ôn thi cao học phần bài tập

ÔN THI CAO HỌC PHẦN BÀI TẬP
1. Đưa phương trình sau về dạng chính tắc
u
xx
+ 2u
xy
− 3u
yy
= 0
và tìm nghiệm thoả mãn điều kiện
u(0, y) = y
2
u
x
(0, y) = 0
ĐS: phương trình chính tắc u
ξρ
= 0, nghiệm: u(x, y) = (y
2
+ 3x
2
)
2. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình sau:
u
xx
+ 2u
xy
− 3u
yy
+ 2u
x

+ 6u
y
= 0
ĐS
u(x, y) = e
(y−3x)/2

F (y + x)d(y + x) + Φ(y − 3x)
3. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình sau:
x
2
u
xx
− y
2
u
yy
− 2yu
y
= 0
ĐS
u(x, y) =

x
y
G(xy) + Φ

y
x


4. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình sau:
x
2
u
xx
− 2xyu
xy
+ y
2
u
yy
+ xu
x
+ yu
y
= 0
ĐS
u(x, y) = F(x, y) ln x + Φ(xy)
5. Đưa về dạng chính tắc:
u
xx
+ 4u
xy
+ 5u
yy
+ u
x
+ 2u
y
= 0

ĐS
u
ξξ
+ u
ξρ
+ u
ρ
= 0
6. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình sau:
u
xx
+ 6u
xy
+ 5u
yy
+ u
x
+ 5u
y
= 0
ĐS
u(x, y) = F(y − 5x) + e
(y−5x)/4
G(y − x)
7. Giải phương trình sau
e
y
u
xy
− u

yy
+ u
y
= 0
với điều kiện
u(x, 0) = −
x
2
2
u
y
(x, 0) = − sin x
ĐS
u(x, y) = cos(x + e
y
− 1) − cos x −
x
2
2
1
8. Giải phương trình sau
u
xx
− 2 sin xu
xy
− (3 + cos
2
x)u
yy
− cos xu

y
= 0
với điều kiện
u(x, y)|
y=cos x
= sin x
u
y
(x, y)|
y=cos x
=
e
x
2
ĐS
u(x, y) = cos

y − cos x
2

sin x + e
x
sh

y − cos x
2

9. Giải phương trình sau
u
xx

− 2 sin xu
xy
− (3 + cos
2
x)u
yy
+ u
x
+ (2 − sin x − cos x)u
y
= 0
với điều kiện
u(x, y)|
y=cos x
= 0
u
y
(x, y)|
y=cos x
= e
−x/2
2 cos x
ĐS
u(x, y) = 2 sin

y − cos x
2

cos xe
(y−2x−cos x)/4

10. Giải phương trình sau
u
xx
+ 2 sin xu
xy
− cos
2
xu
yy
+ u
x
+ (1 + sin x + cos x)u
y
= 0
với điều kiện
u(x, y)|
y=− cos x
= 1 + 2 sin x
u
y
(x, y)|
y=− cos x
= sin x
ĐS
u(x, y) = 1 + 2 sin(y + x + cos x)e
(y+x+cos x)/2
11. Giải phương trình sau
u
xx
+ 2 cos xu

xy
− sin
2
xu
yy
+ u
x
+ (1 − sin x + cos x)u
y
= 0
với điều kiện
u(x, y)|
y=sin x
= cos x
u
y
(x, y)|
y=sin x
= sin x
ĐS
u(x, y) = cos(y − sin x − x)
12. Giải phương trình sau
3u
xx
− 5u
xy
+ 2u
yy
= 0
với điều kiện

u(x, y)|
y=sin x
= cos x
u
y
(x, y)|
y=sin x
= sin x
ĐS
u(x, y) = 20 sin

16y + 9x
20

cos

y − 9x
20

−
25(3y + 2x)
25 + (3y + 2x)
2
+
12(y + x)
4 + (y + x)
2
2
13. Giải phương trình sau
e

