Cơ sở lý thuyết hàm biến phức

Cơ sở lý thuyết hàm biến phức


Nguyễn Thủy Thanh
NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2006, 565 Tr.

Từ khoá: Mặt phẳng phức, Hàm số phức, số phức, Hàm biến phức, Điểm tụ,
Biên của tập hợp, Tập hợp compact, Hàm phức biến thực, Miền đơn liên, Đa
liên, Hàm chỉnh hình, Ánh xạ bảo giác, Ánh xạ chỉnh hình, Nguyên lý thác triển
giải tích, tập hợp mờ, Hàm đa trị, Diện đa liên, Lý thuyết thặng dư, Hàm đơn
diệp, Phiến hàm liên tục, Diện Riemann.



Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể sử dụng cho mục
đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn
phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và
tác giả.



NGUY
ˆ
E
˜
N THUY
’
THANH

CO
.
SO
.
’
L
´
Y THUY
ˆ
E
´
T
H
`
AM BI
ˆ
E
´
NPH
´
U
.
C
NH
`
AXU
ˆ
A
´
TBA

’
NDA
.
IHO
.
CQU
ˆ
O
´
C GIA H
`
AN
ˆ
O
.
I
H`a Nˆo
.
i – 2006
Mu
.
clu
.
c
L`o
.
in´oid
ˆa
`
u 8

1M˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c v`a h`am biˆe
´
nph´u
.
c10
1.1 Tˆa
.
pho
.
.
psˆo
´
ph´u
.
c, m˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c 11
1.1.1 D
-
i

.
nh ngh˜ıa sˆo
´
ph´u
.
c 12
1.1.2 Da
.
ng d
a
.
isˆo
´
cu
’
asˆo
´
ph´u
.
c 16
1.1.3 Ph´ep tr`u
.
v`a ph´ep chia sˆo
´
ph´u
.
c 18
1.1.4 M˘a
.
t ph˘a

’
ng ph´u
.
c 19
1.1.5 Mˆod
un v`a acgumen cu
’
asˆo
´
ph´u
.
c 20
1.1.6 Ph´ep khai c˘an sˆo
´
ph´u
.
c 28
1.1.7 Da
.
ng m˜ucu
’
asˆo
´
ph´u
.
c 29
1.1.8 Kh´ai niˆe
.
mvˆe
`

m˘a
.
t ph˘a
’
ng mo
.
’
rˆo
.
ng 30
1.1.9 Khoa
’
ng c´ach trˆen C 33
1.2 C´ac kh´ai niˆe
.
m tˆopˆo co
.
ba
’
n trˆen m˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c 35
1.2.1 Tˆopˆo trˆen C 36
1.2.2 Phˆa
`
n trong v`a phˆa

`
nngo`ai 38
1.2.3 D
-
iˆe
’
mtu
.
39
1.2.4 Biˆen cu
’
atˆa
.
pho
.
.
p 40
1.2.5 Tˆa
.
pho
.
.
p comp˘a
´
c 41
1.2.6 Tˆa
.
pho
.
.

pliˆenthˆong 42
1.2.7 H`am ph´u
.
cbiˆe
´
n thu
.
.
c. Tuyˆe
´
nv`adu
.
`o
.
ng cong . . . . . . 46
1.2.8 Ph´ep d
ˆo
`
ngluˆan 53
1.2.9 Miˆe
`
nd
o
.
n liˆen v`a daliˆen 56
2MU
.
CLU
.
C

1.3 H`am biˆe
´
nph´u
.
c 59
1.3.1 D
-
i
.
nh ngh˜ıa h`am biˆe
´
nph´u
.
c 59
1.3.2 C´ac v´ıdu
.
vˆe
`
´anh xa
.
d
o
.
ndiˆe
.
p 62
1.3.3 Gi´o
.
iha
.

ncu
’
ah`am 64
1.3.4 T´ınh liˆen tu
.
c v`a liˆen tu
.
cd
ˆe
`
u 67
1.4 L ´y thuyˆe
´
t d˜ay v`a chuˆo
˜
i trong miˆe
`
nph´u
.
c 72
1.4.1 Gi´o
.
iha
.
ncu
’
a d˜ay diˆe
’
m 72
1.4.2 Chuˆo

˜
isˆo
´
ph´u
.
c v`a su
.
.
hˆo
.
itu
.
cu
’
an´o 75
1.4.3 D˜ay v`a chuˆo
˜
ih`am 79
1.4.4 Chuˆo
˜
il˜uy th`u
.
a 85
1.4.5 Su
.
.
hˆo
.
itu
.

d
ˆe
`
u trˆen t`u
.
ng comp˘a
´
c 92
1.5 H`am arg z 95
1.5.1 T´ınh liˆen tu
.
ccu
’
a h`am arg z 95
1.5.2 Sˆo
´
gia cu
’
a acgumen do
.
c theo du
.
`o
.
ng cong . . . . . . . . 96
1.5.3 Nh´anh d
o
.
n tri
.

liˆen tu
.
ccu
’
a h`am arg z 98
1.6 B`ai tˆa
.
p 100
2 H`am chı
’
nh h`ınh 105
2.1 H`am kha
’
vi 106
2.1.1 H`am R
2
- kha
’
vi 106
2.1.2 D
-
a
.
o h`am theo phu
.
o
.
ng 108
2.1.3 H`am C - kha
’

vi 110
2.1.4 Mˆo
´
i liˆen hˆe
.
gi˜u
.
a C - kha
’
vi v`a R
2
- kha
’
vi . . . . . . . 114
2.1.5 H`am chı
’
nhh`ınh 115
2.1.6 Khˆong gian c´ac h`am chı
’
nhh`ınh 121
2.2 Mˆo
.
tsˆo
´
h`am chı
’
nh h`ınh so
.
cˆa
´

p 122
2.2.1 D
-
ath´u
.
c v`a h`am h˜u
.
uty
’
122
2.2.2 H`am w = z
n
v`a z =
n
√
w, n ∈ N 122
2.2.3 H`am e
z
124
2.2.4 H`am lˆogarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
2.2.5 H`am l˜uy th`u
.
a z
α
, α ∈ R 130
2.2.6 C´ac h`am so
.
cˆa
´
pkh´ac 131

MU
.
CLU
.
C3
2.2.7 Nh´anh chı
’
nh h`ınh cu
’
a h`am da tri
.
134
2.3 H`am chı
’
nh h`ınh v`a ´anh xa
.
ba
’
ogi´ac 138
2.3.1
´
Y ngh˜ıa h`ınh ho
.
ccu
’
a acgumen cu
’
ad
a
.

o h`am . . . . . . 138
2.3.2
´
Y ngh˜ıa h`ınh ho
.
ccu
’
a mˆodun da
.
o h`am . . . . . . . . . 140
2.3.3
´
Anh xa
.
ba
’
ogi´ac 141
2.3.4
´
Anh xa
.
liˆen tu
.
c v`a ´anh xa
.
chı
’
nh h`ınh . . . . . . . . . . 143
2.4 C´ac d
˘a

’
ng cˆa
´
uso
.
cˆa
´
p 146
2.4.1 D
-
˘a
’
ng cˆa
´
u phˆan tuyˆe
´
nt´ınh 147
2.4.2
´
Anh xa
.
w = e
z
v`a z = log w 160
2.4.3 H`am Jukovski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
2.4.4 C´ac d
˘a
’
ng cˆa
´

uso
.
cˆa
´
pkh´ac 172
2.4.5 Mˆo
.
tsˆo
´
v´ıdu
.
175
2.5 B`ai tˆa
.
p 183
3 L´y thuyˆe
´
tt´ıch phˆan h`am chı
’
nh h`ınh 188
3.1 T´ıch phˆan trong miˆe
`
nph´u
.
c 189
3.1.1 D
-
i
.
nh ngh˜ıa t´ıch phˆan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

3.1.2 U
.
´o
.
clu
.
o
.
.
ngt´ıchphˆan 193
3.1.3 T´ınh t´ıch phˆan b˘a
`
ng phu
.
o
.
ng ph´ap qua gi´o
.
iha
.
n 194
3.1.4 Da
.
ng vi phˆan d
´ung v`a da
.
ng vi phˆan d´ong . . . . . . . 200
3.1.5 T´ıch phˆan du
.
`o

.
ng phu
.
thuˆo
.
c tham sˆo
´
213
3.2 L ´y thuyˆe
´
tCauchy 217
3.2.1 Nguyˆen h`am d
i
.
aphu
.
o
.
ng cu
’
a h`am chı
’
nh h`ınh . . . . . 217
3.2.2 Nguyˆen h`am cu
’
a h`am chı
’
nh h`ınh theo tuyˆe
´
n 223

3.2.3 T´ınh bˆa
´
tbiˆe
´
ncu
’
a t´ıch phˆan d
ˆo
´
iv´o
.
i c´ac tuyˆe
´
nd
ˆo
`
ng luˆan227
3.2.4 Cˆong th´u
.
c t´ıch phˆan co
.
ba
’
nth´u
.
nhˆa
´
tcu
’
a Cauchy . . . 231

3.2.5 Nguyˆen h`am trong miˆe
`
nd
o
.
nliˆen 234
3.2.6 Cˆong th´u
.
c t´ıch phˆan Cauchy (cˆong th´u
.
cco
.
ba
’
nth´u
.
hai cu
’
aCauchy) 235
3.2.7 Biˆe
’
udiˆe
˜
n t´ıch phˆan d
ˆo
´
iv´o
.
ida
.

