Toán cao cấp dành cho đào tạo bác sĩ đa khoa

BỘ Y TẾ








TOÁN CAO CẤP


(DÙNG CHO ðÀO TẠO BÁC SĨ ðA KHOA)

MÃ SỐ: ð.01.X.01

NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC
HÀ NỘI − 2008

Chỉ ñạo biên soạn:
VỤ KHOA HỌC VÀ ðÀO TẠO - BỘ Y TẾ
Chủ biên:
TS. HOÀNG MINH HẰNG
Page
1
of
4
30/09/2009
file://C:\Windows\Temp\kiceldoanp\Introduction.htm
Những người biên soạn:
TS. HOÀNG MINH HẰNG
ThS. NGÔ BÍCH NGUYỆT
CN. CAO CHU TOÀN
Thư ký biên soạn:
ThS. NGÔ BÍCH NGUYỆT
Tham gia tổ chức bản thảo:
ThS. PHÍ VĂN THÂM
TS. NGUYỄN MẠNH PHA

Lời giới thiệu


Thực hiện một số ñiều của Luật Giáo dục, Bộ Giáo dục & ðào tạo và Bộ Y tế ñã ban hành chươ
ng trình
khung ñào tạo Bác sĩ ña khoa. Bộ Y tế tổ chức biên soạn tài liệu dạy - học các môn cơ sở

và chuyên
môn theo chương trình trên nhằm từng bước xây dựng bộ sách ñạt chuẩ
n chuyên môn trong công tác
ñào tạo nhân lựcy tế.
©Bản quyền thuộc Bộ Y tế (Vụ Khoa học và ðào tạo)

412-2008/CXB/11-869/GD

Mã số: 7K783Y8-DAI

Page
2
of
4
30/09/2009
file://C:\Windows\Temp\kiceldoanp\Introduction.htm
Sách TOÁN CAO CẤP ñược biên soạn dựa vào chương trình giáo dục của Trường ðại học Y Hà Nộ
i
trên cơ sở chương trình khung ñã ñược phê duyệt. Sách ñược các tác giả TS. Hoàng Minh Hằ
ng, ThS.
Ngô Bích Nguy
ệt, CN. Cao Chu Toàn biên soạn theo phương châm: kiến thức cơ bản, hệ thống; nộ
i
dung chính xác, khoa học, cập nhật các tiến bộ khoa học, kỹ thuật hiện ñại và thực tiễn Việt Nam.
Sách TOÁN CAO CẤP ñã ñược Hội ñồng chuyên môn thẩm ñịnh sách và tài liệu dạy - họ
c chuyên
ngành Bác sĩ ña khoa của Bộ Y tế thẩm ñịnh năm 2007. Bộ Y tế quyết ñịnh ban hành là tài liệu dạy - họ
c
ñạt chuẩn chuyên môn của ngành trong giai ñoạn hiện nay. Trong thời gian từ 3 ñến 5 năm, sách phả
i

ñược chỉnh lý, bổ sung và cập nhật.
B
ộ Y tế xin chân thành cảm ơn các tác giả và Hội ñồng chuyên môn thẩm ñịnh ñã giúp hoàn thành cuố
n
sách; Cảm ơn ThS. Nguyễn Phan Dũng, TS. Chu Văn Thọ ñã ñọc và phản biện ñể cuốn sách sớ
m hoàn
thành kịp thời phục vụ cho công tác ñào tạo nhân lực y tế.
L
ần ñầu xuất bản sách khó tránh khỏi thiếu sót, chúng tôi mong nhận ñược ý kiến ñóng góp của ñồ
ng
nghiệp, các bạn sinh viên và các ñộc giả ñể lần xuất bản sau sách ñược hoàn thiện hơn.
VỤ KHOA HỌC VÀ ðÀO TẠO - BỘ Y TẾ






Page
3
of
4
30/09/2009
file://C:\Windows\Temp\kiceldoanp\Introduction.htm
Lời nói ñầu


Toán học là môn khoa học tự nhiên có mặt trong rất nhiều lĩnh vực khoa học, bao gồm cả
trong lĩnh vực nghiên cứu sinh, y học.
Trong khuôn khổ chuyên ngành y, bộ môn Toán

−
Trường ðại học Y Hà Nội ñã giảng dạy
Toán cao cấp trong nhiều năm cho sinh viên với mong muốn cung cấp các kiến thức cơ bản, cơ
sở Toán thống kê cho các nghiên cứu ứng dụng sau này.
Cuốn sách bao gồm các kiến thức về ñại số, giải tích và một số bài toán ứng dụng trong
sinh, y học với thời lượng 45 tiết.
Cuốn sách là tài liệu dành cho sinh viên trường y và sinh viên các chuyên ngành ứng dụng
sinh, y học khác và có thể làm tài liệu tham khảo cho các cán bộ giảng dạy và nghiên cứu trong
lĩnh vực sinh, y học.
Trong quá trình biên soạn chúng tôi ñã nhận ñược nhiều ý kiến quý báu của CN. ðỗ Như
Cương, TS. ðặng ðức Hậu nguyên Trưởng bộ môn Toán
−
Trường ðại học Y Hà Nội. Ngoài
ra, chúng tôi cũng nhận ñược sự ñóng góp ý kiến và giúp ñỡ về kỹ thuật vi tính của các ñồng
nghiệp trong bộ môn. Tuy nhiên cuốn sách khó tránh khỏi thiếu sót. Chúng tôi mong nhận ñược
các ý kiến ñóng góp của bạn ñọc và ñồng nghiệp.
CÁC TÁC GIẢ
Page
4
of
4
30/09/2009
file://C:\Windows\Temp\kiceldoanp\Introduction.htm
Chương I
MA TRẬN – ðỊNH THỨC
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Bài 1
MA TRẬN

1. KHÁI NIỆM MA TRẬN
Khi có m × n số ta có thể xếp thành một bảng chữ nhật gồm m hàng và n cột.
1.1.

ðịnh nghĩa
Một bảng số chữ nhật có m hàng, n cột biểu diễn dưới dạng
ñược gọi là ma trận cỡ m × n, trong ñó là phần tử nằm ở hàng i, cột j.
Ký hiệu là .
Ví dụ:
MỤC TIÊU