y
u
xy
− u
yy
+ u
y
= 0
với điều kiện
u(x, 0) = sin x
u
y
(x, 0) =
1
1 + x
2
ĐS
u(x, y) = sin x − arctgx + arctg(x + e
y
− 1)
14. Giải phương trình sau
u
xy
− 6u
yy
+ 5u
y
= 0
với điều kiện
u(x, y)|

y=x
= sin x
u
y
(x, y)|
y=x
= cos x
ĐS
u(x, y) =
1
2

5 sin
x + y
2
− 3 sin
5x + y
6

15. Giải phương trình sau
u
xx
− u
xy
+ 5u
x
+ 3u
y
+ 4u(x, y) = 0
với điều kiện

u(x, y)|
y=0
= xe
−5x/2−x
2
u
y
(x, y)|
y=0
= e
−5x/2
ĐS
u(x, y) =
1
8
e
(3y−5x)/2

8y + (4x + 4y + 3)e
−(x+y)
2
+ (4x − 4y − 3)e
−(x−y)
2

16. Tìm dao động tự do của một sợi dây hữu hạn được gắn chặt ở hai đầu mút x=0 và x = 
biết vận tốc ban đầu bằng v
0
và hình dạng ban đầu được cho bởi biểu thức:
u(x, 0) = ϕ(x) = cx

2
(c = const)
ĐS:
u(x, t) =
∞

k=1
sin
kπx


−
2v
0

a(kπ)
2
(cos kπ − 1) sin
kπat

+

4
2
c
(kπ)
3
(cos kπ − 1) −
2
2

c
kπ
cos kπ

cos
kπat


17. Tìm phương trình dao động tự do của một sợi dây hữu hạn đ ược gắn chặt ở hai đầu mút
x = 0 và x = , biết vận tốc ban đầu bằng v
0
và hình dạng ban đầu được cho bởi:
u(x, 0) = ϕ(x) = sin x
ĐS
u(x, t) =
∞

k=1
sin
kπx


−
2v
0

a(kπ)
2
(cos kπ − 1) sin
kπat


+
2kπ sin  cos kπ

2
− (kπ)
2
cos
kπat


3
18. Tìm phương trình dao động tự do của một sợi dây hữu hạn đ ược gắn chặt ở hai đầu mút
x = 0 và x = , biết vận tốc ban đầu bằng không và sợi dây có hình dạng ban đầu là:
u(x, 0) = ϕ(x) =
4x( − x)

2
ĐS
u(x, t) =
32
π
3
∞

n=0
1
(2n + 1)
3
sin

(2n + 1)πx

cos
(2n + 1)πat

19. Tìm phương trình dao động tự do của một sợi dây hữu hạn đ ược gắn chặt ở hai đầu mút
x = 0 và x = , biết vận tốc ban đầu bằng không và ở thời điểm ban đầu sợi dây được căng
lên ở độ cao h tại điểm x
0
.
ĐS
u(x, t) =
2h
x
0
( − x
0
)
∞

k=1


kπ

2
sin
kπx
0


sin
kπx

cos
kπat

Hướng dẫn: Ta giải bài toán với điều kiện ban đầu
u(x, 0) = ϕ(x) =





hx
x
0
nếu 0 ≤ x ≤ x
0
h( − x)
 − x
0
, nếu x
0
≤ x ≤ 
u
t
(x, 0) = 0
20. Tại thời điểm t = 0, ta truyền cho các điểm của sợi dây nằm trong khoảng (c − ε, c + ε) một
vận tốc ban đầu không đổi v
0

