Tích phân theo Lebesgue- ôn thi cao học

GIẢI TÍCH (CƠ SỞ)
Phần 3. Độ Đo Và Tích Phân
§3. TÍCH PHÂN THEO LEBESGUE
Chuyên ngành: Giải Tích, PPDH Toán
(Phiên bản đã chỉnh sửa)
PGS TS Nguyễn Bích Huy
Ngày 1 tháng 3 năm 2006
1 PHẦN LÝ THUYẾT
1. Điều kiện khả tích theo Riemann
Nếu hàm f khả tích trên [a, b] theo nghĩa tích phân xác định thì ta cũng nói f khả tích
theo Riemann hay (R)−khả tích.
Định lý 1
Hàm f khả tích Riemann trên [a, b] khi và chỉ khi nó thỏa mãn hai điiều kiện sau :
i. f bị chặn.
ii. Tập các điểm gián đoạn của f trên [a, b] có độ đo Lebesgue bằng 0.
2. Định nghĩa tích phân theo Lebesgue
Cho không gian độ đo (X, F, µ) và A ∈ F, f : A −→ R là hàm đo được
(a) Nếu f là hàm đơn giản, không âm trên A và f =
n

i=n
a
i
.1
A
i
với A
i
∈ F, A
i
∩ A

j
=
ø (i = j) và
n

i=1
A
i
= A thì ta định nghĩa tích phân của f trên A theo độ đo µ bởi :

A
fdµ :=
n

i=n
a
i
µ(A
i
)
(b) Nếu f là hàm đo được, không âm thì tồn tại dãy các hàm đơn giản, không âm f
n
sao cho
f
n
(x) ≤ f
n+1
(x), lim
n→∞
f

n
(x) = f(x) ∀x ∈ A
Khi đó ta định nghĩa

A
fdµ = lim
n→∞

A
f
n
dµ
Chú ý rằng, tích phân hàm đo được không âm luôn tồn tại, là số không âm và có
thể bằng +∞
1
(c) Nếu f là hàm đo được thì f
+
(x) = max{f(x), 0}, f
−
(x) = max{−f(x), 0} là các
hàm đo được, không âm và ta có f(x) = f
+
(x) − f
−
(x). Nếu ít nhất một trong các
tích phân

A
f
+

dµ,

A
f
−
dµ là số hữu hạn thì ta định nghĩa

A
fdµ =

A
f
+
dµ −

A
f
−
dµ
Ta nói f khả tích trên A nếu

A
fdµ tồn tại và hữu hạn (hay cả hai tích phân

A
f
+
dµ,

A

f
−
dµ là số hữu hạn).
3. Các tính chất
Cho không gian độ đo (X, F, µ)
3.1 Một số các tính chất quen thuộc :
Giả sử A ∈ F và f, g là các hàm đo được, không âm trên A hoặc khả tích trên A.
Khi đó ta có
•

A
(f + g)dµ =

A
fdµ +

A
gdµ

A
cfdµ = c

A
fdµ ∀c ∈ R
• Nếu f (x) ≤ g(x) ∀x ∈ A thì

A
fdµ ≤

A

gdµ
• Nếu A = A
1
∪ A
2
với A
1
, A
2
∈ F, A
1
∩ A
2
= ø thì

A
fdµ =

A
1
fdµ +

A
2
fdµ
3.2 Sự không phụ thuộc tập độ đo O. Khái niệm "hầu khắp nơi"
Định nghĩa
Giả sử P (x) là một tính chất phát biểu cho mỗi x ∈ A sao cho ∀x ∈ A thì hoặc P (x)
đúng hoặc P (x) sai. Ta nói tính chất P (x) đúng (hay xảy ra) hầu khắp nơi (viết tắt
hkn) trên tập A nếu tập

B = {x ∈ A : P (x) không đúng}
được chứa trong một tập C ∈ F mà µ(C) = 0 (hoặc µ(B) = 0 nếu đã biết B ∈ F).
Ví dụ
1) Giả sử f, g đo được trên A. Ta có
B := {x ∈ A : f(x) = g(x)} ∈ F
Do vậy ta nói "f(x) = g(x) hkn trên A " thì có nghĩa là µ(B) = 0.
2) Nếu f đo được trên A thì tập B = {x ∈ A : |f(x)| = +∞} thuộc F. Ta nói "f
hữu hạn hkn trên A" thì có nghĩa µ(B) = 0.
2
3) Cho các hàm đo được f
n
, f (n = 1, 2, . . .). Ta nói "Dãy {f
n
} hội tụ hkn trên A
về F thì có nghĩa B = {x ∈ A : f
n
(x) → f(x)} có độ đo 0.
Sự không phụ thuộc tập độ đo 0
Nếu µ(A) = 0 và f đo được trên A thì

A
fdµ = 0. Do đó :
• Nếu f có tích phân trên A ∪ B và µ(B) = 0 thì

A∪B
gdµ =

A
fdµ
• Nếu f, g đo được trên A, f(x) = g(x) hkn trên A và f có tích phân trên A thì


