Luận văn Thạc sỹ: Dùng hình học cao cấp để xây dựng hệ thống bài tập hình học sơ cấp nhằm bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh chuyên toán THPT

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Trong thời kỳ công nghiệp hóa, hiện đại hóa của đất nước ta hiện nay
việc phát triển lực lượng lao động khoa học, kỹ thuật chất lượng cao đang là
vấn đề được quan tâm hàng đầu. Hơn lúc nào hết, việc phát hiện và bồi dưỡng
nhân tài cho đất nước được coi là quốc sách. Vấn đề này được thể hiện qua
các nghị quyết số 14/NQTƯ (11/1979) và đặc biệt là Hiến pháp nước Cộng
hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam (1992, Điều 66, Điều 72) đã trực tiếp đề cập
đến việc phát triển các trường đào tạo tài năng, đặc biệt là tài năng trẻ.
Hội nghị lần IV BCHTƯ Đảng khóa VII (1/1993) đã ra nghị quyết về
"Tiếp tục đổi mới sự nghiệp giáo dục và đào tạo", nêu rõ bốn quan điểm chỉ
đạo của Đảng, trong đó có quan điểm thứ hai trực tiếp đề cập đến việc "nâng
cao dân trí, đào tạo nhân lực và bồi dưỡng nhân tài".
Nghị quyết Đại hội IX của Đảng khẳng định: "Con đường công nghiệp
hóa, hiện đại hóa của nước ta cần và có thể rút ngắn thời gian so với các
nước đi trước, vừa có những bước tuần tự, vừa có những bước nhảy vọt về
khoa học và công nghệ, bước nhảy vọt về dân trí, nhân lực, nhân tài cùng với
cơ sở cần thiết, được đào tạo nên bởi một trong những yếu tố quyết định là
giáo dục và đào tạo".
Trong phần hai của Văn kiện hội nghị lần thứ IX của BCHTƯ khóa IX
có viết: "Bộ chính trị ra nghị quyết về công tác quy hoạch cán bộ, trong đó
cần nhấn mạnh việc phát triển, tuyển chọn, đào tạo, bồi dưỡng và sử dụng tài
năng".
Đào tạo nhân tài là một trong những mục tiêu quan trọng nhất của
ngành giáo dục, mà các trường chuyên là một trong những mũi nhọn tiên
phong trong quá trình đào tạo nhân tài cho đất nước. Qua 42 năm tồn tại và
phát triển, các trường chuyên đã có những đóng góp to lớn. Tuy nhiên, bên
cạnh đó còn có rất nhiều hạn chế. Cụ thể, chúng ta thấy hiện nay ở các trường
chuyên đang đi theo con đường "luyện thi", "luyện gà chọi", đánh giá chất
1
lượng nặng về thành tích thi học sinh giỏi nên quên đi mục tiêu lâu dài, mục

tiêu mang tính chất chiến lược, đó là phát triển và bồi dưỡng năng lực của học
sinh giúp những học sinh năng khiếu trở thành những tài năng cho đất nước.
Trong hệ thống các lớp chuyên toán THPT của nước ta hiện nay đang
gặp nhiều khó khăn, bất cập, trong đó việc chưa có một bộ sách giáo khoa
dành riêng cho các lớp chuyên toán là một khó khăn không nhỏ. Tài liệu mà
các giáo viên giảng dạy chủ yếu là do giáo viên tự biên soạn dựa theo khung
hướng dẫn của Bộ giáo dục và đề thi học sinh giỏi các năm.
Mặc dù các lớp chuyên toán có ý nghĩa vô cùng to lớn trong việc đào
tạo nhân tài cho đất nước nhưng chưa có một đội ngũ các chuyên gia nghiên
cứu và viết sách giáo khoa cho học sinh, đồng thời các giáo viên giảng dạy
cũng chưa chú trọng vấn đề này.
Mặt khác, hướng dùng toán cao cấp soi sáng toán sơ cấp để xây dựng
chuyên đề dạy học sẽ phát huy được năng lực giải toán cho học sinh nhưng
chưa được quan tâm nghiên cứu một cách đầy đủ, toàn diện.
Vì các lí do trên nên chúng tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu là
"Dùng hình học cao cấp để xây dựng hệ thống bài tập hình học sơ cấp
nhằm bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh chuyên toán THPT" là
một hướng đi thích hợp, hữu ích cho giáo viên trong việc giảng dạy ở các lớp
chuyên toán THPT hiện nay.
2. Mục đích nghiên cứu
Dùng hình học cao cấp xây dựng hệ thống bài tập về tứ diện trực tâm
và bài toán "con bướm" giúp giáo viên bồi dưỡng năng lực giải toán cho học
sinh chuyên toán THPT.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu cơ sở lí luận về quá trình dùng hình học cao cấp soi sáng
hình học sơ cấp.
- Nghiên cứu thực trạng quá trình dạy học ở chuyên toán THPT.
2
- Xây dựng hệ thống bài tập về tứ diện trực tâm và bài toán "con
bướm".

- Đề xuất một số biện pháp nhằm giúp giáo viên bồi dưỡng năng lực
giải toán cho học sinh chuyên toán THPT.
4. Giả thuyết khoa học
Nếu dùng hình học cao cấp xây dựng hệ thống bài tập về tứ diện trực
tâm và bài toán "con bướm" góp phần giúp giáo viên bồi dưỡng năng lực giải
toán cho học sinh chuyên toán THPT hiệu quả.
5. Phương pháp nghiên cứu
5.1. Nghiên cứu lí luận
- Nghiên cứu khai thác tài liệu về lí luận dạy học môn Toán ở trường
phổ thông.
- Nghiên cứu khai thác tài liệu về bồi dưỡng năng lực giải toán cho học
sinh khá giỏi.
- Nghiên cứu chương trình hình học cao cấp ở bậc đại học và hình học
sơ cấp dành các lớp chuyên toán THPT.
5.2. Phương pháp điều tra quan sát
- Điều tra thực trạng giảng dạy của giáo viên và học tập của học sinh
trước và sau thử nghiệm.
- Quan sát việc học tập của học sinh liên quan đến luận văn.
- Thu thập kết quả thực tế của học sinh làm cơ sở thực tiễn để đưa ra hệ
thống bài tập phù hợp có tính khả thi dành cho đối tượng học sinh chuyên
toán khối 11.
- Đánh giá kết quả thử nghiệm.
5.3. Phương pháp tổng kết kinh nghiệm
- Thống kê số liệu sau thử nghiệm của lớp thử nghiệm.
- Lấy ý kiến đánh giá tham khảo của giáo viên trực tiếp giảng dạy để
điều chỉnh luận văn cho phù hợp với thực tiễn dạy học phần chuyên đề được
xây dựng.
3
6. Đối tượng và khách thể nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Lí thuyết về phần đơn hình trực tâm và các