o h`am cu
’
a h`am chı
’
nh h`ınh241
3.2.8 D
-
iˆe
`
ukiˆe
.
nd
u
’
dˆe
’
h`am f chı
’
nh h`ınh . . . . . . . . . . . . 250
3.2.9 H`am d
iˆe
`
u h`oa v`a mˆo
´
i liˆen hˆe
.
v´o
.
i h`am chı
’

nh h`ınh . . . 250
4MU
.
CLU
.
C
3.2.10 T´ıch phˆan da
.
ng Cauchy. Cˆong th´u
.
c
Sokhotski 257
3.2.11 Biˆe
’
udiˆe
˜
n t´ıch phˆan h`am diˆe
`
uh`oa 270
3.3 B`ai tˆa
.
p 277
4 C´ac t´ınh chˆa
´
tco
.
ba
’
ncu
’

a h`am chı
’
nh h`ınh 278
4.1 C´ac kˆe
´
t qua
’
quan tro
.
ng nhˆa
´
tr´ut ra t`u
.
t´ıch phˆan Cauchy . . . 279
4.1.1 D
-
i
.
nh l´y gi´a tri
.
trung b`ınh 279
4.1.2 D
-
i
.
nh l´y Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
4.1.3 D
-
i
.

nh l´y Weierstrass vˆe
`
chuˆo
˜
i h`am hˆo
.
itu
.
d
ˆe
`
u 284
4.1.4 T´ınh chˆa
´
td
i
.
aphu
.
o
.
ng cu
’
a h`am chı
’
nh h`ınh. Chuˆo
˜
i Taylor288
4.1.5 C´ac quan d
iˆe

’
m kh´ac nhau trong viˆe
.
c xˆay du
.
.
ng l´y
thuyˆe
´
t h`am chı
’
nhh`ınh 305
4.2 T´ınh chˆa
´
t duy nhˆa
´
tcu
’
a h`am chı
’
nh h`ınh . . . . . . . . . . . . 310
4.2.1 Khˆong d
iˆe
’
m (0-diˆe
’
m) cu
’
a h`am chı
’

nh h`ınh . . . . . . . 310
4.2.2 T´ınh chˆa
´
t duy nhˆa
´
tcu
’
a h`am chı
’
nh h`ınh . . . . . . . . 313
4.2.3 Nguyˆen l´y th´ac triˆe
’
n gia
’
it´ıch 317
4.2.4 Nguyˆen l´y mˆodun cu
.
.
cda
.
i 320
4.3 D
-
iˆe
’
mbˆa
´
tthu
.
`o

.
ng cˆo lˆa
.
p 326
4.3.1 Chuˆo
˜
iLaurent 326
4.3.2 D
-
iˆe
’
mbˆa
´
tthu
.
`o
.
ng cˆo lˆa
.
pdo
.
n tri
.
337
4.3.3 D´ang diˆe
.
ucu
’
a h`am ta
.

idiˆe
’
mvˆoc`ung . . . . . . . . . . 348
4.3.4 Phˆan loa
.
i h`am chı
’
nhh`ınh 350
4.4 T´ınh bˆa
´
tbiˆe
´
ncu
’
atˆa
.
pho
.
.
pmo
.
’
354
4.4.1 Nguyˆen l´yacgumen 354
4.4.2 D
-
i
.
nh l´y Rouch´e 360
4.4.3 T´ınh bˆa

´
tbiˆe
´
ncu
’
atˆa
.
pho
.
.
pmo
.
’
363
4.5 B`ai tˆa
.
p 365
5 H`am d
a tri
.
v`a diˆe
.
n Riemann 369
5.1 Phu
.
o
.
ng ph´ap th´ac triˆe
’
ncu

’
a Weierstrass . . . . . . . . . . . . 370
5.1.1 Phˆa
`
ntu
.
’
ch´ınh t˘a
´
c 371
MU
.
CLU
.
C5
5.1.2 D
-
iˆe
’
mbˆa
´
tthu
.
`o
.
ng cu
’
a phˆa
`
ntu

.
’
ch´ınh t˘a
´
c 372
5.1.3 Phu
.
o
.
ng ph´ap th´ac triˆe
’
ncu
’
a Weierstrass . . . . . . . . 373
5.1.4 H`am khˆong cho ph´ep th´ac triˆe
’
n gia
’
i t´ıch . . . . . . . . 378
5.2 C´ac phu
.
o
.
ngph´apkh´ac 380
5.2.1 Th´ac triˆe
’
n gia
’
i t´ıch theo tuyˆe
´

n 380
5.2.2 Th´ac triˆe
’
nd
ˆo
´
ix´u
.
ng 386
5.3 H`am gia
’
it´ıchdu
’
391
5.3.1 Kh´ai niˆe
.
m h`am gia
’
it´ıchdu
’
391
5.3.2 Mˆo
.
t v`ai v´ıdu
.
393
5.3.3 T´ınh d
o
.
n tri

.
v`a d
a tri
.
.
D
-
i
.
nh l´y d
o
.
n tri
.
(monodromie) . . . . . . . . . . . . . . 396
5.3.4 Nh´anh v`a phu
.
o
.
ng ph´ap t´ach nh´anh chı
’
nh h`ınh . . . . 399
5.3.5 Kh´ai niˆe
.
mvˆe
`
d
iˆe
’
mbˆa

´
tthu
.
`o
.
ng 405
5.4 Kh´ai niˆe
.
mvˆe
`
diˆe
.
nRiemann 412
5.4.1 Mˆo
.
tsˆo
´
v´ıdu
.
mo
.
’
dˆa
`
u 413
5.4.2 Phu
.
o
.
ng ph´ap du

.
.
ng diˆe
.
n Riemann . . . . . . . . . . . . 419
5.5 B`ai tˆa
.
p 420
6 L´y thuyˆe
´
t th˘a
.
ng du
.
v`a ´u
.
ng du
.
ng 422
6.1 Co
.
so
.
’
l´y thuyˆe
´
t th˘a
.
ng du
.

423
6.1.1 D
-
i
.
nh ngh˜ıa th˘a
.
ng du
.
423
6.1.2 Phu
.
o
.
ng ph´ap t´ınh th˘a
.
ng du
.
425
6.1.3 D
-
i
.
nh l´y co
.
ba
’
ncu
’
al´ythuyˆe

´
t th˘a
.
ng du
.
436
6.1.4 T´ınh t´ıch phˆan theo chu tuyˆe
´
nd´ong . . . . . . . . . . 444
6.2 Mˆo
.
tsˆo
´
´u
.
ng du
.
ng cu
’
al´ythuyˆe
´
t th˘a
.
ng du
.
448
6.2.1 Phu
.
o
.

ng ph´ap t´ınh t´ıch phˆan . . . . . . . . . . . . . . . 448
6.2.2 T´ınh t´ıch phˆan da
.
ng I =
2π

0
R(cos ϕ, sin ϕ)dϕ 451
6.2.3 T´ıch phˆan da
.
ng I =
+∞

−∞
R(x)dx 454
6MU
.
CLU
.
C
6.2.4 T´ıch phˆan da
.
ng I =

R
e
iax
R(x)dx 459
6.2.5 T´ıch phˆan da
.

ng I =

R
+
R(x)x
α
dx 463
6.2.6 Mˆo
.
tsˆo
´
v´ıdu
.
kh´ac 478
6.2.7 T`ım tˆo
’
ng cu
’
a chuˆo
˜
i 490
6.3 H`am nguyˆen v`a h`am phˆan h`ınh . . . . . . . . . . . . . . . . . 495
6.3.1 H`am phˆan h`ınh. B`ai to´an Cousin th´u
.
nhˆa
´
t trong m˘a
.
t
ph˘a

’
ng ph´u
.
c 495
6.3.2 H`am nguyˆen. B`ai to´an Cousin th´u
.
hai trong m˘a
.
t
ph˘a
’
ng ph´u
.
c 503
6.4 B`ai tˆa
.
p 513
7
´
Anh xa
.
ba
’
o gi´ac 515
7.1 C´ac kh´ai niˆe
.
mchung 516
7.1.1 H`am d
o
.

ndiˆe
.
p 517
7.1.2 D
-
iˆe
`
ukiˆe
.
nd
u
’
dˆe
’
h`am do
.
ndiˆe
.
p 522
7.1.3 Su
.
.
hˆo
.
itu
.
cu
’
a d˜ay h`am do
.

ndiˆe
.
p 524
7.1.4 T´ınh chˆa
´
td
i
.
aphu
.
o
.
ng cu
’
a ´anh xa
.
chı
’
nh h`ınh c´o d
a
.
o
h`am b˘a
`
ng0 525
7.1.5 T´ınh chˆa
´
t chung cu
’
a ´anh xa

.
ba
’
o gi´ac . . . . . . . . . . 527
7.1.6 D
-
˘a
’
ng cˆa
´
u v`a tu
.
.
d
˘a
’
ng cˆa
´
u 528
7.1.7 D
-
iˆe
`
ukiˆe
.
ncˆa
`
ndˆe
’
tˆo

`
nta
.
id˘a
’
ng cˆa
´
u 532
7.1.8 D
-
iˆe
`
ukiˆe
.
n chuˆa
’
n 534
7.2 D
-
i
.
nh l´y co
.
ba
’
ncu
’
al´ythuyˆe
´
t ´anh xa

.
ba
’
o gi´ac . . . . . . . . . 537
7.2.1 Tˆa
.
pho
.
.
pbi
.
ch˘a
.
n trong H(D) 538
7.2.2 Tˆa
.
pho
.
.
p liˆen tu
.
cdˆo
`
ng bˆa
.
c 539
7.2.3 Nguyˆen l´y comp˘a
´
c 540
7.2.4 Phiˆe

´
m h`am liˆen tu
.
c 544
7.2.5 D
-
o
.
n gia
’
n h´oa c´ach d
˘a
.
t b`ai to´an Riemann . . . . . . . . 546
7.2.6 D
-
i
.
nhl´yRiemann 548
7.2.7 D
-
i
.
nh l´y duy nhˆa
´
tcu
’
a ´anh xa
.
ba