Học xong bài này sinh viên có khả năng:

1. Trình bày ñược ñịnh nghĩa ma trận và khái niệm các dạng ma trận.

2. Th
ự
c hi
ệ
n
ñượ
c các phép toán trên ma tr
ậ
n.



1)

là ma trận cỡ 2 × 3;

2)


là ma trận cột cỡ 3 × 1;

3)


là ma trận hàng cỡ 1 × 3.

ij
a
∈
ij
m n
A a
×
 
=
 
1 2 3
A
4 5 6
 
=
 
 

[
]
C 4 6 7
=
1
B 2
5
 
 
=
 
 
 
Page
1
of
46
30/09/2009
file://C:\Windows\Temp\kiceldoanp\Chapter1.htm
Khi m = n thì A ñược gọi là ma trận vuông cấp n.
1.2. Ma trận không
Ma trận không là ma trận có tất cả các phần tử ñều bằng không.
Ký hiệu là O = [0]
m×n
.

Các ma trận không chỉ khác nhau về kích thước.
1.3. Ma trận bằng nhau
Ma trận A và B ñược gọi là hai ma trận bằng nhau nếu chúng có cùng cỡ và có các phần tử ở cùng v
ị

trí bằng nhau. Tức là:
1) A = [a
ij
]
m × n
và B = [b
ij
]
m × n


2) a
ij
= b
ij
với ∀i, j


Ví dụ: Cho và . A = B khi và chỉ khi a = 1; b = -3; c = 2; d = 3.
1.4. Ma trận ñối nhau
Ma trận A và B ñược gọi là hai ma trận ñối nhau nếu chúng có cùng cỡ và các phần tử cùng vị trí có
giá trị ñối nhau.
Ma trận ñối của A ñược ký hiệu là −A. Ta có:
1) A = [a
ij
]
m × n
và B = [b
ij
]

m × n
;

2) a
ij
= -b
ij
với ∀i, j

Ví dụ: Cho và . B = -A khi và chỉ khi a = -1; b = -3; c = 2; d = 4.

1.5. Ma trận tam giác
Cho ma trận vuông cấp n có dạng:
ðường thẳng ñi qua các phần tử gọi là ñường chéo chính của ma trận A.
Các phần tử a
ij
với i = j gọi là phần tử chéo.

Ma trận tam giác là ma trận mà tất cả các phần tử ở phía trên hoặc phía dưới của ñường chéo chính
ñều bằng không. Có hai loại ma trận tam giác là ma trận tam giác trên và ma trận tam giác dưới.
Ví dụ:


là ma trận không cỡ 2 × 4


0 0 0 0
A
0 0 0 0
 

=
 
 
1 3
A
2 4
 
=
 
− −
 
a b
B
c d
 
=
 
 
11 22 33 nn
a , a , a , , a
⇔ A = B.
⇔ B = -A hay A = -B.
1 3
A
2 3
−
 
=
 
 

a b
B
c d
 
=
 
 
Page
2
of
46
30/09/2009
file://C:\Windows\Temp\kiceldoanp\Chapter1.htm
1.6. Ma trận ñường chéo
Cho ma trận vuông cấp n có dạng:
Vậy A có dạng:


1.7. Ma trận ñơn vị
Ma trận ñơn vị là ma trận ñường chéo có các phần tử chéo ñều bằng 1.
2. PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN
2.1. Phép cộng ma trận


là ma trận tam giác trên.


là ma trận tam giác dưới.

Nếu a
ij
=



nếu i = j

nếu i ≠ j

thì A là ma trận ñường chéo



11
21 22
31 32 33
n1 n2 n3 nn
a 0 0 0
a a 0 0
a a a 0
C
a a a a
 
 
 
 
=
 
 

 
 
M M M M M
i

0,
λ



Page
3
of
46
30/09/2009
file://C:\Windows\Temp\kiceldoanp\Chapter1.htm
2.1.1. ðịnh nghĩa
Cho hai ma trận A và B cùng cỡ m × n:
A = [a
ij
]
m × n
và B = [b
ij
]
m × n
.

Tổng của hai ma trận A và B là ma trận cỡ m × n ñược xác ñịnh bởi:
A + B = [a

ij

+ b
ij
]
m × n
.


Ví dụ:
2.1.2. Tính chất
1) A + B = B + A;
2) A + O = O + A = A;
3) A + (-A) = O;
4) A + (B + C) = (A + B) + C.
Ví dụ: Cho

Khi ñó:
Vậy ta có: (A + B) + C = A + (B + C).
2.2. Phép nhân ma trận với một số
2.2.1. ðịnh nghĩa
Cho ma trận A = [a
ij
]
m × n
và . Tích ma trận A với k là ma trận kA cỡ m × n và ñược xác ñịnh
bởi: kA = [ka
ij
]
m × n

.
Ví dụ 1:


2 3 1 5 7 2
A ; B
1 4 5 2 3 1
   
= =
   
− −
   
Cho
1 3 5 7 1 1 2 4 1 0 1 1
A ; B ; C
2 4 4 2 2 1 0 0 0 2 4 4
     
= = =
     
     
2 5 3 7 1 2 7 10 3
A B
1 2 4 3 5 1 1 1 6
+ + +
   
+ = =
   
− + − +
   
2 4 7 11 1 0 1 1 3 4 8 12

(A B) C
4 5 4 2 0 2 4 4 4 7 8 6
1 3 5 7 2 1 3 5 3 4 8 12
A (B C)
2 4 4 2 2 3 4 4 4 7 8 6
     
+ + = + =
     
     
     
+ + = + =
     
     
k
∈
¡
Page
4
of
46
30/09/2009
file://C:\Windows\Temp\kiceldoanp\Chapter1.htm

Ví dụ 2: Cho
2.2.2. Tính chất
1) k(A + B) = kA + kB;
2) (k + h)A = kA + hA;
3) k(hA) = (kh)A;
4) 1.A = A;
5) 0.A = O.