tính chất liên quan, bài toán "con bướm" đối với siêu mặt bậc hai.
- Khách thể nghiên cứu: Quá trình dạy học hình học ở các lớp chuyên
toán THPT.
7. Phạm vi nghiên cứu
Học sinh và giáo viên trường chuyên Lam Sơn - Thanh hóa.
8. Cấu trúc luận văn
Phần 1: Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
2. Mục đích nghiên cứu
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
4. Giả thuyết khoa học
5. Phương pháp nghiên cứu
6. Đối tượng và khách thể nghiên cứu
7. Phạm vi nghiên cứu
8. Cấu trúc luận văn
Phần 2: Nội dung
Chương 1- Cơ sở lí luận
Chương 2- Dùng hình học cao cấp soi sáng hình học sơ cấp.
Chương 3- Bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh chuyên toán
THPT, thông qua việc giải bài tập hình học. Thử nghiệm sư phạm.
Phần 3: Kết luận
4
Chương 1
CƠ SỞ LÍ LUẬN
1.1. Lí luận về năng lực giải toán của học sinh
1.1.1. Năng lực (ability)
Khái niệm năng lực đã từ lâu được rất nhiều nhà giáo dục học quan
tâm, nghiên cứu và cũng có rất nhiều cách quan niệm về khái niệm này.
Chẳng hạn như
Theo Từ điển Tiếng Việt 1995 NXB Đà Nẵng

Năng lực:
1) Khả năng, điều kiện chủ quan hoặc tự nhiên sẵn có để thực hiện một
hoạt động nào đó.
2) Phẩm chất tâm lí và sinh lí tạo cho con người khả năng hoàn thành
một loại hoạt động nào đó với chất lượng cao.
Theo Từ điển Giáo dục (NXBGD):
Năng lực, khả năng được hình thành hoặc phát triển, cho phép một con
người đạt thành công trong một hoạt động thể lực, trí tuệ hoặc nghề nghiệp.
Năng lực được thể hiện vào khả năng thi hành một hoạt động, thực hiện
một nhiệm vụ. Năng lực chỉ có hiệu quả khi nó được chứng minh. Trong
trường hợp ngược lại nó chỉ là giả định hoặc không có thực.
Năng lực có thể bẩm sinh hoặc do rèn luyện mà chiếm lĩnh được. Nó
phát triển bởi kinh nghiệm hoặc bởi việc học tập phù hợp với tính riêng biệt
của cá nhân.
Năng lực được coi như khả năng của con người khi đối mặt với những
tình huống mới, gợi lại được những tin tức và những kỹ thuật đã được sử
dụng trong những thực nghiệm trước đây.
Hiện nay trên thế giới vẫn chưa có một định nghĩa thống nhất về năng
lực. PGS.TS Trần Thúc Trình trong cuốn "Tư duy và hoạt động toán học" đã
viết một số định nghĩa về năng lực như sau:
5
"Ở Hoa Kỳ định nghĩa được sử dụng rộng rãi nhất (theo nghĩa có nhiều
tài liệu đề cập và nhiều hệ thống trường học công nhận để hướng dẫn hành
động của mình) là định nghĩa của Sidney Marlan: "Trẻ em có năng khiếu và
tài năng là những trẻ em có những năng lực nổi bật, có khả năng đạt được
những thành tích cao đã qua thẩm định của các nhà chuyên môn giỏi. Đó là
những trẻ em đòi hỏi một chương trình giáo dục chuyên biệt hay được giáo
dục với nội dung vượt xa chương trình học bình thường, để có những đóng
góp cho bản thân và xã hội. Những trẻ em có tiềm lực cho những thành tích
cao trong một hay một số mặt sau:

- Năng lực trí tuệ chung
- Năng khiếu hàn lâm riêng biệt
- Tư duy sáng tạo hay phát triển
- Năng lực lãnh đạo
- Nghệ thuật quan sát hay trình diễn
- Năng lực tâm vận.
A.H.Passow định nghĩa tài năng như là khả năng đạt được thành tích
nổi bật trong bất kỳ lĩnh vực xã hội nào của con người, hạn chế ở lĩnh vực hàn
lâm của ngôn ngữ, khoa học xã hội, khoa học tự nhiên và toán học, ở lĩnh vực
nghệ thuật như âm nhạc, hội họa, tạo hình, và ở lĩnh vực quan hệ người với
người.
Nói chung năng khiếu là phải có thành phần sáng tạo, đó là quan điểm
được nhất trí bởi Gakkagher và Weiss (1979) – hai ông đã có nhiều cố gắng
tổng kết những đặc trưng của trẻ em có óc sáng tạo: đó là những em bé có
năng lực nổi bật trong khái quát, nhìn nhận, trình diễn hay mô tả tư tưởng
mới, quan điểm mới hay sản phẩm mới.
Các nhà triết học duy vật cho rằng:
Con người có những năng lực khác nhau vì có những tố chất khác
nhau. Tố chất là cơ sở tự nhiên ban đầu của năng lực, còn chưa được phát
6
triển và chỉ được bộc lộ ra trong hành động, đó chính là những tính chất giải
phẫu sinh lí. C. Mác chỉ ra rằng:
"Con người là một thực thể tự nhiên, lại là một thực thể tự nhiên sống,
con người một mặt đước phú cho những sức lực tự nhiên, những sức lực
sống, trong khi vẫn là một thực thể tự nhiên hoạt động, những sức lực ấy tồn
tại trong con người ở dạng những tố chất và năng lực, dưới dạng những đam
mê Tuy nhiên những sức lực tự nhiên ấy cần có môi trường thuận lợi mới
phát triển được nếu không sẽ bị thui chột".
Muốn phát triển các tố chất phải kiên trì lao động. "Thiên tài đó là 1%
hứng khởi và 99% mồ hôi" (Gioocgiơ Bupphông - Pháp, thể kỷ XVIII)

([36], tr 48)
Nhà tâm lí học Xô- viết V.A. Kơrutecxki cho rằng:
- Khi nói đến năng lực tức là nói đến năng lực trong một loại hoạt động
nhất định của con người. Nó chỉ tồn tại một loại hoạt động nhất định, vì vậy
chỉ trên cơ sở phân tích loại hoạt động đó mới thấy được biểu hiện của năng
lực.
- Năng lực là một cái gì động: Nó không những chỉ thể hiện và tồn tại
trong hoạt động tương ứng mà nó còn được tạo nên trong hoạt động và phát
triển hoạt động.
- Trong các thời kỳ phát triển riêng biệt xác định của con người thì xuất
hiện các điều kiện thích hợp nhất cho việc hình thành và phát triển các loại
năng lực riêng biệt.
- Kết quả của hoạt động thường phụ thuộc vào một lớp tổ hợp năng lực.
([15]).
Nghiên cứu về lý thuyết năng lực của các tác giả đã nêu trên có thể
hiểu năng lực, khả năng được hình thành và phát triển cho phép con người
đạt được thành công trong một hoạt động nào đó. Năng lực tiềm ẩn ở mỗi
con người nếu không có môi trường thuận lợi để nó phát triển thì năng lực sẽ
7
bị thui chột. Năng lực của mỗi con người là khác nhau, có người năng lực
cao đó là những thiên tài hay những người có năng khiếu.
1.1.2. Lí luận về năng lực toán học
Năng lực nói chung chỉ tồn tại trong hoạt động, nói riêng năng lực toán
học chỉ tồn tại trong hoạt động toán học và chỉ trên cơ sở phân tích hoạt động
toán học mới thấy được biểu hiện năng lực toán học. Năng lực toán học cũng
ở trạng thái động, nó hình thành và phát triển trong hoạt động toán học theo
từng thời kỳ, có thời kỳ thích hợp nhất cho việc hình thành và phát triển năng
lực toán học, thường vào lứa tuổi 12, 13, 14. Cũng thường xảy ra các tổ hợp
năng lực toán học với triết học, toán học với ngoại ngữ
a) Năng lực toán học