’
o gi´ac . . . . . . . . . . 553
MU
.
CLU
.
C7
7.2.8 Su
.
.
tu
.
o
.
ng ´u
.
ng gi˜u
.
a c´ac biˆen v`a cˆong th´u
.
c Christoffel-
Schwarz 554
7.3 B`ai tˆa
.
p 560
T`ai liˆe
.
u tham kha
’
o 563

L`o
.
i n´oi d
ˆa
`
u
Co
.
so
.
’
l´y thuyˆe
´
t h`am biˆe
´
nph´u
.
c (LTHBP) du
.
o
.
.
cd˘a
.
tnˆe
`
n m´ong t`u
.
gi˜u
.

athˆe
´
ky
’
XVIII bo
.
’
i c´ac cˆong tr`ınh cu
’
a L. Euler. V´o
.
itu
.
c´ach mˆo
.
t nh´anh dˆo
.
clˆa
.
p,
LTHBP du
.
o
.
.
c h`ınh th`anh v`ao gi˜u
.
athˆe
´
ky

’
XIX nh`o
.
c´ac cˆong tr`ınh cu
’
aO.
Cauchy, C. Weierstrass v`a B. Riemann.
Ng`ay nay LTHBP l`a mˆo
.
t trong nh˜u
.
ng phˆa
`
n quan tro
.
ng nhˆa
´
tcu
’
a to´an
ho
.
c. D
´o l`a khoa ho
.
cv`u
.
acˆo
’
d

iˆe
’
nv`u
.
ahiˆe
.
nd
a
.
i, v`u
.
ag˘a
´
n b´o mˆa
.
t thiˆe
´
tv´o
.
i
c´ac nh´anh hiˆe
.
nd
a
.
i nhˆa
´
tcu
’
a to´an ho

.
cl´y thuyˆe
´
tla
.
iv`u
.
ag˘a
´
n b´o v´o
.
i nhiˆe
`
u b`ai
to´an vˆa
.
tl´yv`aco
.
ho
.
ccu
.
thˆe
’
.Tu
.
tu
.
o
.

’
ng v`a kˆe
´
t qua
’
cu
’
an´od˜a thˆam nhˆa
.
p sˆau
v`ao nhiˆe
`
u phˆa
`
n kh´ac nhau cu
’
a to´an ho
.
c. C´ac phu
.
o
.
ng ph´ap cu
’
a LTHBP d˜a
tro
.
’
th`anh quen thuˆo
.

cca
’
trong nhiˆe
`
u ng`anh ´u
.
ng du
.
ng nhu
.
thu
’
yd
ˆo
.
ng ho
.
c,
v`a kh´ı dˆo
.
ng ho
.
c, l´y thuyˆe
´
td`an hˆo
`
i, V`ı l´ydod´o m`a LTHBP l`a mˆon ho
.
c
b˘a

´
t buˆo
.
c, l`a mˆo
.
t phˆa
`
ntˆa
´
tyˆe
´
ucu
’
a gi´ao du
.
c to´an ho
.
cdˆo
´
iv´o
.
i c´ac hˆe
.
d`ao ta
.
o:
To´an, To´an - Co
.
, To´an - Tin ´u
.

ng du
.
ng cu
’
a tru
.
`o
.
ng Da
.
iho
.
c Khoa ho
.
cTu
.
.
nhiˆen (Da
.
iho
.
c Quˆo
´
c gia H`a Nˆo
.
i).
Gi´ao tr`ınh “Co
.
so
.

’
l´y thuyˆe
´
t h`am biˆe
´
nph´u
.
c” n`ay du
.
o
.
.
c biˆen soa
.
n theo
s´at chu
.
o
.
ng tr`ınh H`am biˆe
´
nph´u
.
cdu
.
o
.
.
cDa
.

iho
.
c Quˆo
´
c gia H`a Nˆo
.
i ban h`anh.
Khˆo
´
ilu
.
o
.
.
ng v`a cˆa
´
utr´uc chung cu
’
a cuˆo
´
n s´ach l`a ho`an to`an tu
.
o
.
ng ´u
.
ng v´o
.
inˆo
.

i
dung v`a cˆa
´
utr´uc cu
’
a chu
.
o
.
ng tr`ınh hiˆe
.
n h`anh cu
’
aDa
.
iho
.
c Quˆo
´
c gia H`a Nˆo
.
i.
N´o du
.
o
.
.
cbiˆen soa
.
ndu

.
.
a trˆen nˆo
.
i dung cuˆo
´
n s´ach “Co
.
so
.
’
l´y thuyˆe
´
t H`am biˆe
´
n
ph´u
.
c” tru
.
´o
.
cdˆay cu
’
a t´ac gia
’
v`a kinh nghiˆe
.
m tr`ınh b`ay LTHBP o
.

’
tru
.
`o
.
ng Da
.
i
ho
.
cTˆo
’
ng ho
.
.
pH`aNˆo
.
i tru
.
´o
.
cd
ˆay v`a Da
.
iho
.
c Quˆo
´
c gia H`a Nˆo
.

i ng`ay nay.
Nh˘a
`
mmu
.
cd´ıch gi´up sinh viˆen hiˆe
’
u thˆa
´
ud´ao co
.
so
.
’
l´y thuyˆe
´
tcu
’
a LTHBP,
khi biˆen soa
.
n gi´ao tr`ınh n`ay ch´ung tˆoi d
˜acˆo
´
g˘a
´
ng du
.
a v`ao nhiˆe
`

uv´ıdu
.
minh
L`o
.
i n´oi d
ˆa
`
u 9
ho
.
adu
.
o
.
.
ccho
.
nlo
.
ck˜y c`ang v`a d
u
.
o
.
.
c gia
’
imˆo
.

t c´ach chi tiˆe
´
t.
Ch´ung tˆoi hy vo
.
ng r˘a
`
ng gi´ao tr`ınh n`ay c`ung v´o
.
i gi´ao tr`ınh “Hu
.
´o
.
ng dˆa
˜
n
gia
’
i B`ai tˆa
.
p H`am biˆe
´
nph´u
.
c” (Nh`a Xuˆa
´
tba
’
nDa
.

iho
.
c Quˆo
´
c gia H`a Nˆo
.
i, 2003)
cu
’
ach´ung tˆoi s˜el`abˆo
.
s´ach d´ap ´u
.
ng du
.
o
.
.
cnh˜u
.
ng yˆeu cˆa
`
uco
.
ba
’
nvˆe
`
LTHBP
cu

’
aDHQG H`a Nˆo
.
i.
Ch´ung tˆoi chˆan th`anh b`ay to
’
l`ong biˆe
´
to
.
nd
ˆe
´
nBˆo
.
mˆon Gia
’
i t´ıch, Khoa
To´an - Co
.
- Tin ho
.
c tru
.
`o
.
ng Da
.
iho
.

cTˆo
’
ng ho
.
.
pH`aNˆo
.
i tru
.
´o
.
cdˆay v`a tru
.
`o
.
ng
D
a
.
iho
.
c Khoa ho
.
cTu
.
.
nhiˆen ng`ay nay d
˜a t a
.
odiˆe

`
ukiˆe
.
n cho tˆoi ho`an th`anh
ba
’
n tha
’
o gi´ao tr`ınh n`ay.
Ch´ung tˆoi chˆan th`anh ca
’
mo
.
n GS. TSKH Nguyˆe
˜
n V˘an Mˆa
.
u v`a PGS. TS
Nguyˆe
˜
n Minh Tuˆa
´
nd
˜a c ´o n h ˜u
.
ng trao dˆo
’
iv`ad´ong g´op nhiˆe
`
u´ykiˆe

´
n qu´y b´au
cho t´ac gia
’
khi chuˆa
’
nbi
.
ba
’
n tha
’
o gi´ao tr`ınh n`ay.
T´ac gia
’
chˆan th`anh mong nhˆa
.
ndu
.
o
.
.
csu
.
.
quan tˆam v`a g´op ´y cu
’
aba
.
ndo

.
c
xa gˆa
`
nvˆe
`
nˆo
.
i dung v`a h`ınh th´u
.
cd
ˆe
’
gi´ao tr`ınh ng`ay du
.
o
.
.
c ho`an thiˆe
.
nho
.
n.
H`a Nˆo
.
i, M`ua thu 2005
T´ac gia
’
Chu
.

o
.
ng 1
M˘a
.
tph˘a
’
ng ph´u
.
cv`ah`am biˆe
´
n
ph´u
.
c
1.1 Tˆa
.
pho
.
.
psˆo
´
ph´u
.
c, m˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.

c 11
1.1.1 D
-
i
.
nh ngh˜ıa sˆo
´
ph´u
.
c 12
1.1.2 Da
.
ng d
a
.
isˆo
´
cu
’
asˆo
´
ph´u
.
c 16
1.1.3 Ph´ep tr`u
.
v`a ph´ep chia sˆo
´
ph´u
.

c 18
1.1.4 M˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c 19
1.1.5 Mˆod
un v`a acgumen cu
’
asˆo
´
ph´u
.
c 20
1.1.6 Ph´ep khai c˘an sˆo
´
ph´u
.
c 28
1.1.7 Da
.
ng m˜u cu
’
asˆo
´
ph´u
.
c 29

1.1.8 Kh´ai niˆe
.
mvˆe
`
m˘a
.
t ph˘a
’
ng mo
.
’
rˆo
.
ng 30
1.1.9 Khoa
’
ng c´ach trˆen C 33
1.2 C´ac kh´ai niˆe
.
m tˆopˆo co
.
ba
’
n trˆen m˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c35