. Hãy xác định dao động của sợi dây khi ε → 0, nếu lúc đầu nó
nằm yên.
ĐS:
u(x, t) =
2p
πaρ
∞

k=1
1
k
sin
kπc

sin
kπx

sin
kπat

là phương trình dao động của sợi dây đứng yên ở thời điểm ban đầu và ta truyền cho nó một
xung lượng p tập trung tại điểm x = c.
Hướng dẫn: Ta giải bài toán với điều kiện ban đầu
u(x, 0) = 0
u
t
(x, 0) =

v
0

nếu x ∈ (c − ε, c + ε)
0 nếu x /∈ (c − ε, c + ε)
sau đó áp dụng quy tắc L’Hopital để tính giới hạn khi ε → 0.
21. Tìm phương trình dao động tự do của một sợi dây hữu hạn đ ược gắn chặt ở hai đầu mút
x = 0 và x = . Cho biết độ lệch ban đầu bằng không và vận tốc ban đầu được cho bởi:
u
t
(x, 0) =



v
0
cos(x − c) nếu |x − c| <
π
2
0 nếu |x − c| ≥
π
2
Trong đó v
0
là hằng số dương và π/2 ≤ c ≤  − π/2.
Đáp số: u(x, t) = −
4v
0

2
πa
∞


k=1
1
k(k
2
π
2
− 
2
)
sin
kπc

cos
kπ
2
2
sin
kπx

sin
kπat

4
22. Tìm phương trình dao động tự do của sợi dây có hai đầu tự do, chiều dài . Biết vận tốc ban
đầu bằng 0. Độ lệch ban đầu của sợi dây tỉ lệ với khoảng cách từ điểm đó đến gốc toạ độ.
ĐS:
u(x, t) =
c
2
−

4c
π
2
∞

n=0
1
(2n + 1)
2
cos
kπx

cos
kπat

23. Tìm phương trình dao động tự do của sợi dây có hai đầu tự do, chiều dài . Biết ban đầu sợi
dây nằm yên và có vận tố c bằng v
0
x.
ĐS:
u(x, t) =
−4v
0

2
aπ
3
∞

n=0

1
(2n + 1)
3
cos
(2n + 1)πx

sin
(2n + 1)πat

24. Tìm phương trình dao động tự do của sợi dây hữu hạn, có hai đầu tự do. Biết hình dạng và
vận tốc ban đầu của sợi dây được cho bởi:
u(x, 0) =
1
m
x( − x)
u
t
(x, 0) = sin x
ĐS:
u(x, t) =

2
6m
+
∞

k=1
cos
kπx



−2
2
akπ(
2
− k
2
π
2
)
[ cos( + kπ) − 1] sin
kπat

−
2
2
M(kπ)
2
(coskπ + 1) cos
kπat


25. Một thanh đồng chất có chiều dài 2 bị nén nên độ dài của nó còn lại là 2(1 − ε). Lúc t = 0,
người ta buông ra. Chứng minh rằng độ lệch u(x, t) của tiết diện có hoành độ x ở thời điểm
t được cho bởi:
u(x, t) =
8ε
π
2
∞


k=0
(−1)
k+1
(2k + 1)
2
sin
(2k + 1)πx
2
cos
(2k + 1)πat
2
Nếu gốc toạ độ đặt ở trung điểm của thanh.
Hướng dẫn: Các điều kiện ban đầu và điều kiện biên là:
u(x, 0) = −εx, u
t
(x, 0) = 0, u
x
(−, t) = 0, u
x
(, t) = 0
26. Tìm phương trình dao động dọc của một thanh đồng chất biết đầu x = 0 gắn chặt, còn đầu
x =  tự do. Biết các điều kiện ban đ ầu.
u(x, 0) = ϕ(x)
u
t
(x, 0) = ψ(x)
ĐS:
u(x, t) =
∞


k=0
sin
(2k + 1)πx
2

B
k
cos
(2k + 1)πat
2
+ A
k
sin
(2k + 1)πat
2

trong đó
B
k
=
2



0
ϕ(x) sin
(2k + 1)πx
2
dx

A
k
=
4
(2k + 1)π


0
ψ(x) sin
(2k + 1)πx
2
dx
5
27. Tìm phương trình dao động tự do của sợi dây hữu hạn có đầu x = 0 được giữ cố định tại gốc
toạ độ, đầu x =  tự do. Ban đầu ta kéo điểm đầu x =  lên độ cao h, vận tốc b an đầu bằng
0.
ĐS:
u(x, t) =
8h
π
2
∞

k=0
(−1)
k
(2k + 1)
2
sin
(2k + 1)πx

2
cos
(2k + 1)πat
2
Hướng dẫn: Ta giải bài toán với điều kiện ban đầu u(x, 0) =
hx