Ví dụ: Cho






2 3 1
Cho A
1 4 5
 
=
 
−
 
và k = 2
2 2 2 3 2 1 4 6 2
kA
2 ( 1) 2 4 2 5 2 8 10
× × ×
   
⇒ = =
   
× − × × −
   
3 3 2 1 1 1
A 1 1 0 ; B 3 1 2
4 2 1 1 2 1
   
   

= =
   
   
   
và k =2
0
I
. . . . .
0
λ
 
 
λ
 
 
⇒ λ =
λ
 
 
 
λ
 
Page
5
of
46
30/09/2009
file://C:\Windows\Temp\kiceldoanp\Chapter1.htm
2.3. Phép nhân hai ma trận
2.3.1. ðịnh nghĩa

Cho ma trận A = [a
ik
]
m × p
và ma trận B = [b
kj
]
p × n
(số cột của ma trận A bằng số hàng của ma trậ
n
B).
Tích của ma trận A và B là ma trận C, ký hiệu C = A.B (hay AB); C = [c
ij
]
m×n
,
trong ñó:

Chú ý:
− Ta có tích A.B nhưng chưa chắc có tích B.A. Tức là muốn nhân A với B
(A bên trái, B bên phải) thì số cột của A bằng số hàng của B, còn muốn nhân B
với A (B bên trái, A bên phải) thì số cột của B bằng số hàng của A.
− Nếu A, B ñều là ma trận vuông cùng cấp thì bao giờ cũng có tích A.B hoặc B.A nhưng chưa chắc
A.B bằng B.A.
Ví dụ 1: Cho
Khi ñó:

6 6 4 2 2 2
kA 2 2 0 ; kB 6 2 4
8 4 2 2 4 2

8 8 6
kA kB 8 4 4 ;
10 8 4
4 4 3 8 8 6
A B 4 2 2 k(A B) 8 4 4
5 4 2 10 8 4
   
   
⇒ = =
   
   
   
 
 
⇒ + =
 
 
 
   
   
+ = ⇒ + =
   
   
   
ij i1 1j i2 2j ip pj
c a b a b . . . a b
= + + +
p
ik kj
k 1

a b ,
=
=
∑
i 1,m;
=
j 1,n
=
1j
2j
i1 i2 ip ij
m n
m p
pj
p n
b

b
a a a c


b
×
×
×
 
 
 
 
 

 
× =
 
 
 
 
 
 
 
 
1 2
1 2 3
A và B 3 2
4 1 2
1 4
 
 
 
= =
 
 
 
 
 
Page
6
of
46
30/09/2009
file://C:\Windows\Temp\kiceldoanp\Chapter1.htm

Ví dụ 2: Cho
Ví dụ 3: Cho
Nhận thấy A.B ≠ B.A.
Ví dụ 4: Cho
Nhận thấy A ≠ O và B ≠ O nhưng A.B = O.
2.3.2. Tính chất
1) A(B + C) = A.B + A.C;
2) (B + C)A = B.A + C.A;
3) k(B.C) = (kB)C;
4) (A.B)C = A(B.C);
5) A.I = I.A = A;
6) A.O = O.A = O.
Ví dụ 1: Cho




1 1 2 3 3 1 1 2 2 2 3 4 10 18
C A.B
4 1 1 3 2 1 4 2 1 2 2 4 9 18
1 1 2 4 1 2 2 1 1 3 2 2 9 4 7
D B.A 3 1 2 4 3 2 2 1 3 3 2 2 11 8 13
1 1 4 4 1 2 4 1 1 3 4 2 17 6 11
× + × + × × + × + ×
   
= = =
   
× + × + × × + × + ×

   
× + × × + × × + ×
 
 
= = × + × × + × × + × =
 
 
× + × × + × × + ×
 
 
 
 
 
 
1 1 1
1 2 3
A ; B 3 1 2
4 1 2
1 2 1
 
 
 
= =
 
 
 
 
 
Ta
nhưng không tồn tại B.A

10 9 8
A.B ,
9 9 8
 
=
 
 
và
1 0
A
2 3
−
 
=
 
 
1 2 1 2 3 6
B A.B ;B.A
3 0 11 4 3 0
− −
     
= ⇒ = =
     
−
     
1 2
A
2 4
 

=
 
 
2 6 0 0
và B A.B
1 3 0 0
−
   
= ⇒ =
   
−
   
Page
7
of
46
30/09/2009
file://C:\Windows\Temp\kiceldoanp\Chapter1.htm

Ví dụ 2: Cho
2.4. Phép chuyển vị
2.4.1. ðịnh nghĩa
Cho ma trận A = [a
ij
]
m×n
, khi ta ñổi hàng thành cột hoặc cột thành hàng ta ñược ma trận mới gọi là
ma trận chuyển vị của A. Ký hiệu là A
t
, ma trận A

t
có cỡ n×m.

Ví dụ:
2.4.2. Tính chất
1) (A + B)
t
= A
t
+ B
t
;

2) I
t
= I;

3) (A.B)
t
= B
t
.A
t
.

Ví dụ 1: Cho

0 0 0
4 1 3
A ; O 0 0 0 A.O O
4 1 2
0 0 0
 
 
 
= = ⇒ =
 
 
 
 
 
4 1 3
A ;
4 1 2
 
=
 
 
1 1 1
B 3 1 2 ;
1 2 1
 
 
=
 
 

 
1 0 0
C 0 1 0 ;
0 0 1
 
 
=
 
 
 
2 1 1
4 1 3 14 12 12
A(B C) 3 2 2
4 1 2 13 10 10
1 2 2
 
   
 
+ = × =
   
 
   
 
 
10 11 9 4 1 3 14 12 12
A.B A.C
9 9 8 4 1 2 13 10 10
     
+ = + =
     

     
t
2 3
3 2
4 1
4 3 2
A 3 0 A
1 0 7
2 7
×
×
−
 
−
 
 
= ⇒ =
 
 
 
 
 
t
2 3 2 0 4 3
4 3 1
A 1 2 , B 2 2 A B 3 4 (A B)
3 4 2
1 1 0 1 1 2
     
 

     
= = ⇒ + = ⇒ + =
 
     
 
     
     
t t t t
2 1 1 2 2 0 4 3 1
A , B A B
3 2 1 0 2 1 3 4 2
     
= = ⇒ + =
     
     
Page
8
of
46
30/09/2009
file://C:\Windows\Temp\kiceldoanp\Chapter1.htm
Ví dụ 2: Cho

BÀI TẬP LƯỢNG GIÁ
1. Cho ; . Tính A.B.
A. B.
C. D. Kết quả khác.
2. Cho . Tính C = A.B
t
.