Được hiểu theo hai ý nghĩa, hai mức độ:
Một là, theo ý nghĩa năng lực học tập (tái tạo) tức là năng lực đối với
việc học toán, đối với việc nắm giáo trình toán học ở trường phổ thông, nắm
một cách nhanh và tốt các kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo tương ứng.
Hai là, theo ý nghĩa năng lực sáng tạo (khoa học) tức là năng lực đối
với hoạt động sáng tạo toán học tạo ra những kết quả mới, khách quan có một
giá trị lớn đối với loài người" ([15], tr13).
Bộ óc con người có thiên hướng tách từ môi trường xung quanh những
kích thích loại quan hệ không gian, quan hệ số lượng, quan hệ lôgic và có
thiên hướng làm việc hiểu quả với các kích thích thuộc loại đó.
Khuynh hướng toán học của trí tuệ đặc trưng cho những người có năng
lực toán học là thường tri giác nhiều hiện tượng qua lăng kính của các quan
hệ toán học, thường nhận thức các hiện tượng đó trên phương diện toán học.
b) Theo sơ đồ khái quát của cấu trúc năng lực toán học ở lứa tuổi học
sinh
Theo Khinsin thì năng lực toán học thể hiện ở những nét sau:
- Suy luận theo sơ đồ lôgic
- Khuynh hướng đi tìm con đường ngắn nhất dẫn đến mục đích
8
- Phân tích chính xác kí hiệu
- Có căn cứ đầy đủ trong các lập luận, đặc biệt không bao giờ chấp
nhận những khái quát không có suy luận, những phép tương tự không có cơ
sở
Theo Kônmôgôrôp thì trong thành phần của những năng lực toán học
có:
- Năng lực biến đổi khéo léo những biểu thức chữ phức tạp, năng lực
tìm kiếm con đường giải phương trình không theo quy tắc chuẩn, năng lực
tính toán.
- Trí tưởng tượng hình học hay trực giác hình học.
- Nghệ thuật suy luận lôgic theo các bước đã được phân chia một cách

đúng đắn kế tiếp nhau, đặc biệt hiểu và có kỹ năng vận dụng đúng đắn quy
nạp toán học là tiêu chuẩn của sự trưởng thành lôgic hoàn toàn cần thiết đối
với nhà toán học.
Theo Kơrutecxki thì cấu trúc của năng lực toán học bao gồm những
thành phần sau:
- Thu nhận thông tin toán học: Năng lực tri giác hình thức hóa tài liệu
toán học, năng lực nắm cấu trúc hình thức của bài toán.
- Chế biến thông tin toán học:
+ Năng lực tư duy lôgic trong lĩnh vực quan hệ số lượng và không gian,
hệ thống ký hiệu số và dấu. Năng lực tư duy bằng kí hiệu toán học.
+ Năng lực khái quát hóa nhanh và rộng các đối tượng, quan hệ toán
học và các phép tính, phép toán.
+ Năng lực rút gọn quá trình suy luận toán học và hệ thống các phép
toán tương ứng. Năng lực tư duy bằng các cấu trúc rút gọn.
+ Tính linh hoạt mềm dẻo của quá trình tư duy trong hoạt động toán
học.
+ Khuynh hướng vươn tới tính rõ ràng, đơn giản, tiết kiệm, hợp lí của
lời giải.
9
+ Năng lực nhanh chóng và dễ dàng sửa lại phương hướng của quá
trình tư duy thuận sang tư duy đảo (trong suy luận toán học).
- Lưu trữ thông tin toán học: Trí nhớ toán học (trí nhớ khái quát về các
quan hệ toán học đặc điểm về loại, sơ đồ, suy luận và chứng minh; phương
pháp giải toán; nguyên nhân tắc đường lối giải toán).
- Thành phần tổng hợp khái quát hóa.
- Khuynh hướng toán học của trí tuệ.
Các thành phần nêu ở trên quan hệ biện chứng với nhau hợp thành một
hệ thống duy nhất, một cấu trúc toàn vẹn của năng lực. Ngoài ra, trong cấu
trúc năng lực còn có thể có các thành phần không bắt buộc như:
+ Tốc độ của quá trình tư duy.

+ Năng lực tính toán.
+ Trí nhớ về chữ số, số, công thức.
+ Năng lực tưởng tượng không gian.
+ Năng lực biểu diễn trực quan các quan hệ và phụ thuộc toán học trừu
tượng.
Phân tích sơ đồ cấu trúc của năng lực toán học ta có thể chú ý rằng một
số yếu tố xác định trong đặc điểm của các mặt tri giác, tư duy, trí nhớ của
hoạt động toán học có một ý nghĩa chung. Chẳng hạn, việc tri giác hình thức
hóa bài toán đó là một sự tri giác được khái quát hóa, tắt, linh hoạt; trí nhớ
toán học đó là một trí nhớ về các hệ thống khái quát, tắt và linh hoạt. Nếu như
ta nói đến việc tri giác hình thức hóa (khái quát) bài toán, thì cũng có thể nói
đến việc giải hình thức hóa (khái quát) và đến việc ghi nhớ hình thức hóa
(khái quát). Vì vậy, sơ đồ triển khai của cấu trúc năng lực có thể biểu thị bằng
một công thức cô đọng hơn: Năng lực toán học được đặc trưng bởi tư duy
khái quát, gọn, tắt và linh hoạt trong lĩnh vực các quan hệ toán học, hệ thống
các ký hiệu số, dấu và bởi khuynh hướng toán học của trí tuệ.
Đặc điểm của tư duy toán học dẫn đến việc tăng cường tốc độ chế biến
thông tin toán học. Điều này liên quan đến việc thay thế một khối lượng thông
10
tin lớn bởi một khối lượng thông tin nhỏ do khái quát hóa và suy luận gọn, tắt
và vì vậy liên quan đến việc tăng cường tiết kiệm sức lực của trí tuệ.
Các năng lực đã nêu biểu hiện với các mức độ khác nhau ở các em học
sinh giỏi , khá, trung bình, yếu. Ở các em có năng khiếu, các em giỏi thì các
mối liên tưởng khái quát, tắt, linh hoạt, ngược và hệ thống trên tài liệu toán
học được tạo thành ngày tức khắc, sau đó một số ít bài tập. Ở các em kém thì
mối liên tưởng đó được tạo thành một cách hết sức khó khăn. Ở các em trung
bình thì muốn hình thành dần dần các mối liên tưởng đó cần phải có cả một
hệ thống bài tập, cần phải có sự rèn luyện. Chính vì vậy, người giáo viên cần
đánh giá năng lực toán học của học sinh một cách đúng đắn để có thể giúp đỡ
học sinh học toán tốt hơn.