, u
t
(x, 0) = 0.
28. Tìm phương trình dao động tự do của sợi dây hữu hạn có đầu x = 0 được giữ cố định tại gốc
toạ độ, đầu x =  tự do. Ban đầu sợi dây nằm yên và có vận tốc không đổi bằng v
0
.
ĐS:
u(x, t) =
8v
0

aπ
2
∞

k=0
1
(2k + 1)
2
sin
(2k + 1)πx
2

sin
(2k + 1)πat
2
29. Tìm phương trình dao động tự do của sợi dây hữu hạn có đầu x = 0 được giữ cố định tại
gốc toạ độ, đầu x =  tự do. Ban đầu sợi dây có hìn h dạng được cho bởi u(x, 0) = −εx
2
và
có vận tốc không đổi bằn g v
0
.
ĐS:
u(x, t) =
8
π
2
∞

k=0
1
(2k + 1)
2
sin
(2k + 1)πx
2

v
0
a
sin
(2k + 1)πat

2
+ 2ε

2
(2k + 1)π
− (−1)
k

cos
(2k + 1)πat
2

30. Tìm phương trình dao động tự do của sợi dây hữu hạn có đầu x = 0 được giữ cố định tại gốc
toạ độ, đầu x =  tự do. Ban đầu sợi dây có hình dạng được cho bởi u(x, 0) =
4hx( − x)

2
và
có vận tốc tỉ lệ với khoảng cách đến gốc toạ độ.
ĐS:
u(x, t) =
8
π
2
∞

k=0
sin
(2k + 1)πx
2


2v
0

2
(−1)
k
(2k + 1)
3
πa
sin
(2k + 1)πat
2
−
4h
(2k + 1)
2

(−1)
k
−
4
(2k + 1)π

cos
(2k + 1)πat
2

Hướng dẫn: Ta giải bài toán với điều kiện ban đầu u
t

(x, 0) = v
0
x
31. Tìm phương trình dao động tự do của sợi dây hữu hạn có đầu x = 0 tự do, đầu x =  được
giữ cố định. Ban đầu sợi dây nằm yên và có vận tốc tỉ lệ với khoảng cách đến gốc toạ độ.
ĐS:
u(x, t) = −
8v
0

2
π
2
a
∞

k=0
1
(2k + 1)
2

2
(2k + 1)π
− (−1)
k

cos
(2k + 1)πx
2
sin

(2k + 1)πat
2
6
32. Tìm phương trình dao động của một sợi dây hữu hạn gắn chặt ở đầu mút x = 0 còn mút
x =  chuyển động theo quy luật u(, t) = A sin ωt. Biết độ lệch và vận tốc ban đầu bằng
không.
ĐS:
u(x, t) =
A
sin
ω
a
sin
ωx
a
sin ωt +
2ωAa
(kπa)
2
− (ω)
2
(−1)
k
∞

k=1
sin
kπx

sin

kπat

Hướng dẫn: Tìm hàm u(x, t) dưới dạng u(x, t) = V (x, t)+ W(x, t), trong đó hàm V (x, t) thoả
mãn phương trình dao động tự do với các điều kiện V (0, t) = 0, V (, t) = A sin ωt, còn hàm
W (x, t) thoả mãn điều kiện W(0, t) = 0, W (, t) = 0, W (x, 0) = 0,
W
t
(x, 0) = −V
t
(x, 0).
33. Tìm dao động của một thanh đồng chất có đầu x = 0 cố đ ịnh, còn đầu x =  chịu tác dụng
của lực Q lên một đơn vị diện tích dọc theo thanh, biết rằng độ lệch và vận tốc ban đầu bằng
không.
ĐS:
u(x, t) =
Qx
E
−
8Q
π
2
E
∞

k=0
(−1)
k
(2k + 1)
2
sin

(2k + 1)πx
2
cos
(2k + 1)πat
2
34. Một sợi dây đồng chất gắn chặt ở hai đầu x = 0 và x = . Tại thời điểm ban đầu t = 0 được
căng lên ở độ cao h ở điểm x = x
0
và sau đó buông ra không có vận tốc đầu. Hãy tính năng
lượng của dao động tử thứ n của sợi dây.
ĐS: E
n
=
ρ
h
2
a
2