1.2.1 Tˆopˆo trˆen C 36
1.2.2 Phˆa
`
n trong v`a phˆa
`
nngo`ai 38
1.2.3 D
-
iˆe
’
mtu
.
39
1.1. Tˆa
.
pho
.
.
psˆo
´
ph´u
.
c, m˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c 11
1.2.4 Biˆen cu

’
atˆa
.
pho
.
.
p 40
1.2.5 Tˆa
.
pho
.
.
p comp˘a
´
c 41
1.2.6 Tˆa
.
pho
.
.
pliˆenthˆong 42
1.2.7 H`am ph´u
.
cbiˆe
´
n thu
.
.
c. Tuyˆe
´

nv`ad
u
.
`o
.
ng cong . . . . 46
1.2.8 Ph´ep d
ˆo
`
ngluˆan 53
1.2.9 Miˆe
`
nd
o
.
n liˆen v`a daliˆen 56
1.3 H`am biˆe
´
nph´u
.
c 59
1.3.1 D
-
i
.
nh ngh˜ıa h`am biˆe
´
nph´u
.
c 59

1.3.2 C´ac v´ı du
.
vˆe
`
´anh xa
.
d
o
.
ndiˆe
.
p 62
1.3.3 Gi´o
.
iha
.
ncu
’
ah`am 64
1.3.4 T´ınh liˆen tu
.
c v`a liˆen tu
.
cd
ˆe
`
u 67
1.4 L´y thuyˆe
´
t d˜ay v`a chuˆo

˜
i trong miˆe
`
nph´u
.
c 72
1.4.1 Gi´o
.
iha
.
ncu
’
ad˜aydiˆe
’
m 72
1.4.2 Chuˆo
˜
isˆo
´
ph´u
.
c v`a su
.
.
hˆo
.
itu
.
cu
’

an´o 75
1.4.3 D˜ay v`a chuˆo
˜
ih`am 79
1.4.4 Chuˆo
˜
il˜uyth`u
.
a 85
1.4.5 Su
.
.
hˆo
.
itu
.
dˆe
`
u trˆen t`u
.
ng comp˘a
´
c 92
1.5 H`am arg z 95
1.5.1 T´ınh liˆen tu
.
ccu
’
a h`am arg z 95
1.5.2 Sˆo

´
gia cu
’
a acgumen do
.
c theo d
u
.
`o
.
ng cong . . . . . 96
1.5.3 Nh´anh d
o
.
n tri
.
liˆen tu
.
ccu
’
a h`am arg z 98
1.6 B`ai tˆa
.
p 100
1.1 Tˆa
.
pho
.
.
psˆo

´
ph´u
.
c, m˘a
.
tph˘a
’
ng ph´u
.
c
Tˆa
.
pho
.
.
psˆo
´
ph´u
.
c c´o hai cˆa
´
utr´uc: cˆa
´
utr´uc da
.
isˆo
´
cu
’
amˆo

.
t tru
.
`o
.
ng v`a dˆo
`
ng
th`o
.
i n´o c´o cˆa
´
utr´uc tˆopˆo cu
’
amˆo
.
t khˆong gian (khˆong gian Euclide hai chiˆe
`
u,
12 Chu
.
o
.
ng 1. M˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c v`a h`am biˆe

´
nph´u
.
c
t´u
.
c l`a m˘a
.
t ph˘a
’
ng). Do d
´otˆa
.
pho
.
.
p c´ac sˆo
´
ph´u
.
c c´o ca
’
t´ınh chˆa
´
td
a
.
isˆo
´
lˆa

˜
n
t´ınh chˆa
´
t tˆopˆo. Trong mu
.
c n`ay ta s˜e nghiˆen c´u
.
u c´ac t´ınh chˆa
´
td
a
.
isˆo
´
cu
’
atˆa
.
p
ho
.
.
psˆo
´
ph´u
.
c.
1.1.1 D
-

i
.
nh ngh˜ıa sˆo
´
ph´u
.
c
Ta x´et phu
.
o
.
ng tr`ınh
x
2
+1=0.
R˜o r`ang l`a phu
.
o
.
ng tr`ınh n`ay khˆong c´o nghiˆe
.
m thuˆo
.
c R v`ı x
2
+1  1, ∀x ∈ R.
Do d´omˆo
.
tvˆa
´

ndˆe
`
tu
.
.
nhiˆen d˘a
.
t ra l`a t`ım mˆo
.
ttˆa
.
pho
.
.
p (ta k´yhiˆe
.
ul`aC) tho
’
a
m˜an c´ac d
iˆe
`
ukiˆe
.
n sau dˆay:
1. C l`a mˆo
.
t tru
.
`o

.
ng;
2. R ⊂ C;
3. Phu
.
o
.
ng tr`ınh x
2
+ 1 = 0 c´o nghiˆe
.
m trong C.
V`ıtˆa
.
pho
.
.
p c´ac sˆo
´
thu
.
.
c R l`a mˆo
.
ttˆa
.
pho
.
.
p con cu

’
a C nˆen khi x´ac di
.
nh c´ac
ph´ep t´ınh sˆo
´
ho
.
cco
.
ba
’
n trˆen c´ac sˆo
´
ph´u
.
ctacˆa
`
nd
`oi ho
’
ir˘a
`
ng khi ´ap du
.
ng cho
c´ac sˆo
´
thu
.

.
c c´ac ph´ep to´an d
´odu
.
ala
.
ikˆe
´
t qua
’
nhu
.
kˆe
´
t qua
’
thu d
u
.
o
.
.
c trong sˆo
´
ho
.
c c´ac sˆo
´
thu
.

.
c. M˘a
.
t kh´ac, nˆe
´
u ta mong muˆo
´
n c´ac sˆo
´
ph´u
.
c c´o nh˜u
.
ng ´u
.
ng
du
.
ng trong c´ac vˆa
´
ndˆe
`
cu
’
a gia
’
i t´ıch th`ı ta cˆa
`
nd`oi ho
’

ir˘a
`
ng c´ac ph´ep to´an co
.
ba
’
ndu
.
o
.
.
cdu
.
a v`ao d´o pha
’
i tho
’
a m˜an c´ac tiˆen dˆe
`
thˆong thu
.
`o
.
ng cu
’
asˆo
´
ho
.
c c´ac

sˆo
´
thu
.
.
c.
D
-
i
.
nh ngh˜ıa 1.1.1. Mˆo
˜
ic˘a
.
psˆo
´
thu
.
.
c c´o th´u
.
tu
.
.
(a, b) ∀a ∈ R, ∀b ∈ R du
.
o
.
.
c

go
.
i l`a mˆo
.
t sˆo
´
ph´u
.
c nˆe
´
u trˆen tˆa
.
pho
.
.
p c´ac c˘a
.
pd´o quan hˆe
.
b˘a
`
ng nhau, ph´ep
cˆo
.
ng v`a ph´ep nhˆan d
u
.
o
.
.

cd
u
.
a v`ao theo c´ac d
i
.
nh ngh˜ıa (tiˆen dˆe
`
) sau dˆay:
I. (a, b)=(c, b) ⇔



a = c
b = d.
II. Ph´ep cˆo
.
ng: (a, b)+(c, d)
def
=(a + c, b + d)
1
v`a c˘a
.
p(a + c, b + d)du
.
o
.
.
c
go

.
il`atˆo
’
ng cu
’
a c´ac c˘a
.
p(a, b)v`a(c, d).
1
Def. l`a c´ach viˆe
´
tt˘a
´
tcu
’
at`u
.
tiˆe
´
ng Anh definition (di
.
nh ngh˜ıa)
1.1. Tˆa
.
pho
.
.
psˆo
´
ph´u

.
c, m˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c 13
III. Ph´ep nhˆan: (a, b)(c, d)
def
=(ac − bd, ad + bc) v`a c˘a
.
p(ac −bd, ad + bc)
du
.
o
.
.
cgo
.
il`at´ıch cu
’
a c´ac c˘a
.
p(a, b)v`a(c, d).
IV. C˘a
.
p(a, 0) d
u
.

o
.
.
cdˆo
`
ng nhˆa
´
tv´o
.
isˆo
´
thu
.
.
c a, ngh˜ıa l`a
(a, 0)
def
≡ a.
Tˆa
.
pho
.
.
p c´ac sˆo
´
ph´u
.
cdu
.
o

.
.
ck´yhiˆe
.
ul`aC.
Nhu
.
vˆa
.
ymo
.
i phˆa
`
ncu
’
adi
.
nh ngh˜ıa sˆo
´
ph´u
.
cdˆe
`
udu
.
o
.
.
c ph´at biˆe
’

ub˘a
`
ng ngˆon
ng˜u
.
sˆo
´
thu
.
.
c v`a c´ac ph´ep to´an trˆen ch´ung.
Trong d
i
.
nh ngh˜ıa n`ay ba tiˆen dˆe
`
dˆa
`
u thu
.
.
cchˆa
´
tl`adi
.
nh ngh˜ıa c´ac kh´ai
niˆe
.
m kh´ac nhau: d
i

.
nh ngh˜ıa kh´ai niˆe
.
mb˘a
`
ng nhau, tˆo
’
ng v`a t´ıch c´ac sˆo
´
ph´u
.
c.
Do d
´oviˆe
.
cdˆo
´
i chiˆe
´
u c´ac tiˆen dˆe
`
d´ov´o
.
i nhau s˜e khˆong dˆa
˜
ndˆe
´
nbˆa
´
tc´u

.
mˆau
thuˆa
˜
n n`ao. Diˆe
`
u duy nhˆa
´
t c´o thˆe
’
gˆay ra dˆoi ch´ut lo nga
.
i l`a tiˆen dˆe
`
IV. Vˆa
´
n
dˆe
`
l`a o
.
’
chˆo
˜
:vˆo
´
n d˜ı c´ac kh´ai niˆe
.
mb˘a
`

ng nhau, tˆo
’
ng v`a t´ıch c´ac sˆo
´
thu
.
.
cc´o´y
ngh˜ıa ho`an to`an x´ac d
i
.
nh v`a do d´onˆe
´
u c´ac kh´ai niˆe
.
m n`ay khˆong tu
.
o
.
ng th´ıch
v´o
.
inh˜u
.
ng kh´ai niˆe
.
md
u
.
o