Những chỉ tiêu năng lực toán học cơ bản của UNESCO Paris (1973):
- Năng lực phát biểu và tái hiện những định nghĩa, kí hiệu, các phép
toán, các khái niệm.
- Năng lực tinh nhanh và cẩn thận, sử dụng đúng các kí hiệu.
- Năng lực dịch chuyển các dữ kiện thành kí hiệu.
- Năng lực biểu diễn các dữ kiện, ẩn, các điều kiện ràng buộc giữa ẩn
và các dữ kiện thành kí hiệu.
- Năng lực theo dõi một hướng suy luận hay chứng minh.
- Năng lực xây dựng một chứng minh.
- Năng lực giải một bài toán đã toán học hóa.
- Năng lực giải một bài toán chưa toán học hóa (toán có lời văn).
- Năng lực phân tích bài toán và xác định các phép toán có thể áp dụng
để giải.
- Năng lực khái quát hóa toán học.
1.1.3.Lí luận về năng lực giải toán của học sinh
a) Năng lực giải toán của học sinh
Năng lực giải toán của học sinh là một biểu hiện của năng lực toán học,
có thể hiểu:
11
Năng lực giải toán của học sinh là những đặc điểm tâm lí cá nhân đáp
ứng cao yêu cầu lĩnh hội tri thức, có khả năng huy động các kiến thức, các kỹ
năng khoa học, các thủ pháp nhận thức, các cách giải quyết vấn đề trong
hoạt đông giải toán, hướng đến việc tạo ra các phẩm chất tư duy có tính mới
mẻ có giá trị với bản thân học sinh.
Học sinh có năng lực giải toán, tức là khi cho biết đề bài toán học sinh
tức thì có thu nhận thông tin toán học của bài toán, chế biến các thông tin đó,
huy động trí nhớ toán học tìm ra phương pháp giải bài toán đó đồng thời cũng
lưu trữ thông tin đó sau khi đã tổng hợp khái quát hóa.
Theo G. Pôlya học sinh có năng lực giải toán tức là phải biết giải toán,
không chỉ những bài toán thông thường mà cả những bài toán đòi hỏi tư duy

độc lập nhất định, có óc phán đoán, tính độc đáo, sáng tạo.
b) Năng lực giải toán hình học của học sinh phổ thông
Theo Ăng-ghen "Đối tượng của toán học thuần túy là những hình dạng
không gian và những quan hệ số lượng của thế giới khách quan".
Thực tiễn cho thấy môn hình học nói riêng và môn toán nói chung
không chỉ cung cấp cho những kiến thức mà nó còn giúp học sinh phát triển
năng lực trí tuệ chung. Do tính trừu tượng cao của hình học nên nó có thể
giúp rất nhiều cho việc rèn luyện ở học sinh óc trừu tượng. Do tính chính xác
cao, lập luận lôgic chặt chẽ, hình học có khả năng phong phú dạy cho học
sinh tư duy hợp lôgic và tư duy biện chứng. Việc tìm cách chứng minh hay
giải một bài toán hình học có tác dụng lớn trong việc rèn luyện cho học sinh
tư duy sáng tạo, rèn cho học sinh phương pháp khoa học trong suy nghĩ, biết
giải quyết vấn đề bằng phân tích tổng hợp, so sánh, khái quát hóa Từ đó học
sinh phát triển phẩm chất tư duy linh hoạt, độc lập, sáng tạo.
Vậy năng lực giải toán hình học của học sinh được hiểu là: Năng lực
giải toán hình học của học sinh là những đặc điểm tâm lí các nhân, đáp ứng
yêu cao yêu cầu lĩnh hội tri thức hình học, có khả năng huy động kiến thức,
kỹ năng khoa học, các thủ pháp nhận thức, các cách thức giải quyết vấn đề
12
trong hoạt động giải bài toán hình học hướng đến việc tạo ra sản phẩm tư
duy có tính mới mẻ có giá trị với bản thân học sinh.
Có thể hiểu một cách gọn hơn: "Học sinh có năng lực giải toán hình
học tức là có khả năng giải các bài tập hình học theo lược đồ của G. Pôlya".
Học sinh có năng lực giải toán hình học khi cho biết đề bài toán hình
học thể hiện ngay năng lực giải toán. Có thể vẽ hình đúng, chính xác, rõ ràng
với những bài cần vẽ hình, với những bài toán chứng minh hình học biết rõ
giả thiết và kết luận. Sau đó có thể tìm ngay ra cách chứng minh bài toán. Từ
bài toán đó lại có thể chứng minh hoặc làm thêm câu hỏi hoặc khái quát hóa,
tương tự, Với các bài toán quỹ tích hay dựng hình học sinh cũng có thể giải
và làm rõ các trường hợp đặc biệt, biện luận bài toán.

Học sinh có năng lực giải toán ở THPT cũng vậy, các em biết tìm cách
giải và trình bày lời giải bài toán hình học rõ ràng sáng sủa.
Một vấn đề đặt ra là khi dạy hình học ở THPT, đặc biệt là lớp 11, làm
thế nào để biết một học sinh có năng lực giải toán hình học? Theo chúng tôi
học sinh đó có thể
+ Giải nhanh các bài tập hình học.
+ Nghĩ ra nhiều cách giải khác nhau cho cùng một bài toán hình học.
+ Nghĩ ra những khả năng vẽ hình và trình bày lời giải bài toán hình
học tốt.
+ Ít mệt mỏi trong những giờ học hình học, ngược lại còn ham mê,
hứng thú.
1.1.4. Các yêu cầu rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh THPT
a) Mục đích dạy học Toán trong nhà trường phổ thông
Theo [44] dạy học Toán trong nhà trường phổ thông nhằm giúp học
sinh lĩnh hội và phát triển một hệ thống kiến thức, kỹ năng thói quen cần thiết
cho:
- Cho cuộc sống hàng ngày với những đòi hỏi đa dạng của cá nhân, của
gia đình, trong cộng đồng.
13
- Tiếp tục học tập, tìm hiểu Toán học dưới bất kỳ hình thức nào của
giáo dục thường xuyên.
- Hình thành và phát triển các phẩm chất tư duy cần thiết của một con
người có học vấn trong xã hội hiện đại (tư duy lôgic, thuật giải, hình tượng…)
cùng những phẩm chất và thói quen khác như đầu óc suy lí, tính chính xác,…
- Hình thành và phát triển vốn ngôn ngữ và nắm vững công cụ Toán
học trong việc giải quyết các vấn đề có yêu cầu sử dụng trực tiếp các phương
pháp toán học.
- Góp phần quan trọng trong việc hiện thực hóa khả năng hình thành
thời gian khoa học qua Toán học, hiểu được bức tranh toàn cảnh của khoa học
cũng như năng lực hình thành một số phẩm chất khác.