A. B.
C. D. Kết quả khác.
3. Cho ma trận A = . Tính A
n
.


A.

A
n
=

n
ế
u n = 2k, ho
ặ
c A
n
=

n
ế
u n = 2k + 1; k



t
t t t t

1 2
1 2 3 10 18 10 9
A ; B 3 2 A.B (A.B)
4 1 2 9 18 18 18
1 4
1 4
1 3 1 10 9
B ; A 2 1 B .A
2 2 4 18 18
3 2
 
     
 
= = ⇒ = ⇒ =
     
 
     
 
 
 
   
 
= = ⇒ =
   
 
   
 
 
1 2 0
A 3 2 1

0 1 2
−
 
 
=
 
 
 
0
B 1
2
 
 
=
 
 
 
2
A.B 4
5
−
 
 
=
 
 
 

[
]

A.B 2 4 5
= −
2
A.B 4
5
 
 
= −
 
 
−
 
1 2 0
2 1 0
A 3 2 1 ;B
1 2 3
0 1 2
−
 
−
 
 
= =
 
 
 
 
 
1 6 1
C

7 5 8
− − −
 
=
 
 

1 7
C 6 5
1 8
−
 
 
= −
 
 
−
 
7 5 8
C
1 6 1
 
=
 
− − −
 
2 1
3 2
−
 

 
−
 
1 0
0 1
 
 
 
2 1
3 2
−
 
 
−
 
∈
K
ế
t qu
ả
:
K
ế
t qu
ả
:
K
ế
t qu
ả

:
Hãy chọn kết quả ñúng:

Page
9
of
46
30/09/2009
file://C:\Windows\Temp\kiceldoanp\Chapter1.htm
B. A
n
=

C. A
n
= n
ế
u n = 2k + 1, ho
ặ
c A
n
= n
ế
u n = 2k; k


D. K
ế
t qu
ả

khác.
4.
Tìm ma tr
ậ
n X tho
ả
mãn: AX = B, v
ớ
i A = ; B = .
A. X = B. X =
C. X = D. K
ế
t qu
ả
khác.
5.
Tìm ma tr
ậ
n X tho
ả
mãn: X.A = B, v
ớ
i A = ; B = .
A. X = B. X =
C. X = D. K
ế
t qu
ả
khác.

1 0
0 1
 
 
 
1 0
0 1
 
 
 
2 1
3 2
−
 
 
−
 
∈
2 5
1 3
 
 
 
4 6
2 1
−
 
 
 
2 23

0 8
−
 
 
 

0 8
2 23
 
 
−
 
2 23
0 8
 
 
 
2 1 1
3 0 1
 
 
 
3 0 1
12 3 5
− −
 
 
 
0 1
3 2

−
 
 
 

0 1
3 2
 
 
 
1 0
2 3
−
 
 
 
K
ế
t qu
ả
:
K
ế
t qu
ả
:
Page
10
of
46

30/09/2009
file://C:\Windows\Temp\kiceldoanp\Chapter1.htm
Bài 2
ðỊNH THỨC



1. ðỊNH THỨC

1.1. Ma trận con

Cho ma tr
ậ
n vuông c
ấ
p n:
Ta chú ý
ñế
n ph
ầ
n t
ử
, n
ế
u b
ỏ
hàng i, c
ộ
t j ta thu
ñượ

c ma tr
ậ
n (n - 1) hàng và (n - 1) c
ộ
t, t
ứ
c là ta
ñượ
c ma tr
ậ
n c
ấ
p n - 1; ma tr
ậ
n này
ñượ
c g
ọ
i là
ma trận con

ứ
ng v
ớ
i ph
ầ
n t
ử
, ký hi
ệ

u là .
1.2. ðịnh thức của ma trận vuông cấp n

1.2.1. ðịnh nghĩa

ðịnh thức
c
ủ
a ma tr
ậ
n vuông A c
ấ
p n, ký hi
ệ
u là det(A)
ñượ
c
ñị
nh ngh
ĩ
a
d
ầ
n d
ầ
n nh
ư
sau:
1)

A là ma tr
ậ
n c
ấ
p 1: A = [ ] thì det(A) = ;
MỤC TIÊU

H
ọ
c xong bài này sinh viên có kh
ả
n
ă
ng:

1.

Trình bày ñược khái niệm về ñịnh thức và các tính chất của ñịnh thức.

2.

Thực hiện ñược các phương pháp tính ñịnh thức.

3.

Trình bày
ñượ
c m
ố
i liên h

ệ
gi
ữ
a
ñị
nh th
ứ
c và ma tr
ậ
n.







ij
a
ij
a
ij
M
Ví d
ụ
:
Cho


ta có

9 ma tr
ậ
n con c
ấ
p 2
ứ
ng v
ớ
i 9 ph
ầ
n t
ử


c
ủ
a A là:

ij
a
22 23 21 23
21 22
11 12 13
31 32
32 33 31 33
a a a a
a a
M ; M ; M
a a
a a a a

   
 
= = =
   
 
 
   
12 13 11 13
11 12
21 22 23
31 32
32 33 31 33
a a a a
a a
M ; M ; M
a a
a a a a
   
 
= = =
   
 
 
   
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
A a a a
a a a

 
 
=
 
 
 
12 13 11 13
11 12
31 32 33
32 23 21 23 21 22
a a a a
a a
M ; M ; M
a a a a a a
   
 
= = =
   
 
 
   
11
a
11
a
Page
11
of
46
30/09/2009

file://C:\Windows\Temp\kiceldoanp\Chapter1.htm
3) A là ma tr
ậ
n c
ấ
p n: thì
(1.2.1)
Chú ý:
là các ph
ầ
n t
ử
n
ằ
m
ở
hàng 1 c
ủ
a ma tr
ậ
n A.
Ta còn dùng   (hai g
ạ
ch
ñứ
ng
ñặ
t
ở
hai bên)

ñể
ký hi
ệ
u m
ộ
t
ñị
nh th
ứ
c.
ðị
nh th
ứ
c c
ủ
a ma tr
ậ
n vuông c
ấ
p n g
ọ
i là
ñịnh thức
c
ấ
p n.
T
ừ
bây gi
ờ

quy
ướ
c thay vì dùng det(A) ta dùng ký hi
ệ
u D
n
cho
ñị
nh th
ứ
c c
ấ
p n.

