c


Thay v o ph ơng trình ta nhận đợc:
x x 5
os .cos sin .sin =
2 2 3
c


x 5
os( )=
2 3
+c

Bớc 3. Giải phơng trình cơ bản:
x 5
os( ) =
2 3
+c

x 5
os( ) = 1
2 3
+ >c

vô nghiệm
Bớc 4. Vậy pơng trình đã cho vô nghiệm.
Bài tập
Giải các phơng trình sau đây:
1).
osx - sinx = 1c
2).
3 osx 3sinx = 3c
3).
2sinx 5 osx = 4 c
4).
3 osx - 3sinx 1=c

5).
x x
os + 3sin 1
2 2
=c
6).
sinx - 3 osx = 2c

7).
5sinx 2 osx 4+ =c

8).
2sinx 2 osx = 2 c
9).
3 os3x 4sin3x 5 =c
10).
(1 3)sinx (1 3) osx 2+ + =c
11).
sinx 3 osx 3 =c
12).
5cos2 12sin 2 13 0+ =x x
13).
3sin 4 3cos4 6 =x x
14).
2sin 2cos 2 0
3 3
+ =
x x

44
Lời giải
B i 1. Giải phơng trình:
osx sinx 1 =c
Cách giải 1. Giải phơng trình:
osx sinx 1 =c

Bc 1. Chia hai vế của phng trình cho:
2 2
(1) ( 1) 2+ =
Phng trình c chuyn về dng:
2 2 2

osx sinx
2 2 2
c =

Bc 2. t:
2 2
os ; sin
4 2 4 2
= =c


Thay v o ph ng trình ta nhn c:
2
osx.cos sinx.sin =
4 4 2
c



2
os(x + )
4 2
=c

Bc 3. Gii phng trình c bn:
2
os(x + )
4 2
=c

os(x + ) os
4 4
=c c


( )
2
2
2
=




= +

Â
x k
k
x k




Bc 4. Vậy phng trình ã cho có nghim l :
( )
2
.
2

2
=




= +

Â
x k
k
x k



Cách gii 2. Gii phng trình:
osx sinx 1 =c

Bc 1. t:
1
4
=tg


Phng trình c chuyn v dng:
2
osx.cos sinx.sin
4 4 2
=c

2
os(x )
4 2
+ =c


Bc 2. Gii phng trình c bn:
2
os(x )
4 2
+ =c



45

os(x ) os
4 4
+ =c c


2
( )
2
2
=

= +

Â
x k
k
x k



Bc 3. Vậy phng trình đã cho có nghim l :
( )
2
2
2
=




= +

Â
x k
k
x k



.

Cách gii 3. Gii phng trình:
osx sinx 1 =c

Bc 1. Nhờ công thức:
2
2 2
1 - t 2t
osx , sinx
1 1 + t
= =
+
c
t
Khi đó phng trình c chuyn về dng:
2
0+ =t t
Bớc 2. Gii phng trình:
2
0+ =t t

( 1) 0 + =t t

0
1
=



=

t
t
Bc3. Gii các phng trình c bn:
sin 0=x
và
sin 1= x



sinx 0=

=x k

(
Âk
)



sinx 1=

sinx sin 2 ( )
2 2

= = +
ữ

Âx k k

Bc 4. Vậy phng trình ã cho có nghim l :
( )
2
2
=




= +

Â
x k
k
x k



.
B i 2. Gii phng trình:
3 osx 3sinx = 3c
Cách gii 1. Gii phng trình:
3 osx 3sinx = 3c
Bc 1. Chia hai v phng trình cho:
2 2
( 3) ( 3) 2 3+ =
Phơng trình c chuyn v dng:
1 3 3
osx sinx =

2 2 2
c
Bc 2. t:
1 3
os ; sin
3 2 3 2
= =c



46
Thay v o phà ¬ng tr×nh ta nhận được :
3
osx.cos sinx.sin =
3 3 2
−c
π π

3
os(x )
3 2
⇔ + =c
π

Bước 3. Giải phương tr×nh cơ bản:
3
os(x )
3 2
+ =c
π

os(x ) os
3 6
⇔ + =c c
π π
2
3 6
2
3 6

+ = +

⇔


+ =− +


x k
x k
π π
π
π π
π
2
6
( )
2
2


=− +

⇔ ∈


=− +


¢
x k
k
x k
π
π
π
π

Bước 4. VËy phương tr×nh đ· cho cã nghiệm l : à
2
6
.
2
2

= − +

∈


= − +



¢
x k
k
x k
π
π
π
π
C¸ch giải 2. Giải phương tr×nh:
3 osx 3sinx = 3−c
Bước 1. Chia hai vế phương tr×nh cho:
3
Khi đã ph¬ng tr×nh được chuyển vÒ dạng:
osx 3sinx = 3−c
Bước 2. Đặt:
3
3
=tg
π
Thay v o phà ương tr×nh ta nhận được:
3
osx. os sinx.sin
3 3 2
− =c c
π π

3
os x

3 2
 
⇔ + =
 ÷
 
c
π
Bước 3. Giải phương tr×nh cơ bản:
3
os x
3 2
 
+ =
 ÷
 
c
π


os x os
3 6
 
⇔ + =
 ÷
 
c c
π π

47

2
2
3 6
6
( )
5
2
2
3 6
2


+ = +
= +







+ = +
= +




Â
x k
x k

k
x k
x k








Bc 4. Vậy phng trình đã cho có nghiệm l :
2
6
.
2
2

= +




= +


Â
x k
k
x k

Cách gii 3. Gii phng trình:
3 osx 3sinx = 3c
Bc 1. Nhờ công thức:
2
2 2
1 2
osx ; sinx
1 1

= =
+ +
t t
c
t t
Thay v o ph ng trình ta nhn c:
2
(3 3) 6 3 3 0+ + + =t t
Bớc 2. Gii phng trình:
2
(3 3) 6 3 3 0+ + + =t t

2
(3 3) 6 3 3 0+ + + =t t

1
3 2

=



=

t
t
Bc 3. Gii các phng trình c bn:
sin 1= x
và
1
sinx
2
=



sinx 1=

sinx sin
2

=
ữ


( )
2
2

= + Âx k k






1
sinx
2
=

sinx sin
6

=
ữ



2
6
( )
7
2
6

= +

= +


Â
x k
k
x k




Bc 4. Vậy phng trình ã cho có ba họ nghim:
2
2
2 ( ).
6
7
2
6

= +



= +

= +


Â
x k
x k k
x k






B i 6. Gii phng trình:
sinx - 3 osx = 2c
Cách gii 1. Phng trình:
sinx - 3 osx = 2c

48