- Hiểu rõ nguồn gốc thực tiễn của Toán học và vai trò của nó trong quá
trình hình thành và phát triển văn hóa, văn minh nhân loại cùng với những
tiến bộ của khoa học, kỹ thuật.
b) Yêu cầu nhiệm vụ môn toán ở trường phổ thông
Xuất phát từ mục tiêu của nhà trường XHCN, từ đặc điểm và vị trí môn
toán, việc dạy học môn này có nhiệm vụ sau ([20], tr 6):
- Truyền thụ tri thức, kỹ năng toán học và kỹ năng vận dụng toán học
vào thực tiễn.
` - Phát triển năng lực trí tuệ chung.
- Giáo dục tư tưởng chính trị, phẩm chất đạo đức và thẩm mỹ.
- Đảm bảo chất lượng phổ cập đồng thời chú trọng phát hiện và bồi
dưỡng năng khiếu về toán.
c) Một số năng lực khi giải toán
Kiến thức là cơ sở của năng lực, do đó tùy theo nội dung kiến thức
truyền thụ cho học sinh mà ta có những yêu cầu rèn luyện kỹ năng, năng lực
tương ứng. Con đường đi từ chỗ có kiến thức đến chỗ có kỹ năng, năng lực là
con đường luyện tập bằng hoạt động, nội dung của sự luyện tập hay những
hoạt động tương ứng rất phong phú.
14
Một số kỹ năng, năng lực cần thiết khi giải toán ở THPT
- Năng lực tính toán: Năng lực tính toán là một trong những năng lực
cơ bản của việc học toán ở trường phổ thông. Trong thực tế đời sống, trong
sản xuất, kỹ thuật, đâu cũng đòi hỏi năng lực tính toán: tính nhanh, tính
đúng, tính hợp lí Nên cần rèn luyện, phát triển cho học sinh năng lực tính
toán.
- Năng lực khám phá và lĩnh hội những quy tắc, phương pháp:
+ Những quy tắc, phương pháp có tính thuật toán:
Ví dụ: Thuật toán giải phương trình bậc hai, hệ phương trình bậc nhất
hai ẩn.
Tuy có những quy tắc thể hiện phần nào nhưng không hoàn toàn yêu

cầu chặt chẽ của khái niệm thuật toán mà ta gọi là quy tắc mang tính chất
thuật toán.
Ví dụ: Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
+ Những quy tắc, phương pháp mang tính chất phi thuật toán
Ví dụ: Quy trình tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
1- Tìm điểm chung sẵn có của hai mặt phẳng
1.1- Tìm điểm chung trong các điểm đã cho của hai mặt phẳng,
1.2- Tìm điểm đã cho của mặt phẳng này thuộc đường thẳng của mặt
phẳng kia,
1.3- Tìm điểm đã cho của mặt phẳng này thuộc mặt phẳng kia.
Sau 1.1, 1.2, 1.3 nếu tìm được hai điểm chung phân biệt thì đường
thẳng đi qua hai điểm phân biệt đó là giao tuyến cần tìm. Nếu chưa có hai
điểm chung phân biệt thì thực hiện 2.
2- Tìm điểm chung chưa có sẵn của hai mặt phẳng (P), (Q).
2.1- Tìm một đường thẳng d thuộc (P) và một đường thẳng d' thuộc
(Q), d và d' cùng thuộc một mặt phẳng thứ ba (R).
Nếu tìm được d thuộc (P) (như trên) thì giao điểm của d và d'. Nếu có
giao điểm thì đó là một điểm chung của (P) và (Q),
15
Nếu không có giao điểm thì giao tuyến (nếu có) của (P) và (Q) song
song với d.
2.2- Tìm một mặt phẳng (R) cắt cả (P) lẫn (Q).
Nếu tìm được thì xác định hai giao tuyến (của (P) và (R), của (Q) và
(R)), rồi xác định giao điểm của hai giao tuyến đó. Nếu có giao điểm thì đó là
một điểm chung của (P) và (Q). Nếu không có giao điểm thì giao tuyến (nếu
có) của (P) và (Q) sẽ song song với hai giao tuyến đó.
- Năng lực vẽ hình và tính toán trên các hình.
- Năng lực vận dụng các kiến thức để giải bài toán (suy luận, chứng
minh, vận dụng kiến thức toán học để giải quyết vấn đề thích hợp trong đời
sống) và trình bày lời giải rõ ràng và chính xác.

- Năng lực chuyển từ tư duy thuận sang tư duy nghịch.
- Năng lực hoạt động tư duy hàm
- Năng lực toán học hóa các tình huống thực tiễn.
- Năng lực tự kiểm tra, tự đánh giá, trình bày lời giải và tránh sai lầm
khi giải toán.
1.2. Ý nghĩa của bài tập toán trong dạy học môn toán
Dạy học giải bài tập toán có tầm quan trọng đặc biệt và từ lâu đã là một
trong những vấn đề trung tâm của phương pháp dạy học toán ở trường phổ
thông. Đối với học sinh THPT và đặc biệt là các lớp chuyên toán THPT, có
thể coi việc giải bài tập toán là một hình thúc chủ yếu của việc học toán. Việc
giải bài toán có nhiều ý nghĩa:
- Đó là hình thức tốt nhất để củng cố, đào sâu, hệ thống hóa kiến thức
và rèn luyện kỹ năng. Trong nhiều trường hợp, giải bài toán là một hình thức
để dẫn dắt học sinh tự mình đi đến kiến thức mới.
- Đó là một hình thức vận dụng những kiến thức đã học vào những vấn
đề cụ thể, vào thực tế, vào các vấn đề mới.
16
- Đó là một hình thức tốt nhất để giáo viên kiểm tra được năng lực học
sinh và học sinh tự kiểm tra về năng lực, về mức độ tiếp thu và vận dụng kiến
thức đã học.
- Việc giải bài toán có tác dụng lớn gây hứng thú học tập cho học sinh,
phát triển trí tuệ và giáo dục rèn luyện cho con người về rất nhiều mặt.
Với ý nghĩa quan trọng như trên, trong việc lựa chọn hệ thống bài tập
toán và hướng dẫn học sinh giải toán, người giáo viên cần phải chú ý đầy đủ
đến tác động nhiều mặt của bài tập toán ([2])
1.3. Bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh chuyên toán THPT
Để bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh chuyên toán THPT người
giáo viên cần sử dụng tối ưu các phương pháp dạy học trong quá trình dạy
giải toán cho học sinh. Do vậy, ở đây chúng tôi đưa ra một số biện pháp bồi
dưỡng năng lực giải toán cho học sinh phổ thông chuyên toán.