1.2.2. Một số ví dụ

Áp d
ụ
ng
ñị
nh ngh
ĩ
a tính:
1.3. ðịnh thức của tích hai ma trận

ðịnh lý: Nếu A và B là hai ma trận vuông cùng cấp thì:

det(A.B) = det(A).det(B).

Nh

ậ
n th
ấ
y: det(A) = 1; det(B) = -23; det(A.B) = -23.
V
ậ
y: det(A.B) = det(A).det(B).
2. TÍNH CHẤT



1)


2)


3)


4)



11 12
21 22
a a
A
a a
 

=
 
 

thì
2) A là ma tr
ậ
n c
ấ
p 2:

11 11 12 12 11 22 12 21
det(A) a det(M ) a det(M ) a a a a ;
= − = −
ij
(n)
A a
 
=
 
n 1
11 11 12 12 13 13 1n 1n
det(A) a det(M ) a det(M ) a det(M ) ( 1) a det(M )
+
= − + + + −
11 12 1n
a , a , , a
2
1 2
D 1 4 3 2 2

3 4
= = × − × = −
2
cos sin
D cos cos sin sin cos( )
sin cos
α α
= = α β − α β = α + β
β β
3
1 2 3
5 6 4 6 4 5
D 4 5 6 1 2 3 240
8 9 7 9 7 8
7 8 9
− −
= − = − + =
− −
−
3 3 3
3
a b c
D c a b a b c 3ab
b c a
= = + + −
3 1 1 3 2 17
A ; B AB
2 1 5 8 3 14
−
     

= = ⇒ =
     
     

Ví
d
ụ
:

Page
12
of
46
30/09/2009
file://C:\Windows\Temp\kiceldoanp\Chapter1.htm
Cho A là ma tr
ậ
n vuông c
ấ
p n.

2.1. Tính chất 1

det(A
t
) = det(A).

Ta c
ầ
n ch

ứ
ng minh công th
ứ
c
(1.2.2)
trong
ñ
ó là các ph
ầ
n t
ử
n
ằ
m
ở
c
ộ
t 1 c
ủ
a ma tr
ậ
n A.
Nh
ậ
n th
ấ
y:
− N
ế
u n = 2 thì (1.2.2) là

ñ
úng.
− Gi
ả
s
ử
(1.2.2)
ñ
úng v
ớ
i ma tr
ậ
n c
ấ
p n - 1, ta c
ầ
n ch
ứ
ng minh nó
ñ
úng v
ớ
i ma tr
ậ
n c
ấ
p n.
Th
ậ
t v

ậ
y, ti
ế
p t
ụ
c bi
ể
u di
ễ
n các
ñị
nh th
ứ
c c
ủ
a các ma tr
ậ
n M
21
, M
31
, M
n1
theo công th
ứ
c
ñị
nh
ngh
ĩ

a (1.2.1) ta s
ẽ
có công th
ứ
c (1.2.1) trùng v
ớ
i công th
ứ
c (1.2.2), t
ứ
c là ta có
ñ
i
ề
u ph
ả
i ch
ứ
ng minh.
Hệ quả 2.1.
M
ọ
i tính ch
ấ
t khi phát bi
ể
u v
ề
hàng c
ủ

a
ñị
nh th
ứ
c thì luôn
ñ
úng khi phát bi
ể
u v
ề
c
ộ
t và
ng
ượ
c l
ạ
i.
2.2. Tính chất 2

Khi ñổi chỗ hai hàng (hay hai cột) của một ñịnh thức thì ñịnh thức ñổi dấu.

Ví dụ 1:
Ta có





n 1

11 11 21 21 31 31 n1 n1
det(A) a det(M ) a det(M ) a det(M ) ( 1) a det(M )
+
= − + + + −
11 21 31 n1
a , a , a ,. . . , a
Ví d
ụ
:

Tính

D =
1 2 2
2 1 0
4 2 3

Ta có:

1 0 2 0 2 1
D 1 2 2 9
2 3 4 3 4 2
= − + = −
1 0 2 2 2 2
D 1 2 4 9
2 3 2 3 1 0
= − + = −
ho
ặ
c

và
1 2 2 2 1 2
2 1 0 1 2 0
4 2 3 2 4 3
= −
(
ñổ
i ch
ỗ
c
ộ
t 2 và c
ộ
t
1)

1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1
2 1 0 2 0 1 0 2 1 0 1 2
4 2 3 4 3 2 3 4 2 3 2 4
= − = = −
Page
13
of
46
30/09/2009
file://C:\Windows\Temp\kiceldoanp\Chapter1.htm
Ví d
ụ
2:

Cho
ñị
nh th
ứ
c D
n
,
ñị
nh th
ứ
c thay
ñổ
i nh
ư

th
ế

nào n
ế
u ta vi
ế
t các hàng theo th
ứ

t
ự

ng
ượ

c
l
ạ
i?
Giải:
Ta th
ự
c hi
ệ
n
ñổ
i ch
ỗ
hàng 1 v
ớ
i hàng 2, r
ồ
i hàng 2 m
ớ
i v
ớ
i hàng 3, v
ớ
i hàng n. Nh
ư
v
ậ
y có
(n - 1) l
ầ

n
ñổ
i ch
ỗ
.
Ta th
ự
c hi
ệ
n
ñổ
i ch
ỗ
hàng 1 (t
ứ
c hàng 2 c
ũ
) v
ớ
i hàng 2 (t
ứ
c hàng 3 c
ũ
), v
ớ
i hàng n - 1. Ta có (n -
2) l
ầ
n
ñổ

i ch
ỗ
.
Khi vi
ế
t
ñượ
c t
ấ
t c
ả
các hàng theo th
ứ
t
ự
ng
ượ
c l
ạ
i thì ta
ñ
ã th
ự
c hi
ệ
n l
ầ
n
ñổ
i ch

ỗ
và khi
ñ
ó
ta
ñượ
c
ñị
nh th
ứ
c m
ớ
i
Ta có: D
6
= , trong
ñ
ó

2.3. Tính chất 3

Khi có hai hàng (hay hai cột) như nhau thì ñịnh thức bằng không.

