giáo án - bài giảng ma trận định thức

Toán cao cấp

Bùi Thành trung
Khoa Cơ bản
Trường CĐ Kinh tế - Kỹ thuật Điện Biên

Ma trận - Định thức

1


Tài liệu tham khảo
1. Bài giảng Đại số tuyến tính và ứng dụng. Nguyễn Quang
Hoà. Khoa Khoa học - Đại học Cần Thơ. 2006.
2. Giáo trình Đại số tuyến tính. Hồ Hữu Lộc. Khoa Khoa học
- Đại học Cần Thơ. 2006.
3. Bài giảng Đại số tuyến tính. Đặng Văn Thuận. Khoa Sư
phạm - Đại học Cần Thơ. 1999.
4. Toán học cao cấp, tập 1,2,3. Nguyễn Đình Trí. NXB Giáo
dục. 2004.
5. Bài giảng Vi tích phân C. Lê Phương Quân. Khoa Khoa
học - Đại học Cần Thơ. 2006.
6. Tất cả các giáo trình bài giảng về Đại số tuyến tính và Vi tích
phân
Ma trận - Định thức

2


Nội dung học phần
1

1

Ma trận - Định thức, Hệ phương trình tuyến tính

2

Hàm số và giới hạn

3

Đạo hàm và vi phân

4

Hàm nhiều biến

5

Tích phân

6

Phương trình vi phân
Ma trận - Định thức

3


CHƯƠNG 1
MA TRẬN - ĐỊNH THỨC

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
1
1

Ma trận
2
2

Định thức
3
3

Ma trận nghịch đảo
4
4

Hạng của ma trận
5
5

Hệ phương trình tuyến tính
Ma trận - Định thức

4


ξ1. MA TRẬN
1.1. CÁC ĐỊNH NGHĨA
1.1.1. Định nghĩa ma trận: Một bảng số chữ nhật có m hàng
và n cột gọi là ma trận cấp m x n

 a11 a12
a
a 22
21
A=
...
 ...
a
 m1 a m 2

a1n 
... a 2 n 

... ... 
... a mn 

...

aij là phần tử của ma trận A ở hàng i cột j.
Ký hiệu: A = [aij]m x n hoặc A = (aij)m x n
Ma trận - Định thức

5


ξ1. MA TRẬN
1.1.2. Ma trận vng:
• Ma trận vng: Khi m = n , gọi là ma trận vuông cấp n

 a11

a
A =  21
 ...

 an1

a12
a22
...
an 2

... a1n 
... a2 n 

... ... 

... ann 

Các phần tử a11,a22,…ann được gọi là các phần tử chéo.
Đường thẳng xuyên qua các phần tử chéo gọi là đường chéo
chính.
Ma trận - Định thức

6


ξ1. MA TRẬN
• Ma trận tam giác trên:
a11 a12 ... a1n 
a11 a12 ... a1n 

0 a

... a 2n 
a 22 ... a 2n 
22
 A=

A=
... ... ... 
... ... 
 ...

0

0 ... a nn 
a nn 




trong đó aij = 0 nếu i > j được gọi là ma trận tam giác trên.
• Ma trận tam giác dưới:
0 ... 0 
 a11
 a11

a
a

a 22 ... 0 

a 22
 A =  21

A =  21
... ... ... 
... ...
 ...
 ...

a
a
a m 2 ... a nn 
a m 2 ... a nn 
 n1

 n1

trong đó aij = 0 nếu i < j được gọi là ma trận tam giác dưới.
Ma trận - Định thức

7


ξ1. MA TRẬN
• Ma trận chéo:
a11 0 ... 0 
a11

 0 a



... 0 
a 22
22
 A=

A=
... ... ... 
...
 ...


 0

0 ... a nn 
a nn 




trong đó aij = 0 nếu i ≠ j được gọi là ma trận chéo.

• Ma trận đơn vị: I = [aij]n x n với aii=1; aij = 0, ∀i≠j
 1 0 ... 0 
 0 1 ... 0 

I=
... ... ... ...
 0 0 ... 1 



Ma trận - Định thức

8


ξ1. MA TRẬN
1.1.3. Vectơ hàng (cột): Ma trận chỉ có một hàng (cột) được
gọi là vectơ hàng (cột).
1.1.4. Ma trận không:
 0 0 ... 0 
 0 0 ... 0 

θ=
... ... ... ...
 0 0 ... 0 


1.1.5. Ma trận bằng nhau:
1) A=[aij]m x n; B=[bij]m x n
2) aij = bij với mọi i,j

 1 3  a b 
7 4  =  c d 

 