.
.
cd
ˆe
`
cˆa
.
pdˆe
´
n trong c´ac tiˆen dˆe
`
I - III khi x´et c´ac sˆo
´
thu
.
.
cv´o
.
itu
.
c´ach l`a c´ac c˘a
.
pda
.
ng d˘a
.
cbiˆe
.
t th`ı buˆo
.

c pha
’
i loa
.
itr`u
.
tiˆen dˆe
`
IV.
Do d´o ta cˆa
`
ndˆo
´
i chiˆe
´
u tiˆen dˆe
`
IV v´o
.
i c´ac tiˆen dˆe
`
I, II v`a III.
1) I - IV. Gia
’
su
.
’
hai sˆo
´
thu

.
.
c a v`a b b˘a
`
ng nhau nhu
.
nh˜u
.
ng c˘a
.
pda
.
ng
d
˘a
.
cbiˆe
.
tdˆo
`
ng nhˆa
´
tv´o
.
ich´ung: (a, 0) = (b, 0). Khi d
´o theo tiˆen dˆe
`
Itac´o
(a, 0) = (b, 0) ⇔ a = b,t´u
.

cl`anˆe
´
uch´ung b˘a
`
ng nhau theo ngh˜ıa thˆong thu
.
`o
.
ng.
2) I I - IV. Theo tiˆen dˆe
`
II, tˆo
’
ng hai sˆo
´
thu
.
.
c a v`a c d
u
.
o
.
.
cx´et nhu
.
nh˜u
.
ng
c˘a

.
p(a, 0) v`a (c, 0) l`a b˘a
`
ng c˘a
.
p(a + c, 0+0)=(a + c, 0). Nhu
.
ng theo tiˆen dˆe
`
IV th`ı (a + c, 0) ≡ a + c.Nhu
.
vˆa
.
y
(a, 0)+(c, 0)=(a + c, 0+0)=(a + c, 0) ≡ a + c
t´u
.
cl`adˆo
`
ng nhˆa
´
tb˘a
`
ng tˆo
’
ng a + c theo ngh˜ıa thˆong thu
.
`o
.
ng.

3) II I - IV. Theo tiˆen d
ˆe
`
III, t´ıch c´ac sˆo
´
thu
.
.
c a v`a b du
.
o
.
.
cx´et nhu
.
nh˜u
.
ng
c˘a
.
p(a, 0) v`a (c, 0) l`a b˘a
`
ng c˘a
.
p
(ac − 0 · 0,a·0+0· c)=(ac, 0)
14 Chu
.
o
.

ng 1. M˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c v`a h`am biˆe
´
nph´u
.
c
v`a theo tiˆen dˆe
`
IV ta c´o (ac, 0) ≡ ac.Nhu
.
vˆa
.
y
(a, 0)(c, 0)
(III)
=(ac, 0)
(IV)
= ac
t´u
.
cl`ad
ˆo
`
ng nhˆa
´

tb˘a
`
ng t´ıch a v´o
.
i c theo ngh˜ıa thˆong thu
.
`o
.
ng.
Nhu
.
vˆa
.
y tiˆen dˆe
`
IV tu
.
o
.
ng th´ıch v´o
.
i c´ac tiˆen dˆe
`
I, II v`a III.
Ta c˜ung lu
.
u ´y cˆong th´u
.
csaudˆay du
.

o
.
.
c suy tru
.
.
ctiˆe
´
pt`u
.
III v`a IV:
m(a, b)=(ma, mb),m∈ R.
Thˆa
.
tvˆa
.
yt`u
.
IV v`a III ta c´o
m(a, b)=(m, 0)(a, b)=(ma − 0 · b, mb +0·a)
=(ma, mb).
Nˆe
´
u m ∈ N th`ı theo II ta c´o
(a, b)+(a, b)=(2a, 2b);
(2a, 2b)+(a, b)=(3a, 3b),
t´u
.
cl`a(ma, mb)l`akˆe
´

t qua
’
cu
’
a ph´ep cˆo
.
ng liˆen tiˆe
´
p m sˆo
´
ha
.
ng b˘a
`
ng ( a, b).
Diˆe
`
ud´oph`uho
.
.
pv´o
.
ibiˆe
’
utu
.
o
.
.
ng thˆong thu

.
`o
.
ng l`a ph´ep nhˆan v´o
.
isˆo
´
tu
.
.
nhiˆen
tu
.
o
.
ng ´u
.
ng v´o
.
i ph´ep cˆo
.
ng m sˆo
´
ha
.
ng b˘a
`
ng nhau.
Dˆe
˜

d`ang thˆa
´
yr˘a
`
ng c´ac tiˆen dˆe
`
II v`a III l`a tu
.
o
.
ng th´ıch v´o
.
i nhau v`a c´ac
quy luˆa
.
t thˆong thu
.
`o
.
ng cu
’
a c´ac ph´ep t´ınh thu
.
.
chiˆe
.
n trˆen c´ac sˆo
´
vˆa
˜

ndu
.
o
.
.
c
ba
’
o to`an khi chuyˆe
’
n sang sˆo
´
ph´u
.
c(d
u
.
o
.
ng nhiˆen pha
’
ic˘a
´
tbo
’
mo
.
i quy luˆa
.
tc´o

quan hˆe
.
t´o
.
idˆa
´
u >).
D
-
i
.
nh ngh˜ıa 1.1.2. Gia
’
su
.
’
z =(a, b) ∈ C. Khi d´o s ˆo
´
ph´u
.
c(a, −b)du
.
o
.
.
cgo
.
i
l`a sˆo
´

ph´u
.
c liˆen ho
.
.
p v´o
.
isˆo
´
ph´u
.
c z v`a du
.
o
.
.
ck´yhiˆe
.
ul`az:
z =(a, −b).
Ta c´o d
i
.
nh l´y sau dˆay:
1.1. Tˆa
.
pho
.
.
psˆo

´
ph´u
.
c, m˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c 15
D
-
i
.
nh l´y 1.1.1. Tˆa
.
pho
.
.
p C lˆa
.
p th`anh mˆo
.
t tru
.
`o
.
ng tho
’
a m˜an c´ac d

iˆe
`
ukiˆe
.
n:
1. C ⊃ R;
2. C ch´u
.
a phˆa
`
ntu
.
’
i v´o
.
it´ınh chˆa
´
t i
2
= −1; phˆa
`
ntu
.
’
i n`ay du
.
o
.
.
cgo

.
il`a
do
.
nvi
.
a
’
o.
Ch´u
.
ng minh. 1. C l`a mˆo
.
t tru
.
`o
.
ng.Hiˆe
’
n nhiˆen, phˆa
`
ntu
.
’
d
o
.
nvi
.
cu

’
a C l`a c˘a
.
p
(1, 0) v`ır˘a
`
ng (a, b)(1, 0) = (a · 1 − b · 0,a· 0+b · 1) = (a, b); v`a phˆa
`
ntu
.
’
-
khˆong cu
’
a C l`a c˘a
.
p(0, 0) v`ı r˘a
`
ng (a, b)+(0, 0) = (a +0,b+0)=(a, b).
D
ˆe
’
ch´u
.
ng to
’
C l`a mˆo
.
t tru
.

`o
.
ng ta chı
’
cˆa
`
nkiˆe
’
m nghiˆe
.
msu
.
tˆo
`
nta
.
i phˆa
`
ntu
.
’
nghi
.
ch d
a
’
o (viˆe
.
ckiˆe
’

m nghiˆe
.
m c´ac tiˆen dˆe
`
c`on la
.
idˆo
´
iv´o
.
imˆo
.
t tru
.
`o
.
ng l`a hiˆe
’
n
nhiˆen). Gia
’
su
.
’
z =(a, b) =(0, 0) (t´u
.
cl`aa
2
+ b
2

> 0). Ta s˜e t`ım z

=(a

,b

)
sao cho
(a, b)(a

,b

)=(1, 0).
T`u
.
I v`a III suy ra
aa

− bb

=1,
ba

+ ab

=0.

T`u
.
d´or´ut ra a


=
a
a
2
+ b
2
, b

= −
b
a
2
+ b
2
.Nhu
.
vˆa
.
y
z

=

a
a
2
+ b
2
, −

b
a
2
+ b
2

,
v`a r˜o r`ang l`a
z · z

=(a, b)

a
a
2
+ b
2
, −
b
a
2
+ b
2

=

a
2
+ b
2

a
2
+ b
2
, −
−ab + ab
a
2
+ b
2

=(1, 0).
Vˆe
`
sau phˆa
`
ntu
.
’
nghi
.
ch da
’
o z

cu
’
a z thu
.
`o

.
ng du
.
o
.
.
ck´yhiˆe
.
ul`az
−1
.
2. R ⊂ C. X´et c´ac c˘a
.
pda
.
ng (a, 0). Dˆe
˜
d`ang thˆa
´
yr˘a
`
ng tˆa
.
pho
.
.
p R

=
{(a, 0),a∈ R} lˆa

.
p th`anh mˆo
.
t tru
.
`o
.
ng con cu
’
a C.Tax´et ´anh xa
.
t`u
.
R v`ao R

a → (a, 0).
16 Chu
.
o
.
ng 1. M˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c v`a h`am biˆe
´
nph´u
.

c
Hiˆe
’
n nhiˆen r˘a
`
ng nˆe
´
u(a, 0) = (a

, 0) th`ı a = a

v`a ngu
.
o
.
.
cla
.
i, d
ˆo
`
ng th`o
.
i
a + b → (a + b, 0)=(a, 0)+(b, 0),
ab → (ab, 0) = (a, 0)(b, 0).
Do d
´o ´anh xa
.
v`u