1.3.1. Một số biện pháp bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh
a) Cơ sở lí luận để xây dựng các biện pháp nhằm phát triển năng lực
giải toán cho học sinh chuyên toán THPT
* Những cơ sở của tâm lí học và giáo dục học:
Quá trình dạy học được tiến hành bằng sự phối hợp giữa hoạt động dạy
của thầy giáo và hoạt động học của học sinh, cho nên các biện pháp sư phạm
phải thông qua hoạt động dạy tác động vào hoạt động học của học sinh, làm
cho học sinh có "động cơ hoàn thiện tri thức". Bản chất của hoạt động học là
quá trình tự tổ chức, tự điều khiển, điều chỉnh hoạt động nhận thức của mình,
đồng thời người chủ động trong hoạt động học. Mặt khác, nhân cách của học
sinh trong đó có kết quả trí dục, chính là chất lượng sản phẩm mà nhà trường
đào tạo cho xã hội. Vì vậy, cần chú ý đến hoạt động học, các biện pháp tập
trung vào phát triển các hoạt động học, các biện pháp tập trung vào tăng
cường các hoạt động nhằm bồi dưỡng, nâng cao năng lực giải toán cho học
sinh (năng lực nhận thức, năng lực thực hành, năng lực tổ chức hoạt động,
năng lực tự kiểm tra, đánh giá).
17
* Lí luận về phương pháp dạy học bộ môn toán:
Theo [2] và [20], phương pháp dạy học toán ở trường phổ thông phải
luôn gắn liền với việc truyền thụ tri thức, kỹ năng với việc giáo dục rèn luyện
con người, với việc bồi dưỡng và phát triển năng lực của học sinh.
Căn cứ vào nhiệm vụ của việc dạy học bộ môn: bên cạnh việc truyền
thụ kiến thức, rèn luyện kỹ năng thực hành toán học, học sinh còn phải rèn
luyện năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn, cụ thể là trau dồi cho học
sinh khả năng vận dụng những hiểu biết toán học vào việc học tập các môn
học khác, vào thực tiễn cuộc sống Do đó, cần thiết xây dựng các biện pháp
nhằm rèn luyện các kỹ năng giải toán cho học sinh nhằm bồi dưỡng, nâng cao
năng lực giải toán, góp phần thực hiện nhiệm vụ dạy học bộ môn. Các biện
pháp này được dựa trên quan điểm hoạt động với 4 tư tưởng chủ đạo
([20],tr73):

- Cho học sinh thực hiện và tập luyện những hoạt động và hoạt động
thành phần tương thích với nội dung và mục đích dạy học.
- Gây động cơ học tập và tiến hành hoạt động.
- Truyền thụ tri thức, đặc biệt là những tri thức phương pháp như
phương tiện và kết quả hoạt động.
- Phân bậc hoạt động làm chỗ dựa cho việc điều khiển quá trình dạy
học.
b) Nội dung biện pháp bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh chuyên
toán THPT
Theo các yêu cầu rèn luyện, nâng cao năng lực giải toán cho học sinh
trên cơ sở lí luận tâm lí học và giáo dục học đã trình bày ở trên: Biện pháp bồi
dưỡng năng lực thực hành cho học sinh nói chung và bồi dưỡng năng lực giải
toán cho học sinh nói riêng phải nhằm vào việc biến kiến thức và kỹ năng cơ
bản trong từng phần kiến thức một thành kiến thức và kỹ năng cơ bản tổng
hợp, hoàn chỉnh chuẩn bị cho mọi hoạt động học tâp, lao động nghề nghiệp
18
cho cả cuộc sống theo tinh thần giáo dục kỹ thuật tổng hợp và hướng nghiệp
dạy nghề qua môn toán ở trường phổ thông.
Một số biện pháp bồi dưỡng năng lực giải toán chủ yếu được đề nghị
theo phương châm chỉ đạo trên:
* Biện pháp 1: Trang bị đầy đủ các kiến thức về môn toán.
Để đảm bảo cho việc học tập môn toán được tốt, trước hết cần đảm bảo
cho học sinh nắm vững và có hệ thống các kiến thức trong chương trình. Từ
đó người thầy giáo chọn lọc các kiến thức và kỹ năng từ cơ bản đến nâng cao,
từ đơn giản đến phức tạp để dạy cho học sinh, sao cho đảm bảo 50% đến 75%
thời gian cho luyện tập kỹ năng.
* Biện pháp 2: Trang bị các tri thức về phương pháp toán:
- Dạy giải bài tập toán có nêu giả thiết, kết luận, không thỏa mãn khi
tìm được cách giải mà phải tìm được cách giải ngắn gọn nhất.
- Dạy cách giải bài tập toán, cách suy luận, phân tích ra những bài toán

nhỏ quen thuộc, Dạy tập dượt tìm tòi, phát hiện, sáng tạo theo con đường
suy đoán, suy diễn.
Đặc biệt, đối với những bài toán chưa có hoặc không có thuật giải, giáo
viên cần hướng học sinh cách suy nghĩ, cách tìm lời giải. Qua đó trang bị cho
học sinh một số tri thức về phương pháp giải toán. Thông qua dạy học một số
bài toán cụ thể mà dần dần truyền thụ cho học sinh cách thức kinh nghiệm
tiến tới linh hoạt trong việc suy nghĩ, tìm tòi lời giải các bài toán, hình thành
phương pháp giải một lớp các bài toán dạng quen thuộc. Bản gợi ý của G.
Pôlya về phương pháp tìm lời giải (thường được tìm theo 4 bước):
B1: Tìm hiểu đề bài toán,
B2: Xây dựng chương trình giải,
B3: Thực hiện chương trình giải,
B4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải.
19
Như vậy, để bồi dưỡng cho học sinh chuyên toán THPT chúng tôi cần
dạy cho học sinh giải toán dựa trên bảng hướng dẫn giải toán của G.Pôlya
theo hướng phát hiện và giải quyết vấn đề.
1.3.2. Phương pháp tìm lời giải
Theo lí luận của các nhà khoa học V.M Bradixơ, Fanghaenel,
Faorekhop, G.Pôlya, Phạm Văn Hoàn, Đỗ Trung Hiếu, có thể hiểu:"Giải
bài toán tức là tìm kiếm một cách có ý thức phương tiện thích hợp để đạt tới
mục đích của bài toán. Đó là một quá trình tìm tòi, sáng tạo, huy động kiến
thức - kỹ năng - thủ thuật và các phẩm chất của trí tuệ để giải quyết bài toán
đã cho" ([33]).
Xuất phát từ đặc điểm các bài toán bậc phổ thông (tính vừa sức, tính
kết quả, tính liên thông môn đồng bộ thống nhất và tính phát triển) tiến trình
giải một bài toán (gọi tắt là TTGT) được hiểu là một quá trình lao động phát
minh của học sinh (theo nghĩa sáng tạo tái tạo) để chiếm lĩnh tri thức mới
"đồng hóa- điều tiết thích nghi với môi trường có dụng ý sư phạm cùng với
các tính huống học tập lí tưởng được tạo ra" ([20], tr 225, 226, 227).