Khi A bằng B ta viết A = B.
Ma trận - Định thức

9


ξ1. MA TRẬN
1.1.6. Ma trận chuyển vị: A=[aij]m x n => AT=[aji]n x m
10
9
A=
13
11


12
14
15
18

15
18
20
17

27
16
19
25

30 
24


28
31


Ma trận - Định thức

10


ξ1. MA TRẬN
1.2. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN:
1.2.1. Phép cộng hai ma trận
a. Định nghĩa: A=[aij]m x n; B=[bij]m x n => A + B =[aij + bij]m x n
2 3 − 1 4   1 − 3 2 − 2
5 1 3 − 2  +  − 1 4 1 3 

 

b. Tính chất: Nếu các ma trận A, B, C, θ cùng cấp m x n, ta dễ
dàng chứng minh được các tính chất sau:
• A+B=B+A
• (A + B) + C = A + (B + C)
• θ +A=A
• Nếu gọi -A = [-aij]m x n thì ta có -A + A = θ
Ma trận - Định thức

11

ξ1. MA TRẬN
1.2.2. Phép nhân một số với ma trận:
a. Định nghĩa: cho A=[aij]m x n, k∈R thì tích kA là một ma trận
cấp m x n được xác định bởi k.A=[k.aij]mxn
 1 2 −3 −1
3A =  2 0 5 3 


 −2 1 0 −4 



b. Tính chất: cho k, h ∈ R:
• k(A + B) = kA + kB
• (k + h)A = kA + hA

Ma trận - Định thức

12


ξ1. MA TRẬN
1.2.3. Phép nhân hai ma trận:
a. Định nghĩa : Xét hai ma trận A=[aik]m x p; B=[bkj]p x n, Người ta
gọi tích AB là ma trận C=[cij]m x n có m hàng và n cột, phần tử cij
được xác định như sau:
cij = a i1b1j + a i2 b 2j + ...a ip b pj =

p

∑ a ik b kj

k =1

1 2 3 − 1
 2 − 1 1 
2 −1 1 0 
− 3 2 0 



3 0 2 1 



Ma trận - Định thức

13


ξ1. MA TRẬN
b. Một số tính chất: Với các giả thuyết các phép tính viết
dưới dạng thực hiện được, ta có thể chứng minh dễ dàng các
tính chất sau:
• (A.B).C = A.(B.C)
• A(B+C) = AB + AC
• (B+C)A = BA + CA
• k(BC) = (kB)C = B(kC)
• Phép nhân ma trận nói chung khơng có tính giao hốn
• A=[aij]mxn => I.A = A.I = A

Ma trận - Định thức

14


ξ1. MA TRẬN
1.3. VÍ DỤ
Ví dụ 1: Tìm lượng hàng bán trong hai tháng.
Tháng 1

A B C

D

Tháng 2

CH1

10 2 40 15

CH1

12 4 20 10

CH2

4

CH2

10 3 15 15

1 35 20

A B C

D

10 2 40 15  12 4 20 10
C1 + C 2 = 
 + 10 3 15 15
 4 1 35 20 


Ma trận - Định thức

15


ξ1. MA TRẬN
Ví dụ 2: Hãy tính nhu cầu vật tư cho từng phân xưởng theo
kế hoạch sản xuất cho bởi ma trận A và ma trận B định
mức hao phí các vật liệu.
A B C

VL1 VL2 VL3 VL4 VL5

PX1

10 0

5

A

2

1/2

0

1/10

0

PX2

0

8

4

B

0

1/8

1

1

0

PX3

0

2 10

C

0

0

2

1

1/3

10 0 5  2 1 / 2 0 1 / 10 0  20 5 10 6 5 / 3 
 0 8 4  0 1 / 8 1
1
0 =0
1 16 12 4 / 3 



 

1 1 / 3  0 1 / 4 22 12 10 / 3
 0 2 10 0 0 2


 

Ma trận - Định thức

16


ξ2. ĐỊNH THỨC
2.1. CÁC ĐỊNH NGHĨA:
• A là ma trận vng cấp 1:
A= [a11] thì det(A) = a11
• A là ma trận vuông cấp 2:
 a11 a12 
A=
a 21 a 22 



thì det(A) = a11a22 – a12a21

Ma trận - Định thức

17

ξ2. ĐỊNH THỨC
• A là ma trận vng cấp n

 a11 a12
a
a 22
 21
A=
...
 ...
a
 n1 a m 2

... a1n 
... a 2 n 

... ... 
... a nn 


Ký hiệu Aij là ma trận vuông cấp n-1 nhận được từ A bằng cách
xoá hàng i cột j.
Ta gọi phần bù đại số của aij là số Cij = (-1)i+jdet(Aij). Ta nói
định thức cấp n của A là:
det(A) = a11C11 + a12C12 + …+ a1nC1n
n

n

j=1

j=1

det(A) = ∑ a1 jC1 j = ∑ (−1)1+ j a1 j det(A1 j )
Ma trận - Định thức

18


ξ2. ĐỊNH THỨC
Ví dụ: Sử dụng định nghĩa hãy tính định thức:

2 3
1
A =  − 4 5 6


 7 − 8 9


5 6
5
1+ 2 − 4 6
1+3 − 4
.1 .
+ (−1) .2.
+ (−1) .3.
−8 9

7 9
7 −8

1+1

det(A ) = (−1)

Det(A) = 1(45+48) – 2(-36-42) + 3(32-35) = 240

Ma trận - Định thức

19


ξ2. ĐỊNH THỨC
2.2. TÍNH CHẤT CỦA ĐỊNH THỨC:
Tính chất 1:AT=A
1 2
1 3
3 4
2 4
Hệ quả: Một tính chất đã đúng khi phát biểu về hàng
của một định thức thì nó vẫn còn đúng khi trong phát biểu ta
thay hàng bằng cột.
Tính chất 2: Đổi chỗ hai hàng (hay hai cột) của một định thức
ta được một định thức mới bằng định thức cũ đổi dấu.
1 2
3 4

3 4

1 2
Ma trận - Định thức

20


ξ2. ĐỊNH THỨC
Tính chất 3: Một định thức có hai hàng (hay hai cột) như nhau
thì bằng khơng.
Tính chất 4: Một định thức có một hàng (hay một cột) tồn là
số khơng thì bằng khơng.
Tính chất 5: Khi nhân các phần tử của một hàng (hay một cột)
với cùng một số k thì được một định thức mới bằng định thức
cũ nhân với k.
Hệ quả: Khi các phần tử của một hàng (hay một cột) có
một thừa số chung, ta có thể đưa thừa số chung đó ra ngồi
định thức.
Tính chất 6: Một định thức có hai hàng (hay hai cột) tỷ lệ thì
bằng khơng.
Ma trận - Định thức

21


ξ2. ĐỊNH THỨC
Tính chất 7: Khi tất cả các phần tử của một hàng (hay một cột)
có dạng tổng của hai số hạng thì định thức đó có thể phân tích
thành tổng của hai định thức.
Dịng thứ i nào đó của định thức có aij = a’ij + a”ij
thì det(A) = det(A’) + det(A”)

 a11 a12
a
21 a 22

...
 ...
,
A = ,
a i1 a ,i 2

 ...
...
a
 n1 a n 2

...
...
...
...
...
...

a1n 
a 2n 

... 
a ,in 

... 
a nn 



 a11 a12
a
a 22
 21
...
 ...
"
A = "
a i1 a "2
i

...
 ...
a n1 a n 2

Ma trận - Định thức

...
...
...
...
...
...

a1n 
a 2n 

... 

a" 
in 
... 
a nn 

22


ξ2. ĐỊNH THỨC
Tính chất 8: Nếu định thức có một hàng (hay một cột) là tổ hợp
tuyến tính của các hàng khác (hay của các cột khác) thì định
thức ấy bằng khơng.
Tính chất 9: Khi ta cơng bội k của một hàng vào một hàng
khác (hay bội k của một cột vào một cột khác) thì được một
định thức mới bằng định thức cũ

2 1 3

2 1 3

2

1

3

H
det(A ) = 4 5 7 −2.H1+ H 2 → 0 3 1 −3.H1+3 → 0 3



 
1
6 1 5
6 1 5
0 −2 −4

Ma trận - Định thức

23


ξ2. ĐỊNH THỨC
Tính chất 10: Các định thức của ma trận tam giác bằng tích
các phần tử chéo.
a11 a12 ... a1n
0 a 22 ... a 2 n
= a11a 22 ...a nn
...
... ... ...
0
0 ... a nn

a11
a21

0 ...
a22 ...

0
0

... ... ... ...
an1 an 2 ... ann

= a11a22 ...ann

Ma trận - Định thức

24


ξ2. ĐỊNH THỨC
2.3. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐỊNH THỨC:
Phương pháp 1: Dùng định nghĩa.
Phương pháp 2: Sử dụng các biến đổi sơ cấp.
Biến đổi sơ cấp

Tác dụng

Lý do

Nhân một hàng với một số k≠0 Định thức nhân với k Tính chất 5
Đổi chỗ hai hàng

Định thức đổi dấu

Tính chất 2

Cộng k lần hàng r vào hàng s

Định thức khơng đổi

Tính chất 9

Ma trận - Định thức

25