.
a x´et l`a mˆo
.
td˘a
’
ng cˆa
´
ugi˜u
.
a R v`a R

v`a ph´ep d˘a
’
ng cˆa
´
u n`ay
cho ph´ep ta xem R nhu
.
l`a mˆo
.
t tru
.
`o
.
ng con cu
’
a C.
3. Phu
.
o

.
ng tr`ınh x
2
+ 1 = 0 c´o nghiˆe
.
m trong C,t´u
.
cl`aC ch´u
.
a phˆa
`
ntu
.
’
i
m`a i
2
= −1.
Thˆa
.
tvˆa
.
y, gia
’
su
.
’
x =(a, b) ∈ C. Khi d
´o trong C phu
.

o
.
ng tr`ınh x
2
+1=0
c´o da
.
ng:
(a, b)(a, b)+(1, 0) = (0, 0),
hay l`a
a
2
− b
2
+1=0,
2ab =0.
T`u
.
d´or´ut ra a =0,b =1v`aa =0,b = −1. Ta k´y hiˆe
.
u hai nghiˆe
.
md´ol`a
i =(0, 1) v`a −i =(0, −1).
1.1.2 Da
.
ng da
.
isˆo
´

cu
’
asˆo
´
ph´u
.
c
Ta c´o di
.
nh l´y sau dˆay
D
-
i
.
nh l´y 1.1.2. Mo
.
isˆo
´
ph´u
.
c z =(a, b) ∈ C dˆe
`
u c´o thˆe
’
biˆe
’
udiˆe
˜
ndu
.

´o
.
ida
.
ng
z =(a, b)=a + ib.
Ch´u
.
ng minh. Thˆa
.
tvˆa
.
y, ta c´o
z =(a, b)=(a, 0)+(b, 0)(0, 1) = a + ib.
Ph´ep biˆe
’
udiˆe
˜
nsˆo
´
ph´u
.
c z =(a, b)du
.
´o
.
ida
.
ng a + ib du
.

o
.
.
cgo
.
il`ada
.
ng da
.
i
sˆo
´
hay da
.
ng Descartes cu
’
asˆo
´
ph´u
.
c. Sˆo
´
a d
u
.
o
.
.
cgo
.

il`aphˆa
`
n thu
.
.
c cu
’
asˆo
´
ph´u
.
c
1.1. Tˆa
.
pho
.
.
psˆo
´
ph´u
.
c, m˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c 17
z v`a k´y hiˆe
.

ul`aa =Re[z], sˆo
´
b du
.
o
.
.
cgo
.
il`aphˆa
`
na
’
o cu
’
an´ov`ak´yhiˆe
.
ul`a
b =Im[z].
2
Nˆe
´
u z =Re[z]th`ız l`a mˆo
.
tsˆo
´
thu
.
.
c. Nˆe

´
u z = iIm [z]th`ız l`a mˆo
.
t sˆo
´
thuˆa
`
na
’
o.V´o
.
i quan diˆe
’
m c´ac ph´ep to´an trong tru
.
`o
.
ng c´ac sˆo
´
ph´u
.
c, sˆo
´
thuˆa
`
n
a
’
o bi c´o thˆe
’

hiˆe
’
unhu
.
l`a t´ıch cu
’
asˆo
´
thu
.
.
c b v´o
.
id
o
.
nvi
.
a
’
o i v`a mˆo
˜
isˆo
´
ph´u
.
c
a + ib nhu
.
l`a tˆo

’
ng cu
’
asˆo
´
thu
.
.
c a v´o
.
isˆo
´
thuˆa
`
na
’
o ib.
Do d´o trong c´ach xˆay du
.
.
ng sˆo
´
ph´u
.
c n`ay ta d˜asu
.
’
du
.
ng c´ac k´yhiˆe

.
uc´o
mˆo
.
t ´y ngh˜ıa ho`an to`an cu
.
thˆe
’
v`a v`ı thˆe
´
tr´anh du
.
o
.
.
c t´ınh h`ınh th´u
.
cdok´y
hiˆe
.
ud
o
.
nvi
.
a
’
o i mang la
.
i.

Hˆe
.
qua
’
. Gia
’
su
.
’
z = a + ib ∈ C. Khi d´osˆo
´
ph´u
.
cliˆen ho
.
.
p z c´o thˆe
’
biˆe
’
u diˆen
du
.
´o
.
ida
.
ng
z = a − ib.
Ph´ep chuyˆe

’
nt`u
.
sˆo
´
ph´u
.
cd
˜a cho sang sˆo
´
ph´u
.
cliˆen ho
.
.
pv´o
.
in´od
u
.
o
.
.
cgo
.
il`a
ph´ep lˆa
´
y liˆen ho
.

.
p.
D
-
i
.
nh l´y 1.1.3. Gia
’
su
.
’
z, z
1
v`a z
2
∈ C. Khi d´o
1.
z
1
+ z
2
= z
1
+ z
2
;
2. z
1
z
2

= z
1
· z
2
, αz = αz, ∀α ∈ R;
3. z = z.
Ch´u
.
ng minh. 1. Thˆa
.
tvˆa
.
y, gia
’
su
.
’
z
1
= a
1
+ ib
1
, z
2
= a
2
+ ib
2
. Khi d´o

z
1
+ z
2
=(a
1
+ a
2
) − i(b
1
+ b
2
)
=(a
1
− ib
1
)+(a
2
− ib
2
)=z
1
+ z
2
.
2. Tu
.
o
.

ng tu
.
.
z
1
z
1
=(a
1
a
2
− b
1
b
2
) − i(a
1
b
2
+ a
2
b
1
)
=(a
1
− ib
1
)(a
2

− ib
2
)=z
1
· z
2
.
3. Hiˆe
’
n nhiˆen.
2
C´ac k´y hiˆe
.
u Re v`a Im xuˆa
´
thiˆe
.
n do viˆe
.
cviˆe
´
tt˘a
´
t c´ac t`u
.
tiˆe
´
ng Ph´ap Reel (thu
.
.

c) v`a
Imaginaire (a
’
o)
18 Chu
.
o
.
ng 1. M˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c v`a h`am biˆe
´
nph´u
.
c
Mˆo
.
tsˆo
´
ph´u
.
ctr`ung v´o
.
isˆo
´
liˆen ho

.
.
pv´o
.
i n´o khi v`a chı
’
khi n´o l`a sˆo
´
thu
.
.
c.
Dˆe
˜
thˆa
´
y ´anh xa
.
t`u
.
tˆa
.
pho
.
.
ptˆa
´
tca
’
c´ac sˆo

´
ph´u
.
c v`ao tˆa
.
pho
.
.
p c´ac sˆo
´
ph´u
.
c
liˆen ho
.
.
pv´o
.
ich´ung:
C  z → z ∈ C
l`a mˆo
.
ttu
.
.
d
˘a
’
ng cˆa
´

ucu
’
a C (Ba
.
ndo
.
c h˜ay tu
.
.
kiˆe
’
m tra !).
1.1.3 Ph´ep tr`u
.
v`a ph´ep chia sˆo
´
ph´u
.
c
C´ac ph´ep to´an tr`u
.
v`a chia d
u
.
o
.
.
cd
i
.

nh ngh˜ıa nhu
.
c´ac ph´ep to´an ngu
.
o
.
.
cv´o
.
i
ph´ep cˆo
.
ng v`a nhˆan. D
ˆo
´
iv´o
.
i ph´ep tr`u
.
ta c´o
D
-
i
.
nh l´y 1.1.4. Gia
’
su
.
’
z

1
v`a z
2
∈ C. Khi d´otˆo
`
nta
.
imˆo
.
t v`a chı
’
mˆo
.
tsˆo
´
ph´u
.
c
z sao cho z
1
+ z = z
2
,cu
.
thˆe
’
l`a z =(−z
1
)+z
2

.
Ch´u
.
ng minh. 1. Ta c´o z
1
+((−z
1
)+z
2
)=(z
1
+(−z
1
)) + z
2
=0+z
2
= z
2
v`a nhu
.
vˆa
.
y z =(−z
1
)+z
2
tho
’
am˜and`oi ho

’
icu
’
adi
.
nh l´y.
2. Ngu
.
o
.
.
cla
.
i, nˆe
´
u z
1
+ z = z
2
th`ı (−z
1
)+(z
1
+ z)=(−z
1
)+z
2
.T`u
.
d´o

z =(−z
1
)+z
2
v`a nhu
.
vˆa
.
yd
i
.
nhl´ydu
.
o
.
.
cch´u
.
ng minh.
Sˆo
´
ph´u
.
c z =(−z
1
)+z
2
du
.
o

.
.
cgo
.
il`ahiˆe
.
u cu
’
a c´ac sˆo
´
ph´u
.
c z
2
v`a z
1
. Thˆong
thu
.
`o
.
ng hiˆe
.
ud´odu
.
o
.
.
ck´yhiˆe
.

ul`a
z = z
2
− z
1
,
v`a nˆe
´
u z
1
= a
1
+ ib
1
, c`on z
2
= a
2
+ ib
2
th`ı
z = z
2
− z
1
=(a
2
− a
1
)+i(b

2
−b
1
).
Dˆo
´
iv´o
.
i ph´ep chia ta c´o
D
-
i
.
nh l´y 1.1.5. Gia
’
su
.
’
z
1
v`a z
2
∈ C, z
2
=0. Khi d´otˆo
`
nta
.
imˆo
.