Phân tích - tổng hợp các quan niệm TTGT của G. Pôlya: Các nhà khoa
học GS.TSKH Nguyễn Bá Kim, GS.TSKH Phạm Văn Hoàn, Hoàng Chúng,
Nguyễn Thái Hòe đi đến nhận định chung:
+ Có thể thiết kế một TTGT (một algôrít tổng quát) theo các bước cơ
bản (tập hợp các thao tác trí tuệ).
+ TTGT phải tương thích với hệ thống giáo dục hiện hành: chương
trình SGK và đặc thù bậc học.
+ TTGT phải phát huy được năng lực sáng tạo - năng lực giải quyết vấn
đề của học sinh trong dạy học giải toán.
+ TTGT đảm bảo được tính khả thi, chất lượng và hiệu quả ([33]).
Căn cứ vào tiến trình giải toán gồm 4 bước của G.Pôlya, nhiều giáo
viên đã đạt kết quả cao khi dạy học sinh TTGT theo hướng phát hiện và giải
quyết vấn đề theo các bước sau:
20
Bước 1: Tìm hiểu đề bài toán,
Bước 2: Xây dựng chương trình giải bài toán,
Bước 3: Thực hiện chương trình giải bài toán,
Bước 4: Kiểm tra tiến trình giải toán, nghiên cứu lời giải.
a) Tìm hiểu bài toán
Để hiểu một bài toán, trước hết phải hiểu đề bài toán và hơn nữa còn
phải có hứng thú giải bài toán đó. Vì vậy, điều đầu tiên người thầy giáo cần
chú ý hướng dẫn học sinh giải toán là khêu gợi trí tò mò lòng ham muốn giải
toán của học sinh, giúp học sinh hiểu bài toán phải giải.
Thực chất của bước "tìm hiểu bài toán" là tiếp nhận bài toán, tri giác
vấn đề hay là giai đoạn chuẩn bị của quá trình sáng tạo.
+ Tạo tâm lí hứng thú giải toán, khêu gợi trí tò mò, gợi mở trí sáng tạo,
lòng ham muốn và khát vọng giải bằng được bài toán, tạo môi trường có dụng
ý sư phạm cùng các tình huống học tập lí tưởng.
+ Hiểu và phân tích bài toán, nhìn bài toán dưới nhiều góc độ khác
nhau biểu diễn hình học hoặc đồ thị, biểu thức đại số, đối với từng loại bài

toán. Tránh thói quen không tốt của một số học sinh là đi ngay vào các chi
tiết. Cần tách ra những yếu tố chính của bài toán, xem xét các yếu tố chính
nhiều lần và ở nhiều mặt. Nếu là bài toán về chứng minh thì yếu tố chính là
giả thiết và kết luận. Nếu bài toán về tìm tòi thì yếu tố chính là ẩn (cái cần
tìm, cái chưa biêt), là dữ kiện (những cái đã biết) và điều kiện (mối liên hệ
giữa cái cần tìm và cái cho) của bài toán.
+ Chuyển dịch ngôn ngữ tự nhiên trong bài toán sang ngôn ngữ kí hiệu
toán học.
Có những bài liên quan đến hình vẽ thì phải vẽ hình. Có những bài toán
lại cần đưa vào các kí hiệu. Điều này cũng giúp ta hiểu rõ đề toán.
* Hình vẽ:
Đối với bài toán hình học, nói chung phải vẽ hình. Hình vẽ làm hiện lên
đối tượng, các yếu tố cũng như các chi tiết cùng mối liên hệ giữa cái chi tiết
21
đã cho trong bài toán. Vì thế, thường sau khi vẽ hình đúng, đề toán được hiểu
rõ ràng cụ thể hơn.
Khi vẽ hình cần chú ý:
- Hình vẽ phải mang tính tổng quát, không nên vẽ hình trong trường
hợp đặc biệt vì thế dễ gây nên ngộ nhận.
Chẳng hạn, đối với bài toán tam giác thì không nên vẽ tam giác đặc
biệt, tứ diện không nên vẽ tứ diện đều, tứ diện vuông khi bài toán không đòi
hỏi.
- Hình vẽ phải rõ ràng, chính xác dễ nhìn thấy những quan hệ (song
song, cắt nhau, ) và tính chất (đường trung tuyến, trung trực, phân giác, ) mà
bài toán đã cho. Có những trường hợp còn phải khéo léo lựa chọn trình tự vẽ
các đối tượng hình học trong bài toán.
Ngoài ra, để làm nổi bật vai trò khác nhau của các đường, các tình
huống trong hình vẽ, có thể bằng nét đậm, nét nhạt, màu sắc khác nhau,
Đối với những bài toán không phải là hình học, ta cũng có thể dùng
một biểu diễn hình học, ví dụ dùng sơ đồ ven để biểu diễn tập hợp. Cảm nhận

trực giác trên biểu diễn hình học này có thể giúp ta dễ nắm bắt được nội dung
cơ bản của đề toán, như G. Pôlya đã nêu: "Tìm một biểu diễn hình học rõ
ràng, sáng sủa cho những bài toán không phải là bài toán hình học có thể
cho phép tiến một bước rõ rệt tới cách giải" ([27], tr131).
*Kí hiệu: Khi nghiên cứu đề toán, nhiều trường hợp ta phải chọn kí
hiệu và đưa kí hiệu vào một cách thích hợp. Dùng các kí hiệu toán học có thể
ghi lại các đối tượng và mối liên quan giữa chúng trong bài toán một cách
ngắn gọn, dễ nhớ, dễ quan sát. Cách kí hiệu thích hợp có thể nhanh chóng
giúp ta hiểu được đề toán.
"Thời gian dành để chọn kí hiệu sẽ được trả công rất hậu bởi thời gian
tiết kiệm được nhờ tránh khỏi mọi sự do dự và lẫn lộn" ([27], tr137).
Khi chọn các kí hiệu cần phải chú ý:
22
- Mỗi kí hiệu phải có nội dung và dễ nhớ, tránh nhầm lẫn hoặc hiểu
nước đôi.
- Thứ tự các kí hiệu và quan hệ giữa chúng phải giúp ta liên tưởng đến
thứ tự và quan hệ giữa các đại lượng tương ứng.
Không dùng một kí hiệu để cùng chỉ hai đối tượng khác nhau. Kí hiệu
cùng loại chỉ để chỉ các đối tượng cùng loại. Chẳng hạn, với tam giác ABC:
A, B, C chỉ các đỉnh; a, b, c chỉ các cạnh đối diện với các đỉnh tương ứng A,
B, C.
Như vậy, bước "Tìm hiểu bài toán" theo định hướng phát hiện và giải
quyết vấn đề phù hợp với bước "phát hiện/ thâm nhập vấn đề" của phương
pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề.
- Học sinh phát hiện vấn đề từ một tình huống gợi vấn đề nào đó.
- Phát biểu và chính xác hóa tình huống.
- Phát biểu vấn đề và đặt ra mục đích giải quyết vấn đề.
b) Xây dựng chương trình giải (giai đoạn ấp ủ của quá trình sáng tạo)
Tìm tòi lời giải là một bước quan trọng trong hoạt động giải toán. Nó
quyết định sự thành công hay không thành công, đi đến sự thành công nhanh