2
π
2
n
2
x
0
( − x
0
)
2

sin
nπx
0

Chỉ dẫn: năng lượng của dao động tử thứ n của sợi dây dao động ngang là
E
n
=
1
2


0

ρ

∂u
n
∂t

2
+ T

∂u
n
∂x

2

dx

trong đó T là sức c ăng, ρ là khối lượng trên một đơn vị chiều dài của sợi dây.
35. Một màng hình vuông đồng chất cạnh , lúc t = 0 có độ lệch được xác định theo biểu thức
u(x, y, 0) = Axy( −x)(− y), dao động không vận tốc đầu. Hãy xác định dao động của màng
ở thời điểm t > 0.
ĐS:
u(x, y, t) =
64A
2
π
6
∞

m=0
∞

n=0
1
(2m + 1)
3
1
(2n + 1)
3
sin
(2m + 1)πx

sin
(2n + 1)πy

× cos


(2m + 1)
2
+ (2n + 1)
2
πat

36. Một màng chữ nhật 0  x  , 0  y  m, gắn chặt ở mép, lúc t = 0 bị một xung lượng p
tập trung tại tâm của màng sao cho:
p = lim
ε→0

σ
ε
ρv
0
dxdy
trong đó ρ là mật độ bề mặt, v
0
là vận tốc ban đầu, σ
ε
là miền lân cận của tâm của màng.
Xác định dao động của màng tại thời điểm t > 0.
7
ĐS:
u(x, y, t) =
4p
aπmρ
∞

k=1

∞

n=1
sin
kπ
2
sin
nπ
2


k


2
+

n
m

2
sin


k


2
+


n
m

2
πat sin
kπx

sin
nπy
m
37. Tìm phân bố nhiệt độ trong thanh ở thời điểm t > 0, nếu hai đầu mút của thanh được giữ ở
nhiệt độ bằng 0. Tại thời điểm ban đầu t = 0, thanh có nhiệt độ không đổi bằng T
0
.
ĐS:
u(x, t) =
4T
0
π
∞

n=0
1
2n + 1
sin
(2n + 1)πx

e
−(2n+1)
2

π
2
a
2
t/
2
38. Tìm phân bố nhiệt độ ở thời điểm t > 0 trong một thanh đồng chất không có nguồn nhiệt,
có độ dài , có thành bên cách nhiệt, hai đầu được giữ ở nhiệt độ bằng 0, phân bố nhiệt ban
đầu có dạng:
ϕ(x) =
cx( − x)

2
ĐS
u(x, t) =
8c
π
3
∞

n=0
1
(2n + 1)
3
sin
(2n + 1)πx

e
−(2n+1)
2

π
2
a
2
t/
2
39. Tìm phân bố nhiệt độ ở thời điểm t > 0 trong một thanh đồng chất không có nguồn nhiệt,
có độ dài , có thành bên cách nhiệt, hai đầu được giữ ở nhiệt độ bằng 0, phân bố nhiệt ban
đầu có dạng:
ϕ(x) =

x nếu 0  x  /2
 − x nếu /2  x  
ĐS:
u(x, t) =
4
π
2
∞

n=0
(−1)
n
(2n + 1)
2
sin
(2n + 1)πx

e
−(2n+1)