Th
ậ
t v
ậ
y gi
ả
s

ử

ñị
nh th
ứ
c D có hai hàng nh
ư
nhau, khi
ñổ
i ch
ỗ
hai hàng nh
ư
nhau
ñ
ó ta có: D = - D
⇔ 2D = 0
⇒
D = 0
Ví dụ 1:
Cho

D =



Ví dụ 2:
Gi
ả
i ph

ươ
ng trình


n(n 1)
2
−

'
n
D
n(n 1)
'
2
n n
D ( 1) D
−
= − ×
Ví d
ụ
3:

Tính D
6

=

0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0

0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0
6 5
'
2
6
( 1) D 1
×
− × = −
'
6
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
D
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
=
1 2 1
5 2 2 2 2 5
2 5 2 1 2 1 16 0 16 0.
2 4 4 4 4 2
4 2 4
= − + = − − =
Page
14
of
46

30/09/2009
file://C:\Windows\Temp\kiceldoanp\Chapter1.htm
− N
ế
u x = 0 ta có hàng 1 = hàng 2
⇒

ñị
nh th
ứ
c = 0.
− N
ế
u x = 1 ta có hàng 1 = hàng 3
⇒

ñị
nh th
ứ
c = 0.

− N
ế
u x = n - 2 ta có hàng 1 = hàng n
⇒

ñị
nh th
ứ
c = 0.

V
ậ
y x = 0; x = 1; x = 2; ; x = n – 2 là nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình.
B
ạ
n
ñọ
c t
ự
ch
ứ
ng minh ngoài t
ấ
t c
ả
các nghi
ệ
m trên thì ph
ươ
ng trình không có nghi
ệ
m nào khác.
2.4. Tính chất 4

1) (1.2.3)
hay:
(công th
ứ
c khai tri
ể
n
ñị
nh th
ứ
c theo hàng th
ứ
i).
2) (1.2.4)
hay:





(công th
ứ
c khai tri
ể
n
ñị
nh th
ứ
c theo c
ộ

t th
ứ

j).


Khai tri
ể
n theo c
ộ
t 3 ta có:


= 3(- 3) - 6(- 22) + 9.13 = 240.

Ho
ặ
c áp d
ụ
ng khai tri
ể
n theo hàng 2 ta có

[
]
i 1
i1 i1 i2 i2 in in
det(A) ( 1) a det(M ) a det(M ) a det(M )
+
= − − + ±

i 1 i 2 i n
i1 i1 i2 i2 in in
det(A) ( 1) a det(M ) ( 1) a det(M ) ( 1) a det(M )
+ + +
= − + − + + −
n
i j
ij ij
j 1
( 1) a det(M ); i 1, 2, , n
+
=
= − = …
∑
1 j
1j 1j 2j 2j nj nj
det(A) ( 1) a det(M ) a det(M ) a det(M )
+
 
= − − + ±
 
1 j 2 j n j
1j 1j 2j 2j nj nj
det(A) ( 1) a det(M ) ( 1) a det(M ) ( 1) a det(M )
+ + +
= − + − + + −
n
i j
ij ij
i 1

( 1) a det(M ) ; j 1, 2, , n
+
=
= − = …
∑
Ví d
ụ
1:

Tính D
=

1 2 3
4 5 6
7 8 9
−
−
1 3
4 5 1 2 1 2
D ( 1) 3 6 9
7 8 7 8 4 5
+
 
−
= − − +
 
− − −
 
Page
15

of
46
30/09/2009
file://C:\Windows\Temp\kiceldoanp\Chapter1.htm
Ví dụ 2:
Tính
2.5. Tính chất 5

Khi có một hàng (hay một cột) có tất cả các phần tử bằng không thì ñịnh thức bằng không.

ð
ó là h
ệ
qu
ả
c
ủ
a công th
ứ
c (1.2.3) ho
ặ
c (1.2.4).
2.6. Tính chất 6

Khi nhân các phần tử của một hàng (hay một cột) với cùng một số k thì ñược ñịnh thức mới bằng
ñịnh thức cũ nhân với k.

ð
ó là h
ệ

qu
ả
c
ủ
a công th
ứ
c (1.2.3) ho
ặ
c (1.2.4).
Hệ quả 2.6:
Khi các ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a m
ộ
t hàng (hay m
ộ
t c
ộ
t) có th
ừ
a s
ố
chung ta có th
ể

ñư

a th
ừ
a s
ố

chung
ñ
ó ra ngoài d
ấ
u
ñị
nh th
ứ
c.
Ví dụ 3:
Không khai tri
ể
n
ñị
nh th
ứ
c ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:

= -(-4)42 - 5(-12) + 6(-22)) = 240.

Ví dụ 1:



Ví dụ 2:


2 1
2 3 1 3 1 2
D ( 1) 4 5 6
8 9 7 9 7 8
+
 
= − − − +
 
− −
 
1 0 1 1
0 1 1 1
D
a b c d
1 1 1 0
− −
− −
=
− −
1 2 2 1 2 2
3 2 1 0 3( 9) 6 3 0 27

4 2 3 4 2 3
= − = = −
(nhân 3 v
ớ
i hàng
2).

4 8 0 1 2 0 1 2 0
D 2 1 1 4 2 1 1 4.2 2 1 1 8.0 0
4 2 2 4 2 2 2 1 1
= = = = =
3 1
0 1 1 1 1 1 1 0 1 1
0 1
( 1) a 1 1 1 b 0 1 1 c 0 1 1 d 0 1 1
1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1
+
 − − − − − − 
 
= − − − − − + − − − −
 
 
− − − − − −
 
3a b 2c d.
= − + +
Page
16
of
46

30/09/2009
file://C:\Windows\Temp\kiceldoanp\Chapter1.htm
2.7. Tính chất 7

Khi có hai hàng (hay hai cột) tỷ lệ thì ñịnh thức bằng không.