t v`a chı
’
mˆo
.
t
sˆo
´
ph´u
.
c z sao cho z
2
z = z
1
,cu
.
thˆe
’
l`a: z = z
−1
2
z
1
.
Ch´u
.
ng minh. 1. Nˆe
´
u z = z
−1
2

z
1
th`ı z
2
z = z
2
(z
−1
2
z
1
)=z
1
.
2. Nˆe
´
u z
2
z = z
1
⇒ z = z
−1
2
(z
2
z)=z
−1
2
z
1

.
1.1. Tˆa
.
pho
.
.
psˆo
´
ph´u
.
c, m˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c 19
Nhu
.
vˆa
.
ysˆo
´
z
−1
2
z
1
l`a thu
.

o
.
ng cu
’
a ph´ep chia z
1
cho z
2
.
Sˆo
´
thu
.
o
.
ng thu
.
`o
.
ng d
u
.
o
.
.
ck´yhiˆe
.
ul`a
z
1

z
2
ho˘a
.
c z
1
/z
2
.
Gia
’
su
.
’
z
1
= a
1
+ ib
1
, z
2
= a
2
+ ib
2
. Khi d´o ta c´o thˆe
’
viˆe
´

t:
z =
z
1
z
2
=
z
1
· z
2
z
2
· z
2
=
(a
1
+ ib
1
)(a
2
− ib
2
)
a
2
2
+ b
2

2
=
a
1
a
2
+ b
1
b
2
a
2
2
+ b
2
2
+ i
a
2
b
1
− a
1
b
2
a +2
2
+ b
2
2

·
Nhu
.
vˆa
.
y
z =
a
1
a
2
+ b
1
b
2
a
2
2
+ b
2
2
+ i
a
2
b
1
− a
1
b
2

a
2
2
+ b
2
2
·
V`a t`u
.
d´o suy ra r˘a
`
ng ph´ep chia cho sˆo
´
ph´u
.
c z =0bˆa
´
tk`y l`a luˆon luˆon thu
.
.
c
hiˆe
.
ndu
.
o
.
.
c.
1.1.4 M˘a

.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c
Gia
’
su
.
’
trˆen m˘a
.
t ph˘a
’
ng R
2
cho hˆe
.
to
.
adˆo
.
Descartes vuˆong g´oc xOy.Nhu
.
d˜a
biˆe
´
t, hai d
iˆe

’
mdu
.
o
.
.
c x´ac d
i
.
nh bo
.
’
i c´ac to
.
ad
ˆo
.
Descartes vuˆong g´oc tr`ung nhau
khi v`a chı
’
khi ch´ung c´o ho`anh dˆo
.
b˘a
`
ng nhau v`a tung dˆo
.
b˘a
`
ng nhau. Do d´o
ta c´o thˆe

’
x´ac lˆa
.
pmˆo
.
tph´ep tu
.
o
.
ng ´u
.
ng do
.
n tri
.
mˆo
.
t-mˆo
.
tgi˜u
.
a c´ac diˆe
’
mcu
’
a
m˘a
.
t ph˘a
’

ng R
2
v´o
.
i c´ac sˆo
´
ph´u
.
ccu
’
a C, trong d´omˆo
˜
isˆo
´
ph´u
.
c z = x+iy ∈ C s˜e
tu
.
o
.
ng ´u
.
ng v`o
.
id
iˆe
’
m ho`an to`an x´ac di
.

nh M(x, y) ∈ R
2
v`a ngu
.
o
.
.
cla
.
imˆo
˜
id
iˆe
’
m
M(x, y) ∈ R
2
s˜e tu
.
o
.
ng ´u
.
ng v´o
.
isˆo
´
ph´u
.
c ho`an to`an x´ac di

.
nh z = x + iy ∈ R
2
.
Nhu
.
vˆa
.
y ph´ep tu
.
o
.
ng ´u
.
ng
R
2
 (x, y) → x + iy ∈ C
l`a d
o
.
n tri
.
mˆo
.
t-mˆo
.
t. T `u
.
d

´o ta thˆa
´
yr˘a
`
ng mo
.
isˆo
´
ph´u
.
cd
ˆe
`
uc´othˆe
’
biˆe
’
udiˆe
˜
n
bo
.
’
idiˆe
’
mcu
’
am˘a
.
t ph˘a

’
ng v`a nhu
.
vˆa
.
y c´ac thuˆa
.
tng˜u
.
“sˆo
´
ph´u
.
c z”v`a“diˆe
’
m z”
du
.
o
.
.
cd`ung nhu
.
nh˜u
.
ng t`u
.
dˆo
`
ng ngh˜ıa.

D
-
i
.
nh ngh˜ıa 1.1.3. M˘a
.
t ph˘a
’
ng v´o
.
i ph´ep tu
.
o
.
ng ´u
.
ng d
o
.
n tri
.
mˆo
.
t-mˆo
.
t
R
2
 (x, y) → x + iy ∈ C
20 Chu

.
o
.
ng 1. M˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c v`a h`am biˆe
´
nph´u
.
c
nhu
.
d
˜a m ˆo t a
’
o
.
’
trˆen d
u
.
o
.
.
cgo
.

il`am˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c v`a c˜ung d
u
.
o
.
.
ck´yhiˆe
.
ul`aC.
C´o thˆe
’
n´oi mˆo
.
t c´ach kh´ac: m˘a
.
t ph˘a
’
ng m`a c´ac d
iˆe
’
mcu
’
an´odu
.

o
.
.
c d`ung
d
ˆe
’
mˆo ta
’
sˆo
´
ph´u
.
cgo
.
i l`a m˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c. C´ac sˆo
´
thu
.
.
cd
u
.
o

.
.
c mˆo ta
’
bo
.
’
i c´ac
d
iˆe
’
m trˆen tru
.
c Ox nˆen tru
.
cd´odu
.
o
.
.
cgo
.
il`atru
.
c thu
.
.
c. C´ac sˆo
´
thuˆa

`
na
’
odu
.
o
.
.
c
mˆo ta
’
bo
.
’
i c´ac diˆe
’
m trˆen tru
.
c Oy nˆen tru
.
c Oy du
.
o
.
.
cgo
.
il`atru
.
ca

’
o.
Ta c˜ung c´o thˆe
’
x´ac lˆa
.
p ph´ep tu
.
o
.
ng ´u
.
ng gi˜u
.
a c´ac phˆa
`
n thu
.
.
c v`a phˆa
`
na
’
o
cu
’
asˆo
´
ph´u
.

cv´o
.
i c´ac to
.
adˆo
.
cu
’
a vecto
.
v´o
.
igˆo
´
c, ch˘a
’
ng ha
.
n, ta
.
igˆo
´
cto
.
adˆo
.
.Su
.
.
tu

.
o
.
ng ´u
.
ng gi˜u
.
a c´ac sˆo
´
ph´u
.
c v`a c´ac vecto
.
trˆen m˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
cv´o
.
igˆo
´
cta
.
i
O l`a mˆo
.
tph´ep tu
.

o
.
ng ´u
.
ng d
o
.
n tri
.
mˆo
.
t-mˆo
.
t. Do d
´o s ˆo
´
ph´u
.
c z c`on c´o thˆe
’
biˆe
’
udiˆe
˜
nbo
.
’
imˆo
.
t vecto

.
v´o
.
igˆo
´
cta
.
i O v`a dˆa
`
um´ut ta
.
idiˆe
’
m z v`a ta c´o thˆe
’
su
.
’
du
.
ng thuˆa
.
tng˜u
.
“sˆo
´
ph´u
.
c z”v`a“vecto
.

z”nhu
.
nh˜u
.
ng thuˆa
.
tng˜u
.
dˆo
`
ng ngh˜ıa.
Nh`o
.
c´ach minh ho
.
a vecto
.
dˆo
´
iv´o
.
i c´ac sˆo
´
ph´u
.
c, vˆe
`
m˘a
.
th`ınh ho

.
c ta c´o thˆe
’
thu
.
.
chiˆe
.
nph´ep cˆo
.
ng v`a tr`u
.
c´ac sˆo
´
ph´u
.
c theo c´ac quy t˘a
´
ccˆo
.
ng v`a tr`u
.
c´ac
vecto
.
.
1.1.5 Mˆodun v`a acgumen cu
’
asˆo
´

ph´u
.
c
Bˆay gi`o
.
ta x´et c´ac to
.
adˆo
.
cu
.
.
ccu
’
adiˆe
’
mbiˆe
’
udiˆe
˜
nsˆo
´
ph´u
.
c z b˘a
`
ng c´ach cho
.
n
gˆo

´
cto
.
adˆo
.
l`am gˆo
´
c-cu
.
.
c v`a phˆa
`
ndu
.
o
.
ng cu
’
a tru
.
c thu
.
.
c l`am tru
.
ccu
.
.
c.
Nhu

.
ta biˆe
´
t, c´ac to
.
adˆo
.
cu
.
.
ccu
’
adiˆe
’
mgˆo
`
m c´o b´an k´ınh vecto
.
cu
’
a n´o (b˘a
`
ng
khoa
’
ng c´ach t `u
.
d
iˆe
’

m z dˆe
´
ngˆo
´
ccu
.
.
c) v`a g´oc cu
.
.
cta
.
onˆenbo
.
’
ihu
.
´o
.
ng du
.
o
.
ng
cu
’
a tru
.
ccu
.