2
π
2
a
2
t/
2
40. Tìm phân bố nhiệt độ ở thời điểm t > 0 trong một thanh đồng chất không có nguồn nhiệt,
có độ dài , có thành bên cách nhiệt, hai đầu được giữ ở nhiệt độ bằng 0, phân bố nhiệt ban
đầu có dạng:
ϕ(x) = shx
ĐS
u(x, t) = −2πsh
∞

k=1
k(−1)
k
(kπ)
2
+ 
2
sin
kπx

e
−k
2
π
2

a
2
t/
2
41. Tìm sự phân bố nhiệt độ trong một thanh đồng chất,trong thanh không có nguồn nhiệt, có
hai đầu mút cách nhiệt. Biết nhiệt độ ban đầu trong thanh có dạng:
u(x, 0) =
Ax( − x)

ĐS
u(x, 0) =
A
6
−
A
π
2
∞

n=1
1
n
2
cos
2nπx

e
−4n
2
π

2
a
2
t/
2
8
42. Tìm phân bố nhiệt trong một thanh đồng chất có đầu mút x = 0 cách nhiệt, còn đầu
mút x =  luôn luôn giữ ở nhiệt độ bằng không. Nhiệt độ ban đầu trong thanh không đổi
ϕ(x) = u
0
= const và trong thanh không có nguồn nhiệt.
ĐS
u(x, t) =
4u
0
π
∞

k=0
(−1)
k
2k + 1
cos
(2k + 1)πx
2
e
−(2k+1)
2
π
2

a
2
t/4
2
43. Tìm phân bố nhiệt trong một thanh đồng chất có đầu mút x = 0 cách nhiệt, đầu mút x = 
luôn luôn được giữ ở nhiệt độ bằng không. Trong thanh không có nguồn nhiệt. Nhiệt độ ban
đầu trong thanh có dạng:
ϕ(x) =
cx( − x)

2
u(x, t) =
8c
π
2
∞

k=0
1
(2k + 1)
2

4(−1)
k
(2k + 1)π
− 1

cos
(2k + 1)πx
2

e
−(2k+1)
2
π
2
a
2
t/4
2
44. Tìm phân bố nhiệt trên một thanh hữu hạn, chiều dài , có biên x = 0 được giữ cách
nhiệt, b iên x =  được giữ ở nhiệt độ bằng 0. Phân bố nhiệ t ban đầu trong thanh có dạng
ϕ(x) = chx. Trong thanh không có nguồn nhiệt.
ĐS
u(x, t) = 4πch
∞

n=0
(2n + 1)(−1)
n
(n + 1)
2
π
2
+ 4
2
cos
(2n + 1)πx
2
e
−(2n+1)

2
π
2
a
2
t/4
2
45. Tìm phân bố nhiệt độ trên một thanh hữu hạn, chiều dài , có biên x = 0 được giữ ở nhiệt
độ bằng 0, biên x =  cách nhiệt. Tại thời điểm ban đầu, thanh có nhiệt độ không đổi bằng
T
0
.
ĐS:
u(x, t) =
4T
0
π
∞

k=0
1
2k + 1
sin
(2n + 1)πx
2
e
−a
2
(2n+1)
2

π
2
t/4
2
46. Tìm phân bố nhiệt độ trên một thanh hữu hạn, chiều dài , có biên x = 0 được giữ ở nhiệt
độ bằng 0, biên x =  cách nh iệt. Tại thời điểm ban đầu, nữa đầu của thanh c ó nhiệt độ bằng
không, còn nữa sau của thanh có nhiệt độ không đổi bằng T
0
.
ĐS:
u(x, t) =
4T
0
π
∞

k=0
1
2k + 1
cos
(2k + 1)π
4
sin
(2n + 1)πx
2
e
−a
2
(2n+1)
2

π
2
t/4
2
47. Tìm phân bố nhiệt độ trên một thanh hữu hạn, chiều dài , có biên x = 0 được giữ ở nhiệt
độ bằng 0, biên x =  cách n hiệt. Phân bố nhiệt ban đầu tỉ lệ với khoảng cách từ điểm đó
đến gốc toạ độ.
ĐS
u(x, t) =
8c
π
2
∞