A
gdµ =

A
fdµ
3.3 Nếu f đo được, không âm trên A và

A
fdµ = 0 thì f(x) = 0 hkn trên A.
3.4 Nếu f khả tích trên A thì f(x) hữu hạn hkn trên A
3.5 Tính chất σ−cộng
Giả sử A
n
∈ F (n ∈ N
∗
), A
n
∩ A
m
= ø (n = m) và f là hàm đo được, không âm
hoặc khả tích trên A =
∞

n=1
A
n
. Khi đó

A

fdµ =
∞

n=1

A
n
fdµ
3.6 Một số điều kiện khả tích:
• Nếu f đo được trên A thì f khả tích trên A khi và chỉ khi |f| khả tích trên A.
• Nếu f đo được, g khả tích trên A và |f(x)| ≤ g(x) ∀x ∈ A thì f cũng khả tích
trên A.
• Nếu f đo được, bị chặn trên A và µ(A) < ∞ thì f khả tích trên A.
4. Qua giới hạn dưới dấu tích phân
Định lý Levi (hội tụ đơn điệu)
Giả sử :
i. f
n
(n ∈ N
∗
) là các hàm đo được trên A và
0 < f
n
(x) < f
n+1
(x), x ∈ A
ii. lim
n→∞
f
n

(x) = f(x) x ∈ A
Khi đó lim
n→∞

A
f
n
dµ =

A
fdµ
(một cách hình thức lim

A
f
n
dµ =

A
lim f
n
dµ)
Định lý Lebesgue (hội tụ bị chặn)
Giả sử :
i. Các hàm f
n
đo được trên A và tồn tại hàm g khả tích trên A sao cho |f
n
(x)| ≤
g(x) ∀n ∈ N

∗
,∀x ∈ A
3
ii. lim
n→∞
f
n
(x) = f(x) x ∈ A
Khi đó

A
fdµ = lim
n→∞

A
fdµ
Ghi chú
Do sự không phụ thuộc vào tập độ đo 0 của tích phân, ta có thể giả thiết các diều kiện
i., ii. trong định lý Levi và Lebesgue chỉ cần đúng hkn trên A.
5. Liên hệ giữa tích phân Riemann và tích phân Lebesgue
Nếu A ⊂ R là tập (L)−đo được thì tích phân theo độ đo Lebesgue cũng ký hiệu
(L)

A
f(x)dx hoặc (L)
b

a
f(x)dx nếu A = [a, b].
Định lý

1) Nếu f khả tích Riemann trên [a, b] thì f cũng khả tích theo nghĩa Lebesgue trên [a, b]
và ta có
(L)
b

a
f(x)dx = (R)
b

a
f(x)dx
2) Nếu f khả tích Riemann suy rộng trên [a, b] (hoặc trên [a,∞]) và là hàm không âm
thì f khả tích theo nghĩa Lebesgue trên [a, b] (trên [a,∞]) và ta có :
(R)
b

a
f(x)dx = (L)
b

a
f(x)dx


(R)
∞

a
f(x)dx = (L)
∞


a
f(x)dx


2 PHẦN BÀI TẬP
Trong các tập dưới đây ta luôn giả thiết có một không gian độ đo (X, F, µ). Các tập được xét
luôn thuộc F
Bài 1
Cho hàm f đo được trên A, hàm g, h khả tích trên A sao cho g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) ∀x ∈ A.
Chứng minh f khả tích trên A.
Giải
Ta có
f
+
≤ h
+
, f
−
≤ g
−
( vì g ≤ f ≤ h)
⇒

A
f
+
dµ ≤

A

h
+
dµ,

A
f
−
≤

A
g
−
dµ
Các tích phân ở vế phải hữu hạn nên

A
f
±
dµ < ∞. Suy ra f khả tích. (Bài này cũng có thể
giải dựa vào bất đẳng thức |f(x)| ≤ |g(x)| + |h(x)|)
Bài 2
4
1. Cho hàm số f ≥ 0, đo được trên A. Xét các hàm
f
n
(x) =

f(x), nếu f(x) ≤ n
n, nếu f(x) > n
(n ∈ N

∗
)
Chứng minh lim
n→∞

A
f
n
dµ =

A
fdµ
2. Ứng dụng kết quả trên để tính (L)
1

0
dx
√
x
Giải
1. Ta dễ dàng kiểm tra rằng f
n
(x) = min{n, f(x)}. Do đó :
• f
n
(x) đo được, không âm.
• f
n
(x) = min{n, f(x)} ≤ min{n + 1, f (x)} = f
n+1

(x)
• lim
n→∞
f
n
(x) = min{ lim
n→∞
n, f(x)} = min{+∞, f(x)} = f(x)
Áp dụng định lý Levi ta có đpcm.
2. Đặt f(x) =
1
√
x
, x ∈ (0, 1], f(0) = +∞. Ta dễ dàng tìm được
f
n
(x) =



1
√
x
, nếu x ∈ [
1
n
2
, 1]
n nếu x ∈ [0,
1

n
2
]
(L)
1

0
f
n
(x)dx = (R)
1

0
f
n
(x)dx = 2 −
1
n
Theo câu 1) ta có
(L)
1

0
f(x)dx = lim
n→∞
1

0
f
n

(x)dx = 2.
Bài 3
Cho hàm f khả tích trên A. Ta xây dựng các hàm f
n
như sau :
f
n
(x) =



f(x), nếu |f(x)| ≤ n
n, nếu f(x) > n
−n, nếu f(x) < −n
Chứng minh lim
n→∞

A
f
n
dµ =

A
fdµ
Giải
Ta dễ thấy f
n
(x) = min{n, max{−n, f(x)}}. Từ đây ta suy ra :
5