hay chậm của việc giải toán. Điều cơ bản ở bước này là biết "định hướng
đúng" để tìm ra được đường đi đúng.
+ Phát biểu các mối quan hệ định hướng định tính và định lượng của
bài toán. Huy động các lực lượng tâm lí tiềm thức, vốn tri thức, lượng thông
tin, kỹ năng và thủ thuật, kinh nghiệm về giải toán.
+ Lựa chọn cách giải
Theo lí luận dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề thì "xây dựng
chương trình giải" nằm trong bước 2 "giải quyết vấn đề" khi thực hiện dạy
học giải quyết vấn đề. Cần:
• Phân tích, làm rõ mối quan hệ giữa cái đã biết và cái phải tìm.
• Đề xuất và thực hiện hướng giải quyết, có thể điều chỉnh, thậm
chí bác bỏ và chuyển hướng khi cần thiết. Trong khâu này
23
thường hay sử dụng những quy tắc tìm đoán và chiến lược nhận
thức như sau: Quy lạ về quen, đặc biệt hóa, chuyển qua trường
hợp suy biến; xem xét tương tự, khái quát hóa, xét những mối
liên hệ phụ thuộc, suy ngược (tiến ngược, lùi ngược) và suy xuôi.
(Khâu này có thể làm nhiều lần cho đến khi tìm ra hướng đi
đúng) ([20]).
Không một thuật toán tổng quát nào để giải được mọi bài toán cả:
"Những người có kinh nghiệm giải toán" đã có lời khuyên như sau:
* Sử dụng bài toán đã giải
Việc tìm ra con đường đi đúng trong việc giải một bài toán nhiều khi
khá thuận lợi nếu ta nhớ lại được là ta đã từng tìm ra con đường đi đến cách
giải một bài toán tương tự hoặc gần giống với bài toán cần giải. Thực tế khó
mà đặt ra được một bài toán hoàn toàn mới, không giống bất hay liên quan
đến bài toán đã có. Mặt khác, cũng có thể có rất nhiều bài toán liên quan đến
bài toán đang giải. Cần phải lựa chọn được một hay một số bài toán trong đó
mà thực sự có lợi. Hãy xét kỹ lại cái chưa biết hay một cái chưa biết tương tự.
Hãy nhớ lại một bài toán đã được giải và gần giống với bài toán đang xét. Cần

phải lợi dụng bài toán đã giải này về phương pháp giải, về kết quả, về kinh
nghiệm giải toán. ([31], tr 6)
Chính là "quy lạ về quen", "xem xét tương tự" khi giải quyết vấn đề.
* Biến đổi bài toán:
Để đi đến cách giải một bài toán cần phải huy động và tổ chức những
kiến thức đã học từ trước. Cần phải nhớ lại và vận dụng những yếu tố cần
thiết cho việc giải toán. Có thể dùng định nghĩa hay định lí đã biết để thay thế
điều phải chứng minh hay cần tìm bằng cái tương đương, phát biểu bài toán
một cách khác. Việc biến đổi bài toán tạo ra những liên hệ mới, những khả
năng mới, gợi lại trong trí nhớ những gì liên quan đến bài toán đang xét.
24
c) Thực hiện chương trình giải
Sau khi đã tìm được cách giải rồi tiến hành thực hiện chương trình giải.
Việc tiến hành thực hiện này là công việc chủ yếu, là kết quả để đánh giá hoạt
động giải toán. Khi đã tìm thấy cách giải rồi thì việc thực hiện giải không khó
khăn như trước nữa nhưng tính chất công việc có khác nhau.
Khi đang tìm kiếm lời giải thì có thể tự do mò mẫm dự đoán và không
ngại gì mà không dùng một cách lập luận “tạm thời”. Nhưng khi thực hiện
chương trình giải thì phải thay đổi quan niệm đó và chỉ được thừa nhận những
lý lẽ chặt chẽ, phải kiểm nghiệm lại từng chi tiết. Một điều quan trọng trong
việc trình bày lời giải là trình tự các chi tiết nhất là đối với các bài toán phức
tạp. Phải trình bày sao cho tường minh sự liên hệ giữa các chi tiết trong từng
giai đoạn của lời giải và trong toàn bộ lời giải ấy. Trình tự mà ta trình bày
trong lời giải có thể rất khác với trình tự mà ta đã theo để tìm lời giải.
Thực hiện chương trình giải: Học sinh có thể đồng hóa hay điều tiết để
thực hiện kế hoạch. Sử dụng các thao tác tư duy và các phương pháp suy luận
trong dạy học giải toán. Lựa chọn từ các phương án để có cách giải tối ưu.
Việc trình bày lời giải cũng cần phải hết sức chú ý, trình tự trình bày các chi
tiết trong lời giải cần phải gọn gàng, mạch lạc, sáng sủa.
Hiện nay, học sinh các lớp chuyên toán là những em có tố chất, năng

lực về toán, nhưng người thầy giáo cũng cần rèn luyện cho các em trong việc
trình bày lời giải. Không những nó giúp học sinh trình bày lời giải của bài
toán tốt hơn mà nó còn giúp các em phát triển về ngôn ngữ rất tốt. Vì vậy,
nhận thức rõ điều này, người thầy giáo cần có kế hoạch dài hơi, nghiêm túc
trong việc rèn luyện học sinh trong trình bày lời giải, yêu cầu cao, có thái độ
nghiêm khắc trong mọi giờ học đối với mọi bài làm của học sinh.
d) Kiểm tra và nghiên cứu lời giải
Học sinh thường có thói quen không tốt là khi đã tìm được lời giải của
bài toán thì thỏa mãn, ít đi sâu kiểm tra lại lời giải xem có sai lầm hay thiếu
sót gì không, ít đi sâu cải tiến lời giải, khai thác lời giải. Vì vậy, cần tránh
25