.
c v`a vecto
.
dit`u
.
cu
.
.
cdˆe
´
ndiˆe
’
m z.
D
-
i
.
nh ngh˜ıa 1.1.4. Dˆo
.
d`ai cu
’
a b´an k´ınh-vecto
.
cu
’
adiˆe
’
mbiˆe
’
udiˆe

˜
nsˆo
´
ph´u
.
c
z du
.
o
.
.
cgo
.
il`amˆodun cu
’
asˆo
´
ph´u
.
cv`ak´yhiˆe
.
ul`a|z|.
R˜o r`ang l`a nˆe
´
u z = a + ib th`ı
|z| =
√
zz =(a
2
+ b

2
)
1/2
.
D
ˆo
´
iv´o
.
isˆo
´
ph´u
.
c z ∈ C bˆa
´
tk`y mˆodun cu
’
a n´o x´ac di
.
nh mˆo
.
tc´achdo
.
n tri
.
.
Trong tru
.
`o
.

ng ho
.
.
p khi z l`a sˆo
´
thu
.
.
c th`ı mˆodun cu
’
a z tr `ung v´o
.
i gi´a tri
.
tuyˆe
.
t
d
ˆo
´
icu
’
a n´o.
1.1. Tˆa
.
pho
.
.
psˆo
´

ph´u
.
c, m˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c 21
D
-
i
.
nh l´y 1.1.6. Mˆodun cu
’
asˆo
´
ph´u
.
c z c´o c´ac t´ınh chˆa
´
t sau d
ˆay:
1. |z|  0, |z| =0⇔ z =0;
2. |z
1
z
2
| = |z
1

||z
2
|,
3. |z
1
+ z
2
|  |z
1
| + |z
2
| (bˆa
´
td˘a
’
ng th´u
.
c tam gi´ac).
Ch´u
.
ng minh. 1. Du
.
o
.
.
c suy t`u
.
di
.
nh ngh˜ıa.

2. Ta c´o |z
1
z
2
|
2
= z
1
z
2
· z
1
z
2
= z
1
z
1
· z
2
z
2
= |z
1
|
2
|z
2
|
2

.Dod´o |z
1
z
2
| =
|z
1
||z
2
|.
3. Ta c´o
|z
1
+ z
2
|
2
=(z
1
+ z
2
)(z
1
+ z
2
)=|z
1
|
2
+ |z

2
|
2
+ 2Re(z
1
z
2
).
Do d
´o, dˆe
’
´ydˆe
´
nbˆa
´
td˘a
’
ng th´u
.
c
−|z
1
z
2
|  Re(z
1
z
2
)  |z
1

z
2
|
ta suy ra
|z
1
+ z
2
|
2
 |z
1
|
2
+ |z
2
|
2
+2|z
1
z
2
| =(|z
1
|
2
+ |z
2
|
2

)
2
th`anh thu
.
’
|z
1
+ z
2
|  |z
1
| + |z
2
|
Nhˆa
.
n x´et. T`u
.
di
.
nh l´y v`u
.
ach´u
.
ng minh suy ra r˘a
`
ng
|z
1
− z

2
| = d(z
1
,z
2
)
l`a khoa
’
ng c´ach gi˜u
.
a hai d
iˆe
’
m z
1
v`a z
2
v`a da
.
ilu
.
o
.
.
ng |z| l`a d
ˆo
.
d`ai cu
’
a b´an

k´ınh-vecto
.
z.
Hˆe
.
qua
’
a) |z
1
−z
2
|  |z
1
| + |z
2
|;
b) |z
1
+ z
2
|  |z
1
|−|z
2
|;
c) |z
1
− z
2
|  |z

1
|−|z
2
|;
d) |z
1
+ z
2
| 


|z
1
|−|z
2
|


;
e) |z
1
− z
2
| 


|z
1
|−|z
2

|


.
22 Chu
.
o
.
ng 1. M˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c v`a h`am biˆe
´
nph´u
.
c
Ch´u
.
ng minh. a) Thˆa
.
tvˆa
.
y, v`ı |z
2
| = |−z
2
| nˆen

|z
1
−z
2
| = |z
1
+(−z
2
)|  |z
1
| + |−z
2
| = |z
1
| + |z
2
|.
b) Dˆe
’
ch´u
.
ng minh b) ta ´ap du
.
ng a) cho
z
1
=(z
1
+ z
2

) − z
2
.
Ta c´o
|z
1
|  |z
1
+ z
2
| + |z
2
|⇒|z
1
+ z
2
|  |z
1
|−|z
2
|.
c) |z
1
− z
2
| = |z
1
+(−z
2
)|  |z

1
|−|−z
2
| = |z
1
|−|z
2
|.
d) Ta c´o |z
1
+ z
2
|  |z
1
|−|z
2
| v`a |z
1
+ z
2
|  |z
2
|−|z
1
|.Dod´o
−|z
1
+ z
2
|  |z

1
|−|z
2
|  |z
1
+ z
2
|⇔


|z
1
|−|z
2
|


 |z
1
+ z
2
|.
e) Bˆa
´
td
˘a
’
ng th ´u
.
c e) thu du

.
o
.
.
ct`u
.
d) sau khi thay z
2
bo
.
’
i −z
2
.
T`u
.
bˆa
´
td
˘a
’
ng th´u
.
c tam gi´ac, dˆe
˜
d`ang suy ra r˘a
`
ng




n

k=1
z
k




n

k=1
|z
k
|. (1.1)
T`u
.
bˆa
´
td˘a
’
ng th´u
.
c n`ay v`a a) suy ra
|z
1
+ z
2
+ ···+ z

n
|  |z
1
|−|z
2
+ z
3
+ ···+ z
n
|
 |z
1
|−|z
2
|−···−|z
n
|. (1.2)
C´o thˆe
’
xem c´ac bˆa
´
td˘a
’
ng th ´u
.
c (1.1) v`a (1.2) nhu
.
nh˜u
.
ng bˆa

´
td
˘a
’
ng th ´u
.
c
tˆo
’
ng qu´at d
ˆo
´
iv´o
.
ibˆa
´
td˘a
’
ng th ´u
.
c tam gi´ac v`a bˆa
´
td˘a
’
ng th´u
.
c a).
Bˆay gi`o
.
ta chuyˆe

’
n sang di
.
nh ngh˜ıa acgumen cu
’
asˆo
´
ph´u
.
c z = a + ib =0.
Ta d
˘a
.
t r = |z| =
√
a
2
+ b
2
.V`ı a
2
 r
2
, b
2
 r
2
nˆen




a
r



 1v`a



b
r



 1.
1.1. Tˆa
.
pho
.
.
psˆo
´
ph´u
.
c, m˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u

.
c 23
Nhu
.
ta biˆe
´
t, v´o
.
imo
.
i x ∈ [0, 1] tˆo
`
nta
.
imˆo
.
t v`a chı
’
mˆo
.
tsˆo
´
y ∈

0,
π
2

sao
cho sin y = x.T`u

.
d
´o suy r˘a
`
ng tˆo
`
nta
.
isˆo
´
α
0
sao cho
a) 0  α
0

π
2
, b) sin α
0
=



b
r



.

Nhu
.
ng v`ı

a
r

2
+

b
r

2
=1
nˆen
a
r
= ±cos α
0
,
b
r
= ±sin α
0
.
D˘a
.
t α = α
0

.Nˆe
´
u a<0 th`ı thay α b˘a
`
ng π − α.Nˆe
´
u b<0 th`ı thay α
b˘a
`
ng −α.Dod
´o ta thu du
.
o
.
.
csˆo
´
α tho
’
a m˜an d
iˆe
`
ukiˆe
.
n
a
r
= cos α,
b
r

= sin α. (1.3)
Ta c´o di
.
nh ngh˜ıa sau dˆay.
D
-
i
.
nh ngh˜ıa 1.1.5. Sˆo
´
thu
.
.
c α tho
’
a m˜an hˆe
.
(1.3) du
.
o
.
.
cgo
.
il`aacgumen cu
’
a
sˆo
´
ph´u

.
c z v`a du
.
o
.
.
ck´yhiˆe
.
u l`a Arg z.
T`u
.
di
.
nh ngh˜ıa n`ay dˆe
˜
d`ang nhˆa
.
n thˆa
´
yr˘a
`
ng acgumen cu
’
a z l`a g´oc ta
.
onˆen
gi˜u
.
ahu
.

´o
.
ng du
.
o
.
ng cu
’
a tru
.
c thu
.
.
cv´o
.
i vecto
.
z nhˆa
.
nhu
.
´o
.
ng ngu
.
o
.
.
cchiˆe
`

u kim
d
ˆo
`
ng hˆo
`
l`am hu
.
´o
.
ng biˆe
´
n thiˆen du
.
o
.
ng.
D
ˆo
´
iv´o
.
isˆo
´
z = 0 acgumen khˆong c´o gi´a tri
.
x´ac d
i
.
nh v`a d´oc˜ung l`a diˆe

’
m
duy nhˆa
´
t c´o acgumen khˆong x´ac di
.
nh. Thˆa
.
tvˆa
.
y, z =0⇔ Re z =Imz =0,
do d´ot`u
.
(1.3) suy ra arg 0 khˆong x´ac di
.
nh.
Acgumen cu
’
asˆo
´
ph´u
.
cdu
.
o
.
.
c x´ac di
.
nh khˆong do

.
n tri
.
. Ta s˜e n´oi r˜o d˘a
.
cdiˆe
’
m
cu
’
a t´ınh d
a tri
.
cu
’
a acgumen.
Gia
’
su
.
’
ϕ
0
l`a gi´a tri
.
b´e nhˆa
´
tcu
’
a acgumen cu

’
a z du
.
o
.
.
c t´ınh theo hu
.
´o
.
ng
du
.
o
.
ng. Sau khi thu
.
.
chiˆe
.
nmˆo
.
tsˆo
´
v`ong quay to`an phˆa
`
n vecto
.
z xung quanh
cu

.
.
c theo hu
.
´o
.
ng du
.
o
.
ng ta s˜e didˆe
´
n gi´a tri
.
acgumen l`a ϕ
0
+ k · 2π, trong d´o
k ∈ Z, k  0 l`a sˆo
´
v`ong quay vecto
.
z.Sˆo
´
d
odo
.
n gia
’
n nhˆa
´

tcu
’
a acgumen theo