Th
ậ
t v
ậ
y, áp d
ụ
ng h
ệ
qu
ả
2.6 và tính ch
ấ
t 3 ta có tính ch
ấ
t 7.
Ví dụ:

2.8. Tính chất 8


Giải:
Xét v
ế
trái, nhân c

ộ
t 2 v
ớ
i yz, nhân c
ộ
t 3 v
ớ
i xz, nhân c
ộ
t 4 v
ớ
i xy, ta
ñượ
c:


ðư
a th
ừ
a s
ố
chung c
ủ
a hàng 1, hàng 2, hàng 3, hàng 4 ra ngoài d
ấ
u
ñị
nh th
ứ
c, ta

ñượ
c



Khi các phần tử của một hàng (hay một cột) có dạng tổng của hai số hạng thì ñịnh thức có thể phân
tích thành tổng của hai ñịnh thức.

Ch
ẳ
ng h
ạ
n nh
ư
:


Ví d
ụ
:

Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:


Giải:
Xét v

ế
trái ta có:

2 2
2 2
2 2
0 1 1 1
0 x y z
1 0 z y
x 0 z y
y z 0 x
1 z 0 x
z y x 0
1 y x 0
=
2 2
2 2
2 2 2
2 2
0 xyz xyz xyz
x 0 xz xy
1
VT
y yz 0 x y
x y z
z y z x z 0
=
2 2
2 2
2 2 2

2 2
0 1 1 1
1 0 z y
xyz
VT xyz VP.
1 z 0 x
x y z
1 y x 0
= =
2 2 2 2 2
1 1 3
1 1 3
D x x 3x x 1 1 3 x .0 0
4 2 0 4 2 0
= = = =
11 12
11 12 12 11 12
21 22
21 22 22 21 22
a a'
a a ' a" a a"
a a'
a a' a" a a"
+
= +
+
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2
b c c a a b a b c
b c c a a b 2 a b c

b c c a a b a b c
+ + +
+ + + =
+ + +
Page
17
of
46
30/09/2009
file://C:\Windows\Temp\kiceldoanp\Chapter1.htm
2.9. Tính chất 9

Khi ñịnh thức có một hàng (hay một cột) là tổ hợp tuyến tính của các hàng khác (hay các cột khác)
thì ñịnh thức bằng không.

ð
ó là h
ệ
qu
ả
c
ủ
a tính ch
ấ
t 7 và tính ch
ấ
t 8.
Ví dụ:
Tính
2.10. Tính chất 10

Khi ta cộng bội k của một hàng vào một hàng khác (hay cộng bội k của một cột vào một cộ
t khác) thì
ñược một ñịnh thức mới bằng ñịnh thức cũ.

Ví dụ 1:
Bi
ế
n
ñổ
i
ñị
nh th
ứ
c sau:







Ta nh
ậ
n
ñượ
c m
ộ
t
ñị

nh th
ứ
c có d
ạ
ng
ñơ
n gi
ả
n h
ơ
n.

Ví d
ụ
2:

Tính
ñị
nh th
ứ
c sau:

1 2 5 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2
D 2 1 4 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 1 0 2 0 0
4 2 8 4 2 1 4 2 2 4 2 4 4 2 2
× + ×
= = × + × = + = + × =
× + ×
2 1 3 2 1
3 2 1 3

D 4 5 7 4 ( 2) 2 5 ( 2) 1 7 ( 2) 3 0 3 1
6 1 5 6 1
5 6 1 5
= = + − × + − × + − × =
2 1
3 2 1 3
0 3
1 0 3 1
6 ( 3) 2 1 ( 3) 1 5 ( 3) 3 0 2 4
= =
+ − × + − × + − × − −
2 3 1 2 1 3
0 1 3 0 1 3
0 4 2 0 0 10
=− = −
− −
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
b c a a b c c a a b
VT b c a a b c c a a b
b c a a b c c a a b
+ + + +
= + + + + +
+ + + +
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
b c a a b c a b c c a b c a a b
b c a a b c a b c c a b c a a b
b c a a b c a b c c a b c a a b
+ + + +

= + + + + + + +
+ + + +
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
b c a b a a c a a c a b a b c
b c a b a a c a a c a b 2 a b c VP
b c a b a a c a a c a b a b c
= + + + = =
Page
18
of
46
30/09/2009
file://C:\Windows\Temp\kiceldoanp\Chapter1.htm
Giải:
Nhân c
ộ
t 1 v
ớ
i (-1) c
ộ
ng vào c
ộ
t 2; nhân c
ộ
t 1 v
ớ
i (-1) c
ộ
ng vào c

ộ
t 3; nhân c
ộ
t 1 v
ớ
i (-1) c
ộ
ng
vào c
ộ
t 4, ta
ñượ
c:
Tách m
ỗ
i
ñị
nh th
ứ
c thành t
ổ
ng hai
ñị
nh th
ứ
c (áp d
ụ
ng
ñố
i v

ớ
i c
ộ
t 3) ta có
ñị
nh th
ứ
c có hai c
ộ
t t
ỷ
l
ệ

v
ớ
i nhau nên
ñị
nh th
ứ
c b
ằ
ng 0.
Ti
ế
p t
ụ
c tách m
ỗ
i

ñị
nh th
ứ
c thành t
ổ
ng hai
ñị
nh th
ứ
c (áp d
ụ
ng
ñố
i v
ớ
i c
ộ
t 4) ta có
ñị
nh th
ứ
c có hai
c
ộ
t t
ỷ
l
ệ
v
ớ

i nhau nên
ñị
nh th
ứ
c b
ằ
ng 0.
V
ậ
y D = 0.
Ví dụ 3:
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
ñị
nh th
ứ
c sau chia h
ế
t cho 17.