n=0
(−1)
n
(2n + 1)
2
sin
(2n + 1)πx
2
e
−a
2
(2n+1)
2
π
2
t/4

2
Hướng dẫn: Giải bài toán với điều kiện biên u(0, t) = 0, u
x
(, t) = 0, và điều kiện ban đầu
u(x, 0) = cx.
9
48. Tìm sự phân bố nhiệt trong một thanh có đầu mút x = 0 cách nhiệt. Nhiệt độ môi trường u
∗

tiếp xúc với đầu mút x =  luôn luôn giữ ở nhiệt độ bằng 0. Tại thời điểm t = 0, tất cả các
điểm của thanh được nâng lên nhiệt độ không đổi u
0
= const. Trong thanh không có nguồn
nhiệt.
ĐS:
u(x, t) = u
0
∞

n=1
(−1)
n−1
2(k
2
β
2
n
+ h
2
)

(k
2
β
2
n
+ h
2
) + hk
h
β
n

kβ
2
n
+ h
2
cos β
n
xe
−a
2
β
2
n
t
Hướng dẫn: Bài toán dẫn đến giải phương trình
u
t
− a

2
u
xx
= 0
thoả mãn điều kiện đầu
u(x, 0) = u
0
và điều kiện biên
u
x
(0, t) = 0
hu(, t) = −ku
x
(, t)
49. Tìm nghiệm của bài toán Dirichlet đối với phương trình trong miền tròn tâm O bán kính R,
biết giá trị trên biên của nghiệm là u(R, ϕ) = R cos ϕ.
ĐS:
u(r, ϕ) = r cos ϕ
50. Tìm nghiệm của bài toán Dirichlet đối với phương trình trong miền tròn tâm O bán kính R,
biết giá trị trên biên của nghiệm là u(R, ϕ) = R
2
sin 2ϕ.
ĐS:
u(r, ϕ) = r
2
sin 2ϕ
51. Tìm nghiệm của bài toán Dirichlet đối với phương trình trong miền tròn tâm O. bán kính R,
biết giá trị trên biên của nghiệm là u(R, ϕ) = A + B sin ϕ.
ĐS:
u(r, ϕ) = A +

B
R
r sin ϕ
52. Tìm nghiệm của bài toán Dirichlet đối với phương trình trong miền tròn tâm O bán kính R,
biết giá trị trên biên của nghiệm là u(R, ϕ) = 2R(cos ϕ + sin ϕ).
ĐS:
u(r, ϕ) = 2r(cos ϕ + sin ϕ)
53. Giải bài toán Dirichlet đối với hình tròn x
2
+ y
2
= r
2
 R
2
, biết giá trị của nghiệm trên biên
là u(R, ϕ) = 2(x
2
+ y).
ĐS:
u(x, ϕ) = R
2
+ 2r sin ϕ + r
2
cos 2ϕ
54. Tìm nghiệm của bài toán Dirichlet trong hình tròn tâm O bán kính 2, biết giá trị trên biên
của nghiệm là u(R, ϕ) = x
2
− xy + 2.
ĐS:

u(r, ϕ) = 4 +
r
2
2
(cos 2ϕ − sin 2ϕ)
10
55. Tìm nghiệm của bài toán Dirichlet trong hìn h tròn tâm O bán kính R, biết giá trị trên biên
của nghiệm là u(R, ϕ) = sin
3
ϕ.
ĐS:
u(r, ϕ) =
r
4R
(3 sin ϕ −
r
2
R
2
sin 3ϕ)
56. Tìm nghiệm của bài toán Dirichlet trong hìn h tròn tâm O bán kính R, biết giá trị trên biên
của nghiệm là u(R, ϕ) = sin
4
ϕ.
ĐS:
u(r, ϕ) =
3
8
−
r

2
2R
2
cos 2ϕ +
r
4
8R
4
cos 4ϕ
57. Tìm nghiệm của bài toán Dirichlet trong hìn h tròn tâm O bán kính R, biết giá trị trên biên
của nghiệm là u(R, ϕ) = x
2
y.
ĐS:
u(r, ϕ) =
r
4
(R
2
sin ϕ + r
2
sin 3ϕ)
58. Giải bài toán Dirichlet trong miền chữ nhật (0  x  a; 0  y  b) với các điều kiện
u(0, y) = Ay(b − y), u(a, y) = 0, u(x, 0) = 0, u(x, b) = 0
ĐS:
u(x, y) = −
8Ab
2
π
3