Giải:
Nh
ậ
n th
ấ
y, các s

ố
204, 527, 255 chia h
ế
t cho 17 nên ta nhân c
ộ
t 1 v
ớ
i 100, nhân c
ộ
t 2 v
ớ
i 10
và c
ộ
ng vào c
ộ
t 3, ta có:
Ví dụ 4:
Không khai tri
ể
n, tính
ñị
nh th
ứ
c
Giải:
C
ộ
ng c
ộ

t 2 và 3 vào c
ộ
t
ñầ
u, ta
ñượ
c




2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
a (a 1) (a 2) (a 3)
b (b 1) (b 2) (b 3)
D
c (c 1) (c 2) (c 3)
d (d 1) (d 2) (d 3)
+ + +
+ + +
=
+ + +
+ + +
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
a 2a 1 4a 4 6a 9 a 2a 4a 4 6a 9 a 1 4a 4

6a 9
b 2b 1 4b 4 6b 9 b 2b 4b 4 6b 9 b 1 4b 4
6b 9
D
c 2c 1 4c 4 6c 9 c 2c 4c 4 6c 9 c 1 4c 4 6c
d 2d 1 4d 4 6d 9 d 2d 4d 4 6d 9
+ + + + + + +
+ + + + + + +
= = +
+ + + + + + +
+ + + + +
2
9
d 1 4d 4 6d 9
+ +
2 0 4
D 5 2 7
2 5 5
=
2 0 204 2 0 12
D 5 2 527 17 5 2 31
2 5 255 2 5 15
= =
a b c 1
b c a 1
D
c a b 1
b c c a a b
1
2 2 2

=
+ + +
Page
19
of
46
30/09/2009
file://C:\Windows\Temp\kiceldoanp\Chapter1.htm
2.11. Tính chất 11
(V
ề
các
ñị
nh th
ứ
c có d
ạ
ng tam giác)
ðịnh thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử chéo.

Th
ậ
t v
ậ
y, d
ự
a vào khai tri
ể
n hàng 1 (hay c
ộ

t 1) ta ti
ế
p t
ụ
c khai tri
ể
n theo hàng 1 (hay c
ộ
t 1) c
ủ
a
ñị
nh
th
ứ
c c
ấ
p con nh
ỏ
d
ầ
n.
3.

MA TRẬN NGHỊCH ðẢO

3.1. ðịnh nghĩa

Cho A là ma tr
ậ

n vuông c
ấ
p n. N
ế
u t
ồ
n t
ạ
i ma tr
ậ
n vuông B c
ấ
p n sao cho AB = BA = I thì ta nói A
khả ñảo
(A có
ma trận nghịch ñảo
) và B g
ọ
i là
ma trận nghịch ñảo
c
ủ
a A.
Ký hi
ệ
u ma tr
ậ
n ngh
ị
ch

ñả
o c
ủ
a A là A
-1
, ta có:

AA
-1
= A
-1
A = I.







a b c b c 1 1 b c 1
a b c c a 1 1 c a 1
D (a b c) 0
a b c a b 1 1 a b 1
c a a b c a a b
a b c 1 1 1
2 2 2 2
+ +
+ +
= = + + =
+ +

+ + + +
+ +
Ví
1 2
A
3 4
 
=
 
 
thì A
-1

=

2 1
3 1
2 2
−
 
 
 
−
 

Vì:

AA
-1
=

2 1
1 2 1 0
x
3 1
3 4 0 1
2 2
−
 
   
 
=
   
 
−
   
 
và A
-1
A
=

2 1
1 2 1 0
x
3 1
3 4 0 1
2 2
−
 
   

 
=
   
 
−
   
 
Page
20
of
46
30/09/2009
file://C:\Windows\Temp\kiceldoanp\Chapter1.htm
T
ừ

ñị
nh ngh
ĩ
a suy ra, n
ế
u A kh
ả

ñả
o thì A
-1
kh
ả

ñả
o và ma tr
ậ
n ngh
ị
ch
ñả
o c
ủ
a A
-1
là A.

3.2. Các ñịnh lý

3.2.1. ðịnh lý 1

Nếu A là ma trận vuông có ma trận nghịch ñảo A
-1
thì det(A)
≠
0.

Chứng minh:
Th
ậ
t v
ậ
y, vì AA
-1

= I
⇒
det(AA
-1
) = 1
⇒
det(A)det(A
-1
) = 1


⇒
det(A) ≠ 0 và det(A
-1
) ≠ 0.

3.2.2. ðịnh lý 2

Ma trận nghịch ñảo A
-1
của ma trận A nếu có thì chỉ có một mà thôi.

Chứng minh:
Th
ậ
t v
ậ
y, gi
ả
s

ử
B và C
ñề
u là ma tr
ậ
n ngh
ị
ch
ñả
o c
ủ
a A, t
ứ
c là ta có:
AB = BA = I và AC = CA = I.
Khi
ñ
ó C(AB) = CI và (CA)B = IB.
Suy ra: CI = IB
⇒
C = B.
3.2.3. ðịnh lý 3

Cho A là ma trận vuông cấp n. Nếu det(A)
≠
0 thì ma trận A có ma trận nghịch ñảo A
-1
. Ma trận A
-
1

ñược tính bởi công thức:

trong ñó: C
ij
= (-1)
i+j
det(M
ij
), det(M
ij
) là ñịnh thức con ứng với phần tử a
ij
.

Ta th
ừ
a nh
ậ
n
ñị
nh lý.
Khi det(A) ≠ 0, t
ứ
c là ma tr
ậ
n A có ngh
ị
ch
ñả
o, ta nói A là ma tr

ậ
n
không suy biến
.
3.3. Cách tìm ma trận nghịch ñảo

Ví dụ:
Tìm ma tr
ậ
n ngh
ị
ch
ñả
o c
ủ
a ma tr
ậ
n:
Giải: Cách thứ nhất
: D
ự
a vào
ñị
nh lý 3:
Ta có: det(A) = -1 ≠ 0,
và C
11
= 40 C
12
= -13 C

13
= -5

C
21
= -16 C
22
= 5 C
23
= 2

C
31
= -9 C
32
= 3 C
33
= 1



t
11 12 1n
21 22 2n
1 t
n1 n2 nn
C C C
C C C
1 1
A C

. . .
det(A) det(A)
C C C
−
 
 
 
= =
 
 
 
1 2 3
A 2 5 3
1 0 8
 
 
=
 
 
 
Page
21
of
46
30/09/2009
file://C:\Windows\Temp\kiceldoanp\Chapter1.htm