∞

n=0
sh
(2n + 1)π(x − a)
b
(2n + 1)
3
sh
(2n + 1)πa
b
sin
(2n + 1)πy
b
59. Giải bài toán Dirichlet trong miền chữ nhật (0  x  a; 0  y  b) với các điều kiện
u(0, y) = A sin
πy
b
, u(a, y) = 0, u(x, 0) = 0, u(x, b) = 0
60. Giải bài toán Dirichlet trong miền chữ nhật (0  x  a; 0  y  b) với các điều kiện
u(0, y) = Ay(b − y), u(a, y) = 0, u(x, 0) = B sin
πx
a
, u(x, b) = 0
ĐS:
u(x, y) = −
8Ab
2
π
3

∞

n=0
sh
(2n + 1)π(x − a)
b
(2n + 1)
3
sh
(2n + 1)πa
b
sin
(2n + 1)πy
b
−
B
sh
πb
a
sh
π(y − b)
a
sin
πx
a
61. Giải bài toán Dirichlet trong miền chữ nhật (0  x  a; 0  y  b) với các điều kiện
u(0, y) = A, u(a, y) = Ay, u(x, 0) = 0, u(x, b) = 0
ĐS:
u(x, y) = A −
4Ab

π
2
∞

n=0
1
(2n + 1)
2
sh
(2n + 1)πa
b
sh
(2n + 1)πx
b
cos
(2n + 1)πy
b
11
62. Giải bài toán Dirichlet trong miền chữ nhật (0  x  a; 0  y < ∞) với các điều kiện
u(0, y) = 0, u(a, y) = 0, u(x, 0) = A

1 −
x
a

, u(x, ∞) = 0
ĐS:
u(x, y) =
2a
π

∞

n=1
1
n
e
−nπy/a
sin
nπx
a
63. Giải bài toán Dirichlet trong miền chữ nhật (0  x  π; −1  y < 1) với các điều kiện
u(0, y) = 0, u(π, y) = 0, u(x, −1) = u(x, 1) = sin 2x
64. Giải bài toán Neumann trong hình tròn:
a. ∆u(x, y) = 0, (0  r  2, 0  ϕ  2π) với điều kiện u
r
(2, ϕ) = Aϕ
b. ∆u(x, y) = 0, (0  r  1, 0  ϕ  2π) với điều kiện u
r
(1, ϕ) = 2 cos ϕ
c. ∆u(x, y) = 0, (0  r  1, 0  ϕ  2π) với điều kiện u
r
(1, ϕ) = − sin ϕ
65. Giải bài toán Neumann trong hình chữ nhật
a. ∆u(x, y) = 0, (0  x  a; 0  y  b), thoả mãn điều kiện:
u(0, y) = Ay(b − y), u
x
(a, y) = 0, u(x, 0) = 0, u(x, b) = 0
b. ∆u(x, y) = 0, (0  x  a; 0  y  b), thoả mãn điều kiện:
u
x

(0, y) = Ay(b − y), u(a, y) = 0, u(x, 0) = B sin
πx
a
, u(x, b) = 0
c. ∆u(x, y) = 0, (0  x  a; 0  y  b), thoả mãn điều kiện:
u(0, y) = A, u(a, y) = By, u
y
(x, 0) = u
y
(x, b) = 0
d. ∆u(x, y) = 0, (0  x  π; 0  y  π), thoả mãn điều kiện:
u
x
(0, y) = cos y, u
x
(π, y) = sin y, u
y
(x, 0) = A, u(x, π) = Bx
66. Giải bài toán tổng hợp trong miền chữ nhật
∆(x, y) = −2, (0  x  a, −b  y  b) thoả mãn điều kiện
u(x, −b) = u(x, b) = u(0, y) = u(a, y) = 0
12